2018版高中数学小问题集中营专题2.5正弦定理和余弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。
在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。
一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。
这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。
进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。
因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。
2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。
例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。
根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。
计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。
通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。
它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。
二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用鉴于题目为"余弦定理与正弦定理的应用"，本文将探讨以余弦定理和正弦定理为基础的数学应用，展示它们在解决几何问题中的重要性和实用性。
一、余弦定理的应用余弦定理是三角学中的基本定理之一，它描述了一个三角形的边与角之间的关系。
余弦定理的数学表达式如下：c² = a² + b² - 2ab·cosC其中，a、b为三角形的两边，C为这两边间的夹角，c为三角形的对边。
1. 三角形边长的计算利用余弦定理，我们可以根据已知的角度和两边长度，计算出第三边的长度。
这对于解决实际问题具有重要意义。
例如，在导航中，我们可以通过已知两个位置和与之相对应的夹角，计算两地之间的距离。
2. 计算三角形的角度除了计算边长，余弦定理还可以用于求解三角形内的角度。
当我们已知三角形的三边时，可以利用余弦定理求解其中一个角的度数。
这在地质勘探、天文学等领域中具有广泛应用。
二、正弦定理的应用正弦定理也是解决三角形问题中常用的定理之一。
正弦定理描述了一个三角形的边与角之间的关系。
正弦定理的数学表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的三条边，A、B、C为对应的角。
1. 钝角三角形的侧边和角度计算当三角形中存在一个钝角时，可以利用正弦定理计算该三角形的边长和角度。
这对于建筑设计、航海测量等领域具有实际应用。
例如，在房屋设计中，当一个空间的角度不为90度时，我们可以利用正弦定理计算出相应的边长和其他角度的大小。
2. 解决无直角的三角形问题正弦定理的另一个重要应用是解决不含有直角的三角形问题。
在实际生活和工程中，我们常常遇到不能直接利用余弦定理求解的三角形问题。
在这种情况下，正弦定理提供了一种可行的解决方法。
总结：余弦定理和正弦定理是数学中重要的定理，它们的应用广泛，涵盖了多个领域。
通过利用余弦定理和正弦定理，我们可以计算三角形的边长和角度，解决实际问题，满足测量和设计的需求。
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是数学中的两个重要的三角函数定理，它们在解决各种几何和数学问题时具有广泛的应用。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的公式及其应用，帮助读者更好地理解和运用这两个定理。
一、余弦定理的应用余弦定理是解决三角形中边和角之间关系的重要定理。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，那么根据余弦定理可以得出以下公式：a² = b² + c² - 2bc·cosAb² = a² + c² - 2ac·cosBc² = a² + b² - 2ab·cosC余弦定理可以用来求解未知边长或角度的问题。
下面通过几个实际问题来展示余弦定理的应用。
【例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和6cm，夹角为60°，求第三边的长度。
解：根据余弦定理，可得c² = 5² + 6² - 2×5×6·cos60°c² = 25 + 36 - 60c² = 61c = √61因此，第三边的长度约为7.81cm。
【例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为30°，求夹角的余弦值。
解：根据余弦定理，可得cosA = (7² + 9² - 2×7×9·cos30°) / (2×7×9)cosA = (49 + 81 - 63) / 126cosA = 67 / 126所以，夹角A的余弦值约为0.532。
二、正弦定理的应用正弦定理是另一个求解三角形边与角关系的重要定理。
与余弦定理类似，设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，那么根据正弦定理可以得出以下公式：a / sinA =b / sinB =c / sinC通过正弦定理可以求解未知边长或角度的问题。
2018版高中数学小问题集中营专题2.6正弦定理余弦定理与不等式20180109355
专题2.6 正弦定理、余弦定理与不等式一、问题的提出正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发. 二、问题的探源 1. 基本不等式,)a b a b R ++≥∈，2()(,)4a b ab a b R +≤∈，222(,)a b ab a b R +≥∈，222a b ab +≤ (,)a b R ∈，222()22a b a b ++≥． 2. 正弦定理和余弦定理 略三、问题的佐证 一、面积的范围问题例1ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，已知cos sin a b C c B =+，且2b =，则ABC ∆面积的最大值是__________．1二、周长的范围问题例2在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3C π=．（1）当2sin 2sin(2)sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积； （2）求ABC ∆周长的最大值；三、利用消元法确定三角形中的范围问题例3在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos B C b c +=，cos 2B B =，则a c +的取值范围是( )A. ⎝B. 32⎛ ⎝C. ⎣D. 32⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】()c o s csi n i nB C A c bbcC+=∴()sincos 2212sin sin 323sin A bb B B B R ac R A C Bπ∴=+=∴=∴==∴+=+231sin sin sin 032626A A A A A A ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+-==+<<∴<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2636A A a c πππ⎛⎫+<<+≤<+≤ ⎪⎝⎭。
