《矩形、菱形、正方形性质、判定》2006年中考试题集锦(一)

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备战中考数学分点透练真题矩形、菱形、正方形(解析版)

第十九讲矩形、菱形、正方形命题点1 矩形的相关证明与计算1．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD 的面积为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．2．（2021•遂宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE 沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．∴AF＝4．∴BF＝AB﹣AF＝1．在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．即（3﹣x）2+12＝x2．解得x＝．故选：D．3．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）【解答】解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．4．（2021•贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是．【答案】【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案为：．5．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为．【答案】20【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO＝AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．6．（2021•嘉峪关）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝cm．【答案】6【解答】解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4cm，∴AD＝2EF＝8cm，∵∠EAD＝30°，∴AE＝AD•cos30°＝8×＝4cm，又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BEA＝∠EAD＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AE•cos∠BEA＝4×cos30°＝4×＝6（cm），故答案为：6．7．（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为cm（结果保留根号）．【答案】【解答】解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，垂足分别为E，F，由题意知∠FOD＝2∠DOE，∵∠FOD+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝30cm，∴OE∥BC，∴∠DBC＝∠DOE＝30°，∴BC＝CD＝cm，故答案为．8．（2021•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD 于点E、交BC于点F，则线段EF的长为．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案为：．9．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB ＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）【答案】①③④【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE⊥BD故①正确；②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝AF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝AF，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；∴判断正确的是①③④．故答案为：①③④．10．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．【答案】（1）略（2）4﹣8．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．11．（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．【答案】（1）4 （2）tanα＝＝【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形对角线的长为4；（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD，OE⊥AD于点E，∴AE＝DE＝AD＝，∴tanα＝＝．命题点2 菱形的相关证明与计算12．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形【答案】B【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，故选：B．13．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（，2）C．（3，）D．（2，）【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，∴C（1，0），D（2，），故选：D．14．（2021•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．15．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD 方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，故选：C．16．（2021•安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+B．2+2C．2+D．1+2【答案】A【解答】解：如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝×＝，同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长＝3+，故选：A．17．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF ＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，∵G、H分别是AC的三等分点，∴，，∴，∴EG∥BC∴，同理可得HF∥AD，，∴，故选：A．18．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（）A．B．2C．+1D．2﹣1【答案】C【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB，垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠FDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°，∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3，∴DE＝，设AH＝x，则HE＝2﹣x，∵AD＝BD，DH⊥AB，∴∠ADH＝∠ADB＝30°，∴AD＝2x，DH＝x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²，∴（x）²+（2﹣x）²＝（）²，解得：x＝（负值舍去），∴AD＝2x＝1+，故选：C．19．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】AE＝AF【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF．20．（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．【答案】【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝，OB＝，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴OE＝21．（2021•盐城）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．【答案】（1）略（2）②【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠F AE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠F AE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．22．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．【答案】（1）略（2）4【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，∴OE＝OF，EF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△OBF和△ODE中，，∴△OBF≌△ODE（AAS），∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．（2）如图，∵AB•AD＝3，∴S△ABD＝AB•AD＝，∵ED＝2AE，∴ED＝AD，∴S△BDE：S△ABD＝2：3，∴S△BDE＝，∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，∴EF•BD＝4．命题点3 正方形的相关证明与计算23．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C．24．（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3C．D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．25．（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．26．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正确；②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．由①知：OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE．∴∠OFB＝∠ADE．∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°．∴∠OFB+∠AHD＝90°．即：∠FMH＝90°，∴DE⊥FG．∴②正确；③由②知：∠OFB＝∠ADE．即：∠BFG＝∠ADE．∴③正确；④∵点E为AC上一动点，∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝．∴DE＝AC＝2．由①知：FG＝DE，∴FG的最小值为2，∴④错误．综上，正确的结论为：①②③．故选：C．27．（2021•黔东南州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：分别延长AD和BE交于点F，由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，∴BF＝AB÷cos60°＝2÷＝4，AF＝BF•sin60°＝4×＝2，∠F＝90°﹣∠ABF ＝30°，∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，∴EF＝DF•cos∠F＝（2）×＝3﹣，由题知，△ABB'是等边三角形，∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣）＝﹣1，故选：A．28．（2021•常德）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF 交于P．则下列结论成立的是（）A．BE＝AE B．PC＝PDC．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC【答案】C【解答】解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴AF＝BE，在△AFD和△BEA中，，∴△AFD≌△BEA（SAS），∴∠FDA＝∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD＝90°，∴∠EAB+∠AFD＝90°，即∠EAF+∠AFD＝90°，故C正确，A、B、D无法证明其成立，故选：C．29．（2021春•新吴区月考）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，5）C．（5，﹣2）D．（﹣1，5）【答案】D【解答】解：如图，过点E作ED⊥x轴于点D，过点G和点F分别作y轴和x轴的平行线，交y轴和x轴于点B和A，两线相交于点C，得矩形ACBO，∴AC＝OB，AO＝CB，∵点E的坐标为（2，3），∴ED＝3，OD＝2，∵四边形OEFG是正方形，∴∠EOG＝∠FGO＝90°，∴∠EOD+∠GOB＝90°，∵∠GOB+∠OGB＝90°，∴∠EOD＝∠OGB，在△EOD和△OGB中，，∴△EOD≌△OGB（AAS），∴ED＝OB＝3，OD＝BG＝2，同理可证：△EOD≌△FGC（AAS），∴ED＝CG＝3，OD＝CF＝2，∴AO＝CB＝BG+CG＝3+2＝5，AF＝AC﹣CF＝OB﹣CF＝3﹣2＝1，∴F（﹣1，5）．故选：D．30．（2020•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．【答案】4【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH 于T，∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC，又∵Q是AB中点，∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩形，∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，∴TH＝2，∴OH＝＝＝2，∴MN＝2OH＝4，故答案为：4．31．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是．【答案】﹣1【解答】解：∵地毯面积被平均分成了3份，∴每一份的边长为＝，∴CD＝3×＝，在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AD＝＝，又根据剪裁可知BD＝CK＝1，∴AB＝AD﹣BD＝﹣1．故答案为：﹣1．32．（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为．【答案】【解答】解：设CF与DE交于点O，∵将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，∴GO＝DO，CF⊥DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD，∴∠CFD+∠FCD＝90°＝∠CFD+∠ADE，∴∠ADE＝∠FCD，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴AE＝DF＝5，∵AE＝5，AD＝12，∴DE＝＝＝13，∵cos∠ADE＝，∴，∴DO＝＝GO，∴EG＝13﹣2×＝，故答案为：．33．（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为．【答案】【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，∴E（4，﹣2），F（2，3），∵G为EF的中点，∴G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k＝﹣，∴直线OE解析式为y＝﹣x，令x＝2得y＝﹣1，∴H（2，﹣1），∴GH＝＝，方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，∵O为正方形对角线AC和BD的交点，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，∴点H、点G分别为OE、FE的中点，∴GH为△OEF的中位线，∴GH＝OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，∴GH＝OF＝，故答案为：．34．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：∵AB＝AD＝，∴BD＝＝＝8，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，又AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF＝4﹣2＝2，故四边形BEDF为菱形．∵∠DOE＝90°，∴DE＝＝＝2．∴4DE＝，故四边形BEDF的周长为8．。

中考数学热身矩形、菱形、正方形(含解析)

