基于上重截集形式的粗糙模糊集的构造性质

模糊粗糙集理论介绍和研究综述

Ξ　收稿日期:2006-03-10作者简介:姚红霞(1979-),女,硕士研究生,主要从事粗糙集理论和模糊集理论研究.【数理科学】模糊粗糙集理论介绍和研究综述Ξ姚红霞(西北师范大学数学与信息科学学院,兰州　730070)摘要:回顾了粗糙集理论,引出了模糊粗糙集的产生背景,介绍了模糊粗糙集模型的一些主要概念和性质,并给出了模糊粗糙集属性重要性的定义,探讨了模糊粗糙集合的应用和发展现状.关　键　词:粗糙集;模糊集;模糊粗糙集中图分类号:TH164 文献标识码:A 文章编号:1671-0924(2006)08-0132-04I ntroduction to and Survey for the Studies of Fuzzy R ough Sets TheoryY AO H ong-xia(Department of Mathematics and In formation Sciences ,N orthwest N ormal University ,Lanzhou 730070,China )Abstract :This paper firstly reviews the theory of rough set and brings out the generation background aboutfuzzy rough sets ,secondly ,introduces the main concept and property of fuzzy rough sets and proposes its significance ,and finally ,discusses the application and recent studies for this theory.K ey w ords :rough sets ;fuzzy sets ;fuzzy rough sets0　引言粗糙集(R ough Sets )理论最初是由波兰数学家Z.Pawlak 于1982年[1]提出的,是一种处理不完整和不确定性知识的数学工具[1-2].经过多年的发展,该理论已被成功的用于决策支持系统、人工智能、模式识别与分类、故障检测、金融、医学、知识发现、数据挖掘和专家系统等领域.但由于其严格的等价关系,限制了粗糙模型的发展和应用.针对这个问题,Dub ois 和Prade [3-4]提出模糊粗糙集的概念,作为粗糙集的一个模糊推广.模糊集理论首先是由美国控制论专家L ・A ・扎德(L.A.Z adeh )教授于1965年[5]提出的.也是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具,它已成功的应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面.虽然2者都可以用来处理模糊和不确定问题,但2者的着眼点不同.粗糙集理论在处理模糊和不确定性问题方面着眼于知识的粗糙性,强调的是集合对象间的不可分辨性;而模糊集在处理不确定性问题时,主要着眼于知识的模糊性,强调的是集合边界的不分明性.由于这2种理论在处理不确定和模糊问题时具有一定的相似性,因此把它们结合起来的研究前景或许更有实际价值,Dubois 和Prade 是最早研究粗糙模糊集和模糊粗糙集问题的代表人物之一.当知识库中的知识模块是清晰概念,而被近似的概念是一个模糊概念时,就得到粗糙模糊集;当知识库中的知识模块是模糊概念,而被近似的概念是模糊概念时,则可得到模糊粗糙集.粗糙模糊集是模糊粗糙集的特殊情况,因此一般只讨论模糊粗糙集.于是根据问题的实际需要,在文献[3-4]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.第20卷　第8期Vol.20　No.8重　庆　工　学　院　学　报Journal of Chongqing Institute of T echnology2006年8月Aug.20061　粗糙集理论的发展自1992年在波兰召开了RS理论的第一届国际学术会议以来,现在每年都召开以RS为主题的国际会议,大大推动了RS理论的发展.参加的成员主要来自波兰、美国、加拿大、日本、俄罗斯等国家.在Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键概念,等价类是构成上下近似结构的构造性知识块,用任意的二元关系取代等价关系,就得到Pawlak粗糙集模型的不同推广,即一般关系下的RS模型、变精度RS模型、概率RS模型、基于随机集的RS模型[9],而且在一个分明的,自反和传递关系下,一对上下近似算子正好是一个拓扑空间的内部封闭的算子[10-12].在RS集理论中,基本的运算符是近似的.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.在构造性方法下,论域上的二元关系、论域的划分、领域体系、布尔代数都是最原始的概念.文献[1,13-15]用这些概念构造了下近似和上近似算子,构造性方法尤其对RS的实际应用有重要的实用价值.另一方面,公理化方法,是一种研究粗糙代数结构近似的,用上下近似算子作为最初的概念,在这种方法下,用一个公理化集合刻画的近似算子和用构造性方法产生的算子是一样[15-16].比较构造性和公理化这2种方法,对分明粗糙集最典型的公理化研究是文献[15],在文献[17]中,用不同的公理化集合刻画了不同类型的粗糙集代数.2　模糊粗糙集的产生背景粗糙集理论最初和主要的研究采用的是构造性方法.在Z.Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键和原始的概念.然而,等价关系是一个过于严格的条件,其限制了粗糙集模型的一些主要应用.针对这个问题,文献[12-13,18]用非等价二元关系推广了粗集近似算子,这一成果的出现,引起了学术界研究其它不同类型近似算子的热潮.另一方面,用U上的一个等价关系,在模糊关系理论下,引入上下近似,就得到了一个推广的概念,称为粗糙模糊集[4,17,19],相反的,用模糊相似关系代替等价关系,就得到模糊粗糙集合[4-8,19].因此后来有很多模糊粗糙集合的类型,如基于模糊T相似关系的一般结构[21],基于U上弱模糊划分的结构[22-23],以及基于模糊集合上的布尔子代数[7],等等.3　模糊粗糙集合的基本概念和理论3.1　等价关系下的模糊粗糙集定义定义1[9]　设(U,R)是Pawlak近似空间,R是论域U 上的一个等价关系,若A是U上的一个模糊集合,则A关于(U,R)的一对下近似A R和上近似 A R定义为U上的一对模糊集合,其隶属度函数分别定义为:A R(x)=in f{A(y)|y∈[x]R},x∈U,A R(x)=sup{A(y)|y∈[x]R},x∈U,其中[x]R为元素x在关系R下的等价类.若A R= A R,则称A是可定义的,否则称A是模糊粗糙集(Fuzzy rough set).称A R是A关于(U,R)的正域,称 A R是A关于(U,R)的负域,称 A R∩( A R)为A的边界.3.2　一般关系下的模糊粗糙集合及其属性重要性定义2[24]　称I=(U,A)是一个决策表信息系统,若有:①U是一个非空对象集合;②A={C,D}是一个有限非空属性集合,其中C是条件属性的非空集合,D是决策属性的非空集合;③对每个属性a∈A,定义了一个从U到V a的映射: a:U→V a,其中V a是属性a的值集.定义3[25]　设U是一个非空集合,称U上的模糊二元关系是相似关系,当且仅当R是:①自反的:R(x,x)=1对所有x∈U;②对称的:R(x,y)=R(y,x),对所有x,y∈U,U上的每个条件属性子集决定了一个U上的相似关系;③传递的:R(x,y)∧R(y,z)ΦR(x,z),对所有x, y,z∈U.则称R是U上的一个等价关系.在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,粗糙集合研究对象是分明的等价类,而模糊粗糙集合研究对象是模糊等价类.将论域U上的元素在相似关系下划分模糊等价类,以下记论域U上的模糊关系为S,对象x和y之间的相似度记为u s(x,y)=u s(y,x),它同样满足定义3的条件,即自反性:u s(x,x)=1;对称性u s(x,y)=u s(y,x);传递性u s (x,z)Εu s(x,y)∧u s(y,z).因此对对象x∈U的等价类[x]s定义为:u[x]s(y)=u s(x,y)定义4[26]　模糊P上近似和P下近似定义为:uP X(F i)=sup x min{u Fi(x),u X(x)}Πi. uPX(F i)=in f x max{1-u Fi(x),u X(x)}Πi.其中F i是属于U/P的模糊等价类,PΑA,XΑU,u X (x)是对象x属于U上的任意模糊集合X的程度,则称序对(u P X(F i),u PX(F i))为模糊粗糙集合.由于模糊上下近似的定义和分明的定义有一些差异,个体对象的隶属度的近似不是十分有用的,由于这个原因,模糊上下近似可以定义为:uP X(x)=sup F∈U/P min(u F(x),sup y∈U min{u F(y),u x (y)})uPX(x)=sup F∈U/P min(u F(x),in f y∈U max{1-u F(y),u x (y)})定义5[26]　条件属性C关于决策属性D的正域为:uPOSC(D)(x)=sup u CX(x) X∈U/D定义6[26]　根据模糊正域的定义,可以求出模糊粗糙集合条件下决策属性D对条件属性集合C的依赖性:331姚红霞:模糊粗糙集理论介绍和研究综述γC (D)=∑x∈U uPOSC(D)(x)|U|定义7　令C和D分别为模糊粗糙集的条件属性和决策属性集,属性子集C′ΑC关于D的重要性定义为:σCD(C′)=γC(D)-γC-C′(D)特别当C′={a}时,属性a∈C关于D的重要性为σCD(a)=γC(D)-γC-{a}(D).4　模糊粗糙集属性约简为了对模糊粗糙集合进行属性约简,必须先对属性模糊化.在粗糙集合中,属性对应的等价类是普通集合,而在模糊粗糙集合中,属性对应的等价类是模糊集,因此,往往把属性的等价类划分过程称为属性模糊化过程.在粗糙集中,每个对象属于且仅属于一个等价类,在模糊粗糙集中,每个对象可以属于多个模糊等价类.为了进行属性约简,必须求出复合属性的模糊等价类,具体模糊化的过程见文献[26].在文献[17]中给出了模糊粗糙集基于属性依赖性的属性约简的降维算法和例子,在文献[24]中研究了一种面向连续属性空间的模糊粗糙约简算法.5　模糊粗糙集发展现状在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.在RS集理论中,基本的运算符是近似.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.因此对模糊粗糙集的研究很多也是建立在这2种方法上的.在文献[17]中研究了模糊粗糙集上的一系列公理化集合,但他们的研究局限与用模糊T相似关系定义的模糊T 粗糙集上,而当模糊关系退化为分明关系时,就是一般的等价关系.然而,到目前为止,对一般关系下模糊粗糙集公理化方法的研究还不是很多,在文献[21]中给出了公理化的模糊粗糙集模型,在文献[25]中运用构造性和公理化方法,给出了模糊粗糙集研究的一般结构.在构造性方法下,基于一个任意的模糊关系定义了一对一般关系下的模糊粗糙集上下近似算子,在公理化方法下,用不同的公理集合刻画了不同类型的模糊粗糙近似算子,这些公理保证了确定类型的模糊关系的存在产生相同的算子.在文献[28]中,应用扩展原理,定义了依靠模糊关联和模糊隐含算子的模糊粗糙集合,并考虑了3个常用的算子,即S-,R-,Q L-算子,用其定义了3种类型的模糊粗糙集,并讨论了各自的性质,使其更好的用于不完全和不确定信息系统.在文献[27]中,讨论了在有限论域上模糊粗糙集模型和模糊拓扑空间之间的关系,提出了模糊拓扑空间上的T C 公理,并证明了所有基于自反和对称模糊关系的上下近似集合包含了一个满足T C公理的模糊拓扑空间,并且相反的,一个满足T C公理的模糊拓扑空间正好是在自反和对称模糊关系下的所有的上下近似集合.即在所有自反和对称模糊关系下的集合和所有满足T C公理的模糊拓扑空间之间,存在一个一对一的关系.但这只是在有限论域情况下的结论,在无限论域上的还不确定成立,需要进一步探讨.粗糙集理论已经被广泛和成功的应用许多领域,主要是由于它能发现隐藏在数据中的事实,而不需要额外的如专家系统或者阈值之类的信息,能在无监督条件下,挖掘出数据库里的最小知识表示.但粗糙理论在应用过程中,主要的载体是信息表,信息表中的对象是处理和挖掘的对象,而信息表中的对象的属性值要么是分明的,或者是实值的,虽然连续的属性值可以通过属性离散化方法离散,但势必会丢失一些重要信息,而且在粗糙理论下,无法判断2个属性值是相似的,或者在某种扩展意义下是相同的.因此,针对这个问题,文献[29-30]用模糊粗糙集来解决这些不确定问题,并将这个理论用于网络数据分类和挖掘上,收到了很好的效果.文献[26]将其进行了推广和完善.目前,国外学者主要从不同角度考虑模糊粗糙集的性质,根据模糊集近似推理方式的不同,主要形成了从3种不同角度研究的模糊粗糙集:基于形式逻辑的模糊粗糙集,基于三角模的模糊粗糙集,基于-截集的模糊粗糙集.6　模糊粗糙集发展展望虽然模糊粗糙集已经发展了十几年,但作为一种理论,它还有很多的不完善,尤其是目前研究属性约简的算法还是相当少,而属性约简在实际生活中具有重要的意义.今后,模糊粗糙集还有很大的发展空间,它可能更广泛的应用于数据挖掘,知识发现等重要领域.参考文献:[1]　Pawlak Z.R ough[J].International Journal of C omputerand in formation Science,1982,11:341-356.[2]　Pawlak Z.R ough sets:theoretical aspects of reas oning aboutdata[M].Boston:K luwer Academic Publishers,1991:66-90.[3]　Dubois D,Prade H.R ough fuzzy sets and fuzzy rough sets[J].International Journal of G eneral System,1990,17:191-208.[4]　Dubois D,Prade H.Putting rough sets and fuzzy sets 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粗糙集理论的基本原理与模型构建

粗糙集理论的基本原理与模型构建粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它在信息科学、数据挖掘和人工智能等领域具有广泛的应用。

