江苏省赣榆县海头高级中学高中数学课件 选修2-2《2.2.2 间接证明2》
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【高中课件】高中数学苏教版选修22第2章推理与证明2.2.2课件ppt.ppt
中小学精编教育课件
2.2.2
2.2.2 间接证明
【学习要求】
本 课
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
时 栏
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
目 开
【学法指导】
关 反证法需要逆向思维，难点是由假设推出矛盾，在学习中可
通过动手证明体会反证法的内涵，归纳反证法的证题过程.
2.2.2
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是 与 已知条件 矛盾，或与 假设 矛盾，或与 定义、公理、定
理、事实 矛盾等.
2.2.2
答案 反证法.
问题 2 上述方法的含义是什么？
答案 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成
本 课
立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，
课
时 栏
因此 m2＝2n2，
目 开
所以 m 为偶数.于是可设 m＝2k(k 是正整数)，从而有
关
4k2＝2n2，
即 n2＝2k2，
所以 n 也为偶数.这与 m，n 互质矛盾.
由上述矛盾可知假设错误，从而 2不是有理数.
2.2.2 小结 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”
本
课 等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应
少有一个大于 0.
2.2.2
1.证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
本 _三___角__形__中__至__少__有__两__个__直__角__或__钝__角___.
课
时 栏
2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60°”，应
课
时 推出结论的线索不够清晰；
2.2.2
2.2.2 间接证明
【学习要求】
本 课
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
时 栏
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
目 开
【学法指导】
关 反证法需要逆向思维，难点是由假设推出矛盾，在学习中可
通过动手证明体会反证法的内涵，归纳反证法的证题过程.
2.2.2
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是 与 已知条件 矛盾，或与 假设 矛盾，或与 定义、公理、定
理、事实 矛盾等.
2.2.2
答案 反证法.
问题 2 上述方法的含义是什么？
答案 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成
本 课
立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，
课
时 栏
因此 m2＝2n2，
目 开
所以 m 为偶数.于是可设 m＝2k(k 是正整数)，从而有
关
4k2＝2n2，
即 n2＝2k2，
所以 n 也为偶数.这与 m，n 互质矛盾.
由上述矛盾可知假设错误，从而 2不是有理数.
2.2.2 小结 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”
本
课 等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应
少有一个大于 0.
2.2.2
1.证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
本 _三___角__形__中__至__少__有__两__个__直__角__或__钝__角___.
课
时 栏
2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60°”，应
课
时 推出结论的线索不够清晰；
江苏省赣榆县海头高级中学高中数学课件选修2-2《2.2.1直接证明1》
1. 若a 0,b 0,求证：a b 1 2 2. ab
直接证明（练习）
2. 若 a 1, b 1, 求证：a b 1. 1 ab
证
要证
ab 1
1 ab
只需证明
a
b
2
1
1 ab
a 1 b 1 a2 1 b2 1
a2 1 0, b2 1 0
只需证明 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件
吻合为止
分析法
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
直接证明（例题）
例: 如图，已知 AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证： CE DF .
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO 所以 CO DO AO BO
因为
AE BF（已知）
所以
EO FO
又因为 EOC FOD（对顶角相等）
所以 EOC FOD
所以
EC FD
直接证明
证 （分析法）要证明CE=DF，只需证明 EOC FOD
为此只需证明 CO DO EOC FOD EO FO
分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。
从具体问 题出发
观察、分析 比较、联想
归纳、 类比
提出猜想
演绎推理:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
注意：
１）演绎推理是由一般到特殊的推理； ２）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ⑴大前提--已知的一般原理； ⑵小前提--所研究的特殊情况； ⑶结论--据一般原理，对特殊情况做出的判断．
直接证明（练习）
2. 若 a 1, b 1, 求证：a b 1. 1 ab
证
要证
ab 1
1 ab
只需证明
a
b
2
1
1 ab
a 1 b 1 a2 1 b2 1
a2 1 0, b2 1 0
只需证明 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件
吻合为止
分析法
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
直接证明（例题）
例: 如图，已知 AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证： CE DF .
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO 所以 CO DO AO BO
因为
AE BF（已知）
所以
EO FO
又因为 EOC FOD（对顶角相等）
所以 EOC FOD
所以
EC FD
直接证明
证 （分析法）要证明CE=DF，只需证明 EOC FOD
为此只需证明 CO DO EOC FOD EO FO
分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。
从具体问 题出发
观察、分析 比较、联想
归纳、 类比
提出猜想
演绎推理:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
注意：
１）演绎推理是由一般到特殊的推理； ２）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ⑴大前提--已知的一般原理； ⑵小前提--所研究的特殊情况； ⑶结论--据一般原理，对特殊情况做出的判断．
江苏省沭阳县潼阳中学苏教版高中数学选修2-2课件：222间接证明(共23张PPT)
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则 2b1＝3, 2b2＝3，两式相除得 2b1b2 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾. ∴假设不成立，从而原命题得证.
