人教A版选修2-1第一章第4课时导学案1.2.2 充要条件

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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第一章 1.2.2 充要条件

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. (3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x －1)· (y－2)＝0.

变式迁移
解析：(1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B⇔BC > AC，所以 p 是 q 的充要条件． (2)因为 x＝2 且 y＝6⇒ x＋y＝8，即﹁q⇒ ﹁ p，但﹁p ﹁q，所以 p 是 q 的充分不必要条件． (3)因为 p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1 或 y＝2}，所以 A B，所以 p 是 q 的充分不必要条件．
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判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，
一般运用等价法．

变式迁移 1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
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(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.

点评：数学概念的定义具有相称性，即数学概念
的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，
又是概念所具有的性质．
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证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立
(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)．

变式训练 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为 2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.
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1是x＝1的必要不充分条件；α ＝β 是tan α ＝tan β 的
充分不必要条件；|a|＞|b|是a2＞b2的充要条件．故选B. 答案：B

自测自评 3．用充分条件、必要条件、充要条件填空．必要条件 (1)x＞3是x＞5的____________________ ． (2)x ＝ 3 是 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的充分条件 ______________________________________________ ． (3) 两个三角形全等是两个三角形相似的充分条件 __________________ ．

高中数学人教A版选修21《充要条件》导学案

《充要条件》导学案课型：新授课课时：1 课时上课时间：2011年月日预习案【学习目标】1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．【学习重难点】学习重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题。

学习难点：正确区分充要条件。

【预习提纲】阅读课文相关内容，并解答下列问题：1. 充分不必要条件定义：2. 必要不充分条件定义：3. 充要条件、既不充分也不必要条件定义：新课导学一、自主学习引入新课：问题一：命题的概念。

问题二：原命题：若x=3，则x2=9，写出它的其余三种命题形式（学生口答，教用幻灯片展示）。

逆命题：若x2=9，则x=3否命题：若x≠3，则x2≠9逆否命题：若x2≠9则x≠3问题三：回忆四种命题的相互关系及真假关系（学生回忆、讨论、思考后教师给出总结，用幻灯片展示）。

困难预见：1. 充分条件与充分不必要条件的区别。

2. 必要条件与必要不充分条件的区别。

二、合作交流以学生为主体，小组内互查，辩论，质疑。

教师巡视指导，发现失误及时引导。

1、2组探究第一题。

3、4组探究第二题。

5、6组探究第三题。

引导各小组学生弄清下列两个关键：1. 如果命题“若p 则q”为真，则记作p=》q （或q 《= p ）。

2.如果命题“若p 则q”为假，则记作p ≠》q 。

例题：判断下列命题是真命题还是假命题，并研究其逆命题的真假。

（1）若x=y ，则x 2=y 2。

（2）有两角相等的三角形是等腰三角形。

人教A版高中数学选修2-1课件1.2.2充要条件.pptx

2020/4/20
练 2 求证：实系数一元二次方程 x2＋px＋q＝0 有两个异号根的充要条件是 q<0.
[证明] (1)先证充分性． ∵q<0，∴方程 x2＋px＋q＝0 的 Δ＝p2－4q>0. ∴方程 x2＋px＋q＝0 有两个不相等的实根，设其为 x1，x2. ∵x1·x2＝q<0，∴方程 x2＋px＋q＝0 有两个异号实根．
3．“a＝1”是“函数 f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为
增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当 f(x)＝|x－a|在[1，＋∞)上为增函数时，a≤1，而 a＝1 时，f(x)＝|x－a|在[1，＋∞)上为增函数．故选 A.
答案：A
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(1)定义法(直接法)
判断“若 p，则 q”或“若 q，则 p”的真假.
条件 p 与结论 q 的关系
结论
p⇒q，但 q p
p 是 q 成立的充分不必要条件
q⇒p，但 p q
p 是 q 成立的必要不充分条件
p⇒q，q⇒p，即 p⇔q
p 是 q 成立的充要条件
p q，q p
p 是 q 成立的既不充分也不必要条件
[答案] D
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[点拨] 判断 p 是 q 的什么条件，常用方法是验证由 p 能否推出 q，由 q 能否推出 p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断、c∈R，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a＋5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“a2>b2”的充要条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的个数是___2_____． [解析] 命题②④是真命题．

