高二数学生活中的优化问题举例2
高二数学生活中的优化问题
牛刀小试：要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求 每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半 径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？
r
h
解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.
由V=πr2h,得 S(r) 2r
h
V
r
V
r 2
x
令S(
x)
0,即4
256 x2
0
x 8, 最小面积S 4 8 256 8 72（dm2 ) 8
此时y 128 16(dm) 8
解法二：由解法(一)得
S( x) 4x 256 8 ≤ 2 4x 256 8
x
x
2 32 8 72
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题．通过前面的学习， 我们知道，导数是求函数最大（小） 值的强有力工具．这一节，我们利用 导数，解决一些生活中的优化问题．
创设情景
实例探究：
学校举行庆祝五一劳动节活动，需要张贴 海报进行宣传．现让你设计一张如图所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面 积最小？
,则
2 2r 2
2V r
2r 2 .
令S
(r
)
2V r2
4V V
3 23
2
4r 0 ,解得r ,即h=2r.
3
V
2
,从而h
V
r 2
高二数学生活中的优化问题举例(2)_OK
《高中数学》
选修2-2
1
1.4《生活中的优化 问题举例》
2
教学目标
• 掌握导数在生活中的优化问题问 题中的应用
• 教学重点： • 掌握导数生活中的优化问题问题
中的应用．
3
问题背景：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？
π(4r
3
r-3r
2 )0.8(0r2rLeabharlann 6)33r
(0，2)
2
f '(r)
-
0
(2，6]
+
f (r)
减函数↘ 极小值 增函数↗
∵当r∈(0，2)时， f (r ) < f (0) 0 而当r∈(2，6]时， f (r ) < f (6) __2_8_.8_p____
故f (6)是最大值
答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.
解：设每瓶饮料的利润为y，则
y
f
(r
)
=
0.28
π(4r
3
r-3r
2 )0.8(0r2r
6)
33
r
(0，2)
2
f '(r)
-
0
(2，6]
+
f (r)
减函数↘ 极小值 增函数↗
∵f (r)在(0，6]上只有一个极值点
∴由上表可知，当r=2时，利润最小
6
解：设每瓶饮料的利润为y，则
y
f
高中数学人教版选修生活中的优化问题举例课件系列二
规律方法
解决面积，体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表 示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的 最值．
变式训练
1．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬 纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折 起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱 柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边 的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)． 由 V′＝0，得 x＝0(舍)或 x＝20. 当 x∈(0,20)时，V′＞0；当 x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.
D．7 万件
解析： y′＝－x2＋81， ∴当 x>9 时，y′<9，当 x∈(0,9)时，y′>0， ∴函数 y＝－13x3＋81x－234 在(0,9)上递增，在(9，＋∞) 上递减． 故当 x＝9 时，y 有最大值． 答案： C
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷
却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：℃)为 f(x)＝13x3
解析： 设长方体的宽为 x m，长为 2x m， 则高为 h＝18－412x＝4.5－3x0<x<32. 故 长 方 体 的 体 积 为 V(x) ＝ 2x2(4.5 － 3x) ＝ 9x2 － 6x30<x<32， 从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)． 令 V′(x)＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝1.
