最新人教版2018-2019学年数学九年级上册《一元二次方程根与系数的关系》教案-优质课教案
新人教版九年一元二次方程根与系数的关系
3．运用性质，巩固练习
练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1） x 2 - 3x = 15 x1 + x2 = 3 x1 x2 = -15 （2） 3x 2 + 2 = 1- 4x 1 4 x1 x2 = x1 + x2 = 3 3 2 2 （3 ） 5 x - 1 = 4 x + x x1 +x2 = 1 x1 x2 = -1 （4 ） 2 x 2 - x + 2 = 3 x + 1 1 x1 + x2 = 2 x1 x2 = 2
2．小组合作，类比探究
归纳：
x1+x2 = -p
x1 x2 = q
2．小组合作，类比探究
问题3 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 中，二次项系数 a 未必 是 1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
2．小组合作，类比探究
问题3 如何探究这两者之间的关系呢？
利用一元二次方程的一般形式和求根公式．
九年级
上册
21.2 解一元二次方程（第4课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基 础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再 探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次 方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单 应用． 2．在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感 受由特殊到一般的认识方法． • 学习重点： 一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用．
2．小组合作，类比探究
归纳： 一元二次方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如 下关系：
b x1 x2 a c x1 x2 a
人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数的关系课件
x1,2 b
b2 4ac 2a
思考三：如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
3. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ;
x2 x1 x1x2
x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ;
6. (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2.
1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q.
重要结论
2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
15
b
c
x1 x2 a , x1x2 a .
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个
根的积等于常数项与二次项系数的比．
7
例题：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2 的和与积：
(1) x2－6x－15＝0； (1) x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
，c= .
4.若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=
；
若两根互为倒数，则q=
人教版九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系课件
练习12 若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0 (0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为____1_6___．
巩固练习
练习13 已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
＋c＝0的一个根，则另一个根为__x_=__-1___．
练 习 6 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两 个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为
____1____．
பைடு நூலகம் 巩固练习
练习7 已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-4＝
0的两个根，试求下列代数式的值：
(1) x12＋x22；
x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
1 x1 x2 = 4
巩固练习
4.巩固练习
练习1 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） x 2 - 3x = 15
x1 + x2 = 3
（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x
x1
+
x2
=
4 3
x1 x2 = -15
1
x1 x2 = 3
巩固练习
练习2 小明和小红一起做作业，在解一道一 元 二 次方程时，由于粗心 ， 在化简时小明写错了 常数项 ， 解得两根为8和2，小红写错了一次项系 数 ， 解 得 两根为-9和-1，若二次项系数是1，你知 道本来的方程是什么吗？
x2 10x 9 0
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分
2018-2019学年最新人教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案-优质课教案
一元二次方程的根与系数的关系课型：新知课学习目标：1、探索一元二次方程根与系数的关系式；2、熟练运用一元二次方程根与系数的关系式解决相关问题。
学习重点：一元二次方程根与系数的关系。
学习难点：运用一元二次方程根与系数的关系式解决相关问题类型1、2。
学习方法：探究法、讨论法、小组合作法学习过程：一、回顾复习(1分钟)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式是。
二、自主探究（5分钟）(自学课本41页例4前面的内容)设方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1、x2，试求出x1+x2、x1·x2的值。
三、归纳总结（2分钟）可以发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2与系数a、b、c有如下关系：x1+x2= ，x1·x2= 。
四、初步应用（5分钟）下列方程的两根和与两根积各是多少？(1)x2－3x+1=0 (2) 3x2－2x=2 (3)2x2+3x=0把方程化为一般形式，以便确定a、b、c的值。
五、合作探究（20分钟）类型1：求含有方程两根的代数式的值。
已知 x 1、x 2是方程x 2-4x+1=0的两个根，求x 12+x 22，(x 1-x 2)2的值。
