第12章电磁感应资料
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第12章节 电磁感应
法拉第（Michael Faraday,1791-1867)
法拉第于1791年出生在英国伦敦附近的 一个小村里，父亲是铁匠，自幼家贫，无 钱上学。13岁时到一家书店里当报童，次 年转为装订工。法拉第利用书店的条件， 业余时间贪婪地阅读了许多科学著作，例 如《化学对话》、《大英百科全书》的 《电学》条目等，这些著作开拓了他的视 野，激发了他对科学的浓厚兴趣. 1813年，到皇家研究院实验室当助理研究员。1821年任实验 室主任直到1865年。1824年，被推为皇家学会会员。次年正式 成为皇家学院教授。1851年，曾被一致推选为英国皇家学会会 长。1833年，法拉第发现了电解定律，1837年发现了电解质对 电容的影响，引入了电容率概念。1845年发现了磁光效应，后 又发现物质可分为顺磁质和抗磁质等。1867年8月25日，他坐在 书房的椅子上安祥地离开了人世。遵照他的遗言，在他的墓碑 上只刻了名字和生死年月。
电容器放电
+
+ + + + A + +
结论：电容器不能作为电源
VA VB
+ FK - B -
+
在回路中要出现稳恒电流必须存在稳恒电场。 外电路：电流从高电势向低电势运动。 内电路：电荷将克服静电场力作功，从低电势向高电势运动。
+ + +
+ E k + + + + A + FK + 电源
（1） 法拉第电磁感应定律的内容：导体回路中的感应电动势 的大小与穿过导体回路的磁通量的变化率成正比.
d m 写成等式： k 在 SI 制中 k =1 dt d m 负号表示感应电动势总 是反抗磁通量的变化 dt
第12章-电磁感应 电磁场和电磁波
0n1I1
则穿过半径为 r2 的线圈
的磁通匝数为
N2Φ21 N2B1(π r12 )
n2lB1(πr12 )
代入 B1 计算得 2 N2Φ21 0n1n2l(πr12 )I1
则
M 21
N 2Φ21 I1
0n1n2l(πr12 )
33
12-3 自感和互感
例3 上题中，若通过长度为 l2 的线圈 N2 的电流为 I2 ， 且 I2 是随时间而变化的，那么，因互感的作用，在线 圈 N1 中激起的感应电动势是多少呢？ 解 通过线圈 N1 的磁通匝数为
dV
V 2
36
12-4 磁场的能量 磁场能量密度
例1 有一长为 l 0.20m 、截面积 S 5.0cm2 的长直 螺线管。按设计要求，当螺线管通以电流 I 450mA 时，螺线管可储存磁场能量 Wm 0.10J . 试问此长直螺
线管需绕多少匝线圈？
解 由上一节可知，长直螺线管的自感为
L 0N 2S / l
i
OP Ek dl
(v
B)
dl
OP
l
p
i
设杆长为 l
i
vBdl vBl
0
o
16
12-2 动生电动势和感生电动势
例1 一长为 L 的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场中,
以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转
动，求铜棒两端的感应电动势.
解 di (v B) dl
vBdl
螺线管储存的磁场能量为
Wm
1 2
LI 2
1 2
0 N 2S
l
I2
N 1 ( 2Wml )1/ 2 1.8104匝
当 dL 0 dt
大学物理电磁学 第12章 电磁感应
设 ab L 求：导线ab中的电动势
z
B
b
a
a
利用
d
v
B
dl
解：规定a到b为正方向，取线元dl
v
B
vB
rB
lB sin
B
z
d (v B)dl vBdl sin
b
r
B sin2 ldl L
d B sin2 ldl
a
l
dl v
B
BL2 sin2
2
0
>0 方向从 a 到 b
由于无漏磁 m21 m1
N1m1
NI21m2
m12
I
2 m2
线圈
L1
L2
1
M 2 N2m1
I1
N1m2
I2
L1L2
M L1L2
一般情况下 M k L1L2 0 k 1
N2 m2
B21
I2
线圈2
例题1：在通有电流I的长直导线附近有一半径为a，质 量为m的细小线圈，线圈可绕通过中心与直导线平行的 轴转动，直导线与细小线圈中心相距为d，设d》a，通
E感生
R2 2r
dB dt
r
O
若 dB 0 dt
E感生 〈 0
若 dB 0 dt
E感生 0
例2 如图中均匀磁场，且B以不变速率变化，求其中 线段ab内的感生电动势
L E感 dl
B dS S t
解：楞次定律
ob
ba
ao
dm
dt
a
因为 ao E感生 dl =0
