山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学(文)试题(含答案)

2018-2019学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）设集合{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,2,3,4U M N === ，则()C M N = （ ）A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}2,4D ．{}1,42．（5分）已知命题2000:,460p x R x x ∃∈++<，则p ⌝为（ ） A ．200,460x R x x ∀∈++≥ B ．2000,460x R x x ∃∈++> C ．200,460x R x x ∀∈++> D ．2000,460x R x x ∃∈++≥3．（5分）已知函数()2ln 2f x x x =+-，则()y f x =的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,3-4．（5分）已知()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．16B ．2213 C ．322D ．13185．（5分）已知数列{}1a 中，()111,21n n a a a n N +==+∈，n S 为其前n 项和，则5S 的值为（ ） A ．57B ．61C ．62D ．636．（5分）设D 是ABC ∆所在平面内一点，2AB DC =，则（ ） A ．12BD AC AB =- B ．12BD AC AB =- C ．32BD AC AB =- D ．32BD AC AB =- 7．（5分）函数()ln xf x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）若,m n 是两条不同的直线，,αβγ,是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．(102212π++B ．136πC ．(11212π++D ．(112212π++10．（5分）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（ ） A ．要得到函数()f x的图象只将2y x =的图象向右平移6π个单位 B ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称 C ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x的最小值为 D ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 11．（5分）设12F F 、是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +=（O 为坐标原点）且12PF PF λ=，则λ的值为（ ） A ．2B ．12C ．3D ．1312．（5分）定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()251,22x f x f >=，则关于x 的不等式()13f x x<-的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()0,2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数()ln 1f x x =+在点（1，1）处的切线方程为 ．14．（5分）抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是 ．15．（5分）若实数,x y 满足10201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则13z x y =-+的最小值为 ．16．（5分）在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于,M N ，若,AM x AB AN y AC ==，，其中,x y R ∈，则4x y +的最小值是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且2sin 3a C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A 的值．（2）若3,4b c ==，点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243,16a S ==，数列{}n b 满足1122n n a b a b a b n +++=．（1）求{}n b 的通项公式； （2）求数列1n n b a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 19．（12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB AD =，060DAB ∠=，点E 是AB 的中点，点F 是CD 的中点，分别沿DE ．BF 将ADE ∆和CBF ∆折起，使得平面//ADE 平面CBF （点A C 、在平面EFDE 的同侧），连接AC CE 、，如图2所示． （1）求证：CE BF ⊥； （2）当2AD =，且平面CBF ⊥平面B F D 时，求三棱锥C BEF -的体积．20．（12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的2． （1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A F 、分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M N 、（M N 、都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）设a R ∈，函数()ln f x a x x =-． （1）若()f x 无零点，求实数a 的取值范围． （2）若1a =，证明：()22xxf x e x '<-．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 1x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为cos 4πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于M N 、两点，与x 轴交于点P ，求PM PN ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()12,f x x x m m R =-+-∈． （1）当3m =时，解不等式()3f x ≥．（2）若存在0x 满足()0021f x x <--，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】先根据交集的定义求出MN ，再依据补集的定义求出()C M N ． 【解答】解：∵{}{}1,2,3,2,3,4M N ==，∴{}2,3M N =，则(){}1,4C MN =，故选：D ．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法． 2．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题2000:,460p x R x x ∃∈++<，则p ⌝为200,460x R x x ∀∈++≥．故选：A ．