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。
本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。
一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。
在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。
我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。
按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。
2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。
余弦定理同样可以解决这个问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。
我们想要求解夹角C的大小。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。
余弦定理及正弦定理的应用
余弦定理及正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
它们被广泛应用于测量、导航、工程等领域。
下面将分别介绍余弦定理和正弦定理，并说明它们在实际应用中的具体运用。
一、余弦定理余弦定理描述了一个三角形的边与夹角之间的关系。
对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。
根据余弦定理，可以得到以下等式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理可以用于解决以下问题：1. 测量三角形边长：如果已知三角形的两个边长和它们之间的夹角，可以利用余弦定理计算出第三条边的长度。
2. 计算三角形的夹角：如果已知三角形的三条边长，可以利用余弦定理的逆运算求解三个夹角的大小。
3. 解决航海导航问题：根据已知的方位角和航程，可以利用余弦定理计算船只的坐标位置。
二、正弦定理正弦定理描述了三角形边与其对应角的正弦值之间的关系。
对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。
根据正弦定理，可以得到以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于解决以下问题：1. 求解三角形的面积：如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解三角形的面积。
2. 判定三角形类型：根据三边的长度和正弦定理，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
3. 解决建筑工程问题：在建筑测量中，需利用正弦定理计算高度、距离等未知量。
综上所述，余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
通过运用这些定理，我们可以计算三角形的边长、夹角，求解三角形的面积，判断三角形的类型等。
在测量、导航、工程等领域，都离不开这两个定理的应用。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。
本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。
一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。
它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。
例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。
通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。
同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。
通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。
例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。
通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。
由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用在数学中，余弦定理和正弦定理是解决三角形的边长和角度关系的重要工具。
它们的应用范围广泛，不仅限于几何学，还可以在物理学、工程学以及实际生活中的各种测量和计算问题中使用。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的基本原理，并通过一些实际应用例子来展示它们的实用性。
一、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们所对的角之间存在着一个关系，即：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b、c为三角形的三条边，C为夹角。
该定理可以用于计算三角形的边长或夹角大小，特别适用于已知两边和夹角，求解第三边或第三个角的情况。
例如，我们有一个三角形，已知两条边分别为a=5cm，b=7cm，夹角C为60度。
我们可以利用余弦定理来计算第三条边c的长度：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2×5×7×cos60°c^2 = 25 + 49 - 70×0.5c^2 = 24c = √24c ≈ 4.9cm通过余弦定理，我们可以得到这个三角形的第三边c约为4.9cm。
除了计算边长，余弦定理还可以用于计算三角形的角度。
例如，我们有一个三角形，已知三边分别为a=6cm，b=8cm，c=10cm。
我们可以利用余弦定理来计算各个角的大小：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)通过上述公式，我们可以求得角A，角B和角C的余弦值，再利用反余弦函数求得它们的度数。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，三条边和对应的角的正弦之间存在着一个关系，即：a / sinA =b / sinB =c / sinC正弦定理可以用于解决已知一个角和与之对应的两个边，求解其他角和边长的问题。
