常系数线性常微分方程
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y =f(x)\]其中$y$是未知函数，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$是给定的常数，$f(x)$是已知的函数。
这类微分方程中，最高阶的导数的系数$a_n$不为零。
它的特点在于，常数系数的确定可缩减为一个初值问题，解的形式可以通过特征方程的根来确定。
为了更好地理解常系数线性微分方程，首先我们来介绍一些最基本的概念和性质。
1.常系数线性齐次微分方程当$f(x)=0$时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0\]称为常系数线性齐次微分方程。
它的特征方程为\[a_n r^n + a_{n-1} r^{(n-1)} + \cdots + a_1 r' + a_0 = 0\]其中$r$是一个未知数，称为特征根。
我们假设特征根的多重性是1，即每个特征根都有一个对应的线性无关的解。
2.常系数线性非齐次微分方程的通解当 $f(x) \neq 0$ 时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(x)\]称为常系数线性非齐次微分方程。
它的通解可以表示为齐次解与特解的和，即\[y=y_h+y_p\]其中$y_h$是齐次方程的通解，$y_p$是非齐次方程的一个特解。
3.特解的构造方法特解的构造方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
(1)待定系数法当$f(x)$是多项式、指数函数、三角函数等形式时，我们可以通过观察$f(x)$所具有的性质，设定待定系数，再将特解代入原方程，确定待定系数的值。
(2)常数变易法当 $f(x)$ 是形如 $e^{kx}$ 的指数型函数时，我们可以通过设定常数变易法，即设定特解的形式为 $Ae^{kx}$，其中 $A$ 是待定常数。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微分方程中一类重要的特殊形式，其特点是方程中的系数是常数。
本文将介绍常系数线性微分方程的定义、求解方法以及相关性质。
一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程又称为齐次线性微分方程，其一般形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=0\]其中，n为方程的阶数，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数。
二、常系数线性微分方程的求解方法1. 特征方程法通过设定方程的解为\(y=e^{mx}\)，将其代入原方程中，得到特征方程：\[a_nm^n+a_{n-1}m^{n-1}+...+a_1m+a_0=0\]解特征方程，可得到n个不同的解，分别是\(m_1, m_2,..., m_n\)。
则原方程的通解为：\[y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+...+c_ne^{m_nx}\]其中，\(c_1, c_2,..., c_n\)为常数。
2. 变量分离法对于一些特殊的常系数线性微分方程，可以通过变量转换将其化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
三、常系数线性微分方程的性质1. 零解的存在唯一性对于常系数线性微分方程，其零解必然存在且唯一。
2. 齐次性质如果y1(x)是常系数线性微分方程的一个解，那么ky1(x)（k为常数）也是该微分方程的解。
3. 叠加性质如果y1(x)和y2(x)分别是常系数线性微分方程的解，那么y(x)=y1(x)+y2(x)也是该微分方程的解。
4. 线性性质设y1(x)和y2(x)分别是齐次常系数线性微分方程的两个解，c1和c2为常数，则c1y1(x)+c2y2(x)也是该微分方程的解。
总结：常系数线性微分方程作为微分方程中的重要形式，在工程、物理学以及其他科学领域中具有广泛的应用。
求解常系数线性微分方程的方法多种多样，特征方程法和变量分离法是常用的求解方法。
同时，常系数线性微分方程满足一系列重要性质，这些性质使得我们可以更加灵活地利用微分方程进行问题的建模和求解。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程线性微分方程是微分方程中的一种重要类型，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从定义、特征、解法和应用等方面对线性微分方程进行详细介绍。
一、线性微分方程的定义线性微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。
它的一般形式为dy/dx + p(x)y = g(x)。
二、线性微分方程的特征线性微分方程具有以下特征：1. 线性：方程中未知函数y及其导数的次数均为1次，且没有幂函数、指数函数和对数函数等非线性项。
2. 可分离变量：可以通过移项将方程变形为dy/y = -p(x)dx + q(x)dx，从而可进行变量分离，简化求解过程。
3. 叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性，即一般解等于相应齐次线性微分方程的解与非齐次线性微分方程的特解之和。
三、线性微分方程的解法线性微分方程的求解可以采用常系数法、变易法、特解法等多种方法，下面以常系数线性微分方程为例进行说明。
1. 常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + ay = b，其中a和b为常数。
常系数线性微分方程的解具有通解和特解两种形式。
2. 首先求解齐次线性微分方程dy/dx + ay = 0。
令y = e^(mx)，代入方程得d(e^(mx))/dx + ae^(mx) = 0，化简得me^(mx) + ae^(mx) = 0，整理可得(m+a)e^(mx) = 0。
由于e^(mx)恒大于0，所以(m+a) = 0，即m = -a。
因此，齐次线性微分方程的通解为y = c*e^(-ax)，其中c为常数。
3. 再求解非齐次线性微分方程dy/dx + ay = b。
根据线性微分方程叠加原理，非齐次线性微分方程的一般解等于齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和。
4. 特解的求解可以采用常数变易法，假设特解为y = C，代入原方程得C + aC = b，解得C = b/(1+a)。
常微分方程中的常系数线性方程及其解法
常微分方程中的常系数线性方程及其解法常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是一种数学模型，用于描述时间或空间上量的变化规律。