O
b
ob E感生 dl 0
i
d i
b
a
z
B
b
a
a
利用
d
v
B
dl
解：规定a到b为正方向，取线元dl
v
B
vB
rB
lB sin
B
z
d (v B)dl vBdl sin
b
r
B sin2 ldl L
d B sin2 ldl
a
l
dl v
B
BL2 sin2
2
0
>0 方向从 a 到 b
由于无漏磁 m21 m1
N1m1
NI21m2
m12
I
2 m2
线圈
L1
L2
1
M 2 N2m1
I1
N1m2
I2
L1L2
M L1L2
一般情况下 M k L1L2 0 k 1
N2 m2
B21
I2
线圈2
例题1：在通有电流I的长直导线附近有一半径为a，质 量为m的细小线圈，线圈可绕通过中心与直导线平行的 轴转动，直导线与细小线圈中心相距为d，设d》a，通
E感生
R2 2r
dB dt
r
O
若 dB 0 dt
E感生 〈 0
若 dB 0 dt
E感生 0
例2 如图中均匀磁场，且B以不变速率变化，求其中 线段ab内的感生电动势
L E感 dl
B dS S t
解：楞次定律
ob
ba
ao
dm
dt
a
因为 ao E感生 dl =0
O
b
ob E感生 dl 0
i
d i
b
a
第12章电磁感应定律
第12章 电磁感应
(electromagnetic induction)
电源、电动势
负载
1.电源: 将其它形式的能量转变
为电能的装置。
Ek
在电源内部存在一非静电场 Ek 。
电源
2.电动势: 等于电源把单位正电荷从负极板经电源内部
移动到正极时所作的功。单位:伏特(V)。
i Ek dl
Ek ：是非静电场场强
度 B( x,t ) B0 sint sinkx，式中，k为已知常数。一
边长a,b的矩形导体回路置于其中，如图。 求回路中感应电动势对时间的关系。
解：回路不动，磁场随时间变化而， 即产生感生电动势。
建立坐标如图，取回路顺时针为正，
不论何种原因使通过回路的磁通量发生变化时，回路 中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。
SI制中表达式为：
i
d m
dt
式中的负号反映了感应电动势的方向（楞次定律
的数学表现）。
2.几点说明：
i
d m
dt
------单匝线圈
N匝线圈:
i
N k 1
ik
N k 1
d mk dt
dN
dt
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
(electromagnetic induction)
电源、电动势
负载
1.电源: 将其它形式的能量转变
为电能的装置。
Ek
在电源内部存在一非静电场 Ek 。
电源
2.电动势: 等于电源把单位正电荷从负极板经电源内部
移动到正极时所作的功。单位:伏特(V)。
i Ek dl
Ek ：是非静电场场强
度 B( x,t ) B0 sint sinkx，式中，k为已知常数。一
边长a,b的矩形导体回路置于其中，如图。 求回路中感应电动势对时间的关系。
解：回路不动，磁场随时间变化而， 即产生感生电动势。
建立坐标如图，取回路顺时针为正，
不论何种原因使通过回路的磁通量发生变化时，回路 中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。
SI制中表达式为：
i
d m
dt
式中的负号反映了感应电动势的方向（楞次定律
的数学表现）。
2.几点说明：
i
d m
dt
------单匝线圈
N匝线圈:
i
N k 1
ik
N k 1
d mk dt
dN
dt
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
大学物理-第12章--电磁感应
∴取以 r 为半径的圆周为绕行回路L ，绕行方向为逆时针,面元法线如图。
× × × ×
× ×××
r n ×L × × × ×
× × ××× × R
×××××
×
B
×× ×× ×× ××
当r < R
时： L E感 dl
S
B
dS
t
等式左边 L E感 dl L E感dl cos 00
× × × ×
导线内每个自由电子
受到的洛仑兹力为：
fm e(v B)
非静电力
?++ + ++
B
v
fm
在导线内部产生的静电场方向
ab
E
a
++ + ++
电子 受的静电力
fe
fe eE
平衡时： fe fm
此时电荷积累停止，
fm
ab 两端形成稳定的电势差。 b
★ 洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因.