矩形、菱形、正方形一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为cm．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是cm．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．矩形、菱形、正方形参考答案与试题解析一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为2cm．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的性质推出OA=OB，证出等边△OAB，求出BA，根据勾股定理求出BC即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=AC=2（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2cm，∠ABC=90°，在△ABC中，由勾股定理得：BC===2（cm），∴AD=BC=2（cm）．故答案是：2．【点评】本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AB的长是解此题的关键．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是8 cm．【考点】勾股定理；菱形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是3．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4，则另一条对角线的长是8．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，因为对角线互相垂直平分，所以∠AOB=90°，AO=3，在RT△AOB中，BO==4，∴BD=2BO=8．【点评】注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为 2 ．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求得其边长，从而就不难求得其面积．【解答】解：由题意得，正方形的边长为，故面积为2．故答案为2．【点评】主要考查到正方形的性质和面积的求法．要注意：正方形的对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24 cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【考点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等．【解答】解：根据题意得：∠2=∠3，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠2=（180°﹣50°）÷2=65°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠2=180°，∴∠AEF=180°﹣65°=115°．故选B．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形【考点】剪纸问题．【专题】操作型．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：由于EF的位置是不确定的，只能得到所求的四边形的一组对边平行，所以是梯形．故选A．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线可以求得菱形ABCD的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【解答】解：菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，则菱形的面积为×6×8=24，菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20，答：菱形的周长为20，面积为24．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．【考点】正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF ⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．【解答】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，∴GF∥EC且GF=EC．又∵H是EC的中点，EH=EC，∴GF∥EH且GF=EH．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）连接GH，EF．∵G，H分别是BE，EC的中点，∴GH∥BC且GH=BC．又∵EF⊥BC且EF=BC，又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，∴GH∥BC，∴EF⊥GH，又∵EF=GH．∴平行四边形EGFH是正方形．【点评】主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】首先连接BD，根据菱形的四条边都相等，可得AB=BC=CD=AD；又由BE⊥AD，AE=ED，可得AB=AD=BD，所以∠A=60°，可得∠ADC=120°，即可得∠EBF的度数．【解答】解：连接BD，∵BE⊥AD，AE=ED，∴AB=BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，∴AB=AD=BD，∴∠A=60°，∴∠ADC=120°，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BED=∠BFD=90°，∴∠EBF=60°．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．还考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题要细心．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】由全等三角形的判定定理直接可证△ADE≌△FCD，即证AD=CF．【解答】解：（1）AD=CF．（2分）（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AE，AB=CD，∴∠AED=∠FDC，∵DE=AB，∴DE=AB=CD．又∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠A=90°．（4分）∴△ADE≌△FCD（AAS）．（5分）∴AD=CF．（6分）【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．【专题】几何综合题．【分析】先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，又∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B=∠C．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情况．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【考点】矩形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据平行线性质和角平分线性质，以及由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．。

初三中考一轮复习(18)矩形菱形正方形题型分类含答案(全面非常好)

∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO，又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴四边形AECF是矩形．考点二：菱形的性质及判定的应用。

例2 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．【解答】解：（1）四边形OCED是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形．（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，∴OE∥BC又CE∥BD∴四边形BCEO是平行四边形；∴OE=BC=8（7分）∴S四边形OCED=错误!未找到引用源。

OE•CD=错误!未找到引用源。

×8×6=24．考点三：正方形的性质及判定的应用。

例3如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140︒，求∠AFE的度数．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴CD＝CB，∵AC是正方形的对角线∴∠DCA＝∠BCA又CE ＝CE∴△BEC≌△DEC(2）∵∠DEB ＝ 140︒由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140︒÷2＝70︒，∴∠AEF ＝∠BEC＝70︒，又∵AC是正方形的对角线，∠DAB＝90︒∴∠DAC ＝∠BAC＝90︒÷2＝45︒，ABCDEF在△AEF 中，∠AFE ＝180︒— 70︒— 45︒＝65︒ 考点四：中点四边形顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

例4 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）【解答】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．证明：连接AC 、BD ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥AC ，EF =错误!未找到引用源。

初中考数学专题总复习《四边形》矩形、菱形、正方形

∵BE＝DF，
∴OE＝OF.(2分)
在△AOE和△COF中，
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
OE＝OF ∴△AOE≌△COF(SAS)， ∴AE＝CF；(4分)
第2题图
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB. ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12，(6分) 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC 2 AB2 ＝6 3 ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6 3 ＝36 3 .(8分)
第5题图
(1)证明：∵对角线AC的中点为O， ∴AO＝CO. ∵AG＝CH， ∴AO－AG＝CO－CH.即GO＝HO. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)．
第5题图
∴OE＝OF. ∴GH与EF互相平分， ∴四边形EHFG是平行四边形；
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
第1题图
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD. ∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
母题变式改变条件、增加设问→在矩形基础上构造菱形，增加设问及解题难度． 2. (2020德阳)如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE.连接CE. (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
第6题图
(2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE为矩形．
(2)∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠DEB＝∠ABE，∴BD＝DE， ∵AD＝BD，DF＝DE， ∴AD＋BD＝DE＋DF，即AB＝EF， ∴四边形AFBE是矩形．

《矩形、菱形、正方形性质、判定》2006年中考试题集锦(一)