2
1.25
高二数学(生活中的优化问题举例)
影响： 例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响： ： （1）你是否注意过，市场上等量的小包装 ）你是否注意过， 比大包装的要贵些？ 的物品一般 比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润 ）是不是饮料瓶越大， 越大？ 越大？ 背景知识： 背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装 2 的某种饮料。 瓶子的制造成本是 0.8π r 分， 的某种饮料。 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每 其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米 已知每 出售1 的饮料， 出售 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且 且 制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题(１ 瓶子的半径多大时 瓶子的半径多大时， 问题 １)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利 润最大？(２)半径多大时，每瓶的利润最小？ 润最大？ ２ 半径多大时，每瓶的利润最小？ 半径多大时
学校或班级举行活动， 例1.学校或班级举行活动，通常需要张 学校或班级举行活动 贴海报进行宣传． 贴海报进行宣传．现让你设计一张如图 所示的竖向张贴的海报， 所示的竖向张贴的海报，要求版心面积 2 为128dm , 上、下两边各空2dm．左、 下两边各空2 ． 右两边各空1 .如何设计海报的尺寸， 右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸， 才能使四周空白的面积最小？ 才能使四周空白的面积最小？ 方法1：利用导数求最值； 方法 ：利用导数求最值； 方法2： 方法 ：利用基本不等式 求最值。 求最值。
某地建一座桥，两端的桥墩已建好， 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩 相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩，经预测， 的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费 用为256万元，距离为 x 米的相邻两墩之间 万元， 用为 万元 的桥面工程费用为(2 + x )x 元。假设桥墩 等距离分布，所有桥墩都视为点， 等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑 其他因素， 万元。 其他因素，记余下工程的费用为 万元。 的函数关系式； （Ⅰ）试写出 关于 的函数关系式； 米时， （Ⅱ）当 m = 640 米时，需新建多少个桥 最小？ 墩才能使 最小？
高二数学生活中的优化问题举例试题
高二数学生活中的优化问题举例试题1.把总长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2．【答案】16【解析】设一边长为x，则另一边长可表示为8﹣x，则其面积可表示关于边长的二次函数，在定义域内求最值．解：设一边长为x，则另一边长可表示为8﹣x，则面积S=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，0＜x＜8故当矩形的长与宽相等，都为4时面积取到最大值16故应填16．点评：考查将实际问题求最值的问题转化为二次函数在某个区间上的最值问题，二次函数求最值一般用配方法．2.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为．【答案】32米，16米．【解析】要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁的周长，利用基本不等式可求周长的最小值，从而可求砌壁所用的材料最省时堆料的长和宽．解：设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长为L=2x+（x＞0），则L′=2﹣．令L′=0得x=±16，又x＞0，∴x=16，则当x=16时，L=64，min∴长为=32（米）．故堆料场的长为32米，宽为16米时，砌墙所用的材料最少．故答案为：32米，16米．点评：本题重点考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是求出新的墙壁的周长．3.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为．【答案】【解析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=，最后利用导函数即得底面边长．解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh=a2×h，∴h==，则表面积为=，则，令可得，即a=．故答案为．点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．4.如图，在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，最大容积是．【答案】16000cm3【解析】设箱底边长为xcm，结合题意可得容积V（x）=（60x2﹣x3）（0＜x＜60）．再用导数工具研究V（x）在区间（0，60）上的单调性，可知当x=40时V（x）达到最大值．由此得到本题答案．解：设箱底边长为xcm，则箱高h=，∴箱子容积V（x）=x2h=（60x2﹣x3）（0＜x＜60）．求导数，得V′（x）=60x﹣x2，令V′（x）=60x﹣x2=0，解得x=0（不合题意，舍去），x=40，∵x∈（0，40）时，V′（x）＞0；x∈（40，60）时，V′（x）＜0∴V（x）在区间（0，40）上为增函数，区间（40，60）上为减函数由此可得V（x）的最大值是V（40）=16000．故答案为：16000cm3．点评：本题以一个实际问题为例，求铁箱的容积最大值．着重考查了函数模型及其应用和利用导数研究函数的单调性、求最值等知识，属于中档题．5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处．【答案】5【解析】由题意先解出土地占用费与运费关于车站距离的函数，将费用之和关于车站距离的函数关系式建立起来，再用基本不等式求解．解：设仓库建在离车站d千米处，由已知y1=2=，得k1=20，∴y1=，y 2=8=k2•10，得k2=，∴y2=d，∴y1+y2=+≥2=8．当且仅当=，即d=5时，费用之和最小．故应填5．点评：本题考查选定系数法求解析式，此法的特点是相关函数的解析式的形式已知．求最值时用到了基本不等式求最值．6.如图所示，设铁路AB=50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？【答案】即在离点B距离为的点M处修筑公路至C时，货物运费最省．