排列组合复习

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(完整)高中数学排列组合专题复习

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类1办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步1有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

完整)高中数学排列组合专题复习

完整)高中数学排列组合专题复习本文介绍了解决排列组合问题的方法和策略。

首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

文章提供了分类计数原理和分步计数原理两种常用的解题方法，并指出了它们的区别。

在解决排列组合综合性问题时，需要确定分多少步及多少类，以及每一步或每一类是排列问题还是组合问题，元素总数是多少及取出多少个元素。

文章还介绍了一些常用的解题策略，如特殊元素和特殊位置优先策略。

最后，文章以一个例子展示了如何使用分步计数原理解决一个排列组合问题。

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。

如果以元素分析为主，需要先安排特殊元素，再处理其他元素；如果以位置分析为主，需要先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。

如果有多个约束条件，往往需要同时考虑这些条件。

练题：有7种不同的花种要排成一列的花盆里，要求两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里。

问有多少种不同的排法？相邻元素捆绑策略是解决要求某几个元素必须排在一起的问题的方法。

可以将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起进行排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。

练题：某人射击8枪，命中4枪，其中有恰好3枪连在一起的情况有20种不同的排列方式。

不相邻问题插空策略是先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两侧的方法。

练题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，后来又增加了两个新节目。

如果将这两个新节目插入原节目单中，且这两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30.定序问题倍缩空位插入策略是对于某几个元素顺序一定的排列问题，先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。

另一种方法是设想有空位，让其他元素先坐下，再让这几个元素坐下。

练题：7个人排队，其中甲乙丙三人的顺序一定，共有多少不同的排法？可以使用倍缩法、空位法或插入法来解决。

排列组合专题复习

《排列组合专题复习》【复习巩固】【1】分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m 1 m 2 m n 种不同的方法．【2】分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m 1m 2 m n 种不同的方法．【3】分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．【 0 1 特殊元素和特殊位置优先策略】【例1】由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.【答案】288【解析】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C 31，然后排首位共有3 C 41. CCA 41 31 43 288 C 14 A 34 C 13 最后排其它位置共有A 4 ，由分步计数原理得【练习】7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？【答案】【 0 2 ★ 相邻元素 ★捆绑策略】【例2】7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.【答案】480【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有AAA 55 2222 480种不同的排法.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.【练习】某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为【答案】20【 ★ 0 3 ★ 不相邻问题 ★插空策略 ★ 】【例3】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？【答案】A 55A 64【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A 64 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A 55A 64种. 乙甲丁丙【练习】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30【答案】30【★04★定序问题★倍缩空位插入策略★】【例4】7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？【答案】A77/ A33或A74【解析】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：.(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A74 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A74 种方法.【思考】可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有____________________.方法.【答案】排法？【答案】C105【★05★重排问题求幂策略★】【例5】把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法.【答案】76【解析】完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有76 种不同的排法.【练习1】某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为____________________.【答案】42【练习2】某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法.【答案】78【★06★环排问题★线排策略★】【例6】8人围桌而坐,共有多少种坐法?【答案】7！【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44 并从此位置把圆形展成【答案】120【★07★多排问题★直排策略★】【例7】8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法.【答案】A24A14A55【解析】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A14 种,其余的5人在5个位置上任意排列有A55种,则共有A24A14A55种.前排后排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.【练习】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是____________________.【答案】346【★08★排列组合混合问题★先选后排策略★】【例8】有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.【答案】C52A44【解析】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C52种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A44 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C52A44解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?【练习】一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有____________________种.【答案】192【★09★小集团问题★先整体后局部策略★】【例9】用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？【答案】A22A22A22【解析】把1,5,2,4当作一个小集团与３排队共有A22 种排法，再排小集团内部共有A22A22种排法，由分步计数原理共有A22A22A22 种排法.【练习1】计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为____________________.直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！HFDCAA B C D E ABEGHGF【练习】6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？一般地,n个不同元素作圆形排列,共有n(-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn15243【答案】A22A55A44【练习2】5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种.【答案】A22A55A55【★10★元素相同问题★隔板策略★】【例10】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？【答案】C96【解析】因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