《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦（一）第1题. (2006 梅州课改)能使平行四边形A B C D 为正方形的条件是．（填上一个符合题目要求的条件即可）答案：A C B D =且A C B D ⊥或A B B C =且A B B C ⊥等第2题. (2006 陕西非课改)如图，矩形()ABCG AB BC <与矩形C D E F 全等，点B C D ，，在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段B D 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：C第3题. (2006 陕西非课改)将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．答案：1:2第4题. (2006 成都课改)如图，在等腰梯形A B C D 中，AD BC AB AD ≠，∥，对角线AC BD ，相交于点O ．如下四个结论：①梯形A B C D 是轴对称图形； ②D A C D C A =∠∠； ③AO B D O C △≌△； ④AO D BO C △∽△．请把其中正确结论的序号填在横线上：．答案：①，③，④第5题. (2006 荆门大纲)如图，有一张面积为1的正方形纸片A B C D ，M ，N 分别是A D ，B C 边的中点，将C 点折叠至M N 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ =．A B DEP（①）（②）ＭＤＱＮＢ答案：3第6题. (2006 泰安非课改)将矩形纸片A B C D 如图那样折叠，使顶点B 与顶点D 重合，折痕为E F ．若AB =3A D =，则D E F △的周长为_________．答案：6第7题. （2006 芜湖课改）对角线互相垂直平分的四边形一定是（）Ａ．矩形Ｂ．菱形Ｃ．等腰梯形Ｄ．直角梯形答案：Ｂ第8题. （2006 滨州非课改）如图，在R t A B C △中，E 为斜边A B 上一点，21AE EB ==，，四边形D E F C 为正方形，则阴影部分的面积为．答案：1第9题. （2006 河南课改）如图，在A B C △中，90ACB =∠，2A C =，3B C =．D 是B C 边上一点，直线D E B C ⊥于D ，交A B 于E ，C F AB ∥交直线D E 于F ．设C D x =．（1）当x 取何值时，四边形E A C F 是菱形？请说明理由；（2）当x 取何值时，四边形E A C D 的面积等于2？答案：解：（1）90ACB =∠，A C B C ∴⊥，又D E B C ⊥，E F A C ∴∥．又A E C F ∥，∴四边形E A C F 是平行四边形．当C F A C =时，四边形A C F E 是菱形．此时，2C F AC ==，3B D x =-，2tan 3B =∠，()2tan 33E D B D B x ==- ∠．()222333D FEF E D x x ∴=-=--=．DCFABE A 'EBAE DF B CABDFCAE在R t C D F △中，222CD DF CF +=， 222223x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，x ∴=±．即当x =A C F E 是菱形．（2）由已知得，四边形E A C D 是直角梯形，212142233EAC D S x x x x ⎛⎫=⨯-=-+ ⎪⎝⎭ 梯形，依题意，得21223x x -+=．整理，得2660x x -+=．解之，得13x =-23x =+．33x BC =+>=，3x ∴=+舍去．∴当3x =-E A C D 的面积等于2．第10题. （2006 淮安课改）如图，正方形A B C D 的边长为2，点E 在A B 边上，四边形E F G B 也为正方形，设A F C △的面积为S ，则（）Ａ．2S = Ｂ． 2.4S =Ｃ．4S = Ｄ．S 与B E 长度有关答案：A第11题. （2006 常德课改)下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形Ｄ．两条对角线相等的平行四边形是矩形答案：Ｄ第12题. (2006 济南非课改)现有若干张边长不相等但都大于4cm 的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm 处，沿45角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是 cm 2；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？．CD2cm2cm2cm答案：8；得到的阴影部分的面积是28cm ，即阴影部分的面积不变．第13题. (2006 江西非课改)如图，在矩形A B C D 中，12A B B C ==，，则_______AC =．答案：第14题. (2006 上海非课改)在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形答案：Ｃ第15题. (2006 湖北十堰课改)如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）Ａ．22.5 角Ｂ．30 角Ｃ．45 角Ｄ．60 角答案：Ｃ第16题. (2006 湖北十堰课改)如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形A B C D 是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形A B C D 是否为矩形（图乙供设计备用）．答案：解：方案如下：①用卷尺分别比较A B 与C D A D ，与B C 的长度，当A B C D =，且AD BC =时，四边形A B C D 为平行四边形；否则四边形A B C D 不是平行四边形，从而不是矩形．②当四边形A B C D 是平行四边形时，用卷尺比较对角线A C 与B D 的长度．当A C B D =时，四边形A B C D 是矩形；否则四边形A B C D 不是矩形．说明：（1）考生设计以下方案，请参照给分．A B CDDA C BBCAD（图甲）（图乙）方案一：先用勾股定理逆定理测量一个角是否为直角，然后用同样的方法再测量另外两个角是否也为直角，并给出判断；方案二：先测量四边形A B C D 是否为平行四边形，再用勾股定理逆定理测量其中一个角是否为直角，并给出判断．第17题. (2006 潍坊课改)如图，在矩形A B C D 中，68AB BC ==，，若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕E F 的长为（） A ．152B ．154C ．5D ．6答案：Ａ第18题. (2006 潍坊课改)如图，边长为1的正方形A B C D 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形A B C D '''，图中阴影部分的面积为（） A ．12B．3C．13-D．14-答案：Ｃ第19题. (2006 潍坊课改)小明家准备建造长为28米的蔬菜大棚，示意图如图（1）．它的横截面为如图（2）所示的四边形A B C D ，已知3A B =米，6B C =米，45BC D =︒∠，A B B C ⊥，D 到B C 的距离D E 为1米．矩形棚顶AD D A ''及矩形D C C D ''由钢架及塑料薄膜制作，造价为每平方米120元，其它部分（保温墙体等）造价共9250元，则这个大棚的总造价为多少元？（精确到1元）1.41 1.732.24 5.39 5.83=====）答案：解：过D 作D F AB ⊥于F ，A B B C ⊥ ，D F B C ∴∥，又DE B C ⊥ ，D E AB ∴∥，∴四边形B E D F 为矩形，1D E B F∴==，D F BE =，又45BCD ∠=，1C E C D ∴==，又6B C =，5D F B E ∴==，在R t A F D △中，25AF DF ==，，FD 'C A BCD E C 'D 'A '图1ABCDE图2AFBEDC5295.39AD ∴===，∴28150.9A D DS ''=≈四边形，2839.5DC CS ''=≈四边形，∴总造价为(150.939.5)120925032098+⨯+≈（元）．［或用计算器计算得120925032096⨯+≈（元）．］第20题. (2006 烟台非课改)如图，l 是四边形A B C D 的对称轴，如果A D B C ∥，则有以下结论：①AB C D ∥②A B B C =③A B B C ⊥④AO C O =．那么其中正确的结论序号是__________．答案：①②④第21题. (2006 广州课改)如图—①，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图—②的图案，则图—②中阴影部分的面积是整个图案面积的（） A．B ．14C ．17D ．18答案：D第22题. (2006 肇庆课改)顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．梯形答案：Ｂ第23题. （2006 甘肃张掖课改）如果一个四边形绕对角线的交点旋转90 ，所得的图形与原来的图形重合，那么这个四边形一定是（）Ａ．平行四边形Ｂ．矩形Ｃ．菱形Ｄ．正方形答案：Ｄ第24题. （2006 海南非课改）如图，在菱形A B C D 中，E ，F ，G ，H分别是图—①图—②B DHEA FGO菱形四边的中点，连结E G 与F H 交于点O ，则图中共有菱形（）Ａ．4个Ｂ．5个Ｃ．6个Ｄ．7个答案：Ｂ第25题. （2006 海南非课改）如图，矩形A B C D 的对角线A C ，B D 相交于点O ，2A B =，120BOC = ∠，则A C 的长是__________．答案：4第26题. （2006 宿迁课改）如图，将矩形A B C D 沿A E 折叠，若30BAD '=∠，则AED '∠等于（）Ａ．30Ｂ．45Ｃ．60Ｄ．75答案：Ｃ第27题. （2006 宿迁课改）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是___________．（结果可用根号表示）答案：2第28题. （2006 天津非课改）下列判断中正确的是（） A ．四边相等的四边形是正方形B ．四角相等的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形答案：D第29题. （2006 广东非课改）如图，在菱形A B C D 中，A D B ∠与A B D ∠的大小关系是（）Ａ．AD B ABD ∠>∠Ｂ．AD B ABD ∠<∠ Ｃ．AD B ABD ∠=∠Ｄ．无法确定答案：Ｃ第30题. （2006 贺州课改）如图7，O 是菱形A B C D 的对角线AC BD ，的交点，E F ，分别是OA OC ，的中点．下列结论：①AD E EO D S S =△△；②四边形B F D E 是中心对称图形；③D EF △是轴对称图形；④A D E E D O ∠=∠．其中错误．．的结论有．Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：ＡCOADCBABCD ED 'ＢBD。

中考数学_专项_矩形、菱形、正方形考点及题型

【中考数学】矩形、菱形、正方形的5大考点及题型汇总矩形、菱形、正方形是八年级下册特殊平行四边形这一章节的重要组成部分。

他们都是基于平行四边形的性质衍生出来的其基本的性质都和平行四边形是一样的。

所以大家在进行学习和记忆的时候只需要紧抓其特殊部分，就能把他们都区分出来。

熟练掌握矩形，菱形，正方形的性质，定义和判定是这部分学习的重点，同时这部分也是中考数学几何部分的重要考点。

只有把这些性质和判定融会贯通。

那么在遇到综合题或者是类似题型的几何才能应对自如，尽快的形成自己的解题思路。

今天就给大家分享初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点及题型，同学们赶紧来查漏补缺。

一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质: 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED ＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。

