2020届高三数学一轮复习练习 8.6挑战真题

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2020届高三理科数学一轮复习第八章第2节空间几何体的表面积和体积

所以 EH∥FG，EH＝FG，所以四边形 EHGF 为平行四边形，又 E
所以四边形 EHGF 为正方形.又点 M 到平面 EHGF 的距离为12，所
的体积为13× 222×12＝112.
答案
1 12
角度3 不规则几何体的体积【例2－3】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正
PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(
A.23π
B.243π
C.64π
D.634π
解析如图， O设′为正△P A 的C 中心D，为 Rt△ABC 斜边的中
H 为 AC 中点.由平面P A ⊥C平面 ABC.则 O′H⊥平面 ABC.作
O′O∥HD，OD∥O′H，则交 O点为三棱锥外接球的球O心P
规律方法 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意 (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【训练1】 (1)(2019·西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
答案 A
角度2 简单几何体的体积【例2－2】 (2018·天津卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1
正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱为________.
解析连接 AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为 E，H 分别为 AD1，
EH∥AC，EH＝12AC.因为 F，G 分别为 B1A，B1C 的中点，所以 F
即 R＝ 3.所以球的表面积 S＝4πR2＝12π.

2020届高三数学一轮复习练习 8.5挑战真题

1.(2020·陕西）“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：要使mx2＋ny2＝1，即x21m＋y21n＝1是焦点在y轴上的椭圆需有：⎩⎪⎨⎪⎧1m>0，1n>0，1m<1n⇔m>n>0，故互为充要条件．答案：C2.（2020·广东）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为.解析：依题意设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a＝12⇒a＝6，因为椭圆的离心率为32，所以a2－b2a＝32，所以36－b26＝32，解得b2＝9，所以椭圆G的方程为x236＋y29＝1.答案：x236＋y29＝13.（2020·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.解析：由题意结合图形得：直线A1B2的方程为x－a＋yb＝1，即－bx＋ay＝ab. ①直线B1F的方程为xc＋y－b＝1，即bx－cy＝bc. ②由①②求得：y＝b(a＋c)a－c，代入②得：x＝2aca－c，所以T⎝⎛⎭⎪⎫2aca－c，b(a＋c)a－c，则OT中点M的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫aca－c，b(a＋c)2(a－c).又因为M在椭圆上，所以a2c2a2(a－c)2＋b2(a＋c)24b2(a－c)2＝1，即4c2＋a2＋2ac＋c2＝4a2－8ac＋4c2，c2＋10ac－3a2＝0，所以e2＋10e－3＝0.又因为0<e<1，所以e＝27－5.答案：27－54.（2020·福建）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2,3），且点F（2,0）为其右焦点. （1）求椭圆C的方程;（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解:（1）依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2=1（a＞0,b＞0），且可知左焦点为F′（-2,0）,从而有c=2, 2a=|AF|+|AF′|=3+5=8,解得c=2, a=4.又a2=b2+c2,所以b2=12，故椭圆C的方程为22 1612x y+=1.（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=32x+t,由y=32x+t,221612x y+=1得3x2+3tx+t2-12=0.因为直线l与椭圆有公共点，所以有Δ=（3t）2-4×3（t2-12）≥0,解得-43≤t≤43.另一方面，由直线OA与l的距离为4可得:因为±13［33,所以符合题意的直线l不存在.5.（2020·全国新课标）设F1、F2分别是椭圆E:2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A,B两点，且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.（1）求E的离心率；（2）设点P（0,-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程.解:（1）由椭圆定义知|AF 2|+|BF 2|+|AB|=4a, 又2|AB|=|AF 2|+|BF 2|,得|AB|=43a. l 的方程为y=x+c,其中c=22a b .设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）,因为直线AB 的斜率为1,。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一(含答案解析)

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝∅C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C⊆∁R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1，所以C 为正确选项，故选C.]3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC→<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．]5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a 2]上单调递减，在[－a 2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a 2＝3，解得a ＝－6.]6．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]；当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)．综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]7．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]8．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]9．[－1,6]解析由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4；由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]． 10．[－8，－6]解析设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎨⎧ a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.11．－74解析若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.12.516解析因为函数f (x )的周期是4，则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.13．8或－83解析若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.14．(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1. 当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点；当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点．因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2. 15．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ，∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }，∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}．∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a .解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．16．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2；当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意．所以实数a 的取值范围是[1,2]．17．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52， ∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)．又∵f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．18．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2，即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)．19．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t )(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )，即ω(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (4＋1t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(t ＋100)＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t －4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313.因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．20．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x2－2x1(2x1＋1)(2x2＋1).∵函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴2x2－2x1>0.又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k －2t2)，∵f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R,3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.∴k的取值范围是(－∞，－1 3)．。

2020届高考步步高数学(理)一轮复习(京津鲁琼用解析版)第八章 8.6

§8.6立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲 1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．1．两个重要向量2.空间位置关系的向量表示概念方法微思考1．直线的方向向量如何确定？提示 l 是空间一直线，A ，B 是l 上任意两点，则AB →及与AB →平行的非零向量均为直线l 的方向向量．2．如何确定平面的法向量？提示设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( × )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( × ) 题组二教材改编2．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2，2，5)，当v ＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．答案 α⊥β α∥β解析当v ＝(3，－2，2)时，u ·v ＝(－2，2，5)·(3，－2，2)＝0⇒α⊥β. 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u ⇒α∥β.3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．答案垂直解析以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为1，则A (0，0，0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫12，0，1， AM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，－12，1＝0，∴ON 与AM 垂直．题组三易错自纠4．直线l 的方向向量a ＝(1，－3，5)，平面α的法向量n ＝(－1，3，－5)，则有( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l 与α斜交 D ．l ⊂α或l ∥α答案 B解析由a ＝－n 知，n ∥a ，则有l ⊥α，故选B.5．已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不对答案 C解析 ∵n 1≠λn 2，且n 1·n 2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直．6．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1，1，1) B ．(1，－1，1) C.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 D.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 答案 C解析设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ，→＝0，n ·AC ，→＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .故选C.题型一利用空间向量证明平行问题例1 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面． ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 引申探究若本例中条件不变，证明平面EFG ∥平面PBC . 证明 ∵EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)， ∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .思维升华利用空间向量证明平行的方法跟踪训练1 如图，在三棱锥P ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.求证：MN ∥平面BDE .证明如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．由题意，可得A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，4，0)，P (0，0，4)，D (0，0，2)，E (0，2，2)，M (0，0，1)，N (1，2，0)． DE →＝(0，2，0)，DB →＝(2，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ，→＝0，n ·DB ，→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n ＝(1，0，1)．又MN →＝(1，2，－1)，可得MN →·n ＝0. 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE . 题型二利用空间向量证明垂直问题命题点1 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明方法一设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证．方法二取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)， A (0，0，3)，B 1(1，2，0)．设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)．因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1，→＝0，n ·BD ，→＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD . 命题点2 证明面面垂直例3 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB . 求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，以A 为原点，分别以AC ，AB 所在直线为x 轴，z 轴，以过点A 垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，C (2a ，0，0)，B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)， E (a ，3a ，2a )．所以BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a ，0，－a )，CD →＝(－a ，3a ，0)，ED →＝(0，0，－2a )．设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·BE →＝0，n 1·BC →＝0可得⎩⎨⎧ ax 1＋3ay 1＋az 1＝0，2ax 1－az 1＝0，即⎩⎨⎧x 1＋3y 1＋z 1＝0，2x 1－z 1＝0.令z 1＝2，可得n 1＝(1，－3，2)．设平面CDE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 2·CD →＝0，n 2·ED →＝0可得⎩⎨⎧－ax 2＋3ay 2＝0，－2az 2＝0，即⎩⎨⎧－x 2＋3y 2＝0，z 2＝0.令y 2＝1，可得n 2＝(3，1，0)．因为n 1·n 2＝1×3＋1×(－3)＋2×0＝0. 所以n 1⊥n 2，所以平面BCE ⊥平面CDE .思维升华利用空间向量证明垂直的方法跟踪训练2 如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形，平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3)， ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3)． ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB .∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB . 题型三利用空间向量解决探索性问题例4 (2018·林州模拟)如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，P (0，0，a )，F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则需FG →·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0，得x ＝a2；由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a2，0，0，即G 为AD 的中点．思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．跟踪训练3 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．(1)证明 ∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2，即P A ⊥AD .又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥平面ABCD .(2)解以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，P (0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1，1，0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13. 设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ，→＝0，n ·AE ，→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1，1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)，使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0.又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ) ＝(－λ，1－λ，λ)，∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．1．若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，1，1)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α或l ∥α D ．l 与α斜交答案 C解析 ∵a ＝(1，0，2)，n ＝(－2，1，1)， ∴a ·n ＝0，即a ⊥n ， ∴l ∥α或l ⊂α.2．若a ＝(2，3，m )，b ＝(2n ，6，8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为( ) A ．7 B.52 C ．6 D ．8 答案 C解析由a ，b 为共线向量，知n ≠0且22n ＝36＝m 8，解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.3．已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (2，3，3)B ．P (－2，0，1)C ．P (－4，4，0)D ．P (3，－3，4)答案 A解析逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)，∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内． 4.如图，F 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )A ．B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EBC ．B 1E ＝12EBD ．E 与B 重合答案 A解析以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D (0，0，0)，F (0，1，0)，D 1(0，0，2)，设E (2，2，z )，则D 1F →＝(0，1，－2)，DE →＝(2，2，z )，∵D 1F →·DE →＝0×2＋1×2－2z ＝0， ∴z ＝1，∴B 1E ＝EB .5．设u ＝(－2，2，t )，v ＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 ∵α⊥β，∴u ·v ＝－2×6＋2×(－4)＋4t ＝0，∴t ＝5.6．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝______. 答案257解析由条件得⎩⎪⎨⎪⎧3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －3z ＝0，解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4，∴x ＋y ＝407－157＝257.7．(2018·广州质检)已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是______________．答案 α∥β解析设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ·AB →＝0，得x ·0＋y －z ＝0，即y ＝z ，由m ·AC →＝0，得x －z ＝0，即x ＝z ，取x ＝1， ∴m ＝(1，1，1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确；又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， ∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确；∵BD →＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD →与AP →不平行，故④错误．9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和为________．答案 1解析以D 1为原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x ，1，1)，B 1(1，1，0)，F (0，0，1－y )，B (1，1，1)， ∴B 1E →＝(x －1，0，1)，FB →＝(1，1，y )，∵B 1E ⊥平面ABF ， ∴FB →·B 1E →＝(1，1，y )·(x －1，0，1)＝0，即x ＋y ＝1.10.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .证明如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长度，DA ，DP ，DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .由题意得Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ →＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0)． ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 又DQ ∩DC ＝D ，DQ ，DC ⊂平面DCQ ， ∴PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ， ∴平面PQC ⊥平面DCQ .11.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)证明：AC ⊥BC 1； (2)证明：AC 1∥平面CDB 1.证明因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以△ABC 为直角三角形，AC ⊥BC . 所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，C 1(0，0，4)，A 1(3，0，4)，B 1(0，4，4)，D ⎝⎛⎭⎫32，2，0.(1)因为AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)，所以AC →·BC 1→＝0，所以AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0，2，2)，DE →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，2，AC 1→＝(－3，0，4)，所以DE →＝12AC 1→，DE ∥AC 1.因为DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，所以AC 1∥平面CDB 1.12.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .证明由题意，知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AA 1，AB ，AC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0，0，0)，A 1(2，0，0)，B (0，2，0)，B 1(2，2，0)， C (0，0，2)，C 1(2，0，2)，M (1，0，0)，N (1，1，1)． (1)由题意知AA 1⊥A 1B 1，AA 1⊥A 1C 1，又A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，A 1B 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥平面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2，0，0)，MN →＝(0，1，1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→. 又MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．因为MB →＝(－1，2，0)，MC 1→＝(1，0，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB ，→＝0，n 1·MC 1，→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0，令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2，1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0，1，1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .13.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1，1，1) B.⎝⎛⎭⎫23，23，1 C.⎝⎛⎭⎫22，22，1 D.⎝⎛⎭⎫24，24，1 答案 C解析设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，∵AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ， ∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴M 为线段EF 的中点．在空间直角坐标系中，E (0，0，1)，F (2，2，1)．由中点坐标公式，知点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，22，1.14.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB 1C 1C 内答案 B解析以点C 1为坐标原点，分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3，则M ⎝⎛⎭⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝⎛⎭⎫2a 3，2a3，a ， MN →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量．因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，又MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .15.如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)．若AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为________．答案72解析以O 点为坐标原点，OB ，OS 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，－1，0)，B (0，1，0)， S ()0，0，3，M ⎝⎛⎭⎫0，0，32，设P (x ，y ，0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，32，MP →＝⎝⎛⎭⎫x ，y ，－32，由AM →·MP →＝y －34＝0，得y ＝34，∴点P 的轨迹方程为y ＝34.根据圆的弦长公式，可得点P 形成的轨迹长度为21－⎝⎛⎭⎫342＝72.16.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(1)证明以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝a .则A (0，0，0)，D (0，1，0)， D 1(0，1，1)，E ⎝⎛⎭⎫a2，1，0，B 1(a ，0，1)，故AD 1→＝(0，1，1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1. 则B 1E →·AD 1→＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B 1E →⊥AD 1→，所以B 1E ⊥AD 1.(2)解存在满足要求的点P ，假设在棱AA 1上存在一点P (0，0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)，再设平面B 1AE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． AB 1→＝(a ，0，1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0. 因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－a2，z ＝－a ，则平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.所以棱AA 1上存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.。