高二数学人教A版选修2-1课件：1.2.2 充要条件(共24张)

q：两直线的斜率相等. 既不充分也不必要条件
例4 已知⊙O 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
求证 d = r是直线 l 与⊙O 相切的充要条件.
如图所示
O
d
l
分析：
设：p：d=r，q：直线l与相切. 要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（p q）和必要性（q p）即可.
O
l PQ
如果“ p q ”，则称p是q的充分条件，
且q是p的必要条件.
2.对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？
概念！
一般地，如果既有p q，又有q p，
就记作
p q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，
简称充要条件（sufficient and necessary condition）.
在学习上不肯钻研的人是不会提出问题的；在事业上缺乏突破力的人是不会有所创新的.
4.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A 的充分不必要条件 .
充要条件的概念：
既有p q，又有q p，
就记作
p q. 则 p 是 q 的充分必要条件，
简称充要条件.
形如“若p，则q ”的命题中存在以下四种关系：（1）p是q的充分不必要条件（2）p是q的必要不充分条件（3）p是q的充分必要条件（4）p是q的既不充分又不必要条件
你发现了什么?
1.掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系.(重点) 2．能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件.(难点) 3．培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力. 4．在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

新课标人教A版选修2-1全套教案

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程学生探究过程：1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《1.2.2充要条件的应用》课件

第2课时充要条件的应用
1.充要条件的概念是什么?判断p是q的充要条问题件需要几个条件? 引航 2.证明充要条件问题应分哪两步?
1.充要条件 ⇔ 此时p是q的充分必要条 (1)定义:若p⇒q且q⇒p,则记作p___q, 件,简称充要条件. (2)条件与结论的等价性:如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件 _________. 2.互为充要条件
4 1 4
2.关键看p能否推出q,及q能否推出p.
【自主解答】(1)选B.方程x2+x+m=0无实根⇔Δ=1-4m<0⇔m> 1 .
4
(2)①由于p:x=1⇔q:lnx=0,所以p是q的充要条件;
②由于p:a2=b2 q:a=b,所以p不是qห้องสมุดไป่ตู้充要条件;
③由于p:|x|>3⇔q:x2>9,所以p是q的充要条件;
【题型示范】类型一充要条件的判断【典例1】 (1)“m> 1 ”是“一元二次方程x2+x+m=0无实数解”的(
4
)
A.充分不必要条件 C.必要不充分条件
B.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)下列所给的p,q中,p是q的充要条件的所有序号为 ①p:x=1,q:lnx=0;②p:a2=b2,q:a=b; ③p:|x|>3,q:x2>9;④p:x>y>0,q:x2>y2.
【微思考】 (1)从命题的角度理解等价符号“⇔”的意义是什么? 提示:“⇔”表示连接的两个命题互为逆命题且同为真. (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里? 提示:①p是q的充要条件说明p是条件,q是结论. ②p的充要条件是q说明q是条件,p是结论.

人教A版高中数学选修2-1第一章 1.2.2充要条件课件 (共14张PPT)

