5.轨迹方程
高中数学轨迹方程求轨迹方程的的基本方法关点法参数法交轨法向量法新人教版选修
轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
第61讲求轨迹方程的基本方法
第61讲求轨迹方程的基本方法
求轨迹方程是一种比较常见的数学问题，也是物理学、力学等课程中
的重要内容。
其目的是求出物体在段时间内的运动路径，并用曲线来表示
该运动路径。
求轨迹方程基本方法有以下三种：
一、圆形运动
圆形运动是指物体在恒定的圆周角速度下沿恒定的半径运动的运动形式，其轨迹方程可以用极坐标的形式给出，即：
x=rcosθ
y=rsinθ
其中，r为半径，θ为圆周角速度，x、y为极坐标的横纵坐标。
二、直线运动
直线运动是指物体在恒定的速度下沿其中一方向运动的运动形式，其
轨迹方程可以用一元一次方程的形式给出，即：
y=kx+b
其中，k为斜率，b为截距，x、y为横纵坐标。
三、抛物线运动
抛物线运动是指物体在恒定的加速度下向其中一方向抛出的运动形式，其轨迹方程可以用二元二次方程的形式给出，即：
y=ax^2+bx+c
其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，x、y为横纵
坐标。
四、椭圆形运动
椭圆形运动是指物体在恒定的角加速度下沿椭圆轨迹运动的运动形式，其轨迹方程可以用双曲线的形式给出，即：
(x/a)^2+(y/b)^2=1
其中，a、b为椭圆的长短轴，x、y为椭圆的横纵坐标。
总之。
轨迹方程的五种求法例题
轨迹方程的五种求法例题集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有λ=MQMN ，即λ=-MQONMO 22，λ=+--+2222)2(1yx y x ．整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程．若1=λ，方程化为45=x ，它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，13122-+λλ为半径的圆．二、代入法若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．例2 已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解析】：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PBAPλ，∴.2121,212311++=++=y y x x 解得2123,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2323()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为),31(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．例3 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A ）012122=+-x y （B ）012122=-+x y （C ）082=+x y （D ）082=-x y【解析】：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．例4 一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为 （A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆【解析】：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支，选（C ）． 四、参数法若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．例5设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQOP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解析】：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a bx a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b ab a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分． 五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例6 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ，设长为2的线段AB 在直线λ上移动，求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．【解析】：PA 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化，故可设)1,1(),,(++t t B t t A ，则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ，得.082222=+-+-y x y x 当t =－2，或t =－1时，PA 与QB 的交点坐标也满足上式，所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．。
高考数学难点突破_难点22__轨迹方程的求法
高考数学难点突破_难点22__轨迹方程的求法在高考数学中，轨迹方程的求法是一个比较常见但也较为复杂的难点。
在解决这类问题时，我们需要考虑几个关键因素，如何确定相关点、如何利用已知条件及使用适当的数学知识等。
一、确定相关点对于轨迹方程的求法，首先需要明确或确定一些与所求轨迹相关的点。
这些点可以从已知条件中得出，如一个点的坐标、两个点的距离、特定点到直线的距离等。
这些已知条件将成为我们解题的基础。
二、利用已知条件在确定了相关的点之后，我们需要利用已知条件来求解轨迹方程。
对于不同的条件，我们可以使用不同的数学知识和方法来解决问题。
下面是一些常见的已知条件及相应的解决思路：1.已知点的坐标：如果已知轨迹上的其中一点的坐标，我们可以将这个点的坐标代入轨迹方程中，得到一个等式，并根据这个等式求解出其他未知量，从而得到轨迹方程。
例如，已知轨迹上的点的坐标满足$x^2+y^2=1$，则这是一个以原点为中心、半径为1的圆的轨迹方程。
2.已知点到另一点的距离：如果已知轨迹上的其中一点到另一点的距离等于一定值，我们可以根据距离公式来求解轨迹方程。
例如，已知轨迹上的点到点$(2,1)$的距离等于2，则可以列出方程$\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} = 2$，进而求解出轨迹方程。
3.已知点到直线的距离：如果已知轨迹上的其中一点到直线的距离等于一定值，我们可以利用距离公式和直线方程来求解轨迹方程。
例如，已知轨迹上的点到直线$2x+ 3y = 6$的距离等于3，则可以列出方程$\frac{，2x + 3y -6，}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = 3$，进一步求解出轨迹方程。
三、使用适当的数学知识在解决轨迹方程的问题中，我们可能需要应用到一些特定的数学知识，如圆的性质、直线的性质、二次曲线方程等。
我们需要结合问题的具体情况，合理地选择和应用这些知识来解决问题。
总结起来，要解决轨迹方程的问题，我们需要明确相关点、利用已知条件和适当应用数学知识。
轨迹方程和运动方程
轨迹方程和运动方程在物理学中，轨迹方程和运动方程是描述物体运动的重要工具。