证明
反思与感悟
用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题， 需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只 有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在 性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法 证其唯一性.
解析 a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c 中至少有一个偶数”.
12345
解析 答案
4.证明：方程2x＝3有且仅有一个实根.
证明 ∵2x＝3，∴x＝32，
∴方程2x＝3至少有一个实根.
假设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，
则22xx21＝＝33，，
① ②
由①－②得，2(x1－x2)＝0， ∴x1＝x2， 这与x1≠x2矛盾.假设不成立 ∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立.
跟踪训练2 已知a与b是异面直线，求证：过直线a且平行于直线b 的平面只有一个．
证明 如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α
和β，
在直线a上取点A，过直线b和点A确定一个平面γ，且平面γ与平面α，β分
别交于过点A的直线c，d，
由b∥α，知b∥c，同理b∥d，
故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，
思考
王戎的论述运用了什么论证方法？ 答案 实质运用反证法的思想.
答案
梳理
(1)间接证明 ①定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直 接证明的方法通常称为间接证明. ②常用方法：反证法. (2)反证法 ①基本过程：反证法证明时，要从 否定结论 开始，经过 正确推理 ， 导致逻辑矛盾，从而达到 新的否定(即肯定原命题).
则 2b1＝3, 2b2＝3，两式相除得 2b1b2 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾. ∴假设不成立，从而原命题得证.
证明
反思与感悟
用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题， 需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只 有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在 性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法 证其唯一性.
解析 a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c 中至少有一个偶数”.
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解析 答案
4.证明：方程2x＝3有且仅有一个实根.
证明 ∵2x＝3，∴x＝32，
∴方程2x＝3至少有一个实根.
假设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，
则22xx21＝＝33，，
① ②
由①－②得，2(x1－x2)＝0， ∴x1＝x2， 这与x1≠x2矛盾.假设不成立 ∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立.
跟踪训练2 已知a与b是异面直线，求证：过直线a且平行于直线b 的平面只有一个．
证明 如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α
和β，
在直线a上取点A，过直线b和点A确定一个平面γ，且平面γ与平面α，β分
别交于过点A的直线c，d，
由b∥α，知b∥c，同理b∥d，
故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，
思考
王戎的论述运用了什么论证方法？ 答案 实质运用反证法的思想.
答案
梳理
(1)间接证明 ①定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直 接证明的方法通常称为间接证明. ②常用方法：反证法. (2)反证法 ①基本过程：反证法证明时，要从 否定结论 开始，经过 正确推理 ， 导致逻辑矛盾，从而达到 新的否定(即肯定原命题).
【优质文档】2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章2.22.2.2间接证明
用反证法证明惟一性命题
a， b， c不成等
[例 2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点． [思路点拨 ] “ 有且只有一个 ” 的否定分两种情况： “ 至少有两个 ” 、“一个也没有 ”． [精解详析 ] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点． 若直线 a， b 无交点， 则 a∥b 或 a， b 是异面直线，与已知矛盾． 若直线 a， b 不只有一个交点，则至少有两个交点 A 和 B， 这样同时经过点 A， B 就有两条直线， 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述， 两条相交直线有且只有一个交 点． [一点通 ] 证明 “ 有且只有一个 ”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当 证明结论以 “ 有且只有 ”“ 只有一个 ”“ 惟一存在 ” 等形式出现的命题时， 由于反设结论易 于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．
综上所述．原结论成立．
[一点通 ] (1)结论中含有 “ 不” 、“ 不是 ”、“不可能 ”、“不存在 ”等词语的命题称 为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．
(2) 反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即
“ 否定之否定等于肯
定” ，其中：第一个否定是指 “ 否定结论 (假设 )” ；第二个否定是指 “ 逻辑推理结果否定了 假设 ”． 反证法属 “间接解题方法 ”．
如果 b1－b2<0，则 2b1－ b2 <1，这与 2b1－b2＝ 1 相矛盾．
因此 b1－b2＝0，则 b1＝ b2，这就同 b1≠ b2 相矛盾．
如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故 2x＝ 3 有且仅有一个根．
5． 求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直． 解： 已知 P?平面 α. 求证：过点 P 和平面 α垂直的直线 b 有且只有一条．
a， b， c不成等