2020高考：高三文科数学一轮复习模拟卷（含答案），务必打印一份

2020高考：高三文科数学一轮复习模拟卷（含答案），务必
打印一份
数学这门学科对于同学们来说是非常重要的，尤其是在学习任务紧张的高中阶段。

因为数学这门学科的分值非常的高，而且又是高中必考的科目，所以数学对于高中的同学们来说尤其重要。

像数学成绩好的同学经常可以拉开数学成绩不好的同学五六十分的分差，这个分差在一分就可以拉开千人的高考当中是非常吓人的，所以同学们一定要把数学这门学科学好。

现在已经开学一段时间了，一轮复习也已经开始，特别是对于高三的同学来说，2020年的高考也更近了一步。

那么怎么做才能更高效地学习数学呢？其实同学们到了高三，基本上已经脱离了知识点的学习阶段，现在巩固落下的知识，好能够查漏补缺。

而做考试真题和模拟卷就是最有效快速提升自己学习能力的一种方法。

所以为了帮助大家更快地提升自己的学习能力和提高数学考试成绩。

老师今天就给大家分享一份高三文科数学一轮复习的模拟卷（含答案），家长们和同学务必收藏起来，因为这份数学模拟卷覆盖了高中数学的所有知识点的经典习题，同学们把这张模拟卷都掌握明白了，2020高考数学成绩上140也是很容易的。

2020年《新高考全案》高考数学一轮复习测评卷(第八章第五讲) 精品

2020《新高考全案》一轮复习测评卷（第八章第五讲）一、选择题1．使sin x ≤cos x 成立的一个区间是( )A ．[－3π4，π4]B ．[－π2，π2]C ．[－π4，3π4]D ．[0，π][解析] 在同一坐标系内画出正弦、余弦函数图象，数形结合可得选A. [答案] A2．(2020·广州一模)函数f (x )＝sin x cos x 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[解析] f (x )＝12sin2x ，∴T ＝2π2＝π，选B.[答案] B3．(2007·广东卷)若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数[解析] f (x )＝sin 2x －12＝－12cos2x ，∴T ＝π，为偶函数，故选D.[答案] D4．(2008·海南卷)函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( )A ．3,1B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，32[解析] f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2(sin 2x －sin x ＋14)＋32＝－2(sin x －12)2＋32∴当sin x ＝12时，f (x )有最大值32当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3. [答案] C5．(2020·四川卷)已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数[解析] ∵f (x )＝sin(x －π2)＝－cos x ，∴A、B 、C 均正确，故错误的是D.[答案] D6．(2020·重庆卷)下列关系式中正确的是( )A ．sin11°＜cos10°＜sin168°B ．sin168°＜sin11°＜cos10°C ．sin11°＜sin168°＜cos10°D ．sin168°＜cos10°＜sin11°[解析] 因为sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°，由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为递增函数，因此sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin160°＜cos10°.[答案] C 二、填空题7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时， f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．[解析] f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.[答案]328．sin2，cos1，tan2的大小顺序是________． [解析] sin2＞0，cos1＞0，tan2＜0. ∵cos1＝sin(π2－1)，sin2＝sin(π－2)，又0＜π2－1＜π－2＜π2且y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，从而sin(π2－1)＜sin(π－2)，即cos1＜sin2.故tan2＜cos1＜sin2. [答案] tan2＜cos1＜sin29．设函数f (x )＝A ＋B sin x ，若B ＜0时f (x )的最大值是32，最小值是－12，则A ＝________，B ＝________.[解析] 依题意由⎩⎪⎨⎪⎧A －B ＝32A ＋B ＝－12可得A ＝12，B ＝－1.[答案] 12；－110．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |、y ＝|tan x |的周期分别为π、π2；③若x 1＞x 2则sin x 1＞sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)＝0.其中正确命题的序号是________．[解析] ①②③明显错误，④中f (0)＝0.又f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)＝－f (－T2)，∴2f (－T 2)＝0，而f (－T2)＝0，故填④.[答案] ④ 三、解答题11．(2008·广州一模)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1. (1)求实数a 和b 的值；(2)当x 为何值时，f (x )取得最大值．[解] (1)∵函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a sin π3＋b cos π3＝0，a sin π2＋b cos π2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋12b ＝0，a ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 3.(2)由(1)得f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝1，即x －π3＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋5π6(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2.12．已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos2x ，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．[解] 由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z )．所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos2x＝(2cos 2x －1)(cos 2x －1)cos2x＝cos 2x －1＝－sin 2x .又定义域关于原点对称，∴f (x )是偶函数．显然－sin 2x ∈[－1,0]，但∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z .∴－sin 2x ≠－12.所以原函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y ＜－12或－12＜y ≤0.亲爱的同学请你写上学习心得________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。

