2020高考理科数学考前最后一卷解析版 (10)
2020年高考考前最后一卷-理科数学全解析版(新课标I卷) (6)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为P ，1PF 交另一条渐近线于Q ，且Q 为1PF 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B 3C ．2D 52．已知函数321()2f x ax x =+在1x =-处取得极大值，记1()()g x f x ='．在如图所示的程序框图中，若输出的结果20192020S >，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．2019n …？B ．2020n …？C ．2019n >？D ．2020n >？3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()()2222132243354201720192018a aa a a a a a a a a a ----=L （）．A ．1B ．2019C ．1-D ．2019-4．()51(1)1x x ++的展开式中2x 的系数为A ．10B ．15C ．20D ．255．已知复数2(4)(3)(,)z a a i a b R =-+-∈，则“2a =”是“为纯虚数”的() A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．如图所示，直平行六面体111ABCD A BC D -的所有棱长都为2，60DAB ︒∠=，过体对角线1BD 的截面S 与棱1AA 和1CC 分别交于点E 、F ，给出下列命题中：①四边形1BED F 的面积最小值为26 ②直线EF 与平面11BCC B 所成角的最大值为4π； ③四棱锥11B BED F -的体积为定值；④点1B 到截面S 的距离的最小值为2217. 其中，所有真命题的序号为（） A ．①②③B ．①③④C ．①③D ．②④7．已知函数()()()()2x f x e a x a a R =-+∈，则满足()0f x ≥恒成立的a 的取值个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记()()()11121n m m m n n n m b a a a -+-+-+=++⋯+，()()()11121n m m m n n n m c a a a -+-+-+=⋅⋅⋯⋅（*,m n ∈N ），则以下结论一定正确的是（ ） A ．数列{}n b 为等差数列，公差为 m q B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2 m q C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，x ＝－为f (x )的零点，x ＝为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．510．已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]0,3D ．[)3,+∞11．过ABC V 的重心G 作直线l ，已知l 与AB 、AC 的交点分别为M 、N ，209ABC AMN S S ∆∆=，若AM AB λ=u u u u v u u u v，则实数λ的值为（）A ．23或25B ．34或35C ．34或25D ．23或3512．设非空集合S ={x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m =1，则S ={1}；②若m =12-，则14≤l ≤1；③l =12，则[20x ≤≤其中正确命题的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考考前最后一卷-理科数学全解析版(新课标III卷) (1)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U2．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙3．若圆心坐标为()2,1-的圆，被直线10x y --=截得的弦长为2，则这个圆的方程是（） A ．22(2)(1)4x y -+-= B ．22(2)(1)4x y ++-= C ．22(2)(1)9x y ++-=D ．22(2)(1)9x y -+-=4．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对5．复数12i z a =+，22z i =-+，如果12z z <，那么实数a 的取值范围是（） A ．()1,1- B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．()(),11,-∞-+∞U6．设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β平行于同一条直线 C ．α内有两条相交直线与β平行D ．α，β垂直于同一平面7．关于x 的不等式2(2)10x a x a -+++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（） A ．(3,4]B ．(4,5]C ．[)(]4,33,4--UD ．[3,2)(4,5]--⋃8．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =⋅.若对于任意实数，不等式2(2sin 2)x B ++22sin 14t B π⎡⎤⎛⎫+⋅+ ⎪⎢⎥⎭⎣⎦≥⎝恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．(,1][1,)-∞-+∞UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(2,1][1,2)--⋃D ．[2,1][1,2]--U9．若等差数列{}n a 的公差2d =，87:7:8a a =，则1a =（） A ．15-B ．28-C ．15D ．2810．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6 11．已知向量,a b r r满足：13,1,512a b a b ==-||||||rrr r≤，则b r 在a r上的投影长度的取值范围是（） A ．1[0.]13B ．5[0.]13C ．1[,1]13D ．5[,1]1312．如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0，0)，O 2(2，0)，O 3(4，0)，O 4(0，2)，O 5(2，2)，O 6(4，2)．记集合M ＝{⊙O i ｜i ＝1，2，3，4，5，6}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称(A ，B )为一个“有序集合对”(当A ≠B 时，(A ，B )和(B ，A )为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对”(A ，B )的个数是A ．50B ．54C ．58D ．60二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省2020届高三6月最后一次联考数学理科试卷 含解析
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2020年江苏省高考数学最后一卷（含答案解析）
2020年江苏省高考学最后一卷一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={0』，2},B=[x\-l<x<1).C\B=2.若复数z=i(2—z),贝ljz=.3.读如下两个伪代码，完成下列题目.:L1:Readj廿・2不::f+6；北・3上:VPrint j（1）<11）(1) 1输出的结果为・(2) 若I、II输出的结果相同，则伪代码U输入x的值为.4.己知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有个.5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A.B两点涂色,每个点只涂一种颜色，则点A,点3颜色不同的概率为____________.6.函=Asin(a)x+<p)(A>0,co>0)在R上的部分图象如图所示，则s的值为.7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线二一y2=i的离心率为2.则实数，“的值是_________8.己知等差数列伊异的前〃项和为S”，若a1+。
2。
=1・则52。
=9.若一个圆锥的母线与底面所成的角为:,体积为1257T.则此圆锥的高为10.如图，在圆C中，CM心，AC为圆的半径，A8是弦，若|而1=6,则衣•AB=・11.若s ina=则s in(a—：) +-^-cosa=12.在平面直角坐标系.9)，中.己知圆Af：x2+y2-4x-8y+12=0,圆N与圆M外切于点(0,m),且过点(0,—2),则圆N的标准方程为.13.巳知函数/(幻=仁若函数y=/(/(r))-1有3个零点，则实数A的取值范围为.14.己知△砧C中，4,匕8.“所对的边分别为"，b.c,且满足2/+况=6.贝IJA4BC而积的最大值为______.二、解答题(本大题共11小题，共142.0分)15.如图，在三棱锚％BC-Ai^iCi中，AB=AC.zliClBCi,.。
，E分别是AB】，BC的中点.求证:(1)DE〃平面ACC^i；(2)AE1平面B C(\B l16.如图，在△ABC中，ZB=30°.AC=2>[S^。
2020高考终极猜押最后一卷理科数学试题-含答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一㊁选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合A ={x |x 2-5x +4<0},B ={x |(x -a )2<1},则 a ɪ(2,3) 是 B ⊆A的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.已知复数z =2+3i i,则z 的共轭复数为( )A .3-2i B .3+2i C .-3-2i D .-3+2i3.向量a =(c o s α,s i n α),b =(c o s β,s i n β),其中0<α<β<π,若|2a +b |=|a -2b |,则α-β=( )A .π2B .-π2C .π4D .-π44.二项式a x +36æèçöø÷6的展开式的第二项的系数为-3,则ʏa-2x 2dx 的值为( )A .53B .73C .3D .1135.如图,在矩形A B C D 中,A B =8,B C =6,现沿A C 折起,使得平面A B C ʅ平面A D C ,连接B D ,得到三棱锥B -A C D,则其外接球的体积为( )A .500π9B .250π3C .1000π3D .500π36.下列函数中,为偶函数且在(0,+ɕ)上为增函数的是( )A .f (x )=c o s 2x B .f (x )=-x 2+3C .f (x )=x 14+x 2D .f (x )=x (3x -3-x)7.点P 是双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与圆C 2:x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点,且2øP F 1F 2=øP F 2F 1,其中F 1,F 2分别为双曲线C 1的左㊁右焦点,则双曲线C 1的离心率为( )A .3+1B .3+12C .5+12D .5-18.如图,在әA B C 中,D 是A B 边上的点,且满足A D =3B D ,A D +A C =B D +B C =2,C D =2,则c o s A =( )A .13B .24C .14D .09.已知函数f (x )=x c o s x -s i n x -13x 3,则不等式f (2x +3)+f (1)<0的解集为( )A .(-2,+ɕ)B .(-ɕ,-2)C .(-1,+ɕ)D .(-ɕ,-1)10.已知函数y =a +2l n x x ɪ1e,e []()的图象上存在点P ,函数y =-x 2-2的图象上存在点Q ,且点P ,Q 关于原点对称,则a 的取值范围是( )A .e 2,+ɕ[)B .3,4+1e[]C .4+1e2,e 2[]D .3,e 2[]11.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是( )A .283πB .323πC .523π D .563π12.若函数f (x )=s i n ωx -π6()(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2,则f (x )的一个单调递减区间为( )A .-π6,π3()B .-π3,π6()C .π6,2π3()D .