一元线性回归中最小二乘估计量的有效性

Ｆｉ ｌｙ， ｈｅ ｃ ｓ ｓ ｅ ｔｒ ｓ ｌ ｓ ｄｅ ｉ ｅ ｒ ｍ ｈ ｗｏ ｍｅ ｈ ｓ ｎａ ｌ ｔ ｏｎ ｉｔ ｎ ｅ ｕ ｔ ｗａ ｒｖ ｄ ｆ ｏ ｔ ｅ ｔ ｔ ｏｄ ．
Ｋｅ ｒ ：ｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｓ ； ｌａ ｔｓ ｕ ｒ ｓ ｅ ｔｍ ａ ｏｒ ｒ ｇｒ ｓ ｉ ｎ ｌ ｉ ｙ ｗｏ ｄｓ ｆｅ ｔｖ ｎｅ ｓ ｅ ｓ ｑ ａ ｅ ｓ ｉ ｔ ； ｅ ｅ ｓｏｎ ａ ａ ｙｓｓ
第 ２ ５卷 第 ３期
２１ ０ １年 ９月
上
海
工
程
技
术
大
学
学
报
Ｖｏ ＿ ５ ＮＯ ３ 【２ ．
Ｓ ｐ ．２ １ ｅ ｔ ０１
Ｊ ＯＵＲＮＡＩ ＯＦ Ｓ ＨＡＮ ＧＨＡＩ ＵＮＩ ＶＥＲ Ｉ ＮＧＩ Ｓ ＴＹ ＯＦ Ｅ ＮＥＥ Ｉ Ｃ Ｅ Ｅ Ｒ ＮＧ Ｓ Ｉ ＮＣ
了更 加全 面地研 究未 知参 数 的有效 性 ， 本文 采用 比
这 ｎ次试验 中因变量 可能取 的观察结 果 ， 依次 记 ， … ， 从 而 得到 一 个容 量 为 ”的样 本 ：ｚ ， Ｙ， Ｙ （
１
）， ｚ２ Ｙ ） … ， ｚ Ｙ ） （ ，２ ， （ ， ．
假设 对 每 一 个 值 ， 随机 变量 Ｙ有 确 定 的 分
第 ３期
肖 翔 ， ： 元 线 性 回归 中最 小 二 乘 估 计 量 的有 效性 等 一
ｓ ｕ ｅ Ｆｒ ｍ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｓ ｅ ｔｖ ｓ ｔ ｏｍｐａ ａ ｉ ｅ ｍ ｅ ｈｏ ｎ ｉｆ ｒ ｎ ｉｔｏ ｔ ｏｄ ｗｅ ｅ ａ ｐｌｅ ｏ ｔ ｄｉｄ． ｏ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ｐ ｒ ｐ ｃ ｉ ｅ ， ｈｅ ｃ ｒ ｔｖ ｔ ｄ ａ ｄ ｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｉ ｎ ｍｅ ｈ ｒ ｐ ｉｄ ｔ
ｐ ｏｖ ｔ ｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｓ ｏ ｔ ｅ ｔｍ ａ ｏ ｉ ａ ｃ ｄ ｎ ｅ ｒ ｅ ｈｅ ｆ ｅ ｔｖ ｎｅ ｓ ｆ ｈｅ ｓ ｉ ｔ ｒ ｎ ｃ ｏｒ ａ ｃ ｗ ｉｈ ｔ ｐｒ ｐ ｒ ｉ ｓ ｏ ｅ ｔｅ ｏｆ ｘ ｃ ａ ｉ ｎ ｎｄ ａ ｉ ｎ ｅ ｅ ｐｅ ｔ ｔｏ ａ ｖ ｒａ ｃ ．
摘要 ： 一 元线性 回归模 型 中 ， 最 小二 乘 估 计 量 的有 效性 进 行 了研 究． 在 对 结合 期 望 和 方 差 的性 质 ， 不 同的角度 ， 用 比较 法和 微 分法 ， 从 采 对估计 量 的有效 性进 行 了证 明 ， 并推 导 出一致 的 结论．
关键 词 ： 效性 ；最 小二 乘估 计量 ；回 归分析 有
ＸＩ Ｏ ｉｎｇ，Ｘ Ｕ ～ ｈｅ Ａ Ｘａ Ｂｏ ｓ ｎｇ，ＺＨ Ａ ＮＧ ｎｇ Ｙｉ
