立体几何的平行垂直关系的证明高考优化训练

合集下载

专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题

∴ 平面 .
12．证明见解析
【分析】
在等腰三角形PAB中，是的中点，可得，利用线面垂直的判定定理可证平面，利用线面垂直的性质定理，即可得证.
【详解】
证明：∵ 是的中点，，
∴ ，
∵ 底面，
∴ ，
又∵ ，即
∴ 平面，
∴ ，
∵ 平面，平面，
∴ 平面，
∵ 平面，
∴ .
8．证明见解析
【分析】
由平面 ⊥平面得到 ⊥平面，进一步得到 ⊥ ，再结合直径所对圆周角为直角得到 ⊥ ， ⊥平面，从而得到证明.
【详解】
由题设知，平面 ⊥平面，交线为 .
因为 ⊥ ，平面，所以 ⊥平面，故 ⊥ .
因为为上异于，的点，且为直径，所以 ⊥ .
又 = ，所以 ⊥平面 .
∴点O为三角形ABC的垂心，∴BO⊥AC
又因PO⊥AC，所以AC⊥PBO
故PB⊥AC
考点：证明异面直线垂直．
7．见解析
【分析】
由已知中P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，结合正方形的几何特征，我们易得到BC⊥平面PAB，由线面垂直的性质得到BC⊥AE，结合已知中AE⊥PB，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由线面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．
【点睛】
此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.
5．证明见解析
【分析】
先证直线平面，再证平面 ⊥平面 .
【详解】
证明:∵ 是圆的直径，是圆上任一点，，，
平面，平面，
，又，
平面，又平面，
平面 ⊥平面 .
【点睛】

空间中的平行与垂直例题和知识点总结

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

高中数学高考总复习立体几何各种平行与垂直的判断习题及详解

高中数学高考总复习立体几何各种平行与垂直的判断习题及详解一、选择题1．设b 、c 表示两条不重合的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题是真命题的是( )A.⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂αc ∥α⇒b ∥c B.⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂αb ∥c ⇒c ∥α C.⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αc ⊥β⇒α⊥βD.⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αα⊥β⇒c ⊥β[答案] C[解析] 选项A 中的条件不能确定b ∥c ；选项B 中条件的描述也包含着直线c 在平面α内，故不正确；选项D 中的条件也包含着c ⊂β，c 与β斜交或c ∥β，故不正确．[点评] 线线、线面、面面平行或垂直的性质定理和判定定理是解决空间图形位置关系推理的重要依据，在推理中容易把平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误．对空间中位置关系的考虑不周，也是造成判断错误的因素，所以做这类题目应当考虑全面．2．定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC .那么，动点C 在平面α内的轨迹是( )A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点 [答案] B[解析] 连接BC ，∵PB ⊥α，∴AC ⊥PB . 又∵PC ⊥AC ，∴AC ⊥BC .∴C 在以AB 为直径的圆上．故选B. 3．设α、β、γ为平面，给出下列条件： ①a 、b 为异面直线，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α； ②α内不共线的三点到β的距离相等； ③α⊥γ，β⊥γ.其中能使α∥β成立的条件的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] B[解析]对于②，三个点不一定在同侧；对于③，面面的垂直关系不具有传递性．对于①，过b作平面γ∩α＝b′，则b∥b′，∵a与b异面，∴a与b′相交，容易证明b′∥β，又∵a∥β，∴α∥β，故只有①正确．4．a、b、c是三条直线，α、β是两个平面，b⊂α，c⊄α，则下列命题不成立的是() A．若α∥β，c⊥α，则c⊥βB．“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题C．若a是c在α内的射影，b⊥a，则b⊥cD．“若b∥c，则c∥α”的逆否命题[答案] B[解析]一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c∥α，∵a是c在α内的射影，∴c∥a，∵b⊥a，∴b⊥c；若c与α相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若b⊥a，则b⊥c，故C正确；∵b⊂α，c⊄α，b∥c，∴c∥α，因此原命题“若b∥c，则c∥α”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确．如图，α⊥β，α∩β＝l，b⊂α，b与l不垂直，则b与β不垂直，∴B不成立．5．(文)(2010·天津河东区)已知直线a⊂平面α，直线AO⊥α，垂足为O，P A∩α＝P，若条件p：直线OP不垂直于直线a，条件q：直线AP不垂直于直线a，则条件p是条件q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C故OP⊥a⇔AP⊥a，从而p⇔q.(理)(2010·河南新乡调研)设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γD．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α[答案] B[解析]如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错．6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC[答案] D[解析]∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD ⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC.∴平面ABC⊥平面ADC.7．(文)(2010·重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()A．只有1个B．恰有3个C．恰有4个D．有无穷多个[答案] D[解析]过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45°角的直线上所有点到两条直线的距离都相等，故选D.(理)(2010·全国Ⅱ理)与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个[答案] D[解析]如图连结B1D，可知B1D上的点到AB、CC1、A1D1的距离均相等，故选D.8．(文)平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平面ABCD之外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的关系是()A．斜交B．平行C．垂直D．无法确定[答案] C[解析]∵PA＝PC，∴PO⊥AC，∵PB＝PD，∴PO⊥BD，∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.(理)棱长都为2的直平行六面体(底面为平行四边形的棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD ＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为()A.12B.22C.34D.38[答案] C[解析] 如图所示，过点A 1作直线A 1M ⊥D 1C 1，交D 1C 1延长线于点M ，连结MC ，A 1C ，则可得A 1M ⊥面DD 1C 1C ，∠A 1CM 就是直线A 1C 与面DD 1C 1C 所成的角．∵所有棱长均为2，∠A 1D 1C 1＝120°，∴A 1M ＝A 1D 1sin60°＝3，又A 1C ＝AC 12＋CC 12＝(23)2＋22＝4， ∴sin ∠A 1CM ＝A 1M A 1C ＝34C. [点评] 求直线与平面所成角时，一般要先观察分析是否可以找(或作)出直线上一点到平面的垂线，若能找出则可以将线面角归结到一个直角三角形中求解．若不容易找出线面角，则可以考虑能否进行转化或借助于空间向量求解，请再练习下题：(2010·全国Ⅰ文)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63[答案] D[解析] 解法1：设BD 与AC 交于点O ，连结D 1O ，∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1成的角．∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面DD 1B ，平面DD 1B ∩平面ACD 1＝OD 1，∴OD 1是DD 1在平面ACD 1内的射影，故∠DD 1O 为直线DD 1与平面ACD 1所成的角，设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62，∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝63，∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 解法2：因为BB 1∥DD 1，所以BB 1与平面ACD 1所成角和DD 1与平面ACD 1所成角相等，设DO ⊥平面ACD 1，由等体积法得VD －ACD 1＝VD 1－ACD ，即13S △ACD 1·DO ＝13S △ACD ·DD 1.设DD 1＝a ，则S △ACD 1＝12AC ·AD 1sin60°＝12×(2a )2×32＝32a 2，S △ACD ＝12·CD ＝122.所以DO ＝S △ACD ·DD 1S △ACD 1＝a 33a2＝33a ，设DD 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝DO DD 1＝33，所以cos θ＝63.解法3：建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，设边长为1，BB 1→＝(0,0,1)，平面ACD 1的一个法向量n ＝(1,1,1)，∴cos 〈BB 1→，n 〉＝13·1＝33，∴BB 1与面ACD 1所成角的余弦值为63. 9．(文)(2010·鞍山一中模拟)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α⊥β，其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．②④ D ．①③ [答案] D∵m ⊂β，∴此时推不出l ∥m ，故②错，排除A ，故选D. (理)若平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直 D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 [答案] C[解析] 若β内存在直线与m 平行，则必有β⊥α，但α与β不一定垂直，故否定A 、D ；在β内必存在与m 在β内射影垂直的直线，从而此线必与m 垂直，否定B ，故选C.10．(文)(2010·芜湖十二中)已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是( )A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nB ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nD ．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n[答案] A[解析]如图(1)，m⊥α，n⊥α满足n∥β，但m∥n，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m∥α，n⊥β，α⊥β，知D错．(理)(2010·浙江金华十校模考)设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中真命题是()A．若a，b与α所成角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α⊥β，则a⊥bC．若a⊂α，b⊂β，a⊥b，则α⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b[答案] D[解析]正四棱锥P－ABCD中，PA、PC与底面ABCD所成角相等，但P A与PC相交，∴A错；如图(1)正方体中，a∥b∥c，满足a∥α，b∥β，α⊥β，故B错；图(2)正方体中，上、下底面为β、α，a、b为棱，满足a⊂α，b⊂β，a⊥b，但α∥β，故C错；二、填空题11．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ； ④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD .其中真命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①④[解析] 本题考查四面体的性质，取BC 的中点E ，则BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴BC ⊥面ADE ，∴BC ⊥AD ，故①正确．设O 为A 在面BCD 上的射影，依题意OB ⊥CD ，OC ⊥BD ，∴O 为垂心，∴OD ⊥BC ，∴BC ⊥AD ，故④正确，②③易排除，故答案为①④.12．(文)P 为△ABC 所在平面外一点，PA 、PB 、PC 与平面ABC 所成角均相等，又PA 与BC 垂直，那么△ABC 形状可以是________．①正三角形 ②等腰三角形 ③非等腰三角形 ④等腰直角三角形(将你认为正确的序号全填上) [答案] ①②④[解析] 设点P 在底面ABC 上的射影为O ，由P A 、PB 、PC 与平面ABC 所成角均相等，得OA ＝OB ＝OC ，即点O 为△ABC 的外心，又由P A ⊥BC ，得OA ⊥BC ，即AO 为△ABC 中BC 边上的高线，∴AB ＝AC ，即△ABC 必为等腰三角形，故应填①②④.(理)如图将边长为1的正方形纸板ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACB ⊥平面ACD ，然后放在桌面上，使点B 、C 、D 落在桌面，这时点A 到桌面的距离为________．[答案]63[解析] 取AC 中点O ，∵OB ⊥AC ，OD ⊥AC ，OB ∩OD ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ，∴∠BOD ＝90°.又∵BO ＝OD ＝22，∴BD ＝1，S △BOD ＝14， ∴V A －BCD ＝13S △BOD ·AC ＝212，设A 到桌面距离为h ，V A －BCD ＝13S △BCD ·h ＝13×34×h ＝212，∴h ＝63，即A 到桌面距离为63. 13．(2010·安徽淮北一中)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在的直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积；④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号) [答案] ①③[解析] 由条件可得AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，故①正确；∵P A ⊥平面ABCD ，∴平面PAB 、平面P AD 都与平面ABCD 垂直，故平面PBC 不可能与平面ABCD 垂直，②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △P AB ＝12·PA ，由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，所以EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，故④错．14．(文)(2010·河北唐山)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°，且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ，当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.[答案] 2 2[解析] ∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM 为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2 2.(理)(2010·安徽巢湖市质检)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点．下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形； ②P 在直线FG 上运动时，AP ⊥DE ；③Q 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1QC 的体积不变；④M 是正方体的面A 1B 1C 1D 1内到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是一条线段． [答案] ②③④[解析] 三棱锥A 1－ABC 的四个面都是Rt △，故①错；F 在FG 上运动时，PF ⊥平面ABCD ，∴PF ⊥DE ，又在正方体ABCD 中，E 、F 为AB 、BC 中点，∴AF ⊥DE ，∴DE ⊥平面PAF ，∴DE ⊥P A ，故②真；VA －D 1QC ＝VQ －AD 1C ，∵BC 1∥AD 1，∴BC 1∥平面AD 1C ，∴无论点Q 在BC 1上怎样运动，Q 到平面AD 1C 距离都相等，故③真；到点D 和C 1距离相等的点在经过线段C 1D 的中点与DC 1垂直的平面α上，故点M 为平面α与正方体的面A 1B 1C 1D 1相交线段上的点，这条线段即A 1D 1.三、解答题15．(文)(2010·江苏，16)如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°(1)求证：PC ⊥BC(2)求点A 到平面PBC 的距离．[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC . 由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ， ∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ， ∴BC ⊥PC .(2)设点A 到平面PBC 的距离为h ， ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°， ∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1， ∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ， ∵PD ＝DC ＝1，∴PC ＝2， ∵PC ⊥BC ，BC ＝1， ∴S △PBC ＝12PC ·BC ＝22，∵V A －PBC ＝V P －ABC ， ∴13S △PBC ·h ＝13，∴h ＝2， ∴点A 到平面PBC 的距离为 2.(理)如图，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．[解析] (1)∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴DM ∥AP ，又DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC .∴DM ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点，∴MD ⊥PB ，又由(1)知MD ∥AP ，∴AP ⊥PB又已知AP ⊥PC ，∴AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC∴BC ⊥平面APC∴平面ABC ⊥平面APC .(3)∵AB ＝20，∴MP ＝10，∴PB ＝10又BC ＝4，PC ＝100－16＝221∴S △BDC ＝12S △PBC ＝14PC ·BC ＝14×4×221 ＝221又MD ＝12AP ＝12202－102＝5 3 ∴V D －BCM ＝V M －BCD ＝13S △BDC ·DM ＝13×221×5 3 ＝107.16．(文)如图，已知在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ＝2.(1)求证：DB ⊥平面B 1BCC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使得D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．[解析] (1)证明：∵AB ∥DC ，AD ⊥DC ，∴AB ⊥AD ，在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝1，∴BD ＝2，易求BC ＝2，又∵CD ＝2，∴BD ⊥BC .又BD ⊥BB 1，B 1B ∩BC ＝B ，∴BD ⊥平面B 1BCC 1.(2)DC 的中点即为E 点．∵DE ∥AB ，DE ＝AB ，∴四边形ABED 是平行四边形．∴AD 綊BE .又AD 綊A 1D 1，∴BE 綊A 1D 1，∴四边形A 1D 1EB 是平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .∵D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD .∴D 1E ∥平面A 1BD .(理)在三棱锥P －ABC 中，△P AC 和△PBC 是边长为2的等边三角形，AB ＝2，O 是AB 中点．(1)在棱P A 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ；(2)求证：平面P AB ⊥平面ABC ；(3)求二面角P －BC －A 的余弦值．[解析] (1)当M 为棱P A 的中点时，OM ∥平面PBC .证明如下：∵M 、O 分别为P A 、AB 中点，∴OM ∥PB又PB ⊂平面PBC ，OM ⊄平面PBC∴OM ∥平面PBC .(2)连结OC 、OP∵AC ＝CB ＝2，O 是AB 中点，AB ＝2，∴OC ⊥AB ，OC ＝1.同理，PO ⊥AB ，PO ＝1.又PC ＝2，∴PC 2＝OC 2＋PO 2＝2，∴∠POC ＝90°，∴PO ⊥OC .∵PO ⊥OC ，PO ⊥AB ，AB ∩OC ＝O ，∴PO ⊥平面ABC .∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC .(3)如图，建立空间直角坐标系O －xyz .则B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，∴BC →＝(－1,1,0)，PB →＝(1,0，－1)．由(2)知OP →＝(0,0,1)是平面ABC 的一个法向量．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝0n ·PB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0x －z ＝0，令z ＝1，则x ＝1，y ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴cos 〈OP →，n 〉＝OP →·n |OP →|·|n |＝11×3＝33. ∵二面角P －BC －A 的平面角为锐角，∴所求二面角P －BC －A 的余弦值为33. 17．(文)如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)．(1)判断EF 与平面ABC 的位置关系并给予证明；(2)是否存在λ，使得平面BEF ⊥平面ACD ，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．[分析] (1)EF 与平面ABC 相交于点E ，故其关系只能是垂直或斜交，由条件AE AC ＝AF AD＝λ易知，EF ∥CD ，由∠BCD ＝90°及AB ⊥平面BCD ，易证CD ⊥平面ABC .(2)∵EF ∥CD ，故问题相当于过点B 作一个平面与ACD 垂直，这样的平面一定存在，故只须计算出λ即可，由条件不难得到BE ⊥CD ，故只须BE ⊥AC .[解析] (1)EF ⊥平面ABC .证明：因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，又在△BCD 中，∠BCD ＝90°，所以BC ⊥CD ，又AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC ，又在△ACD 中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AEAC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .(2)∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，∴BE ⊥CD ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°，∴AB ＝BD tan60°＝6，则AC ＝AB 2＋BC 2＝7，当BE ⊥AC 时，BE ＝AB ×BC AC ＝67，AE ＝AB 2－BE 2＝367，则AE AC ＝3677＝67，即λ＝AE AC ＝67时，BE ⊥AC ，又BE ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面ACD ，∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ACD .所以存在λ，且当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . [点评] 高考整体降低了对立体几何的考查要求，故线线、线面、面面的位置关系成了主要的考查点，其中平行、垂直的证明题与探索题是重点，同时也要注意由三视图与几何体的结合进行表面积与体积的计算等问题．(理)已知四棱锥P －ABCD 的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论；(3)若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．[解析] (1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝13×12×2＝23，即四棱锥P －ABCD 的体积为23.(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC .∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC .又∵AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC .∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面P AC .∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连结BF .∵AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝12＋12＝2，AE ＝AE ＝3，∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ，从而△ADF ≌△ABF ，∴BF ⊥AE .∴∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角．在Rt △ADE 中，DF ＝AD ·DE AE ＝1×23＝63， ∴BF ＝63. 又BD ＝2，在△DFB 中，由余弦定理得cos ∠DFB ＝DF 2＋BF 2－BD 22DF ·BF ＝－12， ∴∠DFB ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π3. 解法2：如图，以点C 为原点，CD ，CB ，CP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则D (1,0,0)，A (1,1,0)，B (0,1,0)，E (0,0,1)，从而DA →＝(0,1,0)，DE →＝(－1,0,1)，BA→＝(1,0,0)，BE →＝(0，－1,1)．设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝0n 1·DE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝0－x 1＋z 1＝0，取n 1＝(1,0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BA →＝0n 2·BE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0－y 2＋z 2＝0，取n 2＝(0，－1，－1)．设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则 cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－12·2＝－12，∴θ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π3。