例如，我们有一个三角形，已知角A为30度，边a为5cm，边b 为7cm。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理在三角学及相关领域中具有广泛的应用，通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题。
以下是关于正弦定理和余弦定理的应用的详细探讨。
一、正弦定理的应用正弦定理是三角学中的一个基本定理，它表达了三角形中任意一边与其对应的角的正弦值之间的关系。
正弦定理在实际应用中具有广泛的用途，以下是几个具体的应用示例：1. 航海与测量：在航海和大地测量中，正弦定理被用来计算地球上两点之间的距离。
由于地球表面可以近似为一个球体，因此可以通过测量两点的纬度和经度，利用正弦定理计算出两点之间的实际距离。
2. 电气工程：在电气工程中，正弦定理被用来分析交流电路中的电压、电流和电阻之间的关系。
通过正弦定理，我们可以推导出各种电气元件（如电阻、电容和电感）的等效电路模型，从而简化电路分析。
3. 通信与信号处理：在通信和信号处理领域，正弦定理被用来分析信号的频谱特性和传输特性。
通过正弦定理，我们可以将复杂的信号分解为一系列正弦波的组合，从而更容易地理解和处理信号。
二、余弦定理的应用余弦定理是另一个重要的三角定理，它表达了三角形中任意一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边夹角的余弦值乘以这两边乘积的2倍。
余弦定理同样具有广泛的应用，以下是几个具体的应用示例：1. 几何学：在几何学中，余弦定理被用来解决与三角形边长和角度相关的问题。
例如，在已知三角形的两边及其夹角时，我们可以利用余弦定理求出第三边的长度。
此外，余弦定理还可以用于判断三角形的形状（如锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）以及求解三角形的内角。
2. 物理学：在力学中，余弦定理被用来求解连接杆件的长度和角度问题。
例如，在机器人学和机械设计中，我们需要确定各个杆件之间的相对位置和角度，以便实现预期的运动轨迹。
余弦定理可以帮助我们解决这个问题。
此外，余弦定理还在许多其他领域中得到应用，如航空航天、土木工程、计算机图形学等。
在这些领域中，余弦定理通常被用来求解与空间几何和三维变换相关的问题。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。
它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。
在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。
一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。
正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。
2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。
3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。
4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。
由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。
二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。
它可以用来求解三角形的边长或角度。
余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
2018版高中数学小问题集中营专题2.5正弦定理和余弦定理的应用20180109356
专题2.5 正弦定理和余弦定理的应用一、问题的提出高考试卷对正弦定理和余弦定理的考查一直是重点、热点，基础题型是通过边角转化后与三角恒等变换的结合，难点题目是与基本不等式及其他知识点的结合，本文从多角度分析其应用，希望能给学生带来启发。
二、问题的探源1．正弦定理a b c(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2Rsin A sin B sin C．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；a b c②sin A＝，sin B＝，sin C＝；2R2R2R③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 a2＋b2－c2(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝2bc2ca2ab三、问题的佐证1.判断三角形解的个数问题例1. △ABC中，已知a x，b 2 ，B60，如果△ABC有两组解，则x的取值范围（）A. x 2B. x 2C. 2 4 3D. 2 4 3x x3 3【答案】D1∴利用正弦函数的图象可得：60°＜A＜120°，若A=90，这样补角也是90°，一解，不合题意，3＜sinA＜1，2∵x=4 33s inA，则2＜x＜4 33故选D．2．三角形的面积问题例2.已知A ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，b2 ，则A ABC的面积为( )B ，sin2C 1，sin2C 1，6 1cos2CA. 2 3 2B. 2 3 2C. 3 1D. 3 1【答案】Dsin2C【解析】由1C，化简可得2sinCcosC 2cos2C，得tanC1，即1cos2Ca b c由正弦定理：＝＝，sinA sinB sinC．4可得c 2 2，a 6 2A的面积 1 3 1ABC SabsinC．2故选D．1 1 1 【评注】三角形的面积公式为三角形面积公式S△＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，一般情况根2 2 2据已知哪个角，选哪个面积为宜．三角形面积问题经常与余弦定理结合考查.cos B b例3. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.cos C2a＋c(1)求B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 cos B b解：(1)由余弦定理知，co s B＝，cos C＝，将上式代入＝－得2ac2ab cos C2a＋c a2＋c2－b2 2ab b a2＋c2－b2 －ac ·＝－，整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B＝＝2ac a2＋b2－c2 2a＋c2ac2ac 1＝－.22 ∵B为三角形的内角，∴B＝π.322 2(2)将 b ＝ 13，a ＋c ＝4，B ＝ π 代入 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 13＝42－2ac －2ac cos π，解 3 3 得 ac ＝3.1 3 3∴S △ABC ＝ ac sin B ＝ .2 4【评注】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅 速解答本题的关 键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 3. 