高二数学《排列组合》复习课件

4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
A A A 2 A A4
3 4 3 5 1 2
2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
排列组合复习课
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一、复习回顾： (一)、知识结构排列基本原理排列数公式应用问题
组合数公式
组合
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法.
C C .
5. 排列组合应用题
（1）正确判断是排列问题，还是组合问题，还是排列与组合的综合问题。（2）解决比较复杂的排列组合问题时，往往需要既分类又分步。正确分类，不重不漏；正确分步，连续完整。（3）掌握基本方法，并能灵活选择使用。
(三)、常用解题方法及适用题目类型

排列组合知识点总结典型例题与复习资料解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定：组合数性质：.2nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解研究目标：掌握排列、组合问题的解题策略。

重点：1.特殊元素优先安排的策略；2.合理分类与准确分步的策略；3.排列、组合混合问题先选后排的策略；4.正难则反、等价转化的策略；5.相邻问题捆绑处理的策略；6.不相邻问题插空处理的策略。

难点：综合运用解题策略解决问题。

研究过程：1.知识梳理1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类型办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。

+mn种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N=m1×m2×。

×mn种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3.排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列。

4.排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示。

5.排列数公式：Pn=n(n-1)(n-2)。

(n-m+1)=m!/(n-m)。

其中m≤n，n、m∈N+。

特别提醒：规定0!=1.6.组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合。

7.组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cn表示。

排列组合复习

排列组合复习基础方法回顾例1、特殊元素先排列：（1）六个人从左至右排成一列，最左端只能安排甲或者乙，最右端不能排甲，有多少种排法？（2）用0,1,2,3,4组成一个无重复的五位偶数有多少个？（3）A,B,C,D,E中出四个人完成a,b,c,d,四项工作，每项工作只能安排一个人，每人只能完成一项工作，其中A,B只会做a,b两项工作，其余人可以完成所有工作，有多少种安排任务的方式？（4）有5张卡片，正反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，现从中取出三张排成一列，可以摆出多少三位数?例2、相邻元素排列—捆绑法（1）一排有9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐一起，有多少种坐法？（2）8个车位，5辆不同的汽车，车全停在一起，有多少种停车方法？空位全在一起，有多少种停车方法？例3、不相邻元素排列—插空法（1）某班迎新晚会原计划安排5个节目，开演前又临时增加两个节目，如果将两个新节目插入到原来节目单中，有多少种出演方式？若两个新节目不相邻，有多少种出演方式？（2）4个男生，3个女生站成一排，有且只有两个女生相邻，有多少种排列方式？例4、逆向思维-正难则反（1）某中学中秋晚会由6个节目组成，演出顺序要求如下：节目甲必须在乙前面，节目丙不能排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案有多少种？（2）某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天安排1人，每人安排1天，每位员工中的甲、乙被安排在相邻的两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有多少种？（3）用0,1,2,3,4组成无重复的五位数，其中1,2相邻的偶数有多少个？（4）某次联欢会要安排3个歌舞节目，2个小品节目，一个相声节目，同节目不相邻的排法有多少个？例5、定序问题、相同于素排列问题（1）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成之后才能进行，工程丙必须在工程乙完成之后才能进行，工程丁必须在工程丙完成之后立即进行，共有多少种方案？（2）三位数中，123叫做严格递增数，530叫做严格递减数，严格单调的三位数有多少个？（3）7人身高不同，排成一排，中间最高，两侧依次降低，有多少种排列方法？（4）把good写错有多少种？把error写错有多少种方法？（5）用0,1,1,2,3可以组成多少个无重复的5位数？例6、挡板法（1）9个相同的苹果分给5个人，每人至少一个，有多少种分法？（2）12个相同的苹果分给3个人，每人至少3个的分配方法有多少种？（3）9个用动员名额分配给1班，2班，3班，要求每个班所得名额不少于自己的班级序号，有多少种分法？例7、分组问题（先分组，再分配；平均分组问题）（1）把9个人分配到3个单位，有多少种分法？①甲单位2人，乙单位3人，丙单位4人②1个单位2人，一个单位3人，一个单位4人③每个单位3人④两个单位各两人，一个单位5人（2）①9本书分成1,3,5三堆，然后放到3个不同的书架上，有多少种方法？②9本书平均分成3堆，然后放到3个不同的书架上，有多少种方法？③9本书分成2,2,5三堆，然后放到3个不同的书架上，有多少种方法？（3）哈尔滨冰雪节期间，5名游客到三个不同的景点游览，每个景点至少有一个，至多两个人，有多少种不同的游览方法？（4）把A,B,C,D四本不同的书分给三位同学，每人至少一本，每本书必须有人分到，A,B不能分给同一个人，有多少种不同的分法？（5）A类课程有3门，B类课程有两门，从中选3门，至少一个A，一个B，有多少种选法？期末考试：1.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种2.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为()A．18B．24C．36D．723.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那没有相邻的两个人站起来的概率为()A．516B．1132C．1532D．124若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为()A．120B．110C．15D．255.某校将5名插班生分配到3个班级，每班至少分一个人，则不同的分配方法有多少种？模拟题目：1.从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿服务，若每个班级至少一个代表，则有多少中选法？2.将4个大小相同、颜色不同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子，使得放入盒子里的球数不小于盒子编号，则不同的放球方法有多少个？3.某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅去一个地方，每个地方都要有人去，若甲不去北京，则不同的安排方法有多少种？4.从2名女生，4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有一个女生参加，则不同的选择方法有多少种。