高中数学专项提升——立体几何中平行与垂直证明

方法技巧专题立体几何中平行与垂直证明一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法1.1直线与直线平行的证明1.1.1利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等1.1.2利用三角形中位线性质1.1.3利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.4利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

1.1.5利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

1.1.7利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.8利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点1.2直线与平面平行的证明1.2.1利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

αbaabαβb a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒1.2.3利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点1.3平面与平面平行的证明1.3.1利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

ααββ////∩⊂⊂ba Pb a b a =αβ//⇒αβbaP1.3.2利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3利用定义：两个平面没有公共点1.例题【例1】如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．证明（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OM在菱形ABCD 中，O 为AC 中点， M 为PC 的中点∴OM 为∆APC 的中位线，∴OM ∥AP---------------（利用1.1.2中位线性质）又 OM ⊂面MBD ，且PA ⊄面MBD∴//PA 平面MBD----------------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例2】已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．证明：DN//平面PMB 。

2020高考数学冲刺核心考点专题3 第2讲立体几何(大题)

例3 (2019·临沂模拟)如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. (1)求证：AE⊥平面BCE；
证明 ∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， ∴BF⊥AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB， ∴CB⊥平面ABE， ∵AE⊂平面ABE， ∴CB⊥AE， ∵BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面BCE， ∴AE⊥平面BCE.
由-A--1-B→1 ＝12A→B，得 B1(－ 3，1,4).
因为
E
是棱
BB1
的点，所以