词》，完成下列问题：（1）梳理主干知识：“且”“或”“非”
的含义；命题真假的判断。（2）自学例1、例2、例3，归纳出解题思
路及方法，类比学习尝试完成P18练习1、 2题。
（3）p：整数a是2的倍数，q:整数a是偶数。
请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
根据以上实例的共性，能用自己的语言描述出你得到的结论吗？
一般地，如果既有 p q ，又有q p ，就记作 p q.此时我们说，p是q的充分必要条件，
简称充要条件.显然，q也是p的充要条件，概括地
说：如果p⇔q，那么p与q互为充要符条号件“. ⇔”
的含义是什
活动二：充要条件的概念剖析
下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？
它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？ (1)p:x是6的倍数; q:x是2的倍数
p q 但 q p 充分不必要
(2)p:x是2的倍数; q:x是6的倍数
p q 但 q p 必要不充分
(3)p:x既是2的倍数也是3的倍数; q:x是6的
（5）p：x2 1 0 ；q： x 1
反思：
1、判断p是q的什么条件的基本步骤、方法是什么？
2、常见命题的条件共有哪几种情形？
【类比题】填空：
（1）b=0是函数 f (x) ax2 bx c 为偶函数的充要条件；（2）在ABC 中，" AB2 AC2 BC2 " 是“ABC 为直角三角形
情境导入
情境一：你从学校回家可选择的交通方式有哪些？
条件
结果
步行
骑自行车
回家
公共汽车
条件
结果
米米饭
出租车
情境二：俗话说：“巧妇难为无米之炊”，即要做成米饭必须有米这个条件。没有米这个条件，也就没有米饭这个结果。情景三：当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？为什么？

人教A版-选修2-1-第一章-1.2.2充要条件-教学课件

1．若a、b、c都是实数，p：ac>bc， q：a > b，那么 p是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有一个正根和负根的充要条件是( )
（3）若直线a与平面α内两条直线垂直，则直线a与平面α垂直.
解：原命题是假命题，它的逆命题是真命题， p是q的充要条件.
2. 在下列各题中，p是q的什么条件？（1） p：x2=3x+4，q：x =
解：p 是 q -3）(x-4)=0
4.充要条件是 a2 + b2 = r2 .
2. 证明：（1）充分性：如果 a2+b2+c2=ab+ac+bc，那么，a2 + b2 + c2 - ab – ac - bc = 0 ，所以，（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，所以，a2+b2+c2-ab-ac-bc=0， a-b=0，a-c=0，b-c=0. 所以，三角形ABC是等边三角形.
习题1.2 A组2.（1）假；（2）真；（3）真.3.（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件; （4）充分条件，或充分不必要条件.
习题1.2 B组1.（1）充分条件（2）必要条件（3）充要条件
（2）必要性：（q p）:若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点P，则OP ⊥ l. 因此，d = OP = r .
如图所示
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A．ab＞0 B．ab＜0 C．ac＞0 D．ac＜0．

