【金版学案】人教版高中数学选修4-5练习：1.1.2基本不等式(含答案解析)

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数学人教A版选修4-5学案：例题与探究 1.1.2基本不等式

典题精讲【例1】若正数a,b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_________.思路解析：已知条件中既有a,b 的乘积又有它们的和，而要求的是ab 的取值范围，因而需用基本不等式把a+b 转化为乘积ab 的不等式. ∵ab=a+b+3,a,b 为正数, ∴ab≥ab 2+3, ∴(ab )2-ab 2-3≥0. ∴(ab -3)(ab +1)≥0. ∴ab -3≥0.∴ab≥9.∴ab 的取值范围是［9,+∞). 答案：［9,+∞)绿色通道：在同一条件式中同时出现两个正数的和与积，去求和或积的范围，是基本不等式的应用中最基本的题型，通常利用基本不等式直接转化为某个不等式，视为解不等式即可.但要时刻紧扣“一正，二定，三相等”的前提条件.【变式训练】若正数a,b 满足ab=a+b+3,则a+b 的取值范围是__________. 思路解析：利用基本不等式的变形ab≤(2b a +)2,使已知条件转化为不等式求解. 方法一：∵ab≤(2b a +)2, ∴ab=a+b+3≤(2b a +)2.∴(a+b)2-4(a+b)-12≥0, ∴［(a+b)-6］［(a+b)+2］≥0, ∴a+b≥6或a+b≤-2（舍）. 方法二：∵ab=a+b+3,∴b=13-+a a >0,∴a>1. ∴a+b=a+14113-+-+=-+a a a a a =a+1+14-a , =(a-1)+14-a +2≥14)1(2-∙-a a +2=6. 当且仅当a-1=4a-1,即a=3时取等号.答案：［6+∞) 【例2】若x,y 是正数，则（x+y21）2+（y+x 21）2的最小值是（）A.3B.27 C.4 D.29思路解析：本题中的代数式展开后可出现利用基本不等式的结构，若注意到字母x,y 在所给条件中的等价性，联系基本不等式的知识，可知当x=y 时可取到最小值. 方法一：∵将命题x,y 的位置对调之后，命题的形式不变， ∴取到最小值时，x=y,此时原式=2(x+x 21)2≥2)212(2xx ∙=4, 取“=”的条件为x=y=22. 方法二：(x+y21)2+(y+x 21)2=(x 2+241x )+(y 2+241y)+(y x +x y )≥1+1+2=4, 当x=y=22时，式子取得最小值4. 方法三：∵x>0,y>0, ∴(x+y 21)2≥yx y x 2)22(2=. (y+x 21)2≥x y x y 2)22(2=. ∴(x+y 21)2+(y+x 21)2≥xy y x 22+≥4.当且仅当y=x 21且x=y 21,且xyy x 22=,即x=y=22时取“=”号. 答案：C绿色通道：本题的方法二与方法三都用了不止一次基本不等式求范围，方法二中包含三个可用基本不等式的结构式，方法三是先有两个数学结构式用了基本不等式，然后出现的新结构式又用了一次基本不等式.这种处理方法是有前提条件的，也就是说对一个数学结构式重复使用基本不等式时，要注意“=”的延续性，即不论使用了几次基本不等式，取“=”号时的x,y 的值应该是相同的，否则最后的“=”号是取不到的，如方法三中用“y=x 21且x=y21且xyy x 22=”来限制“=”号.【变式训练】已知a,b ∈R +，a+b=1，求证：(a+a 1)(b+b1)≥425.思路分析：本题涉及“1”的代换问题，把不等式左侧中的“1”换成a+b,去括号后可以出现利用基本不等式的数学结构ab+ab 1+a b +b a ,但其中a b +ba 能用基本不等式，而ab+ab 1不能用，“=”号取不到，因而应考虑用构造函数法构造y=x+x1(x=ab)，求最小值，这要求求ab+ab 1的最小值用单调性法，而求a b +ba的最小值用基本不等式法，但二者应对应统一的a,b 的值.证明：设y=ab+ab 1，则(a+a 1)(b+b1)=ab+ab 1+a b +b a≥y+2(当a=2时，取等号)，因此，只要证y≥417即可.设ab=x,x ∈(0,41］,则y=x+x 1，且y=x+x 1在（0,41］上为减函数.∴当x=41时，y min =417，此时a=b=21,∴ab+ab 1≥417,∴(a+a 1)(b+b1)≥425.【例3】如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60 m 2，问当a,b 各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A 、B 孔的面积忽略不计）思路分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y ，由题意y 与ab 成反比，又设比例系数为k ，则y=abk.又由于受箱体材料多少的限制，a,b 之间应有一定的关系式，即2×(2b)+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是：已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,当y=abk最小时，求a,b 的值.解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y ，由题意 y=abk(k>0)，其中k 为比例系数. 又据题意设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)， ∴b=aa+-230（由a>0,b>0,可得a<30）. ∴y=ab k=aaa k +-2302.令t=a+2,则a=t-2,从而tt t a a a 22)2()2(30230---=+-=t t t 64342--≤34--≤+34)64(t t tt 642⨯=18, ∴y=ab k ≥18k. 当且仅当t=64t,即t=8, ∴a=6时取“=”号. 由a=6,得b=3.综上所述，当a=6 m,b=3 m 时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小. 解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y ，依题意y=abk，其中k 为比例系数，k>0，要求y 的最小值，必须求解ab 的最大值.题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a>0,b>0), ∵a+2b≥ab 22(当且仅当a=2b 时取“=”号)， ∴ab+22ab ≤30,可解得0<ab≤18.由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.即a=6,b=3时，ab 取最大值，从而y 值最小. 绿色通道：利用不等式解决实际应用问题，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y=f(x)(x-般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题.求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约.由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形(如解法一).对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量（或常数）的方法，拼凑出类似函数y=x+a[]x 的结构，然后用基本不等式（符合条件）或单调性求最值.这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的.【变式训练】一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距s(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)，且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k.（1）把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/小时)的函数，并指出其定义域. （2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？思路分析：由题意，全程燃料费由每小时的费用及航程时间来决定，所以应先找出每小时的燃料费用及全程航行时间，而第（2）问是求最值问题.是否需用基本不等式，要注意适用的条件，尤其是第（1）问的定义域，水速应小于船的最小速度，所以定义域应是（p,q ］.因此，本题若基本不等式的“=”号能满足即可求得结果，但也存在不能使“=”号成立的情况，因而，也需用函数的单调性求解.解：（1）由于船每小时航行的燃料费用是kv 2，全程航行时间为pv s-，于是全程燃料费用y=kv 2·pv s -, 故所求函数是y=ks·p v -2v (p<v≤q),定义域是（p,q ］.（2）y=ks·p v p p v -+-222）（=ks ［(v+p)+pv p -2］=ks ［v-p+pv p -2+2p ］≥ks ［p v p p v -∙-2)(2+2p ］=4ksp.其中取“=”的充要条件是v-p=pv p -2,即v=2p.①当v=2p ∈(p,q ］,即2p≤q 时，y min =f(2p)=4ksp. ②当2p (p,q ］,即2p>q.任取v 1,v 2∈(p,q ］且v 1<v 2, 则y 1-y 2=ks ［(v 1-v 2)+(pv p p v p ---2212)］ =))(()(2112p v p v v v ks ---［p 2-(v 1-p)(v 2-p)］.而p 2-(v 1-p)(v 2-p)>p 2-(q-p)(q-p) =q(2p-q)>0. ∴y 1-y 2>0.故函数y 在区间（p,q ］内递减，此时y(v)≥y(q).即y min =y(q)=ks pq q -2.此时，船的前进速度等于q-p.故为使全程燃料费用最小，当2p≤q 时，船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/小时)；当2p>q 时，船的实际前进速度为q-p （千米/小时）. 问题探究问题：如右图，粗细均匀的玻璃管长L=100厘米，开口向上竖直放置时，上端齐管口有一段h=25厘米的水银柱封闭着27 ℃空气柱，大气压强为p 0=75厘米汞柱，如果空气柱温度逐渐升高，欲使管内水银全部溢出，温度至少升到多高？导思：结合物理知识，转化为数学问题，要注意转化的数学式子的特点，寻找可以求最值的方法，而基本不等式的三个要求就是一个特征.探究：设管内空气柱温度升高到T ，管内尚有水银柱x 厘米，管的横断面积为S ，则有TSx L x p T S h L h p ∙-+=∙-+))(())((000 将数据代入，整理得 T=25)100)(75(x x -+由于(75+x)+(100-x)=175为常数，所以当(75-x)=(100+x)时，即当x=12.5厘米时，T 有极大值T max =306.25 K. 306.25-273=33.25 ℃.所以欲使管内水银全部溢出，温度至少升到33.25 ℃.。