常微分方程中的常系数线性方程是ODE中一个重要的类别，其解法具有一定的规律性和普适性。
本文将就常微分方程中的常系数线性方程及其解法做简要介绍。
一、常系数线性方程的定义常系数线性方程是指其系数不随自变量t的变化而改变的线性方程。
一般写为：$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=f(t)$$其中a的值为常数，f(t)为已知函数，y(t)为未知函数，方程中最高阶导数的阶数为n。
n阶常系数线性方程也称为n阶齐次线性方程；当f(t)≠0时，称其为n阶非齐次线性方程。
二、常系数线性方程的解法对于一般形式的常系数线性方程，我们常用特征根的方法来求解。
具体来说，先考虑对应的齐次线性方程$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0$$设y(t)=e^{rt}，则有$$r^ne^{rt}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rt}+...+a_1re^{rt}+a_0e^{rt}=0$$整理得到$$(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0)e^{rt}=0$$根据指数函数的性质得到$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$求解方程$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$可得到n个特征根，设其为$r_1,r_2,...,r_n$。
则对于齐次线性方程，其通解为$$y(t)=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}+...+c_ne^{r_n t}$$其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。
常微分方程的常系数线性方程
常微分方程的常系数线性方程常微分方程是求解自然现象中变量随时间变化的数学工具。
它是描述自然现象中许多重要现象如振荡、决策、生长和衰变等的基础。
常微分方程又可分为一阶方程和高阶方程。
一般的高阶方程可以通过将其转化为同阶但有更多变量的方程来解决。
而本文所涉及的是常微分方程中的常系数线性方程，它是一类重要的高阶方程，大量实际问题都可以用常系数线性方程来描述和解决。
一、基本概念和定义常系数线性方程是指高阶形式为$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = f(x)$的方程，其中$n \in N, a_i \in R (i=0,1,...,n-1)$是常数，$f(x)$是已知函数，$y=y(x)$是要解的未知函数。
该方程中的常数称为常系数，线性指$f(x)$为一次函数，即不含有未知函数$y$的高次项。
二、解法为了求解常系数线性方程，我们首先要解其特征方程，即解形如$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = 0$的齐次方程。
特征方程的根称为特征根，常系数线性方程的解法要分三种情况：实根不同、重根和虚根。
(1)实根不同的情况当特征方程有$n$个不同实根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为$y_1,y_2,...,y_n$，那么方程的通解为$y=c_1y_1+c_2y_2+...+c_ny_n$，其中$c_1,c_2,...,c_n$是任意常数。
(2)重根的情况当特征方程有一个重根$\lambda$时，设对应的齐次方程的两个线性无关解分别为$y_1=e^{\lambda x}$和$y_2=xe^{\lambda x}$，那么方程的通解为$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$，其中$c_1，c_2$是任意常数。
(3)虚根的情况当特征方程有$n$个对应的虚根$\alpha_1 \pm \beta_i i(1\leq i\leq m)$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为：$y_1=e^{\alpha_1x}cos\beta_1x,...,y_{2m-1}=e^{\alpha_1x}cos\beta_mx$$y_2=e^{\alpha_1x}sin\beta_1x,...,y_{2m}=e^{\alpha_1x}sin\beta _mx$那么方程的通解为$y=(c_1cos\beta_1x+c_2sin\beta_1x)e^{\alpha_1x}+...+(c_{2m-1}cos\beta_mx+c_{2m}sin\beta_mx)e^{\alpha_1x}$，其中$c_1,c_2,...,c_{2m}$是任意常数。
4.2常系数线性微分方程的解法
因 而 与 这 对 共 轭 复 数 对应 的, 方 程 （4.19） 有 两 个 复 值 解,
e(it) eat cos t i sin t e(it) eat cos t i sin t
再由定理8知方程（4.19）的两个实值解eat cos t, eat sin t.
少有一个系数不等于零, Pm (t) 0, 将恒等式（4.27）除以e1t ,然
m1 y (m1)
m(m 2!
1)
1
2
y
(m2)
1m y,
L[ ye1t ] ( d n y
dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1
y e1t
于是方程（4.19）化为
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
其 中b1, b2 , , bn仍 为 常 数,而 相 应 的 特 征 方 程 为
L(x)
d net dt n
a1
d n1et dt n1
an1
de t dt
anet
(n a1n1 a n1 an )et F ()et
其中F () (n a1n1 an1 an )是的n次多项式
易知x et为方程（4.19）的解的充要条件是是代数方程
F () (n a1n1 an1 an ) 0
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
一阶常系数齐次线性微分方程 dx ax 0,它有形如x eat
常微分方程的基本概念与常系数线性齐次方程
常微分方程的基本概念与常系数线性齐次方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述函数未知量及其导数之间关系的方程。
在数学和科学领域中，常微分方程是一种重要的数学工具，用于建立数学模型和解决实际问题。
本文将介绍常微分方程的基本概念，并着重讨论常系数线性齐次方程。
一、常微分方程的基本概念1.1 未知函数的定义在常微分方程中，未知函数是一个关于自变量的函数，我们通常用y表示。
