第八章 粘性流体绕过物体的流动

⇒
1 p = − ( p xx + p yy + p zz ) 3
§8.1 不可压粘性流体的运动微分方程
四、不可压缩粘性流体的运动微分方程（N-S方程) 不可压缩粘性流体的运动微分方程（ 方程)
dv x ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx 1 ∂p +υ( 2 + 2 + 2 ) = fx − ρ ∂x ∂x ∂y ∂z dt dv ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y 1 ∂p y = fy − +υ( 2 + 2 + 2 ) ρ ∂y ∂x ∂y ∂z dt dv 1 ∂p ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz z = fz − +υ( 2 + 2 + 2 ) ρ ∂z ∂x ∂y ∂z dt
1 ∂p =0 ρr ∂θ
2
r2
h dh drsinθ h f
r1
z
fθ −
α
z
θ
dh
1 ∂p ∂ v 1 ∂v z fz − + υ ( 2z + )=0 ρr ∂z r ∂r ∂r
α
rdθ cosθ
dh
α
dz
z
§8.2 不可压粘性流体的层流运动
一、环形管道中流体的定常层流流动(续) 环形管道中流体的定常层流流动(
∂v y ∂x + ∂v x ) ∂y
⇒
同理
∂v y ∂v x + ) τ xy = τ yx = µ ( ∂x ∂y ∂v z ∂v y + ) τ yz = τ zy = µ ( ∂y ∂z ∂v ∂v τ zx = τ xz = µ ( x + z ) ∂z ∂x
粘性流体的运动微分方程(应力形式表示) 粘性流体的运动微分方程(应力形式表示)
dv x 1 ∂p xx 1 ∂τ yx ∂τ zx = fx + + ( + ) ρ ∂x ρ ∂y ∂z dt dv y 1 ∂p yy 1 ∂τ zy ∂τ yx = fy + + ( + ) ρ ∂y ρ ∂z ∂x dt dv 1 ∂p zz 1 ∂τ xz ∂τ yz z = fz + + ( + ) dt ρ ∂z ρ ∂x ∂y
h
质量力： 质量力：f r = − g cosα sin θ = − g
∂h ∂r 1 ∂h fθ = − g cos α cosθ = − g r ∂θ ∂h f z = g sin α = − g ∂z
h
α
r1 r2
代入运动方程： 代入运动方程：
∂ ( p + ρgh) = 0 ∂r
∂ ( p + ρgh) = 0 ∂θ
质量力： 质量力： f x = g sin α = − g
∂h ∂x
∂h ∂y
-dy -dh -dx h g o fx y
1 d dv z 1 d (r )= ( p + ρ gh ) r dr dr µ dz
vz =
1 d [ ( p + ρ gh )] r 2 + C 1 ln r + C 2 4 µ dz
1 d r12 − r22 C1 = − [ ( p + ρ gh )] 4 µ dz ln( r1 / r2 )
球坐标: 球坐标:
P254的式 的式（ 12） 见P254的式（8-12）
§8.2 不可压粘性流体的层流运动
一、环形管道中流体的定常层流流动
h
假设: 假设:
外径r1、内径r2 的环形管道很长 不可压缩粘性流 体作定常层流流动 采用圆柱坐标系 z轴与管轴重合
α
r1 r2
r2
h dh drsinθ h f
2 + τ xy dydz dx dx + (τ xy + dx)dydz =0 2 ∂x 2 ∂y ∂τ xy 2
τ yx +
dy
∂τ yx ∂y
M
dy
τ xy +
∂τ xy
∂x
dx
dx
τ yx
⇓
τ xy = τ yx
⇒
同理
τ xy = τ yx τ yz = τ zy τ zx = τ xz
内圆管匀速运动
r = r1 , v z = 0 r = r2 , v z = U
1 d r12 − r22 r U r 2 2 ( p + ρgh)[(r1 − r2 ) + ln ] − ln 轴向速度： 轴向速度： vz = − 4µ dz ln(r1 / r2 ) r1 ln(r1 / r2 ) r1