《金版学案》2016-2017人教版高中数学选修4-5练习第一讲1.1-1.1.1不等式的基本性质Word版含解析

第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.1 不等式的基本性质A 级基础巩固一、选择题1．若m ＝2x 2＋2x ＋1，n ＝(x ＋1)2，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ＞nB ．m ≥nC ．m ＜nD ．m ≤n解析：因为m －n ＝ (2x 2＋2x ＋1)－(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1－x 2－2x －1＝x 2≥0.所以m ≥n .答案：B2．若a ＜b ＜0，则下列不等式关系中不能成立的是( ) A.1a ＞1bB.1a －b ＞1a C ．|a |＞|b | D ．a 2＞b 2解析：取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b＝－1＜－12＝1a . 所以B 不成立．答案：B3．设a ， b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b ＞0B ．a 3＋b 3＞0C ．a 2－b 2＜0D ．a ＋b ＜0解析：当b ≥0时，a ＋b ＜0，当b ＜0时，a －b ＜0，所以a ＋b ＜0，故选D.答案：D4．(2015·浙江卷)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2，b ＝3时，a ＋b ＞0，但ab ＜0；当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，但a ＋b ＜0.所以“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分又不必要条件．答案：D5．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：由a x ＜a y (0＜a ＜1)，可得x ＞y .又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增，所以f (x )＞f (y )，即x 3＞y 3.答案：D二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________．解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a＜0，所以a＜1a.又因为a－a2＝a(1－a)＞0，所以a＞a2，所以a2＜a＜1a.答案：a2＜a＜1 a7．若8＜x＜10，2＜y＜4，则xy的取值范围是________．解析：因为2＜y＜4，所以14＜1y＜12.又8＜x＜10，所以2＜xy＜5.答案：(2，5)8．设a＞0，b＞0，则b2a＋a2b与a＋b的大小关系是________．解析：b2a＋a2b－(a＋b)＝（a＋b）（a2－ab＋b2）ab－(a＋b)＝（a＋b）（a－b）2ab.因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.所以b2a＋a2b≥a＋b.答案：b2a＋a2b≥a＋b三、解答题9．判断下列各命题的真假，并阐明理由．(1)若a＜b，c＜0，则ca＜c b；(2)若ac－3＞bc－3，则a＞b；(3)若a ＞b ，且k ∈N *，则a k ＞b k ；(4)若a ＞b ，b ＞c ，则a －b ＞b －c .解：(1)因为a ＜b ，没有指出ab ＞0，故1a ＞1b不一定成立，因此不一定推出c a ＜c b. 所以是假命题．(2)当c ＜0时，c －3＜0，有a ＜b .所以是假命题．(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立．所以是假命题．(4)取a ＝2，b ＝0，c ＝－3满足a ＞b ，b ＞c 的条件，但是a －b ＝2＜b －c ＝3.所以是假命题．10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1的大小．解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －b b （b ＋1）. 因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.所以a －b b （b ＋1）＞0. 所以a b ＞a ＋1b ＋1. B 级能力提升1．若0＜x ＜y ＜1，则( )A ．3y ＜3xB ．log x 3＜log y 3C ．log 4x ＜log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫14y解析：因为函数y ＝log 4x 是增函数，0＜x ＜y ＜1，所以log 4x ＜log 4y .答案：C2．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d ＞c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d ＜b ＋c .试将a ，b ，c ，d 按照从小到大的顺序排列为__________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＜b ＋c ⇒d －b ＜c －a ，a ＋b ＝c ＋d ⇒c －a ＝b －d ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧d －b ＜b －d ，a －c ＜c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＜b ，a ＜c .又由d ＞c ，得a ＜c ＜d ＜b .答案：a ＜c ＜d ＜b3．已知c a ＞d b ，bc ＞ad ，求证：ab ＞0.证明：⎩⎨⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎨⎧c a －d b ＞0，①bc －ad ＞0. ②又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.由②得bc －ad ＞0.故ab ＞0.。

人教版高中数学选修4-5 1.2《绝对值不等式》习题课(含答案)