本文将介绍粗糙集理论的基本原理和模型构建方法。

一、粗糙集理论的基本原理粗糙集理论最早由波兰学者Pawlak于1982年提出，它是基于集合论和近似推理的一种数学模型。

粗糙集理论的核心思想是通过对数据集进行分析，找出数据之间的关联和规律，从而进行决策和推理。

粗糙集理论的基本原理包括下近似和上近似。

下近似是指在给定条件下，能够包含所有满足条件的对象的最小集合；上近似是指在给定条件下，能够包含所有满足条件的对象的最大集合。

通过下近似和上近似的计算，可以得到粗糙集的边界区域，进而进行数据分类、决策和模式识别等任务。

二、粗糙集模型的构建方法粗糙集模型的构建方法主要包括属性约简和决策规则提取两个步骤。

属性约简是指从原始数据集中选择出最具代表性和决策能力的属性子集。

属性约简的目标是减少属性的数量，同时保持原始数据集的决策能力。

常用的属性约简方法包括正域约简、核约简和快速约简等。

这些方法通过计算属性的重要性和相关性，从而选择出最优的属性子集。

决策规则提取是指从属性约简后的数据集中提取出具有决策能力的规则。

决策规则是一种描述数据之间关系的形式化表示，它可以用于数据分类、决策和模式识别等任务。

决策规则提取的方法包括基于规则的决策树、基于规则的神经网络和基于规则的关联规则等。

三、粗糙集理论的应用领域粗糙集理论在信息科学、数据挖掘和人工智能等领域具有广泛的应用。

它可以用于数据预处理、特征选择、数据分类和模式识别等任务。

在数据预处理方面，粗糙集理论可以帮助我们对原始数据进行清洗和转换，从而提高数据的质量和可用性。

通过对数据集进行属性约简和决策规则提取，可以减少数据集的维度和复杂度，提高数据挖掘和决策分析的效率和准确性。

在特征选择方面，粗糙集理论可以帮助我们选择出最具代表性和决策能力的属性子集。

粗糙集理论与模糊集理论的异同及结合应用

粗糙集理论与模糊集理论的异同及结合应用引言：在现实生活和学术研究中，我们经常面临着信息不完备、模糊和不确定的情况。

为了更好地处理这些问题，粗糙集理论和模糊集理论应运而生。

本文将探讨粗糙集理论和模糊集理论的异同，并探讨它们如何结合应用于实际问题中。

一、粗糙集理论粗糙集理论是由波兰学者Pawlak于1982年提出的一种数学工具，用于处理信息不完备和不确定的问题。

粗糙集理论的核心思想是通过分析决策属性和条件属性之间的关系，进行信息的粗糙度度量和信息的约简。

粗糙集理论的主要特点是能够处理不完备和不确定的信息，具有较强的可解释性和可操作性。

二、模糊集理论模糊集理论是由日本学者石原和田原于1973年提出的，用于处理模糊和不确定的问题。

模糊集理论的核心思想是引入隶属度函数来描述事物的模糊性，通过模糊集的运算和推理，对模糊信息进行处理和分析。

模糊集理论的主要特点是能够处理模糊和不确定的信息，具有较强的灵活性和适应性。

三、粗糙集理论与模糊集理论的异同1. 异同之处：（1）描述方式：粗糙集理论通过信息的分区和约简来描述信息的粗糙度，而模糊集理论通过隶属度函数来描述事物的模糊性。

（2）处理方式：粗糙集理论通过分析属性之间的关系来进行信息的约简，而模糊集理论通过模糊集的运算和推理来进行信息的处理和分析。

（3）可解释性：粗糙集理论具有较强的可解释性，能够直观地描述信息的粗糙度，而模糊集理论具有较强的灵活性，能够处理更加复杂的模糊信息。

2. 结合应用：粗糙集理论和模糊集理论在实际问题中可以相互结合，以充分发挥各自的优势。

例如，在医学诊断中，可以使用模糊集理论来描述病情的模糊性，同时使用粗糙集理论来进行信息的约简，从而提高诊断的准确性和可解释性。

在金融风险评估中，可以使用粗糙集理论来处理不完备的信息，同时使用模糊集理论来描述风险的模糊性，从而更好地评估风险的大小和影响。

结论：粗糙集理论和模糊集理论是两种有效的数学工具，用于处理信息不完备、模糊和不确定的问题。

粗糙集理论简介及基本概念解析

粗糙集理论简介及基本概念解析粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它由波兰学者Pawlak于1982年提出。

粗糙集理论的核心思想是通过对数据进行粗糙化处理，将不完全、不确定的信息转化为可处理的粗糙集，进而进行数据分析和决策。

粗糙集理论的基本概念包括：粗糙集、等价关系、下近似集和上近似集。

首先，粗糙集是指在不完全信息条件下，通过将数据进行粗糙化处理得到的集合。

粗糙集可以看作是原始数据的一个近似描述，它包含了原始数据的一部分信息。

粗糙集的构建是通过等价关系来实现的。

其次，等价关系是粗糙集理论中的一个重要概念。

等价关系是指在给定的数据集中，将数据划分为若干等价类的关系。

等价关系的划分可以通过相似性度量来实现，相似性度量可以是欧氏距离、余弦相似度等。

等价关系的划分可以将原始数据进行分类，从而构建粗糙集。

下面，我们来介绍下近似集和上近似集。

下近似集是指在给定的粗糙集中，对于某个特定的属性或条件，能够确定的元素的集合。

换句话说，下近似集是能够满足某个条件的元素的集合，它是粗糙集的一个子集。

而上近似集是指在给定的粗糙集中，对于某个特定的属性或条件，可能满足的元素的集合。

上近似集是包含下近似集的最小集合，它是粗糙集的一个超集。

粗糙集理论的应用非常广泛，特别是在数据挖掘和模式识别领域。

通过粗糙集理论，可以对大量的数据进行处理和分析，从中发现隐藏的规律和模式。

粗糙集理论可以用于特征选择、属性约简、数据分类等任务，为决策提供有力支持。

总结起来，粗糙集理论是一种处理不确定性和模糊性问题的数学工具。

它通过粗糙化处理将不完全、不确定的信息转化为可处理的粗糙集，进而进行数据分析和决策。

粗糙集理论的基本概念包括粗糙集、等价关系、下近似集和上近似集。

粗糙集理论在数据挖掘和模式识别领域有着广泛的应用，可以用于特征选择、属性约简、数据分类等任务。

通过粗糙集理论，我们可以更好地理解和处理不确定性和模糊性问题，为决策提供有力支持。

2020年丽江师范高等专科学校学报总目次

2020年丽江师范高等专科学校学报总目次纳西学和东巴文化研究清代丽江诗人马之龙生平考释和力民（1）P1少数民族地区的民族身份认同与民族一体化构建—以云南省丽江市玉龙县龙蟠乡鲁南村为例和万传姜彩虹（1）P11——从甲骨文和纳西象形文看中国书画之流与变潘玉福（1）P17文化活动、文化事件及其功能与影响蔡晓龄（2）P1纳西族摩梭人洪水神话研究卢璘（2）P15东巴古籍数字化刍议杨婷（3）P32少数民族饮食文化英译方法探析———以云南彝族支系他留人的饮食为例吕雨欣罗夏梓平（3）P37依从、认同及内化：铸牢中华民族共同体意识的发展进程分析平丹（4）P1文山苗族芦笙辞个案释析熊文国（4）P6历史文化研究19世纪英国社团的价值认同功能探析袁弋胭（2）P22论木增年谱高宇航（1）P22滇西北地区土司“十一司五家”中“三家”略论李桥春（1）P33一战前后西方国家在库尔德斯坦的探险活动及其影响李佳欣（3）P74教育教学研究丽江市普通高中教育发展调研报告李建国（1）P45核心素养视角下薄弱高中学校培养学生自主管理能力策略的调查研究何鹏飞王晓莉（1）P52基于学生学业水平测试背景下中职语文有效性教学林秀玉（1）P59国立丽江师范学校教学模式及其思考秦小健（2）P30基于翻转课堂《高级英语》教学活动设计田云（2）P35英美文学经典与英语专业学生思辨能力的培养雷炎炎韩映（2）P40漫谈析句法对现代汉语语法教学的影响何贵生（2）P48高职高专院校大学生心理健康教育引入慕课模式的实践与反思杨阳（2）P53高校思想政治理论课实践教学的困境及对策黄华宁（3）P1高中思想政治活动型学科课程有效开展研究朱小智（3）P5民族地区大中小学思想政治理论课一体化有效衔接探析周起帆（3）P11浅析《春江花月夜》五字教学法张海涛（3）P18初级汉语综合课中词汇教学探析杨国佳（3）P22高职学生职涯发展能力影响因素实证探究邓上清（3）P27地方院校建设服务型大学研究姚成林（4）P13论新时代高校脑力劳动教育与体力劳动教育的同构共生陈阳陈晓吴雪菲（4）P17美术教育专业采风教学案例探析杨鸿荣（4）P23“雨课堂”在地方高校大学英语听说教学中的实践与反思雷炎炎袁翠苓（4）P27师范类专业认证背景下高职高专英语教育专业人才培养方案优化设计周丽云（4）P34高校务须重视拉抬大学生中文写作能力—基于一些观察体悟曾铁（4）P42中国传统节日在高校中发挥育人功效的路径研究叶欣（4）P51党风廉政建设理论研究开展校内巡察的实践探析———以丽江师范高等专科学校为例杨家顺（1）P64社会学研究青少年对地方传统节日的认知和参与度调查———以达州“元九登高”为例游舒婷罗夏梓平（1）P69滇西北地区旅游文化演艺扶贫研究———以丽江为例朱道平（4）P71彝族撒尼密枝节仪式祭祀辞《祈福辞》解题艾青（1）P76简论“健康中国”和健康科普健康农民曾铁（3）P50基于“四层一体”的红河县主要民族乡村聚落对比张惠娜（3）P59刍议自主学习与自我教育王新心王金斌邱启照（3）P642020年丽江师范高等专科学校学报总目次云南跨越发展中干部容错纠错研究白杨（3）P70文学理论批评与研究大山的儿女———试论纳西族作家木丽春创作的审美主题李柯（1）P84后现代身体审丑探究裴幸子（1）P89论李勋阳《小尾巴奇遇记》一本传播美和爱的神奇童话陶其明（2）P79跨媒介视域下网络女尊文的书写范式研究———以《传闻中的陈芊芊》为例张翠吴雨虹（4）P56清代纳西族文人木正源与其作品《雪山十二景图》初探李桥春（4）P63语言学研究《习近平用典》泰译版中的比喻句翻译研究刘梦（2）P57社会语言学视角下浅析当代男女话语差异———以西南官话成渝片为例黄铁（2）P65纳西语存在动词研究许怡（3）P43体育学研究云南民族地区高职院校体育课程调研报告———以丽江师范高等专科学校为例刘继忠王曙（1）P96基于“5W ”模式的城市体育文化跨文化传播路径研究———以晋江承办第18届世中运为例彭超越卢蕙娟管佳伟林剑（3）P82农业农村及旅游文化研究基于民需变迁的乡村治理现代化研究薛红亮（2）P69文化与市场的互动及其效益———“丽江模式”述评和建华（2）P74基础教育研究县域内义务教育校际均衡发展指标体系构建———基于利益相关者理论讨论指标体系的结构及权重赵静云赵留会周丹（2）P85丽江师范高等专科学校学报论幼儿教师的舞蹈教学赖若玉（2）P95美术教育中幼儿创造力的培养张梦刘玮（3）P80亲子关系对学前儿童语言和心理健康发展的影响杨忠华李雪梦（4）P80数学研究基于下重截集的粗糙模糊集的构造性质何天荣缪彩花吴湘云（4）P85。

经典粗糙集理论

粗糙集理论能够处理不确定性和模糊性，而神经网络则能够通过学习过程找到数据中的模式。将粗糙集与神经网络结合，可以利用粗糙集对数据的不确定性进行建模，并通过神经网络进行分类或预测。
粗糙集可以用于提取数据中的决策规则，这些规则可以作为神经网络的训练样本。通过训练，神经网络可以学习到决策规则，并用于分类或预测。
边界区域
近似集合中的不确定性区域，即既不属于正域也不属于负域的元素集合。
粗糙集的度量
精确度
描述了集合中元素被近似集合包含的程度，即属于近似集合
的元素比例。
覆盖度
描述了近似集合能够覆盖的元素数量，即近似集合的大小。
粗糙度
描述了集合被近似程度，是精确度和覆盖度的综合反映。
知识的不确定性
描述了知识表达系统中属性值的不确定性程度，与粗糙度相
经典粗糙集理论
目录
• 粗糙集理论概述 • 粗糙集的基本概念 • 粗糙集的运算与性质 • 粗糙集的决策分析 • 粗糙集与其他方法的结合 • 经典粗糙集理论案例研究
01 粗糙集理论概述
定义与特点
定义
粗糙集理论是一种处理不确定性和模糊性的数学工具，通过集合近似的方式描述知识的不完全性和不确定性。
粗糙集理论中的属性约简可以用于简化神经网络的输入特征，降低输入维度，提高分类或预测的准确率。
粗糙集与遗传算法
01
遗传算法是一种全局优化算法，能够通过模拟自然界的进化过程来寻找最优解。将粗糙集与遗传算法结合，可以利用粗糙集对数据的分类能力，结合遗传算法的全局搜索能力，寻找最优的分类规则或决策规则。
02
粗糙集可以用于生成初始的分类规则或决策规则，然后利用遗传算法对这些规则进行优化，通过选择、交叉、变异等操作，寻找最优的规则组合。