判断三角形形状问题 例 4. 在A ABC 中，若 则A ABC 的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】因为 2cos B sin A ＝sin C ，所以 2×ac b 2222ac·a ＝c ， 所以 a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．4.边角转化问题例 5. 已知A ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 3a cos C2c cos A ，1tan A ，则 B____________．3 3【答案】4点睛：本题主要考查了解三角形的综合应用问题，其中解答中涉及正弦定理、同角三角函数3基本关系式，两角和差的正切公式、诱导公式等知识点的综合运用，着重考查了学生推理能力 和运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中利用正弦定理，求得 tan C 的值是 解答的关 键． 四、问题的解决 1．在△ ABC 中，若 B 30 ， AB 2 3 ， AC 2 ，则△ ABC 的面积为（）A. 3B. 2 3 或 2C. 2 3D. 2 3 或 3【答案】D2.在ABC 中，内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ，若 6a cos B 0b2.在ABC 中，内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ，若 6a cos Bsin45 sinA，则 B（ ）A.30B. 45C.135D.150【答案】D【 解 析 】 因 为a cos B6bsin45 sinA所 以2sin A cos B6sin B 0 化 简得 sin A3tan BB 150o3故选D3．在锐角ABC中，角A，B，C对应的边分别是a、b、c，向量a sin C, tan A，4bA A ，且 a bcos Acos C ，则 c btan , sina的取值范围是（）A.21, 21B. 12,23C. 12,13D.2,3【答案】B【解析】a b cos A cos C ,cos A cos C cos A sinAsin A sin C ,cos Asin Acos A cos C sin A sin C ,cos2Acos A Ccos B ,B 2A ,22因 为△ABC 是锐角三角形，所以0 C,0 B 2A, B A3A ,A, A , 2 22664由正弦定理，可得：23A,cos A, 1 2 4cos A 2cos A 1 23.26422本题选择 B 选项. 4．在 ABC 中， a 2c 2b 2 2ac ， 2cos A cos C 的最大值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】因为 a2c2b22ac ，所以cos B a 2 c 2b 2 2，因为 0, 2ac2BB4， 所 以2 22cos A cos C 2cos A cos A sin A cos A sin A42 24，3时，取最 大值 1。
正弦定理、余弦定理应用
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是三角形中另一个重要的定 理，它描述了三角形各边与其对应角 的余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理指出，在任何三角形ABC中，边 长a、b、c与对应的角A、B、C的余弦值 之比都相等，即：a/cosA = b/cosB = c/cosC。这个定理可以通过三角形的相似 性质和直角三角形的勾股定理来证明。
计算三角函数值
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出其他角的正弦值。
在物理问题中的应用
计算振动频率
在振动问题中，可以利用正弦定理求 出振动的频率。
解决波动问题
在波动问题中，可以利用正弦定理分 析波的传播规律。
03
余弦定理的应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
01
通过余弦定理可以判断三角形是否为直角三角形、等腰三角形
物理问题中的综合应用
1 2
振动和波动问题
利用正弦定理和余弦定理，可以解决一些与振动 和波动相关的物理问题，如简谐振动、波动传播 等。
交流电问题
通过正弦定理和余弦定理，可以解决一些与交流 电相关的物理问题，如电流、电压、功率等。
3
光学问题
利用正弦定理和余弦定理，可以解决一些与光学 相关的物理问题，如光的反射、折射等。
02
正弦定理的应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
通过正弦定理可以判断三角形是直角三角形、等 腰三角形还是一般三角形。
计算角度
利用正弦定理可以求出三角形中未知的角度。
计算边长
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求 出第三边的长度。
在三角函数问题中的应用
求解三角函数方程
利用正弦定理可以将三角函数方程转化为代数方程，从而求解。
数学解题技巧之余弦定理与正弦定理的应用
数学解题技巧之余弦定理与正弦定理的应用在数学解题中，余弦定理与正弦定理是两个非常重要且经常被使用的定理。
它们能够帮助我们求解各种三角形相关的问题。
本文将探讨余弦定理与正弦定理的定义、应用以及解题技巧。
一、余弦定理余弦定理是描述三角形边与角之间关系的定理。
它可以用来解决一些已知三边或两边一角的三角形问题。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。
则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，^2表示乘方，cosC表示角C的余弦值。
余弦定理可以应用于以下几种情况：1. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用余弦定理计算角A、角B、角C的大小。
2. 已知两边一角求边长：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的长度。
3. 已知两边和夹角求第三边：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的可能范围。
二、正弦定理正弦定理也是解决三角形相关问题的重要工具。
它可以描述三角形的边和角之间的关系。
对于一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用有以下几种情况：1. 已知两角一边求另外一边：如果已知三角形的两个角A、B和一边c的长度，我们可以利用正弦定理计算另外两个边a、b的长度。
2. 已知两边一角求角度：如果已知三角形的两个边长a、b和夹角C 的大小，我们可以利用正弦定理计算另外两个角A、B的大小。
3. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用正弦定理计算三个角A、B、C的大小。