[例 2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点． [思路点拨 ] “ 有且只有一个 ” 的否定分两种情况： “ 至少有两个 ” 、“一个也没有 ”． [精解详析 ] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点． 若直线 a， b 无交点， 则 a∥b 或 a， b 是异面直线，与已知矛盾． 若直线 a， b 不只有一个交点，则至少有两个交点 A 和 B， 这样同时经过点 A， B 就有两条直线， 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述， 两条相交直线有且只有一个交 点． [一点通 ] 证明 “ 有且只有一个 ”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当 证明结论以 “ 有且只有 ”“ 只有一个 ”“ 惟一存在 ” 等形式出现的命题时， 由于反设结论易 于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．
综上所述．原结论成立．
[一点通 ] (1)结论中含有 “ 不” 、“ 不是 ”、“不可能 ”、“不存在 ”等词语的命题称 为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．
(2) 反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即
“ 否定之否定等于肯
定” ，其中：第一个否定是指 “ 否定结论 (假设 )” ；第二个否定是指 “ 逻辑推理结果否定了 假设 ”． 反证法属 “间接解题方法 ”．
如果 b1－b2<0，则 2b1－ b2 <1，这与 2b1－b2＝ 1 相矛盾．
因此 b1－b2＝0，则 b1＝ b2，这就同 b1≠ b2 相矛盾．
如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故 2x＝ 3 有且仅有一个根．
5． 求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直． 解： 已知 P?平面 α. 求证：过点 P 和平面 α垂直的直线 b 有且只有一条．
(教师用书)高中数学 2.2.2 间接证明同步备课课件 苏教版选修2-2
x－2 已知 f(x)＝a ＋ (a＞1)，证明方程 f(x)＝0 没有负数 x＋1
x
根．
【证明】
假设 x0 是方程 f(x)＝0 的负实根，则 x0＜0
且 x0≠－1. x0－2 x0－2 ∴ax0＋ ＝0，则 ax0＝－ ， x0＋1 x0＋1 又 a＞1，知 0＜ax0＜1. x0－2 1 从而 0＜－ ＜1，解之得 ＜x0＜2. 2 x0＋1 这与 x0＜0 矛盾，从而假设不成立． 故方程 f(x)＝0 没有负实根．
●教学流程设计
演示结束
课 标 解 读
1.理解反证法的思考过程和特点，会运用反证法证明简 单数学问题(重点、难点)． 2．利用反证法证明时，对结论的假设否定(易错点).
间接证明
【问题导思】 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋 友在路上玩耍． 一天， 他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘 了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李 子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘 光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 1．王戎的论述运用了什么证明方法？
则 a＋ c＝2 b，即 a＋c＋2 ac＝4b. 又 b2＝ac，即 b＝ ac， ∴a＋c＋2 ac＝4 ac， ∴( a－ c)2＝0，即 a＝ c. 从而 a＝b＝c，这与 a，b，c 不成等差数列矛盾． 故 a， b， c不成等差数列．
1． 反证法证明问题中“归谬”是关键， 本题充分运用 a， b，c 不成等差数列这一条件，得出矛盾． 2．结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反 证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转 化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很 容易推出矛盾，从而达到证题的目的．
【高中课件】高中数学苏教版选修22第二章推理与证明复习与小结课件ppt.ppt
是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于
dn＞0，则dn＝
时，数列{dn}也是等比数列．
二、数学运用
例2 若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法
和分析法证明：
c a＋b
＋
a b＋c
＝1
．
分析法和综合法是两种常用的直接证明方法． 分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果. 分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．
二、数学运用
例4 已知数列{an}，an ≥0， a1 ＝0，an＋12＋an＋1 －1＝ an 2(n∈N*)
记Sn ＝ a1 ＋a2＋…＋an
Tn＝1＋1a1
＋
(1＋a1
1 )(1＋a2
)
＋
＋
(1＋a1
1 )(1＋a2
)
(1＋an
)
求证：当n∈N*时，（1） an＜an＋1
（2） Sn＞n－2
（3） Tn＜3
三、课堂总结
从知识、方法、收获三个方面进行小 结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间关 系．认识数学本质，把握数学本质，增强创 新意识，提高创新能力．
四、课后作业 教材第102-103页复习题 第3题，第4题，第5题，
第9题，第12题，第13题.
二、数学运用
例3 已知A，B，C∈(0，1)， 求证：(1－a)b， (1－b)c， (1－c)a不能同时大于
1
．
4
用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况： （1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾； （2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； （3）导出一个恒假命题．
江苏省赣榆县海头高级中学高中数学课件 选修2-2《2.2.2 间接证明2》
（1）当n=4时，求
a1 的数值；
d
（2）求n的所有可能的值.
第十五页，编辑于星期日：十四点 七分。
第十六页，编辑于星期日：十四点 七分。
求证：AB、
CD不能互相平分。
C
A
P
B
O
D
第十页，编辑于星期日：十四点 七分。
练习
第十一页，编辑于星期日：十四点 七分。
间接证明
3. 设函数
，求证：
中至少有一个不小于1.
第十二页，编辑于星期日：十四点 七分。
例2. 证明: 1, 2 , 3不可能是一个等差数列中的 三项.