粗糙集理论与模糊集理论的比较与融合

粗糙集理论与模糊集理论的比较与融合引言：在现代科学与技术领域中，粗糙集理论和模糊集理论作为两种重要的数学工具，被广泛应用于信息处理、决策分析、模式识别等领域。

本文将对粗糙集理论和模糊集理论进行比较与融合的探讨，旨在揭示两者之间的异同以及如何结合应用。

一、粗糙集理论的基本原理与特点粗糙集理论是由波兰学者Zdzislaw Pawlak在20世纪80年代提出的，它主要用于处理不确定性和不完备性的信息。

粗糙集理论的核心思想是通过对数据集进行粗糙划分，将数据划分为等价类别，从而实现对数据的精确描述。

粗糙集理论的特点包括：1. 对不确定性处理能力强：粗糙集理论能够处理不完备、不一致和模糊的信息，具有较强的容错性。

2. 简单直观：粗糙集理论的基本概念和操作方法相对简单，易于理解和应用。

3. 适用范围广：粗糙集理论可以应用于各种领域，如数据挖掘、模式识别、决策分析等。

二、模糊集理论的基本原理与特点模糊集理论是由日本学者石井敏郎于20世纪60年代提出的，它主要用于处理信息的不确定性和模糊性。

模糊集理论的核心思想是引入隶属度函数，将元素与集合之间的隶属关系表示为一个连续的数值。

模糊集理论的特点包括：1. 对模糊信息处理能力强：模糊集理论能够处理信息的模糊性和不确定性，能够更好地描述现实世界中存在的不确定性问题。

2. 数学基础扎实：模糊集理论建立在数学理论的基础上，具有较为完备的理论体系和严格的数学推导。

3. 应用广泛：模糊集理论可以应用于控制系统、人工智能、模式识别等领域，具有广泛的应用前景。

三、粗糙集理论与模糊集理论的比较粗糙集理论和模糊集理论都是处理不确定性问题的有效工具，但在某些方面存在差异。

1. 表达能力：模糊集理论通过隶属度函数将元素与集合之间的关系表示为一个连续的数值，能够更精确地表示元素的隶属程度。

而粗糙集理论则通过等价类别的方式描述数据集，对元素的隶属度表达相对粗糙。

2. 算法复杂度：粗糙集理论的操作方法相对简单直观，算法复杂度较低。

基于表现定理的粗糙模糊集的构造方法

Ｋｅｗｏｄｓ：ｆｚｙｅ；ｕｓｔｒｐｒｓｎｔｔｏｔｏｅ；ｏｈｅ；ｏｈｕｚｓｔｙｒｕｚｓｔｃｔｅ；ｅｅｅａｉｎｈｅｒｍｒｕｇｓｔｒｕｇｆｚｙｅ
摘
要：于模糊集的截集和表现定理，基从新的角度建立了粗糙模糊集的近似算子，强近似算子和弱近似算子，并得到粗糙模糊集
维普资讯
ＣｍｕｅｎｉｅｒｇａｄＡｐｉｔｎ计算机工程与应用ｏｐｔＥｇｎｅｉｎｐｌａｉｓｒｎｃｏ
２０，４８０８４（）
１１０
基于表现定理的粗糙模糊集的构造方法
李秀红
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Ｅ—ｍａｌｘｕｎ１７＠ｓｕ．ｏｉ：ｉｈｏｇ２ｏｈｃｎ
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ＬＩＸｉｈｎ．ｐｏｃｔｏｓｒｃｏｇｕｚｅａｅｎｒｐｅｅｔｔｏｈｏｅ．ｍｐｔｒｎｉｅｒｎｎＡｐｆｕ— ｏｇＡｐｒａｈｏｃｎｔｕｔｒｕｈｆｚｙｓｔｂｓｄｏｅｒｓｎａｎｔｅｒｍＣｏｉｕｅＥｇｎｅｉｇａｄｐ— ｉ
糊集的构造方法，吴等】用构造性方法和公理化方法对粗糙模
（）Ｂ：Ａ＿Ｂ３ＡＣｃＡＣ，Ｃ＿，＿Ｂ（）Ｂ４Ａ＝仁，ＣＡ＿Ｂ
（）－＝（ａ５（Ａ）Ｉ）－＋
（）ＧＡ６Ａ
（）卢口Ａ，ＣＡ７ ≤ ＝ＡＣＡ＿＿

粗糙集理论与模糊集理论的比较与应用

粗糙集理论与模糊集理论的比较与应用近年来，随着信息技术的快速发展，人们对于数据挖掘和知识发现的需求越来越迫切。

在这个背景下，粗糙集理论和模糊集理论作为两种重要的数学工具，被广泛应用于数据分析和决策支持系统中。

本文将对这两种理论进行比较，并探讨它们的应用。

粗糙集理论是由波兰学者Pawlak于1982年提出的一种数学方法，它是一种处理不确定性和不完备性信息的有效工具。

粗糙集理论的核心概念是近似和粗糙度。

它通过将数据划分为等价类，来描述不同属性之间的关系。

粗糙集理论可以用于特征选择、数据约简和模式发现等领域。

与粗糙集理论相比，模糊集理论更加注重对不确定性的建模。

模糊集理论是由日本学者庄司昌彦于1965年提出的，它通过引入隶属度函数来描述事物的模糊性。

模糊集理论可以用于模糊分类、模糊决策和模糊控制等领域。

在应用方面，粗糙集理论和模糊集理论都有广泛的应用场景。

以数据挖掘为例，粗糙集理论可以用于特征选择和数据约简。

特征选择是指从原始数据中选择最具代表性的特征，以降低数据维度并提高分类准确率。

数据约简是指从原始数据中删除冗余和不相关的特征，以减少数据存储和计算成本。

粗糙集理论通过近似和粗糙度的概念，可以帮助我们找到最具代表性的特征和最小的数据约简。

而模糊集理论在数据挖掘中的应用更多地关注模糊分类和模糊决策。

模糊分类是指将事物划分到不同的模糊类别中，而不是传统的精确分类。

模糊决策是指在不确定性和模糊性条件下做出决策。

模糊集理论通过隶属度函数的引入，可以帮助我们处理不确定性和模糊性的问题，从而提高分类和决策的准确性。

除了数据挖掘，粗糙集理论和模糊集理论还可以应用于其他领域。

比如，在智能交通系统中，可以利用粗糙集理论来分析交通数据，预测交通拥堵和优化交通流量。

在医疗诊断中，可以利用模糊集理论来处理医学专家的模糊判断和不确定性信息，辅助医生做出准确的诊断。

综上所述，粗糙集理论和模糊集理论都是处理不确定性和不完备性信息的有效工具。

粗糙模糊集上重截集及下重截集的运算性质

㊀㊀㊀１４１㊀数学学习与研究㊀２０２１１粗糙模糊集上重截集及下重截集的运算性质粗糙模糊集上重截集及下重截集的运算性质Һ何天荣㊀胡春梅㊀（丽江师范高等专科学校教师教育学院，云南㊀丽江㊀６７４１９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ通过引入领域和重域两个概念，由此引入了粗糙模糊集的新截集：λ⁃下重截集，λ⁃上重截集．本文给出了粗糙模糊集的上重截集和下重截集的运算性质，性质的证明可以参照粗糙模糊集上截集的运算性质的证明方法，将在另文中讨论．ʌ关键词ɔ粗糙集；模糊集；粗糙模糊集；截集ʌ基金资助ɔ云南省教育厅科学研究基金教师类项目‘粗糙模糊集构造性质的推广研究“（项目编号：２０１９Ｊ０３８４）一㊁粗糙集的基本概念１．知识与知识库定义１㊀设Ｕʂ∅是一个有限非空集合，集合的元素是我们所感兴趣的对象，我们称Ｕ为论域，称满足条件Ｘ⊂Ｕ的Ｕ中的任何子集称为Ｕ的一个概念．为理论表述上的规范化起见，将空集∅也称为一个概念，Ｕ中的抽象知识表示的是Ｕ中的任何子集族，即称Ｕ中的任意子集族皆为Ｕ中的抽象知识，简称为知识．粗糙集理论只对论域Ｕ上可以形成划分的那些知识感兴趣，为理论表述的严谨性，将划分定义为：σ＝｛Ｘ１，Ｘ２，，Ｘｎ｝，ＸｉɪＵ，Ｘｉʂ∅，ＸｉɘＸｊ＝∅，规定：ｉʂｊ；ｉ，ｊ＝１，２，，ｎ，ɣｎｉ＝１Ｘｉ＝Ｕ．所谓Ｕ的一个知识库（ＫｎｏｗｌｅｄｇｅＢａｓｅ）表示的是Ｕ上的一族划分．由此可见，一个知识库表示的就是一个关系系统Ｋ＝（Ｕ，Ｒ），其中，Ｕ表示某个非空的有限集合，称其为论域，Ｒ表示的是Ｕ上的某个等价关系．２．基本范畴设Ｒ为Ｕ上的某一个等价关系（或者称为不可分辨关系），将由Ｒ的所有等价类构成的集合记为Ｕ／Ｒ．［ｘ］Ｒ表示的是包含满足关系ｘɪＵ的所有元素的Ｒ等价类．设Ｐ⊆Ｒ，且Ｐ非空，则称ɘＰ（Ｐ中所有等价关系的交集）为Ｐ上的不可区分关系，记为ｉｎｄ（Ｐ），显然有如下关系：［ｘ］ｉｎｄ（Ｐ）＝ɘＲɪＰ［ｘ］Ｒ．称ｉｎｄ（Ｐ）的等价关系为知识Ｐ的基本概念或称为基本范畴．３．粗糙集令Ｘ是Ｕ的某个子集，即Ｘ⊆Ｕ，Ｒ表示Ｕ上的某个等价关系，若Ｘ可以由Ｒ的某些基本概念（或称范畴）并集，我们将Ｘ称为可定义集或精确集，否则称Ｘ为粗糙集．设Ｋ＝（Ｕ，Ｒ）为一给定的知识库，对Ｕ的任意子集Ｘ⊆Ｕ及任何等价关系Ｒɪｉｎｄ（Ｋ），将以下两子集Ｒ－Ｘ＝｛ｘɪＵ｜［ｘ］Ｒ⊆Ｘ｝及Ｒ－Ｘ＝｛ｘɪＵ｜［ｘ］ＲɘＸʂ∅｝分别称为Ｘ的Ｒ下近似集和Ｘ的Ｒ上近似集．二㊁模糊集的基本概念１．模糊子集设Ａ是论域，映射Ａ：Ｙң［０，１］称为Ｙ的一个模糊子集，简称为F 集．称映射Ａ为F 集Ａ的隶属函数，称Ａ（ｘ）为ｙ关于Ａ的隶属度．２．截集设ＡɪF （Ｙ），∀λɪ［０，１］，我们称Ａλ＝｛ｙɪＹ｜Ａ（ｙ）ȡλ｝为Ａ的λ⁃截集，称Ａｓλ＝｛ｙɪＹ｜Ａ（ｙ）＞λ｝为Ａ的λ⁃强截集．三㊁粗糙模糊集及截集１．粗糙模糊集粗糙模糊集是在Ｐａｗｌａｋ近似空间（Ｕ，Ｒ）的论域Ｕ上定义一个等价关系Ｒ，对论域Ｕ上的某个模糊集合Ａ用粗糙集理论方法来研究，即定义该模糊集合的下近似Ａ及上近似Ａ；可得Ａ关于（Ｕ，Ｒ）的下近似Ａ以及上近似Ａ其实就是（Ｕ，Ｒ）上的一对模糊集合，将这对模糊集合的隶属函数分别定义为Ａ（ｘ）＝ｉｎｆ｛Ａ（ｙ）｜ｙɪ［ｘ］Ｒ｝ｘɪＵＡ（ｘ）＝ｓｕｐ｛Ａ（ｙ）｜ｙɪ［ｘ］Ｒ｝㊀ｘɪＵ其中，［ｘ］Ｒ表示元素ｘ在关系Ｒ下的等价类．若Ａ＝Ａ，则称Ａ是可定义集，否则称Ａ是粗糙模糊集（ＲｏｕｇｈＦｕｚｚｙＳｅｔｓ）．２．粗糙模糊集的上重截集及下重截集设Ａ是论域Ｕ上的一个模糊集，λɪ［０，１］．（１）Ａ［λ］＝｛ｘ｜ｘɪＵ，Ａ（ｘ）ȡλｃ｝，Ａｓ［λ］＝｛ｘ｜ｘɪＵ，Ａ（ｘ）＞λｃ｝，Ａ［λ］＝｛ｘ｜ｘɪＵ，Ａ（ｘ）ȡλｃ｝，Ａｓ［λ］＝｛ｘ｜ｘɪＵ，Ａ（ｘ）＞λｃ｝，分别称为Ａ，Ａ的λ－下重截集，强λ－下重截集．（２）Ａ［λ］＝｛ｘ｜ｘɪＵ，Ａ（ｘ）＜λｃ｝，Ａ［λ］ｓ＝｛ｘ｜ｘɪＵ，Ａ（ｘ）ɤλｃ｝，Ａ［λ］＝｛ｘ｜ｘɪＵ，Ａ（ｘ）＜λｃ｝，Ａ［λ］ｓ＝｛ｘ｜ｘɪＵ，Ａ（ｘ）ɤλｃ｝．分别称为Ａ，Ａ的λ－上重截集，强λ－上重截集．其中λｃ＝１－λ．四㊁粗糙模糊集截集的运算性质以下运算指的是Ｚａｄｅｈ算子定义的运算，Ａ，Ａｔ，Ａｔ表示Ｕ上的粗糙模糊集，α，λ，λ１，λ２表示［０，１］中的实数，ᶱ＝ｓｕｐ，ɡ＝ｉｎｆ．