高等数学第八章多元函数微分法及其应用第五节隐函数的求导公式8-5

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隐函数的求导公式法

隐函数的求导公式法隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它用于在给定一个方程时，求解出其中的变量关系，并对其进行求导。

隐函数求导可以通过求导公式法来进行，该方法适用于一些特定类型的隐函数。

首先我们来看一下隐函数的一阶导数的求导公式。

设有一个隐函数F(x, y) = 0，其中y = f(x) 是其隐函数形式，则根据链式法则有:dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0其中dF/dx表示对F(x, y)关于x求偏导，dF/dy表示对F(x, y)关于y求偏导，dy/dx表示f(x)对x的导数，即f'(x)。

根据上述公式，我们可以通过求导公式法来求解隐函数的导数。

下面我们通过一个例子来说明该方法的具体应用。

假设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们要求解出y对x的导数。

首先，我们对隐函数方程两边同时求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0然后，将dy/dx表示出来，得到：dy/dx = -2x / 2y = -x / y通过这个例子，我们可以看到隐函数的导数可以通过求导公式法来求解。

当然，在实际应用中，我们可能会遇到更复杂的隐函数，需要运用多次求导公式法或者其他方法来求解。

除了一阶导数的求导公式法，我们还可以推广到二阶导数的求导公式法。

设有一个隐函数F(x, y) = 0，其中y = f(x) 是其隐函数形式。

根据求导公式法，我们可以得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0对该式两边再次求导，得到：d^2F/dx^2 + d^2F/dy^2 * dy/dx + (dF/dx * dy/dx + dF/dy *d^2y/dx^2) = 0化简上述方程，可以得到二阶导数的求导公式：d^2y/dx^2 = - (dF/dx * dy/dx + dF/dy * d^2y/dx^2) / (d^2F/dy^2) 通过这个公式，我们可以求解出隐函数的二阶导数。

总结一下，隐函数的求导公式法是求解隐函数导数的一种常用方法。

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
隐函数是一种无法显式表达的函数，其表示为F(x,y)=0，其中x和y 是变量，F是一个用x和y表示的函数。

为了求解隐函数的导数，我们可以利用隐函数定理和导数的定义来推导隐函数的求导公式。

假设我们有一个由隐函数表示的方程F(x, y) = 0，并且y是x的函数，即y = f(x)。

我们要计算y关于x的导数dy/dx。

首先，根据隐函数定理，假设F(x, y)在一些区域内连续且可导，并且在该区域内F_y(x, y) ≠ 0，那么我们就能通过求F(x, y) = 0对x 求导来获得dy/dx的表达式。

1.对F(x,y)=0两边同时对x求导，利用链式法则，得到：
dF/dx = ∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
2. 我们知道y = f(x)，所以dy/dx = df(x)/dx。

我们将这个表达式代入到上面的方程中，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * df(x)/dx = 0
∂F/∂x + ∂F/∂y * df(x)/dx = 0
3. 然后我们可以将df(x)/dx移项，得到：
∂F/∂y * df(x)/dx = -∂F/∂x
4.最后，我们可以得到隐函数的求导公式：
df(x)/dx = -∂F/∂x / ∂F/∂y
这就是隐函数的求导公式，在满足隐函数定理的条件下，我们可以使用这个公式计算隐函数的导数。

需要注意的是，这个公式的前提是隐函数定理的条件成立，并且存在F_y(x,y)≠0。

如果不满足这些条件，就无法使用这个公式来求解隐函数的导数。

此外，公式中的∂表示对变量求偏导数。

高数多元函数微分学教案第五讲隐函数的求导公式

第五讲隐函数的求导公式授课题目：§8.4 隐函数的求导公式教学目的与要求：会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

教学重点与难点：重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。

难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

讲授内容：一、一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. （2）公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F 【x , f (x )】≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=，00==x dx dy ; 332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 1022-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂ （4）公式（4）的推导：将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F 【x , y , f (x , y )】≡0, 将它的两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设函数由方程3.=+-xy z e z 所确定, 求22x z ∂∂．解设F (x , y , z )= 3.-+-xy z e z , 则F x =y , F z =1-z e , zz z x e y e y F F x z -=--=-=∂∂11,3222222)1()1(1)1()(z z z z z z e e y e e y ye e x z e y x z -=--⋅=-∂∂--=∂∂ 二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=．一般地，方程组 ⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5）如何根据原方程组求u , v 对x 和,y 的偏导数？介绍二阶行列式、简要介绍解线性方程的克莱姆法则。

隐函数的求导公式63412精品

u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )

0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)

00时, 它可能确定两个一元函数,
现假定它确定 u u( x),v v( x),且两个函数都
F ( x, f ( x)) 0
Fx
(
x
,
y
)