B
v
2、动生电动势的表达式
S 1 hL 2
磁通
m
1 hLB 2
B
t
0
o B h
C D
i
dm dt
1 hL dB 1 hL B 2 dt 2 t
L
讨论 只有CD导体存在时，
电动势的方向由C指向D
加圆弧连成闭合回路，
由楞次定理知：感生电流的
方向是逆时针方向……..
1 B hL
1 2 t
B SOCD t
？
铁芯
磁场 B
线圈
电 子束
环形 真空室
五、感生电场计算举例
例 12-5. 半径为R的长直螺线管内的磁场，以dB/dt 速
× × × ×
× ×××
r n ×L × × × ×
× × ××× × R
×××××
×
B
×× ×× ×× ××
当r < R
时： L E感 dl
S
B
dS
t
等式左边 L E感 dl L E感dl cos 00
× × × ×
导线内每个自由电子
受到的洛仑兹力为：
fm e(v B)
非静电力
?++ + ++
B
v
fm
在导线内部产生的静电场方向
ab
E
a
++ + ++
电子 受的静电力
fe
fe eE
平衡时： fe fm
此时电荷积累停止，
fm
ab 两端形成稳定的电势差。 b
★ 洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因.
B
v
2、动生电动势的表达式
S 1 hL 2
磁通
m
1 hLB 2
B
t
0
o B h
C D
i
dm dt
1 hL dB 1 hL B 2 dt 2 t
L
讨论 只有CD导体存在时，
电动势的方向由C指向D
加圆弧连成闭合回路，
由楞次定理知：感生电流的
方向是逆时针方向……..
1 B hL
1 2 t
B SOCD t
？
铁芯
磁场 B
线圈
电 子束
环形 真空室
五、感生电场计算举例
例 12-5. 半径为R的长直螺线管内的磁场，以dB/dt 速
第十二章电磁感应电磁场
bA cb 0
bA cb bc
a
a
vBdy v
0I
dy
b
b 2y
0Iv ln b 2 a
O
I
a
C
v
B
A
v
b
y
bc
bA
讨论：（1）在磁场中旋转的导体棒
（a）棒顺时针旋转
v
L
S
0 (v B) dl
L
0 Bvdl
ω
L Bl dl 1 BL2
0
2
动生电动势的方向由 O指向A 。
回路中产生的感应电动势 的大小与磁通量对时
间的变化率成正比。
k dΦm
dt
dm
dt
负号表示感应电动势总是反抗磁通的变化
国际单位制中 k =1
单位: 1V=1Wb/s
若有N匝线圈，每匝磁通量相同，它们彼此串联，总电动 势等于各匝线圈所产生的电动势之和。令每匝的磁通量为 m
磁链数: Ψ NΦm
(2) 在磁场中旋转的线圈
在匀强磁场B 中， 面积为S 的N 匝矩形线
圈以角速度为 绕固定
的轴线作匀速转动。
在任意时刻 t，线圈平面法 线与磁场的夹角为，这时
通过线圈平面的磁链数
Nm NBS cos
ωn
d(Nm )
dt
NBS d sin NBS sin t
dt
max sin t ——交变电动势
能量的转换和守恒
外力做正功输入机械能，安培力做负功吸收 了它，同时感应电流以电能的形式在回路中输出 这份能量。
发电机的工作原理： 靠洛仑兹力将机械能转换为电能
3、动生电动势的计算
计算动生电动势的一般方法是：
第12章 电磁感应要点
二、电动势
电动势的定义：单位正电荷绕闭合回路运 动一周，非静电力所做的功. 电动势：
W q
l
qEk dl q
I
R +E -
+ + +Ek -
电源电动势大小等于将单位正电荷从负极 经电源内部移至正极时非静电力所作的功.
