人教A版选修2-1第一章第4课时导学案1.2.2 充要条件

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人教A版选修2-1第一章学案命题及其关系与充分、必要条件无答案

专题：命题及其关系与充分、必要条件※知识要点

1．命题

(1)概念：用语言、符号或式子表达的，可以

叫做命题，其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做．

(2)一般形式：若/如果，则/那么.

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

若用p和q分别表示原命题的条件和结论，四种命题的形式是：①原命题：若则或；

①逆命题：若则或；

①否命题：若则或；

①逆否命题：若则或．

注意：命题p的否定是指，记作；

(2)四种命题间的关系：

(3)四种命题的真假性关系

①两个命题互为逆否命题，它们的真假性；

①两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性．3．充分条件与必要条件

(1)若p①q，则p是q的条件，q是p的条件；

(2)若p①q，则p是q的条件，q是p的条件；

(3)若p①q，q /p，则p是q的条件，同时，q是p的条件；

(4)若p q，q /p，则p是q的条件，同时，q是p的条件；

注意：充分条件与必要条件的具备以下两个特征：

①对称性：若“p⇒q”，则“”；

②传递性：若“p⇒q且q⇒r”，则p与r的关系是．

※题型讲练【例1】判断下列命题的正误：

(1)“x2＋2x－3<0”是命题()

(2)“sin 45°＝1”是真命题()

(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”()

(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真()

变式训练1：

1．按要求写出下列命题的相关命题并判断其真假：

(1)命题“若α＝

3，则cos α＝

2”的逆命题；

(2)命题“若x＝4，则x2＋3x－4≥0”的否命题；

(3)命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

人教A版高中数学选修2-1习题：1.2充分条件与必要条件(含答案)

1.2充分条件与必要条件

A组

1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.

答案：B

2.“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：x2-7x+10>0,解得x>5或x<2.

∴“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的必要不充分条件.故选B.

答案：B

3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-

=-1,a=2,故选C.

答案：C

4.给出下列3个结论:①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.其中正确的是()

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

解析：由x2>4可得x>2或x<-2,而由x3<-8可得x<-2,所以x2>4是x3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则△ABC一定为直角三角形,反之不成立,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确.

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《1.2.2充要条件的应用》课件

1 ”是“一元二次方程x2+x+m=0无实根”的既不充分 4
所以“m<
也不必要条件.
【方法技巧】判断p是q的什么条件的两种思路 (1)命题角度:判断p是q的什么条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立,若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p 的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
2.向量a与非零向量b共线的充要条件为( A.a=0 C.a与b方向相反 B.a与b方向相同 D.存在k∈R,使a=kb
)
【解析】1.选A.因为x2>1⇔x>1或x<-1,
所以x>1⇒x2>1,但x2>1 x>1.
故选A.
2.选D.选项A,B,C中,都是向量a与非零向量b共线的充分条件. 选项D中,“存在k∈R,使a=kb”是向量a与非零向量b共线的充要条件.
若B⊆A,则p是q的必要条件,
若B A,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,
也不是q的必要条件
其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
【知识拓展】等价命题的转化与充要条件由于p是q的充要条件和p与q等价是一致的,因而我们可以通过这一结论将我们所有证明判定的结论和利用的条件进行转化,即我们可以把命题p转化为命题q来证明判定,这就是数学上重要的转化思想.

高中数学第一章充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件学案新人教A版选修2-1

学习资料专题

1.2.1 充分条件与必要条件

1.2.2 充要条件

学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)

[自主预习·探新知]

1．充分条件与必要条件

(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p 的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价

2．充要条件

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(2)若p⇒q，但q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q⇒p，但p⇒/q，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )

(2)q 不是p 的必要条件时，“p ⇒/q ”成立．( ) (3)若q 是p 的必要条件，则q 成立，p 也成立．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×