Fy
(
x,
y
)

dy dx

0
由于Fy ( x, y)连续，且Fy ( x0 , y0 ) 0，所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内Fy ( x, y) 0,
于是得
dy Fx ( x, y) 或简写: dy Fx .
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
求 u , u , v , v . x y x y
同理,
两边关于y求偏导,得
F y G y

F u G u
u y u y
请看课本第34页, 隐函数存在定理3.
19
隐函数的求导公式
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
求 u , u , v , v . x y x y
将恒等式
F ( x, G( x,
y, u( x, y, u( x,
y),v( x, y),v( x,
fv ( xy
xz y), z
整理得
y

隐函数的求导法

17
F F x u G G x u
u F x v u G x v
v 0 x v 0 x
隐函数的求导公式
F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 求 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
F u G u
F v 1 ( F , G ) , G J ( y, v ) v
F v 1 ( F , G ) . G J ( u, y ) v
F u G u
18
隐函数的求导公式
特别
F ( x , y , u, v ) 0 如果方程组 G ( x , y , u, v ) 0
下面讨论如何由隐函数方程求偏导数.
2
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
在一元函数微分学中, 曾介绍过隐函数
F ( x, y ) 0
(1)
的求导法. 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 的求导公式, 并指出: 隐函数存在的一个充分条件.
3
隐函数的求导公式
x dy Fx ye y. dx Fy xe
6
隐函数的求导公式
注意:
1. 定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出. 2. 定理的结论是局部的. 3. 隐函数的导数仍含有x与y,理解: Fx ( x, y ) dy 求高阶导时,利用复 dx Fy ( x, y ) 合函数的求导方法.
设u z 2z, 且z z( x, y )由方程xe ye ze
2 x y
z
( z 1)所确定, 求du.
解法二利用隐函数求导公式. 令 F ( x , y , z ) xe x ye y ze z

8.5_隐函数的求导公式

dx dx
x x
的方法相同.
26
8.5 隐函数的求导公式
例
设 xx2yy 2 z 1 2z22,(y0,z0)求ddxy
, dz 及 dx
dy dz
,
.
dxx1 dxx1
F F
(F ,G) (u, v )
u G
y = f (x), 它满足条件y0 = f (x0), 并有
dy Fx(x, y) 隐函数的求导公式 dx Fy(x, y)
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F(x,f (x))0
两边关于x求导, 由链导法则, 得
4
8.5 隐函数的求导公式
F(x,f (x))0
Fx(x,y)Fy(x,y)
d d
一个隐函数y
=
f
(x),
并求
dy dx
.
证记 F (x ,y ) x y e x ey,则
(1) F x(x,y)yex与 F y(x,y)xey在点 (0,0) 的邻域内连续;
(2) F(0,0)0;
(3) F y(0,0)10, 隐函数存在定理1
所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、
当 x0时 y0的隐函数 y = f (x), 且
隐函数的求导公式 dy Fx(x, y) dx Fy(x, y)
8
8.5 隐函数的求导公式
2. 由三元方程F(x, y, z) = 0确定二元隐函数
z = f (x, y), 求 z , z . x y
隐函数存在定理2 若三元函数F (x, y, z)满足:
(1) 在点P (x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续
zz
求 z , z . x y

多元函数微分法及其应用.doc

第八章多元函数微分法及其应用一、本章教学目标：1.使学生掌握多元函数的基本概念2.使学生掌握多元函数的微分求解关系3.使学生掌握多元函数各知识点之间的联系二、本章基本要求：1.使学生掌握多元函数连续的计算2.使学生掌握多元函数微分的计算三、本章各节的教学内容：第一节多元函数的基本概念教学内容：①平面点集，n维空间②多元函数的概念③多元函数的极限④多元函数的连续性第二节偏导数教学内容：①偏导数的定义及计算法②高阶偏导数第三节全微分教学内容：①全微分的定义②全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则教学内容：①多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导法则教学内容：①一个方程的情形②方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用教学内容：①空间曲线的切线与法平面②曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度教学内容：①方向导数②梯度第八节多元函数的极值及其求法教学内容：①多元函数极值、最大值和最小值②条件极值，拉格朗日乘数法四、本章教学重点：1.使学生掌握多元函数的连续2.使学生掌握多元函数的微分3.使学生掌握多元函数微分学的应用五、本章教学内容的深化和拓宽：使学生深化对多元函数知识点间的联系六、本章教学方式：多媒体七、本章教学过程中应注意的问题：培养学生用发展变化的观点看待问题八、本章主要参考书目：1.同济大学数学教研室主编.1996年.北京：高等教育出版社2.华东师范大学数学系主编.1990年.北京：高等教育出版社3.惠淑荣主编.2002年.北京：中国农业出版社4.李喜霞主编.2003年.北京：中国农业出版社九、本章思考题：1.多元函数极限，连续，可微之间的关系2.多元函数求导的法则及应用3.多元函数微分学及应用§8-1多元函数的基本概念一、区域 1.邻域设0P 是XOY 平面上的一点，δ是一个正数，与点0P 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域。