常微分方程的解就是使得方程成立的函数。
1.2 阶数和次数常微分方程的阶数是指方程中最高阶导数的阶数。
次数是指方程中导数的最高幂次数。
1.3 解的定义对于给定的微分方程，如果存在一个函数满足方程的条件，那么这个函数就是方程的解。
1.4 初始条件为了确定微分方程的解，需要给出一些初始条件。
初始条件是指在某一点上给出的函数值及其导数值。
二、常系数线性齐次方程常系数线性齐次方程是一种形式为函数及其导数的线性组合，并且系数都是常数的微分方程。
2.1 常系数在常系数线性齐次方程中，系数都是常数，不随自变量的变化而变化。
2.2 齐次性一个微分方程是齐次的，意味着方程中只存在未知函数及其导数，没有非齐次项。
2.3 线性性一个微分方程是线性的，意味着未知函数及其导数只以一次幂出现，并且可以通过线性叠加来求解。
2.4 解的求解对于常系数线性齐次方程，可以通过特征根的方法来求解。
特征根是方程对应的齐次方程的根。
2.5 解的形式一般来说，常系数线性齐次方程的解可以表示为指数函数的线性组合。
特殊情况下，解还可以表示为三角函数的线性组合。
三、小节三在这一部分，我们将介绍常微分方程的应用领域和意义。
常微分方程广泛用于物理学、工程学、经济学等领域，用于建立数学模型和求解实际问题。
通过求解常微分方程，我们可以得到函数的解析解，更好地理解和预测自然界和社会现象的行为规律。
总结：本文介绍了常微分方程的基本概念和常系数线性齐次方程。
线性常系数微分方程
线性常系数微分方程线性常系数微分方程（LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation，简称LCCDE）是一类特殊的常系数微分方程，是研究微积分学中最重要的一类方程。
它们被广泛应用于自动控制、电路分析、数字图像处理、生物科学等方面。
绝大多数的非线性常系数微分方程都可以用线性常系数微分方程来近似描述，所以研究线性常系数微分方程可以帮助我们更好地理解各种复杂的非线性问题。
线性常系数微分方程的基本性质可以用标准形式表示：$$y^(n)+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_ny=0，n≥1,a_1,a_2,...a_n 为常数.$$这里，$y^{(n)}$表示$y$的$n$次导数，$a_1,a_2,...a_n$是系数。
在研究线性常系数微分方程时，我们会用到几个重要的概念：**一、阶**一个线性常系数微分方程的阶数是指其最高次导数的阶。
**二、全纳算子（annihilator）**全纳算子（annihilator）是指字母P（也可以是其他字母）。
当全纳算子P(s)应用于方程的特征方程，使其解得为零时。
我们称P(s)为线性常系数微分方程的全纳算子，符号p表示它的阶数，也就是次系数合为零的最高次导数的阶数。
**三、特征方程与特征根**特征方程一般表示为P(s)=0，其中P(s)叫做全纳算子，s代表的是复变函数的变量s的变量。
特征方程的根叫做特征根。
**四、解的通式**解的通式可以表示为：$$y=c_1e^{lambda_11t}+c_2e^{lambda_22t}+...+c_ne^{lambda_nn t}$$其中$λ_1,λ_2,...λ_n$是特征根，$c_1,c_2,...c_n$为常数，可以由初值条件确定。
结合上述概念，可以简单介绍一下线性常系数微分方程的解法。
**解法1：特征根法（Characteristic Root Method）** 特征根法是最常用的线性常系数微分方程求解方法，其策略是：先求出特征方程的特征根，然后根据特征根构造特征根的行列式，由初值条件确定其解的形式，最后求出具体的数值解。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程- Introduction微积分学是数学的重要分支之一，常系数线性微分方程是微积分学的一个重要内容。
在工程、物理、化学、经济等学科中，常系数线性微分方程都有着重要的应用价值。
因此，本文将从数学基础、概念定义、解析方法、应用等方面，探讨常系数线性微分方程的相关知识。
- 数学基础为了理解常系数线性微分方程的概念和解析方法，我们需要先了解一些数学基础知识。
微互分学中的微分方程是一类关于未知函数及其导数的方程，它是一个重要的数学工具，用来描述一些自然、社会现象等。
一般来说，微分方程可分为常系数和变系数两类。
常系数是指微分方程中参数系数是常数，变系数是指微分方程中参数系数是函数。
在常系数线性微分方程中，方程的系数都是常数。
- 概念定义在微分方程中，有一个重要的类别称为“线性”。
所谓线性，指的是未知函数及其导数只出现一次，并且系数可以是常数、函数或常数和函数的乘积。
若未知函数y(x)的n阶导数出现在方程中，且系数都是常数，则称其为“n阶常系数线性微分方程”，简称“n阶常微分方程”。
n阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$$其中，$a_1,a_2,...,a_n$均为常数，$f(x)$是已知函数。
- 解析方法n阶常微分方程的解法一般包括“常数变易”法、“齐次线性微分方程”法、“非齐次线性微分方程”法等。
其中，“齐次线性微分方程”法与“非齐次线性微分方程”法最为常用。
1. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程指的是非齐次线性微分方程中的$f(x)=0$。
在这种情况下，我们通常采用以下步骤来解方程：（1）找出$n$次齐次方程的通解$y_h(x)$；（2）设非齐次方程的特解为$y_p(x)$；（3）得出非齐次方程的通解$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。
2. 非齐次线性微分方程法非齐次线性微分方程指的是$f(x)≠0$。
常系数线性常微分方程
03 线性微分方程组的解法
矩阵表示法
矩阵表示法是一种将线性微分方程组 转换为矩阵形式的方法，通过矩阵运 算来求解微分方程组。
矩阵表示法可以简化计算过程，提高 求解效率，尤其适用于高阶线性微分 方程组。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性微分方程组解的重要性质，它们描述了微分方程 组的解的特性。
投资回报
在金融领域，常系数线性常微分方程可以用来描述投资回报率随时 间的变化，为投资者提供决策依据。
经济增长模型
通过建立常系数线性常微分方程，可以分析一个国家或地区的经济 增长趋势，预测未来的经济状况。
在生物中的应用
1 2 3
生态模型
常系数线性常微分方程在生态学中广泛应用于描 述种群数量的变化规律，如种群增长、竞争等。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 积分方程，从而求解。
详细描述
积分因子法是一种求解常系数线性常微分方 程的方法。通过寻找一个积分因子，可以将 微分方程转化为积分方程，然后通过求解积 分方程得到原微分方程的解。这种方法在求 解某些特定类型的微分方程时非常有效，例 如通过寻找适当的积分因子可以将一阶线性