【解析】由已知，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，及函数的最小值点，得到答案．解：设M为AB上的一点，且MB=x，于是AM上的运费为2（50﹣x），MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p（x）=2（50﹣x）+4（0≤x≤50）．p′（x）=﹣2+，令p′（x）=0，解得x1=，x2=﹣（舍去）．当x＜时，p′（x）＜0；当x＞时，p′（x）＞0，故当x=时，p（x）取得最小值．即在离点B距离为的点M处修筑公路至C时，货物运费最省．点评：本题考查的知识点是导数在最大值最小值问题中的应用，函数最值的应用，其中根据已知条件求出函数的解析式，并确定函数的单调性是解答本题的关键．7.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为．【答案】9万件【解析】求出函数的导函数，由导函数等于0求出极值点，结合实际意义得到使该生产厂家获取最大年利润的年产量．解：由，得：y′=﹣x2+81，由﹣x2+81=0，得：x1=﹣9（舍），x2=9．当x∈（0，9）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（9，+∞）时，y′＜0，函数为减函数，所以当x=9时，函数有极大值，也就是最大值，为（万元）．所以使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．故答案为9万件．点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，考查了运用导函数判断原函数的单调性，此题是基础题．8.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为．【答案】【解析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=，最后利用导函数即得底面边长．解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh=a2×h，∴h==，则表面积为=，则，令可得，即a=．故答案为．点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．9.横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是．【答案】d．【解析】据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值．解：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y．由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大．∵y2=d2﹣x2，∴xy2=x（d2﹣x2）（0＜x＜d）．令f（x）=x（d2﹣x2）（0＜x＜d），得f′（x）=d2﹣3x2，令f′（x）=0，解得x=或x=﹣（舍去）．当0＜x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜d时，f′（x）＜0，因此，当x=时，f（x）取得极大值，也是最大值．故答案为：d．点评：考查据实际意义建立相关的函数，再根据函数的特征选择求导的方法来求最值．10.某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．【答案】（1）y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．（2）售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．【解析】（1）根据题中条件：“若已知与成正比”可设，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．（2）利用导数研究函数的最值，先求出y的导数，根据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．解：（1）设，∵售价为10元时，年销量为28万件；∴，解得k=2．∴=﹣2x2+21x+18．∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．（2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9显然，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是关于x的增函数；在（9，+∞）上是关于x的减函数．∴当x=9时，y取最大值，且ymax =135．∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．属于基础题．。
高二数学课件：4.4生活中的优化问题举例(2)
例3：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小 时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可
1 3 3 x x 8(0 x 120)已知甲、 128000 80 乙两地相距100km。
以表示为：y
（1）当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到 乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地 耗油最少？最少是多少？
4.4
生活中的优化问题举例(2)
例1：生产某种新商品n件的成本为(5000+10n)元， 市场分析预期当年的销售量Q和出厂价x的关系为 Q=15000-6x2。如何确定出厂价x，才能使此种商 品当年的毛利润最大？这时的销售和Байду номын сангаас利润各是多 少？
例2：江轮逆水上行300km，水速为vkm/h，船相对于 水的速度为x。已知行船时每小时的耗油量为cx2 ，即 与船相对于水的速度的平方成正比。问x多大时，全程 的耗油量最小？
人教版高中选修2-2数学1.4生活中的优化问题举例课件(2)
此时y=
128 8
16
答 ： 应 使 用 版 心 宽 为 8 d m ， 长 为 1 6 d m ， 四 周 空 白 面 积 最 小
运用新知
在边长为60cm的正方形铁片的四 角上切去相等的正方形，再把它的边 沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱 子，箱底的边长是多少时，箱子的容 积最大？最大容积是多少？
运用新知
• [解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为 (60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30) ＝4x3－240x2＋3600x. ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) 当0<x<10时，V′(x)>0， 当10<x<30时，V′(x)<0.
