8.2(单个正态总体参数的假设检验)

第8章 假 设 检 验 章
8.2 单个正态总体参数的假设检验
正态总体N(µ σ 有两个重要参数均值 正态总体 µ,σ2)有两个重要参数均值µ和方差σ2， 在实际应用中常会用到单正态总体均值与方差的 检验，以及两个正态总体均值与方差的比较问题. 检验，以及两个正态总体均值与方差的比较问题
8.2.1 单个正态总体均值的假设检验
即
σ0
在显著水平α 的拒绝域为： 在显著水平α下，H0的拒绝域为：
2 ( n − 1) S 2 2 ≥ χ α ( n − 1) χ = 2 σ0
8.2.1 单正态总体均值与方差的检验
同样的思路， 同样的思路，对于左边检验
2 H0 : σ 2 ≥σ 0 2 H1 : σ 2 <σ 0
H0 : σ ≤σ
2 2 0 2 H1 : σ 2 >σ 0 2 H1 : σ 2 <σ 0 2 H0 : σ 2 ≥σ 0
为已知常数． 其中 σ 02为已知常数．
8.2.1 单正态总体均值与方差的检验
对µ未知的情形讨论上面三种检验. 未知的情形讨论上面三种检验 先看双边检验: 先看双边检验 H 0 : σ 2 = σ 02 H 1 : σ 2 ≠ σ 02 真时, 由定理6.3 当H0真时 X ~ N ( µ ,σ 02 ) , 由定理
σ2 所以对给定的小概率α 所以对给定的小概率α，易知
( n − 1) S 2 由于X 由于 ～ N(µ，σ2)， µ ，
~ χ 2 ( n − 1) ，
( n − 1) S 2 2 P ≥ χ α ( n − 1) = α 2 σ ( n − 1) S 2 当原假设成立时， 当原假设成立时，由于
8.2.1 单正态总体均值的检验
(2) σ2为未知的情况
0 未知时， 中含有未知的σ 当σ2未知时，由于 中含有未知的σ，不能再 σ/ n 作为检验统计量． 作为检验统计量． X − µ0 2是σ2的无偏估计 且由定理 考虑S 的无偏估计,且由定理 知 T = 且由定理6.3知 考虑 ~ t ( n − 1)
8.2.1 单正态总体均值的检验
(1) σ2为已知的情况
由8.1.1知, 检验统计量可采用 U = 知 在显著水平α下，H0的拒绝域为： 在显著水平α 的拒绝域为：
x − µ0 ≥ zα 2 | U | = σ/ n
X − µ0
σ/ n
这种检验称为均值的U检验． 这种检验称为均值的 检验． 检验
这种检验称为均值的t检验． 这种检验称为均值的 检验． 检验
均值的单边检验： 均值的单边检验： 右边检验： 右边检验： H0: µ = µ0 左边检验： 左边检验： H0: µ = µ0
H1: µ > µ0 H1: µ < µ0
已知方差， H1: µ < µ0 已知方差，检验 H0: µ = µ0 此时否定H 意味着接受H 此时否定 0意味着接受 1: µ < µ0， ， 因此， 小很多时， 因此，只有当 X 的观测值比 µ0 小很多时，才有理由 否定H 接受H 否则没有理由否定H 否定 0 ，接受 1 ， 否则没有理由否定 0 。即只有 的样本观测值小于0， 当 U = ( X − µ0 ) / σ 2 / n 的样本观测值小于 ，而且其绝 对值较大时，才有理由否定H 由此可得， 对值较大时，才有理由否定 0 ，由此可得， H0的拒 绝为形式为 (−∞, −λ ) ，小概率事件应为
σ 02
~ χ 2 ( n)
即
所以
σ
2
≥
( n − 1) S 2
σ 02
( n − 1) S 2 2 P ≥ χ α ( n − 1) ≤ α 2 σ0
8.2.1 单正态总体均值与方差的检验
由于
( n − 1) S 2 2 P ≥ χ α ( n − 1) ≤ α 2 σ0