高中数学第1章《充要条件》教案新人教A版选修2-1

充要条件

宣汉二中蒲元勇

一、第一段自主学习阶段

1、复习：（1），的意义；

（2）表示p是q的充分条件；表示p是q的必要条件。

2、出示学习目标和基础想问题，学生带着目标和问题进行自主看书（课本11-12页）问题1：什么是充要条件？

问题2：怎样判断或证明条件的充分性和必要性？

二、第二段合作探究阶段

1、探究：判断p是q的什么条件，需要考虑几个方面？

引例： p:x=1 q:(x2-1)(x-2)=0 .试判断p是q的什么条件？

解析：(1) 若x=1则(x2-1)(x-2)=0为真

∴

∴p是q的充分条件。

(2) 若(x2-1)(x-2)=0则x=1为假

∴

∴p是q的不必要分条件。

综上所述：p 是q 的充分不必要分条件

方法点拨：用定义判断条件的充分性与必要性的步骤

(1)弄清原命题的条件和结论(不妨设原命题的条件为p ，结论为q)

(2) ①判断

？即判断原命题“若p 则q ”的真假。 ②判断

？即判断逆命题“若p 则q ”的真假。 (3)下结论

2、练习1、下列各题中p 是q 的什么条件？

(1)p ：43x 2+=x q ： 43x +=x

(2)p ：03-x = q ：04)-3)(x -(x =

(3)p ：0)0(a 4ac -b 2≠≥ q ：)0(02

≠=++a c bx ax 有实根

(4)p ：1=x 是方程02=++c bx ax 的一个根 q ：0=++c b a

(5)p ：1x > q ：2

抽学生回答上述各题 (1)必要不充分 (2)充分不必要 (3)充要 (4) 充要 (5)既不充分也不必要练习2、课本第12页A 组2

人教A版选修2-1 1.2充分条件与必要条件学案

_1.2 充分条件与必要条件

1.2 充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，

任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”

开关．

问题1：A开关闭合时B灯一定亮吗？

提示：一定亮．

问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？

提示：不一定，还可能是C开关闭合．

充分条件与必要条件

命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题

推出关系p⇒q p⇒/_q

条件关系p是q的充分条件q是p的

必要条件

p不是q的充分条件q不

是p的必要条件

充要条件

已知p：整数x是6的倍数；

q：整数x是2和3的公倍数．

问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是．

问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是．

问题3：p是q的什么条件？

提示：是充分条件，也是必要条件．

充要条件

(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定

不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．3．p与q互为充要条件，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等．4．当命题“若p，则q”与其逆(或否)命题都为真时，p是q的充要条件．

充分条件、必要条件、充要条件的判断

[1] 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．

高中数学第一章常用逻辑术语1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件讲义新人教A版选修2_1

1．2.2 充要条件

充要条件

(1)充要条件

01一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要□

条件，简称□02充要条件．

(2)常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )

(2)逻辑联结符号“⇔”具有传递性．( )

(3)若p⇒/q和q⇒/p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )

答案(1)√(2)√(3)√

2．做一做

(1)(教材改编P12练习T2)设a，b∈R，则“a＋b>2”是“a>1且b>1”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)“x2<1”的充要条件是_____________________________________________．

(3)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)

(4)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．

答案(1)B (2)－1<x<1 (3)充要(4)2

解析(1)当a＝0，b＝3时，a＋b>2，而a<1，故a＋b>2 ⇒/a>1且b>1.而a>1且b>1⇒a＋b>2.故选B.

第一章 1.2 充分条件与必要条件

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[自主梳理]
一、充分条件与必要条件 1．一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.这时，我们就说，由 p 可推出 q，记作 p⇒q ，并且说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． 2．如果“若 p，则 q”为假命题，那么由 p 推不出 q，记作 p q ．此时，我们就说 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件．
人教A版数学·选修2-1
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判断 p 是 q 什么条件的方法 (1)判断 p 是 q 的什么条件，主要判断 p⇒q 及 q⇒p 两命题的正确性，若 p⇒q 真，则 p 是 q 成立的充分条件，若 q⇒p 真，则 p 是 q 成立的必要条件． (2)关于充分必要条件的判断问题，当不易判断 p⇒q 真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
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[解析] 令 M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≤－12或 x≥2}； N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2 或 x≥a}，由已知 p⇒q，且 q p，得 M N.
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人教A版高中数学选修2-1课件【4】充分条件与必要条件