E－

23，32，2，
所以E→A1＝

23，－32，2，-A--1-C→1 ＝(－2
3，0,0).
设n＝(x，y，z)为平面EA1C1的法向量， n·-A--1-C→1 ＝－2 3x＝0，
证明连接AB1，AC1， ∵点Q为线段A1B的中点，∴A，Q，B1三点共线，且Q为AB1的中点， ∵点P为B1C1的中点，∴PQ∥AC1. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC， ∴BC⊥平面ACC1A1，又AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1. ∵AC＝AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C，又A1C，BC⊂平面A1BC，A1C∩BC＝C， ∴AC1⊥平面A1BC，而PQ∥AC1， ∴PQ⊥平面A1BC.
得－3y－2
3z＝0， 2x＝0.
令 y＝1，则 n＝(0,1， 3). 又P→B＝( 2，1，－ 3)，
设直线PB与平面PCD所成的角为θ.
则
sin
θ＝|cos〈n，P→B〉|＝

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ，又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

2020届高考数学专题十五平行垂直关系的证明精准培优专练理

培优点十五平行垂直关系的证明例1：如图，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，下列结论中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)①PD CD ⊥； ②BD ⊥平面PAO ； ③PB CB ⊥； ④BC ∥平面PAD ．【答案】①③④【解析】对于①，因为CD AD ⊥，CD PA ⊥，AD PA A =，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥，则①正确；对于②，BD PA ⊥，当BD AO ⊥时，BD ⊥平面PAO ，但BD 与AO 不一定垂直，故②不正确；对于③，因为CB AB ⊥，CB PA ⊥，ABPA A =，所以CB ⊥平面PAB ，所以CB PB ⊥，则③正确；对于④，因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ，则④正确．故填①③④．一、直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定例2：如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，1AP AB==，F、E分别是PB、PC中点．（1）证明：PB ED⊥；（2）求平面ADEF与平面PCD所成锐二面角的值．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒．【解析】（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA AD⊥，又AD AB⊥，AB，PA为平面PAB上相交直线，∴AD⊥平面PAB，∴AD PB⊥，而等腰三角形PAB中有PB AF⊥，∴PB⊥平面ADEF，而ED⊂平面ADEF，∴PB ED⊥．（2）易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，二、直线与平面垂直的判断，二面角则(0,0,0)A ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，求得平面ADEF 的一个法向量(1,0,1)=-m ，平面PCD 的一个法向量(0,1,1)=n ，∴1cos ,2<>=-m n ， ∴平面ADEF 与平面PCD 所成锐二面角为60︒．一、选择题1．如图，在三棱锥P ABQ -中，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ，则AB 与GH 的关系是（）对点增分集训A ．平行B ．垂直C ．异面D ．平行或垂直【答案】A【解析】因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF AB ∥，DC AB ∥，所以EF DC ∥，又因为EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ，又因为EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ 平面PCD GH =，所以EF GH ∥，又因为EF AB ∥，所以AB GH ∥，故选A ．2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1BC 、1CD 的中点，则下列说法错误的是（）A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．MN AB ∥D ．MN ∥平面ABCD【答案】C【解析】∵在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1BC 、1CD 的中点， ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，则(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(1,2,1)M ，1(0,0,2)D ，(0,2,0)C ，(0,1,1)N ，(1,1,0)MN =--，1(0,0,2)CC =，∴10MN CC =⋅，∴1MN CC ⊥，故A 正确；(2,0,0)A ，(2,2,0)AC =-，2200AC MN ⋅=-+=，∴AC MN ⊥，又1MN CC ⊥，1ACCC C =，∴MN ⊥平面11ACC A ，故B 成立；∵ (0,2,0)AB =，(1,1,0)MN =--，∴MN 和AB 不平行，故C 错误；平面ABCD 的法向量(0,0,1)=n ，0MN ⋅=n ，又MN ⊄平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD ，故D 正确．故选C ．3．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1AB E【答案】C【解析】对于A ，1CC 与1B E 均在侧面11BCC B 内，又两直线不平行，故相交，A 错误；对于B ，AC 与平面11ABB A 所成的角为60︒，所以AC 不垂直于平面11ABB A ，故B 错误；对于C ，AE BC ⊥，11BC B C ∥，所以11AE B C ⊥，故C 正确；对于D ，AC 与平面1AB E 有公共点A ，11AC A C ∥，所以11A C 与平面1AB E 相交，故D 错误．故选C ．4．在三棱锥P ABC -中，已知PA AB AC ==，BAC PAC ∠=∠，点D ，E 分别为棱BC ，PC 的中点，则下列结论正确的是（） A ．直线DE ⊥直线AD B ．直线DE ⊥直线PA C ．直线DE ⊥直线AB D ．直线DE ⊥直线AC【答案】D【解析】由题意，如图所示，因为PA AB AC ==，BAC PAC ∠=∠，∴PAC BAC ≅△△，得PC BC =，取PB 中点G ，连接AG ，CG ，则PB CG ⊥，PB AG ⊥，又∵AGCG G =，∴PB ⊥平面CAG ，则PB AC ⊥，∵D ，E 分别为棱BC ，PC 的中点，∴DE PB ∥，则DE AC ⊥．故选D ．5．如图，2AC R =为圆O 的直径，45PCA ∠=︒，PA 垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点A 、C 重合的点，AS PC ⊥于S ，AN PB ⊥于N ，则下列不正确的是（）A ．平面ANS ⊥平面PBCB ．平面ANS ⊥平面PABC ．平面PAB ⊥平面PBCD ．平面ABC ⊥平面PAC【答案】B【解析】⊥PA 平面ABC ，可得平面ABC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ⊥∴，由AC 为圆O 的直径，得AB BC ⊥，PA AB A =，⊥∴BC 平面PAB ，AN BC ⊥∴，AN PB ⊥，得到⊥AN 平面PBC ，∴平面ANS ⊥平面PBC ，平面PAB ⊥平面PBC ，所以选项ACD 正确；对于选项B ，SN 与BC 一定不会平行，所以选项B 一定不成立．6．如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出下列五个结论：①OM PD ∥；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC ．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O 点，所以O 为BD 的中点．在PBD △中，M 是PB 的中点，所以OM PD ∥，所以OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA ．因为M PB ∈，所以OM 与平面PBA 、平面PBC 相交．所以①②③正确．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（） A ．11A O D C ∥ B ．1A O BC ⊥C ．1A O ∥平面11B CDD ．1AO ⊥平面11AB D 【答案】C【解析】选项A ，连接1A B ，则11A B D C ∥，因为1A B 与1A O 相交，所以A 错；选项B ，取AB 中点E ，连接1A E 、OE ，则OE BC ∥，在1A EO 中，190A EO ∠=︒，所以1A O 与OE 不垂直，所以1A O 与BC 不垂直，所以B 错；选项C ，设11111AC BD O=，连接1CO ，则11CO AO ∥且11CO AO =，所以四边形11AO CO 是平行四边形，所以11A O CO ∥，又因为1AO ⊄平面11B CD ，1CO ⊂平面11B CD ，所以1A O ∥平面11B CD ，C 正确；选项D ，连接1A C ，11B D 垂直于1A A ，11 B D 垂直于CA ，进而得到11B D 垂直于面1A AC ，故11B D 垂直于1A C ，同理可证，1A C 垂直于1AD ，进而得到1AC ⊥平面11AB D ，所以1A O 与平面11AB D 不垂直，D 错．8．如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点．下列结论中，正确的是（）A ．1EF BB ⊥B ．EF ∥平面11ACC A C ．EF BD ⊥D ．EF ⊥平面11BCC B【答案】B【解析】如图所示，取1BB 的中点M ，连接ME ，MF ，延长ME 交1AA 于P ，延长MF 交1CC 于Q ， ∵E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点， ∴P 是1AA 的中点，Q 是1CC 的中点，从而可得E 是MP 的中点，F 是MQ 的中点，∴EF PQ ∥．又PQ ⊂平面11ACC A ，EF ⊄平面11ACC A ，∴EF ∥平面11ACC A ．其余结论明显错误．本题选择B 选项．二、填空题9．如图所示，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是平行四边形，G F ，分别是BE DC ，的中点，则GF ___________平面ADE ．【答案】平行【解析】取AE 的中点H ，连接HG HD ，，又G 是BE 的中点，所以GH AB ∥，且12GH AB =．又F 是CD 的中点，所以12DF CD =．由四边形ABCD 是平行四边形，得AB CD ∥，AB CD =，所以GH DF ∥，且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF DH ∥．又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以GF ∥平面ADE ．故答案为：平行．10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下结论：①BD ∥平面11CB D ；②AD ⊥平面11CB D ；③1AC BD ⊥；④异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒．则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③【解析】①：∵11BD B D ∥，11B D ⊂平面11CB D ，BD ⊄平面11CB D ，∴BD ∥平面11CB D ，故本结论是正确的；②：在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，显然AD 、BD 不垂直，而11BD B D ∥，所以AD 、11B D 不互相垂直，要是AD ⊥平面11CB D ，则必有AD 、11B D 互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的； ③：∵1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，1CC 、AC ⊂平面1CC A ，1CC AC C =，所以BD ⊥平面1CC A ，而1C A ⊂平面1CC A ，故1AC BD ⊥，因此本结论是正确的； ④：因为AD BC ∥，所以异面直线AD 与1CB 所成的角为1BCB ∠，在正方形11BCC B 中，1=45BCB ∠︒，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③．三、解答题11．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EDC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，ED EC ⊥，点F ，G 分别是EC ，AB 的中点．求证：（1）直线FG ∥平面ADE ；（2）平面ADE ⊥平面EBC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ．在EDC △中，H ，F 分别为DE ，EC 中点，则FH ∥DC 且12FH DC =，又四边形ABCD 为矩形，G 为AB 中点，AG ∥DC 且12AG DC =，所以FH AG ∥且FH AG =，故四边形AGFH 为平行四边形，从而FG AH ∥，又FG ⊄面ADE ，AH ⊂面ADE ，所以直线FG ∥面ADE ．（2）因为矩形ABCD ，所以BC DC ⊥，又平面EDC ⊥面ABCD ，面EDC面ABCD DC =，BC ⊂面ABCD ，所以BC ⊥面DEC ，又ED ⊂面DEC ，则ED BC ⊥，又ED EC ⊥，BC EC C =，所以ED ⊥面EBC ，又ED ⊂面ADE ，所以平面ADE ⊥平面EBC ．12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==PA =120ABC ∠=︒．G 为线段PC 上的点（点G 与点,P C 不重合）．（1）证明：BD ⊥面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正弦值；（3）若G 满足PC ⊥面BGD ，求二面角G CD A --正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）19；（3）23．【解析】（1）取AC 中点O ，因为AB BC =，AD CD =，所以CA BO ⊥，CA OD ⊥，∴CA BD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，所以BD ⊥面PAC ．（2）以O 为坐标原点，BD ，AC ，平行于PA 的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则因为2AB BC ==，120ABC ∠=︒，所以AO OC ==1BO =，因为AD CD ==2DO =，因此(1,0,0)B ，(2,0,0)D -，C，(0,A，(0,P ，从而(3,0,0)DB =为平面APC一个法向量，0,0,2G ⎛ ⎝⎭，2,0,2DG ⎛= ⎝⎭，cos ,DG DB <>==，因此DG 与平面APC．（3）同（2）建立空间直角坐标系，设(0,CG CP λλ==-，因为PC ⊥面BGD ，所以0BG CP ⋅=，∴()0BC CG CP +⋅=，(()0CP CP λ-+⋅=，6150λ-+=，25λ=．因为(0,0,1)=n 为平面ACD 一个法向量，设1(,,)x y z =n 为平面GCD 的法向量，则由1111(2,00202(0,0005CD x CG ⎧⋅-=⎧⎧⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅-=⋅=-=⎪⎪⎪⎩⎩⎩n n n n ，得1(=n，所以1cos ,23<>==n n ，因此二面角G CD A --=．。