热传导问题
在热传导过程中，常系数线性常 微分方程可以用来描述温度随时 间的变化，从而分析热量传递的 规律。
波动方程
在声学和电磁学中，常系数线性 常微分方程可以用来描述波动现 象，如声波和电磁波的传播。
在经济中的应用
供需模型
常系数线性常微分方程可以用来描述市场的供需关系，分析价格 随时间的变化，预测市场趋势。
02
线性微分方程组的解还具有唯 一性和存在性，即对于给定的 初始条件和边界条件，存在唯 一的解。
微分方程中的线性方程与常系数方程
微分方程中的线性方程与常系数方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程可以分为线性方程和非线性方程。
本文将重点讨论微分方程中的线性方程与常系数方程。
一、线性方程线性微分方程是指满足线性叠加原理的微分方程。
线性叠加原理即线性微分方程的解的线性组合也是其解。
一般形式的一阶线性微分方程可以写作：y' + P(x)y = Q(x)其中P(x)和Q(x)是已知的函数，y是未知函数。
该方程可以用线性代数的方法求解，不再赘述。
对于高阶线性微分方程，一般形式可以表示为：yⁿ + a₁(x)yⁿ⁻¹ + a₂(x)yⁿ⁻² + ... + aₙ₋₁(x)y' + aₙ(x)y = Q(x)这里yⁿ表示y的n次导数，a₁(x)到aₙ(x)为已知函数，Q(x)为右端函数。
高阶线性微分方程的求解涉及到特征方程、齐次解和非齐次解等概念，需要借助一些数学方法。
二、常系数方程常系数方程是指方程中的系数是常数。
常系数线性微分方程是微分方程中最基础也是最常见的一类，常见的常系数方程有以下几种：1. 一阶常系数线性微分方程：y' + ay = b其中a和b均为常数。
该方程的解可以通过分离变量、求指数、利用一阶线性微分方程的通解公式等方法求解。
2. 二阶常系数齐次线性微分方程：y'' + by' + cy = 0其中b和c是常数。
该方程的解可以通过特征方程的求解，求出对应的特征根后，利用特征根的性质和初值条件求解出具体的解。
3. 二阶常系数非齐次线性微分方程：y'' + by' + cy = f(x)其中f(x)为已知函数。
该方程的解可以分为齐次解和非齐次解两部分。
齐次解可以通过特征方程的求解得到，而非齐次解可以通过待定系数法、常数变易法等方法求解。
类似地，对于高阶常系数线性微分方程，解的求解方法也可以通过特征方程和初值条件来确定。
常系数线性微分方程的一种解法
常系数线性微分方程的一种解法
1 什么是常系数线性微分方程
常系数线性微分方程（Linear Differential Equations with Constant Coefficients，简称CDC）是一组具有一个恒定系数的线性
微分方程的集合，常见的方程包括以x'、x''等做函数的一阶和二阶常
微分方程。
它们是复杂的非线性微分方程的十分常见的一种特殊情形。
2 解常系数线性微分方程
解常系数线性微分方程的方法有很多，但是最流行的方法是
Fourier-Laplace转换方法（FLT），又被称为伯努利解法（Berno’s Method）。
该方法既简单又有效，使用Fourier-Laplace转换来计算CDC。
3 FLT的解法
该解法的基本原理是将线性常系数微分方程用原函数（response）和导数函数（derivatives of the response）的相关谱的形式表达，
再通过上述相关谱的Fourier-Laplace变换表，求解相应函数的解。
4 步骤
该方法的计算步骤主要有：
（1）以常数系数n次方的微分方程的原函数为基础，构造以洛必
达函数、初值条件和边界条件为准则的相关谱；
（2）计算对应导数函数；
（3）使用Laplace变换关系，经过规范化，求出响应函数的分析表达式；
（4）应用Fourier变换关系，最终求解原微分方程的解。
5 特点
Fourier-Laplace解法的最大特点在于解决常系数线性微分方程精度高，而且结果是准确易懂的；另外，该方法对初值条件和边界条件容易处理，也可以用于求解高阶线性微分方程。
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的简介
常系数线性微分方程是微分方程的一种形式，其特点是方程中的未知函数和其导数都是一次的，且系 数是常数。
这种类型的微分方程在解决实际问题中非常有用，因为它们能够描述许多自然现象和系统的动态行为 。
解法的历史背景和发展
早期解法
在17世纪，数学家开始研究常系数线性微分方程的解法，如牛顿 和莱布尼茨等。
经济学问题
根据经济学原理和经济数据，建立微分方程 描述经济系统的变化趋势。
几何问题
通过几何图形和空间关系，建立微分方程描 述物体的运动轨迹。
生物学问题
根据生物学原理和实验数据，建立微分方程 描述生物种群的增长规律。
常系数线性微分方程的一般形式
y'' + p*y' + q*y = f(x)
其中，y''表示y的二阶导数，p和q是常数，f(x)是x的函数。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更容易求解的形式。
详细描述
首先，选择一个新的变量代换，将微分方程 中的未知函数表示为这个新变量的函数。然 后，将这个新变量的函数代入微分方程，得 到一个更容易求解的方程。最后，对方程进 行求解，得到未知函数的通解。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 一个更简单的方程，从而求解。
数值解法
对于难以解析求解的方程，可以采 用数值方法进行近似求解，如欧拉
法、龙格-库塔法等。
A
B
C
D
人工智能算法
结合人工智能技术，如神经网络、遗传算 法等，可以提供新的求解思路和方法。
自适应算法
根据问题的具体情况，采用自适应算法可 以更好地控制求解精度和计算量。
常系数线性常微分方程
例5. 解方 d d4 xw 4程 4w0(0).
解: 特征方程: r4 4 (r22)2 22 r20
即 ( r 2 2 r 2 )r 2 ( 2 r 2 ) 0
其根为
r1,2
解: 本题 0, 而特征方程为 r22r30,
0不是特征方程的根 .
设所求特解为 y*b0xb1,代入方程 :
3 b 0 x 3 b 1 2 b 0 3 x 1
比较系数, 得
2b 30 b03b 311
b0
1,
b1
1 3
于是所求特解为 y*x1. 3
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f(x ) P m (x )e ( i )x P m(x)e(i)x
第二步 求出如下两个方程的特解
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x
ypyqyP m(x)e(i)x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解
(以上Ci, Di均为任意常 ) 数
例1. 求y 方 2 y 程 3 y 0 的通解.