解：由根与系数的关系得：x 1+x 2= ，x 1x 2 =x 12+x 22 = (x 1+x 2)2 - =(x 1-x 2)2 =( )2 – 4x 1x 2 =对应练习：已知方程x 2-4x-2=0的两根为x 1、x 2，不解方程，求下列各式的值。
(1) x 12+x 22 (2) x 12x 2+x 1x 22 (3) (x 1+1)(x 2+1)解此类题目时：(1)正确写出方程的两根和与积：(2)把要求的代数式变得含有方程的两根和与积，再代入求值.(1) x 12+x 22 =(2) x 12x 2+x 1x 22=(3) (x 1+1)(x 2+1)=类型2：已知一元二次方程的一个根，不解方程求另一个根及字母系数的值。
数学人教版九年级上册一元二次方程的根与系数的关系
《一元二次方程根与系数的关系》教学设计教学目标：1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系数的关系解决相关数学问题和实际问题。
2、能力目标：培养学生分析、归纳的能力和推理论证的能力。
3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。
教学重点：根与系数的关系的推导、运用。
教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。
教学过程：一、温故知新1. 一元二次方程的一般形式是什么？2. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是什么？二．问题情境，导入新课：关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 还有其他形式的关系呢？先来看这道思考题思考：已知一元二次方程x 2-4x+3=0的两根x 1 ,x 2分别是长方形的长和宽，不解方程，求出这个长方形的周长和面积。
不解方程怎么办呢？原来一元二次方程的两根的和与两根的积与它的系数之间是有一个数量关系的，下面我们就来探究这个问题：三、探究新知：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，两根为1x ，2x 则1x =，2x =∴122222b b b b x x a a a a-+---+=+==-221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+----⋅=⋅===学生思考、归纳并回答下列问题：（1）运用根与系数的关系要注意些什么？三、应用举例例1、不解方程，说出下列方程的两根和与两根积：例2、已知方程x 2-4x+1=0的两根x 1，x 2，不解方程，求下列各式（1） (2) 例3、已知方程2-+1+3k 0x k x =（）的一个根是2，求另一根及k 的值。
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+2=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)；
当b2-4ac≥0时有两个根：
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b -
b2 4ac 2a
则x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac - 2b b
解法一： 设方程的另一个根为x1 由根与系数的关系，得
2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k
解得 x2 =－3 k =－2
答:方程的另一个根是－3,k的值是－2.
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
解法二：把 x=2 代入方程, 得 4-2(k+1)+3k=0 解得 k= -2
(1) x12 x22 (2) x12 x2 x1 x22
(3) (x1 x2）2
求与方程的根有关的代数式 的值时,一般先将所求的代数式 化成含两根之和,两根之积的情 势,再整体代入.
利用根与系数的关系求代数式的
值，常用类型还有:
(4)求 1 1 变形为 : x1 x2
x1 x2
x1x2
(1)x2-2x-1=0
x1+x2=2
x1x2=-1
(2) 2x2 - 3x +12 =0 (3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 = 4
x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0
x1x2= x1x2=0 x1x2= -
新人教版九年级数学(上)——一元二次方程根与系数的关系
知识点一、根的判别式 从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的,原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。
而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-; 所以：当042>-ac b 时,方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。
由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况,我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示;即：ac b 42-=∆根的判别式的作用:①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
例题精讲【例1】 不解方程,判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定一元二次方程根与系数的关系【例2】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根,那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ )．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例3】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根;⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例4】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数?【例5】 已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-= ⑴求证:无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰ABC ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．★1、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 . ★2、一元二次方程x 2—4x+4=0的根的情况是( ） A 。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 一元二次方程的根与系数的关系
则 x1＋ x2＝－2， x1·x2＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
谢谢观看
Thank you for watching!