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

专题3：立体几何中平行关系的证明基础练习题

【分析】
（1）连接，则也为的中点，由可证平面；
（2）存在，为的中点时，平面平面，利用平面与平面平行的判定定理可证结论.
【详解】
（1）连接，则也为的中点，
因为为的中点，所以为△ 的中位线，
所以，又平面，平面，
所以平
∴ 是的中点，
又是的中点，
∴ ，
又平面，平面，
∴ 平面 .
4．(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.
【分析】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，即可证明BF∥HD1；（2）取B1D1的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB1D1D．（3）由正方体得BD∥B1D1，由四边形HBFD1是平行四边形，可得HD1∥BF，可证平面BDF∥平面B1D1H．
7．证明详见解析．
【解析】
【分析】
利用中位线，分别证明，由此证得平面内两条相交直线和另一个平面平行，从而证得两个平面平行.
【详解】
因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA．
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，所以EF∥平面PAC．
同理得EG∥平面PAC．
又EF 平面EFG，EG 平面EFG，EF∩EG＝E，
5．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接，通过证明平面与平面，可得平面平面；
（2）找到为异面直线和所成角，求即可.
【详解】
证明：（1）由题意可得，点分别是和的中点，连接，
，
又平面平面，
平面，
同理：，则平面，
又平面平面，

平行、垂直的综合问题

平面图形折叠成空间几何体问题
[典例引领] (2016· 高考全国卷Ⅱ ) 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD，CD 上，AE ＝CF， EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置． (1)证明：AC⊥HD′； 5 (2)若 AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2 2，求五棱锥 4 D′ABCFE 的体积．
从而 P PABCD 的侧面积为 1 1 1 1 2 PA· PD＋ PA· AB＋ PD· DC＋ BC sin 60°＝6＋2 3. 2 2 2 2
(1)几何体的体积柱体的体积 V＝S 底·h. 1 锥体的体积 V＝ S 底·h. 3 (2)几何体的表面积直棱柱的侧面积 S 侧＝C 底· l，其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积，最后求和．
由(1)知，AC⊥HD′，又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以 AC⊥平面 BHD′，于是 AC⊥OD′. 又由 OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以 OD′⊥平面 ABC.
EF DH 9 又由＝得 EF＝ . AC DO 2 1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S＝ ×6×8－ × ×3＝ . 2 2 2 4 1 69 23 2 所以五棱锥 D′ABCFE 的体积 V＝ × ×2 2＝ . 3 4 2
立体几何中的探索性问题
[典例引领] 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中， D， E 分别是棱 BC，AB 的中点，点 F 在棱 CC1 上，已知 AB＝AC，AA1＝3，BC＝ CF＝2. (1)求证：C1E∥平面 ADF. (2)设点 M 在棱 BB1 上，当 BM 为何值时，平面 CAM⊥平面 ADF.

高中立体几何证明题

高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。

解析1. 连接AC。

- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。

2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。

- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。

- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。

- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。

题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。

解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。

- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。

2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。

- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。

- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。

二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。

解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。

- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。

- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。

- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。

- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。

- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。

压轴题05 立体几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)