粗糙模糊集共有四种截集形式，对应于四种截集形式，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１４２数学学习与研究㊀２０２１１都有相应的运算性质成立．关于上截集和下截集形式的运算性质我们将在另文中讨论，本文性质可以根据粗糙模糊集上截集运算性质的相关证明方法及参考相关文献资料类似证明．为了节省篇幅，对以下两个运算性质只给出上重截集形式的粗糙模糊集运算性质的证明，下重截集形式的粗糙模糊集的运算性质可以用完全类似于上重截集形式的运算性质加以证明．１．粗糙模糊集上重截集的运算性质（１）（ＡɣＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɣＢ［λ］，（ＡɣＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɣＢ［λ］；（ＡɘＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɘＢ［λ］，（ＡɘＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɘＢ［λ］；（ＡɣＢ）ｓ［λ］＝Ａｓ［λ］ɣＢｓ［λ］，（ＡɣＢ）ｓ［λ］＝Ａｓ［λ］ɣＢｓ［λ］；（ＡɘＢ）ｓ［λ］＝Ａｓ［λ］ɘＢｓ［λ］，（ＡɘＢ）ｓ［λ］＝Ａｓ［λ］ɘＢｓ［λ］．证明：首先证明（ＡɣＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɣＢ［λ］，∀ｘɪ（ＡɣＢ）［λ］⇔（ＡɣＢ）（ｘ）ȡλｃ⇔（ＡᶱＢ）（ｘ）ȡλｃ⇔Ａ（ｘ）ȡλｃ，或Ｂ（ｘ）ȡλｃ{⇔ｘɪＡ［λ］，或ｘɪＢ［λ］{⇔ｘɪＡ［λ］ɣＢ［λ］．这就证明了（ＡɣＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɣＢ［λ］．同理可证（ＡɣＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɣＢ［λ］及（ＡɘＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɘＢ［λ］，（ＡɘＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɘＢ［λ］．其次证明（ＡɣＢ）ｓ［λ］＝Ａｓ［λ］ɣＢｓ［λ］，∀ｘɪ（ＡɣＢ）ｓ［λ］⇔（ＡɣＢ）（ｘ）＞λｃ⇔（ＡᶱＢ）（ｘ）＞λｃ⇔Ａ（ｘ）＞λｃ，或Ｂ（ｘ）＞λｃ{⇔ｘɪＡｓ［λ］，或ｘɪＢｓ［λ］{⇔ｘɪＡｓ［λ］ɣＢｓ［λ］．这就证明了（ＡɣＢ）ｓ［λ］＝Ａｓ［λ］ɣＢｓ［λ］．同理可证（ＡɣＢ）ｓ［λ］＝Ａｓ［λ］ɣＢｓ［λ］；㊀（ＡɘＢ）ｓ［λ］＝Ａｓ［λ］ɘＢｓ［λ］，（ＡɘＢ）ｓ［λ］＝Ａｓ［λ］ɘＢｓ［λ］．（２）若λ１＜λ２，则Ａ［λ２］⊆Ａ［λ１］，Ａ［λ２］⊆Ａ［λ１］，Ａｓ［λ２］⊆Ａｓ［λ１］，Ａｓ［λ２］⊆Ａｓ［λ１］，Ａｓ［λ２］⊆Ａ［λ１］，㊀㊀Ａｓ［λ２］⊆Ａ［λ１］．证明：由λ１＜λ２，有Ａ［λ２］＝｛ｘ｜Ａ（ｘ）ȡλｃ２｝⊆｛ｘ｜Ａ（ｘ）ȡλ１ｃ｝＝Ａ［λ１］，这就证得Ａ［λ２］⊆Ａ［λ１］．同理可证Ａ［λ２］⊆Ａ［λ１］，Ａｓ［λ２］⊆Ａｓ［λ１］，Ａｓ［λ２］⊆Ａｓ［λ１］．由λ１＜λ２，有Ａｓ［λ２］＝｛ｘ｜Ａ（ｘ）＞λ２｝⊆｛ｘ｜Ａ（ｘ）ȡλ１｝＝Ａλ１，这就证得Ａｓ［λ２］⊆Ａｓ［λ１］，同理可证Ａｓ［λ２］⊆Ａ［λ１］．（３）（ɘｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɘｔɪＴＡｔ［λ］，（ɘｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɘｔɪＴＡｔ［λ］；（ɣｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɣｔɪＴＡｔ［λ］，（ɣｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɣｔɪＴＡｔ［λ］；（ɘｔɪＴＡｔ）ｓ［λ］＝ɘｔɪＴＡｓｔ［λ］，（ɘｔɪＴＡｔ）ｓ［λ］＝ɘｔɪＴＡｓｔ［λ］；（ɣｔɪＴＡｔ）ｓ［λ］＝ɣｔɪＴＡｓｔ［λ］，（ɣｔɪＴＡｔ）ｓ［λ］＝ɣｔɪＴＡｓｔ［λ］．证明：∀ｘɪ（ɘｔɪＴＡｔ）［λ］⇔ɡｔɪＴＡｔ（ｘ）ȡλｃ⇔∀ｔɪＴ，Ａｔ（ｘ）ȡλｃ⇔∀ｔɪＴ，ｘɪＡｔ［λ］⇔ｘɪɘｔɪＴＡｔ［λ］，这就证得（ɘｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɘｔɪＴＡｔ［λ］．同理可证（ɘｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɘｔɪＴＡｔ［λ］；（ɣｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɣｔɪＴＡｔ［λ］，（ɣｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɣｔɪＴＡｔ［λ］；（ɘｔɪＴＡｔ）ｓ［λ］＝ɘｔɪＴＡｓｔ［λ］，（ɘｔɪＴＡｔ）ｓ［λ］＝ɘｔɪＴＡｓｔ［λ］；（ɣｔɪＴＡｔ）ｓ［λ］＝ɣｔɪＴＡｓｔ［λ］，（ɣｔɪＴＡｔ）ｓ［λ］＝ɣｔɪＴＡｓｔ［λ］．２．粗糙模糊集下重截集的运算性质（１）（ＡɣＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɘＢ［λ］，（ＡɣＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɘＢ［λ］；（ＡɘＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɣＢ［λ］，（ＡɘＢ）［λ］＝Ａ［λ］ɣＢ［λ］；（ＡɣＢ）［λ］ｓ＝Ａ［λ］ｓɘＢ［λ］ｓ，（ＡɣＢ）［λ］ｓ＝Ａ［λ］ｓɘＢ［λ］ｓ；（ＡɘＢ）［λ］ｓ＝Ａ［λ］ｓɘＢ［λ］ｓ，（ＡɘＢ）［λ］ｓ＝Ａ［λ］ｓɘＢ［λ］ｓ．（２）若λ１＜λ２，则Ａ［λ１］⊆Ａ［λ２］，Ａ［λ１］⊆Ａ［λ２］，Ａ［λ１］ｓ⊆Ａ［λ２］ｓ，Ａ［λ１］ｓ⊆Ａ［λ２］ｓ，Ａ［λ１］⊆Ａ［λ２］ｓ，Ａ［λ１］⊆Ａ［λ２］ｓ．（３）（ɘｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɣｔɪＲＡ［λ］ｔ，（ɘｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɣｔɪＲＡ［λ］ｔ；（ɣｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɘｔɪＴＡ［λ］ｔ，（ɣｔɪＴＡｔ）［λ］＝ɘｔɪＴＡ［λ］ｔ；（ɘｔɪＴＡｔ）［λ］ｔ＝ɣｔɪＲＡ［λ］ｔｔ，（ɘｔɪＴＡｔ）［λ］ｓ＝ɣｔɪＲＡ［λ］ｔｓ；（ɣｔɪＴＡｔ）ｓ［λ］＝ɘｔɪＴＡ［λ］ｔｓ，（ɣｔɪＴＡｔ）［λ］ｓ＝ɘｔɪＴＡ［λ］ｔｓ．ʌ参考文献ɔ［１］ＰａｗｌａｋＺ．Ｒｏｕｇｈｓｅｔｓ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，１９８２，１１（０５）：３４１３５６．［２］张文修，吴伟志，梁吉业，等．粗糙集理论与方法［Ｍ］．北京：科学出版社，２００１．［３］ＰａｗｌａｋＺ．Ｒｏｕｇｈｓｅｔｓａｎｄｆｕｚｚｙｓｅｔｓ［Ｊ］．ＦｕｚｚｙＳｅｔｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，１９８５（１７）：９９－１０２．［４］ＢａｎｅｒｊｅｅＭＰａｌＳＫ．ＲｏｕｇｈｎｅｓｓｏｆＦｕｚｚｙｓｅｔ［Ｊ］．ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｓ，１９９６（９３）：２３５－２４６．［５］ＮａｎｄａＳ，ＭａｊｕｍｄａｒＳ．ＦｕｚｚｙＲｏｕｇｈＳｅｔｓ［Ｊ］．ＦｕｚｚｙＳｅｔｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，１９９２，４５（０２）：１５７－１６０．［６］ＤｕｂｏｉｓＤ，ＰｒａｄｅＨ．Ｔｗｏｆｏｌｄｆｕｚｚｙｓｅｔｓａｎｄｒｏｕｇｈｓｅｔｓ⁃ｓｏｍｅｉｓｓｕｅｓｉｎｋｎｏｗｌｅｄｇｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＦｕｚｚｙｓｅｔｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，１９８７（２３）：３－１８．［７］ＹａｏＹＹ．Ａｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｓｔｕｄｙｏｆｆｕｚｚｙｓｅｔｓａｎｄｒｏｕｇｈｓｅｔｓ［Ｊ］．ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｓ，１９９８（１０９）：２２７－２４２．［８］罗承忠．模糊集引论：上册［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００７．［９］张振良，张金玲，肖旗梅．模糊代数与粗糙代数［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社，２００７．［１０］袁学海，李洪兴，罗承忠．几种新的截集及其应用［Ｊ］．模糊系统与数学，１９９７（０１）：３７４３．［１１］蒋劲松，王洪凯．粗糙模糊集的分解［Ｊ］．模糊系统与数学，２００４（０４）：５４５８．. All Rights Reserved.。