答案： ①②③
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 10．下列命题中，判断条件 p 是条件 q 的什么条件： (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC 是直角三角形，q：△ABC 是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
解：(1)∵|x|＝|y|A/⇒x＝y，但 x＝y⇒|x|＝|y|， ∴p 是 q 的必要条件，但不是充分条件． (2)∵△ABC 是直角三角形 A/⇒△ABC 是等腰三角形， △ABC 是等腰三角形 A/⇒△ABC 是直角三角形， ∴p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件．
解析：“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋ a 2 －1 2y＋4＝0 平行”的充要条件．由＝ ≠ ，解得 a＝1. 1 2 4
答案：C
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7．若集合 A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B ＝{4}”的__________条件．
解析：当 A∩B＝{4}时，m2＝4，∴m＝± 2. ∴“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
π 8．设 0＜x＜2，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的__________ 条件．
π 解析：∵0＜x＜2，∴0＜sinx＜1，∴0＜sin2x＜sinx. 又∵x＞0，∴0＜xsin2x＜xsinx.若 0＜xsinx＜1，则 0＜xsin2x ＜1.但是由 0＜xsin2x＜1 推不出 0＜xsinx＜1. 综上所述“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要不充分条件．

36143_《充分条件与必要条件》教案2(新人教A版选修2-1)

1．2充分条件与必要条件（一）教学目标

1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．

３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

（二）教学重点与难点

重点：充分条件、必要条件的概念．

(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)

难点：判断命题的充分条件、必要条件

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件

（三）教学过程

1．练习与思考

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x＞a2+b2，则x＞2ab,

（2）若ab＝0，则a＝0.

学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

２．给出定义

命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p 可推出q，记作：p?q．

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p?q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．

数学：1.2.2《充要条件》课件(新人教a版选修2-1)

问题、探讨下列生活中名言名句的充要关系。
（1）水滴石穿。（2）有志者事竟成。（3）春回大地，万物复苏。（4）玉不琢，不成器。
以下命题的逆命题成立吗？
（1）若a是无理数，则a+5是无理数；（2）若a>b,则a+c>b+c; （3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ >0．
判别充要条件问题的
p的真假。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 ④充要性包括：充分性p q和必要性q p两个方面。
巩固运用

例1：两条不重合的直线l1、l2(共同前提)． l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2 的什么条件？
巩固运用
复习 1、充分条件，必要条件的定义:
若
充分 p q，则p是q成立的＿＿＿＿条件必要 q是p成立的＿＿＿＿条件
如果既有p q，又有q p就记做p q
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
p与q互为充要条件 (也可以说成”p与q等价”)
各种条件的可能情况 1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件
三、小结
定义1：定义2：判别步骤：如果已知p q，则说p是q的充分条件， q是p的必要条件。如果既有p 就记作 q，又有q p，

人教A版选修2-1第一章第4课时导学案1.2.2 充要条件

人教A版选修2-1第一章学案命题及其关系与充分、必要条件无答案

人教A版高中数学选修2-1习题：1.2充分条件与必要条件(含答案)

最新人教版高中数学选修2-1第一章《充分条件与必要条件》知识导学

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《1.2.2充要条件的应用》课件

高中数学 第一章 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件学案 新人教A版选修2-1

高中数学 第1章《充要条件》教案 新人教A版选修2-1

人教A版选修2-1 1.2充分条件与必要条件学案

高中数学第一章常用逻辑术语1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件讲义新人教A版选修2_1

第一章 1.2 充分条件与必要条件

人教A版高中数学选修2-1课件【4】充分条件与必要条件

36143_《充分条件与必要条件》教案2(新人教A版选修2-1)

数学：1.2.2《充要条件》课件(新人教a版选修2-1)

高中数学第一章充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件学案新人教A版选修2-1

高中数学第1章《充要条件》教案新人教A版选修2-1