排列组合综合复习

一.知识梳理
1.排列与组合的联系与区别:
2．排列问题的基本类型: （1）特殊元素优先法（2）元素的相邻问题——捆绑法
（3）元素的不相邻问题——插空法
（4）元素的定序问题——留空法（5）数字问题 3．组合问题的基本类型（1）指标的分配问题——隔板法（2）分组问题（分堆问题）（2）人员的分配问题——先分堆后到位法（平均分配也可填空法）
的方法有多少？ 144
4． 6个男生安排到大、中、小三个房间，其中大房间可住4人，中房间可住3人，小房间可住2人，不同的安排方法有多少？ 410
四：小结：
1．排列问题的基本类型: （1）特殊元素优先法（2）元素的相邻问题——捆绑法（3）元素的不相邻问题——插空法（4）元素的定序问题——留空法（用除法） 2．组合问题的基本类型（1）分组问题——当有n组元素数量相同时，应除以 n! （2）指标的分配问题——档板法
（3）人员的分配问题——先分堆后到位法
3．排列组合综合问题解题方法: (1) 先选后排法: (2) 先分堆后到位法 (3)分类时通常按某一元素(或某些元素)的所有可能的情况分类，做到不重、不漏．
三．课堂练习：
基础练习： 1．3位同学同上一列有10节车厢的火车，每人上哪一节车厢是随机的，则恰有2位同学上了同一节车厢的种数有多少？ 270
2．从6个运动员选出4人参加4×100M的接力赛，其中甲乙两人都不能跑第一棒，则不同的参赛方法有多少？ 240
3．四个不同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒子
二．典型例题:
例1: 7名师生站成一排照相留念,其中教师1人,男生4人, 女生2人,在下列情况中各有多少种不同的排法?
1．老师站中间的排法?

排列组合复习

（3）Ａ、Ｂ不全当选；（5）选取３名男生和２名女生分别担任班长、体育委员等５种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任 3 2 1 1 3
C7 C5 C3 C2 A3 12600 排列与组合混合问题:一般先选再排
能力提升:
例3.九张卡片分别写着数字0，1，2…，8从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？
合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行
分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚.
高考实例:
（05浙江高考）从集合{O,P,Q,R,S}与 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是 .(用数字作答）
两个原理是基础 + 常用的解题策略
课堂小结 1、排列与组合的概念（区别与联系） 2、排列与组合问题的几种基本类型 3、解决排列与组合的一般过程
(1)审清题意 (2)确定分步还是分类 (3)确定每一类(步)是有序还是无序
排列与组合概念
排列:从n个不同的元素中任取m（m≤n)个元素，按一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。组合:从n个不同元素中任取m（m≤n）元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 相同点: 取出的元素都是不相同的不同点: 取出的元素有没有顺序有序与无序无重复性
2 2 C3 C9 A 4 4 3 36 24 2592 2 4 C1 C A 3 9 4 3 36 24 2592 2 4 C1 C A 3 9 4 3 36 24 2592 2 1 C3 C9 A 4 4 3 9 24 648