模糊集与粗糙集的简单入门

模糊集与粗糙集的简单入门1.前言Zadeh在1965年创立了模糊集理论[1],Pawlak在1982年又给出了粗糙集的概念[2],模糊集理论和粗糙集理论都是研究信息系统中只是不完全,不确定问题的两种方法,是经典集合论的推广,它们各自具有优点和特点,并且分别在许多领域都有成功的应用,如模式识别、机器学习、决策分析、决策支持、知识获取、知识发现等.模糊理论是简历集合的子集边缘的病态定义模型,隶属函数多数是凭经验给出的,带有明显的主观性;粗糙集理论基于集合中对象间的不可分辨行的思想,作为一种刻画不完整想和不确定性的数学工具,它无需任何先验信息,能邮箱分析处理不精确、不完整等不完备信息,对不确定集合的分析方法是客观的.两种理论之间有着密切的关系和很强的互补性,同事粗糙集理论和模糊集理论可以进行结合,产生粗糙模糊集理论和模糊粗糙集理论,并且发挥着不同的优势.本文在已有的模糊集理论和粗糙集理论的基础之上,分析和总结了模糊集和粗糙集理论,对二者进行了全面的比较.2.基本概念这部分将集中介绍模糊集和粗糙集的基本概念及其性质.2.1模糊集模糊理论[3][4]是一种用以数学模型来描述语意式的模糊信息的方法.模糊概念也是没有明确外延的概念.根据普通集合论的要求,一个对象对应于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一;而模糊集则通常用隶属函数表示模糊概念.2.1.1模糊集合的基本定义定义 1 设X是有限非空集合,称为论域,X上的模糊集A用隶属函数表示如下:→→A X x A x:[0,1],()其中()A x表示元素x隶属于模糊集合A的程度,记X上的模糊集合全体为F X.()模糊集合的数学表示方式为A x A x X where A x=∈∈{(,(x))|},()[0,1]2.1.2模糊集合的运算设,A B为X上的两个模糊集,它们的并集,交集和余集都是模糊集,且其隶属函数分别定义为=∀∈A B A x B x x Xmax{(),()}A B A x B x x X=∀∈min{(),()}⌝=-A A12.1.3 模糊集合的关系A xB x作为模糊集合之间关系的表示方式,是以集合所存在的隶属函数(),()集合之间的关系表示的.(1)模糊集合之间的相等:=⇔=∀∈A B A x B x x X()()(2)模糊集合之间的包含:⊂⇔≤∀∈()()A B A x B x x X2.1.4 截集与支集定义2 对于()A F X ∈和任意[0,1]λ∈,定义{}()A x A x λλ=≥{}()s A x A x λλ=>分别为A 的λ截集和A 的λ强截集.特别的,当1λ=时,1A 为A 的核;当0λ=时,0s A 为A 的支集.表示为如下:{}1()()1core A A x A x ==={}0()()0s support A A x A x === 则根据上面截集的概念,模糊子集通过λ截集就变成了普通集合.截集就是将模糊集合转化为普通集合的方法,截集的概念是联系模糊集合与普通集合之间的桥梁.2.2 粗糙集2.2.1粗糙集合的基本定义(1)粗糙集合提出的背景由于经典逻辑只有真假二值之分,而在现实生活中存在许多含糊的现象,并不能简单的用真假值来表示.于是,在1904年,谓词逻辑的创始人G.frege 提出了含糊(vague)一词,他把含糊现象归结到边界线上.1965年,L.A. Zadeh 提出Fuzzy Sets 的概念,试图通过这一理论解决G.frege 的含糊概念.Zadeh 的FS 方法是利用隶属函数描述边界上的不确定对象.1982年,波兰华沙理工大学 Z.Pawlak 教授针对G. frege 的边界线区域思想提出了Rough Sets 理论.Pawlak 的RS 方法:把无法确认的个体都归属于边界区域,把边界区域定义为上近似集和下近似集的差集.(2)粗糙集合的定义粗糙集理论特点是不需要预先给定默写特征或属性的数量描述,直接从给定的问题的描述集合出发,通过不可分辨关系和不可分辨类确定给定问题的近似域,找出问题内在规律.定义 2 设(,,,)K X A V f =是一个知识库,其中X 是一个非空集合,称为论域.A C D =是属性的非空有限集合,C 为D 的决策属性,C D =Φ,a V 是属性a A ∈的值域,:f X A V ⨯→是一个信息函数,它为每个对象赋予一个信息值.定义 3 设X 是一个有限的非空论域,R 为X 上的等价关系,等价关系R 把集合X 划分为多个互不相交的子集,每个子集称为一个等价类,用[]R x 来表示,[]{}R x y X xRy =∈,其中x X ∈,称,x y 为关于R 的等价关系或者不可分辨关系.论域X 上的所有等价类的集合用/X R 来表示.2.2.2 上、下近似集,粗糙度(1)上下近似集的定义定义4 对于任意的Y X ⊆,Y 的R 上、下近似集分别定义为(){/|}R Y Z X R Z Y =∈≠Φ(){/|}R Y Z X R Z Y =∈⊆集合()posR Y 称为集合Y 的正域,()()posR Y R Y =;集合()()negR Y X R X =-称为集合Y 的负域;集合()()()bnR Y R Y R Y =-称为Y 的R 边界域.集合的不确定性是由于边界域的存在,集合的边界域越大,精确性越低,粗糙度越大. 当()()R Y R Y =时,称Y 为R 的精确集;当()()R Y R Y ≠时,称Y 为R 的粗糙集,粗糙集可以近似使用精确集的两个上下近似集来描述.(2) 粗糙度粗糙度是表示知识的不完全程度,由等价关系R 定义的集合X 的粗糙度为:()1R RX X RX ρ=-其中X ≠Φ,X 表示集合X 的基数.3 研究对象、应用领域及研究方法3.1模糊集的研究对象、应用领域及研究方法(1) 模糊集的研究对象模糊集研究不确定性问题,主要着眼于知识的模糊性,强调的是集合边界的不分明性.(2) 模糊集的应用领域模糊集理论[5]广泛应用与现代社会与生活中,主要有以下几个方面:消费电子产品、工业控制器、语音辨识、影像处理、机器人、决策分析、数据探勘、数学规划以及软件工程等等.(3)研究方法模糊集理论的计算方法是知识的表达和简化.从知识的“粒度”的描述上来看,模糊集是通过计算对象关于集合的隶属程度来近似描述不确定性;从集合的关系来看,模糊集强调的是集合边界上的病态定义,也即集合边界的不分明性;从研究的对象来看,模糊集研究属于同一类的不同对象间的隶属关系,强调隶属程度;从隶属函数来看,模糊集的隶属函数反映了概念的模糊性,而且模糊集的隶属函数大多是专家凭经验给出的,带有强烈的主观意志.3.2粗糙集的研究对象、应用领域及研究方法(1)粗糙集的研究对象[6]粗糙集理论研究不确定性问题,基于集合中对象间的不可分辨性思想,建立集合的子集边缘的病态定义模型.(2)粗糙集的应用领域粗糙集理论在近些年得到飞速发展,在数据挖掘,模式识别,粗糙逻辑方面取得较大进展.与粗糙集理论相关的学科主要有以下几方面:人工智能,离散数学,概率论,模糊集理论,神经网络,计算机控制,专家系统等等[7].(3)粗糙集的研究方法粗糙集理论的研究方法就是对知识的含糊度的一个刻画,其计算方法主要是连续特征函数的产生.粗糙集理论研究认知能力产生的集合对象之间的不可分辨性,通过引入一对上下近似集合,用它们的差集来描述不确定的对象.从集合的关系来看,粗糙集强调的是对象间的不可分辨性,与集合上的等价关系相联系;从研究的对象来看,粗糙集研究的是不同类对象组成的集合关系,强调分类;从隶属函数来看,粗糙集的粗糙隶属函数的计算是从被分析的数据中直接获得,是客观的[8].4.基本研究内容4.1 模糊集理论研究的主要内容模糊集理论研究的内容很广泛,主要包括以下几方面:模糊控制,模糊聚类分析,模糊模式识别,模糊综合评判,模糊集的扩展.4.1.1 模糊控制自从Zadeh 发展出模糊集理论之后,对于不明确系统的控制有极大的贡献,自七十年代以后,便有一些实用的模糊控制器相继的完成,使得我们在控制领域中又向前迈进了一大步,在此将对模糊控制理论做一番浅介[6].模糊控制利用模糊集理论的基本思想和理论的控制方法.在传统的控制领域里,控制系统动态模式的精确与否是影响控制优劣的最主要关键,系统动态的信息越详细,则越能达到精确控制的目的.然而,对于复杂的系统,由于变量太多,往往难以正确的描述系统的动态,于是工程师便利用各种方法来简化系统动态,以达成控制的目的,但却不尽理想.换言之,传统的控制理论对于明确系统有强而有力的控制能力,但对于过于复杂或难以精确描述的系统,则显得无能为力了.所以,模糊集理论便被用来处理这些控制问题.4.1.2模糊聚类分析模糊聚类分析的研究是基于模糊等价关系和以及模糊分类上的[4].主要有以下的定理以及定义.定理1 令R 是一个模糊等价关系,并且01αβ≤<≤,则对y X ∀∈有[][]R R y y βα⊆.定义 5 设数据集12{,,,}n X x x x =,且12,,,c A A A 是其一个分类,若该分类满足以下条件:(1) 对k ∀,存在i 使得k i x A ∈;(2) 对所以i 均有i A ≠Φ;则称该分类是X 的一个模糊划分.基于上面的理论,我们可以用一个划分矩阵()ik c n D d ⨯=来刻画数据集的分类,其中0 , 1 , k i ik k i x A d x A ∉⎧=⎨∈⎩ 定义6 对于上面的矩阵D ,若其满足以下三个条件:(1){}0,1ik d ∈;(2)11, c ik i d k ==∀∑;(3)10, n ik k d i =>∀∑;则称D 是X 上的一个精确的c -划分矩阵.定义7 设c 和n 时两个给定的正整数若模糊矩阵()ik c n D d ⨯=满足以下三个条件:(1) []0,1ik d ∈;(2) 11, c ik i d k ==∀∑;(3) 10, n ik k d n i =<<∀∑;则称D 为X 上的一个模糊的c -划分矩阵.定义8 设12{,,,}m n X x x x =⊆,12{,,,}m c V v v v =⊆,()ik c n D d ⨯=()c n ≤是X 上的一个模糊的c -划分矩阵,则 ()211(,)c n p ik i k i k J D V d v x ===-∑∑(p ∈)称为模糊划分上的一个聚类准则函数,这里()12()21[]m i i x x===∑ 定义9 如果对于任意的12{,,,}mn X x x x =⊆,存在****12{,,,}m c V v v v =⊆以及模糊的c -划分矩阵*D 使得 **(,)(,)J D V J D V ≤对所有的12{,,,}m n X x x x =⊆以及模糊的c -划分矩阵D 都成立,则称*D 为最优模糊c -划分矩阵,*V 为一个模糊聚类中心.4.1.3模糊模式识别模糊模式识别是利用模糊集理论对行为的识别.根据识别模式的性质,可以将模式识别分为两类:具体事物的识别,如对文字,音乐,语言等周围事物的识别;抽象事物的识别,如对已知的一个论点或者一个问题的理解等.下面介绍一些基本的定理及定义.定义10 清晰度增强因子:令()A F X ∈是X 上的一个模糊集,定义另外一个模糊集(2)()()I A F X ∈,其中 2(2)22() , ()[0,0.5]()()12(1()), ()(0.5,1]A x A x I A x A x A x ⎧∈⎪⎨--∈⎪⎩ 称(2)()()I A x 为清晰度增强因子.4.1.4模糊综合评判模糊综合评判是利用模糊集理论对一个事物进行评价.具体的过程为:将评价目标看成是由多种因素组成的模糊集合X ,再设定这些因素所能选取的评审等级,组成评语的模糊集合(称为评判集V ),分别求出各单一因素对各个评审等级的归属程度(称为模糊矩阵D ),然后根据各个因素在评价目标中的权重分配,通过计算(称为模糊矩阵合成),求出评价的定量解值.定义11 设:[0,1][0,1]n f →满足以下几个条件:(1)1212(,,,)n n x x x x f x x x x ====⇒=; (2)(1)(2)(1)(2)111111(,,,,,,)(,,,,,,)i i i i i n i i i n x x f x x x x x f x x x x x -+-+≤⇒≤,i ∀; (3)12(,,,)n f x x x 对每个变量都是连续的;则称f 为n -维综合函数. 常用的n -维综合函数主要有加权平均函数,几何平均函数,单因素决策函数,显著因素准则函数等等.4.2粗糙集理论研究的主要内容粗糙集理论作为一种数据分析处理理论,无论是在理论方面还是在应用实践方面都取得了很大的进展,展示了它光明的前景,因而其研究内容以及领域也是非常广泛的,主要包括以下几方面:变精度粗糙集,集值信息系统,粗糙集理论的应用,支持向量基等.4.2.1变精度粗糙集变精度粗糙集模型[9]是Pawlak 粗糙集模型的扩充,它是在基本粗糙集模型的基础上引入了β(00.5β≤<),即允许一定的错误分类率存在,这一方面完善了近似空间的概率,另一方面也有利于用粗糙集理论从认为不相关的数据集中发现相关的数据.当然,变精度粗糙集模型的主要任务是解决属性间无函数或不确定关系的数据分类问题.当0β=时,Pawlak 粗糙集模型是变精度粗糙集模型的一个特例.4.2.2集值信息系统集值信息系统[5]是信息系统的一般化模型,在实际应用中信息系统随着对象的变化而不断地动态变化.(,)S X AT =是信息系统,其中X 是对象的非空有限集合,AT 是属性的非空有限集合,对于每个a AT ∈有:a a X V →,其中a V 称为a 的值域.每个属性子集A AT ⊆决定了一个不可区分关系()ind A :(){(,)|,()()}ind A x y X X a A a x a y =∈⨯∀∈=.关系()ind A (A AT ⊆)构成了X 的划分,用/()X ind A 来表示.对于一个对象,一些属性值可能是缺省的.为了表明这种情况,通常给定一个区分值(即空值 null value )给出这些属性定义12 如果至少有一个属性a AT ∈使得a V 含有空值,则称S 是一个不完备信息系统[5],否则称它是完备的,我们用*表示空值.设S 是一个不完备信息系统,a AT ∈使得a V 含有空值*时,并且该空值*的取值为一个集合,该集合的元素是这个属性中其他所有可能值的集合,则S 就是集值信息系统.下面是一个不完备信息系统的例子:4.2.3 支持向量基支持向量机(Support Vector Machine,SVM)[10][11]是Corinna Cortes和Vapnik8等于1995年首先提出的.SVM起初是广泛应用在神经信息处理系统(Neural Information Processing Systems,NIPS), 但是,现今,SVM 已经在所有的机器学习研究领域中起着重要作用.SVM是一种学习系统,他利用高维空间中的线性分类器,在这个空间中建立一个最大的间隔超平面,这里的最大是基于最优化理论的.广义的SVM起源于统计学习理论[12].5.模糊集与粗糙集的结合由上面的讨论可知,模糊集理论与粗糙集理论各具特点,两种理论有着很强的联系与互补性,因此将两者的特点结合起来形成研究不完全数据集的有效方法.此外,通过模糊聚类和粗糙集两种方法进行属性的对象约简和属性约简,可以使数据得到横向和纵向两个方向上的约简,对象约简是引入了相似性的概念进行模糊聚类的过程,对象约简改变了标准粗糙集模型的不可分辨关系的确定条件;由于粗糙集所处理的都是离散数据,所以在数据分析中需要应用模糊聚类或隶属函数离散化,进而应用粗糙集理论属性约简、提取规则.所以结合模糊集、粗糙集理论能够有效地分析数据,提高生成规则的可信性和和合理性,倒出可信的规则集.5.1模糊粗糙集及粗糙模糊集结合模糊集和粗糙集两种理论可以得到模糊粗糙集及粗糙模糊集模型,当知识库中的知识模块是清晰的概念,而被描述的概念是一个模糊的概念,人们建立粗糙模糊集模型来解决此类问题的近似推理;当知识库中的知识模块是模糊知识,而被近似的概念是模糊概念时,则需要建立模糊粗糙集模型,也有人将普通关系推广称模糊关系或者模糊划分而获得模糊粗糙集模型.定义13 设R 是X 上的一个等价关系,()A F X ∈,[0,1]λ∈,模糊集A 、A λ以及s A λ的上下近似分别为:(){|[]},(){|[]}RR R A x X x A R A x X x A λλλλ=∈≠Φ=∈⊆ (){|[]},(){|[]}s s s s R R R A x X x A R A x X x A λλλλ=∈≠Φ=∈⊆(){|[]},(){|[]}RR R A x X x A R A x X x A =∈≠Φ=∈⊆ 可以验证,当A 是X 上的经典集合时,上面所介绍的上下近似就是Pawlak 意义下的上下近似. 定义14 设R 是X 上的等价关系,A 是X 的一个模糊集合,()A F X ∈,则A 关于R 的上下近似分别定义如下:()sup{()|[]},()inf{()|[]}R R R R A x A y y x A x A y y x =∈=∈可以看出,模糊集()A F X ∈关于等价关系R 的上下近似仍为模糊集合,若 R R A A =,则称A 是可定义的,否则称A 是粗糙集,称R A 是A 关于近似空间(,)X R 的正域,称~R A 是A 关于(,)X R 的负域,称(~)R R A A 为A 的边界.R A 可以理解为对象x 肯定属于模糊集A 的隶属程度;R A 理解为对象x 可能属于模糊集A 的隶属程度,同样可以验证,当A 时X 上的经典集合时,就是Pawlak 意义下的上下近似.在标准粗糙集模型中引入变精度,提高了相对近似精度,而在粗糙模糊集引入变精度,得到新定义:()sup{()|[]()1}R R A x A y y x A y ββ=∈∧>-()inf{()|[]()}R R A x A y y x A y ββ=∈∧≥这样下近似集合中元素隶属度降低,而上近似的隶属度提高,提高了相对精度.5.2粗糙隶属函数粗糙隶属函数式借助模糊理论来研究粗糙集理论的方法,通过粗糙隶属度函数可以将粗糙集理论与模糊集理论联系起来,建立一种粗糙集理论与模糊集理论的关系,并得到一些性质.定义15 设R 是论域X 上的一个相似关系,若A 是X 上的一个模糊集合,则A 关于R 的一个下近似()R A 和上近似()R A 分别定义为X 上的一个模糊集合,称为粗糙隶属度函数[5],定义为 |[]|()|[]|R R A x A x x = 粗糙隶属函数表示的是一个模糊概念,一般不是Zadeh 意义下的隶属函数.粗糙隶属函数()A x 表示的是x 的等价类[]R x 隶属于A 的程度.由定义14和定义15可以得到:模糊集A 的下近似且关于等价关系R 的等价类隶属于A 的程度为1;模糊集A 的上近似且关于等价关系R 的等价类隶属于A 的程度为大于0小于1,因此有:性质1 1(){|()1,/}Core A A x A x x X R RA ===∈=0(){|()0,/}s support A A x A x x X R ==>∈(){|0()1,/}bnR A RA RA x A x x X R =-=<<∈(){|()0,/}negR A X RA x A x x X R =-==∈性质2 []()()R y x A x A y ∈⇒=[]()1R x A A x ⊆⇒=[]()0R x A A x =Φ⇒=[] []()(0,1)R Rx A and x A A x ⊄≠Φ⇒∈ 6 总结本文系统的介绍了模糊集理论与粗糙集理论,二者研究的主要内容,以及二者的结合的相关理论.是对本学期所学的模糊计算和粗糙计算的一个简单的小结,也是我本人对该学科的一个简单的入门.参考文献[1] L.A.Zadeh, Fuzzy sets[J], Information and Control, 1965,8:338-353.[2]Pawlak Z, Rough sets[J], International Journal of Computer andInformation science, 1982,1(11):341-356.[3]胡宝清,模糊理论基础,武汉:武汉大学出版社,2010.[4]张文修,模糊数学基础,西安:西安交通大学出版社,1984.[5]张文修,粗糙集理论与方法,北京:科学出版社,2001[6] /view/87377.htm[7]K. Y. Chan, C.K. Kwong, B.Q. Hu, Market segmentation and ideal pointidentification for new product design using fuzzy data compression and fuzzy clustering methods[J], Applied Soft Computing, 2012, 12, 1371-1378.[8]Z.Pawlak, Rough sets and fuzzy sets [J], Fuzzy sets and Systems,1985,17,99-102.[9]Beynon M.Reducts within the variable precision rough sets model: afurther investigation[J], European Journal of Operational Research, 2001,134:592-605.[10]邓乃扬,田英杰,数据挖掘中的新方法:支持向量基,北京:科学出版社,2004.[11]邓乃扬,田英杰,支持向量基-理论、算法与拓展,北京:科学出版社,2009.[12]V.Vapnik, Statistical Learning Theory, John Wiley & Sons, 1998.。

