顾燕红数系的扩充教学设计

数系的扩充
授课教师:顾燕红
一、教学目标：
知识与技能：（1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程,了解数的分类;
（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；
（3）理解复数bi a z +=是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件. 过程与方法：（1）经历数系扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用;
（2）感知引进虚数单位i 、虚数单位i 与实数进行四则运算的合理性;
（3）分析复数的代数形式，渗透分类讨论、化归等数学思想方法.
情感、态度与价值观：
（1）在经历数的概念的发展和数系扩充的过程中,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会数学发现和创造的过程以及数学发生发展的客观需求;
（2）通过教学方式的改变,营造和谐的课堂氛围,培养学生勇于知疑问难,善于探索的学习习惯和良好的思维品质.
二、教学重点：（1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程；
（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；
（3）理解复数bi a z +=是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.
三、教学难点：复数概念的引入，虚数单位的理解.
四、教学方法与教学手段：
1、启发引导，合作探究，多媒体辅助。

2、借助方程求解，通过前车之鉴，寻找数系扩充的一般规律;
3、在教学过程中，利用问题使学生处于愤悱的状态，激起他们求知的欲望，通过自由讨论与交流使他们能够在合作中解决问题.
五、教学过程：
（一）问题情境
已知a 2+b 2=16，a +b =6，求：
（1）ab 的值；
（2）a 的值、 b 的值。

（二）学生活动
学生易得（1）ab =10，进而（2）得二次方程x 2-6x +10=0，（x -3）2=—1，从求根公式或配方法发现：在实数范围内没有满足题意的b a ,的值，解决该问题需要对负数开方，从而引入新课题。

1、回顾数系的扩充历史，从社会生活发展的需要、数学内部发展的需要回顾数系的扩充。

2、提问：历史上数系的扩充有什么共同的特点？
（1）新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的；
（2）在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用；
（3）在新的数集中，解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾。

3、回到负数的开方，发现关键是对实数集进行扩充，引入一个新数，使它的平方等于1-。

（三）建构数学：
1．引入一个新数i ，叫做虚数单位，并且规定：
（1）21i =－；
（2）实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。

2．复数的有关概念
（1）复数的定义：
问题：根据虚数单位i 的性质，实数可以与i 进行四则运算，你能写出实数与i 进行运算后的一些结果吗?
由于满足乘法交换律和加法交换律，从而可以把结果写成bi a +．这样，数的范围又扩充了，出现了形如),(R b a bi a z ∈+=的数，我们把它们叫做复数．复数通常用字母z 表示，即),(R b a bi a z ∈+=，其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部。

（2）复数集：全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C ．
问题：复数集C 与前面几个数集的关系是什么？
（3）复数的分类：对于复数),(R b a bi a z ∈+=，当且仅当0=b 时，z 是实数，当0≠b 时，z 叫做虚数，特别地，当00≠=b a 且时，)(R b bi z ∈=叫做纯虚数，具体来说：
复数⎩⎨⎧=≠=+=．a b b bi a z 时为纯虚数）当虚数（实数0)(0)
0(
问题：0=a 是复数bi a z +=为纯虚数的充分条件吗？（必要不充分条件）
复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充。

自然数集负整数整数集分数有理数集有理数实数集虚数复数集
（四）数学运用
例1、写出复数32,21,0,6,25,32,4+-+-i i i i 的实部与虚部
追问：指出哪些是实数，哪些是虚数 解：32,2
1,0,6,25,32,4+-+-i i i i 的实部分别是：32,0,0,0,2,2,4+；
虚部分别是0,21,0,6,5,3,0--． 上述复数中32,0,4+是实数；,21,6,25,32i i i i -+-为虚数
【变式1】判断下列说法是否正确：
（1）复数isin1的实部为0，虚部为isin1。

（2）复数2sin π
i 是纯虚数，虚部为2
sin π （3）复数2+（1+i ）i 的实部是2，虚部是（1+i ）。

例2、实数m 取什么值时，复数i m m m z )1()1(-+-=是：
（1）实数? （2）虚数? （3）纯虚数?
解：（1）10,1m m z -==当即时，复数是实数。

（2）10,1m m z -≠≠当即时，复数是虚数。

（3）(1)0,(1)00m m m m z -=-≠=当且，即时，复数是纯虚数。

【变式2】当实数m 取什么值时，z=2+i ？
【问题】两个复数相等的充要条件是什么？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即
),,,(R d c b a d
b c a di c bi a ∈⎩⎨⎧==⇔+=+ 这就是说，两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等。

例3、 已知()(2)(25)(3)x y x y i x x y i ++-=-++，求实数,x y 的值.
分析：将复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，即将复数问题实数化。

解:根据两个复数相等的充要条件，可得：
25,23.x y x x y x y +=-⎧⎨-=+⎩，解得：3,2.
x y =⎧⎨=-⎩ 【变式3】已知()86222-=+-i xyi y x ，求实数y x ,的值。

（
3
,13-,1===-=y x y x ） （五）回顾反思
通过本节课的学习，你有哪些收获？。