数字信号处理复习课

知识点：抽样及抽样定理
1、时域抽样
时域以间隔T 进行抽样，频谱会以抽样角频率2s T
π
ω=
为周期产生周期延拓。

保持原连续信号频谱的形状不变（不产生频谱混叠即无失真抽样）必须满足的两个条件： （1）原连续时间信号x (t )是带限信号；,||(j )(j ),||0m
m
X X <⎧=⎨
>⎩ΩΩΩΩΩΩ（信号最高角频率为m Ω） （2）
2s m ≥ΩΩ，即：2s m f f ≥。

最小抽样频率2s m f f =——奈奎斯特频率 最大抽样周期（间隔）1/2m T f =——奈奎斯特周期（间隔）
例题：
1、在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期s
T 与信号最高截止频率m f 应满足关系( D )。

A 、
2s m T f > B 、1s m T f > C 、
1s m T f < D 、1
2s m
T f <
第三章
知识点：1、线性卷积和
解法：竖乘法。

例题：
（1）已知11()[1,2,3,4]x n =，21()[1,2,0,1]x n -=，则12()*()x n x n = 。

知识点：2、正弦序列周期性的判断
判断方法，已知正弦序列0()sin()x n A n =+ωφ，当02/πω为整数或者有理数时，正弦序
列为周期的，周期为02/N k =πω，k 等于使02
/πω取最小整数的值。

例题：
1、离散正弦信号5()cos()83
x n n π
π=+的周期是( C )。

A. 2π
B.
165 C.16 D. 8
5π
2、序列()cos(3)x n n π=的周期等于__________。

知识点：1、z 变换的收敛域
右序列在外边，左序列在里边，双边序列是个环， 有限序列全平面。

例题：
1、已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1，则该序列为( C )。

A 、有限长序列 B 、右边序列 C 、左边序列 D 、双边序列
10、 已知序列()x n 为右序列，则()x n 的z 变换()X z 的收敛域为（ A ）
A B C
D 、除z=0和z=∞以外的整个z 平面
知识点：2、系统函数 定义：[]()
()()()
Y z H z h n X z ==
Z 系统稳定的z 域充要条件为 ：系统函数()H z 的收敛域包含单位圆
因果系统稳定的z 域充要条件为：系统函数()H z 的全部极点必须在单位圆内 例题：
1、一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包括( A )。

A 、单位圆
B 、原点
C 、实轴
D 、虚轴
知识点：1、时域-频域的周期-离散对应关系
时域和频域之间存在着连续-非周期、离散-周期的对应关系！ 时域 频域 连续周期 非周期离散 连续非周期 非周期连续 离散非周期 周期连续 离散周期 周期离散 例题：
1、下面关于时域频域周期离散关系，说法错误的是( A )。

A 、时域是连续非周期信号，频域是连续周期的
B 、时域是连续周期的信号，频域是离散的非周期的
C 、时域是离散非周期的信号，频域是连续周期的
D 、时域是离散周期的信号，频域也是离散周期的
知识点：2、按时间抽取基-2FFT 算法规律
(1) 对于N=2L 点DFT ，共有2
log N
L =级运算；
(2) 每一级有
2
N
个蝶形单元，每一个蝶形单元的运算需要一次复数乘法和两次复数加法； (3) N 点序列进行FFT ，总运算量为：复数乘2l o g 22
N
c N N M L =⨯
=⋅次，复数加22l o g 2
N
c N A L N =⨯
⨯=⋅次。

例题：
1、计算N=2L （L 为整数）点的按时间抽取基-2FFT 需要( )级蝶形运算。

A 、L B 、L/2 C 、N D 、N/2
2、对长度为1024点的序列进行FFT 蝶形图计算时，总共有 级蝶形单元，
需要 次复数乘， 次复数加。

知识点：3、线性卷积和圆周卷积的关系
N 点圆周卷积是是线性卷积和序列以N 为周期的周期延拓序列的主值序列 ， 即()()()l N r y n y n rN R n ∞
=-∞
=
+∑
当满足121N N N ≥+-时，()l y n 以 N 为周期进行周期延拓才不会出现混叠现象，圆周卷积等于线性卷积。

例题：
1、已知有限长序列1()x n 、2()x n 的长度都为4，用线性卷积的快速算法计算
12()*()x n x n 时，分别对两序列进行DFT 的点数至少为( A )。

A 、7点
B 、4点
C 、10点
D 、8点
2、已知序列x(n)=[ 1 2 2 3]0,h(n)=[1 1 2] 0, （1）试计算出()()x n h n *； （2）试计算出)(n x ⑤()h n ；
（3）为了使N 点的)(n x 与()h n 圆周卷积可以表示线性卷积，最小的N 值为多少？ 解： （1） 1 2 2 3）0 1 1 2 ）0 2 4 4 6 1 2 2 3
1 2 2 3
1 3 6 9 7 6）0
（2）()()()l
N
r y n y n rN R
n ∞
=-∞
=
+∑
)(n x ⑤()h n
=
001 3 6 9 7 6 )[7 3 6 9 7] 6
=
(3)N=6;
知识点4：线性卷积和的分段计算方法有：重叠相加法、重叠保留法 例题：
P167 例5.5.1
知识点5：用 DFT 近似分析连续时间信号的频谱时出现的问题：⑴ 混叠失真⑵ 频谱泄漏⑶ 栅栏效应 例题：
1、使用DFT 分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有________、栅栏效应和________。