2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何测评答案

小题必刷卷(十一)题组一刷真题角度11. B ［解析］方法一:易得△ ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时易得b=1-—；当a=时，易得b=-当a=1时，易得b= 一- 1A.故选B.方法二:(直接法)？ y=——,y=ax+b与x轴交于--，结合图形与a>0- x——x2 一(a+b) =a(a+1)>0? a=—T a>0,・••一>0? b~,当a=0 时,极限位置易得b=1-一，故答案为B.2. —［解析］由两平行线间的距离公式得d〜=J.角度2. . 2 2 2 2 . . . .3. A ［解析］圆x +y -2x- 8y+13=0化为标准方程为(x- 1) +(y- 4) =4，故圆心为(1,4),圆心到直线的距离d= — =1,解得a=__.4. A ［解析］由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|= 2 _.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为一「=2 ：设点2 2 ————P到直线AB的距离为d,圆(x- 2) +y =2的半径为r则d € [2 -r ,2 +r],即d€ [ ,3 ],又A ABP的面积S^B P=-|AB|• d= _d,所以A ABP面积的取值范围是[2,6].5. C ［解析］方法一：由点到直线的距离公式得d==m.方法二:该题考查圆周上一点到动直线的距离的最值问题，由题知动直线过定点(2,0),观察下图可知，所求距离的最大值为点(2,0)到单位圆上点的距离的最大值，故为3.角度32 26. C ［解析］方法一:设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F：0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x +y - 2x+4y- 20=0,即(x- 1) +(y+2) =25,所以=2 - =4 _方法二：因为k AE=--,k BC=3，所以k AB k BC=-1所以AB丄BC所以△ ABC为直角三角形所以△ ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r=- =5,所以=2 -=4：方法三：由•=0得AB丄BC下同方法二.7. (x-2)2+y2=9 ［解析］设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得_J,解得a=2(a=-2舍去)，所以圆的半__ . . 2 2径r= - - =3,所以圆的方程为(x-2) +y =9.2 2 28. (-2,-4) 5 ［解析］由题意知a=a+2,则a=2或a=-1.当a=2 时方程为4x +4y +4x+8y+10=0,即2 2 方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为- -+y - =0,整理得x-4X+y-y+3=0,2 2 I J 2 2 . . 2 2 2 2x +y +x+2y+-=0? x+- +(y+1)=--,不能表示圆；当a=-1 时方程为x +y +4x+8y- 5=0,即(x+2) +(y+4) =25, 所以圆心坐标是(-2,- 4),半径是5.角度49. A ［解析］设所求直线方程为2x+y+m=0,则圆心到该直线的距离为 ^一= 一,「.|m|=5,即m=± 5.10. D ［解析］设反射光线所在直线的斜率为k,反射光线过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),二反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2).又T 其与圆(x+3)2+(y- 2)2=1 相切，—==一=1,解得k=--或k=--.11. A ［解析］方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k -，由题意得-==1,解之得k=0或-,即切线方程为y=1或4x- 3y- 9=0.联立得一切点为，又Tk PC=——, .k AB=-一=- 2，即弦AB所在直线方程为y-仁-2 -，整理得2x+y- 3=0.联立两式相减得2x+y- 3=0.12. 4 n ［解析］x +y -2ay-2=0,即x +(y-a ) =a +2，则圆心为C(0,a).又|AB|= 2 _,C到直线y=x+2a 的距离为一所以(二)2+( ) 2=a2+2，得a2=2，所以圆C 的面积为n (a2+2)=4 n .13. 4 ［解析］直线丨：n(x+3)+y- _=0 过定点(-3, 一)又|AB|= 2 一,二(『^)2+( _)2=12,解得m=二.直线方程中，当x=0时,y=2 ".又(-3, _),(0,2 一)两点都在圆上，•••直线丨与圆的两交点为A(-3, _),B(0,2 ").设过点A(-3, 一)且与直线丨垂直的直线为_x+y+c i=0，将(-3, 一)代入直线方程_x+y+c i=0，得c i=2 _.令y=0,得x c=-2，同理得过点B且与I垂直的直线与x轴交点的横坐标为X D=2,• |CD|=4.题组二刷模拟214. A ［解析］若11 II l 2,则a x (- 1)=a(a+2),即a +3a=0,「.a=0 或a=- 3,经检验都符合题意，故选A15. C ［解析］•「△ ABC是等腰直角三角形，•圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d^= =—,.•. a= ±, 故选C16. A ［解析］由M为PQ的中点，=- ，得PA X QA即I 1丄l 2,. 1 x m+-2)x 1=0,解得m=2.故选A17. B ［解析］点B在直线y=2 一上，过点A(0,-2 一)作圆的切线，设切线的斜率为k,由点斜式求得切线方程为kx-y- 2 _=0.由圆心到直线的距离等于半径，得^== 一,解得k=± 一,•切线方程为y=± _x-2 一,与直线y=2 一的交点坐标为(士4,2 _), •要使视线不被圆C挡住，实数a的取值范围是(-%，- 4) U (4,+ 叼,故选B.18. D ［解析］如图，点A关于直线BC的对称点为D(-6,2),则直线DB的方程为x+2y+2=0直线DC的方程为y=2.由---- =——=——,| 2a-2|=——,得a=-1,-,1 士——，结合图像可知-1W 1 —，故选D.2 219. D ［解析］圆的标准方程为(x+2)+y=4,作CD丄AB于点D.由圆的性质可知/ ACB=20° ,△ ABC为等腰三角形,其中|CA|=|CB|，则|CD|=|CA| si M 30 ° =2X-=1,即圆心(-2,0)到直线4x- 3y+a=0的距离为1, 据此可得一-=1,即|a- & = 5,解得a=3或a=13,故选D20. A ［解析］设A(X1,y1),B(X2,y2)，联立-可化为5y2-4ay+a2- 2=0，则△ =16a2- 20(a2-2)>0,即a2<10,且y’+y2=—,y’y2 ----------------- .若=0,则X1X2+y1y2=0，即卩(2yy )(2y2-a )+y1y2=0, 5y’y2-2a(y1+y2)+a =0,二5X -2a x—+a =0,解得a=±，故"a= ”是“•=0”的充分不必要条件，故选A.21. C ［解析］由题可知直线I ：y=-(x+2)，即x- _y+2=0.设圆心C(a,0)(a>0),则_ :=a,解得a=2,所以圆C的方程为(x-2) +y =4.将y=—(x+2)代入圆C的方程，可得x - 2x+1=0，所以x<=1,故P(1,0).设M(x,y),2 2则----= ------------ =--------------- ,将x +y =4x代入，得-- =——=4,所以——=2,故选C22. 士2 ［解析］由题得/PMO M PN0h M0N90° ,|M0|=|0N|=1,.四边形PMO是正方形,••• |PO|= 一. •••满足以上条件的点P有且只有一个，••• O»l ,. 一=^,.・.b= ±.23. —懈析］若直线丨1与直线丨2垂直，则-2X- =-1?- =,则使得直线丨1丄l 2的{(a,b)}={(1,2),(2,4),(3,6)},故直线丨1丄I 2的概率P —=—.24. 2 —［解析］由得-即直线恒过定点q-1,-2).以C为圆心,5为半径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25,圆心C(- 1，- 2)到直线3x+4y+1 =0 的距离d=- --- •=—=2，则|AB|= 2 - =2 - =2 (R为圆的半径).25. ①②③［解析］连接BC作CE_LAB于点E,易知|CE|=1,|BE|= 1,则|BC|= 一，则C(1, 一),所以圆C的方程为(x-1) +(y- 一)=2,A(0, _-1),B(0, _+1).因为MN在圆Qx+y=1 上，所以可设M(cos a ,sin a ),N(cos B ,sin B )，所以|NA|= - ,|NB|= - - _ ==2.角度24. A ［解析］—=-—=_-1=e-1=2所以-=± 一,所以渐近线方程为y=± "x.5.C ［解析］由题易知|PF 2|=b,|0P|=a.过P 向x 轴作垂线，垂足为E,可知|PE|=—,戶£|=—,所以 2 — _ 2 2 — |PF i |=— + -一 =( |0P|)=6a,从而可得e=. 6. D ［解析］由题意知A(-a,O),过A 且斜率为一的直线方程为y=—(x+a),设P(x °,y °),则有y o —(x o +a)①.又厶PFF 2为等腰三角形，且/F i F 2P=120 °所以①②③,消去x o ,y o ,得一 =_，即C 的离心率为_. 7. B ［解析］由双曲线方程知a= 一卩=1,则F(2,0).不妨设过点F 的直线垂直渐近线x- _y=0于M 交渐近线 x+ _y=0 于 N.在 Rt △ OM 中，/MOF30 °」OF|= 2，所以 |OM|= 一.在 Rt △ OMF 中，/MON60 °」OM|=- 所以 |MN|=3.角度38. A ［解析］•••以线段AA 为直径的圆与直线bx-ay+ 2ab=0相切，•••圆心到此直线的距离 d 等于圆的半径，即 d= =a.2 2又a>b>0,则上式可化简为a =3b .Tb =a-c ,「.a =3(a -c )，即一=-，…e=-=—.9. A ［解析］设双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心到该直线的距离.根据已知得= ---- =tan 30 =—②, =一=tan 60° = 一③.联立2 2 21 + — =4,即—=3,所以b =-c ,所以e=-=—:=2.10. D ［解析］由题意及双曲线的对称性画岀示意图如图所示，渐近线OBy=_x.设Bx o,_x。

2020年高考数学一轮复习强化训练题汇总1(含解析)