习题课绝对值不等式1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，B ＝{x ||2x －1|>3}，则A ∩B 等于( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |2≤x <3}C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}答案：C2．不等式|x ＋3|－|x －3|>3的解集是( )A ．{x |x >32}B ．{x |32<x ≤3} C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3<x ≤0}答案：A3．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．答案：{x |x ≥－1}4．|x －1|＋|x ＋2|＋|x |>10的解集是________．答案：{x |x >3或x <－113}5．x 2－2|x |－15>0的解集是________．答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)6．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________解析：不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，即a ≤|x －5|＋|x ＋3|因为|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，所以a ≤8.答案：(－∞，8]．7．解不等式|x ＋5|－|x －3|>10.解析：|x ＋5|＝0，|x －3|＝0的根为－5，3.(1)当x ≤－5时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔－x －5＋x －3>10⇔－18>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－5，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (2)当－5<x <3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5＋x －3>10⇔2x ＋2>10⇔x >4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－5<x <3，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (3)当x ≥3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5－x ＋3>10⇔8>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，|x ＋5|－|x －3|>0的解集为∅.综上所述，原不等式的解集为∅.8．解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是{x |－2<x <43}．9．解不等式|x 2＋x －2|>x .解析：当x <0时，原不等式恒成立；当x ≥0时，原不等式可化为x 2＋x －2>x 或x 2＋x －2<－x .即x 2>2或x 2＋2x －2<0. ∴x >2或x <－2或－1－3<x <－1＋ 3.又x ≥0，∴0≤x <3－1或x > 2.综上所述，原不等式的解集是{x |x <3－1或x >2}．10．解不等式|x 2－3x －4|＞x ＋2.解析：解法一原不等式等价于x ＋2≤0①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x 2－3x －4＞x ＋2或x 2－3x －4＜－（x ＋2）.② 由①⇔x ≤－2，由②⇔⎩⎨⎧x ＞－2，x ＞2＋10或x ＜2－10或1－3＜x ＜1＋3 ⇔－2＜x ＜2－10或x ＞2＋10或1－3＜x ＜1＋3，所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．解法二原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4≥0，x 2－3x －4＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4＜0，－（x 2－3x －4）＞x ＋2.即⎩⎨⎧（x ＋1）（x －4）≥0，（x －2－10）（x －2＋10）＞0① 或⎩⎨⎧（x ＋1）（x －4）＜0，（x －1－3）（x －1＋3）＜0，② ∴不等式组①的解集为(－∞，2－10)∪(2＋10，＋∞)，不等式组②的解集为(1－3，1＋3)．所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．解法三原不等式等价于[(x 2－3x －4)＋(x ＋2)]·[(x 2－3x －4)－(x ＋2)]＞0即(x 2－2x －2)(x 2－4x －6)＞0，(x －1－3)(x －1＋3)(x －2－10)(x －2＋10)＞0，结合图形(如上图)可知原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．11．若x ∈R 不等式|x －1|＋|x －2|≤a 的解集为非空集合．求实数a 的取值范围．解析：要使|x －1|＋|x －2|≤a 的解集非空，只需a 不小于|x －1|＋|x －2|的最小值即可．由|x －1|，|x －2|可以看作数轴上的点到1，2两点的距离，可以看出|x －1|＋|x －2|的最小值为1.所以a ≥1.故a 的取值范围是[1，＋∞)．12．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若|f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2|≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2. (2)记h (x )＝f (x )－2f (x 2)，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12. 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.所以k 的取值范围是[1，＋∞)．13．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0，设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示，从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0，∴原不等式解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈[－a 2，12)时， f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，∴x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43.14．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6， x ≤2，2， 2＜x ＜4，2x －6， x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|⇒－2＋6≥4⇒x ≤1；当2＜x ＜4时，由f (x )≥4－|x －4|⇒2≥4，不成立；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|⇒2x －6≥4⇒x ≥5；综上，x ≤1，或x ≥5所以，当a ＝2时，不等式f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1，或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )＝|2x |－2|x －a |则h ＝(x )⎩⎪⎨⎪⎧－2a ， x ≤0，4x －2a ， 0＜x ＜a ，2a ， x ≥a .由|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2得|h (x )|≤2.即|4x ＝2a |≤2⇒－2≤4x －2a ≤2⇒a －12≤x ≤a ＋12由已知不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}亦即|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}所以⎩⎨⎧a －12＝1a ＋12＝2解得a ＝3.1．两实数大小比较的三种情况．设a ，b 为两个实数，它们在实轴上的点分别记为A ，B .如果A 落在B 的右边，则称a 大于b ，记为a ＞b ；如果A 落在B 的左边，则称a 小于b ，记作a ＜b ；如果A 与B 重合，则称a 与b 相等，记为a ＝b .2．不等式的基本性质．(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a .(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c .(3)加(减)：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)乘(除)：a ＞b ，c ＞0⇔ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇔ac ＜bc .(5)乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n ，其中n 为正整数，且n ≥2.(6)开方(取算术根)：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b ，其中n 为正整数，且n ≥2.(7)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .本性质说明两个同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向．(8)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .本性质说明两边都是正数的同时不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向．3．基本不等式．定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．我们称a ＋b 2为正数a ，b 的算术平均数，ab 为正数a ，b 的几何平均数，因而这一定理可用语言叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均数，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均数，定理3中的不等式为三个正数的算术—几何平均不等式，或简称为平均不等式．定理4(一般形式的算术—几何平均不等式)：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．绝对值的三角不等式．定理1：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：设a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.等号成立⇔(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间，推论1：||a |－|b ||≤|a ＋b |；推论2：||a |－|b ||≤|a －b |.5．绝对值不等式的解法．(1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法．①c ＞0，则|ax ＋b |≤c 的解为－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 的解为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的值解出即可．②c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R.(2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法．解这类含绝对值的不等式的一般步骤是：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大顺序，它们把实数轴分为若干个区间；③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．6．解不等式常用技巧．解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价．这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧．。

2019秋金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第一讲1.2-1.2.2绝对不等式的解法含解析

由|x2－4|＜1，得＜x＜或－＜x＜－ .
所以即0＜a≤ －2，
或无解．
答案：B
二、填空题
6．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|<a的解集是∅，则a的取值范围是________________．
解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a≤3.
答案：(－∞，3]
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|2x－1|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.
所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值范围为(－∞，－1)．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为＜，所以－＜θ－＜，
即0＜θ＜ .
显然0＜θ＜时，sinθ＜成立．
但sinθ＜时，由周期函数的性质知0＜θ＜不一定成立．
故 < 是sinθ＜的充分而不必要条件．
故选A.
答案：A
4．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a的取值为()
解：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.