* +
_ Ri
*
正极 电源的电动势
负极 电源
和内阻 Ri
B
12－2 动生电动势 和感生电动势
一、动生电动势
二、感生电动势
法拉第电磁感应定律：
dΦ i dt
i 是回路中的
感应电动势
Φ B d变化方式：
导体回路不动，B变化~~感生电动势 导体回路运动，B不变~~动生电动势
12－1
电磁感应定律
一、电磁感应现象
二、楞次定律
三、电磁感应定律
一、电磁感应现象
当穿过闭合回 路所包围面积的 磁通量变化时， 回路中就会产生 电流，这种现象 称为电磁感应现 象。 电磁感应现象中产生的电流称为感应电流。
二、楞次定律
(判断感应电流方向)
闭合的导线回路中 所出现的感应电流，总 是使它自己所激发的磁 场反抗任何引发电磁感 应的原因（反抗相对运 动、磁场变化或线圈变 形等）。
v
d B d S Bl d x
由法拉第电磁感应定律， 可得感应电动势的大小：
d dx i Bl Bl v dt dt
由楞次定律，可得感应电流的方向：逆时针
例2 均匀磁场如图垂直纸面向里. 在垂直磁场的 平面内有一个边长为 l 的正方形金属细线框，在周长 固定的条件下，正方形变为一个圆，则图形回路中感 应电流方向为 （A）顺时针 （B）逆时针 （C）无电流 （D）无法判定
第12章 电磁感应(法拉第电磁感应定律)
解一： 取线元 dl
(v B) 与 dl 同向
L
v l
d (v Байду номын сангаасB) dl v Bdl Bldl
1 2 B L d Bldl 2 o
o dl v B
L
B dΦ m d Ek dl B dS dS l t dt dt
B l Ek dl t dS
涡旋电场是非保守场 不能引入电势概念！
变化的均匀磁场
B B(t )
b a
Ek外
B Ek dl dS t L
dΦ m 其数学表达式为： ε dt
dΦ m ε dt
式中“－”
d m 0, 则＜０ 如图 (a) dt d m 0, 则 ０ 如图 (b) dt
若线圈是Ｎ 匝串联而成 , 则 :
d m d m N dt dt m＝N m 单位：韦伯
m : 穿过整个线圈的磁通匝
Ek Ek
c
Ek外
dB (t ) 2 Ek 内 2π r π r dt dB (t ) Ek外 2π r π R2 dt
例：同一时刻 b、c 两点间 感生电场沿不同的路径的积 分值不同。
1 dB (t ) Ek 内 r 2 dt 1 dB(t ) 2 1 Ek外 R 2 dt r
o
交变的 电动势
x
i
0 r NI 0l
2π
π
da cos t ln d
取两个特殊的时间点来讨论
t
t
i 0
i i
L
(v B) 与 dl 同向
L
v l
d (v Байду номын сангаасB) dl v Bdl Bldl
1 2 B L d Bldl 2 o
o dl v B
L
B dΦ m d Ek dl B dS dS l t dt dt
B l Ek dl t dS
涡旋电场是非保守场 不能引入电势概念！
变化的均匀磁场
B B(t )
b a
Ek外
B Ek dl dS t L
dΦ m 其数学表达式为： ε dt
dΦ m ε dt
式中“－”
d m 0, 则＜０ 如图 (a) dt d m 0, 则 ０ 如图 (b) dt
若线圈是Ｎ 匝串联而成 , 则 :
d m d m N dt dt m＝N m 单位：韦伯
m : 穿过整个线圈的磁通匝
Ek Ek
c
Ek外
dB (t ) 2 Ek 内 2π r π r dt dB (t ) Ek外 2π r π R2 dt
例：同一时刻 b、c 两点间 感生电场沿不同的路径的积 分值不同。
1 dB (t ) Ek 内 r 2 dt 1 dB(t ) 2 1 Ek外 R 2 dt r
o
交变的 电动势
x
i
0 r NI 0l
2π
π
da cos t ln d
取两个特殊的时间点来讨论
t
t
i 0
i i
L
大学物理第十二章变化的电磁场
是匀强磁场吗？ 是！
m = BScos ( t+o)
= Bosin t Scos t
i
dm
dt
= -BoS cos2 t
13
例12.1.4 长直电流I与ABC共面, AB=a, BC=b。
(1) I =Iocos t (Io 和为常量) , ABC 不 动, 求: ABC=？
解:
m
Bdscos
方向成右手螺旋关系。3
感应电流总是“企图”阻碍原磁通的改变，但又 阻止不了。