排列组合题期末复习

一、排列组合知识1.两个原理（分类记数原理和分步记数原理）2.两个概念（排列和组合的概念）学习中注意突出几点：(1)如何确定元素和位置的关系，•元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。

以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。

例1（2007全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A 、10种B 、20种C 、25种D 、32种（2）两个概念有何差异（组成的元素相同，但与顺序关系不同），初步形成两者的关系或关系式。

例2（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？3.两类基本公式排列数公式：规定：0！=1组合数公式： 10==n n n C C 特别地：4.两类基本性质.组合性质1:组合性质2:例3求和：C22+C32+C42+……+C1002.二、排列组合典型题解答策略排列组合应用问题，大致可分为三类：（1）简单的排列或组合题，可以根据公式直接求结果（不带限制条件）（2）带有限制条件的排列或组合题，有两种计算方法直接法：把符合限制条件的排列或组合数直接计算出来。

间接法：先暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后从中减去所有不符合条件的排列或组合种数。

（3）排列组合综合问题，采取先选后排的原则，要作到合理分类。

1.特殊元素和特殊位置优先法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列，要注意相邻元素内部间也存在排列。

排列组合专题复习题

排列组合专题复习题排列组合专题复习题在数学中，排列组合是一种重要的概念和方法，它在解决各种问题中起着关键的作用。

本文将通过一些复习题来帮助读者巩固和加深对排列组合的理解。

一、排列问题1. 有5个不同的球，将它们排成一排，共有多少种排法？解析：这是一个典型的排列问题。

由于球是不同的，所以每个位置都有5种选择，因此总的排法数为5的阶乘，即5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。

2. 有6个人，其中3个人是A、B、C，另外3个人是D、E、F。

他们排成一排，要求A、B、C三人相邻，D、E、F三人相邻，共有多少种排法？解析：将A、B、C看作一个整体，D、E、F看作一个整体，那么一共有2个整体。

这两个整体可以看作一个人，所以总共有4个人，排列的方法是4的阶乘，即4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。

但是在A、B、C中，A、B、C之间也可以有不同的排列方式，因此还需要乘以A、B、C的排列方式，即3! = 3 × 2 × 1 = 6。

所以总的排法数为24 × 6 = 144。

二、组合问题1. 从10个人中选出3个人，共有多少种选法？解析：这是一个典型的组合问题。

从10个人中选出3个人，相当于从10个人中挑选3个人，不考虑他们的排列顺序。

根据组合的定义，C(10, 3) = 10! / (3!× (10-3)!) = 10 × 9 × 8 / (3 × 2 × 1) = 120。

2. 从10个不同的球中选出5个球，共有多少种选法？解析：这是另一个组合问题。

从10个不同的球中选出5个球，也是不考虑它们的排列顺序。

根据组合的定义，C(10, 5) = 10! / (5! × (10-5)!) = 10 × 9 × 8 × 7× 6 / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 252。

排列组合专项复习

排列组合专项复习一、相邻元素捆绑策略（小集团问题先整体后局部策略）1、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.（480）2、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？222A A A2223、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254A A A2544、5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255A A A种2555、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！二、不相邻问题插空策略1、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有种？2、6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.3、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，要求男生不能相邻的不同排法共有____________种，4、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，要求男生与男生不能相邻且女生与女生也不相邻的不同排法共有____________种，5、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 306、2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2悠扬绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有种。

（用数字作答）7．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B．48种 C．72种D．96种8、只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个9、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三、特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.1、用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 482、用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 3283、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，有种不同的种法？4、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，则不同排法的种数是5、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，女生乙不站中间，则不同排法的种数是6、某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有种.7、甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（）A．72种B．54种C．36种D．24种8、（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 369、将FA,均在C的同侧,则不同的排法共有________种.,,,,六个字母排成一排,且BDEA,CB10、2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( ) Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种11、（福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( B ）A．300种B．240种C．144种D．96种12、现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（）四、分配问题（一）位置人数定从位置入手1、（2009宁夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。