通过这两个方程，我们可以了解物体在空间中的运动轨迹以及运动的性质。
本文将从轨迹方程和运动方程的角度，介绍物体运动的基本概念和相关知识。
一、轨迹方程轨迹方程是描述物体在空间中运动轨迹的数学表达式。
它可以用数学语言准确地描述物体在不同时间下的位置坐标。
常见的轨迹方程有直线方程、圆的方程等。
1. 直线运动的轨迹方程对于直线运动，轨迹方程可以用一元一次方程y = kx + b来表示，其中k为斜率，b为截距。
通过斜率和截距，我们可以确定直线的斜率和与坐标轴的交点，从而得到物体运动的轨迹。
2. 圆的运动的轨迹方程对于圆的运动，轨迹方程可以用二元二次方程x^2 + y^2 = r^2来表示，其中r为圆的半径。
通过这个方程，我们可以确定圆的半径以及圆心的坐标，从而描述物体在圆上的运动轨迹。
二、运动方程运动方程是描述物体运动的数学表达式。
它可以用数学语言描述物体随时间变化的位置、速度和加速度等物理量。
常见的运动方程有匀速直线运动方程、匀加速直线运动方程等。
1. 匀速直线运动的运动方程对于匀速直线运动，运动方程可以用x = vt来表示，其中x为物体的位移，v为物体的速度，t为时间。
这个方程表示物体在匀速直线运动中，位移与时间成正比，速度恒定不变。
2. 匀加速直线运动的运动方程对于匀加速直线运动，运动方程可以用x = v0t + 1/2at^2来表示，其中x为物体的位移，v0为物体的初速度，a为物体的加速度，t 为时间。
这个方程表示物体在匀加速直线运动中，位移与时间的平方成正比，速度随时间变化。
三、物体运动的特点通过轨迹方程和运动方程，我们可以了解物体运动的一些特点和规律。
以下是一些常见的物体运动特点：1. 速度的变化：根据运动方程，物体的速度随时间变化，可以是匀速变化或者是加速变化。
我们可以通过速度的变化来判断物体的运动情况。
2. 加速度的影响：加速度是物体运动的重要参数，它决定了物体的运动状态。
飞船变轨的轨迹方程
飞船变轨的轨迹方程
飞船变轨的轨迹方程会受到很多因素的影响，包括飞船的初始速度、轨道高度、地球的质量和半径等。
在地球引力作用下，飞船的运动可以近似看作是匀速圆周运动。
假设飞船在初始时刻的轨道高度为h，地球质量为M，飞船质量为m，地球半径为R，地球自转周期为T，那么飞船的轨道速度v可以用下面的公式计算：
v = √(GM/R+h)
其中，G为引力常数，约等于6.67×10^-11 N·m^2/kg^2。
当飞船进行变轨操作时，其速度和轨道高度都会发生变化，导致其运动轨迹发生改变。
具体的轨迹方程需要根据飞船的变轨策略和物理参数进行计算。
需要注意的是，飞船变轨是一个复杂的动态过程，涉及到许多非线性物理现象，因此需要使用复杂的数学模型和计算方法进行研究。
五、几何法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
五、几何法求轨迹方程本内容主要研究几何法求轨迹方程.几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.例：一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？整理：借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理等等，这种借助几何的方法是求动点轨迹方程的重要方法，称为几何法.再看一个例题，加深印象例：过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M 的轨迹.注意：自变量的取值范围.总结：1.求轨迹方程时，有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.2.求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上．练习：1．已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.2.一个圆形纸片，圆心为O ，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则P 的轨迹是（ ）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆3. 设圆C :(x －1)2+y 2=1,过原点O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.答案：方程为13)1()1(22=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x . 2.解：由对称性可知||PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R （R 为圆的半径），则P 的轨迹是椭圆，选A.。
专题四：求动点轨迹方程5种方法(解析版)
专题四：求动点轨迹方程5种方法（解析版）一、直接法步骤：1、建立恰当的坐标系，设动点坐标()y x ，；2、由已知条件列出几何等量关系式，建立关于y x ，的方程()0=y x f ，；3、化简整理；4、检验，检验点轨迹的纯粹性与完备性。
[例1] 已知圆O 的方程是0222=-+y x ，圆O '的方程是010822=+-+x y x ，如图所示。
由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程。
【解析】设()y x P ，，由圆O 的方程为：222=+y x ，圆O '的方程为()6422=+-y x 。
由已知得BP AP =，所以22BP AP =，所以2222B O P O OA OP '-'=-，则6222-'=-P O OP 。
所以()6422222-+-=-+y x y x ，化简得23=x 。
所以动点P 的轨迹方程为23=x 。
[练习1] 已知平面上两定点()20-，M ，()20，N ，点P 满足MN PN MN MP ⋅=⋅，求点P 的轨迹方程。
【解析】设()y x P ，，则()2+=y x MP ，，()40，=MN ，()y x PN --=2，，因为MN PN MN MP ⋅=⋅，所以()()222424y x y -+=+，所以()2222y x y -+=+。
两端同时平方得：2224444y y x y y +-+=++，整理得：y x 82=。
所以点P 的轨迹方程为y x 82=二、定义法步骤：1、分析几何关系；2、由曲线的定义直接得出轨迹方程。
[例2] 已知圆A ：()36222=++y x ，()02，B ，点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。
【解析】 由题可得，()02，-A ，4=AB 。
因为Q 点在线段PB 的中垂线上，所以QB PQ =。
轨迹方程的求法