楞次定律是能量守恒定律的必然结果。
fm
fm
楞次定律能量守恒
“阻碍”改为“助长”则，不需外力作功，导线便会 自动运动下去，从而不断获得电能。这显然违背 能量守恒定律。
4
感应电动势和感应电流的关系
对闭合导体回路, 感应电动势的方向和感应电 流的方向是相同的。
B)
dl
a
b ++ B
dl
(1)若i 若i
>0, <0,
则i 则i
沿 dl方向，即ab的方向； 与dl的方向相反，即ba的方向。
-a-
(2)动生电动势只存在于运动导体内，无论导体是否构
成闭合回路，只要导体 B在 磁0场中运动切割磁场线，即
(3)若整个导体回路在磁场中运动，则在回路中产生的
动生电动势：
用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下：
(i)首先求出回路面积上的磁通量(取正值)：
m
B dS
S
对匀强磁场中的平面线圈：
m B S BS cos
(ii)求导：
i
dm
dt
(ⅲ)判断i 的方向。
8
例12.1.1 圆线圈，m=8×10-5sin100t(wb), N=100匝，
大学物理第12章电磁感应
第三篇 电磁学
Michael Faraday (1791-1867)
法拉第是英国物理学家、化学家，也 是著名的自学成才的科学家。法拉第 主要从事电学、磁学、磁光学、电化 学方面的研究，并在这些领域取得了 一系列重大发现。 他创造性地提出场的思想，是电磁理 论的创始人之一。 在1831年发现了电磁感应定律。这一 划时代的伟大发现，使人类掌握了电 磁运动相互转变以及机械能和电能相 互转变的方法，成为现代发电机、电 动机、变压器技术的基础。 后又相继发现电解定律，物质的抗磁 性和顺磁性，以及光的偏振面在磁场 中的旋转。
第三篇 电磁学
5.电磁感应的条件 在闭合回路中产生电流的方法有两种：回路不动，周围的磁场发生变 化；磁场不变，回路或回路的一部分在磁场中运动。(当然回路和磁场 同时改变的情况是为上述两种情况的叠加) 穿过导体回路的磁通量发生变化。 ห้องสมุดไป่ตู้磁感应现象——当通过一个闭合回路的磁通量发生变化时，回路中 产生电流的现象。 感应电流——电磁感应现象中产生的电流。 (inducted current) 感应电动势——电磁感应现象中产生的的电动势。 (inducted e.m.f.) 6.电磁感应的实质 产生感应电动势才是电磁感应的实质。无论回路是否闭合，当穿过 一段导体的虚构回路的磁通量发生变化时，该段导体内就有电动势存在， 但无电流。
NBS cos NBS cos t
利用Faraday电磁感应定律
dΦ d ε NBS cos t dt dt NBS sin t m sin t
磁场增强、 面积增大， 或兼有。
0 d 0 0
0 d 0 0
磁场减弱、 面积减小， 或兼有。 实际ε方向 实际ε方向
12电磁感应解读
但在电容器充放电过程中却出现了矛盾。
在某时刻回路中传导电流强度为i
取如图回路：L 计算H的环流
取
取 思考之一：场的客观存在，环流值必须唯一； 思考之二：定理应该普适； 假设：电容器内存在一种类似电流的物理量。
麦克斯韦假设在电容器中存在所谓的“位移电流”，从而提出 全电流的概念，把安培环路定理推广到非恒定情况下也适用 ，得到安培环路定理的普遍形式。 （二）. 位移电流 全电流 全电流定理 1. 位移电流 平板电容器内部存在一个物理量；它可以产生磁场， 起着电流的作用，其量纲应是电流的量纲。 在充放电过程中，平行板电容器内有哪些物理量？ t 时刻有:
>
方向 充电
<
方向 放电
2) A：r<R 过P点轴线为圆心作 一圆环，则有： P
B：r>R,仿上再作一类似的回路，则有： P
忽略边缘效应 电容器内总位移电流 作一数量级估算
二、 麦克斯韦方程组 （Maxwell equations） （一）. 积分形式
通
环
量
量
穿过任意封闭曲面的电位移通量， 等于该曲面内自由电荷的代数和。
第十二章 电磁感应
奥斯特发现了电流的磁效应。对称性 反映了物质世界的对称美。
§12-1 法拉第电磁感应定律
一、电磁感应现象
磁的电效应？
两类形式不同，但都引起回路中Φ的 变化，进而激发电动势。 二. 规律 1. 法拉第电磁感应定律
感应电动势的大小 ： 2.若闭合回路的电阻为R，则回路中的电流为：