( n − 1) S 2 2 ≥ χα ( n − 1) 2 是小概率事件, σ0 是小概率事件 ( n − 1) S 2 作为检验统计量, 可以取 χ 2 = 作为检验统计量 2
仍可以选用 χ 2 =
( n − 1) S 2
σ 02
作为检验统计量， 作为检验统计量，
并且容易推出在显著水平α下H0的拒绝域为： 的拒绝域为： 并且容易推出在显著水平α
2 ( n −
上述三种检验称为方差的χ 检验. 上述三种检验称为方差的χ2检验
所以可取 χ 2 =
( n− 1) S 2 −
σ
2 所以,H 的拒绝域为： 所以 0的拒绝域为：χ 2 ≤ χ 12−α 2 ( n − 1)}U{ χ 2 ≥ χα 2 ( n − 1)} {
2 0
作为检验统计量， 作为检验统计量，
8.2.1 单正态总体均值与方差的检验
再看右边检验
2 H0 : σ 2 ≤σ 0 2 H1 : σ 2 >σ 0
χ2=
( n − 1) S 2
σ 02
~ χ 2 ( n − 1)
所以对给定的小概率α, 易知 所以对给定的小概率α
2 P{{ χ 2 ≤ χ 12−α 2 ( n − 1)}U{ χ 2 ≥ χ α 2 ( n − 1)}} = α 2 是小概率事件． 即 { χ 2 ≤ χ 12−α 2 ( n − 1)}U{ χ 2 ≥ χ α 2 ( n − 1)}是小概率事件．
所以对给定的小概率α, 易知 所以对给定的小概率α
2 P{{χ 2 ≤ χ12−α 2 (n)} U {χ 2 ≥ χα 2 (n)}} = α 2 是小概率事件． {χ 2 ≤ χ12−αn 2 (n)} U {χ 2 ≥ χα 2 (n)} 是小概率事件． ( X i − µ )2 作为检验统计量， 所以可取 2 ∑ 作为检验统计量， i =1 χ = σ 02 2 所以,H 的拒绝域为： 所以 0的拒绝域为： {χ 2 ≤ χ12−α 2 (n)} U {χ 2 ≥ χα 2 (n)}
8.2.1 单正态总体均值与方差的检验
对µ已知的情形讨论如下检验. 已知的情形讨论如下检验 双边检验: 双边检验
2 2 H 0 : σ 2 =σ 0 H1 : σ 2 ≠σ 0
真时, 由定理6.3 当H0真时 nX ~ N ( µ ,σ 02 ) , 由定理
χ2 =
( X i − µ )2 ∑
i =1
X − µ0 ≤ − zα σ / n
类似的， 类似的，右边检验 H0: µ = µ0 其拒绝域为
H1: µ > µ0
X − µ0 U= ≥ zα σ/ n
8.2 单正态总体均值与方差的检验
8.2.2. 单正态总体方差的检验
为来自X的样本 的样本， 设X～N(µ，σ2)，X1, X2, …, Xn为来自 的样本， ～ µ ， x1, x2, …, xn为样本观测值 对方差σ 的检验一般有下面三种形式: 对方差σ2的检验一般有下面三种形式 2 2 1) 双边检验 H0 : σ 2 =σ 0 H1 : σ 2 ≠σ 0 2) 右边检验 3) 左边检验
1. 单正态总体均值的检验
为来自X的样本 的样本, 设X～N(µ, σ2), X1, X2, …, Xn为来自 的样本 ～ µ x1, x2, …, xn为样本观测值 为样本观测值, H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0
为已知常数. 其中µ0为已知常数 下面分两种情况给出H 的拒绝域: 下面分两种情况给出 0的拒绝域
X −µ
所以，改用 所以， 绝域为： 绝域为：
类似σ 已知的情形， 在显著水平α 类似 σ 2 已知的情形 ， 在显著水平 α 下 ， 上面检验的拒
x − µ0 ≥ tα 2 ( n − 1) | t | = s/ n
X − µ0 T= S/ n
S/ n
作为检验统计量， 作为检验统计量，