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 3．【分析】利用根的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可． 【解答】解：函数()2ln 2f x x x =+-，是定义域内的连续函数，()1ln11210f =+-=-<，()2ln 2422ln 20f =+-=+>，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点． 故选：B ．【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用根的存在性定理是解决本题的关键． 4．【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭，则()()()ta n t a n34ta n t a n 214422541tan tan 214154παββππααββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭+⨯． 故选：C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．5．【分析】由121n n a a -=+，得()()11212n n a a n -+=+≥，可判断{}1n a +是以2为公比，2为首项的等比数列，由此可求得n a ，然后利用分组求和法可得n S ，当5n =时，代入即可求得5645257S =--=，即可得到答案． 【解答】解：由121n n a a +=+ ∴()1121n n a a ++=+， ∵11a =，∴所以{}1n a +是以2为公比，2为首项的等比数列，所以11222n nn a -+==， ∴21nn a =-，∴()()()()2321212121n n S =-+-+-++-()232222n n =++++-，()21212n n -=--122n n S n +=--．122n n +=--．∴当5n =时，5645257S =--=， 故选：A ．【点评】本题考查由数列递推式求数列通项、求等比数列前n 项和等知识，考查转化思想，属中档题． 6．【分析】根据平面向量线性运算的几何意义用,AB AC 表示出BD ．【解答】解：BC AC AB =-，12CD AB =-， ∴1322BD BC CD AC AB AB AC AB =+=--=-．故选：D ．【点评】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．7．【分析】判断()f x 的奇偶性，及()f x 的函数值的符号即可得出答案． 【解答】解：∵()()ln ln x x f x f x x x--==-=--， ∴()f x 是奇函数，故()f x 的图象关于原点对称， 当0x >时，()ln x f x x=， ∴当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >， 故选：A ．【点评】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于中档题． 8．【分析】在A 中，m 与α相交、平行或m α⊂；在B 中，m 与n 相交、平行或异面；在C 中，由面面垂直的判定定理得αβ⊥；在D 中，β与γ相交或平行．【解答】解：由,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，知： 在A 中，若,m βαβ⊂⊥，则m 与α相交、平行或m α⊂，故A 错误；在B 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误； 在C 中，若m β⊥，//m α，则由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故C 正确； 在D 中，若,αγαβ⊥⊥，则β与γ相交或平行，故D 错误． 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．9．【分析】由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．根据数据即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．∴该几何体的表面积＝(221111121121212112222πππππ+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=+．故选：C ．【点评】本题考查了三视图的有关计算、空间几何体的表面积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．【分析】根据题意求出函数()f x 的解析式，再判断四个选项中的命题是否正确即可． 【解答】解：函数()()sin f x A x ωφ=+中，22T A π==，∴2,2T Tππω===， 又()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，∴212x k πωφφπ⎛⎫+=⨯-+= ⎪⎝⎭， 解得,6k k Z πφπ=+∈，∴6πφ=；∴()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；对于A，2y x =向右平移6π个单位，得2263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，且222336y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴A 正确；对于B ，512x π=时，552012126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象不关于512x π=对称，B 错误； 对于C ，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x的最小值为2-，C 错误； 对于D ，,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 是单调递减函数，D 错误．故选：A ．【点评】本题考查了由()sin y A x ωφ=+的部分图象确定其解析式，以及正弦函数的图象和性质的应用问题，是中档题．11．【分析】设点P ，由()220OP OF F P +=解出m，根据双曲线的第二定义得21e m ==，求出2PF 的值，再利用第一定义求出1PF 的值，即得λ值．【解答】解：由题意得1,2a b ==，∴())125,5,0,5,0,5c F F e =-=设点P ⎫⎪⎪⎭，∵()222215,15,44m m OP OF F P m m ⎛⎫⎛⎫+=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22216150,,455m m m m =+-+===±． 由双曲线的第二定义得e ==，∴22PF =，∴1224PF a PF =+=，∴12422PF PF λ===， 故选：A ．【点评】本题考查两个向量坐标形式的运算，双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用． 12．