压轴题05立体几何压轴题题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积题型/考向二：外接球、内切球等相关问题题型/考向三：平行关系、垂直关系、二面角等相关问题一、空间几何体的体积、表面积热点一空间几何体的侧面积、表面积柱体、锥体、台体和球的表面积公式：(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l ＋rl).(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.热点二空间几何体的体积柱体、锥体、台体和球的体积公式：(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝13(S上＋S下＋S上S下)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；(3)V台体＝13(4)V球＝4πR3.3二、外接球、内切球问题类型一外接球问题考向1墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2.常见的有以下三种类型：考向2对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2(长方体的长、宽高分别为a ，b ，c )，即R 2＝18(x 2＋y 2＋z 2)，如图.考向3汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2的连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝h 2，所以R 2＝r 2＋h 24.考向4垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝h2，则R＝r2＋h24.类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式V P－ABC＝V O－ABC＋V O－P AB＋V O－P AC＋V O－PBC⇒V P－ABC＝13S△ABC·r＋13S△P AB·r＋13S△P AC·r＋13S PBC·r＝13(S△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC)r；第三步：解出r＝3V P－ABCS△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).三、平行关系和垂直关系的证明、二面角等热点一空间线、面位置关系的判定判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.热点二几何法证明平行、垂直1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.热点三空间向量法证明平行、垂直1.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，在平面α内的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.2.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.四、空间角、距离问题热点一异面直线所成的角求异面直线所成角的方法方法一：综合法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.步骤为：①求出直线a ，b 的方向向量，分别记为m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |；③利用cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|，以及θ，π2，求出角θ.热点二直线与平面所成的角求直线与平面所成角的方法方法一：几何法.步骤为：①找出直线l 在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.步骤为：①求出平面α的法向量n 与直线AB 的方向向量AB →；②计算cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |；③利用sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|，以及θ∈0，π2，求出角θ.热点三平面与平面的夹角求平面与平面的夹角方法方法一：几何法.步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.方法二：空间向量法.步骤为：①求两个平面α，β的法向量m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |；③设两个平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|.热点四距离问题1.空间中点、线、面距离的相互转化关系2.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法.一、单选题1．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A 内，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB【答案】C【详解】AB 选项，若m 垂直于AB ，由面ABCD ⊥面11ABB A ，面ABCD ⋂面11ABB A AB =，可得m 垂直于面11ABB A ，即面11ABB A 内的所有直线均与m 垂直，而n 可能垂直于AB ，也可能不垂直于AB ，故A 错误，B 错误；CD 选项，若m 不垂直于AB ，则,BC m 为面ABCD 内的两条相交直线，由题可知BC n ⊥，m n ⊥，则n 垂直面ABCD ，又AB ⊂面ABCD ，所以n 垂直于AB ，故C 正确，D 错误.故选：C2．在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF 为“刍甍”.书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()216V AB EF AD h =+⨯⨯，其中h 是刍甍的高，即点F 到平面ABCD 的距离.若底面ABCD 是边长为4的正方形，2EF =，且//EF AB ，ADE V 和BCF △是等腰三角形，90AED BFC ∠=∠= ，则该刍甍的体积为（）A ．3B ．3C ．D ．403【答案】B【详解】如图所示，设点F 在底面的射影为G ，,H M 分别为,BC AD 的中点，连接,,EM FH MH ，则FG 即为刍甍的高，-P ABC 面积恰为该容器的表面积）展开后是如图所示的边长为10的正方形123APP P （其中点B 为23P P 中点，点C为12PP 中点），则该玩具的体积为（）A ．6253B ．1253C ．125D ．2503【答案】B【详解】该玩具为三棱锥-P ABC ，即三棱锥A PBC -，则PA ⊥底面PBC ，且10PA =，PBC 面积为252，所以12512510323P ABC V -=⨯⨯=.故选：B.4．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，腰长为5m 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（）A ．38πmB ．39πmC ．310πmD ．312πm 【答案】D【详解】如图所示为该圆锥轴截面，由题知该圆锥的底面半径为15．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若//,//a b b α，则//a αB ．若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥C ．若//,//,//a b αβαβ，则//a bD ．若//,//,a b αβαβ⊥，则a b⊥【答案】B【详解】对于A ，若//,//a b b α，则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ，若//,//a b b β，则a β⊂或//a β，若a β⊂，因为a α⊥，则αβ⊥，若//a β，如图所示，则在平面β一定存在一条直线//m a ，因为a α⊥，所以m α⊥，又m β⊂，所以αβ⊥，综上若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥，故B 正确；对于C ，若//,//,//a b αβαβ，则直线,a b 相交或平行或异面，故C 错误；对于D ，若//,//,a b αβαβ⊥，则直线,a b 相交或平行或异面，故D 错误.故选：B.6．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π7．已知三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为的正三角形，点P 在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥-P ABC 外接球的表面积为18π，球心在三棱锥-P ABC 内，则二面角P AB C --的平面角的余弦值为（）A ．12B ．13C 22D 即PDC ∠为二面角P AB C --的平面角，由23AB =，得22OC OD ==，显然三棱锥线段PO 上，由三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为8．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O的球面上，4PB PC AB AC ====，2PA BC ==，则球O 的表面积为（）A ．316π15B ．79π15C ．158π5D ．79π5而,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，因此在等腰ABC 中，4,2AB AC BC ===，则215sin 1cos ABC ABC ∠=-∠=，二、多选题9．已知直线a ，b ，c 两两异面，且a c ⊥，b c ⊥，下列说法正确的是（）A ．存在平面α，β，使a α⊂，b β⊂，且c α⊥，c β⊥B ．存在平面α，β，使a α⊂，b β⊂，且c α∥，c β∥C ．存在平面γ，使a γ∥，b γ∥，且c γ⊥D ．存在唯一的平面γ，使c γ⊂，且a ，b 与γ所成角相等【答案】ABC【详解】对于A,平移直线b 到与直线a 相交，设平移后的直线为b '，因为b c ⊥，所以b c '⊥，设直线,a b '确定的平面为α，则a c ⊥，b c '⊥，直线b '和a 相交，所以c α⊥，同理可得：c β⊥，故A 对；对于B,平移直线c 到与直线a 相交，设平移后的直线为c '，设直线,a c '确定的平面为α，因为c //c '，且α⊄c ，所以c α∥，同理可得：c β∥，故B 对；对于C,同时平移直线b 和直线a ，令平移后的直线相交，设平移后的直线为,a b ''''，因为a c ⊥，b c ⊥，所以a c ''⊥，b c ''⊥，设直线,a b ''''确定的平面为γ，则a γ∥，b γ∥，且c γ⊥，故C 对；对于D ，由对称性可知，存在两个平面γ，使c γ⊂，且a ，b 与γ所成角相等，故D 错误；故选：ABC.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为12π，,,M N P 分别在线段1BB ，1CC ，1DD 上，且,,,A M N P 四点共面，则（）．A ．AP MN=B ．若四边形AMNP 为菱形，则其面积的最大值为C ．四边形AMNP 在平面11AAD D 与平面11CC D D 内的正投影面积之和的最大值为6D ．四边形AMNP 在平面11AA D D 与平面11CC D D 内的正投影面积之积的最大值为4设正方体1111ABCD A B C D -依题意，234π()12π2a ⋅=，解得因为平面11BCC B ∥平面ADD则M 在平面11AA D D 上的投影落在设为H ，则四边形AGHP 为四边形AMNP 由于,AM PN GM HN ==,则（当1x y ==时取“＝”），故C 错误，D 正确，故选：ABD三、解答题11．如图，四棱锥S ABCD -的底面为菱形，60BAD ∠=︒，2AB =，4SD =，SD ⊥平面ABCD ，点E 在棱SB 上．(1)证明：AC DE ⊥；(2)若三棱锥E ABC -，求点E 到平面SAC 的距离．【详解】（1）证明：如图，连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SD AC ⊥，又因为SD BD D = ，所以AC ⊥平面SBD ，又因为DE ⊂平面SBD ，所以AC DE ⊥．（2）解：设点E 到平面ABC 则三棱锥E ABC -的体积V (11sin 18032AB BC =⨯⨯⨯⨯︒-12．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，,AB AD O =为BD 的中点.(1)证明：OA CD ⊥；(2)已知OCD 是边长为1的等边三角形，已知点E 在棱AD 的中点，且二面角E BC D --的大小为45 ，求三棱锥A BCD -的体积.【详解】（1）证明：AB AD = ，O 为BD 的中点，AO BD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，AO CD ∴⊥．（2）取OD 的中点F ，因为OCD 为等边三角形，所以CF OD ⊥，过O 作//OM CF ，与BC 交于M ，则OM OD ⊥，由（1）可知OA ⊥平面BCD ，设OA a =，因为OA ⊥平面BCD ，所以设平面BCE 的一个法向量为n =3300x y n BC ⎧+=⎪⎧⋅= ○热○点○题○型二外接球、内切球等相关问题一、单选题1．已知ABC 是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为323π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A B ．32C ．1D 因为ABC 是边长为3的等边三角形，且所以13O B =，又因为球O 的体积为32π2．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的正三角形，侧棱,,PA PB PC 两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A ．3πB ．πC ．3π4D ．3π23．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（）A ．103B ．2C ．3D 【答案】C【详解】解：如图，设圆锥的底面半径为r ，球半径5R =，球心为O ．过圆锥的顶点P 作底面的垂线2125OO r =-．所以圆锥的高h PO =4．已知圆锥的侧面积为2π，母线与底面所成角的余弦值为2，则该圆锥的内切球的体积为（）A ．4π3B ．43π9C．27D5．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C ，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A ．56πB ．70π3C ．48πD ．64π【答案】A【详解】设该组合体外接球的球心为O ，半径为R ，易知球心在BC 中点，则224R AO ==+=.6．已知矩形ABCD的顶点都在球心为的体积为43，则球O的表面积为（）A．76πB．112πC D．3故球的表面积为：2476πR π=，故选：A ．7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A ．4B ．2C ．2D ．6此时，如上图示，O 为半球的球心，体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与8．已知三棱锥-PABC的四个顶点均在球的球面上，，PB AC== PC AB=Q为球O的球面上一动点，则点Q到平面PAB 的最大距离为（）A2211BC2211D2223BD BE AB∴+==，BD2226BD BE BF∴++=，∴球在PAB中，cosABABP∠=二、填空题9．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．则三棱锥-P ABC 外接球的直径为2R PA =因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为34π3R10．如图，在直三棱柱111中，1．设为1的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______．【答案】27π【详解】取1A B 的中点E ，连接AE ，如图．因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥．又面1A BC ⊥面11ABB A ，面1A BC ⋂面111ABB A A B =，且AE ⊂面11ABB A ，所以⊥AE 面1A BC ，BC ⊂面1A BC ，所以AE BC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以1BB BC ⊥．又AE ，1BB ⊂面11ABB A ，且AE ，1BB 相交，所以BC ⊥面11ABB A ，AB ⊂面11ABB A ，所以BC AB ⊥．11．如图，直三棱柱111的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为___________.12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为12+，则该棱锥的内切球半径为___．由题意，侧面展开图的面积由,PD AD PD DC ⊥⊥，○热○点○题○型三平面关系、垂直关系、二面角等相关问题1．已知多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为4的正方形，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，36BE AB ==，4=AD ．(1)求证：平面ADF ⊥平面BCE ；(2)求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值．【详解】（1）因为四边形CDEF 是边长为4的正方形，所以CE ⊥DF ，ED ⊥DC ，因为四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，所以AD ⊥CD ，AB ⊥AD ，故直线AF与平面BCF所成角的正弦值为-PA 2．如图，在四棱锥P ABCD平面PAD⊥平面ABCD．Array(1)证明：平面CDM⊥平面PAB；(2)若AD BC ∥，2AD BC =，2AB =，直线PB 与平面MCD ，求三棱锥P MCD -的体积．【详解】（1）取AD 中点为N ，连接PN ，因为PAD 为等边三角形，所以PN AD ^，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PN ⊂面PAD ，所以PN ^平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PN AB ⊥，又因为PD AB ⊥，PN PD P = ，,PN PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又因为DM ⊂平面PAD ，所以AB DM ⊥，因为M 为AP 中点，所以DM PA ⊥，且PA AB A = ，,PA PB ⊂平面PAD ，所以DM ⊥平面PAB ，且DM ⊂平面CDM ，所以平面CDM ⊥平面PAB .（2）由（1）可知，PN AB ⊥且PD AB ⊥，PN PD P = ，所以AB ⊥平面PAD ，△为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且2AF FE ABD=.(1)求证：//FM 面ABC ；(2)若二面角A BD C --的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值.【详解】（1）在BE 上取一点N ，使得12BN NE =，连接FN ，NM ，∵6BD =，∴116BN BD ==，2NE =，3ED =，∵12AF FE =，∴12BN AF NE FE ==，则FN AB ∥，又FN ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，∴FN ∥面ABC ，∵15BN CM ND MD ==，∴NM BC ∥.∵NM ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，∴NM ∥面ABC ，∵FN NM N = ，,FN NM ⊂面FNM ，∴面FNM ∥面ABC ，又FM ⊂面FNM ，4．已知底面是正方形，平面，，，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．(1)求证：//EF平面PADQ ；(2)求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；(3)线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ 所成角的正弦值是7，若存在求出PM MC的值，若不存在，说明理由．【详解】（1）证明：法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，由题意可知点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．所以//EG PA ，//FH QD ，因为//PA DQ ，所以//EG FH ，所以点E 、G 、H 、F 四点共面，因为G 、H 分别为AB 、CD 的中点，所以//GH AD ，因为AD ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以//GH 平面ADQP ，又因为//FH QD ，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以//FH 平面ADQP ，法二：因为ABCD 为正方形，且以点A 为坐标原点，以AB 、空间直角坐标系，则()0,0,3P 、()3,3,0C 、()0,3,1Q 所以()0,3,1EF =- ，易知平面PADQ 所以0a EF ⋅= ，所以E F a ⊥ ，EF ⊄ADQP EF所在平面和圆所在的平面互相垂直，已知2,1AB EF ==．(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，二面角C EF B --的大小为60︒？设()0AD t t =>，则(1,0,C -∴(1,0,0)EF = ，33,22CF ⎛= ⎝6．如图，在三棱柱111中，四边形11是边长为4的菱形，AB BC =，点D 为棱AC 上的动点（不与A 、C 重合），平面1B BD 与棱11AC 交于点E .(1)求证1BB DE //；(2)若平面ABC ⊥平面11AAC C ，160A AC ∠= ，判断是否存在点D 使得平面11A ABB 与平面1B BDE 所成的锐二面角为π3，并说明理由.【详解】（1）11//BB CC ，且1BB ⊂/平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，∴1//BB 平面11ACC A ，又∵1BB ⊂平面1B BD ，且平面1B BD 平面11ACC A DE =，∴1BB DE //；（2）连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，∴1A AC △是等边三角形，又∵O 为AC 中点，∴1A O ⊥∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =∴1A O ⊥平面ABC ，OB ⊂平面。