解: 特征方程 r22r30,特征根: r1 1,r23,
因此原方程的通解为 yC 1e xC 2e3x
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
例2. 求y 方 5 y 程 6 y xe 2 x 的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r25r60,其根为
r12, r23
对应齐次方程的通解为 YC 1e2xC 2e3x 设非齐次方程特解为 y*x(b 0xb 1)e2x
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法在微积分学中，常系数线性微分方程是一类重要的微分方程，其形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0\]其中，\(y^{(n)}\) 表示 \(y\) 的 \(n\) 阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) 是常数系数。
解常系数线性微分方程有多种方法，下面将介绍其中两种常见的解法：特征根法和常数变易法。
一、特征根法特征根法是解常系数线性微分方程的一种常用方法。
它的基本思想是假设解具有指数形式：\[y = e^{rx}\]其中，\(r\) 是待定的常数。
代入微分方程得：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_1re^{rx} +a_0e^{rx} = 0\]化简后得：\[e^{rx}(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0) = 0\]由指数函数的性质可知，对于任意 \(x\)，\(e^{rx} \neq 0\)，因此上式成立等价于：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0 = 0\]这个方程被称为特征方程。
解特征方程，求得所有的根 \(r_1, r_2, \ldots, r_n\)。
根据根的个数和重数，我们可以得到不同类型的解：1. 根为实数如果根 \(r\) 是实数，那么相应的解为：\[y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots + C_ne^{r_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \ldots, C_n\) 是待定常数。
2. 根为复数如果根 \(r\) 是复数，那么相应的解为：\[y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))\]其中，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是复数的实部和虚部，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是待定常数。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微积分学中的重要内容之一。
在这篇文章中，我们将探讨常系数线性微分方程的定义、解析解的求法以及应用领域。
一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程可以写成形如：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=f(x)\]其中，\(y^{(n)}\)表示y对x的n阶导数，\(a_n, a_{n-1}, ..., a_1,a_0\)为常数，f(x)为已知函数。
二、解析解的求法对于形如上述的常系数线性微分方程，我们可以借助特征根法求解。
具体步骤如下：1. 首先，我们将微分方程中的导数表示转化为特征方程的根表示。
设解为\(y=e^{rx}\)，则微分方程可以表示为\(a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0\)的特征根问题。
2. 解特征根问题，求得方程的特征根。
这一步需要借助代数方法或者传统解法（如求解一元高次方程），将特征方程的根求得。
3. 根据特征根的实部、虚部的不同情况，可以推导出不同的解的形式。
当特征根是实数时，解的形式可以表示为\(y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+...+c_ne^{r_nx}\)，其中\(c_1, c_2, ..., c_n\)为常数；当特征根是共轭复数对时，解的形式可以表示为\(y=e^{px}(c_1\cos qx + c_2\sin qx)\)，其中\(p\)为实部，\(q\)为虚部，\(c_1, c_2\)为常数。
4. 根据已知条件，可以确定具体的常数值，从而得到微分方程的解析解。
三、应用领域常系数线性微分方程广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
以下是一些常见应用的例子：1. 机械振动：通过建立质点在弹簧系统中的运动方程，可以使用常系数线性微分方程描述机械振动的行为。
2. 电路分析：电路中的电流和电势满足欧姆定律和基尔霍夫定律，可以通过常系数线性微分方程建立电路的运行模型。
线性常微分方程
线性常微分方程线性常微分方程是微积分学中的一个重要概念，也是应用数学中频繁出现的一类数学方程。
本文将介绍线性常微分方程的定义、特点、求解方法以及实际应用。
一、定义线性常微分方程是指形如下式的方程：\[\frac{{d^n y}}{{dx^n}} + a_1\frac{{d^{n-1} y}}{{dx^{n-1}}} + \ldots + a_n y = f(x)\]其中，\(\frac{{d^n y}}{{dx^n}}\) 表示对 y 进行 n 次求导，\(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 是常数，\(f(x)\) 是关于 x 的已知函数。
二、特点线性常微分方程具有以下特点：1. 线性性质：方程中的 y 及其导数只以一次或多次的线性组合形式出现，方程是线性的。
2. 常系数：方程中的系数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 是常数，不依赖于x。
3. 常微分方程：方程中的未知函数是关于自变量 x 的函数的导数。
三、求解方法对于线性常微分方程，常用的求解方法有两种：常数变易法和指数函数法。
1. 常数变易法常数变易法是通过猜测特解的形式，并将其代入原方程，得出特解的方法。
常见的特解形式有常数、多项式、幂函数、指数函数和三角函数等。
将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