三、解题技巧1. 判断何时使用余弦定理或正弦定理：根据已知条件的不同，确定使用何种定理。
如果已知两边一角，则通常使用余弦定理；如果已知两角一边，则通常使用正弦定理。
正弦定理和余弦定理应用
判断三角形形状
通过余弦定理可以判断三角形是否为直角三余弦定理，可以计算三角形的面积。
余弦定理在物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，余弦定理可以用于 解决力的合成与分解问题。
振动问题
在振动分析中，余弦定理可以用于解决与振动相 关的物理问题，例如弹簧振荡器。
说明
a、b为三角形的两边长，C为这两边所夹的 角度。
力的合成与分解
总结词
利用正弦定理和余弦定理，可以将一个力分解为多个分力，也可以将 多个分力合成一个力。
详细描述
在力的合成与分解中，通过正弦定理和余弦定理可以确定分力的大小 和方向，从而解决力的合成与分解问题。
公式
F = ma
说明
F为力的大小，m为质量，a为加速度。
光的反射与折射
总结词
利用正弦定理和余弦定理，可以计算出光 的反射角和折射角。
公式
n1 * sin(i) = n2 * sin(r)
详细描述
在光的反射和折射中，通过正弦定理和余 弦定理可以确定入射角、反射角和折射角 的关系，从而计算出具体的角度值。
说明
n1、n2分别为两种介质的折射率，i为入 射角，r为折射角。
重要性及应用领域
重要性
正弦定理和余弦定理是三角函数理论中的核心内容，是解决三角形问题的基本工具，对于理解三角形的属性和解 决相关问题具有重要意义。
应用领域
正弦定理和余弦定理在几何学、物理学、工程学、天文学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，它们被用 于描述振动、波动和力的分布；在工程学中，它们被用于设计和分析桥梁、建筑和机械等结构；在天文学中，它 们被用于计算行星和卫星的运动轨迹。
05
总结与展望
高中数学学习中的正弦定理与余弦定理运用
高中数学学习中的正弦定理与余弦定理运用正弦定理与余弦定理是高中数学学习中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起到了关键作用。
正弦定理和余弦定理广泛运用于测量和计算角度、边长和面积等方面。
在高中数学学习中，学生们需要熟练掌握并灵活运用这两个定理，以解决各种数学问题。
首先，正弦定理是描述三角形边与其对应的角之间的关系的定理。
对于任意三角形ABC，边a、b和c分别与角A、B和C对应。
正弦定理的表达式是：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
该定理可以用于计算未知边长或角度的数值。
例如，当我们知道三角形的两个角和一个边长时，可以使用正弦定理来计算未知边长。
同样地，当我们知道三角形的两个边长和一个角度时，也可以使用正弦定理来计算未知角度。
正弦定理在解决不规则三角形的测量问题时非常有用。
与正弦定理相似，余弦定理也是用于描述三角形边与其对应的角之间的关系的定理。
对于任意三角形ABC，边a、b和c分别与角A、B和C对应。
余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
该定理可以用于计算三角形任意边长的平方值，当我们知道边长和夹角时，可以使用余弦定理计算另一边的长度。
正弦定理和余弦定理的应用非常广泛。
在实际生活中，我们经常需要使用这两个定理来解决与三角形相关的问题。
例如，在测量高楼大厦的高度时，我们可以利用正弦定理计算出无法直接测量的高度。
同样地，在测量河流宽度时，我们可以利用余弦定理计算出河的宽度。
这些应用展示了这两个定理的实际价值。
在数学考试中，正弦定理与余弦定理也经常被考查。
题目通常要求学生根据已知条件，使用这两个定理计算未知量。
因此，学生们需要熟练掌握这两个定理的公式和用法。
为了更好地掌握，学生们可以多做相关的练习题，加深对这两个定理的理解和运用能力。
另外，正弦定理和余弦定理还有一些衍生应用。
比如，通过这两个定理，我们可以推导出海伦公式。
海伦公式用于计算任意三角形的面积，根据三边长a、b和c，海伦公式的表达式为：面积 = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s是半周长（s=(a+b+c)/2）。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用三角学是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，尤其是测量学中。
而正弦定理和余弦定理作为三角学中的基本定理，具有重要的实际应用价值。
本文将探讨正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用。
1. 正弦定理的应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
根据这个定理，我们可以得到以下几个实际问题中的应用。
1.1 测量高度正弦定理常用于测量无法直接得到的高度。
例如，在测量一棵树的高度时，我们可以站在树的底部和树的顶部，分别测量出与水平线的夹角，然后利用正弦定理可以求得树的高度。
这种方法在工程测量、地理测量等领域也得到广泛应用。
1.2 三角形的边长比较正弦定理可以用于比较三角形的边长。
例如，在一个三角形中，已知两个角的大小和一个边的长度，我们可以利用正弦定理求得另外两个边的长度。
这对于解决实际问题中的边长比较非常有帮助。
1.3 解决航空、航海等问题正弦定理在航空、航海、导弹制导等领域也有着广泛的应用。
通过测量角度、距离等信息，可以利用正弦定理计算出目标的位置、飞行轨迹等重要参数，从而更好地实现对目标的监控和控制。
2. 余弦定理的应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC。
以下是余弦定理的一些实际应用。
2.1 测量距离余弦定理可以用于测量两点之间的距离。
例如，在航海中，通过测量其中一个角度、两点间的距离和另一个角度，可以利用余弦定理求得两个点之间的距离。
这对于制定航线、航行安全等都起着重要的作用。
2.2 三角形的面积计算余弦定理可以用于计算三角形的面积。
已知三角形的三边长度a、b、c，以及两个角的大小A、C，可以利用余弦定理计算出三角形的面积。
这在建筑、地理等领域中都有重要的应用。
2.3 解决物理问题余弦定理在物理学中也有广泛的应用。
正弦定理与余弦定理的使用
正弦定理与余弦定理的使用数学是一门需要掌握基本概念和公式的学科，而在初中数学中，正弦定理和余弦定理是非常重要的两个定理。
它们可以帮助我们解决各种与三角形相关的问题，比如求边长、角度等。
在本文中，我将详细介绍正弦定理和余弦定理的使用方法，希望能够帮助中学生及其家长更好地理解和应用这两个定理。
一、正弦定理的使用正弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。
具体公式如下：\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]利用正弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知两边和夹角，求第三边长度例如，已知三角形ABC中，边AB=5cm，边AC=7cm，夹角BAC为60度，求边BC的长度。