第十三页，编辑于星期日：十四点 七分。
（3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而 肯定原结论成立.
反证法的思维方法：
正难则反
第六页，编辑于星期日：十四点 七分。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类 命题；
(4)结论为 “唯一”类命题；
第七页，编辑于星期日：十四点 七分。
间接证明
楚水实验学校高二数学备课组
第一页，编辑于星期日：十四点 七分。
一、知识回顾：
1直接证明概念
直接从原命题的条件逐步推得命题成立
2 直接证明的一般形式：
第二页，编辑于星期日：十四点 七分。
直接证明方法有几种？
有两种： 综合法、分析法
证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同 综合法：从已知条件出发，以已知的定义、 公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 要证明的结论为止
例1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么
高中数学 间接证明课件 苏教版选修2-2
2.2.2间接证明
间接证明（问题情境）
在《数（ 2学必修）》第三如 章何 中证 ，明
命题“在长A方B体 CD A1B1C1D1中， AB与A1C是异面直线”
假A 设 与 BA1C共面 由于经过C与 点直线 AB的
平面只能有一个 直线A1C和AB都应该在底面内 A1在底面内，与条件 A1在底面外矛盾
sinT0
即
Tk,kZ.
假设最小正0周 T期2 故T
从而对任意实数x都应有
sinx()sixn
这与
sin()sin 矛盾.
2
2
因此,原命题成立.
间接证明（习题1）
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.
证: 假设这个整数是奇数,可以设为2k+1, kZ.
则有 (2k1)24k24k1
而 4k2 4k 1 （k Z）不是偶数 这与原命题条件矛盾.
p 2 2 l 2 (3 )
(3 )式表明， p 2是 2的倍数，所以 p 也是 2的倍数 .
则 p 与 q 都是 2的倍数，它们至少有公
约数 2，
这与 p , q 互素矛盾，因此
2 不是有理数 .
（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法 枚举法
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
间接证明（问题情境）
在《数（ 2学必修）》第三如 章何 中证 ，明
命题“在长A方B体 CD A1B1C1D1中， AB与A1C是异面直线”
假A 设 与 BA1C共面 由于经过C与 点直线 AB的
平面只能有一个 直线A1C和AB都应该在底面内 A1在底面内，与条件 A1在底面外矛盾
sinT0
即
Tk,kZ.
假设最小正0周 T期2 故T
从而对任意实数x都应有
sinx()sixn
这与
sin()sin 矛盾.
2
2
因此,原命题成立.
间接证明（习题1）
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.
证: 假设这个整数是奇数,可以设为2k+1, kZ.
则有 (2k1)24k24k1
而 4k2 4k 1 （k Z）不是偶数 这与原命题条件矛盾.
p 2 2 l 2 (3 )
(3 )式表明， p 2是 2的倍数，所以 p 也是 2的倍数 .
则 p 与 q 都是 2的倍数，它们至少有公
约数 2，
这与 p , q 互素矛盾，因此
2 不是有理数 .
（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法 枚举法
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
-高中数学 2.2.2 间接证明课件 苏教版选修1-2
若 b1－b2<0，则 2 1－ 2<1，这也与 2 1－ 2＝1 矛盾． ∴ 1－ 2＝0，则 1＝ 2. 这与 b1≠b2 矛盾， 若方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故 2x＝3 有且只有一个根．
b b b b
b
b
b
b
题型三 用反证法证明“至多”“至少”等问题 【例 3】 (14 分)已知 a≥－1，求证以下三个方程： x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中 至少有一个方程有实数解． 本题综合考查方程根的判定，反证法的证明思路及 步骤． 【解题流程】 假设三个方程都没有实数根 → 三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
真一假，由此肯定命题“若p则q”为真．
(2) 思维过程：否定结论 ⇒ 推演过程中引出矛盾 ⇒ 否定假设肯
定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾， 从而达到新的“否定”(即肯定原命题))． 注意： (1) 否定结论 时，对结论的反面要一一否定，不能遗
漏．
(2)推理的过程必须是正确的，且必须用到假设．即导出的矛 盾必须是在假设的前提下推出的．
x0－2 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－ ， x0＋1 x0－2 由 0<ax0<1⇒0<－ <1， x0＋1 1 解得 <x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 2 故方程 f(x)＝0 没有负数根．
规律方法 多．
否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法较
【训练 1】 已知非零实数 a、b、c 成公差不为零的等差数列．求 1 1 2 证： ＋ ≠ . a c b 证明 1 1 2 假设a＋ c＝b，则 bc＋ab＝2ac，又 2b＝a＋c，
高中数学第二章推理与证明2.2.2间接证明课件苏教版选修22
第三十一页，共32页。
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
阶
段
阶
(j
段
iē
(j
d
iē
u
d
à
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n) 一
2.2.2 间接证明
à
n) 三
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学
(j
业
iē
分
d
层
u
测
à
评
n)
二
第一页，共32页。
1.理解反证法的思考过程和特点，会运用反证法证明简单数学问题. (重点、难点) 2.利用反证法证明时，对结论的假设否定.(易错点)
第二页，共32页。
[基础·初探] 教材整理 间接证明 阅读教材 P85“例 1”以上部分，完成下列问题. 1.间接证明： (1)定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的 方法通常称为间接证明. (2)常用方法：反证法.