粗糙集理论简介及基本原理

粗糙集理论简介及基本原理粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它由波兰数学家Pawlak于1982年提出。

粗糙集理论的核心思想是通过对数据进行粗糙化，将数据集划分为不同的等价类，以便更好地理解和描述数据的特征和规律。

粗糙集理论的基本原理是基于信息的不完备性和不确定性。

在现实世界中，我们往往无法获取到完整和精确的信息，数据中可能存在噪声、缺失或冲突等问题。

粗糙集理论通过对数据进行粗糙化，将不确定的数据转化为一组等价类，从而更好地处理这些问题。

粗糙集理论的核心概念是粗糙集和约简。

粗糙集是指在数据集中，存在一些元素无法被确定地分类到某个等价类中，即存在不确定性。

而约简则是指通过消除冗余和保留核心信息，将原始数据集简化为一个更小的等价类集合。

通过约简，我们可以减少数据集的复杂性，提取出数据中的关键特征和规律。

在粗糙集理论中，最常用的方法是基于属性约简。

属性约简是指通过选择一部分重要的属性，来代表整个数据集的特征和规律。

在实际应用中，数据集往往包含大量的属性，其中某些属性可能是冗余的或无关的。

通过属性约简，我们可以提取出最具代表性的属性，从而减少数据集的维度和复杂性。

粗糙集理论在各个领域都有广泛的应用。

在数据挖掘领域，粗糙集理论可以用于特征选择、分类和聚类等任务。

通过约简，我们可以选择出最具代表性的特征，从而提高分类和聚类的准确性和效率。

在决策支持系统中，粗糙集理论可以用于帮助决策者进行决策分析和风险评估。

通过对数据进行粗糙化和约简，我们可以更好地理解和描述决策问题，从而提供决策支持。

总之，粗糙集理论是一种处理不确定性和模糊性问题的有效工具。

它通过对数据进行粗糙化和约简，提取出数据的核心特征和规律，从而帮助我们更好地理解和处理现实世界中的复杂问题。

粗糙集理论在各个领域都有广泛的应用，为我们提供了一种全新的思维方式和分析工具。

模糊集与粗糙集的简单入门

模糊集与粗糙集的简单入门1.前言Zadeh在1965年创立了模糊集理论[1],Pawlak在1982年又给出了粗糙集的概念[2],模糊集理论和粗糙集理论都是研究信息系统中只是不完全,不确定问题的两种方法,是经典集合论的推广,它们各自具有优点和特点,并且分别在许多领域都有成功的应用,如模式识别、机器学习、决策分析、决策支持、知识获取、知识发现等.模糊理论是简历集合的子集边缘的病态定义模型,隶属函数多数是凭经验给出的,带有明显的主观性;粗糙集理论基于集合中对象间的不可分辨行的思想,作为一种刻画不完整想和不确定性的数学工具,它无需任何先验信息,能邮箱分析处理不精确、不完整等不完备信息,对不确定集合的分析方法是客观的.两种理论之间有着密切的关系和很强的互补性,同事粗糙集理论和模糊集理论可以进行结合,产生粗糙模糊集理论和模糊粗糙集理论,并且发挥着不同的优势.本文在已有的模糊集理论和粗糙集理论的基础之上,分析和总结了模糊集和粗糙集理论,对二者进行了全面的比较.2.基本概念这部分将集中介绍模糊集和粗糙集的基本概念及其性质.2.1模糊集模糊理论[3][4]是一种用以数学模型来描述语意式的模糊信息的方法.模糊概念也是没有明确外延的概念.根据普通集合论的要求,一个对象对应于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一;而模糊集则通常用隶属函数表示模糊概念.2.1.1模糊集合的基本定义定义 1 设X是有限非空集合,称为论域,X上的模糊集A用隶属函数表示如下:→→A X x A x:[0,1],()其中()A x表示元素x隶属于模糊集合A的程度,记X上的模糊集合全体为F X.()模糊集合的数学表示方式为A x A x X where A x=∈∈{(,(x))|},()[0,1]2.1.2模糊集合的运算设,A B为X上的两个模糊集,它们的并集,交集和余集都是模糊集,且其隶属函数分别定义为=∀∈A B A x B x x Xmax{(),()}A B A x B x x X=∀∈min{(),()}⌝=-A A12.1.3 模糊集合的关系A xB x作为模糊集合之间关系的表示方式,是以集合所存在的隶属函数(),()集合之间的关系表示的.(1)模糊集合之间的相等:=⇔=∀∈A B A x B x x X()()(2)模糊集合之间的包含:⊂⇔≤∀∈()()A B A x B x x X2.1.4 截集与支集定义2 对于()A F X ∈和任意[0,1]λ∈,定义{}()A x A x λλ=≥{}()s A x A x λλ=>分别为A 的λ截集和A 的λ强截集.特别的,当1λ=时,1A 为A 的核;当0λ=时,0s A 为A 的支集.表示为如下:{}1()()1core A A x A x ==={}0()()0s support A A x A x === 则根据上面截集的概念,模糊子集通过λ截集就变成了普通集合.截集就是将模糊集合转化为普通集合的方法,截集的概念是联系模糊集合与普通集合之间的桥梁.2.2 粗糙集2.2.1粗糙集合的基本定义(1)粗糙集合提出的背景由于经典逻辑只有真假二值之分,而在现实生活中存在许多含糊的现象,并不能简单的用真假值来表示.于是,在1904年,谓词逻辑的创始人G.frege 提出了含糊(vague)一词,他把含糊现象归结到边界线上.1965年,L.A. Zadeh 提出Fuzzy Sets 的概念,试图通过这一理论解决G.frege 的含糊概念.Zadeh 的FS 方法是利用隶属函数描述边界上的不确定对象.1982年,波兰华沙理工大学 Z.Pawlak 教授针对G. frege 的边界线区域思想提出了Rough Sets 理论.Pawlak 的RS 方法:把无法确认的个体都归属于边界区域,把边界区域定义为上近似集和下近似集的差集.(2)粗糙集合的定义粗糙集理论特点是不需要预先给定默写特征或属性的数量描述,直接从给定的问题的描述集合出发,通过不可分辨关系和不可分辨类确定给定问题的近似域,找出问题内在规律.定义 2 设(,,,)K X A V f =是一个知识库,其中X 是一个非空集合,称为论域.A C D =是属性的非空有限集合,C 为D 的决策属性,C D =Φ,a V 是属性a A ∈的值域,:f X A V ⨯→是一个信息函数,它为每个对象赋予一个信息值.定义 3 设X 是一个有限的非空论域,R 为X 上的等价关系,等价关系R 把集合X 划分为多个互不相交的子集,每个子集称为一个等价类,用[]R x 来表示,[]{}R x y X xRy =∈,其中x X ∈,称,x y 为关于R 的等价关系或者不可分辨关系.论域X 上的所有等价类的集合用/X R 来表示.2.2.2 上、下近似集,粗糙度(1)上下近似集的定义定义4 对于任意的Y X ⊆,Y 的R 上、下近似集分别定义为(){/|}R Y Z X R Z Y =∈≠Φ(){/|}R Y Z X R Z Y =∈⊆集合()posR Y 称为集合Y 的正域,()()posR Y R Y =;集合()()negR Y X R X =-称为集合Y 的负域;集合()()()bnR Y R Y R Y =-称为Y 的R 边界域.集合的不确定性是由于边界域的存在,集合的边界域越大,精确性越低,粗糙度越大. 当()()R Y R Y =时,称Y 为R 的精确集;当()()R Y R Y ≠时,称Y 为R 的粗糙集,粗糙集可以近似使用精确集的两个上下近似集来描述.(2) 粗糙度粗糙度是表示知识的不完全程度,由等价关系R 定义的集合X 的粗糙度为:()1R RX X RX ρ=-其中X ≠Φ,X 表示集合X 的基数.3 研究对象、应用领域及研究方法3.1模糊集的研究对象、应用领域及研究方法(1) 模糊集的研究对象模糊集研究不确定性问题,主要着眼于知识的模糊性,强调的是集合边界的不分明性.(2) 模糊集的应用领域模糊集理论[5]广泛应用与现代社会与生活中,主要有以下几个方面:消费电子产品、工业控制器、语音辨识、影像处理、机器人、决策分析、数据探勘、数学规划以及软件工程等等.(3)研究方法模糊集理论的计算方法是知识的表达和简化.从知识的“粒度”的描述上来看,模糊集是通过计算对象关于集合的隶属程度来近似描述不确定性;从集合的关系来看,模糊集强调的是集合边界上的病态定义,也即集合边界的不分明性;从研究的对象来看,模糊集研究属于同一类的不同对象间的隶属关系,强调隶属程度;从隶属函数来看,模糊集的隶属函数反映了概念的模糊性,而且模糊集的隶属函数大多是专家凭经验给出的,带有强烈的主观意志.3.2粗糙集的研究对象、应用领域及研究方法(1)粗糙集的研究对象[6]粗糙集理论研究不确定性问题,基于集合中对象间的不可分辨性思想,建立集合的子集边缘的病态定义模型.(2)粗糙集的应用领域粗糙集理论在近些年得到飞速发展,在数据挖掘,模式识别,粗糙逻辑方面取得较大进展.与粗糙集理论相关的学科主要有以下几方面:人工智能,离散数学,概率论,模糊集理论,神经网络,计算机控制,专家系统等等[7].(3)粗糙集的研究方法粗糙集理论的研究方法就是对知识的含糊度的一个刻画,其计算方法主要是连续特征函数的产生.粗糙集理论研究认知能力产生的集合对象之间的不可分辨性,通过引入一对上下近似集合,用它们的差集来描述不确定的对象.从集合的关系来看,粗糙集强调的是对象间的不可分辨性,与集合上的等价关系相联系;从研究的对象来看,粗糙集研究的是不同类对象组成的集合关系,强调分类;从隶属函数来看,粗糙集的粗糙隶属函数的计算是从被分析的数据中直接获得,是客观的[8].4.基本研究内容4.1 模糊集理论研究的主要内容模糊集理论研究的内容很广泛,主要包括以下几方面:模糊控制,模糊聚类分析,模糊模式识别,模糊综合评判,模糊集的扩展.4.1.1 模糊控制自从Zadeh 发展出模糊集理论之后,对于不明确系统的控制有极大的贡献,自七十年代以后,便有一些实用的模糊控制器相继的完成,使得我们在控制领域中又向前迈进了一大步,在此将对模糊控制理论做一番浅介[6].模糊控制利用模糊集理论的基本思想和理论的控制方法.在传统的控制领域里,控制系统动态模式的精确与否是影响控制优劣的最主要关键,系统动态的信息越详细,则越能达到精确控制的目的.然而,对于复杂的系统,由于变量太多,往往难以正确的描述系统的动态,于是工程师便利用各种方法来简化系统动态,以达成控制的目的,但却不尽理想.换言之,传统的控制理论对于明确系统有强而有力的控制能力,但对于过于复杂或难以精确描述的系统,则显得无能为力了.所以,模糊集理论便被用来处理这些控制问题.4.1.2模糊聚类分析模糊聚类分析的研究是基于模糊等价关系和以及模糊分类上的[4].主要有以下的定理以及定义.定理1 令R 是一个模糊等价关系,并且01αβ≤<≤,则对y X ∀∈有[][]R R y y βα⊆.定义 5 设数据集12{,,,}n X x x x =,且12,,,c A A A 是其一个分类,若该分类满足以下条件:(1) 对k ∀,存在i 使得k i x A ∈;(2) 对所以i 均有i A ≠Φ;则称该分类是X 的一个模糊划分.基于上面的理论,我们可以用一个划分矩阵()ik c n D d ⨯=来刻画数据集的分类,其中0 , 1 , k i ik k i x A d x A ∉⎧=⎨∈⎩ 定义6 对于上面的矩阵D ,若其满足以下三个条件:(1){}0,1ik d ∈;(2)11, c ik i d k ==∀∑;(3)10, n ik k d i =>∀∑;则称D 是X 上的一个精确的c -划分矩阵.定义7 设c 和n 时两个给定的正整数若模糊矩阵()ik c n D d ⨯=满足以下三个条件:(1) []0,1ik d ∈;(2) 11, c ik i d k ==∀∑;(3) 10, n ik k d n i =<<∀∑;则称D 为X 上的一个模糊的c -划分矩阵.定义8 设12{,,,}m n X x x x =⊆,12{,,,}m c V v v v =⊆,()ik c n D d ⨯=()c n ≤是X 上的一个模糊的c -划分矩阵,则 ()211(,)c n p ik i k i k J D V d v x ===-∑∑(p ∈)称为模糊划分上的一个聚类准则函数,这里()12()21[]m i i x x===∑ 定义9 如果对于任意的12{,,,}mn X x x x =⊆,存在****12{,,,}m c V v v v =⊆以及模糊的c -划分矩阵*D 使得 **(,)(,)J D V J D V ≤对所有的12{,,,}m n X x x x =⊆以及模糊的c -划分矩阵D 都成立,则称*D 为最优模糊c -划分矩阵,*V 为一个模糊聚类中心.4.1.3模糊模式识别模糊模式识别是利用模糊集理论对行为的识别.根据识别模式的性质,可以将模式识别分为两类:具体事物的识别,如对文字,音乐,语言等周围事物的识别;抽象事物的识别,如对已知的一个论点或者一个问题的理解等.下面介绍一些基本的定理及定义.