τ xy +
∂τ xy ∂y
dy
τ xz
pxx
τ zx
τ zy
τ zx +
∂τ zx dz ∂z
pzz
pxx + ∂p xx dx ∂x
τ xy
τ yx
τ yz
p yy
§8.1 不可压粘性流体的运动微分方程
二、切向应力
1、切向应力之间的关系 、
根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零。 根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零。 ∂τ yx dy dy τ xy − τ yx dxdz − (τ yx + dy )dxdz
§8.1 不可压粘性流体的运动微分方程
一、方程的推导
粘性流体微团受到的力: 粘性流体微团受到的力: 质量力 法向力 切向力
的微元平行六面体。 控制体的选取: 边长为dx， ， 的微元平行六面体 控制体的选取: 边长为 ，dy，dz的微元平行六面体。 p代表法向应力 代表法向应力
τ 代表切向应力
fx、fy、fz代表质量力
惯性力
ρ dxdydz
dv x dt
§8.1 不可压粘性流体的运动微分方程
x方向的运动微分方程 方向的运动微分方程 方向的
应用牛顿第 二定律： 二定律：
dv x ∂p = f x ρdxdydz − p xx dydz + ( p xx + xx dx) ∂x dt ∂τ yx ∂τ − τ yx dzdx + (τ yx + dy ) dzdx − τ zx dxdy + (τ zx + zx dz )dxdy ∂y ∂z
p xx
τ xy
τ xz
τ zx
fy
p zz
τ zy fz fx τ yz
τ yx
p yy
§8.1 不可压粘性流体的运动微分方程
x方向流体微团受到的力 方向流体微团受到的力
质量力 法向力 切向力
f x ρ dxdydz
pxx
τ xy +
∂τ xy ∂y dy
τ xz
τ zx
τ zy
τ zx +
∂τ zx dz ∂z
(r12 − r22 ) 2 π (r12 − r22 )U π d 4 4 2 ( p + ρgh)[(r1 − r2 ) + ] − πr2 U + 流量： 流量： qV = 2π ∫ v z rdr = − 8µ dz ln(r1 / r2 ) 2 ln(r1 / r2 ) r
r2
1
§8.2 不可压粘性流体的层流运动
r1
z
α
z
θ
dh
∂v z vr = vθ = 0， = 0 ∂θ
α
rdθ cosθ
dh
α
dz
z
§8.2 不可压粘性流体的层流运动
一、环形管道中流体的定常层流流动(续) 环形管道中流体的定常层流流动(
h
连续方程： 连续方程： 运动方程： 运动方程：
∂v z =0 ∂z
α
r1 r2
1 ∂p fr − =0 ρ ∂r
r2
dh drsinθ h f
r1
z
α
z
θ
dh
α
rdθ cosθ
1 ∂ ∂v z 1 ∂ − (r )= ( p + ρgh) r ∂r ∂r µ ∂z
dh
α
dz
z
§8.2 不可压粘性流体的层流运动
一、环形管道中流体的定常层流流动(续) 环形管道中流体的定常层流流动(
轴向速度： 轴向速度： 积分两次得， 积分两次得，
直角坐标: 直角坐标:
§8.1 不可压粘性流体的运动微分方程
四、不可压缩粘性流体的运动微分方程（N-S方程) 不可压缩粘性流体的运动微分方程（ 方程)
圆柱坐标: 圆柱坐标:
∂vr ∂v v + vr r + θ ∂r r ∂t ∂v ∂v v θ + vr θ + θ ∂r r ∂t ∂v ∂v v z + vr z + θ ∂r r ∂t
p zz
pxx + ∂p xx dx ∂x
− p xx dydz + ( p xx
∂ p xx + dx ) dydz ∂x
∂ τ yx ∂y dy ) dzdx
τ xy
τ yx
τ yz
− τ yx dzdx + (τ yx + − τ zx dxdy + (τ zx +
p yy
∂ τ zx dz ) dxdy ∂z
ρdxdydz
⇓
dv x 1 ∂p xx 1 ∂τ yx ∂τ zx = fx + + ( + ) dt ρ ∂x ρ ∂y ∂z