π3,5π6()第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每个实体考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答.二㊁填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.若实数x ,y 满足约束条件2x +y -4ɤ0,x -2y -2ɤ0,x -1ȡ0,{则y -1x的最小值为 .14.数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=1,a n +1=2S n +1(n ȡ1,n ɪN *),则数列{a n }的通项公式是 .15.某框图所给的程序运行结果为S =35,那么判断框中应填入的关于k 的条件是 .16.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A ,B ,且A B长为80米,当航模在C 处时,测得øA B C =105ʎ和øB A C =30ʎ,经过20秒后,航模直线航行到D 处,测得øBA D =90ʎ和øAB D =45ʎ,则航模的速度为 米/秒.(答案保留根号)12020高考终极猜押最后一卷理科数学试题三㊁解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,17-21题每小题12分,22-23题每小题10分)17.已知公比不为1的等比数列{a n }的前3项积为27,且2a 2为3a 1和a 3的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式a n .(2)若数列{b n }满足b n =b n -1㊃l o g 3a n +1(n ȡ2,n ɪN *),且b 1=1,求数列b nb n +2{}的前n 项和S n.18.为了缓解城市交通压力和改善空气质量,有些城市出台了一些汽车限行政策,如单双号出行,外地车限行等措施,对城市交通拥堵的缓解和空气质量的改良起了一定的作用.某中部城市为了应对日益增长的交通压力,现组织调研,准备出台新的交通限行政策,为了了解群众对 汽车限行 的态度,在当地市民中随机抽取了100人进行了调查,调查情况如表:年龄段[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数51520n 2010赞成人数3121718162(1)求出表格中n 的值,并完成被调查人员年龄的频率分布直方图(如图所示).(2)若从年龄在[45,55)的被调查者中按照是否赞成进行分层抽样,从中抽取10人参与某项调查,然后再从这10人中随机抽取3人参加座谈会,记赞成的人数记为ξ,求ξ的分布列.19.如图,在四棱锥P -A B C D 中,底面A B C D 是边长为2的菱形,øA B C =60ʎ,P A ʅP B ,P C =2.(1)求证:平面P A B ʅ平面A B C D .(2)若P A =P B ,求二面角A -P C -D 的余弦值.20.已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的上㊁下两个焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线交椭圆于M ,N 两点,且әMN F 2的周长为8,椭圆C 的离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)已知O 为坐标原点,直线:y =k x +m 与椭圆C 有且仅有一个公共点,点M ',N '是直线上的两点,且F 1M'ʅl ,F 2M 'ʅl ,求四边形F 1M 'N 'F 2面积S 的最大值.21.已知函数f (x )=l n x +a x .(1)讨论函数f (x )的单调性.(2)当a =1时,函数g (x )=f (x )-x +12x -m 有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2.求证:x 1+x 2>1.请考生在第22-23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.在直角坐标系x O y 中,直线l 的参数方程为x =1+t c o s α,y =t s i n α{(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2-2ρc o s θ-4ρs i n θ+4=0.(1)若直线l 与曲线C 相切,求直线l 的直角坐标方程.(2)若t a n α=2,设直线l 与曲线C 的交点为点A ,B ,求әO A B 的面积.23.已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +1|,g (x )=|a -1|-a |x |.(1)当x <0时,求不等式f (x )<4的解集.(2)设函数f (x )的值域为M ,函数g (x )的值域为N ,若满足M ɘN ʂ⌀,求a 的取值范围.第Ⅰ卷一㊁选择题1.选A .A ={x |1<x <4},B ={x |a -1<x <a +1}.因为B ⊆A ,所以a -1ȡ1,a +1ɤ4,{即2ɤa ɤ3.因为(2,3)⊆[2,3],所以 a ɪ(2,3) 是 B ⊆A 的充分不必要条件.2.选B .z =2+3i i =3-2i ,因此z 的共轭复数为3+2i .3.选B .由|2a +b |=|a -2b |两边平方整理,得3|a |2-3|b |2+8a ㊃b =0.因为|a |=|b |=1,故a ㊃b =0,所以c o s αc o s β+s i n αs i n β=0,即c o s (α-β)=0,因为0<α<β<π,故-π<α-β<0,所以α-β=-π2.4.选B .因为T r +1=C r 6(a x )6-r 36æèçöø÷r =C r 6a 6-r ㊃36æèçöø÷r x 6-r ,所以第二项的系数为C 16a 5㊃36=-3,所以a =-1,所以ʏa-2x 2d x =ʏ-1-2x 2d x =13x 3|-1-2=-13()--83()=73.5.选D .结合几何体的特征可得,外接球的球心为A C 的中点,外接球半径为R =12A B 2+B C 2=1282+62=5,则外接球的体积:V =43πR 3=500π3.6.选D .观察各选项,其中选项A 中的函数不可能在(0,+ɕ)上为增函数;选项B 中的函数在(0,+ɕ)上为减函数;选项C 中的函数定义域不关于原点对称,不是偶函数;选项D 中的函数是偶函数,且当x >0时,y =x 单调递增且大于零,函数y =e x -e -x 单调递增也大于零,所以y =x (3x -3-x )在(0,+ɕ)上为增函数.7.选A .x 2+y 2=a 2+b 2=c 2,所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上,所以P F 1ʅP F 2,又2øP F 1F 2=øP F 2F 1,所以P F 2=c ,P F 1=3c ,又P 在双曲线上,2所以3c -c =2a ,所以e =c a =23-1=3+1.8.选D .设B D =x ,则A D =3x ,A C =2-3x ,B C =2-x ,易知c o s øA D C =-c o s øB D C ,由余弦定理的推论可得9x 2+2-(2-3x )22ˑ2ˑ3x =-x 2+2-(2-x )22ˑ2ˑx,解得x =13,故A D =1,A C =1,所以c o s A =A D 2+A C 2-C D 22ˑA D ˑA C=0.9.选A .易证函数f (x )是奇函数.由题得f '(x )=c o s x -x s i n x -c o s x -x 2=-x s i n x -x 2=-x (s i n x +x ).所以当x >0时,f'(x )<0,函数在(0,+ɕ)上单调递减,因为函数是奇函数,所以函数在(-ɕ,0)上单调递减,因为f (2x +3)+f (1)<0,所以f (2x +3)<-f (1)=f (-1),所以2x +3>-1,所以x >-2.故解集为(-2,+ɕ).10.选D .函数y =-x 2-2的图象与函数y =x 2+2的图象关于原点对称,若函数y =a +2l n x x ɪ1e,e []()的图象上存在点P ,函数y =-x 2-2的图象上存在点Q ,且P ,Q 关于原点对称,则函数y =a +2l n x x ɪ1e,e[]()的图象与函数y =x 2+2的图象有交点,即方程a +2l n x =x 2+2x ɪ1e,e[]()有解,即a =x 2+2-2l n x x ɪ1e,e []()有解,令f (x )=x 2+2-2l n x ,则f '(x )=2(x 2-1)x,当x ɪ1e,1[]时,f '(x )<0,当x ɪ(1,e ]时,f'(x )>0,故当x =1时,f (x )取最小值3,由f 1e ()=1e2+4,f (e )=e 2,故当x =e 时,f (x )取最大值e 2,故a ɪ3,e 2[].11.选A .由三视图可知,该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成,其中圆柱的底面半径为2,高为4,圆锥的底面半径和高均为2,其体积为V =12ˑ4πˑ4+12ˑ13ˑ4πˑ2=28π3.12.选D .f (x )=s i n ωx -π6()的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2,于是有T =2πω=2ˑπ2=π,ω=2,所以f (x )=s i n2x -π6().当2k π+π2ɤ2x -π6ɤ2k π+3π2,k ɪZ ,即k π+π3ɤx ɤk π+5π6,k ɪZ 时,f (x )=s i n2x -π6()单调递减.因此结合各选项知,f (x )=s i n2x -π6()的一个单调递减区间为π3,5π6().第Ⅱ卷二㊁填空题13.ʌ解析ɔ作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因为y -1x表示可行域内的点与定点P (0,1)连线的斜率.由图知,点P (0,1)与点A 1,-12()连线的斜率最小,所以y -1x ()m i n=k P A =-12-11-0=-32.答案:-3214.ʌ解析ɔ由a n +1=2S n +1可得a n =2S n -1+1(n ȡ2),两式相减得a n +1-a n =2a n ,即a n +1=3a n (nȡ2).又a 2=2S 1+1=3,所以a 2=3a 1,故{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =3n -1.答案:a n =3n -115.ʌ解析ɔ由题意可知输出结果为S =35,第1次循环,S =11,k =9,第2次循环,S =20,k =8,第3次循环,S =28,k =7,第4次循环,S =35,k =6,此时S 满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为:k >6或k ȡ7?答案:k >6?或k ȡ7?16.ʌ解析ɔ在әA B D 中,因为øB A D =90ʎ,øA B D =45ʎ,所以øA D B =45ʎ,所以A D =A B =80米,所以B D =802米,在әA B C 中B C s i n 30ʎ=A B s i n 45ʎ,所以B C =A B s i n 30ʎs i n 45ʎ=80ˑ1222=402(米).在әD B C 中,D C 2=D B 2+B C 2-2D B ㊃B C c o s 60ʎ=(802)2+(402)2-2ˑ802ˑ402ˑ12=9600,所以D C =406米,航模的速度v =40620=26米/秒.因此航模的速度为26米/秒.答案:26三㊁解答题17.ʌ解析ɔ(1)由前3项积为27,得a 2=3,设等比数列的公比为q ,由2a 2为3a 1和a 3的等差中项,得3㊃3q +3q =4ˑ3,由公比不为1,解得:q =3,所以a n =3n -1.(2)由b n =b n -1㊃l o g 3a n +1=b n -1㊃n ,得b n =b nb n -1㊃b n -1b n -2㊃ ㊃b 2b 1㊃b 1=n !.令c n =b nb n +2=n !(n +2)!=1(n +2)(n +1)=1n +1-1n +2,则S n =12-13()+13-14()+ +1n +1-1n +2()=12-1n +2=n2(n +2)318.ʌ解析ɔ(1)由题知被调查者一共有100人,所以有5+15+20+n+20+10=100,所以n=30.所以被调查人员年龄各组的频率组距为0.005,0.015,0.020,0.030,0.020,0.010.2分…………………………所以被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示:4分………………………………………………………(2)由(1)知,年龄在[45,55)的共有30人,其中赞成的有18人,不赞成的有12人.由分层抽样赞成者应选10ˑ35=6人,6分……………不赞成有4人.则ξ=0,1,2,3.7分……………………P(ξ=0)=C34C310=4120=130,8分…………………………P(ξ=1)=C16C24C310=36120=310,9分…………………………P(ξ=2)=C26C14C310=60120=12,10分………………………P(ξ=3)=C36C310=20120=16,11分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P130310121612分………………………………………………………19.