第二十一章
*21.2.4
一元二次方程
21.2 解一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
要点归纳
知识要点
一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系
x2＋ px ＋ q ＝0 x1＋ x2＝ －p
公式 ax2＋ bx ＋ c ＝
0（ a ≠0）
应用 应用前提
x1＋ x2＝ －
x1·x2＝ q
）
D
A. x2－6 x ＋8＝0
B. x2＋2 x －3＝0
C. x2－ x －6＝0
D. x2＋ x －6＝0
3. 已知 x1， x2是一元二次方程 x2＋4 x －3＝0的两个
实数根，则 x1＋ x2－ x1 x2的值是（
A. 6
B. 0
2
3
4
5
6
）
D. －1
C. 7
1
D
7
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋ c ＝0有一个根
x1·x2＝
方程有实数根，即Δ＝ b2－4 应用
用 形式
≥
当堂检测
1. 已知 x1， x2是一元二次方程2 x2－4 x ＋1＝0的两
个实数根，则 x1·x2等于（
）
C
A. －2
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
2. 已知一元二次方程的两根分别是2和－3，则这个
人教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
课题 一元二次方程根与系数的关系 教师学习目标1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系． 2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根以及方程中的未知系数．3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值． 教学重点：根与系数的关系及运用． 教学难点：定理发现及运用． 教 学 过 程导学探究1．一元二次方程的一般形式是_______________. 2. 一元二次方程的求根公式______________________.3. 判别式与一元二次方程根的情况：24b ac -是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，设2=4b ac ∆-，则 （1）当0∆＞时，__________________________________； （2）当=0∆时，___________________________________设计意图已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是当m= 时,此方程的两根互为倒数. 练习:3、以x1、x2 为根的一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0，例题：以2和 －３为根的一元二次方程 （二次项系数为１）为：练习3 已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 。
总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值.注意1212,b cx x x x a a +=-⋅=中两根之和、两根之积的符号，即和是﹣，积是，不要记混.如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下： （1）222121212(x x )2x x x x +=+- （2）22121212()(x x )4x x x x -=+-（3）12121211x x x x x x++=（4）22221121212121212(x x )2x x x x x x x x x x x x ++-+==。
人教版数学九年级上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
c.通过分组讨论和教师引导，让学生在解决含参数的一元二次方程时，学会分类讨论，并掌握一般解题步骤。
-举例解释：例如，在解决“一个数的平方比这个数多3，求这个数”的问题时，学生需要将问题转化为方程x^2 - x - 3 = 0，并运用根与系数关系来得出答案。对于含有参数的方程，如ax^2 + bx + c = 0，学生需要讨论a、b、c的取值对根的影响，以及如何根据不同情况进行求解。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核知识：一元二次方程的根与系数的关系，包括根的判别式Δ、根与系数的关系公式。
-学生需掌握的内容：
a.理解并记住根的判别式Δ= b^2 - 4ac的含义及其与方程根的关系。
b.掌握根与系数的关系公式：x1+x2=-b/a和x1x2=c/a，并能够灵活运用。
c.能够通过根与系数的关系解决实际问题，如给定方程的一个根，求另一个根或系数等。
3.通过具体例题，让学生掌握运用根与系数的关系解决实际问题，提高解题能力。
本节课的重点是让学生掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用此关系解决相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过引导学生发现并证明一元二次方程的根与系数之间的关系，提高学生运用逻辑推理解决问题的能力。
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对讲授新知部分的内容，进行讨论。讨论主题包括：判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系等。
2.讨论要求：小组成员要积极参与，发表自己的观点，倾听他人的意见，共同探讨问题。每个小组选出一个代表，汇报本组讨论成果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，及时解答学生的疑问，引导他们深入探讨问题。
（五）总结归纳
1.学生自主总结：让学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程根与系数的关系及其应用，归纳解题方法。
2.教师点评：教师对学生的总结进行点评，强调重点知识点，指出易错点，提醒学生注意。
3.课堂小结：对本节课的教学内容进行梳理，形成知识结构，为学生后续学习奠定基础。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
7.关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导。对学习困难的学生，要进行耐心辅导，帮助他们克服困难；对优秀生，要适当提高要求，激发他们的潜能。