τ xz
pxx
τ xy +
∂τ xy ∂y
dy
τ zx
τ zy
τ zx +
∂τ zx dz ∂z
pzz
pxx + ∂p xx dx ∂x
τ xy
τ yx
τ yz
p yy
§8.1 不可压粘性流体的运动微分方程
连续方程： 连续方程： 运动方程： 运动方程：
∂ 2vx 1 ∂p fx − +υ 2 = 0 ρ ∂x ∂y
fy − 1 ∂p =0 ρ ∂y
o -dy -dh -dx h g fx
∂vx =0 ∂x
y
U
α
α
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
fy
x
§8.2 不可压粘性流体的层流运动
二、平行平板间流体的定常层流流动(续) 平行平板间流体的定常层流流动(
2 ∂vr vθ ∂vr 1 ∂p ∂ 2 vr 1 ∂vr vr 1 ∂ 2 vr 2 ∂vθ ∂ 2 vr − + vz = fr − +υ( 2 + − 2+ 2 − 2 + 2) 2 ∂θ r ∂z ρ ∂r r ∂r r ∂r r ∂θ r ∂θ ∂z
∂vθ vr vθ ∂vθ ∂ 2 vθ 1 ∂vθ vθ 1 ∂ 2 vθ 1 ∂p 2 ∂vθ ∂ 2 vθ + + vz = fθ − +υ( 2 + − + + + 2 ) ∂θ r ∂z r ∂r r 2 r 2 ∂θ 2 r 2 ∂θ ρr ∂θ ∂r ∂z ∂v z ∂v z ∂ 2 v z 1 ∂v z 1 ∂ 2 v z ∂ 2 v z 1 ∂p + vz = fz − +υ( 2 + + 2 + 2 ) 2 ∂θ ∂z r ∂r r ∂θ ρ ∂z ∂r ∂z
二、平行平板间流体的定常层流流动
假设: 假设:
平行平板很长
U
y
不可压缩粘性流 体作定常层流流动
h fx g o
-dy -dh -dx
α
α
b
采用直角坐标系 z轴水平
α
fy
x
∂ v y = v z = 0， = 0 ∂z
§8.2 不可压粘性流体的层流运动
二、平行平板间流体的定常层流流动(续) 平行平板间流体的定常层流流动(
《工程流体力学》 电子教案
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第八章 粘性流体绕过物体的流动
§8.1 §8.2 §8.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 §5.8 §5.9 不可压粘性流体的运动微分方程 不可压粘性流体的层流运动 边界层的基本概念 圆管中流体的层流流动 粘性流体的紊流流动 沿程损失的实验研究 非圆形管道沿程损失的计算 局部损失 综合应用举例
流量： 流量：
(r12 − r22 ) 2 π d 4 4 qV = 2π ∫ v z rdr = − ( p + ρgh)[(r1 − r2 ) + ] 8µ dz ln(r1 / r2 ) r
r2
1
§8.2 不可压粘性流体的层流运动
一、环形管道中流体的定常层流流动(续) 环形管道中流体的定常层流流动(
§8.1 不可压粘性流体的运动微分方程
三、法向应力
理想流体 粘性流体
p xx = p yy = p zz = − p
∂v p xx = − p + 2 µ x ∂x ∂v y p yy = − p + 2 µ ∂y ∂v p zz = − p + 2 µ z ∂z
§8.1 不可压粘性流体的运动微分方程
切向应力( 二、切向应力(续)
2、切向应力的表示 、
牛顿内摩擦定律
τ =µ
dv x dy
dv x dϕ dα dβ ∂v y ∂v x + = = + = dy dt dt dt ∂x ∂y
速度梯度等于角变形速度 代入得， 代入得，
τ xy = τ yx = µ (
1 d r12 − r22 2 C2 = − [ ( p + ρ gh )][ r1 − ln r1 ] 4 µ dz ln( r1 / r2 )
§8.2 不可压粘性流体的层流运动
一、环形管道中流体的定常层流流动(续) 环形管道中流体的定常层流流动(
轴向速度： 轴向速度：
r12 − r22 r 1 d vz = − ( p + ρgh)[(r12 − r22 ) + ln ] 4µ dz ln(r1 / r2 ) r1