3. 楞次定律 （ Lenz law ） 闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止 引起感应电流的磁通量的变化。 楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象上的具体体现。
(白底)第12章电磁感应
F ' m
F m
12.3 感生电动势和感生电场
不论回路的形状及导体性质和温度如何， 不论回路的形状及导体性质和温度如何，只要磁场变 化导致穿过回路磁通量发生了变化， 化导致穿过回路磁通量发生了变化，在回路产生了感 dΦ 生电动势． 生电动势．
εi = −
麦克斯韦提出： 麦克斯韦提出：变化的磁场在其周围空间激发一种新 的电场，称为感生电场或有旋电场， 表示． 的电场，称为感生电场或有旋电场，用 Ek 表示．
例、一无限长直导线与一矩形导体线框在同一个平面内，彼此 一无限长直导线与一矩形导体线框在同一个平面内， 绝缘，如图所示。若直导线中通有I=At的电流， 为常数， I=At的电流 绝缘，如图所示。若直导线中通有I=At的电流，A为常数， 求此线框中的感应电动势。 求此线框中的感应电动势。 解：将线框分成如图所示的窄条，载 将线框分成如图所示的窄条， 流长直导线在任一窄条处的磁场为： 流长直导线在任一窄条处的磁场为： µ0 I B= 2π r 取顺时针方向为回路绕行的方向， 取顺时针方向为回路绕行的方向，则 面元的正法线方向垂直纸面向里， 面元的正法线方向垂直纸面向里，穿 过面元的磁通量： 过面元的磁通量： µI dφ = B idS = BdS = 0 bdr 2π r b r 由于在r<a内 由于在r<a内，左右两边穿过线框的磁 r<a 通量方向相反，相互抵消， 通量方向相反，相互抵消，所以计算 穿过整个线框的磁通量时的积分限取 11 3a， 从a到3a，则：
Vbc = εbc < εbc弧 = Vbc弧
7
例：
求：
εi = ?
v
I a b c
µ0 I B = εi1 = ∫ v × B1 ⋅ dl = vB1c 1 2πa µ0 Ivc = 2πa µ0 I B2 = 2π (a + b)
121 电磁感应.
第12章 电磁感应与电磁场
12.1 电磁感应的基本规律 12.2 动生电动势与感生电动势 12.3 自感 互感 12.4 磁 能 12.5 麦克斯韦电磁场理论简介
建于波多黎各的直径达 305 m的射电望远镜
12.1 电磁感应的基本规律
一、电动势
非静电场场强
Ek
Fk q
I
电动势
Ek dl
dm
la 0I bdx
l 2πx
0Ib ln l a 2 l
dx
I
电动势
dm
dt
0 Ib 2
dl / dt l a
dl
/ l
dt
0 Iabv 2l(l a)
例 两个同心圆环，已知 r1<<r2,大线圈中 通有电流I ,当小圆环绕直径以w 转动
N
dt
S
2. 负号决定感应电动势方向
m 0
n
dm 0
dt
dm 0
N
dt
S
例 在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框，导 体线框与载流导线共面，求线框中的感应电动势。
解 通过面积元的磁通量
dm
BdS
0 I
2πx
bdx
通过线框的磁通量
a
l
vb
x
m
(2)若闭合回路中电阻为R，电流
Ii
R
dm /
R
dt
则一段时间内经过电流计的电荷电量为
qi
t2 t1
Iidt
12.1 电磁感应的基本规律 12.2 动生电动势与感生电动势 12.3 自感 互感 12.4 磁 能 12.5 麦克斯韦电磁场理论简介
建于波多黎各的直径达 305 m的射电望远镜
12.1 电磁感应的基本规律
一、电动势
非静电场场强
Ek
Fk q
I
电动势
Ek dl
dm
la 0I bdx
l 2πx
0Ib ln l a 2 l
dx
I
电动势
dm
dt
0 Ib 2
dl / dt l a
dl
/ l
dt
0 Iabv 2l(l a)
例 两个同心圆环，已知 r1<<r2,大线圈中 通有电流I ,当小圆环绕直径以w 转动
N
dt
S
2. 负号决定感应电动势方向
m 0
n
dm 0
dt
dm 0
N
dt
S
例 在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框，导 体线框与载流导线共面，求线框中的感应电动势。
解 通过面积元的磁通量
dm
BdS
0 I
2πx
bdx
通过线框的磁通量
a
l
vb
x
m