(高中段)大题考法立体几何第一课时平行与垂直关系的证明

(2)∵平面 AA′B′B∥平面 DD′C′C， ∴A′到平面 DD′C′C 的距离即为 A 到平面 DD′C′C 的距离．过 A 作 AM⊥CD 于点 M， ∵D′H⊥平面 ABCD， ∴D′H⊥AM，又 CD∩D′H＝H， ∴AM⊥平面 DD′C′C. 由|AM|＝|AD|sin∠BAD＝ 3， |D′H|＝ |DD′|2－|DH|2＝2 3，得 S△C′CH＝12|CH|·|D′H|＝12×2×2 3＝2 3， ∴VC′-A′HC＝VA′-C′HC＝13S△C′HC·|AM|＝13×2 3× 3＝2.
又 AB∥CD，所以 PH∥CD，所以 P，H，C，D 四点共面．因为平面 ABCD⊥平面 BCE，且平面 ABCD∩平面 BCE＝BC，CD⊥BC， CD⊂平面 ABCD，所以 CD⊥平面 BCE. 又 BE⊂平面 BCE，所以 CD⊥BE，因为 BC＝CE，且 H 为 BE 的中点，所以 CH⊥BE. 又 CH∩CD＝C，CH⊂平面 DPHC，CD⊂平面 DPHC，所以 BE⊥平面 DPHC. 又 PM⊂平面 DPHC，所以 PM⊥BE.
所以 C′O⊥平面 ABD，则 C′O 为三棱锥 C′-ABD 的高，
求得 C′O＝12C′M＝12. 由 BD⊥平面 C′AM，BD⊂平面 C′BD，知平面 C′AM⊥平面 C′BD，C′M 为交线，在平面 C′AM 中，过 A 点作 AN⊥C′M，交 MC′的延长线于 N 点，则 AN⊥平面 C′BD，
[解] (1)证明：在平面四边形 ABCD 中，∠BAD＝60°，AB＝BD，所以△ ABD 为正三角形．
在三棱锥 C′-ABD 中，取 BD 的中点 M，连接 AM，C′M，则 AM⊥BD，C′M⊥BD，又 AM∩C′M＝M，所以 BD⊥平面 C′AM，从而 AC′⊥BD. (2)由 AB＝BD＝AD＝2，得 AM＝ 3，C′M＝1，又 AC′＝1，所以△C′AM 为等腰三角形，且∠AMC′ ＝30°. 取 AM 的中点 O，连接 C′O，则 C′O⊥AM，又 C′O⊥BD，AM∩BD＝M，

《立体几何中的平行与垂直关系》专题训练

一、单选题1.m 、n 是平面α外的两条直线，在m ∥α的前提下，m ∥n 是n ∥α的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）.A.α内有无数条直线与β平行B.α，β平行与同一个平面C.α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D.α，β垂直与同一个平面4.已知l ，m 是两条不同的直线，m //平面α，则（）.A.若l //m ，则l //αB.若l //α，则l //mC.若l ⊥m ，则l ⊥αD.若l ⊥α，则l ⊥m5.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）.A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面6.如果用m ,n 表示不同直线，α,β,γ表示不同平面，下列叙述正确的是（）.A.若m //α，m //n ，则n //αB.若m //n ，m ⊂α，n ⊂β，则α//βC.若α⊥γ，β⊥γ，则α//βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m //n7.如图1，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论：图1①三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②A 1P //平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的结论的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图2，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）.图2A.BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B.BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C.BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D.BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9.如下图所示的四个正方体中，A ,B 正方体的两个顶点，M ,N ,P 分别为其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形的序号为（）.59A.①②B.②③C.③④D.①②③10.如图3，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，M，N分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，有下列命题：图3①||M1M的最小值为1；②M1N//平面CD1E；③存在某个位置，使M1E⊥DE；④无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE.其中正确命题的个数为（）.A.1B.2C.3D.4二、多选题11.已知α,β是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）.A.若m//n，m⊥α，则n⊥αB.若m//α，α⋂β=n,则m//nC.若m⊥α，m⊥β，则α//βD.若m⊥α,m//n,n⊥β，则α//β12.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD 相交于点O，将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（）.A.BD⊥CMB.存在一个位置，使△CDM为等边三角形C.DM与BC不可能垂直D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°13.己知m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列说法正确的是（）.A.若m//α,n//β且α//β,则m//nB.若m//n,m⊥α,n⊥β,则α//βC.若m//n,n⊂α,α//β，m⊄β,则m//βD.若m//n,n⊥α,α⊥β，则m//β14.如图4，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（）.图4A.CM与PN是异面直线B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BDD1B1D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形15.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26.若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）.A.BM⊥平面PCDB.PA//面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M-ABCD的体积为6三、填空题16.如图5，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°.其中正确的有_______.(把所有正确的序号都填上)图517.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_______.18.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中真命题为______（填所有真命题的序号）.19.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同60，C⊥平面ABB.图622.如图7，在直三棱柱ABC为BC，AC的中点，AB=BC.（1）求证：A1B1∥平面DEC1；（2）求证：BE⊥C1E.23.如图8，在四棱锥P－ABCDPA，PD的中点.已知侧面PAD⊥是矩形，DA=DP.（1）求证：MN∥平面PBC；图8图9图11P-ABCD中，已知底BC=1，E，F分别是AB，；平面PDE.如图13，取PD中点G。

立体几何(平行垂直的证明及角)专题辅导

立体几何专题辅导(平行与垂直及角)空间中平行与垂直关系的证明及线面角、二面角的方法总结：（一）线线平行的证明方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.三角形的中位线4.平行四边形对边平行5.一个平面与另外两个平行平面相交，那么两条交线也平行6.线面平行的性质7.面面平行的性质 6.向量法：两直线的方向向量共线（二）线面平行的证明方法：1.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行2.面面平行的性质：如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行3.向量法：直线的方向向量与平面的法向量垂直（三）面面平行的证明方法：1.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.面面平行的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。

3.面面平行的传递性4.垂直于同一条直线的两个平面平行5.向量法（四）线线垂直的证明方法1、等腰三角形底边的中线 2.菱形对角线互相垂直 3.勾股定理 4.直径所对的圆周角为直角 5.三垂线定理及其逆定理 6.线面垂直的性质 7.向量法（五）线面垂直的证明方法1.线面垂直的判定定理2.面面垂直的性质3.向量法（六）面面垂直的证明方法1.面面垂直的判定定理2.证明二面角为直二面角3.向量法（七）空间中的角1.异面直线所成的角范围是⎝ ⎛⎥⎤0，π2 解法：①定义法 ②向量法：设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.2.直线与平面所成的角：斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；解法：①定义法 ②向量法：设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.3.二面角的平面角如图在二面角αl β的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则∠AOB 叫做二面角的平面角．范围是[0，π]．解法：①定义法 ②三垂线法 ③射影面积法 ④向量法：(ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角αl β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(ⅱ)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．典例分析：1、如图，四棱锥P−ABC D 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC =3，P A=BC =4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面P AB ;（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.2、正△ABC 的边长为2, CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点(如图(1))．现将△ABC 沿CD 翻成直二面角A －DC －B (如图(2))．在图(2)中(1)求证 AB ∥平面DEF ；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论；(3)求二面角E－DF－C的余弦值．3、如图，已知△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，且DE∥BC，BC⊥CD，点G为△ABC的重心，N为AB的中点，AG⊥平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点．(1)求证：GM∥平面DFN；(2)若二面角M－BC－D的余弦值为74，试求异面直线MN与CD所成角的余弦值．4、5、如图，在三棱锥P ABC -中，22ABBC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．6、如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.7、.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝AC ＝2，AD ＝22，PB ＝2，PB ⊥AC .P O M(1)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(2)若∠PBA ＝45°，试判断棱P A 上是否存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69？若存在，求出AE AP 的值；若不存在，请说明理由．8、如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AD CD ⊥，3AD =，2CD BC ==，点P 在平面ABCD内的射影恰为BD 的中点，且3PB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）求二面角A PB D --的正弦值．9、.如图，四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，BC CD ⊥，AB=PD=4，CD=2，22AD =，M 为CD 的中点，N 为PB 上一点，且(01)PN PB λλ=<<u u u r u u u r .（1）若14λ=时，求证：MN ∥平面P AD ；（2）若直线AN 与平面PBC 所成角的正弦值为255，求异面直线AD 与直线CN 所成角的余弦值.10、.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2AB AC ==，22AD =，32PB =，PB AC ⊥．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）若45PBA ∠=︒，试判断棱PA 上是否存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33，若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由．11、如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.12、如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值13、如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.。