人教A版选修2-1 1.2充分条件与必要条件学案

_1.2 充分条件与必要条件1.2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关．问题1：A开关闭合时B灯一定亮吗？提示：一定亮．问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒/_q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件充要条件已知p：整数x是6的倍数；q：整数x是2和3的公倍数．问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是．问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是．问题3：p是q的什么条件？提示：是充分条件，也是必要条件．充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．3．p与q互为充要条件，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等．4．当命题“若p，则q”与其逆(或否)命题都为真时，p是q的充要条件．充分条件、必要条件、充要条件的判断[1] 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A B，所以p是q的充分不必要条件．[一点通](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．1．下列命题中，p是q的充分条件的是( )A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a> b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D，当a>b>0时，有a>b，而a>0>b或0>a>b时，a或b无意义，∴p⇒/ q.答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故φ＝0是函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.解：(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cos B ＝a2＋c2－b22ac<0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q .若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件.根据充分、必要条件求参数的取值范围[例6≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到綈p ，利用綈p 是綈q 的必要不充分条件，即綈q ⇒綈p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得 3a <x <a ， ∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， ∴q ：－2≤x ≤3.∵綈q ⇒綈p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－2，a≤3，a<0⇒－23≤a <0，∴a 的取值范围是[－23，0)．[一点通] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．4．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2]解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为 A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为 B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1＋a≤10，1－a>－2或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1＋a<10，1－a≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3].充要条件的证明和求解[例3] a ＋b ＋c ＝0. [思路点拨] 证明时首先搞清楚条件p 和结论q 分别指什么，然后证明p ⇒q (充分性)和q ⇒p (必要性)成立．[精解详析] 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得 ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [一点通](1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p⇒q .若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．6．试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0. 充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．7．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 因为f (0)＝1>0，∴若a >0时，则－2a <0，1a >0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1.若a <0，则1a <0，Δ＝4－4a >0，方程恒有两异号实数根．综上所述，a ≤1为所求．1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种： (1)定义法(直接法).条件p 与结论q 的关系结论p ⇒q ，但q ⇒/ p p 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ q p 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒q ，q ⇒p ，即p ⇔q p 是q 成立的充要条件p ⇒/ q ，q ⇒/ pp 是q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B，则p是q的充分不必要条件若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⃘B，且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(3)等价转化法，即利用A⇒B与綈B⇒綈A，A⇔B与綈B⇔綈A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )B．必要不充分条件A．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件C．充要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案：B 2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )B．必要而不充分条件A．充分而不必要条件D．既不充分又不必要条件C．充要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A 3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，又因丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．所以有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，综上，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得綈p ：－1≤x ≤1，綈q ：－2≤x ≤1，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．答案：A＝2相切的充要条件是________．2－1)y (＋2－1)x ＝0与圆(m ＋y ＋x 5．直线的0＝m ＋y ＋x 到直线(1,1)圆心⇔相切2＝21)－y (＋21)－x (与圆0＝m ＋y ＋x 直线解析：2距离等于 0.或4＝－m ⇔2＝2|＋m |⇔2＝|1＋1＋m|2⇔答案：m ＝－4或06．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ，所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分∈x ：p 1}，命题≥|m －x ||x ＝{B ，2]}，12[－∈x ＋1，x 32－2x ＝y |y ＝{A 7．已知集合A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．，配方，得1＋x 32－2x ＝y ，由A 先化简集合解：.716＋2)34－x (＝y ，2]，12－[∈x ∵ ．2]，716[∈y ∴ ．2}≤y ≤716|y {＝A ∴ 由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}． ∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .3.≥m 或916－≤m ，解得2≥1－m 或716≤1＋m ∴ ．)∞，＋[3∪]916，－∞－(的取值范围是m 故实数 }为等比数列的充要n a 1)，求证：数列{≠p 0且≠p (q ＋n p ＝n S 项和n }的前n a 8．已知数列{条件为q ＝－1.1.－p ＝1a 时，1＝－q 充分性：当证明：．1)－p (1－n p ＝1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当当n ＝1时，上式也成立．为等比数列．}n a {，即数列p ＝错误!＝an ＋1an于是 .q ＋p ＝1S ＝1a 时，1＝n 必要性：当．1)－p (1－n p ＝1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当 ∵p ≠0且p ≠1， .p ＝错误!＝an ＋1an ∴ 为等比数列，}n a {因为，1＝－q ∴，错误!＝p ＝an ＋1an＝a2a1所以}n a{即数列为等比数列的充要条件为q＝－1.。

1.2.充要条件-人教A版选修2-1教案

1.2.充要条件-人教A版选修2-1教案一、教学目标1.了解充要条件的概念；2.掌握使用“若…则…”的方式表示充分必要条件；3.能够根据题目要求得出充分必要条件。

二、教学重难点1.科学地理解“充要条件”的概念。

2.学会应用“若…则…”的方式表述充分必要条件。

三、教学过程1. 导入（5分钟）教师出示一张图片，图片上面写明了“只有A才能够B”，让学生分析这张图片表达了什么意思。

引导学生想一想它和充要条件的关系，并带入新词“充要条件”。

2. 观察实例（15分钟）老师出示一些日常生活中的实例，如“只有会游泳的人才能够下水打捞物品”、“只有拥有VIP卡才能享受VIP待遇”，并让学生分析这些句子中含有什么条件。

3. 讨论探究（30分钟）让学生自己动手思考，将上述实例中的条件化为“若…则…”的形式，进而推出充分必要条件。

教师对学生的探究给予指导和帮助，并对学生疑难问题进行解答。

4. 巩固练习（20分钟）教师出示一些充要条件的练习题，让学生利用刚才学习的方法列算式，并利用已学知识解决问题。

5. 课堂小结（5分钟）教师对本节课学习的内容进行课堂小结，提醒学生下节课预习相关内容。

四、教学反思在本节课的教学过程中，我重点让学生了解“充要条件”的含义、应用“若…则…”方式表示充分必要条件，并通过实例让学生把充要条件改写为“若…则…”的形式并化简，从而加深学生对知识点的理解。