例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。

例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。

中考试题精选分类矩形、菱形、正方形有解析与答案1

2010中考数学分类汇编矩形菱形正方形 1．（10湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．．．．. 一条直线l 与方形环的边线有四个交点M 、'M 、'N 、N ．小明在探究线段'MM 与N N ' 的数量关系时，从点'M 、'N 向对边作垂线段E M '、F N '，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题： ⑴当直线l 与方形环的对边相交时（如图18-），直线l 分别交AD 、D A ''、C B ''、BC 于M 、'M 、'N 、N ，小明发现'MM 与N N '相等，请你帮他说明理由；⑵当直线l 与方形环的邻边相交时（如图28-），l 分别交AD 、D A ''、C D ''、DC 于M 、'M 、'N 、N ，l 与DC 的夹角为α，你认为'MM 与N N '还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出NN MM ''的值（用含α的三角函数表示）.【答案】⑴解: 在方形环中，∵AD BC F N AD E M ,',⊥⊥'∥BC∴NF N M EM FN N EM M F N E M ',90','∠='∠=∠='∠='︒∴△E MM '≌△F NN '∴N N M M '=' ……………………………5分⑵解法一：∵α='∠='∠︒='∠='∠M M E N FN M ME N NF ,90 ∴N NF '∆∽EM M '∆ ……………………………8分 ∴NF E M N N M M '=''∵F N E M '=' ∴αtan ''='=NFF N NN MM （或ααcos sin ）……………………………10分①当︒=45α时，tan α=1,则N N M M '='②当︒≠45α时，N N M M '≠'则 αtan =''N N M M （或ααcos sin ） ……………………………12分解法二：在方形环中，B18-图28-图︒=∠90D又∵CD F N AD E M ⊥⊥'', ∴E M '∥E M F N DC '=', ∴α=∠='∠NF N E M M ' 在F N N Rt '∆与E M M Rt '∆中， M M E M N N F N ''='=ααcos ,'sinN N M M E M M M N N FN ''=''⋅'=='cos sin tan ααα即 αtan =''N N M M （或ααcos sin ） ……………………………10分 ①当︒=45α时，N N M M '='②当︒≠45α时，N N M M '≠'则 αtan =''N N M M （或ααcos sin ） ……………………………12分2．（2010辽宁丹东市）如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．【答案】解：在Rt△AEF 和Rt△DEC 中， ∵EF ⊥CE ， ∴∠FEC =90°，∴∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°，∴∠AEF =∠ECD ． ····················· 3分又∠FAE =∠EDC =90°．EF =EC∴Rt△AEF ≌Rt△DCE ． ···················· 5分AE =CD ． ···················· 6分 AD =AE +4．∵矩形ABCD 的周长为32 cm ，∴2（AE +AE +4）=32． ···················· 8分解得， AE =6 （cm ）． 10分3．（2010山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；第20题图BCAEDF（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF ，∴R t R t ABE AD F △≌△． ∴BE ＝DF ． ······························ 4分（2）四边形AEMF 是菱形．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC ．∵BE ＝DF ，∴BC －BE = DC －DF . 即C E C F =．∴O E O F =．∵OM = OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形． ······························ 8分4．（2010山东日照）如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）证明：∠BAE =∠FEC ；（2）证明：△AGE ≌△ECF ；（3）求△AEF 的面积．【答案】（1）证明：∵∠AEF =90o，∴∠FEC +∠AEB =90o ．………………………………………1分在Rt △ABE 中，∠AEB +∠BAE =90o ，∴∠BAE =∠FEC ；……………………………………………3分（2）证明：∵G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，A DB E F O C第21题图DCBAOE∴AG=GB=BE=EC ，且∠AGE =180o －45o =135o．又∵CF 是∠DCH 的平分线，∠ECF =90o +45o =135o ．………………………………………4分在△AGE 和△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠=FEC GAE ECF AGE EC AG o,135, ∴△AGE ≌△ECF ； …………………………………………6分（3）解：由△AGE ≌△ECF ，得AE=EF ．又∵∠AEF =90o，∴△AEF 是等腰直角三角形．………………………………7分由AB=a ，BE =21a ，知AE =25a ，∴S △AEF =85a 2．…………………………………………………9分5．（2010四川眉山）如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由；（2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．【答案】解：（1）四边形OCED 是菱形．…………（2分）∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，…………（3分）又在矩形ABCD 中，OC =OD ，∴四边形OCED 是菱形．…………………（4分）（2）连结OE ．由菱形OCED 得：CD ⊥OE ， …………（5分） ∴OE ∥BC 又 CE ∥BD∴四边形BCEO 是平行四边形∴OE =BC =8……………………………………………（7分） ∴S 四边形OCED =11862422O E C D ⋅=⨯⨯=……………（8分）DC BAOE6．（2010浙江绍兴） (1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,∠AOF ＝90°. 求证：BE ＝CF .(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.(3) 已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，EF ,GH 交于点O ,∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案： ①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).【答案】(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°， ∴ ∠EAB +∠AEB =90°.∵ ∠EOB =∠AOF ＝90°,∴ ∠FBC +∠AEB =90°，∴ ∠EAB =∠FBC ， ∴ △ABE ≌△BCF ， ∴ BE =CF ． (2) 解：如图2,过点A 作AM //GH 交BC 于M ，过点B 作BN //EF 交CD 于N ,AM 与BN 交于点O /，则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形，第23题图1第23题图2第23题图3 第23题图4第23题图1N∴ EF=BN ,GH=AM ，∵ ∠FOH ＝90°, AM //GH ，EF//BN , ∴ ∠NO /A =90°, 故由(1)得, △ABM ≌△BCN ， ∴ AM =BN ， ∴ GH =EF =4． (3) ① 8．② 4n ．7．（2010山东聊城）如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ．（1）求∠CAE 的度数；（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．【答案】（1）在等边△ABC 中，∵点D 是BC 边的中点，∴∠DAC ＝30º，又∵等边△ADE ，∴∠DAE ＝60º，∴∠CAE ＝30º（2）在等边△ABC 中，∵F 是AB 边的中点，D 是BC 边的中点，∴CF ＝AD ，∠CFA ＝90º，又∵AD ＝AE ，∴AE ＝CF ，由（1）知∠CAE ＝30º，∴∠EAF ＝60º+30º＝90º，∴∠CFA ＝∠EAF ，∴CF ∥AE ，∵AE ＝CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵∠CFA ＝90º，∴四边形AFCE 是矩形． 8．（2010湖南长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED （1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED ＝120°时，求E F D 的度数．【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝DC又∵AC 为对角线，E 为AC 上一点， ∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°． ∵EC ＝EC,∴△BEC ≌△DEC(SAS)；（2）∵△BEC ≌△DEC, ∠BED ＝120°, ∴∠BEC ＝∠DEC ＝60°．∵∠DAC ＝45°， ∴∠ADE ＝15°∴∠EFD ＝∠BED －∠ADE ＝120°－15°＝105°第22题图9．（2010浙江金华(本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ， BA 上运动的速度分别为12 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线 AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合；（3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）333+-=x y ；（2）（0,3），29=t ；（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1）∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒又∵tFG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0==而t AP =，∴t OP -=3,tAG AP PG 32=-=由t t 323=-得59=t ；当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2∵tOE 33=,∴tBE 3333-=,∴3360tan 0t BE EF -==∴6921t EF EH MP -===，又∵)6(2-=t BP在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2t t -=⋅-，解得745=t ．②存在﹒理由如下：∵2=t ，∴332=OE ,2=AP ，1=OP将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上，C 点坐标为（332，332－1）过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,则△FEQ ∽△EC B '(图1)(图3)由3=='=QECE FEE B FEBE ，可得Q 的坐标为（－32，33）根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件。

中考数学复习《矩形、菱形与正方形》考点及重点题型

中考数学复习《矩形、菱形与正方形》考点及重点题型知识点一：特殊平行四边形的性质与判定1.矩形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形另说法：（1）四个角都是直角（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面积=长×宽=2S△ABD =4S△AOB.2)判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形变式练习：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝__22.5__度．,2.菱形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形另说法（1）四边相等（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半2）判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形变式练习1：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为__24__．第1题图) ,第2题图)变式练习2：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_AC⊥BD或∠AOB＝90°或AB＝BC_使其成为菱形(只填一个即可)．变式练习3：如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是______．第3题图【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝BC＝6.变式练习4：如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( ) A. 18 B. 16 C. 15 D. 14【解析】B∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD＝12BD＝3，AO＝OC＝12AC＝4，∴AB＝5，∴△ABD的周长为：5＋5＋6＝16.3正方形1）性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

《矩形、菱形、正方形性质、判定》2009年中考试题集锦(二)