排列组合复习

问题3：留影后我们要返回时,我想把带来的
5本不同的学习用书送给4位同学,
(1)5本不同的书全部分给4个人中的某一个或某几个同学，有多少种不同的分法？ (2) 5本不同的书全部分给4个人，每人至少 1本，有多少种不同的分法？
问题4：如果学校说要派表现优秀的甲、乙、丙、丁4人，参观温州中学，温州中学新疆部，温州五十一中学三个校区，（1）若每个学生选两个校区参观，其中学生甲一定参观温州中学，共有多少种方案？（2）若学生每人选一个校区参观，每个学校要有一人参观，其中乙不去温州中学，共有多少种方案？
排列、组合的综合应用
问题1：今天我们共有7位老师来这里参观学习,
需要从我们班选派同学参加座谈会, (1) 从我们班四大组中任选1人参加座谈会
有多少种选法，并说明原理（依据）。 (2) 从四大组每组中各选1人ห้องสมุดไป่ตู้加座谈会有多少种选法，并说明原理（依据）。
(3)从四大组中共选4人参加师生座谈会,共有
多少种选派方法（依据）。
(6)从四大组中共选5人分别与四位老师结对，每位老师至少结对一位,共有多少中选派方法（依据）。
分类加法计数原理：分类，一步完成。小结：① 分步乘法计数原理：多步，才能完成。 ②排列与组合问题的区别在于有无排序。 ③排列：先选后排序；组合：只选不排序
（4）（2005· 福建· 理）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
(4) 从四大组中共选4人分别与四位老师结对，
共有多少种选派方法（依据）。

高考数学必修一复习指导：排列组合知识点总结_考前复习

高考数学必修一复习指导：排列组合知识点总结_考前复习1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM （分步）②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM （分类）2. 排列（有序）与组合（无序）Anm=n（n-1）（n-2）（n-3）-…（n-m+1）=n！/（n-m）！Ann =n！Cnm = n！/（n-m）！m！Cnm= Cnn-mCnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k k！=（k+1）！-k！3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。

捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：（1）把具体问题转化或归结为排列或组合问题；（2）通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3）分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；（4）列出式子计算和作答。

经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想。

4.二项式定理知识点：①（a+b）n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn 特别地：（1+x）n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。

（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran-rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

排列组合20种模型方法归类--一轮复习热点题型归纳(学生版)

排列组合20种模型方法归类1.目录【题型一】基础：相邻与不相邻【题型二】球放盒子：先分组后排列【题型三】平均分配：医生与护士型【题型四】特殊元素(位置)优先排【题型五】模型1：下电梯型【题型六】模型2：公交车模型【题型七】模型3：排课表【题型八】模型4：节假日值班【题型九】模型5：书架插书型(不改变顺序)【题型十】模型6：地图染色【题型十一】模型7：几何体染色【题型十二】模型8：相同元素【题型十三】模型9：停车位、空座位(相同元素)【题型十四】模型10：走路口(相同元素)【题型十五】模型11：上台阶(相同元素)【题型十六】模型12：“波浪数”型(高低站位)【题型十七】模型13：配对型【题型十八】模型14：电路图型【题型十九】模型15：机器人跳动型【题型二十】难点：多重限制与分类讨论真题再现模拟检测1.热点题型归纳题型一:基础：相邻与不相邻【典例分析】1阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有()A.144种B.216种C.288种D.432种方法归纳【提分秘籍】基本规律相邻和不相邻排列：(1)相邻问题采取“捆绑法”；(2)不相邻问题采取“插空法”；【变式演练】1三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A.72种B.108种C.36种D.144种2在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A.30B.36C.60D.723现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A.12B.24C.48D.60题型二:球放盒子：先分组后排列【典例分析】1我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有A.300种B.150种C.120种D.90种方法归纳【提分秘籍】基本规律“球放盒子”类型，要讨论“用了几个盒子”，放了几个球。

排列组合复习

一、排列目标：1. 理解分类计数原理、分步计数原理2. 理解排列的概念3. 掌握排列数公式内容：1．分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法. 2．分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法.本质区别：前者每种方法都能单独完成任务；后者缺任何一步都不能把事情做完。