高中数学选修4-5《基本不等式》同步课时作业(含答案)

高中数学选修4-5《基本不等式》同步课时作业(建议用时：45分钟)一、选择题1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为( )A.25B.12C.22D．12．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2D.ab＜a＜a＋b2＜b3．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有( )A．最大值为54B．最小值为54C．最大值为1 D.最小值为14．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2 cd的最小值是( )A．0 B．1C．2 D.45．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的关系是( )A．x>y B．y>xC．x>2y D.y>2x二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.7．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．8．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．三、解答题9．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .10．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.巩固提高1．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D.22．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D.2千米处3．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x ＞0)的最小值是________．4．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围.高中数学选修4-5《基本不等式》同步课时作业参考答案一、选择题 1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25B.12C.22 D ．1 【解析】显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴f (x )max ＝12.【答案】 B2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b【解析】取特殊值法．取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab＜a ＋b 2＜b .故选B.【答案】 B3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值为54B ．最小值为54C ．最大值为1D.最小值为1【解析】 ∵x ≥52，∴x －2≥12，∴f(x)＝x－22＋12x－2＝12(x－2)＋12x－2≥2x－22·12x－2＝1，当且仅当x－22＝12x－2，即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1. 【答案】 D4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2 cd的最小值是( )A．0 B．1C．2 D.4【解析】由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴a＋b2cd≥4，当且仅当x＝y时，取等号．【答案】 D5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的关系是( )A．x>y B．y>xC．x>2y D.y>2x【解析】因为a，b是不相等的正数，所以x2＝a＋b2＋ab<a＋b2＋a＋b2＝a＋b＝y2，即x2<y2，故x<y.【答案】 B二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－x＋y24＝34(x＋y)2，∴(x＋y)2≤43，∴|x＋y|≤233，即x＋y的最大值为233.【答案】233 7．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】因为x ＞0，y ＞0，所以x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝xy 3，即xy 3≤1，解得xy ≤3，所以其最大值为3.【答案】 38．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．【解析】 ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2， ∴(am ＋bn )(bm ＋an ) ＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2 ＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2) ≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2) ＝4ab ＋2(a 2＋b 2) ＝2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”， ∴所求最小值为2. 【答案】 2 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .【解】 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ayx≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ayx时取等号．又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18. ① 又a ＋b ＝10， ②由①②可得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝2.10．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【证明】 ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.1．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D.2【解析】因为x ，y ∈R ＋，∴4xy ≤x ＋4y 2，∴xy ≤x ＋4y 4＝10，∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 【答案】 D2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D.2千米处【解析】由已知：y 1＝20x，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8. 当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．【答案】 A3．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x ＞0)的最小值是________．【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1.当且仅当x ＋1＝3时取等号．【答案】 23－1 4．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】由x >0，知原不等式等价于0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x ＋3恒成立．又x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，∴x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5，从而0<1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。

人教版高中数学选修4-5 练习：第一讲1.1-1.1.2基本不等式

第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.2 基本不等式A 级基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立；当a ，b 一正一负时，B 不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是( )A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ D ．2x ＋2－x解析：因为2x ＞0，2－x ＞0，所以2x ＋2－x ≥22x 2－x ＝2.当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．3．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时，等号成立．答案：D4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6B ．9C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，等号成立，选B. 答案：B5．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋y b ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1. 又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．二、填空题6．设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x的最大值是________．解析：y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立．所以y max ＝3－2 3.答案：3－2 37．已知函数f (x )＝2x，点P (a ，b )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，那么f (a )·f (b )的最小值是________．解析：点P (a ，b )在函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，所以有ab ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以f (a )·f (b )＝2a ·2b ＝2a ＋b ≥22ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案：48．当x ＞0时，f (x )＝2x x 2＋1的值域是________．解析：因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x ≤12. 所以0＜2x ＋1x ≤1. 又因为f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x，所以0＜f (x )≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．故f (x )的值域是(0，1]．答案：(0，1]三、解答题9．已知x ＜0，求2x ＋1x的最大值．解：由x ＜0，得－x ＞0，得－2x ＋1－x ≥2（－2x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＝22，所以2x ＋1x≤－22，当且仅当－2x ＝1－x，即x ＝－22时等号成立．故2x ＋1x取得最大值－2 2. 10．若a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：8abc ≤(1－a )·(1－b )(1－c )．证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以1－a ＝b ＋c ＞0，1－b ＝a ＋c ＞0，1－c ＝a ＋b ＞0.所以(1－a )(1－b )(1－c )＝(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )．因为a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，a ＋c ≥2ac ＞0，三式相乘，得(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以8abc ≤(1－a )(1－b )(1－c )．B 级能力提升1．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1≥9，所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.答案：B2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝22xy 2xy＝ 2. 其中x ＞0，y ＞0，当且仅当x 2＝2y 2，即x ＝2y 时等号成立．答案： 23．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. 所以x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3，当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤ 50－2 t ＋12·32t ＋1＝50－216＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42，所以当促销费定在7万元时，年利润最大．。

2019秋金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第一讲1.2-1.2.1绝对值三角不等式含解析

所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2，
当且仅当x∈[0，1]，y∈[0，1]时，|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|取得最小值2，
而已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，此时x∈[0，1]，y∈[0，1]，所以x＋y∈[0，2]．
(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|<a的解集为空集，求参数a的取值范围．
解：(1)法一||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
所以－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.
所以ymax＝4，ymin＝－4.
法二把函数看作分段函数．
y＝|x－3|－|x＋1|＝
所以－4≤y≤4.所以ymax＝4，ymin＝－4.
答案：A
4．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是()
A．m>nB．m<n
C．m＝nD．m≤n
解析：由绝对值三角不等式知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，所以 ≤1≤ .
答案：D
5．不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()
A．[－1，4]B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[5，＋∞)D．[－2，5]
解析：由绝对值的几何意义易知|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
答案：A
二、填空题
6．“|x－A|＜且|y－A|＜ ”是“|x－y|＜q”的________条件．
解析：令a＝1，b＝－1，则A不成立．
答案：A
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为()

人教版高中数学选修4-5《1.1.2基本不等式》

1.1.2基本不等式
选修4-5
教学目标
• 1、知识与能力目标：理解并掌握重要的基本不等式；利用基本不等式求最值及证明不等式. • • 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.
复习导入
• 1. 不等式的基本性质： • 2. 比较两数大小的一般方法：
自主学习
1．定理1 如果当且仅当时, 等号成立. ab
a, b R , 那么
a b . 2ab
2 2
证明:
自主学习
2. 定理2(基本不等式)：如果a>0,b>0 那么当且仅当时, 等号成立.
讨论: 1. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?
1 1-�� +�� 本不等式可得三个“2”连乘, -1= = ��
≥
2 �� ,可由此入手. ��
(2)因为 a+b+c=1,所以
��+��+�� +��+�� = -1 -1 �� = + + + . �� 又 + ≥2 · , + ≥2 ��

数学选修4-5基本不等式练习题含答案

所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以 .
故答案为： .
16.
【答案】
【考点】
基本不等式
【解析】
由题意问题可转化为：小于等于的最小值即可，而由基本不等式可得其最小值为，即可的答案．
【解答】
解：∵不等式对取一切正数恒成立，
∴只需小于等于的最小值即可，
而由基本不等式可得：，
当且仅当，即时取等号，
A. B. C. D.
8.已知，若不等式恒成立，则的最大值为
A. B. C. D.
9.若直线过点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
10.设，，则的最小值是（）
A. B. C. D.
11.当时，关于函数，则函数有最小值________．
12.已知，则不等式的最小值为________．
所以
，
38.如图，要设计修建一个矩形花园，由中心面积为的花卉种植区和四周宽为的人行道组成．设这个花花卉种植区矩形的长和宽分别为和，整个花园占地面积为．
（1）求与，的关系；
（2）问花卉种植区的长和宽为多少时，这个花园占地面积最小，并求最小值．
39.一辆家庭轿车在年的使用过程中需要如下支出：购买时花费万元；保险费，养路费，燃油费等各种费用每年万元，维修费用共万元；使用年后，轿车的价值为万元．设这辆家庭轿车的年平均支出为万元，则由以上条件，解答以下问题：
故选 .
二、填空题（本题共计 20 小题，每题 3 分，共计60分）
11.
【答案】
【考点】
基本不等式
【解析】
可得，，由基本不等式可得．
【解答】

2019秋金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第一讲1.1-1.1.2基本不等式

第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式 1.1.2 基本不等式A 级基础巩固一、选择题1．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋ba≥2等价于ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba≥2”的必要不充分条件．答案：B2．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ；②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2；③若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：显然①不正确；对于②，虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；③不正确，如a ＝1，b ＝4. 答案：B3．函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：原式变形为y ＝1x －3＋x －3＋3.因为x >3，所以x －3>0，所以1x －3>0，所以y ≥2（x －3）·1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x＝4时等号成立．答案：A4．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋yb ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．所以a ＋b 的最小值为4. 答案：C5．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值及此时x 的值为( )A.16， 3 B.16，± 3 C.16，－ 3 D.16，±3 解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2(x ≠0)，因为x 2＋9x2≥2x 2·9x 2＝6，所以y ≤16，当且仅当x 2＝9x 2，即x ＝±3时，y max ＝16.答案：B 二、填空题6．若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x2的最大值是________，取得最值时x 的值是________．解析：f (x )＝2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x 2≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x 2，即x ＝±2时取等号．答案：－10 ±27．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值是________．解析：3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7，当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．答案：78．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析：设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60.1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·4x ＋9y 60＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2 4x y ·9y x ＝160×(13＋12)＝512.当且仅当4x y ＝9yx ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时等号成立，故应填6和4. 答案：6 4 三、解答题9．(1)已知x <2，求函数f (x )＝x ＋4x －2的最大值． (2)已知0<x <12，求函数y ＝x (1－2x )的最大值．解：(1)因为x <2，所以2－x >0，所以f (x )＝x ＋4x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）＋42－x ＋2≤－2（2－x ）·42－x＋2＝－2，当且仅当2－x ＝42－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x －2的最大值为－2.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0.所以y ＝x (1－2x )＝12·2x (1－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（1－2x ）22＝18，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，等号成立．所以函数y ＝x (1－2x )的最大值为18.10．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ac ＞0.且上述三个不等式中等号不能同时成立．所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc .所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .B 级能力提升1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：由已知：y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．答案：A2．(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为a ，b ∈R ，ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.答案：43．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：由x ＞0，知原不等式等价于0＜1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x＋3恒成立．又x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，所以x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5，从而0＜1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。

2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：1.1.2基本不等式导学案 Word版含解析

1.1.2 基本不等式学习目标1.了解两个正数的算术平均与几何平均．2．理解定理1和定理2.3．掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1 函数f (x )＝x ＋1x的最小值是2吗？探究2 在基本不等式a ＋b 2≥ab 中，为什么要求a >0，b >0?探究3 利用a ＋b 2≥ab 求最值的条件是怎样的？探究4 你能给出基本不等式的几何解释吗？名师点拨1.常用基本不等式(1)(a －b )2≥0⇔a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(2)均值不等式a ＋b 2≥ab(a ，b ∈R ＋)．这两个不等式都是在a ＝b 时，等号成立．而(1)只要求a ，b ∈R ，而公式(2)条件加强了，要求a >0，b >0.注意区别．(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式：a ＋1a≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)．当ab >0时，b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取等号)． a 2＋b 2≥a ＋b 22≥2ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2．均值不等式的应用应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值．(1)x ，y ∈R ＋，且xy ＝m (m 为定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2m ；(2)x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝n (n 为定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值n24. 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相等”．否则会得出错误的结果.例1 已知a ，b ，c 为正实数，求证：(1)（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ≥8；(2)a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c )．例2 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．变式练习2．求函数f (x )＝－2x2＋x －3x (x ＞0)的最大值及此时x 的值．例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．仓库底面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？变式练习3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．参考答案探究1【提示】函数f (x )＝x ＋1x的最小值不是2. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x≥2 x·1x＝2； (当且仅当x ＝1时取等号) 当x <0时，f (x )＝x ＋1x＝－1()x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦≤－2. (当且仅当x ＝－1时取等号)显然f (x )无最小值，也无最大值.探究2【提示】对于不等式a ＋b 2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a ，b 都为负数时，不等式不成立；当a ，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．探究3【提示】利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．探究4【提示】如图，以a ＋b 为直径的圆中，DC ＝ab ，且DC ⊥AB .因为CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a ＋b 2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab ≤a ＋b 2.显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．例1 [精讲详析] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．(1)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0，由上面三式相乘可得(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8ab ·bc ·ca ＝8abc .即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ≥8.(2)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，由上面三式相加可得(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca .即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2.又a ，b ，c ∈R ＋，∴a2＋b2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b )．同理：b2＋c2≥22(b ＋c )， c2＋a2≥22(a ＋c )．三式相加，得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c )．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.例2 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.变式练习2．解：f (x )＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x . 因为x ＞0，所以2x ＋3x≥26，得－(2x ＋3x)≤－26，因此f (x )≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时，式子中的等号成立．由于x ＞0，因而x ＝62时，等号成立．因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62. 例3 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决．设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy ，由题意，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16＞0， ∴S －10≤0，从而S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此求得x ＝15，即铁栅的长应是15 m.变式练习3．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9x （x ＋1）＋900x ＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809≥2 900x·9x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x， (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉．平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.9 ＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)，令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2＞x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x1＋100x1－⎝⎛⎭⎫x2＋100x2 ＝（x2－x1）（100－x1x2）x1x2.∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，100－x 1x 2＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x当x ≥35时为增函数，∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2≈10 069.7＜10 989.∴该厂应接受此优惠条件．。