ʌ解析ɔ(1)取A B中点O,连接A C,C O,P O,因为四边形A B C D是边长为2的菱形,所以A B=B C=2.因为øA B C=60ʎ,所以әA B C是等边三角形.所以C OʅA B,O C=3.因为P AʅP B,所以P O=12A B=1.因为P C=2,所以O P2+O C2=P C2.所以C OʅP O.因为A BɘP O=O,所以C Oʅ平面P A B.因为C O⊂平面A B C D,所以平面P A Bʅ平面A B C D.(2)因为P A=P B,O为A B的中点由(1)知,平面P A Bʅ平面A B C D,所以P Oʅ平面A B C D,所以直线O C,O B,O P两两垂直.以O为原点建立空间直角坐标系O-x y z,如图,则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(0,1,0),C(3,0,0),D(3,-2,0),P(0,0,1)所以A Pң=(0,1,1),P Cң=(3,0,-1),D Cң=(0,2,0).设平面A P C的法向量m=(x,y,z),由m㊃A Pң=0,m㊃P Cң=0,{得y+z=0,3x-z=0,{取x=1,得m=(1,-3,3),设平面P C D的法向量为n=(x,y,z),由n㊃P Cң=0,n㊃D Cң=0,{得3x-z=0,2y=0,{取x=1,得n=(1,0,3),所以c o s<m,n>=m㊃n|m||n|=277,由图可知二面角A-P C-D为锐二面角.所以二面角A-P C-D的余弦值为277.20.ʌ解析ɔ(1)因为әMN F2的周长为8,所以4a=8,所以a =2.又因为c a=32,所以c=3,所以b=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为y24+x2=1.(2)将直线的方程y=k x+m代入到椭圆方程y24+x2=1中,得(4+k2)x2+2k m x+m2-4=0.由直线与椭圆仅有一个公共点,知Δ=4k2m2-4(4+k2)(m2-4)=0,化简得m2=4+k2.设d1=|F1M'|=|-3+m|k2+1,d2=|F2N'|=|3+m|k2+1,所以d21+d22=m-3k2+1æèçöø÷2+m+3k2+1æèçöø÷2=2(m2+3)k2+1=2(k2+7)k2+1,d1d2=|-3+m|k2+1㊃|3+m|k2+1=|m2-3|k2+1=1,所以|M'N'|=|F1F2|2-(d1-d2)2=12-(d21+d22-2d1d2)=12k2k2+1.因为四边形F1M'N'F2的面积S=12|M'N'|(d1+d2),所以S2=14ˑ12k2k2+1ˑ(d21+d22+2d1d2)=3k2(4k2+16)(k2+1)2.令k2+1=t(tȡ1),则S2=3(t-1)[4(t-1)+16]t2=12(t-1)(t+3)t2=12(t2+2t-3)t2=12+12-31t-13()2+13[],所以当1t=13时,S2取得最大值为16,故S m a x=4,即四边形F1M'N'F2面积的最大值为4.21.ʌ解析ɔ(1)f'(x)=1x+a,xɪ(0,+ɕ).①当aȡ0时,f(x)在(0,+ɕ)上单调递增;②当a<0时,f(x)在0,-1a()上单调递增,在-1a,+ɕ()上单调递减.4(2)当a =1时,g (x )=l n x +12x-m ,由已知,得l n x 1+12x 1=m ,l n x 2+12x 2=m ,两式相减,得l n x 1x 2+12x 1-12x 2=0⇒x 1㊃x 2=x 1-x 22l nx 1x 2,所以x 1=x 1x 2-12l n x 1x 2,x 2=1-x 2x 12l nx 1x 2所以x 1+x 2=x 1x 2-x 2x 12l nx 1x 2,令t =x 1x 2ɪ(0,1),设h (t )=t -1t-2l n t ,所以h '(t )=1+1t 2-2t =t 2-2t +1t2>0,所以h (t )在(0,1)上单调递增,所以h (t )<h (1)=0,即t -1t<2l n t .又因为l n t <0,所以t -1t 2l n t >1,所以x 1+x 2>1.22.ʌ解析ɔ(1)由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ可得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -4y +4=0,即(x -1)2+(y -2)2=1,x =1+t c o s α,y =t s i n α{消去参数t ,可得y =t a n α(x -1).设k =t a n α,则直线l 的方程为y =k (x -1),由题意,得圆心(1,2)到直线l 的距离d 1=|k -2-k |k 2+1=1,解得k =ʃ3,所以直线l 的直角坐标方程为y =ʃ3(x -1).(2)因为t a n α=2,所以直线l 的方程为2x -y -2=0,原点到直线l 的距离d 2=25,联立2x -y -2=0,(x -1)2+(y -2)2=1,{解得x =2,y =2{或x =85,y =65,ìîíïïïï所以|A B |=2-85()2+2-65()2=25,所以S =12ˑ25ˑ25=25.23.ʌ解析ɔ(1)当x <0时,2x -1<0,所以f (x )<4可化为|2x +1|-2x <3.①当x ɤ-12时,①化为-2x -1-2x <3,解得x >-1,此时-1<x ɤ-12.当-12<x <0时,①化为2x +1-2x <3,解得x ɪR ,此时-12<x <0.综上,原不等式的解集是{x |-1<x <0}.(2)因为f (x )=|2x -1|+|2x +1|ȡ|(2x -1)-(2x +1)|=2,所以f (x )的值域为[2,+ɕ).当a ȡ0时,因为|x |ȡ0,所以g (x )的值域为(-ɕ,|a -1|].若M ɘN ʂ⌀,则|a -1|ȡ2,解得a ɤ-1或a ȡ3.从而a ȡ3.当a <0时,因为|x |ȡ0,所以g (x )的值域为[|a -1|,+ɕ),此时一定满足M ɘN ʂ⌀.从而a <0.综上,a 的取值范围是(-ɕ,0)ɣ[3,+ɕ).5。
2020届全国卷Ⅲ高考压轴卷 数学(理)(解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学● 注意事项：● 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
● 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A. []4,2-B. [)1,+∞C. (]0,4D.[)2,-+∞2.若复数z 满足2(1)z i i -=（i 是虚数单位），则z 为（ ）A.13 B. 12C. 14D. 15 3.已知123a =，2log 3b =，9log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>4.在的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则（ ）A.B.C.D. 5．已知x •log 32＝1，则4x ＝（ ） A ．4B ．6C ．4D ．96．在△ABC 中，若sinB ＝2sinAcosC ，那么△ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为3，1，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.9.设函数2()ln f x a x bx =+(0,0)a b >>，若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x y e --=平行，则11a b+的最小值为（ ） A. 1 B.12C. 322-D. 322+10．已知函数f （x ）＝sin （ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ） A ．f （1）＜f （0）＜f （2） B ．f （0）＜f （2）＜f （1） C ．f （2）＜f （0）＜f （1）D ．f （2）＜f （1）＜f （0）11.函数()()2sin 4cos 1f x x x =⋅-的最小正周期是（ ）A.3πB. 23π C. π D. 2π 12. 定义在R 上的可导函数()f x 满足(2)()22f x f x x -=-+，记()f x 的导函数为()f x '，当1x ≤时恒有()1f x '<．若()(12)31f m f m m ---≥，则m 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1(,1]3-C ．[1,)-+∞D ．1[1,]3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高三数学最后一卷试题(含解析)
高三数学最后一卷试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}02x x <<，B ＝{}1x x >，则A I B ＝ ． 答案：(1，2) 考点：集合的运算 解析：∵02x <<，1x >∴12x <<∴A I B ＝(1，2) 2．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为 ． 答案：3 考点：虚数 解析：i 1i 2i 22a az -==--，因为复数z 的模为1， 所以21144a +=，求得a ＝3． 3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．答案：48考点：频率分布直方图解析：15(0.03750.0125)0.75-⨯+= 212(0.75)6÷⨯＝484．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为 ．答案：7考点：算法初步解析：s 取值由3→9→45，与之对应的k 为3→5→7，所以输出k 是7．5．设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y )为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ． 答案：1﹣8π 考点：几何概型解析：设事件A 发生的概率为P ，P ＝88π-＝1﹣8π． 6．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A ＝ ． 答案：2π考点：三角函数与解三角形 解析：因为sin A cosC a b =，所以sin A cosCsin A sin B=，则sinB ＝cosC ，由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π．7．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝ ． 答案：8考点：等比中项 解析：∵2434(1)a a a =-∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 8．已知函数221()log (1)1x ax f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ．答案：2 考点：分段函数解析：∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f =∴log 22a =，解得a ＝2．9．如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm ．答案：4考点：圆柱、球的体积解析：设此圆柱底面的半径是r cm ． 得：32243863r r r r πππ⨯+=⋅ 解得：r ＝410．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为 ． 答案：13考点：椭圆的离心率解析：设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝12BQ∴AM AFBQ BF=，则12a ca c-=+求得a＝3c，即e＝13．11．设函数()sin(2)3f x xπ=+，若12x x<，且12()()0f x f x+=，则21x x-的取值范围是．答案：(3π，+∞)考点：三角函数的图像与性质解析：不妨设12x x<<，则2121x x x x-=-，由图可知210()33x xππ->--=．12．已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是．答案：[2，6]考点：圆的方程解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥2，即CACP≥22，设点P(5，y)，则21016(4)y+-≥22，解得2≤y≤6．13．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，AB2BC=u u u r u u u r，则PC PA⋅u u u r u u u r 的最小值为．