3. 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．. 4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，5.公式及几点说明（1）是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立， “步”间互相联系；（2）排列的定义包括两个方面：①取出元素， ②按一定的顺序排列；（3）两个排列相同的条件：①元素完全相同， ②元素的排列顺序也相同；（4）排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号pm n只表示排列数而不表示具体的排列. （5）pm n=n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1) (,,m n N m n *∈≤)(6) 全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列.全排列数：(1)(2)21!nnA n n n n =--⋅= （叫做n 的阶乘）例题分析：例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共 10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？例4.将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种?例5.计算36p；p66；例6．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？同步练习：1. 3名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数.2.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？3.由0，2, 3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个( )A．9 B．21 C．24 D．424.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有多少种不同的排法？5.一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？二、组合目标：1.理解组合的概念2.掌握组合数公式3.掌握组合数的重要性质内容：1 .组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示．3.组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n-=),,(n m N m n ≤∈*且4.组合数的性质1：m n n m n C C -=．组合数的性质2：m n C 1+＝mn C +1-m n C ．5.几点说明：组合概念说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性； ⑶相同组合：元素相同.排列数的说明：求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数pm n，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；②求每一个组合中m 个元素全排列数pm m，根据分步计数原理得：pm n＝mn C ．pm m6.排列与组合的联系、区别（定义上）例题分析：例1．计算：（1）47C ；（2）710C ；（3）：69584737C C C C +++；例2．已知221717x xC C +=，求8x C 的值；例3．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？例4．100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件．（1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？例5．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？例6．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，求该科技小组中女生的人数.同步练习：1.一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，大家握手次数共有多少？2.某班级有男学生5人，女学生4人.(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？3．在200件产品中，有2件次品.从中任取5件，（1）“其中恰有2件次品”的抽法有种；（2）“其中恰有1件次品”的抽法有种；（3）“其中没有次品”的抽法有种；（4）“其中至少有1件次品”的抽法有种.4．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？5.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有( )种A ．4441284C C CB ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A三、排列与组合的应用目标：1 能区别是排列还是组合2 掌握解排列组合题常用的方法基本技巧：选准对象，分清排列与组合，先分类后分步，不重复不遗漏例1.四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有( ) A ．8种B ．10种C ．12种D ．16种例2.（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？（2）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？例3.用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？例4.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？例5．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？例6．甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法?例7．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；同步练习：1．(2006)某学校从6位数学老师中选派4位老师分别到一年级的4位老师分别到一年级的4个班听课，不同的安排方法的和数为( )A、4C46B、4C、C46 D、P462．(2007)六名青年志愿者将在北京参加２００８年奥运会的六个服务项目，若每人只参加其中一项，且学生甲不参加第一个服务项目，则不同的安排方案有（）Ａ、C15 C55Ｂ、P66Ｃ、P55 Ｄ、C15P553．(2010) 从7名志愿者中挑选3名，分别担任翻译、导游、导购工作，且每名志愿者都能胜任其中任一项工作，则不同的选派方法的种数是A.p37－p33B. p37·c13C. C37D. p374.(2011)从a,b,c,d四个字母中任取3个，并从1,2,3,4,5,6这六个数中任取2个，将它们排成一列，则所有排列种数是___________（用数字作答）5.（2012）将5个培训指标全部分配给3所学校，每所学校至少有1个指标，则不同的分配方案有（）A. 5种B. 6种C. 10种D.12种6.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有( )A．3种B．6种C．1种D．27种7.五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B两种必须连排，而,C D两种不能连排，则不同的排法共有( )A．12种B．20种C．24种D．48种8.从7名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，其中甲乙都不跑中间两棒的安排方法共有( )A.840种 B。

2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)