《矩形、菱形、正方形性质、判定》2006年中考试题集锦（二）第1题. （2006 新疆课改）如图，已知菱形的两条对角线长为a ，b ，你能将菱形沿对角线分割后拼接成矩形吗？画图说明（拼出一种图形即可）；在此过程中，你能发现菱形的面积与a ，b 的关系吗？答案：拼法（1）拼法（2）111112222S S a a b ab ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭矩形()菱形，或211112222S S b b a ab ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭矩形()菱形．结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半．第2题.（2006 济宁课改）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形．（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．中点中点 ① ② ③ ① ② ③答案：（1）如图所示：（2）如图所示：第3题. （2006 聊城课改）顺次连接矩形各边中点所得的四边形（）Ａ．是轴对称图形而不是中心对称图形Ｂ．是中心对称图形而不是轴对称图形Ｃ．既是轴对称图形又是中心对称图形Ｄ．没有对称性答案：Ｃ第4题. （2006 黔南非课改）下列图形中，面积最大的是（） A ．边长为5的正方形B．半径为C ．边长为6，8，10的三角形D ．对角线长为6和8的菱形答案：Ｂ第5题. （2006 北京课改B ）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为(0)x x >．依题意，割补前后图形的面积相等，有25x =，解得x =成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．中点中点 ① ②③①② ③ 中点中点① ② ③ ④ ⑥ 中点中点⑤ ① ② ③④ ⑥⑤图1 图2 图3请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．解：答案：解：所画图形如图所示．第6题. （2006湘潭课改）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，交于点O ，若3cm AO =，4cm BO =，则菱形ABCD 的面积是 2cm ．答案：24第7题. （2006 湖南永州课改）的平行四边形是菱形（填一个合适的条件）．答案：对角线互相垂直或（一组）邻边相等第8题. （2006 玉林、防城港课改）如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在 MN上，且不与M N ，重合，当P 点在 MN 上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度（）Ａ．变大Ｂ．变小Ｃ．不变Ｄ．不能确定答案：Ｃ图4 图5 图4图5 BＢＮＰＡＯ第9题. （2006 株洲课改）将一张矩形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C '点．已知2AB =，30DEC '∠=，则折痕DE 的长为（）Ａ．2Ｂ．Ｃ．4Ｄ．1答案：Ｃ第10题. （2006 株洲课改）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（）Ａ．24cm2Ｃ．2Ｄ．23cm答案：Ｃ第11题. （2006 嘉兴课改）如图，矩形纸片ABCD ，2AB =，30ADB ∠= ，沿对角线BD 折叠（使ABD △和EBD △落在同一平面内），则A ，E 两点间的距离为．答案：2第12题. （2006 兰州A 课改）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在1A处，已知OA =1AB =，则点1A 的坐标是（）．Ａ．322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，Ｂ．32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，Ｃ．322⎛ ⎝⎭，Ｄ．122⎛ ⎝⎭，答案：Ａ第13题. （2006 河南非课改）如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是_______________．答案：12+第14题. （2006 吉林课改）如图，把一个长方体的礼品盒用丝带打上包装，打蝴蝶结部分需丝带45cm ．那么打好整个包装所用丝带总长为_______cm ．10cm12cm15cm答案：143第15题. （2006 泉州课改）菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程27120x x -+=的一个根，则菱形ABCD 的周长为．答案：16第16题. （2006 山西临汾）如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若AFD △的周长为9，ECF △的周长为3，则矩形ABCD 的周长为________．答案：12第17题. （2006 资阳课改）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）Ａ．对角线互相平分Ｂ．对角线相等Ｃ．对角线互相垂直Ｄ．对角线平分一组对角答案：Ａ第18题. （2006贵港非课改）已知菱形的周长为16，则这个菱形较短的对角线长为（） A ．4B ．8C．D ．10答案：Ａ第19题. （2006 钦州非课改）如图，有一腰长为5，底边长为4的等腰三角形纸片，现沿着等腰三角形底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中，是四边形的共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：C第20题. （2006 深圳课改）如图所示，在四边形ABCD 中，A B B C C D D ===，对角线AC 与BD 相交于点O ．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD 是正方形，则还需增加的一个条件是．答案：AC BD =或AB BC ⊥或45ABD ∠= ……等等AABODC第21题. (2006 徐州非课改)将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD 的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．答案：（1）如图答1，因为AD BC AB DC ，∥∥．所以四边形ABCD 为平行四边形．分别过点B D ，作BF AD ⊥，DE AB ⊥，垂足分别为点F E ，，则BF DE =．因为DAB BAF =∠∠，所以Rt Rt DAB BAF △≌△．（利用面积关系写出AB DE AD BF = 1分，指出BF DE = 1分）所以AD AB =，所以四边形ABCD 为菱形．（2）存在最小值和最大值．（判断不准确，不得分） ①当90DAB =∠时，菱形ABCD 为正方形，周长最小值为8．②当AC 为矩形纸片的对角线时，设AB x =，如图答2，在Rt BCG △中，222(8)2x x =-=，174x =．所以周长最大值为17．（不作判断，但正确的求出了周长的最小值得1分，不作判断，但正确的求出了周长的最大值得2分）第22题. （2006 龙岩三县非课改）下列说法错误．．的是（）Ａ．矩形的四个角都相等Ｂ．四条边都相等的四边形是菱形Ｃ．等腰梯形的对角线相等Ｄ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形答案：Ｄ第23题. （2006 龙岩三县非课改）如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E F ，，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为．答案：3（图答1）（图答2） CG A B C。

中考数学第21讲-矩形、菱形、正方形(含答案)

中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【提醒：1、矩形是对称到对称中心是又是对称图形对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两个全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题】菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【提醒：1、菱形即是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识洁具的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【提醒：菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。

这四者之间的关系可表示为：⑴正方形也即是对称图形，又是对称图形，有条对称轴⑵几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的和联系】【重点考点例析】考点一：和矩形有关的折量问题例1 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．对应训练1．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB 于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=34，则菱形ABCD的面积为cm2．对应训练2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC 于点E，则AE的长是（）A．5B．2C．485cm D．245cm考点三：和正方形有关的证明题例3 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．对应训练12．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD 上．（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．考点四：四边形综合性题目例4 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A 旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．对应训练4．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是．【聚焦中考】2．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF ⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA=12BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．3．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60°D．AC是∠EAF的平分线4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．5．（如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．（1）在图中画出线段DE和DF；（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？【备考真题过关】一、选择题1．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A．3cm B．2cm C．2 3 D．4cm2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形3．如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20 B．24 C．28 D．404．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD 的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形的周长是（）A．24 B．16 C．D．7．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（）A．B．2 C．3 D．28．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABCD=4AM2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=43，④S△ODC=S四边形BEOF中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，边长为a 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形A ′B ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（）A ．212aB ．23aC ．2(14a -D ．2(13a -二、填空题11．如图，矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，AC 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则EF= ．1112．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线AC 平行于x 轴，边OA 与x 轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B 的坐标是．13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE 的长度是．14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是．16．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是．17．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为．18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E 为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（-5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标．19．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB= cm．20．如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F，则四边形BEDF的面积为cm2．21．如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留两位有效数字，参考数据π≈3.14）22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6 2，则另一直角边BC的长为．三、解答题23．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．24．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．25．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．①求证：CD=AN；②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．27．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．28．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．。

《矩形、菱形、正方形及其性质、判定》2005年中考试题集锦

《矩形、菱形、正方形及其性质、判定》2005年中考试题集锦第1题. （2005 黑龙江课改）已知菱形ABCD 的边长为6，∠A =60°，如果点P 是菱形内一点，且PB =PD那么AP 的长为．答案：第2题. （2005 吉林课改）一块边长为a 的正方形桌布，平铺在直径为()b a b >的圆桌上，若桌布四角下垂的最大长度相等，则该最大长度为（）b -．2b-．2b -．b -．答案：Ｃ第3题. （2005 常州课改）如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长等于 cm ，四边形EFGH 的面积等于 cm 2.答案： 8第4题. （2005 常州课改）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B第5题. （2005 泰州课改）如下图，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k = .答案：8第6题. （2005 云南课改）请你添加一个条件，使ABCD成为一个菱形，你添加的条件是．答案：AB AD =或AC BD ⊥或对角线平分一个内角（如AC 平分BAD ∠等）第7题. （2005 佛山课改）对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（）．Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．等腰梯形答案：AＨＧＦＥＤＣＢＡ第8题. （2005 漳州大纲）菱形和矩形一定．．都具有的性质是（）Ａ．对角线相等．Ｂ．对角线互相平分．Ｃ．对角线互相垂直．Ｄ．每条对角线平分一组对角．答案：Ｂ第9题. （2005 河北大纲）已知：如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．若2AB =，4AD =，则图中阴影部分的面积为Ａ．3 Ｂ．4Ｃ．6 Ｄ．8答案：B第10题. （2005宿迁大纲）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是（）Ａ．Ｂ．Ｄ．答案：Ｄ第11题. （2005江西大纲）如图，正方形1ABCD AB P =中，，点是对角线AC 上的一点，分别以AP 、PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是．答案：4第12题. （2005南昌大纲）如图，有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数为30的角有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个答案：ＤABE F G DABD第13题. （2005菏泽大纲）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于．答案：30第14题. （2005济南大纲）如图，是由两个正方形组成的长方形花坛 ABCD ，小明从顶点Ａ沿着花坛间小路走到长边中点Ｏ，再从中点Ｏ走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中心2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从3O 走到正方形3O KJP 的中心4O，一共走了m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（）Ａ．36m Ｂ．48m Ｃ．96m Ｄ．60m 答案：C第15题. （2005济南大纲）如图(1)，将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分2，则这个旋转角度为度．如图(2)，将上述两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一个等腰直角三角形沿AC 移动，若重叠部分A PC '△的面积是1 cm 2，则它移动的距离AA '等于 cm ．答案：302第16题. （2005太原大纲）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD 是菱形； ⇒ABCD 是菱形．答案：(1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)]ＢODADBCA 'C 'D '(1)C AB PA 'B 'C '(2)第17题. （2005 天津大纲）在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）Ａ．AC BD =，AB CD∥ Ｂ．AD BC ∥，A C ∠=∠Ｃ．AO BO CO DO ===，AC BD ⊥ Ｄ．AO CO =，BO DO =，AB BC = 答案：Ｃ第18题. （2005 广东课改）设四边形ABCD 是边长为１的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（１）记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，，n a ，请求出2a ，3a ，4a 的值；（１）根据以上规律写出n a 的表达式．答案：解：∵四边形ABCD 为正方形， 190AB BC B ∴==∠= ，，∴在Rt ABC △中，AC ===同理：2AE EH ==，即：2342a a a ===，；（２）1n n a -=（n 为正整数）第19题. （2005 贵阳课改）如图，在ABC △中，AB BC =，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是BC 、AC 、AB 边上的中点．(1) 求证：四边形BDEF 是菱形；(2) 若12AB =cm ，求菱形BDEF 的周长．JC BABDC答案：（1）∵D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点， DE AB ∴∥ E F B C ∥ ∴四边形BDEF 是平行四边形．又12DE AB =，12EF BC =，且AB BC = DE EF =∴∴四边形BDEF 是菱形．另解： ∵D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点，12DE AB =∴，12EF BC =又AB BC =∵1122BD BF AB BC ===∴∴DE EF BF BD === ∴四边形BDEF 是菱形．（2）12AB =∵cm ，F 为AB 的中点， 6BF =∴cm ，∴菱形BDEF 的周长为：4624⨯=cm ．第20题. （2005 吉林大纲）在矩形纸片ABCD 中，AB =6BC =，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，30BPE ∠=．（1）求BE 、QF 的长；（2）求四边形PEFH 的面积．答案：解：（1）设BE x =，在Rt PBE △中，30BPE ∠=，2P E x =∴，PB =．由题意得2EC PE x ==． B E E C B +=∵，36x =∴，2x =，即2BE =． 4EC =∴，PB =．P A B A =-∴在Rt APH △中，60APH ∠= ，3AH =∴，PH =3H Q P Q P =-∴ 在Rt HQF △中，30QHF ∠=，1QF =∴．（2）1(14)2FECD S =+⨯=梯形∵1122HFQ S =⨯=△，13322HFQ HFQ PEFH PEFQ FECD S S S S S =-=-=-=△△四边形梯形梯形∴第21题. （2005 长春课改）图中有两个正方形，A C ，两点在大正方形的对角线上，HAC △是等边三角形，若2AB =，求EF 的长．（参考数据：1sin 302=þ，cos30=þ，tan 30=þsin 45=þcos 45=，tan 451=．）答案：在小正方形中，2AB =，则AC = 在等边三角形ACH中，CH =CO =HO =，在等腰直角三角形HOG中，HG =即EF =HE第22题. （2005 福建三明课改）如图，直角AOB ∠内的任意一点P 到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为．答案：12第23题. （2005 湖北黄石大纲）已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3:4，则菱形的面积为________. 答案：296cm第24题. （2005 湖北荆门大纲）有一张矩形纸片ABCD ， 2.5AB =， 1.5AD =，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将AED △以DE 为折痕向右折叠，AC 与BC 交于点F （如下图），则CF 的长为（）A ．0.5B ．0.75C ．1D ．1.25答案：C第25题. （2005 湖北荆门大纲）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则123++∠∠∠＝________________．答案：135第26题. （2005 宁德大纲）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（）Ａ．平行四边形Ｂ．矩形Ｃ．菱形Ｄ．正方形答案：Ａ第27题. （2005 四川泸州大纲）在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水（如图），看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是（） A ．等边三角形 B ．四边形 C ．等腰梯形 D ．菱形答案：D第28题. （2005 西安）将一个边长为a 的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，则正八边形的面积为（）A BA CDAA．22)a B ．279a C ．22aD ．2(3a -答案：A第29题. （2005 西安）如图，在矩形ABCD 中，EF 是BD 的垂直平分线，已知20BD =，15EF =，求矩形ABCD 的周长．答案：解：解得矩形周长为56．第30题. （2005 扬州）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角线是否都为直角D ．测量其中三角形是否都为直角答案：Ｄ第31题. （2005 扬州）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形凉衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm ，在墙上悬挂凉衣架的两个铁钉A ，B 之间的距离为cm 320，则∠1＝ °．答案：60第32题. 若四边形的两条对角线相等，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是（） (A)梯形 (B)矩形 (C)菱形 (D)正方形答案：CA ＡＢＣ第33题. 如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm 的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离15AB BC ==cm ，则1∠= 度．答案：120。