2. 指数函数法对于形如 \(ay'' + by' + cy = 0\) 的齐次线性常微分方程，可以猜测其解具有指数函数形式 \(y = e^{rx}\)，将其代入方程，通过解特征方程\(ar^2 + br + c = 0\) 求得 r 的值，进而得到齐次方程的通解。
对于一般的线性常微分方程，可以通过常数变易法将其化为齐次形式，再利用指数函数法求解。
四、实际应用线性常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用。
以RC电路为例，假设电路中的电流满足以下微分方程：\[\frac{{dV_c}}{{dt}} + \frac{1}{{RC}}V_c = \frac{1}{{RC}}V_s\]其中，\(V_c\) 表示电容器上的电压，\(V_s\) 表示电源电压，R 和 C 分别表示电阻和电容器的参数。
常系数线性微分方程(组)
常系数线性微分方程(组)1.什么是常系数线性微分方程(组)常系数线性微分方程(组)是一类用来描述变量之间关系的数学方程(组)。
这类方程(组)可以用来求解变量随时间变化的规律。
常系数线性微分方程(组)的形式如下：对于一元方程：a1y' + a2y = b对于二元方程组：a1x' + a2y' = b1a3x' + a4y' = b2其中，a1、a2、a3、a4是常数，y'和x'分别表示y和x关于时间的导数。
2.常系数线性微分方程(组)应用常系数线性微分方程(组)在实际生活中有许多应用。
下面是几个具体的例子：在物理学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述物体运动的轨迹。
例如，对于一个物体在地面上匀加速直线运动的情况，我们可以用如下方程来描述：s = v0t + 0.5a*t^2其中，s是物体位移，v0是初始速度，a是加速度，t是时间。
在经济学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述经济变量之间的关系。
例如，对于一个国家的人口数量随时间变化的情况，我们可以用如下方程来描述：P' = rP - aP^2其中，P是人口数量，P'是人口数量关于时间的导数，r是人口增长率，a是人口密度。
在生物学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述生物群体数量随时间变化的情况。
例如，对于一种动物的数量随时间变化的情况，我们可以用如下方程来描述：N' = rN - dN其中，N是动物数量，N'是动物数量关于时间的导数，r是动物生长率，d是动物死亡率。
在自动控制工程中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述系统的动态行为。
例如，对于一个机器人的运动控制系统，我们可以用如下方程来描述：x'' + kx' + cx = u其中，x是机器人的位置，x''是机器人位置关于时间的二次导数，k是阻尼系数，c是弹性系数，u是控制输入。
大学微分方程中的常系数线性微分方程
大学微分方程中的常系数线性微分方程在大学微分方程课程中，常系数线性微分方程是一种非常重要的类型。
它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍常系数线性微分方程的定义、性质和解法，并通过一些例子来说明其应用。
一、常系数线性微分方程的定义和性质常系数线性微分方程是指形如下式的微分方程：\[a_ny^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1y'(x) + a_0y(x) = f(x) \]其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为常数，$y^{(n)}(x), y^{(n-1)}(x), \cdots, y'(x), y(x)$为待求函数$y$的各阶导数，$f(x)$为已知函数。
常系数线性微分方程有以下几个重要性质：1. 齐次性质：如果$f(x)=0$，即方程右端为零函数，那么称该方程为齐次常系数线性微分方程；2. 非齐次性质：如果$f(x)\neq0$，即方程右端不为零函数，那么称该方程为非齐次常系数线性微分方程；3. 线性性质：常系数线性微分方程是线性方程，即方程中的未知函数$y(x)$及其各阶导数的线性组合；4. 一阶方程：当$n=1$时，方程称为一阶常系数线性微分方程；5. 高阶方程：当$n>1$时，方程称为高阶常系数线性微分方程。
二、一阶常系数线性微分方程的解法对于一阶常系数线性微分方程$ay'(x)+by(x)=f(x)$，其中$a$和$b$为常数，我们可以使用以下步骤来求解：1. 首先求齐次方程的通解：假设$y(x)$是方程$ay'(x)+by(x)=0$的解，我们可以使用分离变量法或者特征方程法求解齐次方程；2. 然后求非齐次方程的一个特解：根据$f(x)$的形式和齐次方程的通解形式，选择一个特解形式，并代入方程求解；3. 最后得到非齐次方程的通解：将齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解相加，即可得到非齐次方程的通解。
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常系数线性常微分方程第六章常系高数线性微分阶方程一.常系线性数齐微次分程方二 .常数系性线齐次非微分程方第六章系数常齐次性微分线方基程思本路:求解常系数线齐性微分次程方转化求特方程征代数方程)之(二根常阶数齐次系性微分方程:线①和的它导数差只常数因,子所以令①的解为y e r x( r 为定待数常) ,代入得①(r 2pr q e) xr 0 r 2p rq 01当 p.2 4 q 0, 时有②两个异相实根程有两方线性个无关的解:特1rx r2x y Ce C e 因此程的通方为解 12称②为微分②方程①的征方特,程其根称为征特.根则微分2p q 04时, 特方程征有个两相实等 2. 当根则分方微程有个一解特设一特另解代方入得:程( (ux) 待定2)er1x[ (u 2r1 u r1u ) (u p r1 )u q uu 2 r(1 p ) u ( r1 p r1 q) u是0特方程征重的根u20取 u = x ,则得2y x re 1 ,x因此方原程通解的y为 (C1 C 2 ) exr1x3.当 p 2 4 q0 时, 特征方程有对一轭复共根这时方程原有个两复数解 :y1 (e i ) x e x (cos x isn i x) 2 y( e i)exx(cosx sii nx )用解的利加叠原理得,原方程线性的无特解:1关 1y 2( y 1 y2 ) xeco s 1 y2 x2 i ( y 1 y2 ) e x isn x此因方程的通解原为y e x C1( ocs x 2C is n x)结:小y p y qy 0(p, q为常数特)方征: 程 2 p r rq 0,征根特根实通解r1xy C e1C2 e2 xry (1C 2 x ) Cerx1y e x C(1co s x C2 s ni x以)上结论推广到可高阶系数线常微分方程性.y(n) a1 ( n y) 1 an 1 y an y 0 ( ak 均为数)常特征方:程 r na1r n 1an 1 r a n 若0征特程方含重实k r , 则根其解中必通对含应项特征方程含 k若重根对应复项则其通解必中含1例求.