排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。

排列组合复习资料

C62 15
八.正难则反间接法例8. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？
取出的4点不共面情形复杂，故采用间接法。取出的4点共面有三类：
（1）过四面体的一个面有4C64 种；
（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱
的中点的平面有6种；
（3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平
2
解：分两类完成
3 1 5 1）用3种颜色涂色有：C43 A33 2）用4种颜色涂色有：C21 A44
4
共有C43 A33 C21 A44 72(种）
5.综合问题
练习8：6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？
解： (C63C32C11 ).A33
(C64
.
C21C11 A22
解： ( CA52C22 32 ).A33 90
分配问题
练习2：
隔板法
（1）7个相同的小球，任意放入4个不
同的盒子中，共有多少种不同的方法？
解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份
解：小球数隔板数 7 3 10 共有不同方法数C130
分配问题
隔板法
练习（2：2）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？
板中，，插所班共入有级有分n，_个_法_每元_数_一C素_为_种96排__插_成_板种C一方nm分排法11法的对。n应-一1个种空分隙法
一二三四五六七班班班班班班班
练习题7
有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3 个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有多少种?

排列组合复习课解排列组合问题的常用技巧课件

交通安排
在城市中选择最佳的交通路径，涉及排列组合中的排列问题。
彩票中奖
计算彩票中奖的概率，涉及排列组合中的组合问题。
排列组合在计算机科学中的应用
算法设计
计算机程序设计中，算法的复杂度分析涉及排列组合中的计算。
数据结构
在数据结构中，对数据的排列和组合涉及排列组合中的相关知识。
加密算法
密码的生成和破解，涉及排列组合中的排列和组合问题。
2023
REPORTING
排列组合复习课：解排列组合问题的常用技巧
• 排列组合基本概念 • 排列组合问题的常用解题技巧 • 排列组合问题中的计数原理 • 排列组合问题中的实际应用 • 排列组合问题的模拟试题与解析
2023
PART 01
排列组合基本概念
REPORTING
排列的定义与计算公式
排列的定义
反面思考法
总结词
在解决排列组合问题时，有时候从正面思考比较困难，可以采用反面思考法来解决问题。
详细描述
反面思考法是一种常用的解题技巧，它主要用于解决从正面思考比较困难的问题。具体来说，反面思考法是通过考虑问题的反面情况来解决问题。这种方法特别适用于涉及对立事件或不可能事件的问题，它可以简化计算过程并提高准确性。
分步乘法计数原理
要点一
总结词
分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基本方法之一，其核心思想是将问题按照不同的步骤分为若干个小的步骤，然后分别计算每个步骤的数量，最后将各个步骤的数量相乘得到总数量。
要点二
详细描述
分步乘法计数原理的步骤是首先确定问题的不同步骤，然后对每一步进行计数，最后将各个步骤的计数结果相乘。这个原理在排列组合问题中广泛应用，例如在解决排列问题、组合问题以及概率问题时非常有效。

排列组合

16. 某班选出的7名班委进行分工，每人只担任一个职务，且每个职务都不相同，其中 A 不当班长， B 不当文娱委员，这样的分配方案有多少种？
17. 7名学生中每次选出5人排成一列，其中A不能排在第一位，B不能排在末位，共有多少种不同的排列方法？
18. f是集合 A＝｛a,b,c,d},B={0,1,2} 的映射，如果B中的元素在A中都有原象，求这样的映射的个数。若不要求都有原象呢？
19. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人。（1）甲得2本，乙得2本，丙得2 本有几种不同的分配方法；（2）甲得3本，乙得2本，丙得1 本有几种不同的分配方法；（3）一人得3本，一人得2本，一人得1本有几种不同的分配方法。
20. 在连结凸五边形的三个顶点构成的三角形中，求与原凸五边形没有公共边的三边形的个数。凸六边形呢？凸n边形呢？
• 13.把四本不同的书分给九个人中的四人，每人一本，不同的分法有种。
4 4 C9 P4
• 练习： 1.把三本不同的书分给十人中的三人， 3 3 种。每人一本，不同的分法有 C10 P 3 2.把五本不同的书分给五名同学，每人 5 P 一本，共有 5 种分法。
• 15.投掷三枚相同的硬币，可能出现 4 种结果； • 投掷三枚不同的硬币，可能出现 8 种结果。
6. 有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本.若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有_____ 种 (结果用数值表示).
7. 由数字 0 , 1 , 2 , 3 ,4 , 5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有多少个?
8. 用0、1、2、3、4、5、6这七个数字，可以组成多少个没有重复数字的六位奇数？