【分析】根据题意，令()()()1,0g x f x x x=+>，对其求导分析可得()g x 在()0,+∞上为增函数，原不等式可以转化为()()2g x g <，结合函数()g x 的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令()()()1,0g x f x x x=+> 其导数()()()22211x f x g x f x x x'-''=-=， 若函数()f x 满足()21x f x '>，则有()0g x '>，即()g x 在()0,+∞上为增函数， 又由()522f =，则()()12232g f =+=， ()()()()11332f x f x g x g x x<-⇒+<⇒<，又由()g x 在()0,+∞上为增函数，则有02x <<； 即不等式的解集为（0，2）； 故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数()g x 是解题的关键． 二、填空题．13．【分析】求出函数的导数，计算()0f '，求出切线方程即可； 【解答】解：函数()ln 1f x x =+，可得()1f x x'=， 故()11f =，()11f '=．函数()ln 1f x x =+在点（1，1）处的切线方程为：11y x -=-，即y x =． 故切线方程是y x =； 故答案为：y x =．【点评】本题考查导数的应用以及切线方程问题，是基本知识的考查．14．【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2p =，∴抛物线24y x =的焦点坐标为（1，0），由题得：双曲线2213y x -=的渐近线方程为03x y ±=，∴F到其渐近线的距离2d ==．故答案为：2． 【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线的基本性质，解题的关键是定型定位，属于基础题． 15．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由13z x y =-+得13y x z =+， 平移直线13y x z =+，由图象知，当直线13y x z =+经过点A 时，直线的距离最小，此时z 最小，由1020x y x y +-=⎧⎨--=⎩得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 此时13111132222z =-⨯-=--=-， 故答案为：﹣1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．16．【分析】根据题意，利用MH 与NH 共线，求出x 与y 的表达式，再利用基本不等式求出4x y +的最小值即可．【解答】解：如图所示，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点， ∵,AM x AB AN y AC ==， ∴()14AH AM MH xAB MH AB AC =+=+=+， ∴1144MH x AB AC ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，同理，1144NH AB y AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ∵MH 与NH 共线，∴存在实数λ，使()0MH NH λλ=<，即11114444x AB AC AB y AC λ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴()14411144x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得111,44x y λλ--==，∴()114114x y λλ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭5119444λλ⎛⎫=+--≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当14λλ1-=-即2λ=-时，“＝”成立； ∴4x y +的最小值是94，故答案为：94．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了平面向量的加法与减法运算问题，是中档题目． 三、解答题：17．【分析】（1）利用正弦定理化2sin 3a C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换求出A 的值；（2）根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理建立方程组求得AD 的长．【解答】解：（1）ABC ∆中，2sin 3a C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()2sin sin 3A C A C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴sin sin cos cos sin A C A C A C A C =，∴sin sin sin A C A C =，∴tan A = ∴060A =；（2）如图所示，设2220,34234cos 6013AD x BC ==+-⨯⨯=，∴13BC CD x ==；由余弦定理得22162cos x x x x ADB =+-∠，…①))()2292cos x x xx ADB π=+--∠，…②由①②解得5x =，即AD 【点评】本题考查了三角恒等变换以及解三角形的应用问题，是中档题． 18．【分析】（1）首先利用已知条件和递推关系式求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）设首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243,16a S ==，所以：113434162a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得：11,2a d ==，所以：()12121n a n n =+-=-， 由于1122n n a b a b a b n +++=．故：()121321n b b n b n +++-=①，所以：当2n ≥时，()1213231n b b n b n +++-=-②，①﹣②得：()211n n b -=， 所以：121n b n =-， 当1n =时11b =（首项符合通项），故：121n b n =-， （2）由于121n b n =-，所以：()()1111112121212122121n n b n a n n n n n +⎛⎫+===- ⎪--+-+⎝⎭， 故：111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭， 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+． 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19．【分析】（1）由已知可得CBF ∆为等边三角形，连接EF ，由已知可得BEF ∆为等边三角形．取BF 的中点O ，连接,OC OE ，可得,CO BF EO BF ⊥⊥．从而得到BF ⊥平面COE ，则BF CE ⊥；（2）由（1）知，CO BF ⊥，又平面CBF ⊥平面BFDE ，可得CO ⊥平面BFDE ，则OE BF ⊥，以O 为坐标原点，分别以,,OE OB OC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC 与平面ACD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B AC D --的余弦值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，02,60AB AD DAB =∠=，点F 是CD 的中点， ∴CF CB =，又060FCB ∠=，∴CBF ∆为等边三角形，连接EF ，由BF CB BE ==，060EBF CFB ∠=∠=，得BEF ∆为等边三角形． 