8.定期组织课堂小结，让学生在总结中回顾所学知识，形成系统的知识结构。同时，鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.作业难度分层，满足不同学生的学习需求；
3.作业形式多样，注重培养学生的实践能力和团队合作精神；
4.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题，提高数学应用能力；
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
（二）教学难点
1.判别式的推导及其与根的关系的理解；
2.在实际问题中，如何构建一元二次方程模型，并运用根与系数的关系进行求解；
九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系
九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系一、一元二次方程根与系数的定义•一元二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b 和c是已知的实数，且a≠0。
•x是未知数，方程中该变量的二次项系数常被称为a，一次项系数常被称为b，常数项常被称为c。
•方程的根（或解）是满足方程的解x，使得当x代入方程中后等式成立。
二、一元二次方程的根与系数的关系•一元二次方程的根与其系数之间存在一定的关系，可以通过方程的系数推导出方程的根的性质。
判别式•一元二次方程的判别式通过系数a、b和c的值计算，其表达式为D=b2−4ac。
•判别式可以确定方程的根的性质：–当判别式D>0时，方程有两个不相等的实数根；–当判别式D=0时，方程有两个相等的实数根（重根）；– 当判别式 D <0 时，方程没有实数根，但可以有两个共轭复数根。
根与系数的关系• 方程的两个根（或解）分别为 x 1 和 x 2，则有以下关系成立：– 根的和等于一次项系数的相反数的比值：x 1+x 2=−b a – 根的乘积等于常数项与二次项系数的比值：x 1⋅x 2=c a 三、示例题目1. 已知一元二次方程 2x 2−5x −3=0 的两个根为 x 1 和 x 2，根据根与系数的关系，求 x 1+x 2 和 x 1⋅x 2。
根据公式可知，该方程的系数分别为 a =2，b =−5 和 c =−3。
将其代入根与系数的关系公式中：$ x_1 + x_2 = - = - = $$ x_1 x_2 = = = -$所以 x 1+x 2=52，x 1⋅x 2=−32。
四、总结• 一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，可以通过方程的系数计算出方程的根的性质。
• 判别式可以确定方程的根的个数和根的类型。
•根与系数的关系可以通过根的和、根的乘积与方程的系数之间的比值来表示。
五、应用及拓展•一元二次方程的根与系数的关系在解决实际问题中有着广泛的应用，如在物理、经济等领域的模型建立和解析中都会遇到。
人教版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系课件(共18张)
则
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
一元二次方程根与系数关系的证明：
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac xx2=
2a
2b b
=
=
2a a
b b2 4ac
+
2a
b b2 4ac b b2 4ac
2
2 3
4 3
4 3
2x2－3x+1=0
1
1
3
1
2
2
2
6x2+7x-3=0
3
2
1 3
7 6
1 2
❖ 问形如ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程的两根的和、
积分别与系数a,b,c有何关系？
x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
❖ 推理验证：
❖ （1）从因式分解法可知：方程(x-x1)(x-x2)=0
由根与系数的关系得：x1+x2＝
∴( k 1)2 4 k 3 1
k 1 2
x1x2＝
k 3 2
2
2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
使它的两个根是：
31 3
，2
1 2
解：所求的方程是：
x2 (3 1 2 1)x (3 1) (2 1) 0
32
32
即：
x2 5 x 25 0
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
x1
x2
b a
,
x1 x2
c a
.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
(2)当 Rt△ABC 为等腰直角三角形时，关于 x 的一元二次 方程 x2＋kx＋12＝0 的两根相等，则Δ＝k2－4×12＝0，解得 k ＝±4 3 ，∵两直角边长的和为－k＞0，∴k＝－4 3 ，∴两 直角边长为 2 3 ，2 3 ，∴斜边长为 2 3 × 2 ＝2 6 ， ∴Rt△ABC 的周长为 2 3 ＋2 3 ＋2 6 ＝4 3 ＋2 6
2．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是__3__．
3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积 为－4，则k的值为( D ) A．－1 B．4 C．－4 D．－5
4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另 一根为( C ) A．2 B．3 C．4 D．8
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
b b2 4ac
别为x1= 2a
b b2 4ac
，x2=
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1+x2=
2a
2a
2a a
。 ，
b b2 4ac b b2 4ac
•
2a
2a
(b)2 (b2 4ac) c
2018年秋九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系 (新版)
则x1
x2
b a
,
x1
x2
c a
推 特别地： 论 若方x程 2 pxq0的两根x1为 ,x2，
则： x1x2 p,x1x2 q
1
【针对训练1】
-3
1
D
合作探究 达成目标
探究点二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1. 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程
两根 x 1 , x 2 的和与积.