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｔ ｈ ｆｅ ｔｖ ｎｅ ｓ ｏ ｈｅ ｌａ ｔｓ ｕａ ｅ ｓ ｉ ａ ｏ ｎ ｓ ｎ ｅ ｖａ ｉ ｂｌ ｉ ａ ｅ ｅ ｓｏ ｏｄ ｌｗａ ｔａ ｔ ｅ ｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｓ ｆｔ ｅ ｓ ｑ ｒ ｓ ｅ ｔｍ ｔ ｒ ｉ ｉ ｇｌ ｒａ ｅ ｌｎｅ ｒ ｒ ｇｒ ｓ ｉ ｎ ｍ ｅ ｓ
中 图 分 类 号 ： １ ． Ｏ ２ １８ 文献标 志码 ： Ａ
Ｅｆ ｅ ｔｖ ｎ ｓ ｆ Ｌｅ ｓ ｑ ａ ｅ ｔｍ ａ ｏ ｎ ｆ ｃ ｉ ｅ ｅ ｓ ｏ ａ ｔＳ ｕ ｒ ｓ Ｅｓ ｉ ｔ ｒ ｉ Ｓ ｎｇ ｅ Ｖａ ｉ ｂ ｅ Ｌｉ ａ ｇ ｅ ｓｏ ｉ ｌ ｒ ａ ｌ ｎｅ ｒ Ｒｅ ｒ ｓ ｉ ｎ
１ 预 备 知 识
般地 ， 定可 以在 随意 指定 的 ”个 不 全相 假 等 的值 ｚ ， … ， 时 ， 别 作 次 独 立试 验 ， ｚ ， ｚ 分 把
一
回归方 程进 行 预测 和控 制 Ｊ 在 一元 线性 回归模 ． 型中， 人们 利用 最小 二乘 法推 导 出未 知参 数 的估计 量 ， 且证 明 了估 计 量 的无 偏 性． 对 于估 计 量 的 并 但 有 效性 ， 多概 率 统计 的教 材 都 没 有 涉及 ， 许 一些 计 量 经 济学 的教 材及 相 关文 献ｌ ４也是 一笔 带过 ． ３３ — 为
文 章 编 号 ：１ ０ ０ ９—４ ４ ２ １ ） ３—０ ６ ４ Ｘ（ ０ １ ０ ２ ６—０ ３
一
元 线 性 回归 中最 小 二 乘 估 计 量 的 有 效 性
肖 翔 ， 伯 生 ，张 颖 许
（ 海 工 程 技术 大 学 基 础 教 学 学 院 ，上海 ２ １ ２ ） 上 ０ ６ ０
在数 理 统计 中经 常要研 究 随机变 量之 间 ， 随 或 机 变量 与普通 变量 之 间的关 系 ， 这种关 系称 为相 关
明 ， 得 出了一致 的结论 ． 并
关 系． 回归分 析就 是 在 相 关 分 析 的基 础 上 ， 立 变 建
量 之 间的数 学表 达 式 ， 回归方 程 ， 即 并且 利 用 概 率 论 的基 础知 识去 判断 回归方 程 的显 著性 ， 以及 利用
布 ， Ｙ的数 学 期 望 Ｅ（ ） 关 于 的 函 数 ， 为 则 Ｙ 是 记
（ ） 即 Ｅ（ ｚ， ）＝ （ ． ）
较法 和微分 法 分别 对 未 知 参பைடு நூலகம்数 的有 效 性 进 行 了证
收稿 日期 ：２ １ —０ Ｉ ０１ ８ ７
基 金 项 目：上 海 工 程 技 术 大 学 建 设 与 培养 高 素质 应 用 型 人 才 相 适 应 的 基 础 学 科 基 地 资 助 项 目（ ３ ０ — １ １ ） Ａ一 ５ ０ １ — ０ 作 者简 介 ：肖 翔 （ ９ ０ ） 男 ， 师 ， 士 ， 究 方 向为 应 用 数 学 ．Ｅｍａ ：ｉ ｘａ ｇ ｓ ｅ． ｄ ．ｎ １８ ， 讲 硕 研 ｉ ｘａ ｉｎ ＠ ｕ ｓ ｅｕ ｃ ｌ ｏ