《金版学案》数学理一轮练习：选修4-5第二节不等式的证明含解析一.doc

= b=c 时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果ap a 2,・ %为n 个正数，则一 2%1巧…％当且仅当ai=a 2=••-=a^时，等号成立.2.不等式证明的方法第二节不等式的证明【最新考纲】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法・教林回归I 同本强塞1・基本不等式定理1：成立.等号成立.定理3： (D|基础梳理设a, beR,则a 2+b 2^2ab.当且仅当a=b 时，等号如果a,o -4— h _____b 为正数，则-^―^Vab,当且仅当a=b 时,如果a, b, c 为正数，则当且仅当a(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.（2）综合法与分析法①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果"的方法.②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立, 这种方法叫作分析法.即"执果索因”的方法.©I学情自测（质疑夯基）判断下列结论的正误.（正确的打“V”,错误的打“ X ”）（1）比较法最终要判断式子的符号得出结论（）（2）综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论（）（3）分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.（）（4）使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.（）答案：⑴X (2)7⑶X (4)X 2.若a>b>l, x=a+|, y=b+p则x与y的大小关系是()A ・ x>yB ・ x<yC・ xMy D・ xWy1 ( \\解析：x-y = a + --|^b + ^b - a ( a - b ) ( ab - 1 )=a• b +葛厂・由a>b>l 得ab>l , a - b>0 ,所l^(a"b)a^ab"1)>0.即x-y>0，所以x>y.答案：A3・已知a^b>0, M=2a3-b3, N=2ab2-a2b,贝lj M, N 的大小关系为•解析：2a3 - b3 - (2ab2 - a2b) = 2a(a2 - b2) + b(a2 - b2)=(a2 - b2)(2a + b) = (a - b)(a + b)(2a + b)・因为a^b>0 f所以a - b^O , a + b>0,2a + b>0 , 从而(a - b)(a + b)(2a +b)M0，故- b3^2ab2 - a2b. 答案:MMN4.已知a>0, b>0且ln(a+b)=0,贝的最小值是________________ ・解析：由题意得f a + b = 1 , a>0 , b>0 ,1 1 fl 1\ -宀b aA a + b = la + b> + b)= 2 + a + b处2*4'当且仅当a = b=|时等号成立・答案：4.................. ［名师微博•通法领悟｝..................—点注意使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件.三种方法1.比较法：作差比较法主要判断差值与0的大小，作商比较法在于判定商值与I的大小（一般要求分母大于0）.2・分析法：BUB1UB2U・・・UB“UA（结论）.（步步寻求不等式成立的充分条件）（已知）.3・综合法：已知）.（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）.番言•高效提能I ______________________________________ 分耕训I单虺成册1 ・(2014・江苏卷)已知x>0,y>0,证明:(l+x+y2)(H-x2+y)^9xy. 证明：因为x>0 f y>0 ,所以 1 + x + ^/xp>0 , 1 + x2 + yM3 寺込>0 , 故(1 + x + y2)(l + x2 + y)$3 ^/xy2• 3 衆务=9xy.2.已知 a 〉。

金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第三讲复习课 Word版含解析

复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．柯西不等式的易错点．在应用柯西不等式求最值时，易忽视等号成立的条件．2．排序不等式的易错点．不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用传递性来解决的，由a＞m，b＞m，推出a＞b是错误的．专题一柯西不等式的应用柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来求最值，还可以用来证明不等式．[例❶] 已知实数x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，求u ＝x ＋2y ＋3z 的最小值和最大值．解：因为(x ＋2y ＋3z )2＝(x ·1＋2y ·2＋3z ·3)2≤[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·[12＋(2)2＋(3)2]＝(x 2＋2y 2＋3z 2)(1＋2＋3)＝18.当且仅当x 1＝2y 2＝3z 3，即x ＝y ＝z 时，等号成立．所以－32≤x ＋2y ＋3z ≤32，即u 的最小值为－32，最大值为3 2.归纳升华柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且要注意等号成立的条件．[变式训练] 设a ，b ，c ，d 为不全相等的正数．求证：1a ＋b ＋c ＋1b ＋c ＋d ＋1c ＋d ＋a ＋1d ＋a ＋b> 163（a ＋b ＋c ＋d ）. 解：记s ＝a ＋b ＋c ＋d ，则原不等式等价于s s －d ＋s s －a ＋s s －b ＋s s －c >163. 构造两组数s －d ，s －a ，s －b ，s －c ；1s －d ，1s －a ，1s －b ，1s －c，由柯西不等式得 [(s －d )2＋(s －a )2＋(s －b )2＋(s －c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（s －d ）2＋1（s －a ）2＋1（s －b ）2＋1（s －c ）2≥(1＋1＋1＋1)2.即[4s －(a ＋b ＋c ＋d )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1s －d ＋1s －a ＋1s －b ＋1s －c ≥16，于是s s －d ＋s s －a ＋s s －b ＋s s －c ≥163，等号成立⇔s －d ＝s －a ＝s －b ＝s －c ⇔a ＝b ＝c ＝d .因题设a ，b ，c ，d 不全相等，故取不到等号，即1a ＋b ＋c ＋1b ＋c ＋d ＋1c ＋d ＋a ＋1d ＋a ＋b >163（a ＋b ＋c ＋d ）. 专题二排序不等式的应用1．用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．2．注意等号成立的条件．[例❷] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c＜π2. 证明：不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C .由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ，aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3，① 又由0＜b ＋c －a ，0＜a ＋b －c ，0＜a ＋c －b ，有0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b )＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C )＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C )＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )．得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c＜π2.② 由①②得原不等式成立．归纳升华利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．[变式训练] 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值．解：不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ，则1x 1≥1x 2≥…≥1x n >0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n . 因为1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1，2，3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…x 2n －1x n ＋x 2n x 1≥x 21·1x 1＋x 22·1x 2＋…＋x 2n ·1x n＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时等号成立，所以F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值为P . 专题三转化与化归思想转化与化归思想是指在解决问题时，将问题通过变换使之化繁为简，化难为易的一种解决问题的思想．[例3] 求使lg(xy )≤lg a ·lg 2x ＋lg 2y 对大于1的任意x 与y 恒成立的a 的取值范围．解：因为lg 2x ＋lg 2y ＞0，且x ＞1，y ＞1，所以原不等式等价于lg a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y max . 令f (x ，y )＝lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y ＝（lg x ＋lg y ）2lg 2x ＋lg 2y＝ 1＋2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y(lg x ＞0，lg y ＞0)．因为lg 2x ＋lg 2y ≥2lg x lg y ＞0，所以0＜2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y ≤1，所以1＜f (x ，y )≤2，即lg a ≥2，所以a ≥102.归纳升华解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说自己较熟悉的问题)，通过求解新问题，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“化归与转化的思想”．本讲常见的化归与转化的问题是通过换元或恒等变形把命题的表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式．[变式训练] 已知|x |≤1，|y |≤1，试求x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值．解：由柯西不等式，得x 1－y 2＋y 1－x 2≤ x 2＋（1－x 2）2·y 2＋（1－y 2）2＝1，当且仅当xy ＝1－x 2·1－y 2，即x 2＋y 2＝1时，等号成立，所以x1－y 2＋y 1－x 2的最大值为1.。