(2)若闭合回路中电阻为R，电流
Ii
R
dm /
R
dt
则一段时间内经过电流计的电荷电量为
qi
t2 t1
Iidt
第十二章电磁感应参考资料
第十二章电磁感应参考资料1．楞次（Heinrich Friedrich Emil e Lenz，1804～1865）俄国物理学家。
生于爱沙尼亚的多尔帕特。
中学学习成绩优异，16岁就进入多尔帕特大学。
19岁时被推荐作为地球物理观测员参加由俄国主办的第二次全球性科学航行（1823－1826）。
1836至1865年任圣彼得堡大学教授。
他是圣彼得堡科学院院士。
楞次的主要贡献在电磁学方面。
1831年，法拉第发现电磁感应现象后，他就对电磁感应现象进行了深入的研究。
1833年，他发现感应电动势阻止产生这一感应的磁铁或线圈的运动。
此结论于1839年发表，后称为楞次定律。
该定律表明电磁现象也同样遵守能量转化和守恒定律。
1842年，他与焦耳分别发现了电流通过导体时的热效应规律，即电流在一定时间内通过导体时所放出的热量，与导体的电阻成正比，与通过导体的电流的平方成正比。
这一规律被称为焦耳－楞次定律。
此外，在电化学、地球物理学等领域的研究中，他也取得了一系列重要成果。
2．楞次定律的又一表述方式以课本图12－3为例，当磁棒的N极插入线圈时（图a），线圈中产生感应电流，这载流线圈就相当于一根条形磁铁，N极面向磁棒的N极，结果两个N极之间互相排斥，其效果是反抗磁棒的插入。
当把磁棒的N极从线圈中拔出时（图b），线圈中产生感应电流，相当于条形磁铁的S极在上端，它和磁棒的N极互相吸引，其效果是阻止磁棒的拔出。
所以，楞次定律还可以表述为：感应电流产生的效果总是反抗引起感应电流的原因。
这里所说的“效果”，既可理解为感应电流激发的磁场，也可以理解为因感应电流引起的机械作用；这里所说的“原因”，既可指磁通量的变化，也可指引起磁通量变化的相对运动或回路的形变。
值得指出的是，在某些问题中并不要求具体确定感应电流方向，而只需要定性判明感应电流所引起的机械效果，这时用此表述方式来分析问题更为方便。
3．金属棒在垂直于磁场的面内转动时感应电动势的大小如图12－3所示，长度为l的一根铜棒，以b端为轴，在匀强磁场中以角速度ω逆时针匀速旋转。
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d1 d2 d 1 2
dt dt
dt
N d dt
若1 2
而回路中的感应电流还与回路的电阻有关：
Ii
i
R
1 R
d dt
则通过回路中某一截面的电荷量为：
q
t2 t1
I i dt
1 R
2 d 1
1
R
1 2
楞次定律：感应电流的方向总是企图使感应电流本身
所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起
第十二章 电磁感应
主要内容：
1、法拉第电磁感应定律
2、动生电动势的计算、方向的判定 3、自感系数的求解 4、磁场能量的计算
§1 电磁感应及其基本规律
一、电磁感应现象
1、磁场相对于线圈或导体回路改变大小和方向引起的电磁感应现象
2、线圈或导体回路相对于磁场改变面积和取向所引起的电磁感应现象
两类实验
只要穿过导体回路的磁通量发生变化，该导体回 路中就会产生电流，称为感应电流，由磁通量变化所 产生的电动势称为感应电动势。
当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中必 然产生感应电动势，由磁通量变化产生感应电动势的 现象，称为电磁感应现象。
二、法拉第电磁感应定律
1、法拉第电磁感应定律： 回路中的感应电动势与通过回路的磁通量对时
d
a
动生电动势是由洛伦兹力作用
所产生的。
c
Ii
F电
v
F洛
b
可见：整个导线L上的动生电动势等于整个导线在
单位时间内所切割的磁力线数目。
（1）由
v B dl计算注意：意义，1、 只0有表首示先取的定方d向l 与的所方取向，dl（的由正整负个才回有路方的向绕行
方向定）一致。反之则反。显然 dl 的方向有两种取法。
...
若绕行方向取如图所示的回路方向L
.
.L.
.
按约定 磁通量为正 即 BS
由
i
d
dt
dB S < 0 dt
负号 电动势的方向
S i
说明 与所设的绕行方向相反
若绕行方向取如图所示的方向L. . 均. 匀. 磁.场. B.
按约定 磁通量取负
. . S. . . . .
BS
. . .L. . . .