轨迹方程的求法一、直接法求轨迹方程的一般步骤：“建、设、限、代、化” 1、建立恰当的坐标系； 2、设动点坐标(),x y ；3、限制条件列出来（如一些几何等量关系）；4、代入：用坐标代换条件，得到方程(),0f x y =；5、化简（最后要剔除不符合条件的点）.例1、过点()2,4P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：平面内动点M 与两定点()1,0A -、()2,0B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，求动点M 的轨迹方程.巩固训练2：已知点A 、B 的坐标分别为()5,0-、()5,0，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程.巩固训练3：已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆221C x y +=：，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程.二、定义法：如果动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可以依据定义求出轨迹方程.如圆、椭圆、双曲线、抛物线等. 规律可寻：（1）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.例2、（1）求与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心P 的轨迹方程.（2）已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.巩固训练1：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练2：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2211:24F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练3：在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，求点M 的轨迹方程.巩固训练4：已知点1F 、2F 分别是椭圆22:171617C x y +=的两个焦点，直线1l 过点2F 且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段1GF 的垂直平分线交2l 于点H ，求点H 的轨迹方程.巩固训练5：在极坐标系Ox 中，直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是直线l 上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足4OP OM ⋅=，记点P 的轨迹方程为C ，求曲线C 的极坐标方程.三、相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. “相关点法”的基本步骤：（1）设点：设被动点的坐标为(),x y ，主动点的坐标为()00,x y ；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式()()00,,x f x y y g x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.例3、已知点P 是圆22:4C x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：已知在ABC ∆中，()2,0A -，()0,2B -，第三个顶点C 在曲线231y x =-上动点，求ABC ∆的重心的轨迹方程.巩固训练2：已知点P 是圆22:25C x y +=上任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，点M 为PD 上一点，且满足45MD PD =，当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程.四、参数法：如果动点(),P x y 的坐标之间的关系不容易找，可以考虑将,x y 用一个或几个参数表示，最后消参数，得出,x y 之间的关系式，即轨迹方程.常用参数有角度θ、直线的斜率、点的横、纵坐标，线段的长度等.例4、过抛物线24y x =的顶点O 引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于,A B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.巩固训练1：设椭圆方程为2214y x +=，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于,A B ，O 是坐标原点，直线l 的动点P 满足()12OP OA OB =+，当直线l 绕点M 旋转时，求点P 的轨迹方程.五、交轨法：写出动点所满足的两个轨迹方程后，组成方程组分别求出,x y ，再消去参数，即可求解，这种方法一般适合于求两条动直线交点的轨迹方程.例5、设1A 、2A 是椭圆22195x y +=的长轴的两端点，1P 、2P 是垂直于12A A 的弦的端点，求直线11A P 与22A P 的交点的轨迹方程.巩固训练1：已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点()11,P x y 、()11,Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 的交点的轨迹E 的方程.。
浅谈曲线的轨迹方程的求法
浅谈曲线的轨迹方程的求法
发表时间：2011-11-16T16:52:42.607Z 来源：《学习方法报（语数教研周刊）》2011年13期作者：欧纹君[导读] 圆锥曲线是每年高考必考内容，是一大重点，对学生来说也是一大难点，下面我浅谈几点求法，仅供同学们参考。
贵州兴仁县一中欧纹君
圆锥曲线是每年高考必考内容，是一大重点，对学生来说也是一大难点，下面我浅谈几点求法，仅供同学们参考。
(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程
(2)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
(3)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求
(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念例1．已知点B(1，0)，点A在x轴负半轴上运动，菱形ABCD的对角线的交点在y轴上. 求顶点C的轨迹E的方程；
解：如图，设C（x，y），则A（-x，0），D（-1，y），∵AC⊥BD，
∴，
即y2=4x（x>0）；。
圆中的轨迹方程问题
圆中的轨迹方程问题
圆的轨迹方程是一个常见的数学问题，我们可以从几何和代数两个角度来回答这个问题。
从几何角度来看，圆的轨迹是指平面上和一个定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点就是圆心，定长就是圆的半径。
因此，圆的轨迹方程可以表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
从代数角度来看，我们可以通过圆的定义和方程来推导圆的轨迹方程。
假设圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆上任意一点的坐标为(x, y)。
根据圆的定义，圆上任意一点到圆心的距离等于半径r，即√((x-h)² + (y-k)²) = r。
将这个方程进行平方得到(x-h)² + (y-k)² = r²，这就是圆的轨迹方程。
除了几何和代数角度，我们还可以从应用角度来看待圆的轨迹方程。
在工程、物理、计算机图形学等领域，圆的轨迹方程经常被用来描述和计算圆形物体的运动、位置和属性。
因此，了解圆的轨迹方程对于理解和解决实际问题具有重要意义。
综上所述，圆的轨迹方程涉及到几何、代数和应用等多个角度，通过综合这些角度的理解，我们可以全面地理解和运用圆的轨迹方程。
希望这些信息能够帮助你更好地理解圆的轨迹方程。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =u u u r u u u r·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r·，求直线AP与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =u u u r，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =．将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