人教版高中数学选修4-51.1.1《不等式的基本性质》练习及答案

第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回首和复习不等式的基天性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋ b| ≤|a＋ |b|；(2)|a－ b| ≤|a－c|＋ |c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下种类的不等式：|ax＋ b| ≤c， |ax＋ b| ≥c，|x－ c|＋ |x－ b| ≥a.,在自然界中存在着大批的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起侧重要的作用．学习时注意适合联系实质，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适合应用数形联合有益于解决问题．如函数的图象、会合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1不等式1．1.1不等式的基天性质1．回首和复习不等式的基天性质．2．灵巧应用比较法比较两个数的大小．3．娴熟应用不等式的基天性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小次序的关系．数轴上右侧的点表示的数总大于左侧的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞ b? a－ b________；a＝ b? a－ b________；a＜ b? a－ b________．答案: ＞0＝0＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只需考察它们的差的符号即可．22答案: ＞2.不等式的基天性质．(1)对称性：假如a＞ b，那么 b＜ a；假如 b＜ a，那么 a＞b.(2)传达性：假如a＞ b，且 b＞ c，那么 a＞ c，即 a＞ b， b＞ c? a＞ c.(3)加法：假如a＞ b，那么 a＋ c＞b＋ c，即 a＞ b? a＋ c＞ b＋ c.推论：假如a＞b，且 c＞ d，那么 a＋ c＞ b＋ d.即 a＞ b， c＞ d? a＋ c＞ b＋ d.(4)乘法：假如a＞ b ，且 c＞ 0，那么 ac＞bc；假如 a＞ b，且 c＜ 0，那么 ac＜ bc.(5)乘方：假如a＞ b＞ 0，那么 a n＞b n (n∈N ，且 n＞ 1)．n n(6)开方：假如a＞ b＞ 0，那么a＞b(n∈N ，且 n＞ 1)．思虑 3若a＞b＞0，则有3a____2b.答案 : 2．思虑 2：＞思虑3：＞一层练习1．设 a， b， c∈R 且 a>b，则 ()112233A ． ac>bc B.ab D ． a >b答案 :D2． (2014 ·川高考理科四 )若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜ 0，则必定有 ()A.a＞ bB.a＜ bC.a＞ bD.a＜bc d c d d c d c分析：选 D. 由于 c＜ d＜ 0，因此－ c＞－ d＞ 0，即得－1d＞－1c＞ 0，又 a＞b＞ 0.得－ad＞－bc，a b进而有d＜c.答案： D2 3．比较大小：(x＋ 5)(x＋ 7)________( x＋ 6) .答案：＜1＞1” 同时成立的条件是4 ．“ a ＞b”与“a b________________________________________________________________________ ．答案： b＜ 0＜ a二层练习5．已知 a ， b ，c 知足 c ＜ b ＜ a ，且 ac ＜ 0，那么以下选项中不必定建立的是 ( )A ． ab ＞ acB ． c(b － a)＞0C ．cb 2＜ ab 2D ． ac(a － c)＜ 0答案： Cππ )＜ α＜ β＜，则 α－ β的取值范围是 (6．设角 α，β 知足－ 22A ．－ π ＜ α－β＜ 0B ．－ π ＜ α－ β＜π πC ．－ 2 ＜ α－ β＜0ππD ．－ 2＜ α－ β＜2答案： A7．假如 a<b<0，那么以下不等式建立的是 ()1 12A. a |b|；③ a2. 此中正确的有 ()a babA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案： B9．已知 a>b>0，则a与 a ＋ 1的大小是 ________． b b ＋ 1答案： a >a ＋ 1b b ＋ 1b 2 a 210．已知 a>0，b>0，则 a ＋ b 与 a ＋ b 的大小关系是 ________．22答案： b＋a≥ a ＋ ba b三层练习11．设 x ，y ∈ R ，则 “x ≥1且 y ≥ 2是”“x ＋y ≥ 3的”( ) A ．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件 C ．充要条件D ．即不充足也不用要条件答案： A12．设 0< a<b<1，则以下不等式建立的是()331 1 A ． a >b B. a <bC ．a b >1D ． lg( b －a)<0答案： D13． (2014 ·东高考理科山 )已知实数 x ， y 知足 a x ＜ a y (0＜ a ＜ 1)，则以下关系式恒建立的是()11A.x 2＋1＞y 2＋ 1B ．ln( x 2＋ 1)＞ ln( y 2＋ 1)C ．sin x ＞sin y33D ． x ＞y分析：选 D. 由 a x ＜a y (0＜ a ＜1) 知， x ＞ y ，因此1A ． y ＝ x 2＋ 1在 (－ ∞， 0)递加， (0，＋ ∞)递减，没法判断B ．y ＝ ln( x 2＋ 1)在 (－∞， 0)递减， (0，＋ ∞)递加，没法判断C ．y ＝ sin x 为周期函数，没法判断D ． y ＝ x 3 在 R 上为增函数， x 3＞ y 3 答案： D14．设 a>b>1， c<0，给出以下三个结论：c c ① a >b ；② a c log a (b － c)．此中全部的正确结论的序号是 ________． A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③分析：依据不等式的性质结构函数求解．1 1∵ a>b>1，∴ a cb ，故①正确．结构函数 y ＝ x c .∵ c<0，∴ y ＝ x c 在 (0，＋ ∞)上是减函数．又 a>b>1，∴ a c b>1，－ c>0，∴ a － c>b － c>1.∵ a>b>1，∴ log b (a － c)>log a ( a －c)>log a (b － c)，即 log b (a － c)>log a (b －c)，故③正确．答案： D1．不等关系与不等式．(1)不等关系重申的是关系，而不等式重申的则是表示二者不等关系的式子，可用“ a＞b”，“ a＜b”，“ a≠ b”，“ a≥ b”，“ a≤ b”等式子表示，不等关系可经过不等式来表现；走开不等式，不等关系就没法表现．(2)将不等关系娴熟化为不等式是解决不等式应用题的基础，不行忽略．2．不等式的性质．关于不等式的性质，重点是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和增强后，结论能否发生了变化；运用不等式的性质时，必定要注意不等式建立的条件，切不行用仿佛、是或很明显的原因取代不等式的性质．特别提示：在使用不等式的性质时，必定要搞清它们建立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，往常能够归纳为判断它们的差的符号 (仅判断差的符号，至于切实值是多少没关紧急 )．在详细判断两个实数 (或代数式 )的差的符号的过程中，常会波及一些详细变形，如：因式分解、配方法等．关于详细问题，怎样采纳适合的变形方式来达到目的，要视详细问题而定．。