根据正弦定理，我们可以得到：\[\frac{BC}{\sin 60^\circ}=\frac{5}{\sin B}\]进一步化简，得到：\[BC=\frac{5\sin 60^\circ}{\sin B}\]由此，我们可以利用三角函数表或计算器求得角B的正弦值，然后代入上式计算得到BC的长度。
2. 已知两边长度和夹角，求第三边夹角例如，已知三角形ABC中，边AB=3cm，边BC=4cm，夹角ABC为45度，求角BAC的度数。
根据正弦定理，我们可以得到：\[\frac{3}{\sin B}=\frac{4}{\sin 45^\circ}\]进一步化简，得到：\[\sin B=\frac{3\sin 45^\circ}{4}\]通过求解这个方程，我们可以得到角B的正弦值，然后利用反正弦函数求得角B的度数。
二、余弦定理的使用余弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。
具体公式如下：\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\]利用余弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知三边长度，求夹角的余弦值例如，已知三角形ABC中，边AB=5cm，边BC=7cm，边AC=9cm，求角B 的余弦值。
正弦、余弦定理与应用
正弦、余弦定理与应用正弦、余弦定理是解决三角形中各边和角关系的重要工具。
在几何学和三角学中，它们被广泛应用于测量和计算问题。
本文将介绍正弦、余弦定理的概念及其应用，并通过实例展示其有效性。
一、正弦定理正弦定理是解决三角形中边和角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用可以帮助我们求解未知边或未知角。
例如，给定一个三角形的两边长度和它们之间的夹角，我们可以通过正弦定理计算出第三边的长度。
例如，假设三角形ABC，已知边AB的长度为5，边AC的长度为7，夹角BAC的大小为30°。
应用正弦定理，我们可以得到：5/sin30° = 7/sinBAC通过代入数值并解方程，我们可以求得角BAC的大小。
正弦定理使我们能够通过已知边长和夹角大小来计算其他边长和角度。
二、余弦定理余弦定理是另一个用于三角形中边和角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC通过余弦定理，我们可以计算三角形中的边长或角度。
例如，已知三角形ABC的两边长度分别为3和4，夹角C的大小为60°，我们可以通过余弦定理计算第三边的长度。
应用余弦定理，我们可以得到：c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos60°通过计算，我们可以求得第三边的长度c。
余弦定理在解决三角形中边和角关系时非常有用，特别是当仅已知两边和它们之间的夹角时。
三、应用案例正弦、余弦定理广泛应用于测量和计算相关问题。
以下是一些实际应用案例：1. 三角测量：正弦、余弦定理可以用于三角形测量中。
例如，在地理测量中，通过测量三角形的边长和角度可以确定地球上两点之间的距离。
2018版高中数学 小问题集中营 专题2.5 正弦定理和余弦定理的应用
专题2.5 正弦定理和余弦定理的应用一、问题的提出高考试卷对正弦定理和余弦定理的考查一直是重点、热点，基础题型是通过边角转化后与三角恒等变换的结合，难点题目是与基本不等式及其他知识点的结合，本文从多角度分析其应用，希望能给学生带来启发。
二、问题的探源 1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R．其中R 是三角形外接圆的半径． (2)正弦定理的其他形式：①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝.若令C ＝90°，则c 2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab三、问题的佐证1.判断三角形解的个数问题例1. △ABC 中，已知a x =， 2b =， 60B =，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围（ ）A. 2x >B. 2x <C. 2x <≤2x <<【答案】D∴利用正弦函数的图象可得：60°＜A ＜120°，若A=90，这样补角也是90°，一解，不合题意， ＜sinA ＜1，∵x=3sinA ，则2＜x ＜3故选D ．2．三角形的面积问题例2. 已知ABC ，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、， 2b =， 6B π=，sin211cos2CC=+，则ABC 的面积为( )A. 2B. 21 D. 1 【答案】D【解析】由sin211cos2C C =+，化简可得222sinCcosC cos C =，得1tanC =，即4C π=．由正弦定理： a b csinA sinB sinC＝＝，可得c a ==ABC ∴ 的面积112S absinC ==．故选D ．【评注】三角形的面积公式为三角形面积公式S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，一般情况根据已知哪个角，选哪个面积为宜．三角形面积问题经常与余弦定理结合考查. 例3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，co s B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.3∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评注】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 3. 判断三角形形状问题 例4. 在ABC 中，若则ABC 的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形 【答案】B【解析】因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×2222a c b ac+-·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．4.边角转化问题例5. 已知ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若3cos 2cos a C c A =， 1tan 3A =，则B = ____________．【答案】34π点睛：本题主要考查了解三角形的综合应用问题，其中解答中涉及正弦定理、同角三角函数基本关系式，两角和差的正切公式、诱导公式等知识点的综合运用，着重考查了学生推理能力和运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中利用正弦定理，求得tan C 的值是解答的关键．四、问题的解决1．在△ABC 中，若30B ∠=， AB = 2AC =，则△ABC 的面积为（）B. C. 【答案】D2.