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题(含答案)

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 m图28－1 C．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C) A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°， ∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC ＝45°， ∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是 (B) A ．AB ＝BEB ．BE ⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD 綊BC ，因为DE ＝AD ，所以DE 綊BC所以四边形EDBC 为平行四边形，A ．假若AB ＝BE ，因为AB ＝BE ，AD ＝DE ，BD ＝BD ，所以△ADB ≌△EDB ，所以∠BDE ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形； B ．假若BE ⊥DC ，可得四边形EDBC 为菱形；C ．假若∠ADB ＝90°，所以∠EDB ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形；D ．假若CE ⊥DE ，所以∠DEC ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形，故选B. 6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你图28－4图28－5认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，图28－6 AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠F AD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于图28－8F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB ＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；图28－9(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD . ∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ， ∴四边形ADCE 是矩形， ∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下：如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形， ∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴DE ∥AB ，DE ＝AB .14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，第13题答图图28－10∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME ＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME ＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是__521 005__．图28－12。

八年级数学下册 9.4《矩形、菱形、正方形》矩形的性质、判定学案(新版)苏科版

八年级数学下册 9.4《矩形、菱形、正方形》矩形的性质、判定学案（新版）苏科版9、4矩形、菱形、正方形矩形的性质、判定一、概念：1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形、（矩形也叫长方形）2、矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质（是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；对边相等、对角相等、对角线互相平分、）（2）矩形的特殊性质：①矩形是轴对称图形；②矩形的四个角都是直角，对角线相等、3、矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形、(定义)（2）三个角是直角的四边形是矩形、（3）对角线相等的平行四边形是矩形、(归纳：证明四边形是矩形的方法有（1）三个角是直角（2）先证明是平行四边形，再证明有一个角是直角或者对角线相等)二、例题讲解例1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=4 cm，∠AOB=60求对角线AC的长、例2、如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且AC=2AB、求证：△AOB是等边三角形、例3、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED、(1)△BEC是否为等腰三角形？为什么？(2)若AB=1，∠ABE=45，求BC的长、例4、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH、探索四边形EFGH的形状并说明理由、例5、如图,四边形ABCD是平行四边形，CA垂直平分BE,试判断四边形EACD的形状，并说明理由、ABCDEFGHMN例6、已知如图，AB∥CD，GM、GN、HM、HN、分别平分∠AGH、∠BGH、∠CHG、∠DHG，试判断四边形GMHN的形状，并说明理由。

【9、4矩形、菱形、正方形(3)(4)菱形的性质、判定】一、概念：1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形、2、菱形的性质：（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质（是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；对边相等、对角相等、对角线互相平分、）（2）菱形的特殊性质：①菱形是轴对称图形；②菱形的四条边相等，对角线互相垂直、3、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形、(定义)（2）四边相等的四边形是菱形、（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形、(归纳：证明四边形是菱形的方法有（1）四边相等（2）先证明是平行四边形，再证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直)二、例题讲解例1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为、，AC、BD相交于点O。

中考专题复习之矩形、菱形、正方形

∴ ∠BED=2×67.5°=135°.
故答案为 135.
图26-2
基
础
知
识
巩
固
5.如图26-3,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将
[答案] 8
矩形ABCD沿AE所在直线折叠,点D恰好落在
[解析]∵ 四边形 ABCD 是矩形,
边BC上的点F处.若DE=5,FC=4,则AB的长为
∴ ∠C=90°,AB=CD,
∴ OB= AB,
2
高
频
考
向
探
究
∴ ∠OAB=30°,∠OBA=60°.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
1
∴ ∠DBE= ∠OBA=30°.
2
作 DE⊥BC 于 E,如图所示:则
图26-1
∠ DEB=90°,DE=OA= 3 . ∵ ∠ DBE=30°,
∴ BD=2DE=2 3.故答案为:2 3.
基
连接CE.
(2)连接DE交BC于点F,连接AF,若CE=2,∠DAB=30°,求AF的长.
(2)如图,取 BE 中点 G,连接 FG.
1
由(1)可知,FB=FC=FE,∴ FG=2CE=1,FG⊥BE.
∵ 在▱ ABCD 中,AD∥BC,∴ ∠CBE=∠DAB=30°.∴ BG= 3.
菱形的定义
有一组⑥ 邻边
菱形的性质对称性
相等的平行四边形叫做菱形
菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴
菱形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点
(1)菱形的四条边⑦ 相等
;
定理 (2)菱形的对角线互相⑧垂直平分 ,并且每一条对角线平分
⑨ 一组对角
基
础

中考数学一轮复习考点26 矩形、菱形、正方形(解析版)