1x26x150 23x27x90 35x14x2
(1)方程（3）与方程（1）（2）在形式 上有何区别 ？
合作探究 达成目标
【小组讨论2】
(1)在求两根的和与积时，必须将 方程怎样处理 ？
【针对训练2】
3. 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数 根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是（ A）
2a
X1+x2=
b b2 4ac 2a
2b
=
2a
=
-b a
+ b b2 4ac
2a
X1x2=
b
b2 4ac 2a
● b b2 4ac 2a
=
(b)2( b24ac)2 4a2
=
4 ac 4a 2
c =a
归 纳 一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax2 bxc 0(a 0)的两根为 x1, x2,
21.2解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
创设情景 明确目标
学习目标
• 1．了解一元二次方程的根与系数的关系， 能运用它由已知一元二次方程的一个根求 出另一个根及未知系数．
人教版九年级数学上《一元二次方程根与系数的关系》知识全解
《一元二次方程根与系数的关系》知识全解课标要求1．掌握一元二次方程根与系数的关系，并能简单应用．2．经历观察、归纳、猜想与验证一元二次方程根与系数的关系的过程，提高观察、猜想、归纳的能力．3．在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心；培养学生独立思考，与同伴合作交流的能力．知识结构内容解析一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的．又称“韦达定理”，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，可以用来解决一元二次方程快速验根的问题，还可以解决其他一些相关的简单问题，是方程理论的重要组成部分．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空、选择、解答题的形式出现，也常与几何、二次函数等问题结合，利于数学问题的解决．通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础．重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点．教法导引1．充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣．2．采用“实践（练习）——观察——发现——猜想——证明”的过程教学．引导学生发现问题，师生共同解决问题．3．分小组讨论交流，多渠道信息反馈．4．问题引探，启发诱导，进行创新教学．学法建议1．引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理．2．指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径．3．指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类．。
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一元二次方程的根与系数的关系
课型：新知课
学习目标：
1、探索一元二次方程根与系数的关系式；
2、熟练运用一元二次方程根与系数的关系式解决相关问题。
学习重点：一元二次方程根与系数的关系。
学习难点：运用一元二次方程根与系数的关系式解决相关问题类型1、2。
学习方法：探究法、讨论法、小组合作法
学习过程：
一、回顾复习 (1分钟)
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式是。
二、自主探究（5分钟）(自学课本41页例4前面的内容)
设方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1、x2，试求出x1+x2、x1·x2的值。
三、归纳总结（2分钟）
可以发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2与系数a、b、c有如下关系：x1+x2= ，x1·x2= 。
四、初步应用（5分钟）
下列方程的两根和与两根积各是多少？
(1)x2－3x+1=0 (2) 3x2－2x=2 (3)2x2+3x=0
把方程化为一般形式，
以便确定a、b、c的值。
五、合作探究（20分钟）
类型1：求含有方程两根的代数式的值。
已知 x 1、x 2是方程x 2-4x+1=0
的两个根，求x 12+x 22，(x 1-x 2)2的值。
解：由根与系数的关系得：
x 1+x 2=，x 1x 2 =
x 12+x 22 = (x 1+x 2)2 - =
(x 1-x 2)2 =( )2 – 4x 1x 2 =
对应练习：
已知方程x 2-4x-2=0的两根为x 1、x 2，不解方程，求下列各式的值。
(1) x 12+x 22 (2) x 12x 2+x 1x 22(3) (x 1+1)(x 2+1)
解此类题目时：
(1)正确写出方程的两根和与积：
(2)把要求的代数式变得含有方程的两根和与积，再代入求值.
(1) x 12+x 22=
(2) x 12x 2+x 1x 22=
(3) (x 1+1)(x 2+1)=
类型2：已知一元二次方程的一个根，不解方程求另一个根及字母系数的值。
如果-1是方程2x 2-x+m=0的一个根，求它的另一个根及m 的值。
写出你的做法：
把要求的代数式变得含有x 1+x 2，x 1x 2，以便代入求值。
如果你还没有思路，那么请学下面的解法，去做对应练习。
解：-1是方程的一个根,设方程的另一
根是x 2,由根与系数的关系得：
解这个方程组得：
所以方程的另一个根是23，m 的值是-3。
对应练习：
若关于x 的方程2x 2+5x+n=0的一个根是-2，求它的另一个根及n 的值。
解此类题目时：
(1)设出方程的另一根：
(2) 由根与系数的关系列出方程组：
(3)解这个方程组：
(4)写出结论：
六、课堂小结（2分钟）
1、一元二次方程根与系数的关系是什么？
2、利用根与系数的关系可以解决哪些问题？
七、课堂检测（8分钟）
1、已知1x ，2x 分别是方程01522=+-x x 的两个根，不解方程求下列各式的值：
（1）2221x x + （2）)2)(2(21++x x （3）
2
111x x +
设出方程的另一根，依据根与系数的关系，正确地
2、若关于x的方程x2+kx-6＝0的一个根是-2，求它的另一个根及k的值。
八、拓展提高（2分钟）
已知方程x2+kx+k+2=0的两个根是x1、x2，且x12+x22 = 4，求k的值。