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos 0sin45sin a BA+=，则B =（ ）A. 30B. 45C. 135D. 150【答案】Dcos 0sin45sin a BA+=cos 0sin A B B A += 化简得tan 150o B B == 故选D3．在锐角ABC ∆中，角A ， B ， C 对应的边分别是a 、b 、c ，向量()sin ,tan a C A =， ()tan ,sin b A A =，且cos cos a b A C ⋅=+，则c ba+的取值范围是（ ）A.()21,21-+ B. (1 C. (1+ D.【答案】B 【解析】()()cos cos ,cos cos cos sin sin sin ,a b A C A C A A A C ⋅=+∴+=⋅+5()22cos sin cos cos sin sin ,cos2cos cos ,2,A A A C A C A A C B B A ∴-=-+∴=-+=∴=因为△ABC是锐角三角形，所以0,02,3,,,222664C B A B A AAA ππππππππ<<<=<∴--=-∴∴<<由正弦定理，可得：2,cos 14cos 2cos 126422A A A A ππ<<<<∴+<+-<+ 本题选择B 选项.4．在ABC ∆中，222a cb +=+，cos A C +的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】因为222a cb +=，所以222cos 22ac b B ac+-==，因为()0,4BB ππ∈∴=，所以cos cos cos sin 4224A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，30,,444A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当A+=42ππ时，取最大值1。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用正弦定理与余弦定理是中学数学中常见且常用的公式之一。
这两个公式的应用非常广泛，从三角形的测量和构建到机械工程和电子学都可以看到它们的身影。
本文将介绍正弦定理和余弦定理的概念及其应用。
一、正弦定理正弦定理用于求三角形中的一个角的正弦值，通常用于确定三角形的大小和形状。
正弦定理说：一个三角形的任何一条边与该边所对面的角的正弦成比例。
也就是说，如果一个三角形有三个边a、b和c，分别对应的角为A、B和C，则有：sin A / a = sin B / b = sin C / c现在我们考虑一个具体的示例。
假设我们想找到一个三角形中的一个角，已知它所对面的边为10，另外两条边分别为8和6。
我们可以通过正弦定理来解决这个问题：sin A / 10 = sin B / 8 = sin C / 6我们知道，正弦函数的值是相对边与斜边的比值。
因此，我们可以用三角形的边长长度和正弦函数的值来解出角A、B和C的值。
具体操作方法可以参考三角函数表。
正弦定理的应用不仅仅限于求解角的大小，还可以用于确定三角形的面积。
面积等于1/2ab sin C。
因此，如果我们知道三角形的三个边长，则可以通过正弦定理来计算它的面积。
二、余弦定理该定理源于海伦定理（三角形面积公式），后被欧拉称之为余弦定理。
它通常用于确定三角形中的一个角的余弦值。
与正弦定理不同的是，余弦定理提供了一种更加通用的方法来计算三角形中的一个角的大小。
余弦定理说：一个三角形的每个角的余弦都等于在该角的两条边的平方和与这两条边所对的夹角的余弦乘积，再用它们的和减去这个余弦乘积。
即：cos A = (b² + c² - a²) / 2bc 或者 a² = b² + c² - 2bc cos A。
如果我们知道三角形的三个边长，则可以使用余弦定理来计算其各角的大小。
与正弦定理一样，余弦定理同样可用于计算面积。
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专题2.5 正弦定理和余弦定理的应用一、问题的提出高考试卷对正弦定理和余弦定理的考查一直是重点、热点，基础题型是通过边角转化后与三角恒等变换的结合，难点题目是与基本不等式及其他知识点的结合，本文从多角度分析其应用，希望能给学生带来启发。
二、问题的探源 1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R．其中R 是三角形外接圆的半径． (2)正弦定理的其他形式：①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝.若令C ＝90°，则c 2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab三、问题的佐证1.判断三角形解的个数问题例1. △ABC 中，已知a x =， 2b =， 60B =，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围（ ）A. 2x >B. 2x <C. 2x <≤2x <<【答案】D∴利用正弦函数的图象可得：60°＜A ＜120°，若A=90，这样补角也是90°，一解，不合题意， ＜sinA ＜1，∵，则2＜x 故选D ．2．三角形的面积问题例2. 已知ABC ，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、， 2b =， 6B π=，sin211cos2CC=+，则ABC的面积为( )A. 2B. 21 D. 1 【答案】D【解析】由sin211cos2C C =+，化简可得222sinCcosC cos C =，得1tanC =，即4C π=．由正弦定理： a b c sinA sinB sinC＝＝，可得c a ==ABC ∴ 的面积112S absinC ==． 故选D ．【评注】三角形的面积公式为三角形面积公式S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，一般情况根据已知哪个角，选哪个面积为宜．三角形面积问题经常与余弦定理结合考查. 例3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，co s B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评注】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 3. 判断三角形形状问题 例4. 在ABC 中，若则ABC 的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形 【答案】B【解析】因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×2222a c b ac+-·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．4.边角转化问题例5. 已知ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若3cos 2cos a C c A =， 1tan 3A =，则B = ____________． 