金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第一讲复习课 Word版含解析

复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式性质的两个易错点．(1)忽略不等式乘法中“大于0”这一条件．(2)求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误．2．应用基本不等式求最值的三个注意点．(1)“一正”：各项或各因数都是正数．(2)“二定”：积(或和)为定值．(3)“三等”：等号成立的条件．3．绝对值不等式的两个注意点．(1)解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉绝对值符号．(2)在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形．专题一基本不等式的应用在用基本不等式求最值时，“正数”“相等”等条件往往容易从题设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法．常用的方法有“加－项、减－项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等．[例1]已知x＞1，求函数y＝x2－2x＋22x－2的最小值．解：y＝x2－2x＋22x－2＝（x－1）2＋12（x－1）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x－1）＋1x－1≥1，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，y有最小值，最小值为1.归纳升华1．利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值．2．基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．[变式训练] 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a ≥9a －d. 证明：因为a ＞b ＞c ＞d ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0，a －d >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －a (a －d )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －a · [(a－b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －a·33（a －b ）（b －c ）（c －d ）＝9. 所以1a －b ＋1b －c ＋1c －a ≥9a －d. 专题二绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式指的是||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.这是一类特殊的不等式，它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关系，常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明．[例2] 求函数y ＝|x －2|＋|x ＋5|的最小值．解：y ＝|x －2|＋|x ＋5|≥|(x －2)－(x ＋5)|＝7.当且仅当(x －2)(x ＋5)≤0，即－5≤x ≤2时等号成立，故函数的最小值为7.归纳升华绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a ＋b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但不要认为只能如此，事实上，|a ＋b |是不小于|a |－|b |的．[变式训练]设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)≥4a＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4，所以f(x)min＝4.(2)f(x)≥4a＋1对任意的实数x恒成立，等价于|x＋1|＋|x－4|－1≥a＋4a对任意的实数x恒成立，所以a＋4a≤4.当a<0时，上式成立；当a>0时，a＋4a≥2 a·4a＝4，当且仅当a＝4a，即a＝2时上式取等号，此时a＋4a≤4成立．综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2}．专题三绝对值不等式的解法解不等式的基本思想是转化、化归，不等式的性质是实现“转化”的基本依据，高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解.而解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的常用方法有：(1)几何意义，(2)两端平方，(3)零点分段法，(4)绝对值定义.[例❸](2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. 归纳升华对于形如|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 的不等式，可用零点分段法求解，其操作方法是，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解.[变式训练] 解下列关于x 的不等式：(1)|x －2|－|2x ＋5|>2x ；(2)|2x －1|<|x |＋1.解：(1)分段讨论：①当x <－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5>2x ，解得x <7，所以解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5>2x ，解得x <－35. 所以解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－52≤x <－35. ③当x >2时，原不等式变形为x －2－2x －5>2x ，解得x <－73，所以原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－35. (2)当x <0时，原不等式可化为－2x ＋1<－x ＋1，解得x >0，又因为x <0，所以x 不存在；当0≤x <12时，原不等式可化为－2x ＋1<x ＋1，解得x >0，又因为0≤x <12，所以0<x <12；当x ≥12时，原不等式可化为2x －1<x ＋1，即x <2，所以12≤x <2. 综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}．专题四数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的．[例4] 解不等式|x ＋1|＋|x |＜2.解：法一：由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知这两个距离之和小于2.由数轴(如图①所示)可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎪⎪⎪x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12.图① 图②法二：令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1（x ≥0），－1（－1＜x ＜0），－2x －3（x ≤－1）.作函数f (x )的图象(如图②所示)，由图象可知，当f (x )＜0时，－32＜x ＜12. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12. 归纳升华1．利用函数图象解题，可化抽象为直观.但应注意作图的准确性.2．在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，即把数量关系转化为图象的性质来确定或者把图象的性质转化为数量关系的问题来研究．[变式训练] 已知关于x 的不等式|x |＞ax ＋1的解集为{x |x ≤0}的子集，求a 的取值范围．解：设y 1＝|x |，y 2＝ax ＋1，则y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0. 在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．|x |＞ax ＋1，只需考虑函数y 1＝|x |的图象位于y 2＝ax ＋1的图象上方的部分，可知a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．。

2021年高中数学 1.1.2基本不等式练习新人教版选修4-5

2021年高中数学 1.1.2基本不等式练习新人教版选修4-5【霸王餐】一、选择题：1．已知ab≠0,a,b∈R，则下列式子总能成立的是（）A．B．C．D．2．设x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为（）A．7 B．C．1＋D．53．已知p>0,q>0，p、q的等差中项为，且x=p+,y=q+,则x+y的最小值为（）A．6 B．5 C．4 D．24．若lgx+lgy=2,则的最小值是（）A．B．C．D．25．已知0<a<b<1，P=，Q=，M=，则P、Q、M三个数的大小关系是( )A．P>Q>M B．Q>P>M C．Q>M>P D．M>Q>P6．若-4<x<1，则f(x)=有( )A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-17.下列函数中,y的最小值为4的是( )A. B.C. D.8.当x>1时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：1．已知x>0,y>0,x+y=P,xy=S,给出下列命题：①如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P的值最大；②如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P的值最小；③如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S的值最大；④如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S的值最小其中正确的命题为＿＿＿＿＿＿＿（写出序号即可）2．对于任意实数a,b，都有a2+b2_____2ab，当且仅当＿＿＿时，等号成立。

3．＿＿(a>0,b>0),当且仅当______时，等号成立，其中和分别叫做正数a,b的________和_________。

4．用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽选用价格每米分别为3元和5元的材料，且长和宽必须为整数，现预算花费不超过100元，则做成矩形框围成的最大面积是______。

5．给出以下四个命题：①若a,b∈R，则≥2；②若a,b∈R，则lga+lgb≥2;③若x∈R，则|x+|=≥2 ④y=的最小值是2其中正确命题的序号是________。