考点26〖矩形、菱形、正方形〗【命题趋势】近三年来矩形、菱形、正方形中考主要考查：矩形、菱形、正方形的判定，利用矩形、菱形、正方形的性质求线段长度，角度，面积。

矩形中常通过折叠考查判断与长度有关的数量关系，注意方程、函数思想的运用。

常命基础题和中档题。

【考查题型】选择题、填空题、解答题【常考知识】矩形、菱形、正方形的判定，利用矩形、菱形、正方形的性质求线段长度，角度，面积。

矩形中常通过折叠考查判断与长度有关的数量关系，注意方程、函数思想的运用.【夺分技巧】在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在四边形还是在平行四边形的基础之上求证的，要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用那一种判定方法。

【易错点】①对矩形的判定方法不清楚。

②没有矩形性质计算的一般思路。

③对菱形的一些关系混淆。

④对三种图形折叠后的一些隐含条件不能很好挖掘。

一、选择题1.（2020·浙江·中考真卷）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；①它是一个正方形；①它是一个矩形．下列推理过程正确的是()A.由①推出①，由①推出①B.由①推出①，由①推出①C.由①推出①，由①推出①D.由①推出①，由①推出①【答案】A【考点】正方形的判定,矩形的判定【解析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．2.（2020·湖北·中考真卷）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE 翻折，点B落在点F处，连结CF，则cos∠ECF的值为（）A.23B.√104C.√53D.2√55【答案】C【考点】解直角三角形,矩形的性质,翻折变换（折叠问题）【解析】由矩形的性质得出∠B＝90∘，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出△AFE≅△ABE，得出∠AEF＝∠AEB，EF＝BE=√5，因此EF＝CE，由等腰三角形的性质得出∠EFC＝∠ECF，由三角形的外角性质得出∠AEB＝∠ECF，cos∠ECF＝cos∠AEB=BEAE，即可得出结果．3.（2020·山东·中考真卷）已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1:2，则菱形的面积为（）A.8B.8C.4D.2【答案】D【考点】菱形的性质,含30度角的直角三角形,相似多边形的性质【解析】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．4.（2020·山东·中考真卷）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为()A. B. C. D.【答案】D【考点】翻折变换（折叠问题）,矩形的性质,特殊角的三角函数值【解析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF=AD=BC=5EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE=x，则DE=EF=3−x,然后在RtΔEF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．5.（2020·江苏·中考真卷）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A.125B.52C.3D.5【答案】B【考点】菱形的性质,三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线【解析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD=12BD＝4，OC＝OA=12AC＝3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．6.（2020·海南·中考真卷）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF=12AD，则图中阴影部分的面积为（）A.25B.30C.35D.40【答案】C【考点】矩形的性质,相似三角形的性质与判定【解析】过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN:GM＝EF:BC＝1:2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解．7.（2020·浙江·中考真卷）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2【答案】D【考点】七巧板,正方形的性质,矩形的性质,平行四边形的性质【解析】根据要求拼平行四边形矩形即可．8.（2020·湖北·中考真卷）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90∘到△ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若BG =3，CG =2，则CE 的长为( )A.54B.154C.4D.92 【答案】B【考点】勾股定理,正方形的性质,旋转的性质,线段垂直平分线的性质【解析】连接EG ，根据AG 垂直平分EF ，即可得出EG ＝FG ，设CE ＝x ，则DE ＝5−x ＝BF ，FG ＝EG ＝8−x ，再根据Rt △CEG 中，CE 2+CG 2＝EG 2，即可得到CE 的长．9.（2020·黑龙江·中考真卷）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），∠DAM ＝45∘，点F 在射线AM 上，且AF =√2BE ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：①∠ECF ＝45∘；①△AEG 的周长为(1+√22)a ；①BE 2+DG 2＝EG 2；①△EAF 的面积的最大值是18a 2；①当BE=13a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①【答案】D【考点】二次函数的最值,勾股定理,全等三角形的性质与判定,正方形的性质【解析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≅△EHC(SAS)即可解决问题．①①错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≅△CDH(SAS)，再证明△GCE≅△GCH(SAS)即可解决问题．①正确．设BE＝x，则AE＝a−x，AF=√2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．①正确．当BE=13a时，设DG＝x，则EG＝x+13a，利用勾股定理构建方程可得x=a2即可解决问题．10.（2020·辽宁·中考真卷）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于占N，S四边形MONC =94，现给出下列结论：①GEAG=13；①sin∠BOF=3√1010；①OF=3√55；①OG＝BG；其中正确的结论有（）A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①【答案】D【考点】解直角三角形,平行线分线段成比例,正方形的性质,全等三角形的性质与判定【解析】①直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；①过点O作OH // BC交AE于点H，过点O作OQ⊥BC交BC于点Q，过点B作BK⊥OM交OM的延长线于点K，首先根据四边形MONC的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出AE，AF，EF的长度，再利用平行线分线段成比例分别求出OM，BK的长度，然后利用sin∠BOF=BKOB 即可判断；①利用平行线分线段成比例得出OFFM=4，然后利用勾股定理求出OM的长度，进而OF的长度可求；①直接利用平行线的性质证明△HOG≅△EBG，即可得出结论．二、填空题11.（2020·江苏·中考真卷）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为________．【答案】5【考点】菱形的性质【解析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，即可得AC⊥BD，OA=12AC＝3，OB=12BD＝4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长．12.（2020·青海·中考真卷）正方形ABCD的边长为2，点P在CD边所在直线上，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．【答案】2或2 3【考点】正方形的性质,解直角三角形,勾股定理【解析】分两种情况讨论，利用锐角三角函数的定义，正方形的性质求解．13.（2020·广西·中考真卷）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE // AB，则OE的长是________．【答案】2【考点】三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线,菱形的性质【解析】由菱形的性质得出AB＝4，由三角形中位线定理即可得出OE的长．14.（2020·四川·中考真卷）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30∘，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为________．【答案】15【考点】等边三角形的性质与判定,矩形的性质,轴对称——最短路线问题【解析】作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．15.（2020·甘肃·中考真卷）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45∘，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90∘得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为________．【答案】2【考点】旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的性质与判定【解析】根据旋转的性质可知，△ADF≅△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≅△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以得到DE的长，本题得以解决．16.（2020·四川·中考真卷）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为________．【答案】43【考点】相似三角形的性质与判定,矩形的性质【解析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ＝BC，AB＝CW，根据相似三角形的判定得出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案．17.（2020·贵州·中考真卷）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是________．【答案】2√5【考点】正方形的性质,轴对称——最短路线问题【解析】连接CE交BD于点P，连接AP，根据正方形的对称性得到AP＝CP，根据两点之间，线段最短可得，AP+PE最小值等于CE的长，利用勾股定理求出CE的长即可得到答案．18.（2020·湖南·中考真卷）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为________．【答案】12【考点】翻折变换（折叠问题）,正方形的性质【解析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．三、解答题19.（2020·广西·中考真卷）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≅△ADF；（2）若BE=√3，∠C＝60∘，求菱形ABCD的面积．【考点】菱形的性质,等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定【解析】（1）由SAS证明△ABE≅△ADF即可；（2）证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．【解答】证明：① 四边形ABCD是菱形，① AB＝AD，① 点E，F分别是边AD，AB的中点，① AF＝AE，在△ABE和△ADF中，{AB=AD ∠A=∠A AE=AF，① △ABE≅△ADF(SAS)；连接BD，如图：① 四边形ABCD是菱形，① AB＝AD，∠A＝∠C＝60∘，① △ABD是等边三角形，① 点E是边AD的中点，① BE⊥AD，① ∠ABE＝30∘，BE＝1，AB＝2AE＝2，① AE=√33① AD＝AB＝2，① 菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×√3=2√3．20.（2020·山东·中考真卷）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≅△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．【考点】全等三角形的性质与判定,平行四边形的性质,菱形的判定【解析】（1）由ASA证△PBE≅△QDE即可；（2）由全等三角形的性质得出EP＝EQ，同理△BME≅△DNE(ASA)，得出EM＝EN，证出四边形PMQN 是平行四边形，由对角线PQ⊥MN，即可得出结论．【解答】证明：① 四边形ABCD是平行四边形，① EB＝ED，AB // CD，① ∠EBP＝∠EDQ，在△PBE和△QDE中，，① △PBE≅△QDE(ASA)；21.（2020·湖南·中考真卷）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3, 4)．（1）求过点B的反比例函数y=k的解析式；x（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式,菱形的性质【解析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）证明△OBF∼△BDF，利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可．【解答】过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，① A(3, 4)，① OE＝3，AE＝4，① AO=√OE2+AE2=5① 四边形OABC是菱形，① AO＝AB＝OC＝5，AB // x轴，① EF＝AB＝5，① OF＝OE+EF＝3+5＝8，① B(8, 4)．，设过B点的反比例函数解析式为y=kx把B点坐标代入得，k＝32，所以，反比例函数解析式为y=32；x① OB⊥BD，① ∠OBD＝90∘，① ∠OBF+∠DBF＝90∘，① ∠DBF+∠BDF＝90∘，① ∠OBF＝∠BDF，又∠OFB＝∠BFD＝90∘，① △OBF∼△BDF，① OFBF =BFDF，① 84=4DF，解得，DF＝2，① OD＝OF+DF＝8+2＝10，① D(10, 0)．设BD所在直线解析式为y＝kx+b，把B(8, 4)，D(10, 0)分别代入，得：{8k+b=410k+b=0，解得，{k=−2b=20，① 直线BD的解析式为y＝−2x+20．22.（2020·四川·中考真卷）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≅△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【考点】矩形的性质,全等三角形的性质与判定,全等三角形的性质【解析】（1）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DB，再根据线段中点的定义得到AE=DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论（2）根据全等三角形的性质得到AF=BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=90∘，于是得到结论．【解答】（1）证明：AFIBC，.△AFE=∠DBEE是线段AD的中点，.AE=DE.∴AEF=∠DEB…△BDE≅△FAE(tAAS)；（2）证明：△BDE≅△FAE.AF=BD：D是线段BC的中点，① BD=CD① AF=CD：AFICD，…四边形ADCF是平行四边形，.AB=AC…AD⊥BC.∴ADC=90∘…四边形ADCF为矩形．23.（2020·贵州·中考真卷）如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接，若，，，求四边形的面积．【考点】矩形的性质,平行四边形的性质,三角形的面积【解析】（1）直接利用矩形的性质结合BE=CF可得EF=AD，进而得出答案；（2）在Rt△ABE中利用勾股定理可计算EA=2√5，再由求出△ABE≅△DEA得BEEA =EAAD，进而求出AD长，由S加加EFD=EF⋅AB即可求解．【解答】（1）四边形ABCD是矩形，.AD//BCAD=BC.CF=BE① CF+EC=BE+EC，即EF=BC .EF=AD…四边形AEFD是平行四边形．（2）如图，连接ED四边形ABCD是矩形.∠B=90∘在Rt△ABE中，AB=4BE=2…由勾股定理得，EA2=16+4=20，即E.A=2√5 .AD//BC.∠DAE=∠AEB.∠B=∠AED=90∘.△ABE∼△DEABE EA =EAAD即2√5=2√5AD，解得AD=10由（1）得四边形AEFD是平行四边形，又EF=10，高AB=4.S△EEF=EF⋅AB=10×4=4024.（2020·青海·中考真卷）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．（1）求证：△ABE≅△CBE；（2）若∠AEC＝140∘，求∠DFE的度数．【考点】正方形的性质,全等三角形的性质与判定【解析】（1）由“SAS”可证△ABE≅△CBE；（2）由全等三角形的性质可求∠CEB＝70∘，由三角形的外角的性质可求解．【解答】证明：① 四边形ABCD是正方形，① AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90∘，，在△ABE和△CBE中，，① △ABE≅△CBE(SAS)；① △ABE≅△CBE，① ∠AEB＝∠CEB，又① ∠AEC＝140∘，① ∠CEB＝70∘，① ∠DEC+∠CEB＝180∘，① ∠DEC＝180∘−∠CEB＝110∘，① ∠DFE+∠ADB＝∠DEC，① ∠DFE＝∠DEC−∠ADB＝110∘−45∘＝65∘．25.（2020·山东·中考真卷）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH // DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．(1)求证：△AHF为等腰直角三角形．(2)若AB=3，EC=5，求EM的长．【考点】平行四边形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,平行线分线段成比例,正方形的性质,等腰直角三角形【解析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点．【解答】(1)证明：① 四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形，① DA // BC，AD=CD，FG=CG，∠B=∠CGF=90∘.① AD // BC，AH // DG，① 四边形AHGD是平行四边形，① AH=DG，AD=HG=CD.① CD=HG，∠ECG=∠CGF=90∘，FG=CG，① △DCG≅△HGF(SAS)，① DG=HF，∠HFG=∠HGD，① AH=HF.① ∠HGD+∠DGF=90∘，① ∠HFG+∠DGF=90∘，① DG⊥HF，且AH // DG，① AH⊥HF，且AH=HF，① △AHF为等腰直角三角形．(2)解：① AB=3，EC=5，① AD=CD=3，DE=2，EF=5.① AD // EF，① EMDM =EFAD=53，且DE=2，① EM=54．。

