第09章习题答案

魏 泳 涛 的偏角为0 ，且无初速地施放。不计杆的质量，求滑块 A 的位移，用偏角 表示。
解：
系统在水平方向上质心运动守恒。由于系统初始静止，因此系统质心位置始
终保持不变。
设初始位置时， A 位置 x0 ，初始角度0 在 t 时刻， A 位置 x ，角度
m1x0 m2 (x0 l sin0 ) m1x m2 (x l sin)
总动量：
l 2
(5m1

4m2
)l
，方向垂直于
OC
向上
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
9.4 图示水平面上一均质三棱柱 A ，在其斜面上又放一均质三棱柱 B 。两三棱柱 的横截面均为直角三角形。三棱柱 A 的质量 mA 为三棱柱 B 的质量 mB 的三倍，其
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9.9 图示一凸轮导板机构。半径为 r 的偏心圆轮 O 以匀角速度 绕轴 O 转动，偏 心距 OO e ，导板 AB 重 FW 。当导板在最低位置时，弹簧的压缩量为 。要使
(3). 系统由质量为 m1 的滑块 A 和质量 m2 的均质杆 AB 构成，如图所示，滑块沿 水平速度 v 向右移动，杆 AB 长为 l ，角速度为 。 (4). 质量为 m1 的平板放在质量均为 m2 的两个均质轮上，平板的速度为 v ，在各 接触处没有相对滑动。
解：
(1). 1 ml 2
(2). me
f a 0.17 g
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9.6 椭圆摆由一滑块 A 与小球 B 所构成。滑块的质量为 m1 ，可沿光滑水平面滑动。 小球的质量为 m2 ，用长为 l 的杆 AB 与滑块相连。在运动的初瞬时，杆与铅垂线
9.11 图示机构中，鼓轮 A 的质量为 m1 。轮轴 O 为其质心。重物 B 的质量为 m2 ，
重物 C 的质量为 m3 。斜面光滑，倾角为 。已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB 物的加速度为 a ，求轴承 O 处
魏 的约束反力。
泳
涛
解：
B 受力图
C 受力图
轮轴 O 受力图
研究 B ，受力图如上。
T2 m2 (g a) 研究 C ，其加速度为 Ra ，受力图如上
详见下一章关于动量矩定理的叙述。
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9.12 图示传送带的运煤量恒为 20 kg s ，胶带速度为1.5 m s 。求胶带对煤块作用 的水平总推力。
9.13 求习题 9.4 中三棱柱 A 运动的加速度及地面的支持力。
魏泳涛
解：
系统在水平方向上动量守恒，设 B 沿斜面下滑的相对速度为 vr ，则有
mB (vr cos vA) mAvA 所以
vA

mBvr cos mA mB
两边同时求导，得
aA

mBar cos mA mB
(1)
9.5 汽车以 36 km h 的速度在平直道上行驶。设车轮在制动后立即停止转动。问 车轮对地面的摩擦系数 f 应为多大方能使汽车在制动后 6 s 停止。 解：
设制动后汽车所受摩擦力恒定，则加速度大小为 fg ，与速度方向相反。
v 10 m s
a v 10 m s2 t 6
fg a 即：
因此系统总动量为：
5 2
ml1
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9.3 图示椭圆规尺 AB 的质量为 2m1 ，曲柄 OC 的质量为 m1 ，而滑块 A 和 B 的质 量均为 m2 。已知 OC AC CB l ，曲柄和尺的质心分别在其中点上。曲柄绕 O
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9.1 计算图示系统的动量 (1). 长为 l ，质量为 m 的均质杆，在铅垂面内绕 O 轴以角速度为 转动。
魏 泳 涛 (2). 非均质圆盘以角速度 绕中心轴O 转动，圆盘质量为 m ，质心为C ，OC e 。
mA mB
当 B 滑到 A 底端时， A 向左平移 S ，则其质心新位置为 xA S ，而质心 B 的新位
置为 a b S xB 。此时系统质心位置为
mAxA mB xB mA(xA S) mB (xB a S b)
mA mB
mA mB
所以：
S ab 4
r
T3

m3 g
sin

m3
R r
a
研究轮轴 O ，受力图如上，根据质心运动定理，可得
NOx
T3 cos

m3g sin
cos
m3
R r
a cos
NOy T3 sin T2 m1g

m1g

m2 g

m2a

m3 g
sin 2


m3
R r
a sin
注意：此题并不严谨，因为物体 B 下降的加速度 a 完全可由已知条件求出。
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N sin mB (ar cos aA) (1)~(3)联立求解，得
魏 泳 aA

mB g sin 2 2(mA mB sin 2 )