答案：5﹣考点：平面向量数量积解析：取AC 中点M ，由极化恒等式得22219PC PA PM AC PM 44⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 有最小值为2﹣2，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r的最小值为5﹣14．已知实数a ，b ，c 满足2121a cb c ee a b +--+≤++（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是 ． 答案：15考点：函数与导数解析：设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-，可知()(0)0u x u ≥=，即1xe x ≥+； 可知211221a cb c ee a c b c a b +--+≥+++-=++，当且仅当210a c b c +=--=时取等； 即2121a cb c ee a b +--+=++，210a c b c +=--=．解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知向量a r ＝(sin θ，cos θ﹣2sin θ)，b r＝(1，2)． （1）若a r ∥b r ，求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值；（2）若a b =r r，0＜θ＜π，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA ⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求证：OM⊥平面PCD．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△P F1F23．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0，18)，求直线PQ的斜率．18．（本小题满分16分）如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60°时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．19．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为A n ，且A n ＝1()2n n a a +，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使k m a b =．（1）若11a =，35a =，求2a ； （2）证明：数列{}n a 为等差数列；（3）若q ＝2，是否存在整数m ，k ，使A k ＝86B m ，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x ＝t 处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”．（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；（2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”．①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈[1，+∞)，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围．附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足MN*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。
全国I卷2020高三最后一模数学(理)试题及答案
全国I卷2020高三最后一模数学(理)试题及答案work Information Technology Company.2020YEAR2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2＋y2=4}，集合B={(x，y) |x，y为实数，且y=x－2}，则A ∩ B的元素个数为（）（A）0 （B）1（C）2 （D）3（2）复数z＝1－3i1＋2i，则（A）|z|＝2 （B）z的实部为1（C）z的虚部为－i （D）z的共轭复数为－1＋i（3）已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤2)＝0.72，则P(X≤0)＝（A）0.22 （B）0.28（C）0.36 （D）0.64（4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是（A）(21，41) （B）[21，41]（C）(21，41] （D）[21，41)（5）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 5 2，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n ＝（A ）4n －1 （B ）4n －1 （C ）2n －1（D ）2n －1（6）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A ） 2（B ）2（C ） 5（D ） 3（7）已知函数f (x)＝cos (2x ＋π 3)，g (x)＝sin (2x ＋2π3)，将f (x)的图象经过下列哪种变换可以与g (x)的图象重合（A ）向左平移 π12（B ）向右平移π12（C ）向左平移π 6 （D ）向右平移 π6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）1136（B ） 3 （C ）533（D ）433（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a ）∥b ，c⊥（b+a ），则c=（A ）（ 79 ， 73 ） （B ）（ 73，79） （C ）（ 73 ， 79 ） （D ）（－ 79 ，－ 73）（10）4名研究生到三家单位应聘，每名研究生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名研究生的情况有 （A ）24种 （B ）36种 （C ）48种（D ）60种（11）函数，其图像的对称中心是俯视图正视图（A）（－1，1）（B）（1，－1）（C）（0，1）（D）（0，－1）（12）关于曲线C：x 12＋y12＝1，给出下列四个命题：①曲线C有且仅有一条对称轴；②曲线C的长度l满足l＞2；③曲线C上的点到原点距离的最小值为24；④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是 1 6上述命题中，真命题的个数是（A）4 （B）3（C）2 （D）1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）在(1＋x2)(1－ 2x)5的展开式中，常数项为__________．（14）四棱锥P-ABCD的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．（15）点P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3，|AB|=4，|BC|=5，点P到三边的距离分别是d1, d2,d 3 ，则d1+d2+d3的取值范围是_________．（16）△ABC的顶点A在y2＝4x上，B，C两点在直线x－2y+5=0上，若|－AC |＝2 5 ，则△ABC面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sin A＋3cos A＝2sin B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X的分布列和均值．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60 ，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值．BCB1BAC1A1A（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数 x 轴是函数图象的一条切线．（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）已知；（Ⅲ）已知：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB ；（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD·CD ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsi n θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋4)＝2距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f (x)＝|x －3|＋|x －4|． （Ⅰ）解不等式f (x)≤2；（Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)一、选择题：CDBCD ABCDD BA二、填空题：（13）41；（14）100π；（15）[ 125，4]；（16）1．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sin A＋3cos A＝2sin B即2sin(A＋π3)＝2sin B，则sin(A＋π3)＝sin B．…3分因为0＜A，B＜π，又a≥b进而A≥B，所以A＋π3＝π－B，故A＋B＝2π3，C＝π3．……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a＋b c ＝sin A＋sin Bsin C＝23[sin A＋sin(A＋π3)]＝3sin A＋cos A＝2sin(A＋π6)．…10分当A＝π3时，a＋bc取最大值2．……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝ 18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x-乙＝ 18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s2甲＝ 18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2乙＝ 18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．…4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 3 8，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316， 依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k)＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X)＝2×316＝8．……………………………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB⊥BB 1．又AB⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O-xyz ．其中O 是BB 1的中点，Ox∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)． AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)．…6分设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0， 即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．…8分设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0， 即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)．…………………10分所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77．因此二面角B-AC-A 1的余弦值为－77．……………………………12分 （20）解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k)x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2． (6)分因y 1＋1＝k(x 1＋2)，y 2＋1＝－k(x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k(x 1＋2)＋k(x 2＋2)x 1－x 2＝k(x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分（Ⅲ）设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k·(－k)＝－1，k ＝±1． 