中考第一轮复习：矩形、菱形、正方形

图(2)
命题点四四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题
典例7
1
(1)在图(2)中,连接AC,根据三角形中位线定理得到EF∥AC,EF=2AC,GH∥
根据平行四边形判定定理即可得到结论.(2)①由(1)易知四边形EFGH是
1
2
1
2
FG= BD,HG= AC,于是当AC=BD时,FG=HG,即四边形EFGH是菱形;②
典例1
(2017广西南宁,22)
如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
命题点一
矩形的性质及判定——
命题角度1 应用矩形的性质进行相关计算或证明
典例1
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°.
形;
形
对称性
既是轴对称图形又是中心对称图
形,有4条对称轴
3.有一个角是直角
的菱形是正方形;
4.对角线相等
的菱形是正方形
面积公式
考点一
矩形、菱形、正方形的性质与判定
判定正方形的思路图
考点二平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系
命题点一矩形的性质及判定——
命题角度1 应用矩形的性质进行相关计算或证明
即∠FAG=∠DAG.
∵四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BC,
∴∠AGF=∠DAG=∠FAG, ∴AF=FG,
∴AE=AF=FG=BG+BF=BG+DE,
∴AE=BG+DE.
图(1)
命题点四
四边形的综合运用——命题角度四边形综合探究题

中考总复习矩形、菱形、正方形精品整理含各类中考真题

典例3 如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE 绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；四边形AFHE是正方形，理由如下： ∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴∠AFH＝90°， ∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
考点训练
1．如图，矩形纸片 ABCD，AD︰AB＝ 2︰1，点 E，F 分别在 AD，BC 上，把纸片如图沿 EF 折叠，点 A，B 的对应点分别为 A′，B′，连接 AA′并延长交线段 CD 于点 G，则AEGF的值为( A )
A．
2 2
B．23
C．12
D．
5 3
2．如图，在 Rt△OAB 中，∠A＝90°，点 B 的坐标为4，0，∠OBA＝30°， P，Q 分别是射线 OA、线段 OB 上的点，且 OP＝BQ，以 OP，OQ 为邻边构造平行四边形 OPMQ.
(1)若线段 PM 与 AB 交于点 D，当DPMD ＝12时，则 BQ＝__1_；
(2)把△PMQ 沿着 PQ 进行折叠，当折叠后△PMQ 与△OPQ 的重叠部分的面积是平行四边形 OPMQ 的14时，则 BQ＝_43_或__83______.
课堂训练
1．如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，点 E 在 CD 上，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将△ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝32S△FGH；④AG＋DF＝FG. 其中正确的是__①__③__④__.(把所有正确结论的序号都选上)

中考数学第二十二讲矩形、菱形、正方形课件(含10 11真题)

(3)利用对角线进行判定，即对角线相等且垂直的平行四边形；另外有：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形.
【例3】(2010·上海中考)已知正方形ABCD 中，点E在边DC上，DE=2，EC=1(如图所示)，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_____. 【思路点拨】
方形纸片对折两次，然后剪下一个角，
为了得到一个正方形，剪刀与折痕所
成的角的度数应为( )
(A)60°
(B)30°
(C)45°
(D)90°
【解析】选C.将长方形对折两次，剪下的四边形的对角线互相垂直，只要保证剪刀与折痕所成的角为45°，易证剪下的四边形的对角线互相垂直、平分且相等，这样的四边形是正方形，故选C.
10.(2011·重庆中考)如图，正方形
ABCD中，AB＝6,点E在边CD上，且
CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，
延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下
列结论：①△ABG≌△AFG;②BG＝GC；
③AG∥CF；④S△FGC=3.其中正确结论的个数是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/172022/1/17January 17, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/172022/1/172022/1/171/17/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/172022/1/17

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中考数学 第二十二讲矩形、菱形、正方形课件(含10 11真题)

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