P179 作业题 5.16
第六章
知识点：1、IIR 数字滤波器基本结构：直接I 型，直接II 型，转置直接II 型、级联型、并联型
例题：
1、IIR 滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，转置直接II 型______ 和_____ _五种。

2、已知某系统的系统函数为：12
1211145()51166
z z H z z z ----+
+=++， （1）画出直接Ⅱ型结构的信号流图；
（2）判断该滤波器是不是因果稳定，阐述相应理由。

（1）画出直接Ⅱ型结构的信号流图；
x(n)y(n)
11
（6分）
（2）判断该滤波器是不是因果稳定，阐述相应理由。

11
1223
z z =-
=-
即极点在单位圆内，所以系统因果稳定。

（4分）
知识点：2、IIR 数字滤波器的设计
1、间接设计法：模拟滤波器 映射→ 数字滤波器
2、两种映射方法及其特点：冲激响应不变法，双线性变换法
3、数字滤波器的间接设计步骤：
（1）确定数字滤波器的技术指标要求；
（2）选择一种模拟滤波器()a H s 到数字滤波器()H z 的映射方法，然后根据这种映射入法所对应的频率关系，将数字滤波器的技术指标要求变换为同类型模拟滤波器的技术指标要求变换为同类型模拟滤波器的技术指标要求：
2tan 2
T ωωΩΩ=
冲激响应不变法：=双线性变换法：
（3）设计该模拟滤波器，求出其系统函数()a H s ；
（4）根据所选择的映射方法，将()a H s 从S 平面转到z 平面，得到数字滤波器系统函数()H z 。

1
1
1
1211()1()()
k N
k
s T k a z s T z TA H z e
z H z H s ---=-=+=-=∑
冲激响应不变法：双线性变换法：
例题：
1、采用双线性变换法，设计一个巴特沃斯型数字低通滤波器，要求通带截止频
率200p f Hz =，通带衰减不大于1dB;阻带截止频率300s f Hz =，阻带最小衰减不小于50dB,采样频率1000 Hz 。

计算出采用双线性变换法实现模拟滤波器到数字滤波器映射时，相应的模拟低通滤波器的技术指标要求。

解：
数字低通滤波器的技术指标要求为
224006000.4/;0.6/;10001000
p s p s T
T f f w rad s w rad s f f πππ
πππ=
=
==== 1;50;1;
p s dB dB T ms αα=== 采用双线性变换法，相应的模拟低通滤波器的技术指标为：
20.4tan 21000tan 1453.1/;22
20.6tan 21000tan 2752.764/;221;50;p p s s p s w rad s T w rad s T dB dB ππ
ααΩ=
=⨯⨯=Ω==⨯⨯===
2、P210 例6.4.2
第七章
知识点：1、FIR 滤波器结构：直接型，级联型，频率采样型
2、线性相位特性条件：
第一类线性相位：-θωτω=（），条件：h(n)是实序列且关于(1)2n N =-偶对称，即
()(1)h n h N n =--，此时，群时延(1)/2N τ=-，起始相位：00θ=。

第二类线性相位：0-θωθτω=（），条件：：h(n)是实序列且关于(1)2n N =-奇对称，即
()(1)h n h N n =---，此时，群时延(1)/2N τ=-，起始相位：02θπ=。

例题：
1、下列哪一个系统具有线性相位？C A. ()1z
H z z =+ B. ()()()1y n y n x n --= C. ()[]05,2,1,1,1,2,5h n =
D.()[]03,0,1,0,3h n =-
知识点3：4种形式的线性相位FIR 数字滤波器的特点： h(n)偶对称，且N 为奇数 可以设计LP HP BP BS h(n)偶对称，且N 为偶数 可以设计LP BP h(n)奇对称，且N 为奇数 可以设计BP h(n)奇对称，且N 为偶数 可以设计HP BP
知识点4：窗函数法设计FIR 滤波器 1)构造线性相位理想滤波器的频率响应； (2)求理想滤波器的单位抽样响应hd(n)；
(3)根据技术指标要求和4种形式的线性相位FIR 数字滤波器的特点，选择合适的窗函数()n ω及其长度N ，然后对hd(n)加窗截取，得到具有线性相位的实际FIR 数字滤波器的单位抽样响应h(n) (01)n N ≤≤-；
(4)检验实际滤波器的频率响应()[()]j H e DTFT h n ω=是否满足设计指标要求。

常用窗函数有：矩形窗，三角形窗，海明窗，汉宁窗，布莱克曼窗
例题：
1、在窗口长度相同的情况下，用以下哪一种窗函数设计FIR 滤波器可以获得最窄的过渡带宽？A
A.矩形窗
B.三角形窗
C.海明窗
D.汉宁窗
2、设计第一类线性相位FIR 数字高通滤波器，通带截止频率23
p rad π
ω=
，通带最大衰减为3p dB α=，阻带截止频率2
s rad π
ω=
，阻带的最小衰减为
40s dB α=。

求：（1）根据技术指标判断选择哪种窗进行设计比较合适；
（2）计算所使用的窗口长度及滤波器的群延时。

解：（1）阻带的最小衰减为40s dB α=，因此选择汉宁窗。

（4分）
（2）根据公式w D =3.1⨯2π/N ，w D =p s ωω-=6
π，
3.12 3.1237.2/6
N ππωπ⨯⨯===∆，
取N=38
第一类线性相位高通滤波器N 必须为奇数，N=39 （4分）
群时延1
192N τ-== （2分）。