高中数学第三章空间向量与立体几何空间向量与平行、垂直的关系练习(含解析)新人教A版选修2-1

第1课时空间向量与平行、垂直的关系[学生用书P141(单独成册)][A 基础达标]1．若n ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3，1)B ．(2，0，1)C ．(－2，－3，1)D ．(－2，3，－1)解析：选D.问题即求与n 共线的一个向量．即n ＝(2，－3，1)＝－(－2，3，－1)． 2．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1，1，－1) B ．(1，－1，1) C ．(－1，1，1)D ．(－1，－1，－1)解析：选D.AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．3．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合解析：选D.因为n ＝－3m ，所以m ∥n ，所以α∥β或α与β重合．4．已知平面α内有一点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ，所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，所以F 为AD 的中点，所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，所以3＋5－2z ＝0，所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157，故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．求证：(1)平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)C 1F ∥平面ABE .证明：如图，以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BB 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝a ，AB ＝b ，BB 1＝c ，则B (0，0，0)，A (0，b ，0)，C 1(a ，0，c )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c .(1)AB →＝(0，－b ，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，c .设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－by ＝0，a 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2y ＋cz ＝0，令x ＝2，则y ＝0，z ＝－a c，即n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，0，－a c . 又平面B 1BCC 1的一个法向量为n 1＝(0，1，0)．因为n 1·n ＝2×0＋0×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a c ×0＝0，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)C 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，－c ，且n ·C 1F →＝0，所以C 1F →∥平面ABE . 又因为C 1F ⊄平面ABE . 所以C 1F ∥平面ABE .10.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明：由题意得，DA ，DC ，DP 两两垂直，所以以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0，0，1)，A (1，0，0)，D (0，0，0)，B (1，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.所以PB →＝(1，1，－1)， DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，EB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF →＝(x ，y ，z －1)，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y －12，z －12.因为EF →⊥PB →，所以x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0. ①又因为PF →∥PB →，可设PF →＝λPB →，所以x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ. ② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－16，16.(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝0，n 1·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y 1＋12z 1＝0，x 1＋12y 1－12z 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1.取z 1＝－1，则n 1＝(－1，1，－1)．因为PA →＝(1，0，－1)，所以PA ·n 1＝0. 又因为PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . (2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－16y 2＋16z 2＝0，12y 2＋12z 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2.取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1，1)．所以PB →∥n 2，所以PB ⊥平面EFD .[B 能力提升]11.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B.建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2，2，2)，A 1(2，2，0)，C (0，0，2)，B (2，0，2)，所以M (2，1，1)，N (1，1，2)，所以MN →＝(－1，0，1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，因为MN →·n ＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以MN →⊥n ，又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.12．如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证明：由题意得，DA ，DC ，DD 1两两垂直，所以以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D (0，0，0)，A (22，0，0)，C (0，22，0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，则B 1E →＝(0，－2，－4)，EF →＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·B 1E →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0，得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，－24. 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)，而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24×0＝0，即n ⊥AC →，所以平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.13．(选做题)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD . 证明：由题意得CB ，CD ，CP 两两垂直，所以以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ，所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ，所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ，又因为PA ∩DA ＝A ，所以BE ⊥平面PAD ，又因为BE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .。

2019年高考数学(理科)专题十五平行垂直关系的证明精准培优专练(含答案)

培优点十五平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点．求证：（1）EG ∥平面11BB D D ；（2）平面BDF ∥平面11B D H ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ，因为1112OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥，因为OB ⊂平面11BB D D ，EG ⊄平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ．（2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ，因为1BH D F ∥，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，1AA ．（1）求证：1B C ∥平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12．【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM．在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥，又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ．（2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥，又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥．∵1=AA AC A ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥∵=2AC ，∴=1AM．又∵1AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △中，11tan tan AC C A MA ∠==∴11AC C A MA ∠∠＝，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，∴11A M AC ⊥∵1BM A M M = ，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．（3）解：当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA CC 证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，∵D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，∴1DM CC ∥，且112DM CC =．又∵N 为1BB 的中点，∴DM BN ∥，且DM BN =，∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM DN ∥，∵BM ⊥平面11ACC A ，∴DN ⊥平面11AA C C ．又∵DN ⊂平面1AC N ，∴平面1AC N ⊥平面11AA C C ．一、单选题1．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ⇒与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中：对于说法①：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m n ，分别为11A C BD ，，满足11m n ⊥，但是不满足m n ⊥，该说法错误；对于说法②：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为111A D AD ，，m n ，分别为111A C BD ，，满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥，该说法错误；对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC BD ，，m n ，分别为11AC BD ，，满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；对于说法④：若取平面α为11ADD A ，1m 、1n 分别为11A D AD ，，m 、n 分别为11A C BC ，，满足1m 与1n 平行，但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D 选项．2．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l α⊥对点增分集训B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥【答案】D【解析】对于选项A ，若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l 不一定垂直平面α，∵m 有可能和n 平行，∴该选项错误；对于选项B ，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α、β可能相交或平行，∴该选项错误；对于选项C ，若m m n α⊥⊥，，则n 有可能在平面α内，∴该选项错误；对于选项D ，由于两平行线中有一条垂直平面α，则另一条也垂直平面α，∴该选项正确，故答案为D ．3．给出下列四种说法：①若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ∥；②若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ∥；③若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β∥；④若直线a α∥，a β∥，则αβ∥．其中正确说法的个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D【解析】若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ，可异面；若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线；若直线a α∥，a β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线；若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β与无交点，即a β∥；故选D ．4．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）（1）m α⊂，n α⊂，m β∥，n βαβ⇒∥∥（2）n m ∥，n m αα⊥⇒⊥（3）αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥（4）m α⊥，m n n α⊥⇒∥A ．0个B ．1个C ．2个D ．3【答案】B【解析】由m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，若a b ，相交，则可得αβ∥，若a b ∥，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；若m n ∥，n α⊥根据线面垂直的第二判定定理可得m α⊥，故（2）正确；若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥或m n ，异面，故（3）错误；若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故（4）错误；故选B ．5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是1111C D BC A D ，，的中点，则下列命题正确的是（）A ．MN AP ∥B ．1MN BD ∥C ．11MN BBD D ∥平面D ．MN BDP∥平面【答案】C【解析】A ：MN 和AP 是异面直线，故选项不正确；B ：MN 和1BD 是异面直线，故选项不正确；C ：记AC BD O =I ．∵正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别11C D BC ，是的中点，∴1ON D M CD ∥∥，112ON D M CD ==，∴1MNOD 为平行四边形，∴1MN OD ∥，∵MN ⊄平面1BD D ，1OD ⊂平面1BD D ，∴MN ∥平面1BD D ．D ：由C 知11MN BB D D ∥平面，而面11BB D D 和面BDP 相交，故选项不正确；故选C ．6．已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若αβ，垂直于同一平面，则αβ与平行B ．若m n ，平行于同一平面，则m n 与平行C ．若αβ，不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m n ，不平行，则m n 与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确；平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确；D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D 正确．故选D ．7．已知m n ，是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥；②若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥；③若m n m n αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，则αβ∥．其中真命题是（）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④【答案】D【解析】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥，命题正确；②如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβγ，，分别为平面1111ABB A ADD A ABCD ，，，满足αγβγ⊥⊥，，但是不满足αβ∥，命题错误；③如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβ，分别为平面1111ABB A ADD A ，，直线m n ，分别为11BB DD ，，满足m n m n αβ⊂⊂，，∥，但是不满足αβ∥，命题错误；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，由面面平行的性质定理易知αβ∥，命题正确；综上可得，真命题是①和④，本题选择D 选项．8．如图，正方体的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E F ，，且2EF =；则下列结论错误的是（）．A ．BD CE⊥B ．EF ABCD∥平面C ．三棱锥E FBC -的体积为定值D ．BEF △的面积与CEF △的面积相等【答案】D【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11A ACC ，而CE ⊂平面11A ACC ，故BD CE ⊥，故A 正确．又11A C ∥平面ABCD ，因此EF ∥平面ABCD ，故B 正确．当EF 变化时，三角形CEF 的面积不变，点B 到平面CEF 的距离就是B 到平面11A CCC 的距离，它是一个定值，故三棱锥E FBC -的体积为定值（此时可看成三棱锥B CEF -的体积），故C 正确．在正方体中，点B 到EF ，而C 到EF 的距离为1，D 是错误的，故选D ．9．如图所示，AB 是圆O 的直径，VA 垂直于圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A B ，的任意一点，M N ，分别为VA VC ，的中点，则下列结论正确的是（）A ．MN AB ∥B ．MN 与BC 所成的角为45︒C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC【答案】D【解析】对于A 项，MN 与AB 异面，故A 项错；对于B 项，可证BC ⊥平面VAC ，故BC MN ⊥，∴所成的角为90︒，因此B 项错；对于C 项，OC 与AC 不垂直，∴OC 不可能垂直平面VAC ，故C 项错；对于D 项，由于BC AC ⊥，VA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴VA BC ⊥，∵=AC VA A I ，∴BC ⊥平面VAC ，BC ⊂平面VBC ，∴平面VAC ⊥平面VBC ，故选D ．10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1AB E【答案】C【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，∴B 错；对于C 项，∵AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C 正确；对于D 项，∵11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11A C ∥平面1AB E 不正确，∴D 项不正确；故选C ．11．设E F ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且21AB EF ==，，给出下列四个命题：①三棱锥11D B EF -的体积为定值；②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒；③11D B ⊥平面1B EF ；④直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60︒．其中正确的命题为（）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①④【答案】A【解析】由题意得，如图所示，①中，三棱锥的体积的为11111111112223323D B EF B D EF D EF V V S B C EF --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△，∴体积为定值；②中，在正方体中，11EF C D ∥，∴异面直线11D B 与EF 所成的角就是直线11D B 与11C D 所成的角，即11145B D C ∠=︒，∴这正确的；③中，由②可知，直线11D B 与EF 不垂直，∴11D B ⊥面1B EF 不成立，∴是错误的；④中，根据斜线与平面所成的角，可知11D B 与平面1B EF 所成的角，即为11145B D C ∠=︒，∴不正确．12．如下图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，145AD AB AD AB BCD ==⊥∠=︒，，，将ABD △沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '．其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】B【解析】①∵90BAD AD AB ∠=︒=，，∴45ADB ABD ∠=∠=︒，∵45AD BC BCD ∠=︒∥，，∴BD DC ⊥，∵平面A BD '⊥平面BCD ，且平面A BD 'I 平面BCD BD =，∴CD ⊥平面A BD '，∵A D '⊂平面A BD '，∴CD A D ⊥'，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥A BCD '-的体积为1132⋅=，故②错误；③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又∵A B '⊂平面A BD '，∴CD A B ⊥'，又A B A D '⊥'，且A D '、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '= ，∴A B '⊥平面A DC '，又A B '⊂平面A BC '，∴平面A BC '⊥平面A DC '，故④正确．故选B ．二、填空题13．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，m β∥，则αβ∥；③若m n ∥，m α⊥，则n α⊥；④若m α∥，αβ⊥，则m β⊥．【答案】③【解析】m α∥，n α∥，则m n ∥，m 与n 可能相交也可能异面，∴①不正确；m α∥，m β∥，则αβ∥，还有α与β可能相交，∴②不正确；m n ∥，m α⊥，则n α⊥，满足直线与平面垂直的性质定理，故③正确；m α∥，αβ⊥，则m β⊥，也可能m β∥，也可能m A β= ，∴④不正确；故答案为③．14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①AB EF ⊥；②AB 与CM 所成的角为60︒；③EF 与MN 是异面直线；④MN CD ∥．以上四个命题中，正确命题的序号是_________．【答案】①③【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：则AB EF ⊥，EF 与MN 异面，AB CM MN CD ⊥∥，，只有①③正确．故答案为①③．15．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD AC BD AD BC ===，，，给出下列结论：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大90︒而小于180︒；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）【答案】②④【解析】①将四面体ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，∴平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，∴同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误；②四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确；③由②，四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180︒．③错误；④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确，故答案为②④．16．如图，一张矩形白纸ABCD ，10AB =，AD =E F ，分别为AD BC ，的中点，现分别将ABE △，CDF △沿BE DF ，折起，且A C 、在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE CD∥③当A C 、重合于点P 时，PG PD⊥④当A C 、重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为150π【答案】①④【解析】在ABE △中，tan ABE ∠=，在ACD △中，tan CAD ∠=，∴ABE DAC ∠=∠，由题意，将ABECDF △，△沿BE DF ，折起，且A C ，在平面BEDF 同侧，此时A C G H ，，，四点在同一平面内，平面ABE I 平面AGHC AG =，平面CDF I 平面AGHC CH =，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG CH ∥，显然AG CH =，∴四边形AGHC 是平行四边形，∴AC GH ∥，进而得到AC ∥平面BFDE ，∴①正确的；由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，∴AE 与CD 不平行，∴②错误的；折叠后，可得PG =10PD =，其中10GD =，222PG PD GD +≠，∴PG 和PD 不垂直，∴③不正确；当,A C 重合于点P 时，在三棱锥P DEF -中，EFD △和FCD △均为直角三角形，∴DF 为外接球的直径，即2DF R ==，则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为2244150R π=π⨯=π，∴④是正确，综上正确命题的序号为①④．三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD △为正三角形．且PA =（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．【答案】（1）见解析；（2）89．【解析】（1）证明：∵AB AD ⊥，且2AB AD ==，∴BD =，又PBD △为正三角形，∴PB PD BD ===，又∵2AB =，PA =AB PB ⊥，又∵AB AD ⊥，BC AD ∥，∴AB BC ⊥，PB BC B = ，∴AB ⊥平面PBC ，又∵AB ⊆平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ．（2）如图，连接BD ，AC 交于点O ，∵BC AD ∥，且2AD BC =，∴2OD OB =，连接OE ，∵PB ∥平面ACE ，∴PB OE ∥，则2DE PE =，由（1）点P 到平面ABCD 的距离为2，∴点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=，∴111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，即四面体A CDE -的体积为89．18．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4AB =，2AE =，1EF =．（1）求证：BC AF ⊥；（2）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ；（3）求证：AF ⊥平面EBC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）∵EF AB ∥，∴EF 与AB 确定平面EABF ，∵EA ⊥平面ABCD ，∴EA BC ⊥．由已知得AB BC ⊥且=EA AB A I ，∴BC ⊥平面EABF ．又AF ⊂平面EABF ，∴BC AF ⊥．（2）过M 作MN BC ⊥，垂足为N ，连接FN ，则MN AB ∥．又14CM AC =，∴MN AB =．又EF AB ∥且14EF AB =，∴EF MN ∥且EF MN =，∴四边形EFNM 为平行四边形，∴EM FN ∥．又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，∴EM ∥平面FBC ．（3）由（1）可知，AF BC ⊥．在四边形ABFE 中，4AB =，2AE =，1EF =，90BAE AEF ∠=∠=︒，∴1tan tan 2EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠．设AF BE P =I ，∵90PAE PAB ∠+∠=︒，故90PBA PAB ∠+∠=︒，则90APB ∠=︒，即EB AF ⊥．又∵EB BC B =I ，∴AF ⊥平面EBC ．。