记作()0,U P δ，即(){}00,U PP PP δδ=<，也就是 ()({}0,,U P x y δδ=<。

高数下第8章

x = x z = f ( x, y) o ∴ 选C . 3 曲线 ⇔ y = 0 y = 0 z = f ( x ,0 ) r 切向量：切向量： T = {ϕ ′( x ),ψ ′( x ), ω ′( x )}( 0, 0, f ( 0, 0 ))
= {1, 0, f x ( x ,0 )}( 0 , 0 , f ( 0, 0 )) = {1,0, 3}
关系图 u v w x y w x y x y
求导公式
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
z
z = f ( x, y, w) z w = ϕ( x, y)
F ( x , y, z ) = 0 的法向量：的法向量： r n = { Fx , Fy , Fz }
2( x + 1) + 4( y + 2) + 1 ⋅ ( z − 5 ) = 0
x 2 + y2 + z 2 = 6 4. 曲线在点( 2,1,1)处的切线 x 2 + y2 − z 2 = 4 2 ± 与y轴的夹角余弦是 _____ . 5
解 1o 可导 ⇒ 可微， ∴ A不可取. / 可微， 2o Σ : F ( x , y, z ) = f ( x , y ) − z = 0， r 法向量：法向量： n = { Fx , Fy , Fz }( 0 , 0 , f ( 0 , 0 )) = { f x , f y , −1} ( 0 , 0 , f ( 0 , 0 )) ∴ B错

隐函数求导法则公式

隐函数求导法则公式隐函数求导法则是微积分中的一个重要概念，它用于求解含有隐式变量的函数的导数。

隐函数求导法则公式可以帮助我们更方便地求解这类函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。

下面我们将详细介绍隐函数求导法则公式及其应用。

隐函数求导法则公式的表述如下：设有方程 F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数，即 y = f(x)，则 y 对 x 的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中∂F/∂x 表示对 F 进行偏导数运算，∂F/∂y 也是类似的意思。

这个公式是隐函数求导法则的核心，通过它我们可以求解含有隐式变量的函数的导数。

接下来我们将通过一个具体的例子来说明隐函数求导法则公式的应用。

假设有方程 x^2 + y^2 = 1，我们需要求解 y 对 x 的导数。

首先，我们将这个方程表示为 F(x, y) = 0 的形式，即 F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。

然后，我们对 F(x, y) 分别对 x 和 y 求偏导数，得到∂F/∂x = 2x，∂F/∂y = 2y。

最后，代入隐函数求导法则公式，得到 dy/dx = - (2x) / (2y) = -x/y。

通过这个例子，我们可以看到隐函数求导法则公式的应用过程，它可以帮助我们求解含有隐式变量的函数的导数，从而更加灵活地应用微积分知识。

除了上述的基本公式，隐函数求导法则还有一些特殊情况的应用，比如当方程 F(x, y) = 0 不易直接求导时，我们可以先对 x或 y 求导，然后再应用隐函数求导法则公式。

此外，隐函数求导法则还可以应用于求解高阶导数、求解参数方程等问题。

总之，隐函数求导法则公式是微积分中的一个重要工具，它可以帮助我们更方便地求解含有隐式变量的函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。

希望通过本文的介绍，读者能对隐函数求导法则有更加深入的理解，并能够灵活运用到实际问题中。

高等数学第八章多元函数微分法及其应用第五节隐函数的求导法则

Fx dy = . dx Fy
求导公式推导:
隐函数的求导公式
方程 F ( x , f ( x )) ≡ 0两边对 x求导数,得:
Fx dy dy = 0, = . Fx + Fy dx Fy dx
例1 验证方程 x + y 1 = 0 在点 ( 0,1) 的某邻域内能唯一确定一个可导,且 x = 0 时 y = 1 的隐函数 y = f ( x ) ,并求这函数的一阶和二阶导数在 x = 0 的值.
隐函数存在定理 2 (1)设函数 F ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数, (2) F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ,(3) Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ,则方程 F ( x , y , z ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ,它满足条 z0 = f ( x0 , y0 ) , 并有
Fx Fv G x Gv 1 (F ,G ) u , = = Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) = = Gu G x x J ( u, x )
Fu Fv Gu Gv
Fy 1 (F ,G ) u = = Gy y J ( y, v )
Fv Gv
Fu
在 J ≠ 0 的条件下,
u y u v x xu + yv v = = = 2 , 2 x y x x x +y y x x u3;y y x
将所给方程的两边对 y 求导,用同样方法得
u xv yu = 2 , 2 y x + y v xu + yv = 2 . 2 y x +y