Y
x
另设四周空白面积为Ｓ，
实例讲解
则 S 2 (x 2 ) 2 2 y 1
4x2y8 （２）
（１）式代入（２）式中得：
S(x)4x2568(x0). x
令 S(x：由解法(一)得
S(x)4x2568≤ 24x•2568
x
x
当 且 仅 当 4 x 2 5 6 ,即 x 8 (x 0 ) 时 S 取 最 小 值 x
生活中的优化问题举例(一)
h
1
引入新课
生活中经常会遇到求什么条件下可使用 料最省，利润最大，效率最高等问题，这些 问题通常称为优化问题.这往往可以归结为 求函数的最大值或最小值问题.其中不少问 题可以运用导数这一有力工具加以解决.
引入新课
复习：如何用导数来求函数的最值？
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象 是一条连续不断的曲线，则求f (x) 的最值 的步骤是：
编号20 选修2-2 3.4 生活中的优化问题举例(2)
令f ' (r ) = 0.8π (r - 2r ) 0，得r = 2
r f '( r ) f (r) (0，2)
r = 0.8π( - r 2 ) 3 2
(0 r 6)
2 0 -1.07p (2，6]
减函数↘
h R
例3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
V R 则h . pR 2 V S ( R ) 2pR 2 2pR 2 2V 2pR 2 . pR R 2V 由S ( R ) 2 4pR 0. 解得R 3 V . R 2p
第二课时
1.在前一节课的基础上进一步了解导 数在实际问题中的应用，对给出的实 际问题，如使利润最大、效率最高、 用料最省等问题，体会导数在解决实 际问题中的作用． 2．能利用导数求出某些特殊问题的最 值．
重点：进一步掌握利用导数知识解 决实际中的优化问题的方法步骤． 难点：将实际问题转化为数学问题， 建立函数模型．
记容器的容积为ym3, 则y=x(x+0.5)(3.2-2x) (0<x<1.6). 即有y=-2x3+2.2x2+1.6x (0<x<1.6). 2 求导数得 y 6 x 4.4 x 1.6.
令 y 0 ,得15x2-11x-4=0,解得x1=1,x2=-4/15 (不合题意,舍去). 因此,当x=1时,y取最大值,得y最大=-2+2.2+1.6=1.8, 这时容器的高为3.2-2x =1.2.
高二数学(文)寒假作业(26)生活中的优化问题举例
寒假作业（26）生活中的优化问题举例1、某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为2121L x x =-+和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售15辆，则能获得最大利润为多少万元（ ）A.120B.120.25C.114D.1182、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件3、家报刊推销 员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0. 8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出 400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（ ）A.215 份 B .350 份 C .400 份 D .250 份4、已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为( ) A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元5、把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为( )A. 1:2B. 1:πC. 2:1D. 2:π6、用长为24m 的钢筋做成一个长方体形框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为( )A. 38mB. 312mC. 316mD. 324m7、内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为（ ）A. RB. 2RC. 43RD. 34R 8、把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为( )A.1:2B.1:πC.2:1D.2:π9、做一个圆柱形锅炉,容积为V ,两个底面的材料每单位面积的价格为a 元,侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( ) A. a b B. 2a b C. b aD. 2b a 10、某工厂要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长),其他三边需要砌新的墙壁,若使所用的材料最省,则堆料场的长和宽应分别为( )A.32m,16mB.30m,15mC.64m,8mD.36m,18m11、某厂生产x 件产品的总成本为C 万元,产品单价为P 万元,且满足325001200,75C x P x =+=,则当x =__________时,总利润最大.12、某旅店有客床100张,当每床每天收费10元时可全部客满.若每床每天收费每提高2元,则减少10张客床租出.为了减少投入多获利,每床每天收费应提高__________元.13、如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为______ 时，其容积最大．