此外，在巩固练习中，教师对学生的问答进行了纠正和指导，以确保学生掌握了该知识点。

在今后的教学中，我会根据学生的实际情况，适当调整教学策略，帮助学生更好地理解并应用充要条件知识。

高中数学第一章常用逻辑术语1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件讲义新人教A版选修2_1

1．2.2 充要条件充要条件(1)充要条件01一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要□条件，简称□02充要条件．(2)常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )(2)逻辑联结符号“⇔”具有传递性．( )(3)若p⇒/q和q⇒/p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )答案(1)√(2)√(3)√2．做一做(1)(教材改编P12练习T2)设a，b∈R，则“a＋b>2”是“a>1且b>1”的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)“x2<1”的充要条件是_____________________________________________．(3)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(4)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．答案(1)B (2)－1<x<1 (3)充要(4)2解析(1)当a＝0，b＝3时，a＋b>2，而a<1，故a＋b>2 ⇒/a>1且b>1.而a>1且b>1⇒a＋b>2.故选B.探究1 充要条件的判断例1 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点； ②p ：f (－x )f (x )＝1，q ：y ＝f (x )为偶函数； ③p ：cos α＝cos β，q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ，q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[解析] ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔m <－2或m >6⇔p . ②f (x )＝0时，q ⇒/p .③若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )，此时有cos α＝cos β，但没有tan α＝tan β.④p ：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B ， ∴①④中，p 是q 的充要条件． [答案] D 拓展提升判断p 是q 的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．【跟踪训练1】已知p 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件，也是s 的充分条件，r 是s 的必要条件，问：(1)p 是r 的什么条件？ (2)s 是q 的什么条件？(3)p ，q ，r ，s 中哪几对互为充要条件？解作出“⇒”图，如右图所示，可知：p ⇒q ，r ⇒q ，q ⇒s ，s ⇒r .(1)p ⇒q ⇒s ⇒r ，且r ⇒q ，q 能否推出p 未知，∴p 是r 的充分条件． (2)∵s ⇒r ⇒q ，q ⇒s ，∴s 是q 的充要条件．(3)共有三对充要条件，q ⇔s ；s ⇔r ；r ⇔q . 探究2 充要条件的证明例2 设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .[证明] 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )；必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin Csin B，即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B .综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .[结论探究] 如果把例2中问题改为“求证A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°”，怎样解答？证明充分性：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. ∴A ＋C ＝2B .∴A ，B ，C 成等差数列．必要性：A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B .又∵A ＋B ＋C ＝180°，即3B ＝180°， ∴B ＝60°.综上得A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°. 拓展提升充要条件的证明证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中前者是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了．一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”即q ⇒p ；证明必要性时则以p 为“已知条件”，即p ⇒q .【跟踪训练2】求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝c a<0，∴ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝c a<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 探究3 求充要条件例3 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] 当a ＝0时，符合要求．当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a <0；若方程有两个负实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0，1a>0，－2a <0，解得0<a ≤1.综上所述，若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根，则a ≤1. 反之，若a ≤1，则方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根．因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 拓展提升探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．【跟踪训练3】圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________．答案－3<k < 3解析当圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2有一个公共点时，有|2|k 2＋1＝1，解得k ＝± 3.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充要条件是－3<k < 3.1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，此时曲线过坐标原点；但曲线y＝sin(2x ＋φ)过坐标原点时，φ＝kπ(k∈Z)，∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．3．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，所以“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．4．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)答案充分不必要解析由cos2α＝cos 2α－sin 2α知，当sin α＝cos α时，有cos2α＝0，反之，由cos 2α＝sin 2α不一定有sin α＝cos α，从而“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.证明证法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y. 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.。

高中数学人教A版选修2-1第一章《1.2.1 充要条件》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