高中数学选修1-1知识与题型章章清
高中数学选修1-1知识与题型章章清第一章 常用逻辑用语一、知识要点1．命题：可以判断真假的陈述句。
真命题、假命题；“若…，则…”的形式；命题的条件、结论。
2．四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题；原命题⇔逆否命题；反证法（反设、推理、矛盾）。
3．四个条件：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。
4．三个逻辑联结词：且（p ∧q ）、或（p ∨q ）、非（┒p ）。
简单命题、复合命题。
5．两个量词：全称量词、存在量词；全称命题、特称命题；全称（特称）命题的否定是特称（全称）命题。
二、重点题型1．判断命题的真假——①反例法；②逆否法；③推导法。
命题“若x 2-1≠0，则x ≠1且x ≠-1”是 命题。
2．充分条件与必要条件——①大小法；②推导法。
1<x 是11>x的 条件。
3．判断复合命题的真假——①真值表法；②逆否法。
命题“5＞3或5=3”是 命题。
4．含有一个量词的命题的否定——①化量词法；②加不法。
所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是 。
三、思维训练1．有下列四个命题，其中是真命题的是 (填上你认为正确的所有命题的序号)。
①命题“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③命题:“若m ≤1,则x 2-2x +m =0有实根”的逆否命题；④命题:“若A ∩B =B ,则A ⊆ B ”的逆否命题。
2．命题“若ab 不为零,则a 、b 都不为零”的逆否命题是 。
3．“b 2=ac ”是“a ,b ,c 成等比数列”的 条件。
4．p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的 条件。
5．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集为{x |x <0}；q ：函数y =lg (ax 2-x +a )的定义域为R 。
若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是 。
6．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2-a ≥0”；命题q ；“∃x 0∈R ，20x +2ax 0+2-a =0”。
高中高考轨迹方程的求法总结
轨迹方程的求法【方法介绍】方法一:直接法课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。
例题1等腰三角形的顶点为)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程。
练习一1.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅→→。
求点P 的轨迹方程。
2. 线段AB 的长等于2a,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？3.动点P （x,y ）到两定点)0,3(-A 和)0,3(B 的距离的比等于2（即：2=PB PA ）。
求动点P 的轨迹方程？4.动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？5.点P 与一定点)0,2(F 的距离和它到一定直线8=x 的距离的比是2:1。
求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
6.已知)0,4(P 是圆3622=+y x 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足△APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程。
7.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
方法二：相关点法 利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例题2已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在X 、Y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM : MB=1 : 2，求动点M 的轨迹方程。
练习二1.已知点)(00，y x P 在圆122=+y x 上运动，求点M ),2(0y x 的轨迹方程。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十一节轨迹方程的求法 理
第十一节轨迹方程的求法知识梳理一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力．它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程．因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用．(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤．①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标M(x，y)；②列几何等式：写出适合条件的点的集合P＝{M|P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；③化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；④化简：把方程f (x ，y )＝0化成最简形式；⑤证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程．除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤⑤可以省略不写．如有特殊情况，可适当加以说明，步骤②也可省略．(2)求曲线轨迹方程应注意的问题．①要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x ，y 的取值范围，保证轨迹的纯粹性；②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型．基础自测1．(2013·衡水中学模拟)下列说法正确的是( )A ．在△ABC 中，已知A (1,1)，B (4,1)，C (2,3)，则AB 边上的高的方程是x ＝2B ．方程y ＝x 2(x ≥0)的曲线是抛物线C ．已知平面上两定点A 、B ，动点P 满足|PA |－|PB |＝12|AB |，则P 点的轨迹是双曲线D ．第一、三象限角平分线的方程是y ＝x解析：A 选项中高线为线段，B 选项中为抛物线的一部分，C 选项中是双曲线的一支．故选D.答案：D2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x 、－y )，由PA →·PB →＝x 2，得y 2＝x ＋6，因此选C.答案：C3.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|F 2P |，则Q 的轨迹方程是________________．解析：提示：用定义法求轨迹方程．