AB=L,求 D
2、感生电动势 感生电场
由于磁场的时间变化而产生的电场
B
Br,t
B dS
i
d
dt
i
S
B t
dS
S
a、感生电场的性质
L
E感生
dl
S
B t
dS
法拉第电磁感应定律 非保守场
L
S
E感生 dS 0
无源场 涡旋场
S
S是以L为边界的任意面积
b、感生电场的计算
自感现象
对于N匝有 Ψ NΦ NlI LI
L Nl Ψ I
自感系数
L是由回路形状、大小、匝数、周围介质情况决定的。 与I无关。
L
dΦ dt
d dt
LI
L
dI dt
负号表示：自感应的作用是反抗原来回路电流的变化。
可见自感系数的计算方法是：
1、设回路电流为I，写出B的表达式
2、计算Φ B dS,Ψ NΦ
dx
I
x
b
解 : 令无限长导线上的电流 为 I
da
则
B 0I
d
B
dS
BdS
0I
bdx
0bI
dx
2x
2x
2 x
ad
d
0bI 2
dx x
0bI 2
ln
a
d
d
M 0b ln a d I 2 d
*电容C，自感L，互感M的计算原理基本一样。
如图有 I 等式 lI
I的变化 的变化 感应电动势
角。2由、速计度算与中磁，场要而明定确；两二个是夹角v： B一是与
v与
B
的夹
dl 的夹角，它
与速度、磁场方向及dl 方向均有关。
Eg:在通有电流I的长直导线旁有一长为L的金属棒，以速度 v 平行于导
线运动，棒的近导线一端距导线为a，求棒中的 D 。
Eg:教材例题12—1
Eg:如图，回路ABC在匀强磁场 B 中以角速度 绕AC边旋转，BC=a
且有
dB c dt
求：E感生 分布
B
L
0•
r
解：设场点距轴心为r ,根据对称性，取以o
为心，过场点的圆周环路 L
E感生 dl E感生 2 r
由法拉第电 磁感应定律
S dB dt
L
E感生
S
2 r
dB dt
r< R
S
r2
E感生
r 2
dB dt
r>R
S R2
E感生
R2 2r
dB dt
dB> 0 dt
间的变化率成正比。即：
k d
dt
取合适的单位制，则有：
d
dt
2、感应电动势方向判定
约定
d i dt
首先任定回路的绕行方向 规定电动势方向与绕行方向一致时为正
当磁力线方向与绕行方向成右螺时 规定磁通量为正
如均匀磁场 B
dB >0
dt
.均.匀.磁.场. B. .
S
求：面积S边界回路中的电动势 . . . . . . .
1、原则
B
E感生 dl
L
S
t
dS
2、特殊
E感生 具有某种对 称性才有可能计 算出来
空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度
方向平行柱轴，如长直螺线管内部的场 。
磁场随时间变化
B t
感生电场具有柱对称分布
3、特殊情况下感生电场的计算
空间均匀的磁场限制在半径为 R
的圆柱内， B 的方向平行柱轴
由
i
d
dt
dB S >0 dt
正号 电动势的方向
S i
说明 与所设绕行方向一致
两种绕行方向得到的结果相同
用电磁感应定律分析下面四图中的电动势方向
n
n
i
绕行方向
(a) 0, 增加
n
i
绕行方向
(c) 0, 减少
i
绕行方向
(b) 0, 增加
n
i
绕行方向
(d ) 0, 减少
对于多匝线圈有
3、L Ψ I
Eg:教材例题12—3
Eg:求长直导线与共面等边三角形线圈间的互感系数，设三角形高为h， 平行于直导线的一边到直导线的距离为b。
Eg:一横截面为正方形的木质圆环，内半径为10cm，外半径为12cm，木 环上密绕一层直径为0.1cm的绝缘导线线圈，求该线圈的自感系数L。
i <0
dB < 0 dt
i> 0
一、互感现象
I2 I1
21 I1 即 21 M 21I1 MI1 12 I 2 即 12 M12 I 2 MI 2
M 21 12 I1 I2
则
21
d 21 dt
M
dI1 dt
12
d12 dt
M
dI 2 dt
例1. 如图，计算无限长直导线与 一矩形线圈之间的互感系数。
感应电流的磁通量的改变。
楞次定律的 实质是能量 转化与守恒 定律在电磁 感应现象中 的具体体现
i
a(增加）
i
b(增加）
i
c(减少）
d (减i 少）
1、动生电动势
F洛
ev
B
d
v
对由应于的导体非在静磁电场中场运：动E所K产生F的洛e感应v电动B势。 B dl
ab
v
B
dl