高中数学人教A版选修2-1第一章《1.2.1 充要条件》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.通过实例探究归纳出充分必要条件的概念,并能够判定给定命题的条件与结论之间的关系.
2.通过标杆题、类比题的学习能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件.
3.通过学习培养等价转化思想,逻辑推理能力及归纳总结能力.
2学情分析
从学生学习的角度看,知识储备不够,逻辑推理能力训练不够充分。

学生对于充分条件和必要条件的理解,需要一定时间的体会,为帮助学生理解概念,教学中适当举一些数学命题的例子结合具体的数学命题来学习。

数学上的充分条件和必要条件,与日常生活中的“充分”“必要”的意义很相近,教学中可以适当借助日常生活中“充分条件”“必要条件”的例子,帮助学生理解充分条件和必要条件。

3重点难点
重点:充要条件的概念;
难点:充要条件的概念的理解及判断;
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】1.2.2 充要条件
(一)创设情境,引入课题
【教师活动】有一首歌曲《我是一只鱼》中有句歌词是这样写的“没有你,像离开水的鱼,快要活不下去”。

鱼非常需要水,没了水,鱼就无法生存,但是只有水够吗?如果把“没有水”记作命题p,把“鱼不能生存”记作命题q。

那么p是q的什么条件?。

高中数学人教版选修2-1导学案：1.2.2充要条件(无答案)

1.2.2充要条件【学习目标】1. 理解充要条件的概念；2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.【自主学习】研读教材1.2.2节内容，回答下列问题：1.定义：一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作，此时我们说 p 是q 的条件，简称 . 显然,如果p 是q 的充要条件,那么q 也是p 的条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q 互为条件.2.在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一：（1）若p ⇒q ,但q ≠>p ，则称p 是q 的条件；（2）若p ≠>q ，但q ⇒p ，则称p 是q 的条件；（3）若p ≠>q ，且q ≠>p ，则称p 是q 的条件.（4）若p ⇔ q , 则p 与 q 互为条件.【自主检测】“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【合作探究及展示】探究1下列各题中，哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >(3) p : a b > ， q :a c b c +>+小结：判断是否充要条件的方法（1）p q ⇒且q p ⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题；(3) 用逆否命题转化探究2下列各题中， p 是q 的什么条件？（1）p:-3=0x ，q: ()()-3-4=0x x ；（2）p:-23x ≤，q ：-15x ≤≤；【课堂检测】1. 用充分、必要、充要填空.(1).3x >是5x >的条件(2).3x =是2230x x --=的条件(3).两个三角形全等是两个三角形相似的条件2. 下列命题为真命题的是（）.A.a b >是22a b >的充分条件B.||||a b >是22a b >的充要条件C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件3.下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p 是q 的什么条件？（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行；（2）若数列{a }n 的通项公式是a =n n c +，则数列{a }n 是公差为1的等差数列.（3）若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直.4.在下列各题中, p 是q 的什么条件?(1) p :234x x =+ , q :x(2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --=(3) p : 240(0)b ac a -≥≠ , q :20(0)ax bx c a ++=≠有实数根.(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根， q :0a b c ++=【课堂小结】：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.【课后作业】:课本12P 习题1.2。

数学选修2-1人教A教案导学案充分条件

§1.2.1 充分条件与必要条件自主学习预习课本9-10页，完成下列问题1．一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的条件，q 是p 的条件。

注意：所谓的“充分”，即要使q 成立，有p 成立就足够了；所谓的必“要”，即q 是p 成立的必不可少的条件，缺其不可。

2．若p q ⇒，但q p ⇒，则称p 是q 的条件，q 是p 的条件。

注意：判断充分、必要条件的关键是分清谁是条件，谁是结论，若由条件p 推出结论q 成立，则条件p 是结论q 的充分条件；若由结论q 推出条件p 成立，则条件p 是结论q 的充分条件。