答案：(x ＋1)2＋y 2＝161．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2 (1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是____________．解析： ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P ≤a 22，因为S △F 1F 2P ＝12|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2≤12|PF 1|·|PF 2|＝a 22.所以②③正确． 答案：②③2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1，圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设动圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4，当l 的倾斜角为90°时，则与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.当l 的倾斜角不为90°时，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以设l ：y ＝k (x ＋4)，由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1(x ≠－2)并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1＝－4－627，x 2＝－4＋627，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187， 综上，|AB |＝187或|AB |＝2 3.1．(2013·盐城模拟)设M 、N 为拋物线C ：y ＝x 2上的两个动点，过M 、N 分别作拋物线C 的切线l 1、l 2，与x 轴分别交于A 、B 两点，且l 1与l 2相交于点P ，若AB ＝1.(1)求点P 的轨迹方程；(2)求证：△MNP 的面积为一个定值，并求出这个定值．(1)解析：y ′＝2x ，设M (m ，m 2)，N (n ，n 2)，则依题意知，切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝2m ，k 2＝2n ，切线方程分别为y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，0，设P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋n 2，y ＝mn .①因为AB ＝1，所以|n －m |＝2，即(m ＋n )2－4mn ＝4，将①代入上式得：y ＝x 2－1， 所以点P 的轨迹方程为y ＝x 2－1.(2)证明：设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (b >0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，y ＝x 2.消去y 得x 2－kx －b ＝0， 所以m ＋n ＝k ，mn ＝－b ，②点P 到直线MN 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－mn ＋b 1＋k2，MN ＝1＋k 2|m －n |，所以S △MNP ＝12d ·MN ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－mn ＋b ·|m －n |＝14·(m －n )2·|m －n |＝2. 即△MNP 的面积为定值2.2.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，1)，F 1、F 2为其左、右焦点，且△PF 1F 2的面积等于 2.(1)求椭圆E 的方程．(2)若M ，N 是直线x ＝－32上的两个动点，满足F 1M ⊥F 2N ，问：以MN 为直径的圆C 是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由S △PF 1F 2＝12·2c ·1＝2， ∴c ＝ 2. ∴两个焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)．又椭圆E 过点P (2，1)，∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1. (2)设M ，N 的坐标分别为－32，m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，n ， 则F 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2，m ，F 2N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2，n . ∵F 1M →⊥F 2N →，∴F 1M →·F 2N →＝0，即94－2＋mn ＝0，mn ＝－14. 以MN 为直径的圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，m ＋n 2， 半径为|m －n |2， ∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m ＋n 22＝m －n 24， 即x 2＋y 2＋3x －(m ＋n )y ＋2＝0. 令y ＝0，整理得x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2，∴以MN 为直径的圆C 必过定点(－1,0)和(－2,0)．。
2023高考卷广东数学
2023高考卷广东数学一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x²3x+1在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥0D. a≤03. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+c²b²=ac，则角B的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 已知数列{an}是等差数列，a1=1，a10=37，则数列的公差d为（）A. 4B. 3C. 2D. 15. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则a²>b²。
（）2. 任何两个实数的和都是实数。
（）3. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。
（）4. 对数函数y=logax（a>0且a≠1）的图像恒过点（1，0）。
（）5. 若函数f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，则其导数f'(x)≥0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(1)=______。
2. 在等差数列{an}中，若a1=3，公差d=2，则a5=______。
3. 若向量a=(2，3)，向量b=(1，2)，则2a+3b=______。
4. 设复数z=3+4i，则|z|=______。
5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x)=x²4x+3的零点。
2. 已知等差数列{an}的公差为2，且a3+a7=22，求a5。