若k ＝1，则直线MQ 方程y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k ＝－1也不合题意． 故∠PMQ 不可能为直角．…………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）f '(x) =当x∈(0，a)时，f '(x)＜0，f (x)单调递减， 当x∈(a ，＋∞)时，f '(x)＞0，f (x)单调递增． ∵ x 轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a ，0）．f (a)=lna ＋1=0，可知a=1. ……………………………4分 （Ⅱ）令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于： .取，由（Ⅰ）知：当t∈(0，1)时，g '(t)＜0，g (t)单调递减， 当t∈(1，＋∞)时，g '(t)＞0，g (t)单调递增． ∴ g (t)> g (1)=0，也就是.∴ . ……………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：x 是正整数时，不等式也成立，可以令： x=1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得： 即. ……………………………12分（22）证明：（Ⅰ）连接OE ，因为D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以OE∥AB ，故DE∥AB ． ………………………… …5分OA（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ⇒∠DAC ＝∠DCB ． 又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ⇒△DAC∽△ECD ． ⇒AC CD ＝AD CE ⇒AD ·CD ＝AC ·CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·2CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·BC ． ……………………………10分 （23）解： （Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4．……………………………3分 消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ．……………………………5分 （Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2．……………………………7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322， 故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ……………………………10分（24）解： （Ⅰ）f (x)＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ＜3，1，3≤x≤4，2x －7，x ＞4． ……………………………2分作函数y ＝f (x)的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为 5 2和 9 2，由图象知 不等式f (x)≤2的解集为[ 5 2， 9 2]．……………………………5分（Ⅱ）函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线． 当且仅当函数y ＝f (x)与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ． 由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 1 2，＋∞)． ………………………10分 ＝12。
2020年高考数学(理)终极押题卷(全解全析)
2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD， 由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形， 所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==， 故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书， 丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小， 得到年龄从大到小是乙>丙>学委， 由此得到乙不是学委，故乙是班长． 故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分） （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==， 设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分） （2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分） （ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈， 在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈， 在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈， 在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈， 在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分） （2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。
2020年江苏省高考数学最后一卷 (含答案解析)
2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0,1，2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=________．2.若复数z=i(2−z)，则z=______ ．3.读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x的值为________．4.已知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有__________个．5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A，B两点涂色，每个点只涂一种颜色，则点A，点B颜色不同的概率为____________.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在R上的部分图象如图所示，则ω的值为______ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m+1−y 2=1的离心率为2，则实数m 的值是_________． 8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a1+a 200=1，则S 200=_____ 9. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为125π，则此圆锥的高为_______。
10. 如图，在圆C 中，C 为圆心，AC 为圆的半径，AB 是弦，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．11. 若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2+y 2−4x −8y +12=0，圆N 与圆M 外切于点(0,m)，且过点(0,−2)，则圆N 的标准方程为______________．13. 已知函数f(x)={k(x +2),x ≤0−lnx,x >0(k <0)，若函数y =f(f(x))−1有3个零点，则实数k 的取值范围为______ ．14. 已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a 2+bc =6，则△ABC 面积的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，在三棱锥ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，，，D ，E 分别是AB 1，BC的中点．求证：(1)DE//平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.16.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2√5，D是边AB上一点．(Ⅰ)求△ABC的面积的最大值；(Ⅱ)若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．17.某社区有一块直角三角形的闲置土地MON，OM=ON=60米，该区域内有处P，点P到边界OM的距离PC=20米，点P到边界ON的距离PD=10米．社区为改善居民生活环境，决定将其改造为居民休闲广场．方案为：经过点P修建一条笔直小路(两端A,B分别在边界OM,ON上，宽度不计)将该区域分为两部分，在区域AOB内安装健身器材，平均每平方米造价600元，剩余区域种植草皮，每平方米造价100元．(1)当OP ⊥AB 时，求休闲广场的总造价为多少元？(2)求休闲广场总造价的最低费用为多少元？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．19.已知函数f(x)=lnx．(1)若直线y=2x+p(p∈R)是函数y=f(x)图象的一条切线，求实数p的值．(2)若函数g(x)=x−mx−2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l:θ=a(a∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于M、N两点．以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C的参数方程；(Ⅱ)记线段MN的中点为P，若|OP|⩽λ恒成立，求实数λ的取值范围．23.设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥8．724.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为A1A和B1B的中点．(Ⅰ)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值；(Ⅱ)求点D1到平面MDC的距离．25.设随机变量X的分布列为P(X=k)=1，k=1，2，3，4，5.求E(X+2)2，V(2X−1)．5-------- 答案与解析 --------1.答案：{0}解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接利用交集定义即可求得答案．【解答】解：根据交集的定义可得A∩B={0}．故答案为{0}．2.答案：1+i解析：解：复数z=i(2−z)，则z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．故答案为：1+i．化简已知条件，利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．3.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．4.答案：880解析：本题考查频率分布直方图的应用，属于简单题。
2020年广东省高考数学考前最后一卷含解析
8．（5分）已知O、A、B为平面内三点，满足 |＝5，点C在直线AB上，且 3，则 的最小值为（ ）
A． B．4C． D．
【解答】解：如图，在△ABO中，OA＝OB＝5，OC是等腰三角形ABO的底边AB的高线，也是中线，
且 3，∴AC＝4，∴AB＝8，
∴ ，
∴ ，
∴ 时， 取最小值 ．
故选：A．
被5除余3，得n＝5l+3，l∈N；
被7除余4，得n＝7m+4，m∈N；
求得n的最小值是53．
【法二】按此歌诀得算法如图，
则输出n的结果为
按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n＝263﹣105﹣105＝53，
即输出n值为53．
故选：A．