14、如图所示,等腰△ABC 的底边66AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于,B D 的动点.点F 在边BC 上,且EF AB ⊥.现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE AE ⊥.记(),BE x V x =表示四棱锥P ACFE -的体积.则()V x 取得最大值为__________.15、在互联网时代,网校培训已经成为青年学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量()h x (单位:千套)与销售价格x (单调:元/套)满足的关系式为()()()(37)h x f x g x x =+<<,其中()f x 与(3)x -成反比,()g x 与(7)x -的平方成正比,已知销售价格为5元/套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元/套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元/套时,每日可售出套题69千套.(1)求()h x的表达式;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数).答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：2答案及解析：答案：C解析：2'81y x x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去).当()0,9x ∈时,0y '>,当()9,x ∈+∞时,0y '<,则当9x =时,y 有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,故选C.3答案及解析：答案：C解析：设每天从报社买进x (250400x ≤≤，N x ∈)份报纸时， 每月所获利润为y 元，具体情况如下表.()()[60750082000]60y x x x =++--()85500250400,N x x x =+≤≤∈∵在]250[400，上单调递增，∴当400x =时，y 取得最大值8 700.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润 为8 700元.故选C.4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：C解析：设圆锥高为h ,底面半径为,则()222R h R r =-+,∴222r Rh h =-, ∴()2223π12π2π3π333V r h h Rh h Rh h ==-=-,24'ππ3V Rh h =-, 令0V '=,得43h R =.当403h R <<时, 0V '>;当423R h R <<时, 0V '<.因此当43h R =时,圆锥体积最大.故应选C.8答案及解析：答案：C解析：设圆柱高为()06x x <<，即长方形的宽为x ， 则圆柱底面周长即长方形的长为12262x x -=-， ∴圆柱底面半径6R 2x -=π， ∴圆柱的体积322261236R ()24x x x x V h x --+=π=π=ππ， ∴2324363(2)(6)'44x x x x V -+--==ππ， 当02x <<时，'0V >，函数单调递增；当26x <<时，'0V <，函数单调递减；当6x >时，函数无实际意义.∴2x =时，体积最大，此时底面周长为624-=，该圆柱底面周长与高的比为4:22:1=.9答案及解析：答案：C解析：如图,设圆柱的底面半径为R ,高为h ,则2πV R h =,设造价为y ,则222222π2π2π2π2ππV bV y R a Rha aR Rb aR R R=+=+⋅=+, ∴22'4πbV y aR R =-.令0y '=并将2πV R h =,代人解得2R b h a =.10答案及解析：答案：A解析：要使材料最省,则新砌的墙壁的总长度应最短.设堆料场宽为m x ,则长为512m x ,因此新墙总长512()2(0)L x x x x =+>,则2512'()2L x x=-.令'()0L x =,解得16x =(16x =-舍去).故当16x =时,()L x 取得最小值,此时长为51232(m)16=.11答案及解析：答案：25解析：总利润3322()12005001200(0)7575L x x x x x x x =--=-+>.由22250'()025L x x x=-+=,得25x =;令'()0L x >,得025x <<;令'()0L x <,得25x >,所以()L x 在(0,25)上单调递增,在(25,)+∞上单调递减,故当25x =时,总利润最大.12答案及解析：答案：6解析：设每床每天收费提高2x 元()*N x ∈,则收入为()()()()1021001020510y x x x x =+-=+-,∴当2x =或3x =时,y 取得最大值,当2x =时, 1120y =,当3x =时, 1120y =.为了满足减少投入,应在相同条件下多空出床位,故3x =.13答案及解析：答案:23解析:14答案及解析：答案：解析：因为,PE EF PE AE ⊥⊥,从而PE ⊥平面ABC ,即PE 为四棱锥的高.因为//EF CD ,3EF =,∴EF =四棱锥的底面积2212ABC BEF S S S ∆∆=-==,故四棱锥的体积为()23103V x x x ⎛=⋅=<< ⎝, 令()x 0V '=,得到6x =, 当()0,6x ∈时, ()()'0,V x V x >单调递增.