【解析】 假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1. 则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”， 故选③. 【答案】 ③
第二十九页，共32页。
4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾， 故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为__________. 【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②. 【答案】 ③①②
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
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1.理解反证法的思考过程和特点，会运用反证法证明简单数学问题. (重点、难点) 2.利用反证法证明时，对结论的假设否定.(易错点)
第二页，共32页。
[基础·初探] 教材整理 间接证明 阅读教材 P85“例 1”以上部分，完成下列问题. 1.间接证明： (1)定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的 方法通常称为间接证明. (2)常用方法：反证法.
【解析】 假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1. 则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”， 故选③. 【答案】 ③
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4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾， 故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为__________. 【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②. 【答案】 ③①②
2013年高二数学同步备课课件2.2.2《间接证明》(苏教版选修2-2)
2.2.2
探究点四 用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题 例 3 若函数 f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根.
证明 假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实根，设 α、β 为其中的两个实根.因为 α≠β ，不妨设 α<β，又因为函 数 f(x)在[a，b]上是增函数，所以 f(α)<f(β).这与假设 f(α)＝0 ＝f(β)矛盾，所以方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实 根.
即 n2＝2k2，
所以 n 也为偶数.这与 m，n 互质矛盾. 由上述矛盾可知假设错误，从而 2不是有理数.
2.2.2
本 课 时 栏 目 开 关
小结
当结论中含有“不”、 “不是、 “不可能”、 “不存在”
等否定形式的命题时， 由于此类问题的反面比较具体， 适于应 用反证法.
2.2.2
跟踪训练 2 已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差 数列，求证： a， b， c不成等差数列.
2.2.2
②如图所示，如果 b∥α，则 a，b 确定平面 β. 显然 α 与 β 相交， 设 α∩β＝c， 因为 b∥α， 所以 b∥c.又 a∥b， 从而 a∥c，且 a⊄α，c⊂α，则 a∥α，这与 a∩α＝A 相矛盾.
本 课 时 栏 目 开 关
由①②知，假设不成立，故直线 b 与平面 α 必相交.
2.2.2
2.2.2 间接证明
【学习要求】 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. 【学法指导】 反证法需要逆向思维， 难点是由假设推出矛盾， 在学习中可 通过动手证明体会反证法的内涵，归纳反证法的证题过程.
江苏省赣榆县海头高级中学高中数学选修2-3《2.2.2事件的相互独立性》课件
（3）其中至少有一方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
第十六页，编辑于星期日：十四点 九分。
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次.
求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”.
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
第十七页，编辑于星期日：十四点 九分。
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B.
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的
概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生 的概率没有影响。
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”.A与B不是互独事件
3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球”
P=1-0.56=0.44
第十六页，编辑于星期日：十四点 九分。
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次.
求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”.
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
第十七页，编辑于星期日：十四点 九分。
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B.
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的
概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生 的概率没有影响。
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”.A与B不是互独事件
3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球”
高中数学第二章推理与证明2.2.1间接证明课件苏教版选修22
第二十页，共32页。
【自主解答】 因为a∥b， 所以过a，b有一个平面α. 又因为m∩a＝A，m∩b＝B， 所以A∈a，B∈b， 所以A∈α，B∈α. 又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α， 即过a，b，m有一个平面α，如图.
第二十一页，共32页。
假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α， 则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾. 因此，过a，b，m有且只有一个平面.
第十八页，共32页。
[探究共研探究1 反证法解题的实质是什么？ 【提示】 否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确. 探究2 应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用
________. ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论. 【提示】 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的假设
第三页，共32页。
2.反证法 (1)基本过程： 反证法证明时，要从 否定(fǒudìng)开结始论，经过 正确(zhèngquè)的，推导理致 逻辑(luójí)矛，盾 从而达到 新的否定 (即肯定原命题).
第四页，共32页。
(2)证题步骤：
第五页，共32页。
1.判断正误： (1)反证法属于间接证明问题的一种方法.( ) (2)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ) (3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( ) (4)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设应该是至少 两个钝角.( )
第三十一页，共32页。
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【自主解答】 因为a∥b， 所以过a，b有一个平面α. 又因为m∩a＝A，m∩b＝B， 所以A∈a，B∈b， 所以A∈α，B∈α. 又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α， 即过a，b，m有一个平面α，如图.