阶段复习检测(一)集合与常用逻辑用语函数、导数及其应用(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝⎩⎨⎧x ，y |x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [由函数y ＝3x 的图象及椭圆x 24＋y 216＝1知A ∩B 含2个元素，所以A ∩B 的子集的个数为22＝4个．]2．曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．3x ＋y －4＝0D ．x ＋3y －4＝0A [y ′＝2x ＋1x，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0.]3．(2019·安徽蚌埠一模)设a >0，且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是增函数”是“函数g (x )＝x a 在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [由函数f (x )＝a x 在R 上是增函数知，a >1；当a ＝32时，g (x )的定义域为(0，＋∞)，不能满足g (x )＝x a 在R 上是增函数；而当a ＝13时，g (x )＝x 13在R 上是增函数，此时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数．]4．(2019·贵州贵阳月考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝f ′1x＋x ，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1C [由f (x )＝f ′1x＋x ，得f ′(x )＝－f ′1x 2＋1，故f ′(1)＝－f ′(1)＋1，即f ′(1)＝12.]5．(2019·山东日照模拟)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )C [曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，∴g (x )＝cos x ，则函数y ＝x 2g (x )＝x 2·cos x ，设f (x )＝x 2·cos x ，则f (－x )＝f (x )，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ．令x ＝0，得f (0)＝0.排除D ．]6．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)D [由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x<1，∴k ≥1.]7．(2019·陕西宝鸡模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 满足f (2＋x )＝f (2－x )，且当－3≤x ≤0时，f (x )＝log 5(2－x )，则f (2 015)的值为( )A ．2 015B ．2C ．1D ．0C [∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (4＋x )＝f [2－(2＋x )]＝f (－x )．又∵f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 015)＝f (3)＝f (－3)＝log 5[2－(－3)]＝1.]8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．5A [设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小．由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R . ∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R＝3，则当R ＝3时，S 最小．]9．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2，则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：10．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( ) A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}A [构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．(2019·广西桂林检测)如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝__________.－5 [由图象可得P 点坐标为(5,3)，得g (5)＝3，故f (5)＝g (5)－15×52＝－2，g ′(5)＝－1且g ′(x )＝f ′(x )＋25x ，则f ′(5)＝g ′(5)－25×5＝－3，故f (5)＋f ′(5)＝－2＋(－3)＝－5.] 12．(2019·广东汕头一模)已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是__________.[1，＋∞) [f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x ＞0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x . 令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.]13．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________元时利润最大，利润的最大值为__________元．30 23 000 [设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：p (20,30) 30 (30，＋∞)y ′ ＋0 －y极大值故当p ＝30时，y 又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．]14．(2019·山东临沂统考)对于函数f (x )，如果f (x )可导，且f (x )＝f ′(x )有实数根x ，则称x 是函数f (x )的驻点．若函数g (x )＝x 2(x ＞0)，h (x )＝ln x ，φ(x )＝sin x (0＜x ＜π)的驻点分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是__________(用“＜”连接)．x 3＜x 2＜x 1 [由题意对于函数f (x )，如果f (x )可导，且f (x )＝f ′(x )有实数根x ，则称x 是函数f (x )的驻点．可知函数g (x )＝x 2(x ＞0)，可得2x ＝x 2，解得x 1＝2，h (x )＝ln x ，可得1x＝ln x ，如图：x 2∈(1,2)，φ(x )＝sin x (0＜x ＜π)，可得cos x ＝sin x ，解得x 3＝π4＜1，所以x 3＜x 2＜x 1.]三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．解 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈0，1，－2x 4x＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.16．(12分)设l 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． (1)解 ∵y ＝ln x x ，∴y ′＝1－ln x x2， ∴l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴l 的方程为y ＝x －1. (2)证明令f (x )＝x (x －1)－ln x ，(x ＞0)，曲线C 在直线l 的下方，即f (x )＝x (x －1)－ln x ＞0，则f ′(x )＝2x －1－1x＝2x ＋1x －1x，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0， ∴x ∈(0,1)时，f (x )＞0，即ln xx＜x －1；x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，即ln x x＜x －1，即除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 17．(12分)(2019·湖北武汉调研)已知函数f (x )＝ln x －a x －1x(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求证：不等式(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立． (1)解定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a x 2.①a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②a >0时，f (x )在(a ，＋∞)上为增函数，在(0，a ) 上为减函数． (2)证明法一 ∵x ∈(1,2)，∴x ＋1>0， ∴要证原不等式成立，即证ln x >2x －1x ＋1对∀x ∈(1,2)恒立，令g (x )＝ln x －2x －1x ＋1，g ′(x )＝x －12x ＋12≥0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ∈(1,2)时，g (x )>g (1)＝ln 1－21－11＋1＝0，∴ln x >2x －1x ＋1对∀x ∈(1,2)恒成立，∴(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立．法二令F (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)，F ′(x )＝ln x ＋x ＋1x－2＝ln x －x －1x.令φ(x )＝ln x －x －1x，由(1)知a ＝1时，φ(x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．∵x ∈(1,2)，则φ(x )在(1,2)为增函数，φ(x )>φ(1)＝0，即x ∈(1,2)，F ′(x )>0，∴F (x )在(1,2)上为增函数， ∴F (x )>F (1)＝0，∴(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立．18．(14分)(2019·辽宁丹东模拟)已知f (x )＝－3x 22＋ln x ，g (x )＝12x 2－2ax ＋1＋ln x .(1)求函数f (x )的极值．(2)若x 0是函数g (x )的极大值点，证明：x 0ln x 0－ax 20＞－1.(1)解 f (x )定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－3x 2x，令f ′(x )＝0得x ＝33.列表：当x ＝33时，f (x )取极大值－12－12ln 3.(2)证明 g (x )定义域是(0，＋∞)，g ′(x )＝x ＋1x－2a .①若a ≤1，g ′(x )＝x ＋1x－2a ≥2－2a ≥0，g (x )单调递增无极值点，不符合题意；②若a ＞1，g ′(x )＝0即x 2－2ax ＋1＝0有两个不等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，因为x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2a ＞0，所以0＜x 1＜1＜x 2.当0＜x ＜x 1时，g '(x )＞0，当x 1＜x ＜x 2时，g '(x )＜0，当x ＞x 2时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，x 1)单调递增，在(x 1，x 2)单调递减，在(x 2，＋∞)单调递增．所以x 0＝x 1为函数f (x )的极大值点，且0＜x 1＜1.因为g '(x 1)＝0，所以a ＝x 21＋12x 1.所以x 1ln x 1－ax 21＝x 1ln x 1－x 31＋x 12＝x 312－12x 1＋x 1ln x 1，x 1∈(0,1)．令h (x )＝－x 32－12x ＋x ln x ，x ∈(0,1)，h ′(x )＝f (x )＋12.由(1)可知f (x )＋12≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33＋12＝－12ln 3＜0，所以h (x )在(0,1)上单调递减，故h (x )＞h (1)＝－1，原题得证．。

2020年高考数学一轮复习强化训练题汇总4(含解析)

阶段复习检测(四) 数列(时间：70分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并满足：a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( ) A ．7 B ．12 C ．14D ．21C [由a n ＋2＝2a n ＋1－a n 知数列{a n }为等差数列，由a 5＝4－a 3得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝7a 1＋a 72＝14.]2．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132C [在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，∴a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋3，解a 1＋5d ＝6，∴数列{a n }的前11项和S 11＝112(a 1＋a 11)＝11(a 1＋5d )＝11×6＝66.]3．(2019·山东青岛月考)已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m＝( )A ．11B ．99C ．120D ．121 C [∵S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. ∴S m ＝m ＋1－1＝10，得m ＝120.]4．(2018·河北衡水模拟)已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50D ．不存在A [(a 7＋a 14)2＝a 27＋a 214＋2a 7·a 14≥4a 7a 14＝4a 1a 20＝400.∴a 7＋a 14≥20.]5．(2019·福建厦门调研)等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，S 3＝14，且a 1＋8,3a 2，a 3＋6依次成等差数列，则a 1·a 3等于( )A ．4B ．9C ．16D ．25C [∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14，a 1＋8＋a 3＋6＝6a 2，∴7a 2＝28，即a 2＝4，∴a 1·a 3＝a 22＝16.] 6．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30C [由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.]7．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n －1C ．1－4n3D ．4n －13B [由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1， ∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝31－4n1－4＝4n －1.]8．抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6＝( )A ．64B ．42C ．32D ．21B [∵y ＝2x 2(x ＞0)，∴y ′＝4x ，∴x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线方程是：y －2a 2i ＝4a i (x－a i )，整理，得4a ix －y －2a 2i ＝0，∵切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1，∴a i ＋1＝12a i ，∴{a 2k }是首项为a 2＝32，公比q ＝14的等比数列，∴a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)9．已知正项等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 13·a 16＝256，a 7＝2，则数列{a n }的公比为__________.2 [∵正项等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 13·a 16＝256，∴a 49＝a 2·a 5·a 13·a 16＝256，解得a 9＝4，又a 7＝2，∴数列{a n }的公比q ＝a 9a 7＝ 2.]10．(2018·黑龙江大庆二模)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 015＝__________.－1 006 [∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，∴S 2 015＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 014＋a 2 015)＝1＋(－1)×1 007＝－1 006.]11．(2018·广东汕头一模)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为__________.－2 [设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则2S n ＝S n ＋1＋S n＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，上式显然不成立，若q ≠1，则为2a 11－q n1－q＝a 11－q n ＋11－q＋a 11－q n ＋21－q，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，因此q ＝－2.]12．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n≤n ＋8n对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为__________.9 [a n ＝S 2n －1⇒a n ＝2n －1a 1＋a 2n －12＝2n －1a n ，⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n＝2n －1，n ∈N *.λa n≤n ＋8n就是λ≤n ＋82n －1n⇒λ≤2n －8n ＋15. 2n －8n＋15在n ≥1时单调递增，其最小值为9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.]三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(10分)(2019·陕西西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝－3，S 10＝－40. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2,4,8，…，2n ，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵a 5＝a 1＋4d ＝－3，S 10＝10a 1＋45d ＝－40，解得a 1＝5，d ＝－2.∴a n ＝－2n ＋7.(2)依题意，b n ＝a 2n ＝－2×2n ＋7＝－2n ＋1＋7，故T n ＝－(22＋23＋…＋2n ＋1)＋7n ＝－22－2n ＋1×21－2＋7n＝4＋7n －2n ＋2.14．(10分)(2018·河南新乡二模)在数列{a n }中，a 1＝12，{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ，以及前n 项和S n ；(2)若S 1＋S 2，S 1＋S 3，m (S 2＋S 3)成等差数列，求实数m 的值．解 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∴n ≥2时，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，又a 1＝12，因此n ＝1时也成立．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n .(2)由(1)可得：S 1＝12，S 2＝34，S 3＝78.∵S 1＋S 2，S 1＋S 3，m (S 2＋S 3)成等差数列，∴12＋34＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋78＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋78.解得m ＝1213. 15．(10分)(2019·云南检测)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋2的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1. (1)解因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n (n ≥2)．(2)证明由(1)知a n ＝2n ，令b n ＝4a n a n ＋2，n ∈N *，所以b n ＝42n 2n ＋2＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1.显然当n ＝1时，T n 取得最小值12.所以12≤T n <1.16．(10分)数列{a n }满足：a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)．(1)记d n ＝a n ＋1－a n ，求证：数列{d n }是等比数列；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，证明S n ＜32.证明 (1)∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， ∴d n ＋1d n＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a 1＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n＝2a n ＋1－2a n a n ＋1－a n＝2，∴数列{d n }是等比数列，∴d 1＝a 2－a 1＝1，q ＝2，∴d n ＝2n －1. (2)∵d n ＝2n －1，d n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝20，a 3－a 2＝21，a 4－a 3＝22，…，a n －a n －1＝2n －2， ∴累加得：a n －a 1＝20＋21＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，∴a n ＝2n －1＋1.∴1a n ＝12n －1＋1＜12n －1(n ≥2)，n ＝1时，S n ＝12＜32成立；∴当n ≥2时，S n ＜12＋12＋122…＋12n －1＝12＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝32－12n ＜32.综上可知S n ＜32(n ∈N *)．。