10．（5分）双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）
9．（5分）明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求ห้องสมุดไป่ตู้的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n的结果为（ ）
A．53B．54C．158D．263
【解答】解：【法一】正整数n被3除余2，得n＝3k+2，k∈N；
A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm
【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于 42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ，
可得肚脐至足底的长度小于 110，
2020年高考考前最后一卷-理科数学全解析版(新课标II卷) (2)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22224c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且4PF QF =uuu r uuu r ，则椭圆C 的离心率等于()A ．13B ．12C 5D 32．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．164813．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是() A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩D ．乙､丁可以知道自己的成绩4．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是() A ．35CB ．35AC ．35D ．535．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z =()A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -6．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（）A ．23 B ．35C ．2547D ．27467．若a ，b 均为正实数，则22ab ba b 1+++的最大值为( ) A ．23B 2C 2D ．28．在ABC V 中，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =⋅，则b 的值等于（） A ．8B ．6C ．4D ．19．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设nn b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．1210．设()()32lg 1f x x x x =+++，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要11．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，以点C 为圆心，CE 长为半径为圆，点P 是该圆上的任一点，在AP DE ⋅u u u r u u u r的取值范围是（）． A ．[0,26]+B ．[26,26]-+C ．[0,25]+D ．[25,25]-+12．若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（） A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学(理)必刷试卷10(解析版)
2020年高考必刷卷10数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|13A x x =-<<，}x N ∈，{|}B C C A =⊆，则集合B 中元素的个数为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意解出集合A ，再根据题意分析B 中元素为A 中的子集，可求出． 【详解】解：因为集合{|13A x x =-<<，}x N ∈， 所以{0A =，1，2}， 因为{|}B C C A =⊆，所以B 中的元素为A 的子集个数，即B 有328=个， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合，集合子集个数，属于基础题．2．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则2016i1ia ++＝( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i【答案】D 【解析】因为()()211i z a a =-++为纯虚数，所以210,10a a -=+≠，得1a =，则有2016i 1ia +=+()()()201621i 1i 111i 1i 1i 1i 1i -++===-+++-，故选D. 3．已知实数,,x y z 满足0.54x =，5log 3y =，sin(2)2z π=+，则（ ）A ．z x y <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．x z y <<【答案】C【解析】0.541x ==>，55501351log y log log =<=<=，202z sin π⎛⎫=+< ⎪⎝⎭综上所述，故z y x << 故选C4．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【解析】 【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求． 【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据， 从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万包含的基本事件个数246m C ==， ∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都低于40万的概率为62155m P n ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题． 5．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >， 所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．6．安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：1001.0154.432,lg11 1.041≈≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151x y =-C ．tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =- 【答案】D 【解析】 【分析】根据奖励规则，函数必须满足：(6,100]x ∈，增函数，3,0.2y y x ≤≤ 【详解】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>不合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>不合题意； 对于函数：tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，不满足递增，不合题意； 对于函数：()11log 310y x =-，满足：(6,100]x ∈，增函数，且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象：符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.7．已知正项．．等差数列{}n a 中，若12315a a a ++=，若12a +，25a +，313a +成等比数列，则10a 等于（ ） A ．21 B ．23C ．24D ．25【答案】A 【解析】Q 正项等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，25,0a d ∴=>，1232,5,13a a a +++Q 构成等比数列，即7,10,18d d -+构成等比数列，依题意，有()()718100d d -+=，解得2d =或13d =-（舍去），()10210258221a a d ∴=+-=+⨯=，故选A.8．如图，在ABC ∆中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v ，4BC BD =u u u v u u u v，用,a b vv 表示AD uuu v为（ ）A ．1144AD a b =+u u u v v vB ．5144AD a b =+u u u v vvC ．3144AD a b =+u u u v v vD ．5144AD a b =-u u u v v v【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果. 【详解】()113131444444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v v v本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则.9．如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过()1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22551728x y -=B ．2216x y -=C ．2216y x -=D ．22551287x y -=【答案】C 【解析】根据双曲线的定义，可得|AF 1|-|AF 2|=2a ， ∵∵ABF 2是等边三角形，即|AF 2|=|AB| ∵|BF 1|=2a又∵|BF 2|-|BF 1|=2a ， ∵|BF 2|=|BF 1|+2a=4a ，∵∵BF 1F 2中，|BF 1|=2a ，|BF 2|=4a ，∵F 1BF 2=120° ∵|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2-2|BF 1|•|BF 2|cos120° 即4c 2=4a 2+16a 2-2×2a×4a×（-12））=28a 2，解得c 2=7a 2，又所以221,6a b == 方程为2216y x -=故选C点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出a ，b 的关系是解决本题的关键．10．《九章算术》卷七——盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：“现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ）A ．20k >B ．21k >C ．22k >D ．23k >【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图确定,x y 表示的含义，从而可利用方程组得到输出时x 的值，从而得到输出时k 的取值，找到符合题意的判断条件. 【详解】由程序框图可知，x 表示人数，y 表示养价 该程序必须输出的是方程组54537x yy x+=⎧⎨=+⎩的解，则21x =21k ∴=时输出结果 ∴判断框中应填20k >本题正确选项：A【点睛】本题考查根据循环框图输出结果填写判断框内容的问题，关键是能够准确判断出输出结果时k 的取值，属于常考题型.11．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．92C ．154D ．173【答案】D【解析】该几何体是正方体截去一个三棱台所得，体积为31117222323V ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选D ．12．已知函数11ln ,01()1,12x x x f x x -+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【答案】D 【解析】 【分析】2()(1)()0f x a f x a -++=等价于()f x a =或()1f x =，由()1f x =有唯一解可得()f x a =有两个不同的根，转化为(),y f x y a ==的图象有两个交点，利用数形结合可得结果. 【详解】2()(1)()0f x a f x a -++=可变形为[()][()1]0f x a f x --=，即()f x a =或()1f x =，由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当(]0,1x ∈时， 函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减， 画出函数()f x 的大致图象，如图所示，当且仅当1x =时，()1f x =，因为方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根， 所以()f x a =恰有两个不同的实数根， 即(),y f x y a ==的图象有两个交点，由图可知01a <<时，(),y f x y a ==的图象有两个交点， 所以实数a 的取值范围为(0,1)，故选D ． 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 试题