第二十一页，共32页。
假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α， 则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾. 因此，过a，b，m有且只有一个平面.
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[探究共研探究1 反证法解题的实质是什么？ 【提示】 否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确. 探究2 应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用
________. ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论. 【提示】 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的假设
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2.反证法 (1)基本过程： 反证法证明时，要从 否定(fǒudìng)开结始论，经过 正确(zhèngquè)的，推导理致 逻辑(luójí)矛，盾 从而达到 新的否定 (即肯定原命题).
第四页，共32页。
(2)证题步骤：
第五页，共32页。
1.判断正误： (1)反证法属于间接证明问题的一种方法.( ) (2)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ) (3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( ) (4)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设应该是至少 两个钝角.( )
第三十一页，共32页。
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
江苏省赣榆县海头高级中学高中数学课件 选修2-2《2.1.1 合情推理2》
由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有
这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
2、类比推理的几个特点：
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在 研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新 的结果.
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性.
的特征：
1)火星也是
绕太阳运行、绕轴自转的行星;
2)有大气层,在
一年中也有季节变更;
3)火星上大部分时间
的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.
科学家猜想：火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本 定理.
第九页，编辑于星期日：十四点 四分。
三、新课讲授：
1、类比推理:
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
第十四页，编辑于星期日：十四点 四分。
3、进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从 而得出一个猜想；
(3)检验这个猜想.
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
4、类比推理的一般模式:
3.类比的结果是猜测性的，不一定可靠,但它却有发现的 功能.
第十页，编辑于星期日：十四点 四分。
注意：
由于类比推理的前提是两类对象之间具 有某些可以清楚定义的类似特征，所以类比 推理的关键是明确地指出两类对象在某些方 面的类似特征。
第十一页，编辑于星期日：十四点 四分。
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的 祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉 事却使他发明了锯子.
这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
2、类比推理的几个特点：
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在 研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新 的结果.
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性.
的特征：
1)火星也是
绕太阳运行、绕轴自转的行星;
2)有大气层,在
一年中也有季节变更;
3)火星上大部分时间
的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.
科学家猜想：火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本 定理.
第九页，编辑于星期日：十四点 四分。
三、新课讲授：
1、类比推理:
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
第十四页，编辑于星期日：十四点 四分。
3、进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从 而得出一个猜想；
(3)检验这个猜想.
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
4、类比推理的一般模式:
3.类比的结果是猜测性的，不一定可靠,但它却有发现的 功能.
第十页，编辑于星期日：十四点 四分。
注意：
由于类比推理的前提是两类对象之间具 有某些可以清楚定义的类似特征，所以类比 推理的关键是明确地指出两类对象在某些方 面的类似特征。
第十一页，编辑于星期日：十四点 四分。
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的 祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉 事却使他发明了锯子.
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备间接证明