【精品整理】2020年高考数学一轮复习强化训练题汇总8(含解析)

阶段复习检测(八) 概率(时间：60分钟满分：90分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③C [从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．]2．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00一个至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是( )A ．13B ．34C ．58D ．45D [甲去银行恰好能办理业务的概率为17－1318－13＝45.] 3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08C [记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.]4．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件D [因为P (A )＝0.2，P (B )＝0.2，P (C )＝0.3，P (D )＝0.3，且P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，所以A 与B ＋C ＋D 是互斥，也是对立事件．]5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A ．23B ．25C ．35D ．910 D [五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．其中含甲或乙的情况有9种．]6．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14A [由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32，∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.] 7．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68A [设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300，故S ＝16.32.] 8．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ． 12B ． 13C ． 14D ． 18 C [直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OA 与y ＝x 2＋1有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，y ＝x 2＋1有解，即x 2－b a x ＋1＝0有解，即b 2a 2－4≥0，即b a≥2，满足此条件的点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)共4个，而N 中所有点有16个，∴P ＝416＝14.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)9．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有__________个．15 [摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n，故n ＝15.] 10．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是__________．56[基本事件共有36个．如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个．故所求概率为P ＝3036＝56.] 11．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为__________．13[甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.] 12．已知函数f (x )＝ln x x，导函数为f ′(x )，在区间[2,3]上任取一点x 0，使得f ′(x 0)>0的概率为__________．e －2 [由已知得f ′(x )＝1－ln x x 2，x ∈[2,3]，故f ′(x )>0⇔1－ln x x 2>0，解得2<x <e ，故由几何概型可得所求事件的概率为e －23－2＝e －2.] 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(10分)黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解 (1)任找一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血分别记为事件A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35．因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B ′∪D ′，根据概率加法公式，得P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64．(2)由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36．14．(10分)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12． (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ．(ⅰ)记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．解 (1)依题意nn ＋2＝12，得n ＝2． (2)(ⅰ)记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13． (ⅱ)记“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2＞4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＞4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4． 15．(10分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2．(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35．。

2020届高三数学一轮复习练习 6.5挑战真题

1.(2020·广东）在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下：
那么d ⊗（a ⊕c）= ( )
A.a
B.b
C.c
D.d
解析：由上表可知：（a ⊕c）=c,故d ⊗（a ⊕c）=d ⊗c=a.
答案：A
2.(2020·福建）对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界），其中为凸集的
是（写出所有凸集相应图形的序号）.
解析：根据题意，在①④中任取两点，连接起来，如下图，不符合题意.
答案：②③
3.（2020·福建）观察下列等式：
①cos 2α=2cos2α-1;
②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;
③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;
④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;
⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.
可以推测，m-n+p= .
解析：因为2=21,8=23,32=25,128=27，所以m=29=512;观察可得n=-400,p=50,所以m-n+p=962.
答案：962
4.（2020·湖南）若数列{a n}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）*,则得到一个新数列{（a n）*}.例如,若数列{an}是1,2,3,…,n,…,则数列{（a n）*}是0,1,2,…,n-1,….已知对任意的n∈N*,a n=n2,则（a5）*= ,（（a n）*）*
= .。