理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标 号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{|23}A x y x x ==--，全集U =R ，集合1{|0}22B x x =-，则()U A B C =（ ）A .[23)，B .[13)，C .(23)，D .(13)， 2. 已知i 为虚数单位，且复数z 满足2020(12)z i i i +=+，则||z 的值为（ ）A .15B .10 C .5D .23. 已知函数2()(1)f x x a x a =+-+为定义在[22]-，上的偶函数，则()2f x 在[22]-，上发生的概率为（ ）A .12B .13C .14D .164. 已知数列21n a n =+，其前n 项的和为n S ，则12111nS S S +++=（ ）A .1112n n -++ B .1111(1)2212n n +--++ C .1111212n n +--++D .1111(1)2212n n +-+++ 5. 执行如图的程序框图，输出的c 的值为（ ）A .5B .4C .5-D .4-6. 若双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的一条渐近线被圆22(2)2x y +-=截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为 （ ）A .3B .2C .5D .25 7. 35(2)()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则该展开式中4x 的系数是（ ）A .5B .10C .15D .20 8. 若函数()3cos()cos (0π)f x x x θθ=+<<的图象过点(0)32-，，则（ ）A .点(π3)0，是函数()f x 图象的对称中心B .直线π3x =是函数()f x 图象的对称轴 C .函数()f x 的最小值是3-D .函数()f x 的最大值是233- 9. 如图，已知G 是ABC 的重心，H 是BG 的中点，且2AB =，3AC =，60BAC ∠=°，则AG AH =·（ ）A .209B .2C .59D .1310. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：，点M N F 、、分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+°，则椭圆C 的离心率是（ ）A .51-B .31-C .21-D .3 11. 已知正数a b c ，，满足224160a ab b c -+-=，当ab c取得最大值时，则43244c a b -++的最小值为（ ）A .2B .4C .12D .1612. 已知函数22212()212m x mx x f x m x mx x⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩，，.若函数()f x 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A .(2)+，∞B .(22)+，∞C .(4)+，∞D .(42)+，∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年江苏省高考数学最后一卷 (含解析)
2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，则A∩B=______．2.若复数z满足i·z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为______．4.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6,18)内的频数为____．5.一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球．若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为______．6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．若AB=5，则ω的值为________．7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2−y2=1的离心率为2，则实数m的值是_________．m+18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S4=12，则S7=______ ．9.如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)所示水平放置时，液面高度为20cm；当这个几何体如图(3)所示水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为________cm．10.已知a⃗=(x,1)(x>0)，b⃗ =(−1,2)，|a⃗+b⃗ |=√10，则a⃗⋅b⃗ =_____．11.已知sin(α+π4)=7√210，α∈(π4,π2)，则cosα=______ ．12.在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,3)，B(4,6)，且圆心在直线x−2y−1=0上的圆的标准方程为________．13.已知函数f(x)=|x2−1|x−1−kx+2，恰有两个零点，则k的取值范围是______ ．14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，三棱锥D−ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分别为BD，CD的中点，求证：(1)EF//平面ABC;(2)BD⊥平面ACE．16.如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<π2，AD=2，AB=3，△ABD的面积为3√32，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求BC的长．17.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总．面．积．为S(m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A(−2,−1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2b 2．(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R.过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ ⋅AR =3OP 2，求直线l 的方程．19.已知函数f(x)=ae x(a≠0)，g(x)=12x2．(1)当a=−2时，求曲线f(x)与g(x)的公切线方程；(2)若y=f(x)−g(x)有两个极值点x1，x2，且x2≥3x1，求实数a的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1(n∈N∗).(Ⅰ)求a1，a2，a3的值；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，b n+1=a n+b n，求数列{b n}的通项公式．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. 设实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =4，求证：a 2+b 2+c 2≥87．24. 如图，在棱长为1的正方体AC 1中，E 、F 分别为A 1D 1和A 1B 1的中点．(1)求异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值；(2)求平面ACC 1与平面BFC 1所成的锐二面角．25.已知集合A={1,2,3,4}和集合B={1,2,3,⋯,n}，其中n≥5，n∈N∗.从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示．记X=T−S．(1)当n=5时，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；(2)求P(X=n−3)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,2}解析：解：∵集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，∴A∩B={0,2}．故答案为：{0,2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：2解析：本题考查了复数的四则运算，根据除法运算算出z，进而可以求出z的实部．=2−i，所以复数z的实部为2．解：因为复数z=1+2ii3.答案：17解析：本题考查的知识点是算法语句的循环结构，是基础题．模拟程序运行过程，条件满足时执行循环，条件不满足时跳出循环，即可得到答案．解：模拟程序运行过程：s=3进入循环：i=2，S=3+2=5，满足条件，执行循环：i=3，S=5+3=8，满足条件，执行循环：i=4，S=8+4=12，满足条件，执行循环：i=5，S=12+5=17，i=6不满足条件i≤5，跳出循环，输出S=17，故答案为17．4.答案：80解析：本题考查频率分布直方图．属于基础题．由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8可得结果，解：由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8=80．故答案为805.答案：415解析：解：一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球，从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，∴2只球颜色相同的概率为p=mn =415．故答案为：415．基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，由此能求出2只球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：π3解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题.设A(x1,2)，B(x2,−2)，由函数图象可得(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，利用T=2×3=2πω，即可解得ω的值．解：∵函数为f(x)=2sin(ωx+φ)，图象中AB两点距离为5，设A(x1,2)，B(x2,−2)，。
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此时 S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 2 23 3 4 45 2 2 3 3 4 4 5 5 5
本题选择 C 选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
方程为
sin
4
3
2 2
，曲线
C
的参数方程是
y
x
cos 3 sin
（
是参数）．
（1）求直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程；
（2）求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离．
23．
如图，已知 AD 是 ABC 的外角 EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D ，延长 DA 交 ABC
10．设函数
f
(x)
2 x 1
2
,
x
2
，若互不相等的实数 a ， b ， c ， d 满足
x2 11x 30, x 2
f (a) f (b) f (c) f (d ) ，则 2a 2b 2c 2d 的取值范围是（）
A． (64 2 2,146)
B． (98,146)
C． (64 2 2, 266)
63 与椭圆 C 有两个交点 A, B ，且 OAOB 0 .