圆的轨迹方程求法归纳
圆的轨迹方程求法归纳圆的轨迹方程求法归纳圆的轨迹方程求法是数学中研究圆的有效方法，可以用于求解圆的相关问题。
本文将从四个方面介绍圆的轨迹方程求法：一是介绍圆的定义及特征；二是介绍求解圆的几种基本方法；三是介绍求解圆的一些技巧；四是介绍圆的轨迹方程求法归纳。
一、圆的定义及特征圆是一种特殊的曲线，它是由一个点作为中心，一个半径向外指向的圆弧所组成的。
圆的特征是它的曲线是一个完全封闭的曲线，它的每个点都离中心点的距离（即半径）都相同。
二、求解圆的几种基本方法1、求圆的标准方程要求出圆的标准方程，首先需要知道圆的中心坐标和半径，根据它们可以算出圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2、求圆的参数方程如果需要求出圆的参数方程，则需要知道圆心的坐标及其与圆心的距离，可以用参数x和y来表示圆心，t来表示距离，因此可以得出圆的参数方程：x=a+tcosθy=b+tsinθ其中，(a,b)是圆心的坐标，t是圆上任意点与圆心的距离。
3、求圆的极坐标方程极坐标可以表示圆上任意一点，极坐标方程可以用来求出圆上任意点的坐标，极坐标方程为：x=rcosθy=rsinθ其中，r是圆的半径，θ是定义域的角度范围，一般定义域的角度范围为0~2π。
三、求解圆的一些技巧1、利用圆的对称性圆的特征之一就是具有对称性，利用这一性质可以从比较简单的方向着手，可以减少求解的难度。
2、利用实际问题实际问题中经常涉及到求解圆的问题，在实际问题中有时可以把圆简化为线段，这样可以更容易地求解圆。
3、利用解析几何解析几何是一种求解几何形状的有效方法，利用解析几何可以更容易地求解圆的标准方程和参数方程。
四、圆的轨迹方程求法归纳1、圆的标准方程求法根据圆的定义及其特征，可以求出圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2、圆的参数方程求法根据参数定义，可以求出圆的参数方程：x=a+tcosθy=b+tsinθ其中，(a,b)是圆心的坐标，t是圆上任意点与圆心的距离。
第4节 轨迹方程的生成与求解研究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程
第4节 轨迹方程的生成与求解研究数学上，常把符合一定条件的动点所形成的图形称为轨迹．轨迹的形状多种多样，求解方法也复杂多变，这就给初学者造成了一定的学习难度，本节，将探讨常用的轨迹求解方法，并寻求对问题的解决和难点的突破．【实验1】直接法求轨迹 平面上有三个不同点),(),2,0(),,2(y x C y B y A -，若BC AB ⊥，求动点C 的轨迹方程．【探究步骤】1．在绘图区作直线2-=x ，在直线上任取一点A ；2．在指令栏输入“)2/)(,0(A y B =”；3．作线段AB ，过B 作AB 的垂线；4．过A 作x 轴的平行线交AB 的垂线于点C ，跟踪点C ；5．拉动点A ，观察点C 所形成的轨迹．观察发现点C 的轨迹类似开口向右的抛物线．下面给出数学求解： 由题设知)2,(),2,2(y x BC y AB =-=，由BC AB ⊥，得0=⋅BC AB ， 即0222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y y x ，∴动点C 的轨迹方程为)0(82≠=x x y ． 本例根据题设所给的BC AB ⊥这一条件，把C B A ,,的坐标代入条件，直接求解出轨迹方程，这是轨迹方程求解中最简单也是最直接的方法，称为直接法．【拓展探究1】 已知2AB =，动点P 满足PB PA 2=，求动点P 的轨迹方程．【分析】本题和【实验1】相比有一个明显的不同点，本题虽然给出了动点所需满足的条件，却没有给出相关点的坐标．因而，首先应该建立平面直角坐标系．建立坐标系时，通常会根据对称性，让尽可能多的点在坐标轴上，以简化求解过程．本题中，根据2AB =，不妨假设)0,1(),0,1(B A -．【探究步骤】1．在绘图区作出点)0,1(),0,1(B A -；2．设置参数r ，范围为(]5,0，增量为1.0；3．选择“圆（圆心与半径长）”工具，点击点B ，在弹出的对话框中输入半径r ；4．选择“圆（圆心与半径长）”工具，点击点A ，在弹出的对话框中输入半径r 2；5．作出两圆的交点D C ,，并跟踪这两个交点；6．拉动滑杆r ，得到动点D C ,的轨迹类似一个圆．其实，设),(y x P ，根据PB PA 2=得2222)1(2)1(y x y x +-=++两边同平方，得])1[(4)1(2222y x y x +-=++ 整理得：0131022=+-+x y x 由此确认，其轨迹确是一个以⎪⎭⎫⎝⎛0,35为圆心，以34为半径的圆．【实验2】定义法求轨迹 已知圆1)1(:22=++y x M ，圆9)1(:22=+-y x N ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【分析】本题从课件制作的角度分析，主要难点在于如何作出动圆P 的圆心．【探究步骤】1．在指令栏输入方程“12^2)^1(=++y x ”和“92^2)^1(=+-y x ”，作出圆M 和圆N ；2．作出圆M 和圆N 的圆心；3．设置参数r ，范围为(]5,0，增量为1.0；4．选择“圆（圆心与半径长）”工具，点击点M ，在弹出的对话框中输入半径r +1；5．选择“圆（圆心与半径长）”工具，点击点N ，在弹出的对话框中输入半径r -3；6．作出步骤4和步骤5所得两圆的交点，则交点D C ,即为点P ，跟踪点D C ,；7．为验证步骤6，可以C 为圆心，r 为半径作圆，检验该圆是否与圆M 外切，而与圆N 内切；8．拉动滑杆r ，观察点D C ,的轨迹．观察可得点D C ,的轨迹是一个椭圆．设动圆P 的半径为r ，由动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，可得4,3,1=+∴-=+=PN PM r PN r PM ，而42<=MN ，根据椭圆的定义，可得点P 的轨迹是以N M ,为焦点的椭圆，且,42=a 22=c ，故点P 的轨迹方程为)2(13422-≠=+x y x ．本题研究过程中，充分利用了点P 所满足的几何条件：点P 到两定点N M ,的距离之和等于一个常数，且该常数大于MN ．也就是说点P 的轨迹满足了椭圆的定义，因而可在判定其轨迹类型之后，根据相关条件求出点P 的轨迹方程．这种方法称之为定义法．【拓展探究2】已知)2,12(),7,0(),7,0(C B A -，以C 为一个焦点作过B A ,的椭圆，求椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程.【分析】依据椭圆的定义，可以得到BF BC AF AC +=+，又15,13==BC AC ，故2=-BF AF ，而AB <2，故其轨迹应为以B A ,为焦点的双曲线的下支．以下通过GGB 课件加以验证．【探究步骤】1．在GGB 绘图区中作出)2,12(),7,0(),7,0(C B A -；2．设以F C 、为焦点且过B A ,的椭圆的长轴长为m ，设置参数m ，范围为()50,16，增量为1.0；3．由【分析】可知15,13==BC AC ，故可用以下方法作出另一焦点F ；4．选择“圆（圆心与半径长）”工具，点击点A ，在弹出的对话框中输入半径13-m ，作出圆A ；5．选择“圆（圆心与半径长）”工具，点击点B ，在弹出的对话框中输入半径15-m ，作出圆B ；6．作出圆A 与圆B 的交点，则该交点即为本题的点F ，跟踪点F ；7．拉动滑杆m ，得到点F 的轨迹．根据【分析】，得知其轨迹应为以B A ,为焦点的双曲线的下支，且22=a ，142=c ，故所求的点F 的轨迹方程为)0(14822<=-y x y ．【实验3】代入法求轨迹若点P 是椭圆1162522=+y x 上的任意一点，21,F F 是它的两个焦点，O 为坐标原点，21PF PF OQ +=，求动点Q 的轨迹方程．