取BF 的中点O ，连接,OC OE ，则,CO BF EO BF ⊥⊥． ∴BF ⊥平面COE ，则BF CE ⊥；（2）解：由（1）知，CO BF ⊥，又平面CBF ⊥平面BFDE ， 则CO ⊥平面BFDE ，又OE BF ⊥， ∵02,24,60AD AB AD DAB ===∠=，∴23234BEF CO S ∆=== ∴三棱锥C BEF -的体积1133133BEF V S CO ∆=⨯⨯==．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，几何体体积求解，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 20．【分析】（1）根据题意可得222211 1.22a b a b+==，解得即可， （2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式以及AFM OFN ∠=∠；即可求,k m 关系式，即可求出.【解答】解：（1）由题意可知，抛物线2C 的准线方程为1x =，又椭圆1C ，∴点1,2⎛ ⎝⎭在椭圆上，∴221112a b +=，①又2c e a ==， ∴222212a b e a -==， ∴222a b =，②，由①②联立，解得222,1a b ==，∴椭圆1C 的标准方程为：2212x y +=，（2）设直线:l y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ， 把直线l代入椭圆方程，整理可得()222214220kxk m m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+， ∵1212,11FM FN y yk k x x ==++， ∵M N 、都在x 轴上方．且AFM OFN ∠=∠， ∴FM FN k k =-，∴121211y y x x =-++， 即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭， 即22224444420km k k m km k m m ---++=， 整理可得2m k =，∴直线l 为()22y kx k x =+=+， ∴直线l 过定点()2,0.【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．21．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调性，确定a 的范围即可；（2）问题转化为证明()22100xe x x x -+->>恒成立，令()()2210,0xg x e x x x =-+->>，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵()ln f x a x x =-， ∴()f x 定义域是()0,+∞ 又()1a a xf x x x-'=-=， ①当0a =时，无零点；②当0a <时，()0f x '<，故()f x 在()0,+∞上为减函数， 又()11f =-当0x →时，()f x →+∞，所以()f x 有唯一的零点； ③当0a >时，∴()f x 在()0,a 递增，在(),a +∞递减，∴()ln 0f a a a a =-<，则只要ln 10a -<，即ln 1a <， ∴a e <而0a >，∴0a e <<， 综上所述：所求a 的范围是[)0,e ． （2）1a =时，()ln f x x x =-，()11f x x'=-， 要证()22xxf x e x '<-，问题转化为证明212x x e x -<-， 整理得：()22100xe x x x -+->>恒成立，令()()2210,0xg x e x x x =-+->>，()()41,4x x g x e x g x e '''=-+=-，故()g x '在()0,2ln 2递减，在()2ln 2,+∞递增，故()()()()min 2ln 258ln 20,020,20g x g g g ''''==-<=>>， 故存在(]()0,2ln 2,2ln 2,2a b ∈∈， 使得()()0g a g b ''==，故当0x a <<或x b >时，()()0,g x g x '>递增， 当a x b <<时，()()0,g x g x '<递减， 故()g x 的最小值是()00g =或()g b ， 由()0g b '=，得41b e b =-，()()()2221252221b g b e b b b b b b =-+-=-+-=---，∵()2ln 2,2b ∈，故()0g b >， 故0x >时，()0g x >，原不等式成立．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）由曲线C 的参数方程，能求出曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；直线l 的极坐标方程转化为cos sin 2ραρα+=，由此能求出直线l 的直角坐标方程．（2）联立()221420x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，求出M ⎝⎭，N ⎝⎭，在直线:20l x y +-=中，令0y =，得()2,0P ，由此能求出PM PN ．【解答】解：（1）∵曲线C 的参数方程为2cos 2sin 1x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数），∴曲线C 的普通方程为()2214x y +-=，即22230x y y +--=，∴曲线C 的极坐标方程为22sin 30ρρθ--=． ∵直线l 的极坐标方程为cos 24πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴cos cossin sin44ππραρα+=，即cos sin 2ραρα+=，∴直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）联立()221420x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴可设1313,2222M N ⎛⎫⎛++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，在直线:20l x y +-=中，令0y =，得()2,0P ，∴PM ==PN ==，∴3737122PM PN -+==．【点评】本题考查曲线的极坐标方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）分3种情况去绝对值解不等式，再相并；（2）等价于2222x x m -+-<有解，等价于左边的最小值小于2，用绝对值不等式的性质可求得最小值．【解答】解：（1）3m =时，()131233x f x x x <⎧≥⇔⎨-+-+≥⎩或3121233x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪--+≥⎩或321233x x x ⎧>⎪⎨⎪-+-≥⎩， 解得13x ≤或73x ≥， ∴()3f x ≥的解集为17|33x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或； （2）若存在0x 满足()0021f x x <--等价于2222x x m -+-<有解， ∵2222x x m m -+-≥-，∴22m -<，解得04m <<， 实数m 的取值范围是（0，4）．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。