广东省2020届高三数学一轮单元测评训练第八单元理

单元能力检测(八)[考查范围：第八单元解析几何]时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝02．已知实数m 是2,8的等比中项，则双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A. 5B.52C. 3D. 23．已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是( )A ．3x ＋4y －1＝0B ．3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －9＝0C ．3x ＋4y ＋9＝0D ．3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝04. 设连接双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a2＝1(a >0，b >0)的4个顶点的四边形面积为S 1，连接其4个焦点的四边形面积为S 2，则S 1S 2的最大值为( )A.12 B ．1 C. 2 D ．25．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1与双曲线x 2p －y 2q＝1(m ，n ，p ，q 均为正数)有共同的焦点F 1、F 2，P是两曲线的一个公共点，则|PF 1→|·|PF 2→|＝( )A ．p 2－m 2B ．p －mC ．m －pD ．m 2－p 26．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的两焦点到直线x a －yb＝1的距离之和为2，则该双曲线方程是( )A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C ．2x 2－y 2＝1D ．x 2－2y 2＝17．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆8．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2 ks5u二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置) 9．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，过M 点作直线l 的垂线，得到的直线方程是________．10．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值为________．(将你认为所有正确的序号都填上)①0; ②12； ③1; ④2; ⑤3.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，则双曲线的离心率为________．12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，则|AF ||BF |＝________.13．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所组成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．14．有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径．定理：如果圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值－1.写出该定理在有心曲线x 2m ＋y 2n＝1(mn ≠0)中的推广：________________________________________________________________________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(1)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，B (3,0)，动点M 到A 与B 的距离比为常数12，求点M 的轨迹方程；(2)求与圆(x －1)2＋y 2＝1外切，且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)的圆的方程．16．(13分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，点M 在椭圆上，且它的横坐标为1，点B (0，3)，且AB →＝2AM →.(1)求椭圆的方程；(2)若过点A 的直线l 与椭圆交于另一点N ，若线段AN 的垂直平分线经过点⎝⎛⎭⎪⎫613，0，求直线l 的方程．ks5u17．(13分)在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，y )，M (x ，－4)，以线段PM 为直径的圆经过原点O .(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线l 与轨迹W 交于两点A ，B ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，试判断直线A ′B 是否恒过一定点，并证明你的结论．18．(14分)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O(1)求12(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同两点M 、N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．19．(14分)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋4 2.(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．20．(14分)已知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点N (x 0，y 0)(y 0>0)为其上一点，点M 与点N 关于x 轴对称，直线l 与抛物线交于异于M ，N 的A ，B 两点，且|NF |＝52，k NA ·k NB＝－2.(1)求抛物线方程和N 点坐标；(2)判断直线l 中，是否存在使得△MAB 面积最小的直线l ′，若存在，求出直线l ′的方程和△MAB 面积的最小值；若不存在，说明理由．ks5u单元能力检测(八)1．D [解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－12，k MN ＝2，∴MN 方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y－1＝0，故选D.2．A [解析] 由题意得m ＝4，故双曲线的离心率是 5.3．D [解析] 设直线l 1的方程是3x ＋4y ＋c ＝0，则|4－c |5＝1，所以c ＝－1,9，故选D.4．A [解析] S 1＝2ab ，S 2＝2(a 2＋b 2)，S 1S 2＝ab a 2＋b 2≤12.5．C [解析] 根据定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ， ||PF 1|－|PF 2||＝2p .两式平方后相减即得．6．C [解析] c a ＝3，得a ＝33c ，b ＝c 2－a 2＝63c ，所以直线x a －y b ＝1，即3x －62y －c ＝0，根据点到直线的距离公式得|－3c －c |3＋32＋|3c －c |3＋32＝2，解得c ＝62，此时a ＝22，b ＝1，故所求的双曲线方程是2x 2－y 2＝1.7．B [解析] 设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y2，代入圆的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2，故点P 的轨迹是双曲线．8．C [解析] 由双曲线x 2－y 24＝1知渐近线方程为y ＝±2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2，联立直线方程与椭圆方程消y 得，x 2＝b 2＋5b 25b 2＋20. 又∵C 1将线段AB 三等分，∴1＋22×2b 2＋5b 25b 2＋20＝2a 3，解得b 2＝12.9.x ＋2y －2＝0 [解析] M (2,0)，所求直线的斜率是－12，故所求直线的方程是y ＝－12(x －2)，即x ＋2y －2＝0.10．①③④ [解析] 三条直线有两条平行，另外一条与这两条相交符合要求，此时k ＝0,2；三条直线交于一点也符合要求，此时k ＝1.11.1＋52[解析] 根据双曲线的对称性，△OMN 为等腰直角三角形，右焦点为F ，则|OF |＝|MF |，即c ＝b 2a ，即c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或1－52(舍去)．12．3 [解析] 直线AB 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程得3x 2－5px ＋34p 2＝0，解得x 1＝32p ，x 2＝p6，所以|AF ||BF |＝x 1＋p 2x 2＋p 2＝3. ks5u13.6－1 [解析] 为使圆C 的半径取到最大值，显然圆心应该在x 轴上且与直线x ＝3相切，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为(x ＋r －3)2＋y 2＝r 2，将其与y 2＝2x 联立得：x2＋2(r －2)x ＋9－6r ＝0，令Δ＝[2(r －2)]2－4(9－6r )＝0，并由r >0，得r ＝6－1.14．有心曲线x 2m ＋y 2n＝1(mn ≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点的连线斜率乘积等于－nm[解析] 设直径端点为A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，C (x 0，y 0)为曲线上异于A ，B 的任意一点，则k AC k BC ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1.由于点A ，C 在曲线上，所以x 20m ＋y 20n ＝1，x 21m ＋y 21n ＝1，两式相减得y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝－nm.15．[解答] (1)设M (x ，y )，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2x －32＋y 2＝12，两边平方整理得：(x －1)2＋y 2＝1.(2)设所求圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a2＋b 2＝1＋r ，|a ＋3b |2＝r ，－33×b ＋3a －3＝－1.∴b ＝3(a －4)，代入前两个等式得：a －12＋b 2＝1＋2|a －3|.(1)当a >3时，有(a －1)2＋3(a －4)2＝(2a －5)2，解得a ＝4，∴b ＝0，r ＝2.(2)当a ≤3时，有(a －1)2＋3(a －4)2＝(7－2a )2，解得a ＝0，∴b ＝－43，r ＝6，综上所述：(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.16．[解答] (1)由AB →＝2AM →知M 是AB 中点， ∵A (a,0)，B (0，3)，点M 的横坐标为1，∴a ＝2，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，将点M 坐标代入椭圆方程得b 2＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)A (2,0)，设l 的方程为y ＝k (x －2)，代入椭圆方程解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，线段AN 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 24k 2＋1，－2k 4k 2＋1，则－2k 4k 2＋18k 24k 2＋1－613＝－1k ，所以k 2＝19，所以k ＝±13，直线l 的方程为y ＝±13(x －2)．17．[解答] (1)由题意可得OP ⊥OM ，所以OP →·OM →＝0，即(x ，y )·(x ，－4)＝0，即x 2－4y ＝0，即动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消y 整理得x 2－4kx ＋16＝0，则Δ＝16k 2－64>0，即|k |>2，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A ′B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)，∴y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，∴y ＝x 22－x 214x 1＋x 2(x －x 2)＋14x 22，∴y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，∴y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24，即y ＝x 2－x 14x ＋4，所以，直线A ′B 恒过定点(0,4)．18．[解答] (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证4个点知，(3，－23)、(4，－4)在抛物线上，易求C 2：y 2＝4x .设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫2，22代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1. ks5u(2)方法1：假设存在这样的直线l 过抛物线焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x －1＝my ，两交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝my ，x 24＋y 2＝1，消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，① x 1x 2＝(1＋my 1)(1＋my 2)＝1＋m (y 1＋y 2)＋m 2y 1y 2.② 由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0(*)，将①②代入(*)式，得4－4m 2m 2＋4＋－3m 2＋4＝0，解得m ＝±12，所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.方法2：容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点F (1,0)，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k x －1，消掉y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－11＋4k2，①y 1y 2＝k (x 1－1)×k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，即y 1y 2＝k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k 2－11＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2.② 由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0(*)，将①、②代入(*)式，得4k 2－11＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k2＝0，解得k ＝±2.所以存在直线满足条件，且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.19．[解答] (1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6＋42，所以2a ＋2c ＝6＋4 2.又椭圆的离心率为223，即c a ＝223，所以c ＝223a ，所以a ＝3，c ＝2 2.所以b ＝1，椭圆M 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)方法1：由(1)得，C (3,0)．不妨设BC 的方程y ＝n (x －3)(n >0)，则AC 的方程为y ＝－1n(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝n x －3，x 29＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫19＋n 2x 2－6n 2x ＋9n 2－1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为3x 2＝81n 2－99n 2＋1，所以x 2＝27n 2－39n 2＋1，同理可得x 1＝27－3n29＋n 2，所以|BC |＝61＋n 29n 2＋1，|AC |＝6n 1＋n29＋n2， S △ABC ＝12|BC ||AC |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n 2＋649.设t ＝n ＋1n ≥2，则S ＝2t t 2＋649＝2t ＋649t ≤38，当且仅当t ＝83时取等号，所以△ABC 面积的最大值为38.方法2：不妨设直线AB 的方程为x ＝ky ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋m ，x 29＋y 2＝1，消去x 得(k 2＋9)y 2＋2kmy ＋m 2－9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2km k 2＋9，y 1y 2＝m 2－9k 2＋9.①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以CA →·CB →＝0. 由CA →＝(x 1－3，y 1)，CB →＝(x 2－3，y 2)，得(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0.将x 1＝ky 1＋m ，x 2＝ky 2＋m 代入上式，得(k 2＋1)y 1y 2＋k (m －3)(y 1＋y 2)＋(m －3)2＝0.将①代入上式，解得m ＝125或m ＝3(舍)．所以m ＝125此时直线AB 经过定点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，0，与椭圆有两个交点，所以S △ABC ＝12|DC ||y 1－y 2|＝12×35y 1＋y 22－4y 1y 2＝9525k 2＋9－14425k 2＋92. 设t ＝1k 2＋9，0<t ≤19，则S △ABC ＝95－14425t 2＋t . 所以当t ＝25288∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19时，S △ABC 取得最大值38.20．[解答] (1)由题意p 2＝12，|NF |＝x 0＋p 2＝52，则p ＝1，x 0＝2，y 20＝4.又y 0>0，得y 0＝2.所以抛物线方程为y 2＝2x ，N (2,2)，M (2，－2)．(2)由题意知直线的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝ty ＋b ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋b ，得y 2－2ty －2b ＝0.设两个交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2(y 1≠±2，y 2≠±2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4t 2＋8b >0，y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2b .又k NA ·k NB ＝y 1－2y 212－2·y 2－2y 222－2＝4y 1＋2y 2＋2＝－2，整理得b ＝2t ＋3，此时Δ＝4(t 2＋4t ＋6)>0恒成立，由此直线l 的方程可化为x －3＝t (y ＋2)，从而直线l 过定点E (3，－2)．因为M (2，－2)，所以M 、E 所在直线平行于x 轴，△MAB 面积S ＝12|ME ||y 1－y 2|＝t 2＋4t ＋6，所以当t ＝－2时，S 有最小值为2，此时直线l ′的方程为x ＋2y ＋1＝0.。