定义10 清晰度增强因子:令()A F X ∈是X 上的一个模糊集,定义另外一个模糊集(2)()()I A F X ∈,其中 2(2)22() , ()[0,0.5]()()12(1()), ()(0.5,1]A x A x I A x A x A x ⎧∈⎪⎨--∈⎪⎩ 称(2)()()I A x 为清晰度增强因子.4.1.4模糊综合评判模糊综合评判是利用模糊集理论对一个事物进行评价.具体的过程为:将评价目标看成是由多种因素组成的模糊集合X ,再设定这些因素所能选取的评审等级,组成评语的模糊集合(称为评判集V ),分别求出各单一因素对各个评审等级的归属程度(称为模糊矩阵D ),然后根据各个因素在评价目标中的权重分配,通过计算(称为模糊矩阵合成),求出评价的定量解值.定义11 设:[0,1][0,1]n f →满足以下几个条件:(1)1212(,,,)n n x x x x f x x x x ====⇒=; (2)(1)(2)(1)(2)111111(,,,,,,)(,,,,,,)i i i i i n i i i n x x f x x x x x f x x x x x -+-+≤⇒≤,i ∀; (3)12(,,,)n f x x x 对每个变量都是连续的;则称f 为n -维综合函数. 常用的n -维综合函数主要有加权平均函数,几何平均函数,单因素决策函数,显著因素准则函数等等.4.2粗糙集理论研究的主要内容粗糙集理论作为一种数据分析处理理论,无论是在理论方面还是在应用实践方面都取得了很大的进展,展示了它光明的前景,因而其研究内容以及领域也是非常广泛的,主要包括以下几方面:变精度粗糙集,集值信息系统,粗糙集理论的应用,支持向量基等.4.2.1变精度粗糙集变精度粗糙集模型[9]是Pawlak 粗糙集模型的扩充,它是在基本粗糙集模型的基础上引入了β(00.5β≤<),即允许一定的错误分类率存在,这一方面完善了近似空间的概率,另一方面也有利于用粗糙集理论从认为不相关的数据集中发现相关的数据.当然,变精度粗糙集模型的主要任务是解决属性间无函数或不确定关系的数据分类问题.当0β=时,Pawlak 粗糙集模型是变精度粗糙集模型的一个特例.4.2.2集值信息系统集值信息系统[5]是信息系统的一般化模型,在实际应用中信息系统随着对象的变化而不断地动态变化.(,)S X AT =是信息系统,其中X 是对象的非空有限集合,AT 是属性的非空有限集合,对于每个a AT ∈有:a a X V →,其中a V 称为a 的值域.每个属性子集A AT ⊆决定了一个不可区分关系()ind A :(){(,)|,()()}ind A x y X X a A a x a y =∈⨯∀∈=.关系()ind A (A AT ⊆)构成了X 的划分,用/()X ind A 来表示.对于一个对象,一些属性值可能是缺省的.为了表明这种情况,通常给定一个区分值(即空值 null value )给出这些属性定义12 如果至少有一个属性a AT ∈使得a V 含有空值,则称S 是一个不完备信息系统[5],否则称它是完备的,我们用*表示空值.设S 是一个不完备信息系统,a AT ∈使得a V 含有空值*时,并且该空值*的取值为一个集合,该集合的元素是这个属性中其他所有可能值的集合,则S 就是集值信息系统.下面是一个不完备信息系统的例子:4.2.3 支持向量基支持向量机(Support Vector Machine,SVM)[10][11]是Corinna Cortes和Vapnik8等于1995年首先提出的.SVM起初是广泛应用在神经信息处理系统(Neural Information Processing Systems,NIPS), 但是,现今,SVM 已经在所有的机器学习研究领域中起着重要作用.SVM是一种学习系统,他利用高维空间中的线性分类器,在这个空间中建立一个最大的间隔超平面,这里的最大是基于最优化理论的.广义的SVM起源于统计学习理论[12].5.模糊集与粗糙集的结合由上面的讨论可知,模糊集理论与粗糙集理论各具特点,两种理论有着很强的联系与互补性,因此将两者的特点结合起来形成研究不完全数据集的有效方法.此外,通过模糊聚类和粗糙集两种方法进行属性的对象约简和属性约简,可以使数据得到横向和纵向两个方向上的约简,对象约简是引入了相似性的概念进行模糊聚类的过程,对象约简改变了标准粗糙集模型的不可分辨关系的确定条件;由于粗糙集所处理的都是离散数据,所以在数据分析中需要应用模糊聚类或隶属函数离散化,进而应用粗糙集理论属性约简、提取规则.所以结合模糊集、粗糙集理论能够有效地分析数据,提高生成规则的可信性和和合理性,倒出可信的规则集.5.1模糊粗糙集及粗糙模糊集结合模糊集和粗糙集两种理论可以得到模糊粗糙集及粗糙模糊集模型,当知识库中的知识模块是清晰的概念,而被描述的概念是一个模糊的概念,人们建立粗糙模糊集模型来解决此类问题的近似推理;当知识库中的知识模块是模糊知识,而被近似的概念是模糊概念时,则需要建立模糊粗糙集模型,也有人将普通关系推广称模糊关系或者模糊划分而获得模糊粗糙集模型.定义13 设R 是X 上的一个等价关系,()A F X ∈,[0,1]λ∈,模糊集A 、A λ以及s A λ的上下近似分别为:(){|[]},(){|[]}RR R A x X x A R A x X x A λλλλ=∈≠Φ=∈⊆ (){|[]},(){|[]}s s s s R R R A x X x A R A x X x A λλλλ=∈≠Φ=∈⊆(){|[]},(){|[]}RR R A x X x A R A x X x A =∈≠Φ=∈⊆ 可以验证,当A 是X 上的经典集合时,上面所介绍的上下近似就是Pawlak 意义下的上下近似. 定义14 设R 是X 上的等价关系,A 是X 的一个模糊集合,()A F X ∈,则A 关于R 的上下近似分别定义如下:()sup{()|[]},()inf{()|[]}R R R R A x A y y x A x A y y x =∈=∈可以看出,模糊集()A F X ∈关于等价关系R 的上下近似仍为模糊集合,若 R R A A =,则称A 是可定义的,否则称A 是粗糙集,称R A 是A 关于近似空间(,)X R 的正域,称~R A 是A 关于(,)X R 的负域,称(~)R R A A 为A 的边界.R A 可以理解为对象x 肯定属于模糊集A 的隶属程度;R A 理解为对象x 可能属于模糊集A 的隶属程度,同样可以验证,当A 时X 上的经典集合时,就是Pawlak 意义下的上下近似.在标准粗糙集模型中引入变精度,提高了相对近似精度,而在粗糙模糊集引入变精度,得到新定义:()sup{()|[]()1}R R A x A y y x A y ββ=∈∧>-()inf{()|[]()}R R A x A y y x A y ββ=∈∧≥这样下近似集合中元素隶属度降低,而上近似的隶属度提高,提高了相对精度.5.2粗糙隶属函数粗糙隶属函数式借助模糊理论来研究粗糙集理论的方法,通过粗糙隶属度函数可以将粗糙集理论与模糊集理论联系起来,建立一种粗糙集理论与模糊集理论的关系,并得到一些性质.定义15 设R 是论域X 上的一个相似关系,若A 是X 上的一个模糊集合,则A 关于R 的一个下近似()R A 和上近似()R A 分别定义为X 上的一个模糊集合,称为粗糙隶属度函数[5],定义为 |[]|()|[]|R R A x A x x = 粗糙隶属函数表示的是一个模糊概念,一般不是Zadeh 意义下的隶属函数.粗糙隶属函数()A x 表示的是x 的等价类[]R x 隶属于A 的程度.由定义14和定义15可以得到:模糊集A 的下近似且关于等价关系R 的等价类隶属于A 的程度为1;模糊集A 的上近似且关于等价关系R 的等价类隶属于A 的程度为大于0小于1,因此有:性质1 1(){|()1,/}Core A A x A x x X R RA ===∈=0(){|()0,/}s support A A x A x x X R ==>∈(){|0()1,/}bnR A RA RA x A x x X R =-=<<∈(){|()0,/}negR A X RA x A x x X R =-==∈性质2 []()()R y x A x A y ∈⇒=[]()1R x A A x ⊆⇒=[]()0R x A A x =Φ⇒=[] []()(0,1)R Rx A and x A A x ⊄≠Φ⇒∈ 6 总结本文系统的介绍了模糊集理论与粗糙集理论,二者研究的主要内容,以及二者的结合的相关理论.是对本学期所学的模糊计算和粗糙计算的一个简单的小结,也是我本人对该学科的一个简单的入门.参考文献[1] L.A.Zadeh, Fuzzy sets[J], Information and Control, 1965,8:338-353.[2]Pawlak Z, Rough sets[J], International Journal of Computer andInformation science, 1982,1(11):341-356.[3]胡宝清,模糊理论基础,武汉:武汉大学出版社,2010.[4]张文修,模糊数学基础,西安:西安交通大学出版社,1984.[5]张文修,粗糙集理论与方法,北京:科学出版社,2001[6] /view/87377.htm[7]K. Y. Chan, C.K. Kwong, B.Q. Hu, Market segmentation and ideal pointidentification for new product design using fuzzy data compression and fuzzy clustering methods[J], Applied Soft Computing, 2012, 12, 1371-1378.[8]Z.Pawlak, Rough sets and fuzzy sets [J], Fuzzy sets and Systems,1985,17,99-102.[9]Beynon M.Reducts within the variable precision rough sets model: afurther investigation[J], European Journal of Operational Research, 2001,134:592-605.[10]邓乃扬,田英杰,数据挖掘中的新方法:支持向量基,北京:科学出版社,2004.[11]邓乃扬,田英杰,支持向量基-理论、算法与拓展,北京:科学出版社,2009.[12]V.Vapnik, Statistical Learning Theory, John Wiley & Sons, 1998.。

《粗糙集理论简介》课件

05
粗糙集的应用实例
数据挖掘中的粗糙集应用
分类
利用粗糙集理论对数据进行分类，通过确定数据的属性重要性和类别关系，实现高效准确的分类。
聚类
通过粗糙集理论，可以发现数据中的相似性和差异性，从而将数据分成不同的聚类。
关联规则挖掘
利用粗糙集理论，可以发现数据集中项之间的有趣关系和关联规则。
机器学习中的粗糙集应用
粗糙集的补运算
总结词
粗糙集的补运算是指求一个集合的所有可能补集的运算。
VS
详细描述
补运算在粗糙集理论中用于确定一个集合的所有可能补集。补集是指不属于该集合的所有元素组成的集合。通过补运算，我们可以了解一个集合之外的所有可能性，这在处理不确定性和模糊性时非常重要。
04
粗糙集的扩展理论
决策粗糙集
多维粗糙集
多维粗糙集是粗糙集理论在多维空间下的扩展，它考虑了多个属性或特征对数据分类的影响。多维粗糙集可以更准确地描述多维数据的分类和聚类问题，因此在处理多特征和多属性问题时具有更大的优势。
多维粗糙集的主要概念包括多维下近似、多维上近似、多维边界等，通过这些概念可以度量多维数据的不确定性，从而为多维分类和聚类提供支持。
决策分析
粗糙集理论可以用于决策支持系统，通过建立决策模型来分析不确定性和模糊性条件下的最优决策。
知识获取
粗糙集理论可以用于从数据中提取隐含的知识和规则，尤其在处理不完整和不精确信息时具有显著效果。
02
粗糙集的基本概念
知识的分类
知识表达
通过数据表中的属性值来表达知识，将对象进行分类。
概率粗糙集
概率粗糙集是粗糙集理论在概率框架下的扩展，它引入了概率测度的概念，用于描述数据的不确定性。概率粗糙集可以更准确地描述数据的不确定性和随机性，因此在处理不确定性和随机性问题时具有更大的灵活性。

粗糙模糊集论文

基于不完备信息系统的粗糙模糊集研究摘要1965年Zadeh 提出了Fuzzy 集理论，1982年 Z.Pawlak 提出 Rough 集理论。

将二者结合而形成的模糊粗糙集 (FR 集 )及粗糙模糊集 (RF 集 )近年来越来越受到国际学术界的关注。

本文主要将粗糙模糊集扩展到不完备信息系统中，讨论其特性并加以认识。

不完备信息系统是指条件属性包含未知属性值，未知属性值可以被认为是与属性值域中的任意一个属性值都有可能是相同的，由此，产生容错关系来分析不完备信息系统。

本文在信息系统的粗糙模糊集理论的基础上，根据容差关系构建不完备信息系统中的粗糙模糊集。

关键字：粗糙模糊集；不完备信息系统；容差关系；粗糙集；模糊集英文摘要略一、引言：模糊集就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。