思考:如何从集合的角度去理解充分条件、必要条件概念?自主探究：〖例1〗下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若5x >，则10x >〖例2〗下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >〖例3〗不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分不必要条件是-2<x<-1,则a 的取值范围是( )A. a ≤-2B.a ≥2C.a<-2D.a>2变式：设非空集合 {}2135A x a x a =+≤≤-，{B x y ==则A B ⊆的一个充分不必要条件是（）A ．1≤a ≤9 B. 6<a<9 C. a ≤9 D. 6≤a ≤9课堂小结:巩固练习:1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（）.A.平行四边形对角线相等B.四边形两组对边相等C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直 2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（）.A.0x y +=B.220x y +>C.0x y -=D.330x y +≠3.平面//α平面β的一个充分条件是（）.A.存在一条直线,//,//a a a αβB.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的条件.5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的条件.6. 判断下列命题的真假（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“||||a b >”是“22a b >”的必要条件.7. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q .(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件?(2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?。

高中数学人教A版选修(2-1)1.2.2《充要条件》word导学案

1.2.2充要条件【学习目标】理解充要条件的定义．【自主学习】研读教材1.2.2节内容，回答下列问题：三、已知p：整数a是6的倍数，q:整数a是2和3的倍数.那么p是q的什么条件？q是p的什么条件？（1）上述问题中，p q，故p是q的条件，q是p的条件；另一方面，q p，故p是q的条件，q是p的条件；（2）一般地，如果既有p q，又有q p，就记作，此时我们说p是q的条件，简称： . 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的条件.概括地说,如果p q,那么p 与 q互为条件.2.若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件.在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：14.若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；15.若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；16.若p q，且q p，则p是q的充要条件；17.若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．【自主检测】“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【典型例题】例1下列各题中，哪些p是q的充要条件?（2）p:b＝0，q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（3）p:x ＞ 0,y ＞ 0，q: xy＞ 0；（4）p: a ＞ b ，q: a + c ＞ b + c；例2下列各题中， p 是q 的什么条件？（1）p:-3=0x ，q: ()()-3-4=0x x ；（2）p:-23x ≤，q ：-15x ≤≤；例3仿照教材例4，证明：△ABC 是等边三角形的充要条件是222++=++a b c ab ac bc .【课堂检测】1．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：（1）“m ≠3”是“|m |≠3”的________；（2）“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；（3）“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________；（4）△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的．2．已知{}=A x x p 满足条件，{}=B x x 满足条件q .(1)如果A B ⊆，那么p 是q 的什么条件？(2)如果B A ⊆，那么p 是q 的什么条件？(3)如果=A B ，那么p 是q 的什么条件？。

高二数学 (新课标人教A版)选修2-1《1.2.2充要条件》教案

1.2.2充要条件学生探究过程：1.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．易知：p⇒q，故p是q的充分条件；又q ⇒ p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件２.类比归纳一般地,如果既有p⇒q ，又有q⇒p 就记作 p ⇔ q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.3.例题分析例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，p⇒q ，且q⇒p，即p ⇔ q，故p 是q的充要条件；命题（２）中，p⇒q ,但q ≠>p，故p 不是q的充要条件；命题（４）中，p≠>q ，但q⇒p，故p 不是q的充要条件；命题（５）中，p≠>q ，且q≠>p，故p 不是q的充要条件；４．类比定义一般地，若p⇒q ,但q ≠>p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠>q，但q ⇒p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠>q，且q ≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p⇒q ,但q ≠>p，则p是q的充分但不必要条件；②若q⇒p，但p ≠>q，则p是q的必要但不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p ≠>q，且q ≠>p，则p是q的既不充分也不必要条件．５．巩固练习：P14 练习第 1、2题说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q 的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．６．例题分析例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）即可．证明过程略．例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？７．教学反思：充要条件的判定方法如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题。