因此 6x =时,()V x 取得最大值()()max 6V x V ==15答案及解析：答案：(1)因为()f x 与(3)x -成反比,()g x 与(7)x -的平方成正比, 所以可设212(),()(7)3k f x g x k x x ==--,其中120,0k k ≠≠,所以212()()()(7),373k h x f x g x k x x x =+=+-<<-. 因为销售价格为5元/套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元/套时,每日可售出套题69千套,所以(5)21,(3.5)69h h ==,即12124212492694k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得12104k k =⎧⎨=⎩, 所以210()4(7)3h x x x =+--. (2)由(1),可知套题每日的销售量210()4(7)3h x x x =+--, 设每日销售套题所获得的利润为()F x ,则223210()(3)4(7)104(7)(3)4683645783F x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-⎢⎥-⎣⎦, 所以2'()121363644(313)(7),37F x x x x x x =-+=--<<, 所以当13(3,)3x ∈时,'()0F x >,所以函数()F x 在13(3,)3上单调递增, 当13(,7)3x ∈时,'()0F x <,所以函数()F x 在13(,7)3上单调递减, 所以13 4.33x =≈时,函数()F x 取得最大值. 故当销售价格为4.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.解析：由Ruize收集整理。
高二数学学案：生活中的优化问题举例含解析
1．4生活中的优化问题举例［目标］1。
学会解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。
2.学会利用导数解决生活中简单实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用.3.提高将实际问题转化为数学问题的能力．［重点] 用导数解决实际生活中的最优化问题．［难点］将实际问题转化为数学问题．知识点生活中的优化问题［填一填］1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的基本思路［答一答］利用导数解决生活中的优化问题时应注意什么问题？提示：（1）在求实际问题的最大(小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去;(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间；（3）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小）值,那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小)值．1．利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题．2．利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：(1）当问题中涉及多个变量时,应根据题意分析它们的关系,找出变量间的关系式;(2）确定函数关系式中自变量的取值范围；(3）所得的结果要符合问题的实际意义．3．要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法、导数法．类型一利润最高问题【例1】某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解】（1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f（x）,则有f(x）＝（30－x－9)（432＋kx2）＝(21－x)(432＋kx2），又由已知条件得24＝k×22，于是有k＝6。
选修2-2——生活中的优化问题举例
1.4生活中的优化问题举例预习案一新知导学1. 问题导航⑴生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题？ (2) 解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么？(3) 求解优化问题的方法有多种多样，但较简捷的方法是什么？ 2. 例题导读通过P 34〜35例1、例2、例3的学习，应体会以下几方面的内容: (1) 研究优化问题的实质就是研究函数的最值问题；(2) 求解优化问题最简捷的方法就是利用导数作为工具进行求解； (3) 解决优化问题的过程是典型的数学建模过程； (4) 掌握利用导数解决优化问题的一般步骤.1. 优化问题生活中经常遇到的求利润最大、 用料最省、效率最高等问题， 通常称为优化问题， 导数是求函数最大(小)值的有力工具.2. 利用导数解决优化问题的基本思路建立数学模型---- >解决数学模型作答-- >3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，即写出实际问题中变 量之间的函数关系 y= f(x),注明定义域;(2) 求函数的导数f'刈，解方程f'x) = 0;(3) 比较函数在区间端点和使 f' x)= 0的点的函数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值; (4) 写出答案.1•下列不属于优化问题的是 ( )A •汽油的使用效率何时最高B .磁盘的最大存储量问题 C.求某长方体容器的容积D .饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 答案：C2. 有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为A . 32 m 2 B. 14 m 2C. 16 m 2D. 18 m 2解析：选C.设矩形的长为x m,则宽为(8-x)m ，矩形面积为S= x(8 — x)(x>0)，令S'= 8 —2x = 0,得 x= 4，此时 S max = 42= 16(m 2).用函数表示数学问题优化问题优化问题的答案 用导数解决数学问题3. 内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为()A.233RC.^R解析：选A.作轴截面如图所示，设圆柱高为2h,则底面半径为R 2- h 2,圆柱体体积为 V =n (R 2—h 2) 2h = 2 TtR 2h- 2冗h 3•令V = 2 %R 2-6冗h 2 = 0,「・h =中只即当2h=2J^R 时，圆柱体的体 积最大.1 OOOv 24. 一艘船从A 地到B 地，其燃料费 w 与船速v 的关系为w(v)= (18W v W 30), v — 8则燃料费最低时的船速 v = _________ .2 000v (v — 8)— 1 000v 21 000v (v — 16)解析：w 'v(= 2 = 2一 >0,所以 w(v)在［18, 30］上(v — 8) 2 (v — 8) 2单调递增，所以当 v= 18时，w(v)有最小值.答案：181.解决优化问题的常用方法 解决优化问题的方法很多，如： 判别式法，基本不等式法，线性规划法及利用二次函数 的性质及导数法等. 不少优化问题，可以化为求函数的最值问题. 一般来说，导数方法是解 决这类问题的有效工具.2.解决生活中的优化问题应当注意的问题几何中的最值问题卩越(1)圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S,要使它的容积最大，它的高h 与底面半径R 的比应为 __________ .… S — 2 冗 R 2［解析］因为S= 2冗Rh+ 2冗R 2，所以h =2冗R(1)在求实际问题的最大 (小)值时, 定要考虑实际问题的意义, 不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足 在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大f'x) = 0的情形.如果函数 (小)值.(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还 应确定出函数关系式中自变量的定义区间.探究案一讲练用动S— 2 TtR2所以 V(R)= TT R2,2冗R=2(S- 2 TT R2)R=1SR-n R3.1由 V'R)= 2S- 3%R2= 0,得S= 6冗R2,所以当S= 6冗R2时，容积最大，此时6冗R2= 2冗Rh+ 2冗R2即 h : R= 2 : 1.［答案］2 : 1⑵请你设计一个包装盒. 如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE= FB = x(cm).①某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？②某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.［解］设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得, (30 —X)，0<X<30.①S= 4ah = 8X(30—X)=—8(X— 15)2 + 1 800，所以当X= 15时，S取得最大值.② V= a2h= 2也(一X3+ 30X2)，V '=6>/2x(20 —X). 由V'= 0，得X= 0(舍去)或X= 20.当X€ (0，20)时，V'>0;当 x€ (20，30)时，V'<0.所以当X= 20时，V取得极大值，也是最大值.h 1 一 1此时匚=亍，即包装盒的高与底面边长的比值为a 2 2r-(.方怙用：r解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.11. (1)如图所示，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y= —^X2 + 2, x€ ［—a = 2x，h =60-22X=.；22，2］的图象切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值.1的坐标为(0, 2)，直线BC 的方程为y = 2•因为y =—空/+ 2,所以y'=— x ,所以y'x 斗t =— t , 1 2所以直线 AB 的方程为y —— 2t 2 + 2 = — t(x — t),1 即 y = — tx + 尹+ 2,令 y = 0,得x =于，所以At 2 + 4 2t ，1 1 令 y = 2,得 x = 1，所以 B ^t ，2 , 1 1 t 2 + 4 4 4所以 S = 2X 尹+ - x 2 x 2= 2t +4, S'=2 —12,令S = 0，得t = '2故当t = ..'2时，S 有最小值为4,：2. 所以梯形ABCD 的面积的最小值为 4J2.(2)从长为32 cm ,宽为20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形， 做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设剪去的正方形的边长为 x cm ，则箱子的容积 V(x)= x(32 — 2x)(20 — 2x)= 4x 3— 104*+ 640x , (0<x<10)V'(x) = 12x 2— 208x + 640 =4(3x 2— 52x + 160)=4(3x — 40)(x — 4). 