【分析】 由PO PF PF OQ 221＝+=，可得点Q P ，的坐标关系．若设),(),,(00y x P y x Q ，则⎩⎨⎧-=-=0022y y x x ． 【探究步骤】1．在GGB 指令栏内输入“116/2^25/2^=+y x ”，作出题中的椭圆；2．作椭圆焦点)0,3(),0,3(21F F -和椭圆上任一点P ；3．作向量PO PF PF ,,21；4．选定“缩放”工具，然后依次点击点P ，点O ，输入缩放比例2-，得到像点Q ，跟踪点Q ；5．作向量OQ ；6．拉动点P ，得到点Q 的轨迹，其轨迹类似椭圆．根据【分析】，得到⎩⎨⎧-=-=0022y y x x ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y y x x 212100 又点P 是椭圆1162522=+y x 上，故116252020=+y x ，所以点Q 的轨迹方程为16410022=+y x ． 【拓展探究3】已知圆C 的方程为422=+y x ．过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程．【探究步骤】1．作圆C ；2．在圆C 上任取一点M ，过M 作平行于x 轴的直线m ，作m 与y 轴的交点为N ；3．作向量ON OM ,4．在指令栏输入“v u +”，回车，得到它们的和向量，取和向量的终点为Q ，跟踪点Q ；5．拉动点M ，观测得点Q 的轨迹为焦点在y 轴的椭圆．【说明】在GGB 中，默认在绘图区所作的第1个向量为向量u ，第2个向量为向量v ，第3个向量为向量w ，……，在指令栏输入“v u +”，即是ON OM +．这一点，在代数区可以看到．依题意，设点),(),,(00y x M y x Q ，则),0(0y N ，依ON OM OQ +=得⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧==y y x x y y x x 2120000又42020=+y x 4422=+∴y x 即)0(141622≠=+y x y【实验4】参数法求轨迹设直线)1(:1+=x k y l 与直线)1(2:2--=x k y l 相交于点M ，求动点M 的轨迹方程． 【分析】本例不易找到动点),(y x M 的几何性质或者坐标关系，但动点的横坐标和纵坐标却容易和参数k 产生函数关系．因而可以求出y x ,关于参数k 的参数方程，而后通过消参得到点M 的轨迹方程．【探究步骤】1．在指令栏输入“)1(+=x k y ”，创建参数k ，范围为[]50,50-，增量1.0，得到直线1l ；2．同理得到直线2l ；3．作出直线1l 与直线2l 的交点M ，跟踪点M ；4．拉动滑杆k ，得到点M 的轨迹．经观察，点M 的轨迹大致为焦点在y 轴的椭圆． 由⎪⎩⎪⎨⎧--=+=)1(2)1(x k y x k y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2222422k k y k k x )1(1222±≠=+∴x x y ． 【拓展探究4】已知圆4:22=+y x M ，圆1:22=+y x N ，设点A 是圆M 上任一点，作射线OA 交圆N 于B ，过A 作x 轴的垂线m ，过B 作y 轴的垂线n ，设n m ,交于点C ，求点C 的轨迹方程．【分析】本题点C 的位置将随点A 位置的改变而改变，虽然符合代入法求轨迹的特征，却不易找到这两点的坐标关系，也不易找到点C 应满足的几何性质．却可以发现)()(),()(C y B y C x A x ==，而)(),(B y A x 可以通过xOA ∠找到关联，因而本题可以考虑假设θ=∠xOA ，以θ为参数求出动点C 的坐标的参数方程．【探究步骤】1．在GGB 的绘图区分别作出圆M 与圆N ；2．在圆M 上任取一点A ；3．作射线OA 交圆N 于B ；4．过A 作x 轴的垂线m ，过B 作y 轴的垂线n ，作n m ,的交点C ，跟踪点C ；5．拉动点A ，得到点C 的轨迹．经观察，其轨迹大致为一个椭圆．由【分析】可知：θθsin )()(,cos 2)()(====C y B y C x A x ，若设),(y x C ，则⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ，消去参数θ，得点C 的轨迹方程为1422=+y x ． ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 即是椭圆参数方程的一种常见形式，消去参数之后的普通方程为12222=+by a x ．【实验5】轨迹问题综合探究【探究问题1】设直线)1(:1+=x k y l 与直线)1(:2-=x k m y l 相交于点M ，求动点M 的轨迹方程，并判断轨迹的类型．【分析】本例研究的是【实验4】的一般情形，【实验4】是本例2-=m 时的特殊情形．课件可在【实验4】的基础上加以改进．【探究步骤】1．打开【实验4】课件；2．选择“轨迹”工具，依次选择点M 和滑杆k ，作出动点M 的轨迹；3．创设参数m ，范围为[]5,5-，增量为1.0；4．把2l 的方程改为)1(-=x km y ； 5．取消对M 点的跟踪；6．拉动滑杆m ，观察点M 轨迹类型的变化．经观察，点M 轨迹类型大致如下：当0>m 时，轨迹为双曲线；当01<<-m 时，轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，当1-=m 时，轨迹是一个圆，当1-<m 时，轨迹为焦点在y 轴的椭圆．由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)1()1(x k m y x k y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=2222k m mk y k m k m x )1(22±≠=-∴x m y mx 故当0>m 时，方程可化为)1(122±≠=-∴x m y x ，轨迹为双曲线（去除与x 轴的交点）； 当0<m 时，方程可化为)1(122±≠=-+∴x m y x 故当01<<-m 时，轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（去除与x 轴的交点）；当1-=m 时，轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆（去除与x 轴的交点）；当1-<m 时，轨迹为焦点在y 轴的椭圆（去除与x 轴的交点）．【探究问题2】 在直角坐标平面上，O 为原点，M5,5ON ==过点M 作y MM ⊥1轴于点1M ，过点N 作x NN ⊥1轴于点1N ，11NN MM OT +=，求点T 的轨迹方程．【分析】5=，可得点M 的轨迹是以原点为圆心，5为半径的圆．由此，本题可作以下探究．【探究步骤】1．作出以原点为圆心，5为半径的圆，在圆上任取一点M ；2．选择“放缩”工具，依次点击点M 和点O （O 为坐标原点），在放缩倍数中输入“5.0^5/2”，得到象点，命名为点N ；3．过点M 作y MM ⊥1轴于点1M ，过点N 作x NN ⊥1轴于点1N ；4．作向量11,NN MM ；5．在指令栏输入“v u +”得到从原点出发的向量w ，把w 终点记为T ，跟踪点T ；6．拉动点M ，观察点T 的轨迹，可得其大致为一个椭圆．