2020年高考数学(文科)一轮复习第八单元测评手册答案

小题必刷卷(十一)1.x2+y2-2x=0[解析] 易知所求圆的圆心既在直线x+y=1上,也在直线x=1上,故圆心坐标为(1,0),进而可得该圆的半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.2.(-2,-4)5[解析] 由题意知a2=a+2,则a=2或a=-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0⇒x+2+(y+1)2=-,不能表示圆;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,所以圆心坐标是(-2,-4),半径是5.3.(x-2)2+y2=9[解析] 设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得=,解得a=2(a=-2舍去),所以圆的半径r=--=3,所以圆的方程为(x-2)2+y2=9.4.(x-1)2+(y-3)2=2[解析] 圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P 在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.5.A[解析] 由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2,圆心到直线AB的距离为=2.设点P到直线AB的距离为d,易知d的取值范围为[,3],则△ABP的面积S=×2d∈[2,6].6.A[解析] 由题意可知,圆心为(1,4),所以圆心到直线的距离d==1,解得a=-.7.A[解析] 点M(x0,1)在直线y=1上,而直线y=1与圆x2+y2=1相切.据题意可设点N(0,1),如图,则只需∠OMN≥45°即可,此时有tan ∠OMN=≥tan 45°,得0<|MN|≤|ON|=1,即0<|x0|≤1.当M位于点(0,1)时,显然在圆上存在点N满足要求.综上可知-1≤x0≤1.8.B[解析] 由垂径定理得2+()2=a2,解得a2=4,∴圆M:x2+(y-2)2=4,∴圆M与圆N的圆心距d=--=.∵2-1<<2+1,∴两圆相交.9.D[解析] 圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,依题意得圆心(1,1)到直线3x+4y=b的距离d==1,即|b-7|=5,解得b=12或b=2,故选D.10.D[解析] 不妨设直线l:x=ty+m,代入抛物线方程有y2-4ty-4m=0,则Δ=16t2+16m>0.当t=0时,对于0<r<5,满足条件的直线有2条.当t≠0时,因为中点M(2t2+m,2t),圆心C(5,0),k MC k l=-1,所以m=3-2t2,代入Δ=16t2+16m,可得3-t2>0,即0<t2<3.又由圆心到直线的距离等于半径,可得r===2.由0<t2<3,可得r∈(2,4).11.B [解析] 圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a ,r 2=2-a ,则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为= .由22+( )2=2-a ,得a=-4, 故选B .12.D [解析] 易知直线l 的斜率存在,所以可设l :y+1=k (x+ ),即kx-y+ k-1=0.因为直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,所以圆心(0,0)到直线l 的距离 ≤1,即k 2- k ≤0,解得0≤k ≤ ,故直线l 的倾斜角的取值范围是 ,.13.C [解析] 依题意可得C 1(0,0),C 2(3,4),则|C 1C 2|= =5.又r 1=1,r 2= - ,由r 1+r 2= - +1=5,解得m=9.14.4π [解析] x 2+y 2-2ay-2=0,即x 2+(y-a )2=a 2+2,则圆心为C (0,a ).又|AB|=2 ,C 到直线y=x+2a 的距离为,所以2+2=a 2+2,得a 2=2,所以圆C 的面积为π a 2+2)=4π.15.4 [解析] 由- , ,消去x 得y 2-3 y+6=0,解之得 - ,或 , .不妨设A (-3, ),则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为 x+y+2 =0,令y=0得x C =-2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D =2,∴ CD =4.16.2 [解析] 圆心为原点,原点(0,0)到直线3x-4y+5=0的距离d= - =1,又△OAB 中点O 到AB边的距离d=r sin 30°==1,所以r=2.17.[解析] 如图所示,|PA|=|PB|= ,|OP|=2,|OA|=1,且PA ⊥OA ,∴∠APO=,即∠APB=,∴ · =| || |cos ∠APB= × ×cos =.18.A [解析] 两圆的圆心距d=|a|=2+1=3或d=|a|=2-1=1,所以a=1,-1,3,-3.故选A .19.A [解析] 圆O 以(0,0)为圆心,半径r=1.当l 的斜率不存在时,方程为x=1,直线x=1与圆O :x 2+y 2=1相切;当l 的斜率存在时,设l 的方程为y- =k (x-1),即kx-y+ -k=0,圆心O 到直线l 的距离d= -=1,得k=.故“直线l 的斜率为”是“直线l 与圆O 相切”的充分不必要条件,故选A .20.D[解析] 由题意知直线x+y=0经过圆心-,,所以-+=0,解得b=1.直线y=ax+1上两点关于直线x+y=0对称,所以两直线垂直,即a=1,所以a+b=2.故选D.21.A[解析] ∵直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,∴圆心到直线l的距离d=,则|AB|=2-=2-=2.当k=1时,|AB|=,即充分性成立;若|AB|=,则2=,即k2=1,解得k=1或k=-1,即必要性不成立.故“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件,故选A. 22.D[解析] 由已知得圆的方程满足4+4-4(m+1)>0,解得m<1.过点(2,0)有两条直线与圆相切,则点(2,0)在圆外,代入有4-4+m+1>0,解得m>-1.综上,实数m的取值范围为(-1,1),故选D.23.C[解析] 圆M的方程为(x-3)2+(y+4)2=1,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入(x-3)2+(y+4)2=1,得x=3±,易知当Q到直线y=x+2的距离最小时,点Q的横坐标为3-. 24.B[解析] 设圆心(2,3)到直线y=kx+3的距离为d,则d=.因为4=d2+,所以|MN|=2-=2-,解不等式2-≥2得-≤k≤,所以k∈-,,故选B.25.A[解析] 如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设P(x,y),∵=,∴=,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,∴△PAB面积的最大值是×2×2=2,故选A.26.(x-1)2+y2=2[解析] 设圆的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),因为圆与直线y=x+1相切,所以r==,即圆的方程为(x-1)2+y2=2.27.x2+(y-1)2=10[解析] 依题意可知抛物线的焦点为(1,0).∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,∴圆心坐标为(0,1),∴r2=32+--=10,则圆C的标准方程为x2+(y-1)2=10.28.4[解析] 圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r=×-=3.点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d=--=,∴ AB 的最小值为2-=2×-=4.29.[0,3][解析] 设满足|MA|=2|MO|的点M的坐标为(x,y).由题意有=2,整理可得x2+(y-1)2=4,即所有满足题意的点M的轨迹方程是一个圆,原问题转化为圆x2+(y-1)2=4与圆C :(x-a )2+(y-a+2)2=1有交点,据此可得关于实数a 的不等式组- ,- ,解得0≤a ≤3,故实数a 的取值范围是[0,3].小题必刷卷(十二)1.B [解析] 由题意知,a=3,b=2,则c= - = ,所以椭圆 +=1的离心率e= =.因此选B . 2.D [解析] 在直角三角形PF 1F 2中,∵PF 1⊥PF 2,∠PF 2F 1=60°,|F 1F 2|=2c ,∴ PF 2|=c ,|PF 1|= c.由椭圆的定义得 c+c=2a ,∴C 的离心率e=== -1,故选D .3.A [解析] 根据题意,因为△AF 1B 的周长为4 ,所以|AF 1|+|AB|+|BF 1|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a=4 ,所以a= .又因为椭圆的离心率e= =,所以c=1,b 2=a 2-c 2=3-1=2,所以椭圆C 的方程为 +=1.4.D [解析] 由e== ,a 2+b 2=c 2,得a=b ,故双曲线的渐近线方程为x±y=0.由点到直线的距离公式可得所求距离为=2 . 5.D [解析] 不妨设点P 在第一象限,由双曲线方程x 2-=1知右焦点F (2,0),又PF 与x 轴垂直,所以P (2,3),点A (1,3)到直线PF 的距离为1,所以S △APF = ×3×1=. 6.C [解析] 由双曲线的标准方程知b=1,又a>1,所以e= ==< ,又双曲线的离心率e>1,所以选C .7.B [解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x ,∴ =①.又∵椭圆 +=1与双曲线有公共焦点,∴c=3,则a 2+b 2=c 2=9②. 由①②解得a=2,b= ,故双曲线C 的方程为 -=1.8.5 [解析] 令 -=0,得双曲线的渐近线方程为y=±x ,∵双曲线 -=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x ,∴a=5.9.(2 ,8) [解析] 由已知得a=1,b= ,c=2.当∠F 1F 2P=时,|PF 2|=3,|PF 1|=|PF 2|+2a=5,则|PF 1|+|PF 2|=8;当∠F 1PF 2=时,设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则 - ,,而(m-n )2=4=m 2+n 2-2mn=16-2mn ,所以mn=6,则(m+n )2=m 2+n 2+2mn=28,则m+n=2 .又△F 1PF 2为锐角三角形,故|PF 1|+|PF 2|的取值范围是(2 ,8).10.D [解析] 易知F (1,0),因为曲线y= (k>0)与抛物线C 交于点P ,且PF ⊥x 轴,所以=2,所以k=2.11.B [解析] 抛物线C :y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,即椭圆的半焦距c=2.又离心率e= = = ,所以a=4,于是b 2=12,则椭圆的方程为 +=1.A ,B 是C 的准线x=-2与E 的两个交点,把x=-2代入椭圆方程得y=±3,所以|AB|=6.12.C [解析] 设P (x 0,y 0),根据抛物线定义得|PF|=x 0+ ,所以x 0=3 ,代入抛物线方程得y 2=24,解得|y|=2 ,所以△POF 的面积等于 ·|OF|·|y|=× ×2 =2 .13.(1,0) [解析] 将x=1代入y 2=4ax 得y 2=4a ,∵直线l 被抛物线截得的线段长为4,∴4 =4,即a=1,∴抛物线方程为y 2=4x ,其焦点坐标为(1,0).14.A [解析] ∵以A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴圆心O 到直线的距离等于半径,∴=a ,又∵a>0,b>0,则上式可化简为a 2=3b 2,∵b 2=a 2-c 2,∴a 2=3(a 2-c 2),∴ = ,∴e= =.15.C [解析] 抛物线的焦点坐标为F, ,直线AB 的斜率k=tan 30°=,所以直线AB 的方程为y= x-.由-,得x 2-x+=0,故x 1+x 2=,x 1x 2=,所以|AB|= ·|x 1-x 2|=·-=12.16.C [解析] 由抛物线的方程y 2=4x 得焦点F (1,0),准线l :x=-1,故直线MF 的方程为y= (x-1).由 - , ,得M (3,2 ),又MN ⊥l ,所以N (-1,2 ),所以直线NF 的方程为 x+y- =0,所以M 到直线NF 的距离d=-=2 . 17.(x+1)2+(y- )2=1 [解析] 由题意知抛物线的焦点为F (1,0),准线方程为x=-1,如图所示.设圆的圆心坐标为(-1,y 0),易知圆的半径为1.因为∠FAC=120°,∠CAO=90°,所以∠FAO=120°-90°=30°,故y 0= ,则圆心坐标为(-1, ),故圆的方程为(x+1)2+(y- )2=1. 18.y=±x [解析] 设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AF|+|BF|= +y 1++y 2=p+y 1+y 2.