2.2.2 间接证明知识梳理证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不直接证明的方法通常称为__________.如反证法，反证法的证明过程概括为：“__________”“__________”“__________”“ __________”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.知识导学在数学证明问题时，如果直接证明或正面证明不易证出或不易入手的情况下，可从反面证，用反证法来证，反证法的应用需要逆向思维，依据是互为逆否命题的等价性，即要证原命题成立，只需证逆否命题成立，用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等，反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形，学习时注意体会.疑难突破反证法证明过程包括三个步骤剖析：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果.(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立，那么为什么这样证？其理论根据又是什么呢？用反证法证明的依据是互为逆否命题的等价性,即“若p则q”等价于“若⌝q则⌝p”成立，这里得出矛盾可以与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理矛盾，也可以与自身相矛盾，反证法的使用范围是正面不太容易证,而反面好证的情况下，“存在性”“唯一性”“至多”“至少”等问题常用反证法.典题精讲【例1】已知p3+q3=2，求证:p+q≤2.思路分析：本题的已知为三次式，且很难降次，虽然可分解为(p+q)(p2-pq+q2)=2，但还出现了我们不需要的二次式p2-pq+q2，所以正面很难入手，而所证的是一次式p+q，由一次式很容易升高次数，所以可用反证法.证明：假设p+q=t＞2,则p＞2-q.∴p3＞(2-q)3.∵p3+q3=2,∴p3+q3＞(2-q)3+q3=8-12q+6q2-q3+q3=8-12q+6q2=6(q-1)2+2≥2.∴2＞2与事实矛盾.绿色通道：在已知次数较高，而所证次数较低,正面解答不易时，可用反证法,注意反证法假设要全部否定结论.变式训练:设a、b都是整数，且a2+b2能被3整除.求证：a和b都能被3整除.证明：假设a、b中至少有一个不被3整除.不妨设a=3k+m(m=1或m=2且k∈Z),当b=3n(n∈Z),则a2+b2=(3k+m)2+(3n)2=9k2+6km+m2+9n2=3(3k2+2km+3n2)+m2.∵3(3k2+2km+3n2)能被3整除,m2不能被3整除,∴a 2+b 2不能被3整除,与已知矛盾.当b=3n+1(n ∈Z )时,a 2+b 2=(3k+m)2+(3n+1)2=9k 2+6km+m 2+9n 2+6n+1=3(3k 2+2km+3n 2+2n)+m 2+1.∵m 2+1不能被3整除，∴a 2+b 2不能被3整除,与已知矛盾.当b=3n+2(n ∈Z )时,a 2+b 2=(3k+m)2+(3n+2)2=9k 2+6km+m 2+9n 2+12n+4=3(3k 2+2km+3n 2+4n)+m 2+4.∵m 2+4不能被3整除，∴a 2+b 2不能被3整除,与已知矛盾.综上,可知a 和b 都能被3整除.【例2】 证明2是无理数.思路分析：无理数的概念是不是有理数的数,所以正面不易说明.若假设2是有理数得出矛盾就能说明2不是有理数，而是无理数.证明：假定2是有理数，则可设pq =2，其中p 、q 为互质的正整数. ∴2=22pq ,即q 2=2p 2. ∴q 2是偶数.∴q 也是偶数.设q=2m(m 为整数),则4m 2=2p 2.∴p 2=2m 2.∴p 2是偶数.∴p 也是偶数.∴p 、q 都是偶数，有公因数2,与p 、q 互为质数矛盾. ∴假设2是有理数不成立. ∴2是无理数.绿色通道：在证明“不是”或“没有”等否定性命题时常用反证法.变式训练:求证：正弦函数没有比2π小的正周期.证明：假设正弦函数y=sinx 有比2π小的正周期T ，(0＜T ＜2π),则sin(x+T)=sinx,对于任意x 都成立,∴x=0时，sinT=0.∴T=π.∴sin(x+π)=sinx.但当x=2π时,sin(2π+π)=-1,sin 2π=1,sin(x+π)≠sinx, 与sin(x+π)=sinx 矛盾.∴正弦函数没有比2π小的正周期.【例3】 已知a 、b 、c 、d ∈R ,且a+b=c+d=1,ac+bd ＞1.求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数.思路分析：本题要证a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数,具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能.所以正面证明很复杂,对于“至多”“至少”性问题可用反证法.证明：假设a 、b 、c 、d 都不是负数,即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0.∵a+b=c+d=1,∴b=1-a≥0,d=1-c≥0.∴ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac-(a+c)+1=(ac-a)+(ac-c)+1=a(c-1)+c(a-1)+1.∵a(c-1)≤0,c(a -1)≤0,∴a(c-1)+c(a-1)+1≤1,即ac+bd≤1.与ac+bd ＞1相矛盾.∴假设不成立.∴a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数.绿色通道：对于“至多”“至少”类命题的证明，常用反证法.变式训练:已知a 、b 、c ∈(0,1),求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于41. 证法一：假设三式同时大于41, 即b-ab ＞41,c-bc ＞41,a-ac ＞41. 相乘得a(1-a)b(1-b)c(1-c)＞641. 又∵a 、b 、c ∈(0,1),a(1-a)≤412)1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+a a , b(1-b)≤412)1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+b b , c(1-c)≤412)1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+c c , ∴a(1-a)b(1-b)c(1-c)≤641. 矛盾，∴假设不成立，即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于41. 证法二：假设三式同时大于41. ∵0＜a ＜1,∴1-a ＞0,2141)1(2)1(=≥+>+-b a b a . 同理,212)1(,212)1(>+->+-a c c b . 三式相加得2323>矛盾,∴假设不成立. ∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于41. 问题探究问题：1，3，2能否为同一等差数列中的三项？导思：有些问题在不定性或结论不确定时，我们可进行探索性研究，可从正面研究.若正面不易研究，再从反面研究，或假设成立会导致什么结果，或举反例否定，从而确定答案，下结论.探究：目前等差数列是谁不知道，无法正面验证，只能从反面假设，是同一等差数列中的三项，得出矛盾说明假设错误，原结论正确；得不出矛盾，则说明假设正确.假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1=3-md，2=3+nd，m、n为两个正整数，消去d得n+2m=3(n+m).∵n+2m为有理数,3(n+m)为无理数,∴n+2m≠3(n+m).∴假设不成立，即1、3、2不能为同一等差数列中的三项.。
最新-高中数学 直接证明课件 苏教版选修2-2 精品
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
分析法推证过程: 特点：由果索因.