方程 y 2 y 3 y 0 的通.解:解特征方程 r 2 r 3 0 ,征根特:r1 1, r 2 3,因此2原方的程通解为例2.求解值初问题dds s 2 s 02dt t dd s s t2 0 4 , d t t2解:特征程方r 2 2r 1 0 有重根r1 2 r 1 ,因原方程此通的解为 sC(1 2 Ct ) e t1C 4 ,2C 2 于所是求值问初题解为利的用始条件得初例.3的通.解3 42r 2r 5 r 0, 征特:根 : 特征解方程r 1r 2 0,r34 , 1 2i此因方程通原为y 解 C 1 2Cx e ( 3 cosC2 Cx sin 2 4 )x例4 .方程解 y(5 ) y( 4) 0.解: 特方征:程 r 5 r 4 0 ,征根特 :r1r 23r r4 ,0 5 r 1 原方通程: y解 C1 2Cx C3 x 2 C 4 x3 C e5x(不看难,出方原有特程解1, x ,x2 , 3 , x xe)4dw 例45.解程方 w ( 0 0 . ) d4 解: 特x征程:方( r 2 2) 2 2 2r 2 0即( r 22 r 2 )( 2 r 2 r 2 ) 01r, 2x其根为方通解 :程2(1 i, r3), 421i(w)e(C1 ocsx 2 C2 s in2x)2ex(C3 cos2xC sin42x)6例. 解方程 ( y4) 2 y y 0 . 解: 特方征: r程4 r22 0 1即特征根为方程则通 :解( r2 1 2 ) 0容内小y结 py q y 0( p, q常为数) 征根: r特1 , r 2 (1 当)r1 r 2 ,时解为 y通 C 1er1 xC 2 e2rx( 2 )当 r1 r2 ,时通解 y 为C 1( C 2 x )e() 当 r31 2 , i 时, 通解为r1xy e xC( 1 oc s x C 2 is n x)推广到可阶常高系线性数次齐方求通解程思考.练习与方程求案答:a :的通0 解通解为 y. 1C C x2axa0 通解为: y C 1cs a xo C2s n i xa0 : 通a解为y C1e C2 exa思考题特解的为 4 常阶数线性齐系微次分程方,求并通解其.解根据:定给的解特知特征方有根程: 因此特征方程 (为r 1 2) (r 2 4) 0即4r 2 r3 5r2 r840故所方求程为通其为解第章六系常非数次线性微齐分方一、程 (f )x e x Pm ( x )型二、 f(x )e x [Pl ()xco s x ~ Pn ( x )sin ]x型二阶常系线性数齐非次微方分程:yp y q y f( x )( ,p q常数)根据解为的构定理结, 其通为解①Y y*齐次y程方解通非次方程齐解特求特的方法解—待定系数法据根f ()x的殊特式 , 形的定形待,式代原入方程较比两端达式表以确待定系定数.、f一 () e x xm P(x )型为实数 , Pm ( )x为 m 次多项式. 特解设为* y e x (Q x ) ,中 Q 其( x) 为待多项式定 ,y* x e [ (Qx) Q( x )]y * e x [ 2 Q ()x 2Q( )x Q( x ])代入原程方, (1) 得若不是征特程的根方 ,则取2 x ( 2 p) Q ( x ) ( p q ) ( xQ) ] [eQ x( ) Qx()为 m 待定次系数项多从式得而到解特x x eP ( )x形式为y *e m ( Q)x. m(Q )x (2 p q) Q (x) P m( )x(2)若是征方特的单程 , 即为根m 次多项, 故特解式式形为()3若特是征程的方重根即,2p 0 ,2x是次m多项式, 特故解形式为 y* x Qm x( e)则 Q ( x)结小对方程①,当是征特程的方重根 k,时可特设解 * yx k Q (m )x e x(k 0, ,1 )2此结可推论到高阶广常数系线性分微方程 .例1. :解本题0 , 而特方征程为一个特解的.0是不征特方的根程.所设求特为解比较系数, 得代入方 :程1 b 0 1, b1 3是所求特于解例2为 .的解.通 : 本题解 2 特征,方为程 r2 r 5 6 0 其,为对根应齐次方程的解为通设非齐方次程特解为y* ( bx0 x b1) e 2x1 0 b , 1b 12代入方程得 2b 0x b1 2 b x0 比较数系,得2 因x特解为 y此* x ( 1 x 1) . 2e所通求解为1( 2x 2 x) e2 x.yy 3 y2 1例3 .解求解问定题 y0() y () 0y ()0 0:解本题 0 , 特征方为程根为其对应齐故次方程通为 Y 解 C 1 C e2 x C e3 x2 非设次方程特解齐为原方程通解为y C 1 C2e x 3e C 2x代方入程得由初故始条得件C2 2C3 12解得C1 34 C2 1C 1 34于所是求为解3 x1 2 x 1y e e x4 24二、f ( x) e分析思:路x~ lP (x) co s x Pn ( x) ins x 型第步将一f x) 转化为f (( x ) P m( x)e(i ) xmP( x) e(i ) x第二步求如出下两个程的方特解y p y q y P (mx ) e ( i)xyp y yq P ( xm) e ( i )x第三步用利加原叠理求出原程方特的第解四步分析方原程解的特点特一第步利用欧拉公将 f (式) 变形xi x i i xx i x e e ee ~ x P(x ) n (Px ) f(x )e l i2 2 ~Pl x)(P n( x) ( i ) x e2 i 2 ~ P l(x )P n(x ) (i )x e 2i 令2m axm ,n l, 则f( x) P m( x e) (i ) x Pm (x) e (i )xmP( x e () i ) x Pm ( x )e ( i ) x第二步如下求两程的特解方(i ) x y p y q y P m( x) e②y p y q Pym( ) ex( i )x解特:③设i 特征是方的 k 重程根( = k0 1,) 则② 有,xQm ( )x ek( i x)(mQ x) 为m(次多项式) (y )1p ( y1 ) q y1 P (mx )e (i ) x 等式两边取轭 : 共 1 y p y 1 qy 1P m x()e ( i )为x程方这明说1y③ 特的解.第三求原步方的程特解原程方~ x y p y yq e P l( x) co s x P n( x)si nx利用二第的结果,步据叠根原加理原方,有特解 :程y* 1y 1Qm (yoc s x isin x)~ x k e x Rm co xs R sinm x~ 中其 mR , R 均为m m次多项式 .m Q Qm e e x e xk Qm(c os ixs ni xk xei x i x第步四析分 y特的点y y1 y 1 kxxe因~R cms o x Rm isnx y 1 y1 y 1 y 1 y*y1y y1~本质为实上数函, 所 y 因以此 Rm, m R均为 m 次多实项 .