人教版高中数学选修2-1充要条件导学案

1.2.2 充要条件【学习目标】1. 理解充要条件的观点；2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充足性又要证明必需性.【要点难点】充要条件的观点【学习过程】一、自主预习（预习教材 P11~ P12，找出迷惑之处）复习 1：什么是充足条件和必需条件?复习 2：p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等. p是q的什么条件 ?二、合作研究，概括展现研究任务一：充要条件观点问题：已知 p ：整数a是6的倍数， q ：整数a是2和3的倍数.那么 p 是 q 的什么条件? q 又是 p 的什么条件?新知：假如p q ,那么 p 与 q 互为试一试：以下形如“若p ，则 q ”的命题是真命题吗？它的抗命题是真命题吗？p 是 q 的什么条件？（1）若平面外一条直线 a 与平面内一条直线平行，则直线 a 与平面平行；（2）若直线 a 与平面内两条直线垂直，则直线a与平面垂直.反省：充要条件的本质是原命题和抗命题均为真命题.三、议论沟通，点拨提高例 1以下各题中 ,哪些p是q 的充要条件?(1)p : b 0 , q:函数 f (x)ax2bx c 是偶函数；(2)p :x0, y 0,q : xy0(3)p :a b ，q : a c b c小结：判断能否充要条件两种方法（1）p q 且 q p ；（2）原命题、抗命题均为真命题；(3)用逆否命题转变 .练习：在以下各题中,p 是 q 的充要条件?(1)p : x2 3 x4,q : x3x4(2)p :x30 ,q : ( x3)( x4) 0(3)p :b24ac0(a 0),q : ax2bx c 0(a 0) 起码有一个实数根。

(4)p :x 1是方程ax2bx c0 的根q : a b c 0例 2 已知：O 的半径为r，圆心O到直线的距离为 d .求证: d r 是直线 l 与O 相切的充要条件 .变式：已知：O 的半径为r，圆心O到直线的距离为 d ，证明:(1)若 d r ，则直线 l 与 O 相切.(2)若直线 l 与O 相切,则 d r小结：证明充要条件既要证明充足性又要证明必需性.四、学能展现，讲堂闯关练 1. 以下各题中p 是 q 的什么条件？（1）p：x 1 ， q ：x 1x 1 ；（2 ）p： | x 2 | 3，q： 1 x 5 ；（3）p：x 2 ， q ：x3 3 x；（4）p：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.练 2. 求圆 (x a) 2( y b)2r 2经过原点的充要条件.※ 知识拓展设 A 、 B 为两个会合，会合 A B 是指x A x B ，则“x A ”与“x B ”互为件 .【课后作业】1. 以下命题为真命题的是（） .A. a b 是a2 b 2的充足条件B. | a | | b |是a2 b 2的充要条件C. x 2 1 是 x 1的充足条件D. 是 tan tan的充要条件2.“ xMN ”是“ x M N ”的（） .A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件3.设 p ： b 24ac 0( a0) ， q ：对于 x 的方程 ax 2bxc 0( a 0) 有实根，则p 是 q 的（） .A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件4. 2 x 25x 3 0 的一个必需不充足条件是（）.1 3B. 1 0A. x x2 12C. 3 xD. 1 x 625. 用充足条件、必需条件、充要条件填空.(1). x 3 是 x 5 的 (2). x3 是 x 2 2x 30 的( 3).两个三角形全等是两个三角形相像的。

高中数学人教A版选修2-1导学案：1.2.1--充分条件和必要条件(无答案)

安阳县二中分校“四步教学法”导学案
A nya ngxian erzhong fenxiao sibujiaoxuefa daoxuean
课题：1．2.1充分条件与必要条件
班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：________
一、自主学习：（1０分钟完成）
1 学习目标
（1）正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；
（2）会判断命题的充分条件、必要条件。

2自学指导（请阅读课本第93页到96页并解决以下问题）
（1）通过实际问题例题总结理解充分条件和必要条件的概念；
（2）应用概念论证命题的充分条件与必要条件；
自学检测（请同学们回答以上问题）
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即,那么我们就说p是q的；q是p的．上面的命题(1)为真命题，即，所以是的充分条件，
是＂的必要条件。

二、合作交流：（1５分钟完成）
1、下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；
（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
2、下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
（1）若x ＝ y，则x2＝ y2；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；。