（1）求圆 O 的方程； （2）已知椭圆 C 的上顶点为 M ，点 N 在圆 O 上，直线 MN 与椭圆 C 相交于另一点 Q ，且 MN 2NQ ，求直线 MN 的方程. 18．如图 1，在 RtABC 中， C 90, BC 3, AC 6, D, E 分别是 AC, AB 上的点，且 DE / / BC, DE 2 ，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1C CD ，如图 2．
15．若三个数
a,1,
c
成等差数列（其中
a
c
），且
a2 ,1,
c2
成等比数列，则
lim
n
a a2
c c2
n
的值为
3
______．
16．如图所示，点 D 为 ABC 的边 BC 上一点， BD 2DC ， En n N 为 AC 上一列点，且满
足：
En
A
4an
1
En D
1 4an1
5
（1）求 f x 的解析式；
（2）若对任意
x
0,
4
，
f
x 2
af
x
a
1
0
恒成立，求实数
a
的取值范围.
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第
5
一题计分。
22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标
（1）当 d a 2 时，写出 a4 所有可能的值；
（2）当 d 1 时，若 a2n a2n1 且 a2n a2n1 对任意 n N * 恒成立，求数列an 的通项公式； （3）记数列an 的前 n 项和为 Sn ，若a2n, a2n1 分别构成等差数列，求 S2n .
20．知向量 m sin x cosx, 3 cosx ， n cosx sin x, 2sin x( 0) ，函数
F t,u, v, w | 0 t u 4, 0 v w 4且t,u, v, w ，用 card 表示集合 中的元素个
数，则 card card F （）
A． 50
B．100
C．150
D． 200
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为 b，设两条直线
l1：ax＋by＝2 与 l2：x＋2y＝2 平行的概率为 P1，相交的概率为 P2，则点 P(36P1，36P2)与圆 C：x2＋y2＝1098 的位置关系是______.
14．在三棱锥 S ABC 中， ABC 是边长为 3 的等边三角形， SA 3 ， SB 2 3 ，二面角
S AB C 的大小为120 ，则此三棱锥的外接球的半径为______.
AF2
，则该双曲线的离心率为（）
A． 2
B． 65 5
C． 3 5 5
D． 3
2．右图是一个算法的程序框图，如果输入 i 0 ， S 0 ，那么输出的结果为
1
A． 2 3
B． 3 4
C． 4 5
D． 5 6
3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得
到．图二是第 1 代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“勾股树”，以此类
22 4
P 1 P T P R P C P D 1 3 3 1 1 55 ，故选 4 4 2 2 64 B.
F
x
g
x
k
在区间
0,
π 2
上有且只有
一个零点，求实数 k 的取值范围.
21．已知函数 f x sin x b 0, 0 的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，
2
若将 f x 的图象先向右平移 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得图象关于 y 轴
3
对称且经过坐标原点.
【点睛】 本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、 推理论证能力、归纳总结能力，是中档题． 4．B 解析：B 【解析】 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为T , E 与 F 至少有一个不闭合的事件为 R ，则
8
P T P R 1 1 1 3 ，所以灯亮的概率为
难题.
2．C
解析：C
【解析】
模拟程序框图运行过程，如下；
当 i=1 时, S 1 ，满足循环条件，此时 i=2； 1 2
当 i=2 时, S 1 1 ，满足循环条件，此时 i=3； 1 2 23
当 i=3 时, S 1 1 1 ，满足循环条件，此时 i=4； 1 2 23 3 4
当 i=4 时, S 1 1 1 1 ，不满足循环条件， 1 2 23 3 4 45
2
A．4072
B．2026
C．4096
D．2048
9．已知数列
xn
满足
0
x1
x2
，且
xn1
xn xn
sin cos
xn , xn ,
xn xn
xn1 xn1
n
2
，则（）
A． x3 x4 , x2019
B． x3 x4 , x2019
C． x3 x4 , x2019
D． x3 x4 , x2019
AB=2m+2a, AF2 BF2 ,∴ AB2 BF22 AF22 ,即 2m 2a 2 m 2a 2 3m2 ，解
6
m=
2 3
a,
cos
ABF2
BF2 AB
4 5
cos F1BF2
2a 3
2
8a 3
2
4c2
2 2a 8a
, 解得
e=
65 5
33
故选：
B.
【点睛】
本题考查双曲线定义，简单几何性质，熟记双曲线定义，熟练解三角形正确运算是关键，是
推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为
（）
A． 2n1 1；n 1 B． 2n 1；n 1 C． 2n 1；n
D． 2n1 1；n
4．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F 为 6 个开关，其闭合的概率为 1 ，且是相互独立 2
的，则灯亮的概率是( )
f x m n t ，若 f x 的图象上相邻两条对称轴的距离为 π ，且图象过点 0, 0 .
4
（1）求 f x 表达式和 f x 的单调增区间；
（2）将函数 f x 的图象向右平移 π 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 8
（纵坐标不变），得到函数
y
g
x
的图象，若函数
A． 3
B． 5
C． 6
D． 2 2
7．（2015•怀化模拟）函数 f（x）=ln（x+1）﹣ 的零点所在的大致区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4） 8．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨 辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为 2n1 ， 若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2,3,3, 4, 6, 4,5,10,10,5, ，则此数列的前 55 项和为()
En B
，其中数列 an
满足
4an
1
0
，且
a1
2
，则
1 1 1 1 ______
a1 1 a2 1 a3 1
an 1
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考 题，每个考题考上都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。 17．在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x2 y2 1，若圆 O : x2 y2 R2 (R 0) 的一条切线
A． 1 64
B． 55 64
C． 1 8
D．2x2 px q 0 的一个根，则实数 p ， q 的值分别是（）
A．12，26
B．24，26
C．12，0
D．6，8
6．正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AC BD O ，则异面直线 AB 与 D1O 所成角的正切值等于 （）