粗糙集是用已知的知识对未知的概念近似逼近。

粗糙模糊集是用一个清晰的等价关系对模糊集进行逼近。

模糊集主要是处理含糊概念的，没有给出数学公式描述有关含糊的概念，无法计算模糊集中具体的含糊元素的数目。

粗糙集也是处理含糊性和不确定性的数学工具，它把无法确定的个体都归于边界区域，而这边界区域被定义为上近似集和下近似集之差集。

经典粗糙集理论主要针对完备信息系统，利用不可分辨关系这一等价关系来对未知对象进行上近似和下近似分类。

然而,在现实生活中，由于数据测量的误差，对数据理解或获取的限制等原因，使得在知识获取时往往面临的是不完备信息系统，即可能存在部分对象的一些属性值未知的情况。

为了对不完备信息系统进行处理,需要对经典粗糙集理论进行扩展。

本文就是在经典的粗糙模糊集理论的基础上，根据容差关系构建不完备信息系统中的粗糙模糊集。

二、基本概念： 1、粗糙集:用已知的知识对未知的概念近似逼近，这用到了上近似和下近似的概念。

上近似是与未知概念相交不为空的部分，下近似是属于未知概念子集的部分。

已知的知识在粗糙集中理解为分类，分类可以用关系表示。

不可分辨关系为论域的不同划分得到的一组等价关系的交集。

基于重叠函数的邻域粗糙集与多粒度模糊粗糙集

基于重叠函数的邻域粗糙集与多粒度模糊粗糙集基于重叠函数的邻域粗糙集与多粒度模糊粗糙集摘要：邻域粗糙集是一种用于处理模糊和不确定信息的有效方法，它能够通过计算属性之间的重叠函数来获取决策规则。

多粒度模糊粗糙集是邻域粗糙集的一种扩展，它能够在不同的粒度上进行模糊粗糙集划分，从而获得更加全面准确的决策结果。

本文将详细介绍基于重叠函数的邻域粗糙集和多粒度模糊粗糙集的概念、原理及应用。

一、引言随着信息技术的不断发展，越来越多的领域开始涉及到模糊、不确定和复杂的数据。

在这样的情况下，传统的准确化方法已经无法满足需求，而邻域粗糙集和多粒度模糊粗糙集则成为了解决这一问题的有效工具。

二、邻域粗糙集邻域粗糙集是一种能够处理模糊和不确定信息的方法。

它通过计算属性之间的重叠函数来获取决策规则。

重叠函数是指属性之间的相似性程度，通过计算重叠函数可以将属性进行分类并得到决策结果。

邻域粗糙集的优点在于能够处理不完全和不一致的信息，从而提高决策的准确性。

三、多粒度模糊粗糙集多粒度模糊粗糙集是邻域粗糙集的一种扩展，它能够在不同的粒度上进行模糊粗糙集划分。

粒度是指数据集划分的程度，多粒度模糊粗糙集能够通过划分不同的粒度来获取更加全面准确的决策结果。

多粒度模糊粗糙集的优点在于能够考虑到数据的不同特征和属性之间的关系，从而提高决策的可靠性。

四、基于重叠函数的邻域粗糙集与多粒度模糊粗糙集的应用基于重叠函数的邻域粗糙集和多粒度模糊粗糙集在许多领域都有广泛的应用。

例如，在医学领域，它们能够对医疗数据进行分析和分类，从而帮助医生做出准确的诊断和治疗决策。

在金融领域，它们能够对股票市场和投资数据进行分析和预测，从而帮助投资者做出明智的投资决策。

在交通领域，它们能够对交通流量和拥堵情况进行分析和预测，从而帮助交通管理者做出合理的交通管理决策。

五、总结邻域粗糙集和多粒度模糊粗糙集是一种能够处理模糊和不确定信息的有效方法。

它们通过计算属性之间的重叠函数来获取决策规则，并能够在不同的粒度上进行模糊粗糙集划分，从而获得更加准确全面的决策结果。

粗糙集理论与模糊集理论的比较及其优势分析

粗糙集理论与模糊集理论的比较及其优势分析引言：在现实生活中，我们经常遇到一些模糊的问题，这些问题无法用确定的数值来描述。

为了解决这类问题，数学家们提出了粗糙集理论和模糊集理论。

本文将对这两种理论进行比较，并分析它们各自的优势。

一、粗糙集理论粗糙集理论是由波兰数学家Pawlak于1982年提出的，它主要用于处理信息不完全和不确定的问题。

粗糙集理论的核心思想是通过区分属性之间的重要性，将信息进行分类和划分。

粗糙集理论的主要特点是能够处理不完全信息和不确定性，适用于处理大量数据。

粗糙集理论的优势：1. 理论简单易懂：粗糙集理论的基本概念简单明了，易于理解和应用。

它不依赖于特定的领域知识，适用于各种领域的问题分析。

2. 数据处理能力强：粗糙集理论可以处理大量的数据，通过分类和划分，可以将复杂的问题简化为易于处理的子问题。

3. 可解释性强：粗糙集理论的结果可以通过决策规则的形式进行解释，使人们能够理解和接受结果。

二、模糊集理论模糊集理论是由日本数学家庆应大学的石原教授于1965年提出的，它主要用于处理模糊和不确定的问题。

模糊集理论的核心思想是通过模糊隶属度来描述事物之间的相似性和接近程度。

模糊集理论的主要特点是能够处理不确定性和模糊性，适用于处理模糊的问题。

模糊集理论的优势：1. 能够处理模糊信息：模糊集理论可以有效地处理模糊和不确定的信息，将不确定性量化为模糊隶属度，使问题的处理更加准确和可靠。

2. 灵活性强：模糊集理论的灵活性使其适用于各种领域的问题分析。

它可以灵活地调整模糊隶属度的取值范围，以适应不同的问题需求。

3. 数学理论成熟：模糊集理论已经成为一门独立的数学理论，具有严密的数学基础和丰富的应用经验。

三、粗糙集理论与模糊集理论的比较1. 理论基础：粗糙集理论是基于信息不完全和不确定性的处理，而模糊集理论是基于模糊和不确定性的处理。

两者的理论基础有所不同。

2. 处理能力：粗糙集理论主要用于处理大量数据的分类和划分，而模糊集理论主要用于处理模糊和不确定的信息。

粗糙模糊集的截集性质及其应用

粗糙模糊集的截集性质及其应用于海;黄盛【摘要】本文研究了粗糙模糊集的截集性质,粗糙模糊集的上、下近似算子具有保截集性质.在此基础上给出了粗糙模糊集的分解定理,证明了模糊上、下近似算子是其限制在经典集合上算子的典范扩张.最后,利用截集性质简化了模糊集的粗糙度和精度的计算,并给出一个应用实例.【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2010(029)005【总页数】3页(P21-23)【关键词】粗糙模糊集;截集;上近似;下近似【作者】于海;黄盛【作者单位】洛阳师范学院数学科学学院,河南洛阳,471022;洛阳师范学院数学科学学院,河南洛阳,471022【正文语种】中文【中图分类】O159粗糙集理论是Pawlak教授于1982年提出的一种能够定量分析处理不精确、不一致、不完整信息与知识的数学工具．经过多年的发展，该理论已被成功地用于决策支持系统、人工智能、模式识别和分类、故障检测、知识发现、数据挖掘等领域．而模糊集理论首先是由美国控制论专家L．A．扎德教授于1965年提出的，也是一种处理模糊和不确定知识的数学工具，它已成功地应用于模糊控制、模式识别、模糊聚类分析、模糊决策等各个方面．粗糙集和模糊集在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了经典集合论，并且这两种理论有很强的互补性．在Pawlak 粗糙集模型中所涉及的概念和知识都是清晰的，即所有的集合都是经典集合．然而，在人们的实际生活中，涉及更多的是模糊概念和模糊知识．反映在粗糙集模型中主要有两类，一类是知识库的知识是清晰的，而被近似的概念是模糊的，另一类是知识库的知识和被近似的概念都是模糊的．针对上述两类问题，人们分别提出了粗糙模糊集模型和模糊粗糙集模型．本文研究粗糙模糊集的截集性质及其应用．定义1．1[]1设U为论域，函数A:U→［0，1］称为U上的模糊集．以F(U)表示U上模糊集的全体，P(U)为U的幂集．显然P(U)⊆F(U)．定义1．2[]1设A，B∈()F U，则定义定义1．3[]1设A∈()F U，∀λ∈0，[]1，记Aλ={x∈U:A(x)≥λ}，称Aλ为A的λ－截集．定义1．4[]1设A∈()F U，λ∈0，[]1，λ与A的数积λA仍为模糊集，定义为定理1．5[]1(模糊集的分解定理)对于任意定义1．6[2，3]设(U，R)为Pawlak近似空间，即U为有限论域，R为U上的等价关系，［x］R表示包含x的等价类，对于U上的模糊集A，记则R(A分别称为A的下近似与上近似，F(U)→F(U)分别称为下近似算子和上近似算子．我们指出，当X是经典集合时当且仅当［x］R⊆X，当且仅当［x］R∩X≠φ，于是有此时恰好为Pawlak经典粗糙集的下近似和上近似．对于有限论域U上的模糊集A，可以计算A的λ－截集的下近似和上近似:也可以计算模糊集A的下近似和上近似的λ－截集，R(A)λ，有什么关系呢?下面我们证明它们都是相等的．定理2．1设A∈F(U)，对任意0≤λ≤1，有证明任取min{A(y):y∈［x］R}≥λ．也就是说∀y∈［x］R，A(y)≥λ，于是y∈Aλ，所以反过来，于是min{A(y):y∈［x］R}≥λ，即R(A)(x)≥λ，所以定理2．2设A∈F(U)，对任意0≤λ≤1，有证明任取max{A(y):y∈［x］R}≥λ．也就是说∃y∈［x］R，A(y)≥λ，于是y∈Aλ，所以于是max{A(y):由定理2．1和定理2．2可知:一个模糊集先取截集再取上、下近似和先取上、下近似再取截集结果是一样的．换句话说，粗糙模糊集的上、下近似算子保持截集性质．在这一部分中，我们给出粗糙模糊集的截集性质的几点应用．由模糊集的分解定理和粗糙模糊集的截集性质可以得到下面粗糙模糊集的分解定理．定理3．1设A∈F(U)，则文［4］给出了算子的扩张原理．定义3．2[]4设J:P(U)→P(U)是U上的算子，则定义J*:F(U)→F(U)为称J*为J的典范扩张．下面我们考察模糊上、下近似算子的扩张性质．若将模糊上、下近似算子限制在P(U)上，则得到P(U)上的算子，分别记为定理3．3粗糙模糊集的模糊上、下近似算子的典范扩张．证明由定理3．1可知同理可得由定义3．2可知的典范扩张．定理3．4设A∈F(U)，则证明仅证(1)式，(2)式可类似证明．当由定理2．1知反过来，∀0≤λ≤1，R(Aλ)=Aλ，则由模糊集的分解定理得A=以下我们考虑粗糙模糊集截集性质的另一个应用．定义3．52，[]3设A∈F(U)，对于0＜β≤α≤1，A的粗糙度与精度分别定义为约定当αA(α，β)=1．定理3．6设A∈F(U)，则A的粗糙度和精度分别为证明由定理2．1和定理2．2以及定义3．5即可得证．由定理3．6可以看出，计算模糊集A的粗糙度ρA(α，β)和精度αA(α，β)，实际上只需在经典集合环境中计算就可以了，因为一般情况下，经典集合的上、下近似比模糊集的上、下近似容易计算，这样往往使计算得到简化．例设U={xi:1≤i≤8}为某一组被研究的八名学生，他们被分成四个部分记为设模糊集A表示模糊概念“个子高”，其隶属函数为若α=0．6，β=0．4，则由粗糙模糊集的定义容易计算由经典Pawlak粗糙集的定义容易得到从而验证了定理2．1和定理2．2．进而不管用定义3．5还是定理3．6都可计算出模糊集A的粗糙度为Abstract:In this paper，properties of cut set of rough fuzzy sets are studied．The upper and lower approximation operators of rough fuzzy sets preserve the property of cut set．In this basis，the decomposition theorem of rough fuzzy sets is obtained．It is proved that fuzzy upper and lower approximation operators are the canonical extension of the operators which are the restriction of fuzzy upper and lower approximation operators to crisp sets．Finally，the calculation of roughness and accuracy measure of fuzzy sets is simplified by means ofproperties of cut set．And an application example is given．Key words:rough fuzzy set;cut set;upper approximation;lower approximation【相关文献】［1］曹炳元．应用模糊数学与系统［M］．北京:科学出版社，2005．［2］张文修，梁怡，吴伟志．信息系统与知识发现［M］．北京:科学出版社，2003．［3］张文修，等．粗糙集理论与方法［M］．北京:科学出版社，2001．［4］G．Gerla，L．Scarpati．Extension principles for fuzzy set theory［J］．Journal of Information Sciences，1998，06:49－69．［5］Xiao－yan Zhang，Wei－hua Xu．A novel approach to roughness measure in fuzzy rough sets［J］．Advances in Soft Computing，2007，40:775－780．［6］钟玉田，王峰，秦克云．基于Lukasiewicz三角模及其剩余蕴涵的模糊粗糙集［J］．计算机工程与应用，2007，43 (36):37－39．［7］吴正江，秦克云，乔全喜．双论域L模糊粗糙集［J］．计算机工程与应用，2007，43(5):10－11．。

基于模糊集截集的模糊粗糙集模型

基于模糊集截集的模糊粗糙集模型
孙秉珍;巩增泰;焦永兰
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2009(45)8
【摘要】基于L.A.Zadeh模糊集的截集的概念给出了论域U上任意模糊子集的上、下近似的刻画,得到了基于模糊集的截集的粗糙集模型,亦即模糊粗糙集,实现了用论域U中的模糊集近似论域上的任意模糊集,进一步推广了Z.Pawhk粗糙集模型,扩
展了粗糙集的应用范围.最后,研究了其基本性质以及其与其他粗糙集模型的关系.【总页数】3页(P47-49)
【作者】孙秉珍;巩增泰;焦永兰
【作者单位】兰州交通大学交通运输学院,兰州,730070;西北师范大学数学与信息
科学学院,兰州,730070;兰州交通大学交通运输学院,兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O159
【相关文献】
1.基于覆盖的模糊粗糙集的截集性质 [J], 陈志成;张红云;吴艳兵
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3.粗糙模糊集与模糊粗糙集的截集性质(英文) [J], 胡宝清;咸艳霞
4.基于截集的变精度模糊粗糙集模型 [J], 黄春娥;张振良
5.基于模糊集μ_X^R的α-截集和强β-截集的粗近似 [J], 李秀红;薛佩军;史开泉
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