由 -,得a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0,则y 1+y 2=,所以由|AF|+|BF|=4|OF|得p+=2p ,解得= ,即 =,所以渐近线方程为y=±x.19.C [解析] 依题意, = ,∴e=== =2 ,故选C .20.A [解析] 由题知p>0,因为抛物线y 2=2px 的焦点,0与双曲线 -=1的右焦点(2,0)重合,所以=2,得p=4,故选A .21.B [解析] 由双曲线-x 2=1可得一条渐近线的方程为y=ax ,由圆x 2+(y-a )2=1得圆心为(0,a ),半径r=1,则圆心到该渐近线的距离d= .由勾股定理得2 - =,解得a=± .故选B .22.A [解析] 由题知a>b>0,椭圆C 1的方程为 +=1,C 1的离心率为 -,双曲线C 2的方程为-=1,C 2的离心率为.∵C 1与C 2的离心率之积为,∴-·=,∴ = ,得 =,则C 2的渐近线方程为y=±x ,即x± y=0,故选A .23.D [解析] ∵ · =0,∴ ⊥ ,∴ |2+| |2=(2c )2=40,∴(| |-| |)2=| |2-2| |·| |+| |2=40-2×2=36,∴ |-| ||=2a=6⇒a=3,又c= ⇒b 2=c 2-a 2=1,故双曲线的方程为-y 2=1,其渐近线方程为y=±x ,即x±3y=0,∴该双曲线的焦点F 2( ,0)到渐近线x-3y=0的距离d= -=1,故选D .24.B [解析] 因为直线l 过抛物线E 的焦点,且与其对称轴垂直,不妨令A 在y 轴右侧,故A p ,,B-p ,, 由y'=可知E 在A ,B 两点处的切线斜率分别为k 1=1,k 2=-1,所以k 1k 2=-1,所以AC ⊥BC , 即△ABC 为等腰直角三角形,又|AB|=2p ,所以△ABC 外接圆的半径是p.故选B .25.B [解析] 由椭圆C : +=1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),P 为椭圆C 上的一点,且PF 2⊥x 轴,可得|F 1F 2|=2c ,由x=c ,可得y=±b - =±,即有|PF 2|=,由椭圆的定义可得|PF 1|=2a-,又由已知条件得G 到△PF 1F 2三边的距离都为,∴G 为直角△PF 1F 2的内切圆的圆心,设内切圆半径为r ,∴ |PF 2|·|F 1F 2|=r (|F 1F 2|+|PF 1|+|PF 2|),可得△PF 1F 2的内切圆半径r=· = c ,即2b 2=2(a 2-c 2)=a (a+c ),整理得a=2c ,则椭圆C 的离心率e= =,故选B .26.D [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵抛物线y 2=8x 的焦点为F ,∴F (2,0).∵ AF + BF =|AB|,∴由余弦定理得cos ∠AFB=-= - -=--1=-1,又|AF|+|BF|=|AB|≥2 ,∴ AF ·|BF|≤|AB|2,当且仅当|AF|=|BF|时,取等号,∴cos ∠AFB ≥-1=- ,∴∠AFB 的最大值为,故选D .27.±[解析] 由题意,设直线l 的方程为y=kx+m (km ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则C -,0,D (0,m ),由 ,,可得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2=0,Δ=16k 2-8m 2+8>0,由韦达定理可得x 1+x 2=-,x 1x 2=-,∵C ,D 是线段AB 的三等分点,∴线段AB 的中点与线段CD 的中点重合,∴x 1+x 2=-=0-,解得k=±,故答案为±.28.±8 [解析] 由题意,焦点坐标为,0,|OF|=,直线l 的方程为y=2x-,∴直线l 在y 轴上的截距是-,∴S △OAF ==4,解得a 2=64,∴a=±8,∴y 2=±8x ,故答案为±8.29.(4,0) [解析] 设AG 的方程为x=my+2,代入y 2=2x ,得y 2-2my-4=0,设A (x 1,y 1),A'(x 2,y 2),则y 1y 2=-4,同理,设B (x 3,y 3),B'(x 4,y 4),则y 3y 4=-4,又AB 过点M (1,0),∴与共线,∴(x 1-1)y 3-(x 3-1)y 1=0,∴-1y 3- -1y 1=0,即(y 1-y 3)+1=0,∴y 1y 3=-2,又y 1y 2=-4,y 3y 4=-4,∴y 2y 4=-8,直线A'B'的方程为y-y 2=- -(x-x 2),利用点A',B'在抛物线上化简得y=(2x+y 2y 4),∴y=(2x-8),∴直线A'B'过定点(4,0).30.11 [解析] 由题知,双曲线的离心率e= =,所以=2,双曲线C 2的一条渐近线方程为y=2x ,代入椭圆C 1的方程,得x 2= ,y 2=(2x )2=,故C 1与C 2的渐近线相交得到的弦长为2 =2,依题意可知2=×2 ,解得m=11.解答必刷卷(五)1.解:(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y=k (x-1)(k>0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由- ,,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x 2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l 的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则,,解得, 或 , - .因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.2.证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.=k得+·k=0.两式相减,并由--由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,-,||=.于是||=-=--=2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.3.解:(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1,因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0,所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.4.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,==1.于是直线AB的斜率k=--(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|= |x 1-x 2|=4 .由题设知|AB|=2|MN|,即4 =2(m+1),解得m=7. 所以直线AB 的方程为y=x+7. 5.解:(1)由已知得M (0,t ),P,t .又N 为M 关于点P 的对称点,故N,t ,则直线ON 的方程为y=x ,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=.因此H,2t ,所以N 为OH 的中点,即=2. (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.理由如下: 直线MH 的方程为y-t= x ,即x=(y-t ),代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.6.解:(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1. 因为l 与C 交于两点,所以 <1,解得- <k<, 所以k 的取值范围为- ,. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k 2)x 2-4(1+k )x+7=0, 所以x 1+x 2=,x 1x 2=,·=x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1 =+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以直线l 的方程为y=x+1.故圆心C 在直线l 上,所以|MN|=2. 7.解:(1)由题意得2c=2 ,所以c= , 又e= =,所以a= ,所以b 2=a 2-c 2=1, 所以椭圆M 的方程为+y 2=1.(2)设直线AB 的方程为y=x+m ,由 ,,消去y 可得4x 2+6mx+3m 2-3=0, 则Δ=36m 2-4×4(3m 2-3)=48-12m 2>0,即m 2<4. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-,x 1x 2= -,则|AB|=|x1-x2|=·-=-,易得当m2=0时,|AB|max=,故|AB|的最大值为.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则+3=3①,+3=3②,又P(-2,0),所以可设k1=k PA=,直线PA的方程为y=k1(x+2),由,,消去y可得(1+3)x2+12x+12-3=0,则x1+x3=-,即x3=--x1,又k1=,结合①式可得x3=--,所以y3=,所以C--,,同理可得D--,.故=x3+,y3-,=x4+,y4-.因为Q,C,D三点共线,所以x3+y4--x4+y3-=0,将点C,D的坐标代入化简可得--=1,即k=1.8.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.又|AB|==,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组,消去y,可得x2=.由方程组,消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.9.解:(1)由题意可得2a=4,∴a=2.∵椭圆C与圆M:(x-)2+y2=公共弦的长为,即为圆M的直径,∴椭圆C经过点,±,∴+=1,解得b2=3,∴椭圆C的方程为+=1.(2)由,,消去y得(3+4k2)x2+8kx-8=0,显然Δ>0恒成立.设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,∵=,=-,=2,∴=2·-,∴(x1-2)2=4(x2+2)2,又=(4-),=(4-),∴(2-x1)(2-x2)=4(2+x1)(2+x2),∴10(x1+x2)+3x1x2+12=0,∴10-+3-+12=0,整理得12k2-20k+3=0,解得k=或k=.10.解:(1)由条件得+=1,=,a2=b2+c2,解得a=4,b=c=2,所以椭圆E的方程为+=1.(2)证明:设B(x0,y0),P(x1,y1),则A(-x0,y0),直线PA的方程为y-y1=-(x-x1),令x=0,得y=,故M0,,同理可得N0,--,又F1(-2,0),F2(2,0),所以=2,,=-2,--,所以·=2,·-2,--=-8+--=-8+·--·--=-8+8=0,所以F1M⊥F2N,所以直线F1M与直线F2N的交点G在以F1F2为直径的圆上.11.解:(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为|OP|=|OQ|,又由抛物线的对称性可知P,Q关于y轴对称,所以x2=-x1,y2=y1,因为OP⊥OQ,所以·=0,故x1x2+y1y2=0,则-+=0,又=4y1,解得y1=4或y1=0(舍去),所以x1=±4,于是△OPQ的面积为|2x1|·y1=16.(2)由题知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+m(m≠0),代入x2=4y,得x2-4kx-4m=0,所以Δ=16k2+16m>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4m.因为OP⊥OQ,所以·=x1x2+y1y2=0,故x1x2+=0,则-4m+m2=0,所以m=4或m=0(舍去).因为△OPM与△OQM的面积相等,所以M为PQ的中点, 则点M的横坐标为x0==2k,纵坐标为y0=kx0+4=+4,故点M的轨迹方程为y=x2+4.12.解:(1)由题知, · ,∴Q 为线段PN 的中点且GQ ⊥PN ,则直线GQ 为线段PN 的中垂线,故|PG|=|GN|,∴ GN + GM = PM =6,∴点G 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,其中a=3,c= ,∴b=2,∴点G 的轨迹C 的方程是 +=1. (2)设l 的方程为y=k (x-2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由 - ,,消去y 得(9k 2+4)x 2-36k 2x+36(k 2-1)=0,∴Δ>0,x 1+x 2=,x 1x 2=-,∴y 1y 2=[k (x 1-2)][k (x 2-2)]=k 2[x 1x 2-2(x 1+x 2)+4]=-,则 · =x 1x 2+y 1y 2=-≤1,解得-≤k ≤,故存在这样的直线l ,使得 · ≤1,此时其斜率k 的取值范围是-,.。