sin cos 3 sin2
(3).动量水平分量：
m1v

m2
(v

l 2
cos
)
；
动量铅垂分量： m2l sin 2
(4).圆轮角速度： v 2r
圆轮轮心速度 v轮 0.5v
总动量： m1v m2 0.5v 2 (m1 m2)v
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T2

mB (g

a) 2
两段绳的张力最终由铰链 O 承担，所以
NOx 0
NOy

T1
T2

(mA
mB )g
(mA

mB 2
)a
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9.7 长为 2l 的均质杆 AB ，其一端 B 搁置在光滑水平面上，并与水平面成 角。 求当杆由静止下落到水平面时 A 点的轨迹方程。
魏泳涛
解：
由于在水平方向上质心运动守恒。由于系统初始静止，因此系统质心位置始
终保持不变。
由图知
xC l cos l cos S 而 A 点坐标为
化简后
魏 泳 涛 尺寸如图示。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求当三棱柱 B 沿棱柱 A 滑下接
触到水平面时，棱柱 A 移动的距离。
解：
系统在水平方向上质心运动守恒。由于系统初始静止，因此系统质心位置始
终保持不变。
设 xA 、 xB 分别为 A 、 B 质心的初始位置，则系统质心位置为
mAxA mB xB
根据牵连运动为平动的加速度合成定理，容易求出 B 的竖直和水平加速度
B 竖直加速度： ar sin ，向下
B 水平加速度： ar cos aA ，向右
以 B 为研究对象，受力图如下。
根据竖直方向的质心运动定理：
mBg N cos mBar sin
(2)
水平方向的质心运动定理
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9.14 火箭以加速度 a 水平飞行。已知：燃料喷射的相对速度 vr 常数，火箭的起
g
N

3cos 3 sin2
mB g
(3)
涛
研究 A ，受力图如下，显然
NA

mAg

N
cos

12mB g 3 sin2
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解：
在胶带上匀速运动的煤块，未受到胶带对其作用力。
在 t 时间内，设胶带上落下的煤块为 m ，则 m 20t 根据冲量定理，
mv F t 所以：
F m v 20 t 1.5 30 N
t
t
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9.2 图示系统中，均质杆 OA、AB 与均质轮的质量均为 m ，OA杆的长度为 l1 ，AB
杆的长度为 l2 ，轮的半径为 R ，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时， OA 杆的角
魏 泳 速度为 ，求整个系统的动量。
涛
解：
OA
杆动量：
1 2
ml1
AB 杆瞬时平动，动量： ml1
轮 B 质心速度为 l1 ，动量： ml1
xA 2l cos S yA 2l sin
(xA l cos )2

y
2 A
4
l2
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9.8 质量为 m ，长为 2l 的均质杆 OA绕定轴 O 转动，设在图示瞬时的角速度为 ， 角加速度为 ，求此时轴 O 对杆的约束力。
魏 泳 涛 轴转动的角速度 为常量。当开始时，曲柄水平向右，求此时质点系的动量。
解：
OC 杆质心速度为 l ，动量： m1l ，方向垂直于 OC 向上
2
2
滑 块 A 、 B 以 及 杆 AB 组 成 的 系 统 的 质 心 为 C ， 速 度 为 l ， 动 量 ：
2(m1 m2)l ，方向垂直于 OC 向上
m1 m2
m1 m2
m1x0 m2 (x0 l sin0 ) m1x m2 (x l sin)
x

x

x0

m2l(sin0 sin) m1 m2
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魏 泳 涛 导板在运动过程中始终不离开轮轴，试求弹簧的刚度系数。
解： 以 O 为动点， AB 为动系，加速度矢量图如下： aa 2e ae 2ecos
ae 即为 AB 的加速度。 当 0 时， AB 处于最高位置，其加速度为2e 。弹簧的压缩量为 2e 。
AB 受力图如下。
9.10 图示滑轮 O 和 D 的质量不计，重物 A 和 B 的质量分别为 mA 和 mB 。若物 A 以 加速度 a 下降，绳与滑轮间无相对滑动，试求支座 O 的约束力。
魏泳涛
解：
由于绳和轮间无相对滑动，所以 aB

a 2
，方向向上。
研究 A ，受力图如下
A 受力图
B 受力图
T1 mA(g a) 研究 B ，受力图如上
魏泳涛
解： 研究杆 OA，质心 C 的加速度如下 aCt L aCn L2
杆 OA所受外力如图
根据质心运动定理： XO m(aCncos aCt sin ) mL(2cos sin ) YO mg mL(2sin cos )
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T

FW

N

k (
2e)
FW

N

FW g
2e
要保持接触，则应该有
N

k (

2e)
FW

FW g
2e

0
所以：
k FW (e2 g) g( 2e)
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