结论 … … 已知条件
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同 证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止
综合法
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
直接证明的一般形式:
本题条件 已知定义 已知定理
A B C … 本题结论
已知公理Biblioteka 引例2：回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:
证明:要证
a
+ 2
b
ab
因为:( a b)2 0 所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
只需证:a + b 2 ab 只需证:a + b 2 ab 0 只需证:( a b)2 0
所以 EOC FOD
所以
EC FD
直接证明
证 （分析法）要证明CE=DF，只需证明 EOC FOD
为此只需证明 CO DO EOC FOD EO FO
分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。
为了证明 CO DO
通常以分析法寻求
只需 ACO BDO
思路，再用综合法有条理地
2.2.1 直接证明
引例1: 已知:四边形是ABCD平行四边形.
求证:AB=CD,BC=DA
证明:连结AC, ∵四边形 ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD,BC∥CD 故∠1=∠2, ∠3=∠4
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2课件：第2章 2.2 2.2.1 直接证明
2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”， 执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成 立的充分条件．它的证明格式：要证 ××× ，只需证 ×××，只需证×××……因为×××成立，所以××× 成立．
综合法的应用
[例 1] 已知 a，b，c∈R，且 a＋b＋c＝1，求证： a2＋b2＋c2≥13.
3．如果 a a＋b b>a b＋b a，则实数 a，b 应满足的条 件是________． 解析：a a＋b b>a b＋b a ⇔a a－a b>b a－b b ⇔a( a－ b)>b( a－ b) ⇔(a－b)( a－ b)>0 ⇔( a＋ b)( a－ b)2>0， 故只需 a≠b 且 a，b 都不小于零即可．
[精解详析] ∵a>0，b>0，c>0， ∴要证1a＋＋abb＋＋cb＋c＋abcca≥1， 只需证 1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc， 即证 1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0. ∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc) ＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a) ＝(1－a)(1－b－c＋bc)＝(1－a)(1－b)(1－c)， 又 a≤1，b≤1，c≤1， ∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0， ∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0 成立， 即证明了1a＋＋abb＋＋cb＋c＋abcca≥1.
∴a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a≥abc>0，(*)
又∵a，b，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，
∴原不等式成立．
1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为 营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的 思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．
综合法的应用
[例 1] 已知 a，b，c∈R，且 a＋b＋c＝1，求证： a2＋b2＋c2≥13.
3．如果 a a＋b b>a b＋b a，则实数 a，b 应满足的条 件是________． 解析：a a＋b b>a b＋b a ⇔a a－a b>b a－b b ⇔a( a－ b)>b( a－ b) ⇔(a－b)( a－ b)>0 ⇔( a＋ b)( a－ b)2>0， 故只需 a≠b 且 a，b 都不小于零即可．
[精解详析] ∵a>0，b>0，c>0， ∴要证1a＋＋abb＋＋cb＋c＋abcca≥1， 只需证 1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc， 即证 1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0. ∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc) ＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a) ＝(1－a)(1－b－c＋bc)＝(1－a)(1－b)(1－c)， 又 a≤1，b≤1，c≤1， ∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0， ∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0 成立， 即证明了1a＋＋abb＋＋cb＋c＋abcca≥1.
∴a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a≥abc>0，(*)
又∵a，b，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，
∴原不等式成立．
1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为 营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的 思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．
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例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。
C A O P B D
练习 2:若a,b,c均为实数,且a = x - 2y +
2
2
,
b = y - 2z +
2
3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） =0 ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
正难则反
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类 命题； (4)结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a > b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
（2）求n的所有可能的值.
Sn （Ⅱ）设 bn (n N ) ，求证：数列 {bn } n
2，S3 9 3 2
中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
拓展研究 设a1,a2,….，an是各项均不为零的n(n≥4)项 等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项 后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，
a1 （1）当n=4时，求 的数值； d
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件
结论
分析法
结论
已知条件
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 合理的推理 原结论成立
间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤： （1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真； （2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； （3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立. 反证法的思维方法：
间接证明
楚水实验学校高二数学备课组
一、知识回顾：
1直接证明概念
直接从原命题的条件逐步推得命题成立
2 直接证明的一般形式：
本题条件 已知定义 本题结论 已知公理 已知定理
直接证明方法有几种？
有两种： 综合法、分析法
证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同
综合法：从已知条件出发，以已知的定义、 公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 要证明的结论为止 分析法：从问题的结论出发，追溯导致结 论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成 立的条件和已知条件吻合为止
,c = z - 2x +
2
,
间接证明
3. 设函数
f ( x) 2 x 2 mx n ，求证：
f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于1.
例2. 证明: 1, 2 , 3不可能是一个等差数列中的 三项.
拓展研究
等差数列{an }的前 n 项和为 Sn，a1 1 2，S3 （Ⅰ）求数列{an } 的通项 an 与前n项和 Sn