式小结对非齐方次 ~程y py q y e x P l x) (oc xs P ( xn s)i n x(p,q 为常)数i为特方程的征k 重 (根 k 0, 1)= 则可设,解特:y * xe其上中述论结可也推到广高阶方程情的.形kx~R mosc x R msi n x例4.的个特一解 . ~解:本题 0, ,2 lP (x )x, n (P )x 0 ,特方征程2 r1 0 不是征特程的根方 ,故特设为代入方解得程( 3 ax 3 4bc ) ocs2 x ( 3c 3xd 4 a) ins 2x x cos 2 x3 a 1 14 3 b 4 c 0 a 3 , d 9比系较数, 得 c3 0 c b0 d 3 4a 0于是得一个求解特例5解: .特方征为程 2r 9 0 ,其为根的通.解对应齐方程次通解为为的征特程方的根 , 因单设非齐此次程方解特为代入方:程 b cos63 xa 6si n3 x比较数, 系因此得解特为 y *x ( cos 35 3 sxni3 x )所求通为解x ( 5 cso3x sin 33x)例. 6设下高阶列常系数性非线齐方程次的特形解:式(2)y ( 4) xy e x 3s nix 解:( 1)特征方有二重根程所以非设次齐程方特解 (2为特征方程) 用利加叠理原可,设齐次非程特解方为有根x d (co xs ksin x)考与思习1练 .(填空 )设时设特可为解* y x ( xa ) boc x s (cx )dsinx可时设特为解y*( ax )bc o 2s x(c x d ) sin2 x k e 2提x示~ : [mR ( )xcos x Rm (x) ins x]x 通解 (的中其 y 4y 4y 2. e求微分方程为实数 ) .解特征:方程 r 4 2 r 40 , 征特:根r 1 r 2 2 对齐次方程通应:解时,2令 y Ae x , 代原入程得方故A方原通解为程12)(2,2 , 令时y B 2 e xx 代入原,程方得B 1 2故,原程通方为解x 有特 y 解 a yb y c e . 已知二阶常3微分方 y程 e x1 ( x e x2 ), 求微分方程的通 .解:解将特代入解方程得等恒式(1 a ) eb比较数得系故方原为程x (2) e a(1 b) a e x c exxx1a b0 2 a c1 ab 0a 0b 1 c2y e xx exx xY C e C e 对应齐次方通解: 1 程2方原程解通为 y 1Ce x 2Ce x x ex例题. 质量1m的物体自由为悬挂一端固在的弹定簧,上重力与弹当性抵消时, 物力处于体衡平状态 ,若手向下用物体拉它使离开衡位置后平开放 ,物在弹性力与体阻作用下力作往复动运,阻力的大小运动速与度成正,比方相向.反建位立满足的移分方程.微解: 取平时物体衡位置为坐标的原,点建立标坐系图如设时. t刻位物移为 xt() (.1 )自由动情振. 况体物所的力受:有o xx弹性恢复力(虎克定律)阻力据牛第二顿律定得令c n2 k ,, 则得有尼阻由自动方程: m振m 2 d xxd2 2n k x 20tddt ( 2) 强振迫动情.况物体在若动运过中程还受铅直外力则得强迫H振方动: 程 F Hin sp t作，令用 h， m 2d xd 2x 2 n k x hs n pit2 d t dt2例. 2量为m的物体自质悬挂在由一端固的定弹簧, 在无上外作力用下做由自运动取,平衡位其置原点为建坐立标系如,图设 t= 0时物体位置为的求体物运的动规律初始: 解例1 由,知位移满自足由振方程 ,动此定因解题为问d2 xdx2 n2 kx 02 dtdt x t 00x ,d t x 0 v0 tdA)1 阻尼自由振无动情 (况 = 0n )2 d x2 方:程 k x0v0 2d t k特方征:程r2 k 2 0 , 特根: r1征 ,2 ik方程通解 :x C 1cos kt 2C insk t 0 利v初用始条件: 得C1 0x , 2C k 故求所特: 解0 xv 0 xoc k ts is nkt k0x2vk 0 2x A x00 2 ,tan 0 kv解特的: 征简谐动振A 振幅,:初:相,期:周固有频率仅由(系特统性定)确下图中假设xtdx x0 ,0dtt 0v0 02) 有尼自阻振由动情况2 dxd x 2程:方 kx 02 2n d dt 特征方程t r: 2 2 n r k2 0征根特:r1 , 2 nn 2 k 2这时需如下分三种况进行讨论情:小阻尼: n的特解征大阻尼: > n 临k界尼:阻n =解k特的征的解特征例.3 1例若设中体物只受性恢复力弹 f和直干扰铅力 F H is pt n的作,用求物的运动体规.律解:题问归为求结解无尼阻迫强动振程 d方2 x2 k x h si pn t ④2 t • dp ≠当k 时齐次,通:解C1Xs ink C2 ctosk t Aisn( tk )齐次特非解形式:x a s ni p t b co ps th, 0b 代④入得可: a 2 k p2因此原方④之程解为oxxshi np xt A is ( nkt ) 22k p自由动振强迫动振h很将大! 当干扰力角的频率≈固有p频率 k 时, 振幅 2 2 kp• p =当 k时 ,齐非次解形特式:x t(a isnk t bco sk t )h 代④可入: a 得 , b 0 2 h ktco sk t方程④解为的 x As in ( k t ) 2khx Asni ( k t ) t os c t 2kk自由振动强振迫动可限无大增,随着 t 的增 ,大强迫振的动振幅这时生共振现象 .产若避要共免振象现, 应使p 远离固频率有k 若要利用;共现象, 应振使 p与 k 尽量靠近或使,p = k.oxx机械来说, 共对可能引振起破坏用作 ,如桥被梁坏,电破机座机破坏被,等但对电振磁来说荡 ,共可振起能有利用, 作收音如机调频的放大是即用利共振原.理例.4 设有一电个 R阻 ,感自L,电容 C和源电 E 串联组成电路的 ,中其R, L ,C 为常数,求电容两两极器板间压电cu 所满足的分微方程 R. 示: 提设路电电中流 i(t)为 ,板极上的量电 q为(t) 自感电动势为, EL , 由电学知‖q K qLCi ~ E∼据根回路电压定律 :在合回闭路, 中有支所上的电压降为路0i d qE L R i 0d tCduC 2 udC R LC C uC Em sin t 2 t dt d R R 令1, 0 2 LC LL C 联电串路的振荡程:d方u Cd uC E m2 20 Cu si n 2t d tL dCt如电果容充电后撤去器源(电E = )0, 则得2为关化于 c u方的:程故有iE~q‖ q K2d uCd C u 220 uC 0 d2t dt。