【答案】34π点睛：本题主要考查了解三角形的综合应用问题，其中解答中涉及正弦定理、同角三角函数基本关系式，两角和差的正切公式、诱导公式等知识点的综合运用，着重考查了学生推理能力和运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中利用正弦定理，求得tan C 的值是解答的关键．四、问题的解决1．在△ABC 中，若30B ∠=， AB = 2AC =，则△ABC 的面积为（）【答案】D2.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos 0sin45sin a BA+=，则B =（ ）A. 30B. 45C. 135D. 150 【答案】Dcos 0sin45sin a B A +=0B = 化简得tan 150o B B == 故选D3．在锐角ABC ∆中，角A ， B ， C 对应的边分别是a 、b 、c ，向量()sin ,tan a C A =， ()tan ,sin b A A =，且cos cos a b A C ⋅=+，则c ba+的取值范围是（ ）A.()21,21-+ B. (12+ C. (1+ D.【答案】B 【解析】()()cos cos ,cos cos cos sin sin sin ,a b A C A C A A A C ⋅=+∴+=⋅+()22cos sin cos cos sin sin ,cos2cos cos ,2,A A A C A C A A C B B A ∴-=-+∴=-+=∴=因为△ABC是锐角三角形，所以0,02,3,,,222664C B A B A AAA ππππππππ<<<=<∴--=-∴∴<<由正弦定理，可得：2,cos 14cos 2cos 12642A A A A ππ<<<<∴<+-<+ 本题选择B 选项.4．在ABC ∆中， 222a cb +=+，cos A C +的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】因为222a cb +=，所以222cos 2ac b B ac +-==，因为()0,4B B ππ∈∴=，所以cos cos sin 44A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，30,,444A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当A+=42ππ时，取最大值1。
故选A 。
5．在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且60A =︒， 1b =，这个三角形的面积ABC 外接圆的直径是（ ）【答案】D6．在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且1a =， b = 30A =︒，则B =（ ）A. 60︒或120︒B. 60︒C. 120︒D. 30︒或150︒ 【答案】A7．在△ABC 中，，则这个三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角D. 等腰或直角三角形 【答案】A【解析】在△ABC 中，，由正弦定理可得：，即.又. 所以，即.有.所以△ABC 为等腰三角形. 故选A.8．钝角三角形的三边为a ， 1a +， 2a +，其最大角不超过120︒，则a 的取值范围是（ ） A. 03a << B. 332a ≤< C. 23a <≤ D. 512a ≤< 【答案】B【解析】钝角三角形的三边分别是a ，a+1，a+2，其最大内角不超过120°，∴()()()()22212{ 1210212a a a a a a a a +++++-+≥-⋅+＞＞，解得332a ≤＜，故选B ．9．已知ABC2AC =， 60BAC ∠=，则ACB ∠= ( ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 150 【答案】A10．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且22233sin a b c A =+-，则C =（ ）A.3π B. 6π C. 4π D. 23π 【答案】B【解析】由余弦定理可得： 2222cos a b c bc A =+-又22233sin a b c A =+-∴222233sin 2cos b c A b c bc A +-=+-即22cos 2sin 6b c A A bc π+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 又222b c b c bc c b +=+≥， 2sin 26A π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭ ∴b c 62A ππ=-=，∴C =6π故选：B11．若ABC ∆为钝角三角形，三边长分别为2,3,x ，则x 的取值范围是（ ）A. (B. )C.D. ()⋃【答案】D12．在锐角ABC ∆中， ,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边， ABC ∆的面积2S =，且满足()cos 1cos a B b A =+，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是__________．【答案】()8,8 【解析】在锐角△ABC 中,∵a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,满足a cos B =b (1+cos A )， ∴sin A cos B =sin B +sin B cos A ,sin(A −B )=sin B ， ∴A −B =B ,即A =2B <2π,∴B ∈(0, 4π),∴A +B =3B >2π∴B >6π∴6π<B<4π,42C ππ<< 14sin 22sin S ab C ab C==⇒=()()()()22222822cos 21cos sin c a b c b a c a b c a b ab ab C ab C C+-+-=--=--+=-+=-282sin 28tan 22sin cos 22CC ⨯== 42C ππ<< 1tan 12C<<()()18c a b c b a +-+-∈（，）,故选A 13．在斜三角形ABC 中， D 为BC 的中点，且090BAD C ∠+∠=，则BC∠∠的值是__________． 【答案】114．已知平面四边形ABCD 是由ABC 与等腰直角ACD 拼接而成，其中90ACD ∠=︒， AC CD =，1AB BC ==，则当点B 到点D 的距离最大时，角B 的大小为__________．【答案】34π 【解析】如图，B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， cos ,sin A θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin cos D θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2222828sin cos334BD πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当34πθ=时， BD 最大，即角B 的大小为34π。