高考数学专题七立体几何第54练平行与垂直的证明练

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题七立体几何第54练平行与垂直的证明练习训练目标能熟练应用平行、垂直的有关定理及性质证明平行、垂直问题.训练题型(1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件.解题策略用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用.1．(2015·苏州上学期期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点．求证：(1)EF∥平面C1BD；(2)A1C⊥平面C1BD.2.如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝2，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAC⊥平面PDE.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，E、F分别为PC、BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.4．(2015·北京朝阳区第一次综合练)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．(1)求证：BD⊥平面ACC1A1；(2)求证：直线AB1∥平面BC1D；(3)设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．5．(2015·北京海淀下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.(1)求证：BE 1⊥DC ；(2)求证：DM ∥平面BCE 1；(3)判断直线CD 与ME 1的位置关系，并说明理由．答案解析1．证明 (1)如图，连接AD 1，∵E ，F 分别是AD 和DD 1的中点，∴EF ∥AD 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，即有AD 1∥BC 1，∴EF ∥BC 1.又EF ⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ，∴EF ∥平面C 1BD .(2)如图，连接AC ，则AC ⊥BD .∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥BD .又AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面AA 1C ，AC ⊂平面AA 1C ，∴BD ⊥平面AA 1C ，A 1C ⊂平面AA 1C ，∴A 1C ⊥BD .同理可证A 1C ⊥BC 1.又BD ∩BC 1＝B ，BD ⊂平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ，∴A 1C ⊥平面C 1BD .2．证明 (1)如图，取PD 中点G ，连接AG ，FG ，因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD . 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且AE ＝12CD . 所以AE ∥FG ，AE ＝FG .所以四边形AEFG 为平行四边形．所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，(2)设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点，得AH CH ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AH ＝13AC ＝33. 所以AH AE ＝AB AC ＝23，又∠BAC 为公共角，所以△HAE ∽△BAC .所以∠AHE ＝∠ABC ＝90°，即DE ⊥AC .又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC .又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .3．证明 (1)如图，连接AC ，则AC ∩BD ＝F ，因为四边形ABCD 为正方形，所以F 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以在△CPA 中，EF ∥PA .又PA ⊂侧面PAD ，EF ⊄侧面PAD ，所以EF ∥侧面PAD .(2)因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，CD ⊂底面ABCD ，所以CD ⊥侧面PAD .又PA ⊂侧面PAD ，所以CD ⊥PA .又PA ＝PD ＝22AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即PA ⊥PD . 因为CD ∩PD ＝D ，且CD ⊂侧面PDC ，PD ⊂侧面PDC ，所以PA ⊥侧面PDC .又PA ⊂侧面PAB ，所以侧面PAB ⊥侧面PDC .即平面PAB ⊥平面PDC .4．(1)证明因为三棱柱的侧面是正方形，所以CC 1⊥BC ，CC 1⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，BC ⊂底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，因为BD⊂底面ABC，所以CC1⊥BD.由已知可得，底面三角形ABC为正三角形．因为D是AC中点，所以BD⊥AC.因为AC∩CC1＝C，AC⊂平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.(2)证明如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.显然点O为B1C的中点．因为D是AC中点，所以AB1∥OD.因为OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，所以直线AB1∥平面BC1D.(3)解在△BC 1D内的平面区域(包括边界)存在一点E，使CE⊥DM，此时点E在线段C1D上．证明如下：如图，过C作CE⊥C1D，交线段C1D于E，由(1)可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE.又CE⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D⊂平面BC1D，BD⊂平面BC1D，所以CE⊥平面BC1D.又DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM.5．(1)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以BE1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，BE1⊂平面ABE1F1，所以BE1⊥平面ABCD.因为DC⊂平面ABCD，所以BE1⊥DC.(2)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以AM∥BE1.因为AD∥BC，AD∩AM＝A，BC∩BE1＝B，AD⊂平面ADM，AM⊂平面ADM，BC⊂平面BCE1，BE1⊂平面BCE1所以平面ADM∥平面BCE1.因为DM⊂平面ADM，所以DM∥平面BCE1.(3)解直线CD与ME1相交，理由如下：取BC的中点P，CE1的中点Q，连接AP，PQ，QM，所以PQ ∥BE 1，且PQ ＝12BE 1.在矩形ABE 1F 1中，M 为AF 1的中点，所以AM ∥BE 1，且AM ＝12BE 1，所以PQ ∥AM ，且PQ ＝AM .所以四边形APQM 为平行四边形，所以MQ ∥AP ，MQ ＝AP .因为四边形ABCD 为梯形，P 为BC 的中点，BC ＝2AD ，所以AD ∥PC ，AD ＝PC ，所以四边形ADCP 为平行四边形．所以CD ∥AP ，且CD ＝AP .所以CD ∥MQ 且CD ＝MQ .所以四边形CDMQ 是平行四边形．所以DM ∥CQ ，即DM ∥CE 1.因为DM ≠CE 1，所以四边形DME 1C 是以DM ，CE 1为底边的梯形，所以直线CD 与ME 1相交．。

立体几何的平行垂直关系的证明高考优化训练

专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题

空间中的平行与垂直例题和知识点总结

高中数学高考总复习立体几何各种平行与垂直的判断习题及详解

高中数学专项提升——立体几何中平行与垂直证明

2020高考数学冲刺核心考点 专题3 第2讲 立体几何(大题)

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

2020届高考数学专题十五平行垂直关系的证明精准培优专练理

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

专题3：立体几何中平行关系的证明基础练习题

平行、垂直的综合问题

高中立体几何证明题

压轴题05 立体几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)

(高中段)大题考法立体几何第一课时平行与垂直关系的证明

《立体几何中的平行与垂直关系》专题训练

立体几何(平行垂直的证明及角)专题辅导

高中数学第三章空间向量与立体几何 空间向量与平行、垂直的关系练习(含解析)新人教A版选修2-1

2019年高考数学(理科)专题十五平行垂直关系的证明精准培优专练(含答案)

高考数学 专题七 立体几何 第54练 平行与垂直的证明练

2020高考数学冲刺核心考点专题3 第2讲立体几何(大题)

高中数学第三章空间向量与立体几何空间向量与平行、垂直的关系练习(含解析)新人教A版选修2-1

高考数学专题七立体几何第54练平行与垂直的证明练