给出这个问题的数学解答：设点T 的坐标为),(y x ，点M 的坐标为)','(y x ，则)',0(1y M ， )','(552552y x OM ON ==，于是点N 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'552,'552y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,'5521x N ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=='552,0),0,'(11y N N x M M 由11NN MM OT +=，有)'552,0()0,'(),(y x y x +=， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x y y x x 25'''552' 由5=OM ，得5''22=+y x ，所以52522=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，得14522=+y x ，故点T 的轨迹方程为14522=+y x ． 【探究问题3】设圆015222=-++x y x 圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【分析】本题的难点在于要找出点E 所满足的几何性质，这一点，只看题难以理清，甚至如果图形画得不准确都会影响判断，故本题作出准确图形是关键．这一点上，数学实验有它的优势．【探究步骤】1.作出题中的圆A ；2.在圆A 上任取一点，C 过点)0,1(B 和点C 作与x 轴不重合的直线l ；3.作l 与圆A 的交点D C ,；4.过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，跟踪点E ；5.拉动点C ，观察点E 的轨迹．经观察，其轨迹大致为一个椭圆，如图5.4-1．因为AD AC ＝，所以ACD ADC ∠∠＝，又因为AC BE //，DCA DBE ∠∠∴＝，所以DBE ADC ∠∠＝，从而BE DE ＝，AB AD DE EA EB EA =>++∴24＝＝＝，故点E 的轨迹为以B A ,为焦点的椭圆，且22,42==c a ，所以轨迹方程为)0(13422≠=+y y x ． 图5.4-1。
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圆锥曲线-----曲线(轨迹)方程
知识点归纳:
1.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C 上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解建立如下关系:
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹).
【求曲线的方程,就是把曲线上所有的点(任意一点)的坐标满足的关系式求出来.】
2.求曲线轨迹方程的基本步骤:
⑴建系设点:建立恰当的平面直角坐标系(尽量把对称中心为原点,对称轴为坐标轴),设出曲线上任意一点的坐标为(),x y ；
⑵找等量关系代点:找到动点(),x y 和已知点、线满足的关系；
⑶化简:把以上关系式化简.
3.轨迹与轨迹方程的区别
求曲线轨迹是在求出曲线轨迹方程后,再进一步说明轨迹是什么样的曲线.
考点 求曲线轨迹方程
题型1求轨迹方程
例1 ⑴点M 与椭圆22
1169144
x y +=的左焦点和右焦点的距离的比是2:3,求点M 的轨迹方程.
⑵设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P
关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = 且1OQ AB = ，求点P 的轨迹方程.
例2设函数2()sin(
)2cos 1468
x x f x ππ
π=--+．若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求函数()y g x =的解析式,并求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．
例3 ⑴已知一个圆的圆心是原点,半径是2,从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ',求线段PP '的中点M 的轨迹方程.
⑵如图,线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动,5AB =,点M 是线段AB 上一点,且2AM =,点M 随线段AB 的运动而变化,求点M 的轨迹方程.
题型2 利用定义法求轨迹方程
若由题意可判断出动点的运动满足某种曲线的定义,一般可设出方程,再确定其中的基本量即可.(多见圆锥曲线的定义).
例4 一动圆与圆221:650C x y x +++=外切,同时与圆22
2:6910C x y x +--=内切,求动圆圆心C 的轨迹方程,并叙述轨迹.
例5 P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的一点,过焦点2F 作12F PF ∠外角的平分线的垂线,垂足为M ,求点M 的轨迹.
例6 已知,B C 是两个定点,6BC =,且ABC ∆的周长等于16,求顶点A 的轨迹方程.
练习:
1. 点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是( )
（A ）22(2)(1)1x y -++= （B ）22(2)(1)4x y -++=
（C ）22(4)(2)4x y ++-= （D ）22
(2)(1)1x y ++-=
2.动点(),P x y 与定点()1,0A -、()1,0B 的连线的斜率乘积为1-,则点P 的轨迹方程是
( )
A.221x y +=
B. ()2211x y x +=≠
C. ()2210x y x +=≠
D. ()2211x y x +=≠±
3.已知椭圆的焦点是1F 、2F ,P 是椭圆上的一个动点,如果延长1F P 到Q ,使得2PQ PF =,那么动点Q 的轨迹是( )
A.一个椭圆上
B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上
D.一个圆上
4. 与两圆221x y +=及22
8120x y x +-+=都外切的圆的圆心在( ) x
A.一个椭圆上
B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上
D.一个圆上
5. 一圆经过点()0,3F ,且和直线30y +=相切,求圆心的轨迹方程.
6. 求抛物线()2
20y px p =>上各点与焦点连线中点的轨迹方程.
7. 点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,求点M 的轨迹方程.
8.一动圆过定点()2,0A ,且与定圆()2
224x y ++=相切,求动圆圆心的轨迹方程. 9.设抛物线2
:C y x =,动点P 在直线:20l x y --=上运动,过P 作抛物线的两条切线,PA PB ,且与抛物线分别相切于,A B 两点,求PAB ∆的重心G 的轨迹方程.
10.如图，已知点(10)F ，，
直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线 l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =
． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=
，
2MB BF λ= ，求12λλ+的值.
11.已知双曲线22
2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．
（I ）若动点M 满足1111F M F A F B FO =++ （其中O 为坐标原点）
，求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存
在，请说明理由．。