解析几何11

任何一条与 y轴平行的直线与 G至多有一个公共点 .
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§1. 函数的概念
（6）函数的相等与不等 函数的相等与不等
函数 f和 g 相等 ⇔ (i )它们有相同的定义域 X ; (ii ) 对 ∀ x ∈ X , 均有 f ( x ) = g ( x ).
函数 f和 g 不等 ⇔ 或者它们的定义域不同 一个 x ∈ X , s.t f ( x ) ≠ g ( x ).
(映射 ).
反之 , 一个 y ∈ Y 可能对应多个 x ∈ X ， 也可能没有原象
y = sin x , X = Y = ( −∞ , +∞ ), f ( X ) = [ − 1,1] 而函数值 f ( x )是一个数值 .
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§1. 函数的概念
(2) 给定一个函数一定要指出其定义域.
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§1. 函数的概念
例7. 取最值函数
y = max{ f ( x ), g ( x )}
y
f ( x)
g( x )
y = min{ f ( x ), g ( x )}
y
f ( x)
g( x )
o
x
o
x
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§1. 函数的概念
y
（5）函数的图象 函数的图象
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§1. 函数的概念
2.实数: 有理数和无理数 2.实数: 有理数和无理数. 实数
p 有理数: 凡能表为 q (q > 0, p, q为互质的整数)形式的数. 有理数: 即 整数和分数. − − − Q
无理数: 无限不循环小数. 无理数:
2 , π , e. − − − Q
− 1 + x 2 , x < 0 例2. 分段函数y = f ( x) = 0, x=0 1 + x 2 , x > 0
f ( − 1) = 0 , f ( 0 ) = 0 , f (1) = 2
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§1. 函数的概念
例3. “y 是x的最大整数 的最大整数 部分” 部分”确定了一个函数 y=[x], x ∈ R 称为取整函数. 称为取整函数
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§1. 函数的概念 一、基本概念
1.常量与变量: 1.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量（常数） 在某过程中数值保持不变的量称为常量（常数）, 常量 而数值变化的量称为变量（变数）. 而数值变化的量称为变量（变数） 变量 常量与变量是相对“过程”而言的. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的 常量与变量的表示方法： 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
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τ 2
(τ,0) τ
t
§1. 函数的概念
例9
1 0≤ x≤1 , 求函数 f ( x + 3)的定义域 . 设f ( x ) = − 2 1 < x ≤ 2
解
1 0≤ x≤1 ∵ f ( x) = − 2 1 < x ≤ 2 1 0≤ x+3≤1 ∴ f ( x + 3) = − 2 1 < x + 3 ≤ 2
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
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− a ≤ x ≤ a;
x ≥ a 或 x ≤ − a;
§1. 函数的概念 二、函数概念
例
圆内接正多边形的周长
l3
l4
l5
l6
O
π n
l n = 2 nr sin
π
n
圆内接正n 圆内接正 边形
n = 3 ,4 ,5 , ⋯
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r
§1. 函数的概念
是两个变量, 给定的数集， 定义 设 x 和 y 是两个变量, X , Y 是给定的数集，
如果对于每个数 x∈ X , 按照确定的规律 f ，总有
唯一确定的数 y 和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 和它对应， 函数，
§1. 函数的概念
4.邻域: 4.邻域: 设a 与 ε 是两个实数 , 且 ε > 0 . 邻域
数集 { x x − a < ε }称为点 a 的 ε 邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , ε 叫做这邻域的半径 .
O (a, ε ) = {x a − ε < x < a + ε }.
ε
ε
a −ε
0
a
a +ε
-4 -3 -2 -1
y 4 3 2 1 o
注意 ， ∀x ∈ R , x = [ x ] + ( x ), 其中, [ x ]是一整数 , ( x )是一个非负小数 ,0 ≤ ( x ) < 1.
7 7 [ ] = 3, ( ) = 0.5 2 2 [−2.16] = −3, (−2.16) = 0.84
x
点a的去心的ε邻域
O (a, ε ) = {x 0 < x − a < ε }.
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§1. 函数的概念
a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
∀ a , b ∈ R , 且a < b.
{ x a < x < b} 称为开区间 记作 (a , b ) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o
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a
b
x
§1. 函数的概念
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
y = f (x)
因变量
数集X叫做这个函数的定义域 数集 叫做这个函数的定义域 叫做这个函数的 自变量
当x0 ∈ X时, 称f ( x0 )为函数在点 x0 处的函数值 .
函数值全体组成的数集 f ( X ) = { y y = f ( x ), x ∈ X } ⊆ Y称为函数的值域 .
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方程 x sin x + y − 1 = 0, 得 y = 1 − x sin x. Kepler方程 y − x − ε sin y = 0, 0 < ε < 1 为常数, 确定了一个隐函数 y = y (x).
凡能由方程 F ( x, y ) = 0确定的函数关系 , 称为隐函数 . 注 : 一个方程一般不一定就 是一个隐函数 .
§1. 函数的概念
数学分析
变量
对象 关系 中心 对象
变动观点
极限方法
工具 基础
数学分析
函数
极限论
微分学
积分学
级数论
（单变量和多变量） 单变量和多变量）
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Chapt 1. 函数的概念 §1. 变量与函数
§1. 函数的概念 §2. 复合函数和反函数 §3. 基本初等函数 §4. 习题课
x = sgn x ⋅ x
sgn x起了调整 x的符号的作用 .
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§1. 函数的概念
例5. 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y = D( x ) = 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
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§1. 函数的概念
函数有时可由方程确定. 例6. 函数有时可由方程确定 如
一一对应 有序实数对 ( x , y ) ← → 坐标平面上的点 .
Y
y
⋅( x, y)
x
o
平面点集 G = {( x , y ) y = f ( x ), x ∈ X } 称为 函数 y = f ( x )( x ∈ X )的图象 , 又称曲线 .
x
X
性质：平面点集 G能表示一个函数 y = f ( x ) ⇔
(3) 定义中 ， 对应规律 f是抽象的 ， 只有在具体函数 中才是具体的.
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§1. 函数的概念
(4) 函数表示法 : 是用于确定X → Y的单值对应规律的方法， 常见有公式法(解析法)、 列表法、 图象法等.
几个特殊的函数举例
例1. 常值函数y = f ( x) = C , x ∈ (a, b), C = const.
,
或者虽然定义域 X 相同 , 但至少存在
注：分清和“函数值的相等与不等”。
x sin x 例 : y = sin x 和 y = 不相等 . x 1 sin 2 x + cos 2 x y= 和 y= 相等 . x x
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§1. 函数的概念
例8
脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形 脉冲发生器产生一个单三角脉冲 其波形 如图所示,写出电压 写出电压U与时间 如图所示 写出电压 与时间 t ( t ≥ 0) 的函 数关系式. 数关系式 U τ τ ( , E) 解 ： 当 t ∈ [ 0, ] 时 , 2 E 2 E 2E (τ,0) τ U= t = t; t τ τ τ o 2 2τ 单三角脉冲信号的电压 当 t ∈ ( , τ ] 时, 2 E−0 2E U −0= (t − τ) ⋅ ( t − τ ), 即U = − τ τ −τ 2