高等数学第八章多元函数微分法及其应用

其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,

8.5-2隐函数求导——方程组的情形

u( x,
v
du 1 d (F, G) dx J d ( x, v )
FF
x
GG
xv 9
F~F
uv
GG
u经济数学--微积分o8v = 1 8 (F, G)= 8x J 8(u, x)
8u = 1 8 (F, G)= dv = _ 1 8 (F, G) d8yy J 8J(8u,(yy,) v)
经济数学--微积分
2 ex =
x
x - z sin ——d
t du t,求——. e xy
-2,
o
t
解：两个隐函数方程两边对x求导，得
r exy (y + xy，) - (y + xy，) - 0
― Y
x
- I e
sin(x
xz
z) (i_ z,)
xx
' 解得
y'
=
-
y
,
z，=
1
-
e
(x z) -
x sin( x - z)
解1 运用公式推导的方法，
解2将所给方程的两边对x求导并移项
经济数学--微积分
du dv
x--y——=-u
dx dx du dv '
一y--F x——= v
x-y yx
主在J
0的条件下,
—
一
—u y
u
一 x
一 yu
将du所给-v方程x的x两u 边+ y对v y求导dv，用y 同样v方xv 法得
dx x
经济数学
微积分
在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零，则方程组
F ( x, y, u, v ) = 0\

高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导资料

则 (1)方程
的某邻域内可唯一确定
一个单值连续可导函数 y = f (x) , 满足条件
(2) dy Fx dx Fy
隐函数求导公式
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
上页下页返回结束
则两边对 x 求导
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
上页下页返回结束
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则可求隐函数的二阶导数:
x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
上页下页返回结束
则
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
z Fx
x Fz
同理可得
z Fy
y Fz
上页下页返回结束
例2.
设x2

y2

z
2

4z
3) Fy (0,0) 1 0
由定理1知, 在(0, 0) 的某邻域内,所给方程能唯一
确定一个单值可导的隐函数
且
上页下页返回结束
dy dx
x

0

Fx Fy
x0
ex y cos y x
x 0, y 0
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
且有偏导数公式:
上页下页返回结束
u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu Fv
Gu Gv
u 1 (F,G) 1
y J ( y, v)
Fu Fv

高等数学多元微分隐函数求导公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

1)有连续偏导数;
2) F (x0 , y0 ) 0; 3) Fy (x0 , y0 ) 0
则 (1)方程 F (x, y) 0 在( x0, y0 ) 某邻域内可唯一拟定
一个单值连续可导函数 y = f (x) , 满足条件 y0 f (x0 );
(2) d y Fx dx Fy
隐函数求导公式
F1
d(
x) z
F2
d(
y) z
0
F1
(
zd
x z2
xdz)
F2
(
zd
y z2
yd
z)
0
整理得解得
xF1 yF2 z2
dz
F1dx F2 dy z
dz
x
z F1
y
F2
(F1dx
F2d y)
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三、方程组情形
隐函数存在定理还能够推广到方程组情形.
以两个方程拟定两个隐函数情况为例：
在点(x0 , y0 ) 某一邻域内可唯一拟定一组满足条件
u0 u(x0 , y0 ) , v0 v(x0 , y0 ) 单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
且有偏导数公式:
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u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu Fv
1.方程在什么条件下能拟定隐函数?
比如, 方程 x2 y C 0
当 C < 0 时, 能拟定隐函数; 当 C > 0 时, 不能拟定隐函数; 2.在方程能拟定隐函数时, 处理隐函数求导数问题.
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一、二元方程拟定一元隐函数
定理1. 设函数 F (x, y) 在 P(x0, y0 )某邻域内满足

8-5隐函数求导法则

第五节
第八章
隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
1
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
例1 已知 x 2 y2 1 0 , 求 d y dx
解
对隐函数方程微分得 : 2xdx 2ydy 0 解得
d y x . (1) dx y
(2z) x x

2z ( 2 z )2

( 2 z )2 x2 ( 2 z )3
.
9
例4. 设 z f ( x y z, x yz), 求 z , x , y . x y z
解 d z f1 (d x d y d z) f2 ( yzd x xzd y xyd z)
设
x2 y2 z2 4z 0 , 求
2z x2
.
解. 令 F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z ,
则 Fx 2x ,
Fz 2z 4 ,
z Fx x , x Fz 2 z
2z
(2z) x z

x
x2
( 2 z )2

1 J
Fy Gy
Fv Gv
,
v y

1 J
F u
Gu
Fy Gy
.
存在性定理见课本 P 34 定理3 .
以上结果可作公式使用 .
13
定理3. 设函数 ① 在点导数；
满足: 的某一邻域内具有连续偏
② F(x0 , y0,u0, v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;