40 令 V 'x)= 0，得 X 1= §(舍去),x 2= 4.当 4<x<10 时，V ((x)<0 , 所以V(x)在(0, 4)内为增函数, 在(4,用料、费用最省问题忖巴如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a ［解］法一：设 C 点距 D 点 x km(0<x<50)，贝U BD = 40 km , AC= (50 — x)km , ••BC = 'BD2+ CD2= 402+ x2(km).又设总的水管费用为 y元，A处，乙厂与甲厂在元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省?依题意，得 y= 3a(50 — x) + 5a x2+ 402(0<x<50).当 x € (0, 30)时，y'<0 ; 当 x € (30, 50)时，y'>0. •••当x= 30时函数取得最小值， 此时 AC = 50- x= 20(km).即供水站建在 A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 40法二：设/ BCD = 0,贝U BC=」^,sin 0设总的水管费用为f( 0元,40 40依题意有 f( 0) = 3a(50 — ) + 5a •tan 0 sin 05— 3cos 0 =150a+ 40a • sin 03sin 0sin 0—( 5 — 3cos 0) c os 00) = 40a -—sin 23— 5cos 0=40a • sin 23 令 f' 0 = 0，得 cos 0= 5.3 根据问题的实际意义，当 cos 0= 3时，函数取得最小值， 4 4此时 sin 0= .•••tan 0=.5 3 40.•AC = 50 — = 20(km).tan 0即供水站建在 A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.r［盘哇用佛］(1)选取合适的量作为自变量 (如法一取C 、D 之间的距离x 为自变量， 为自变量)，并确定其取值范围.⑵正确列出函数关系式； (3)利用导数求最值； ⑷回归到原实际问题.其中，正确列出函数关系式是解题的关键.2. (1)(教材例1变式题)一报刊图文应占S cm 2, 上、下边各空a cm ， 若只注意节约用纸，问这种报刊的长、宽各为多少？解：设图文所占区域的长为 X ，则宽为S，报刊的面积为y ，如图所示x= -3a+5ax,x 2+ 402，令 y'= 0，解得 x= 30.CD =40tan 0 n0< 0<2 .•'AC = 50 —40tan 0法二取 / BCD = 0 左右边各空 b cm ，小 Sc 2bS则 y = (x + 2b) x+ 2a = 2ax+ + S+ 4ab(x>0),x x 求导得y = 2a-2bS. x学或x —罟(舍去)•冒,+ ^ , y '>0,•••当x=.乎时，y 取得最小值.即报刊长为 bS+ 2b ，宽为2a 时，报刊用纸最省.(2)某单位用2 160万元购得一块空地， 计划在该地块上建造一栋至少 10层、每层2 000 平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为 x(x> 10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560 + 48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？购地总费用、 建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则f(x)= (560 + 48x) +1 2 3 160爲00 000厶 UUUA.10 800 *=560+ 48x+ (x> 10, x € N ),x10 800 f'(x)= 48-旷, 令 f' x) = 0，得 x = 15 或 x=- 15(舍去), 当 x>15 时，f '(x)>0 ; 当 10W x<15 时，f'(x)<0,因此当x= 15时，f(x)取最小值f(15)= 2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为利润最大问题忖心；某商场销售某种商品的经验表明， 该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格ax(单位：元/千克)满足关系式y = -—3 + 10(x - 6)2，其中3<x<6, a 为常数，已知销售价格为x 3 5元/千克时，每日可售出该商品11千克.2 求a 的值；3 若该商品的成本为 3元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.［解］(1)因为 x = 5 时，y = 11, 所以|+ 10= 11,所以a = 2.2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 丫=亠 + 10(x - 6)2,所以商场每日销售该商品所获x - 3得的利润令y'= 0,解得x = (注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= 15层.当 x € 0, ,y'<0，当 x €2 2f (x)= (x — 3) + 10( x — 6)X 3=2+ 10(x — 3)(x — 6)2(3<X <6).从而 f'x) = 10[(x — 6)2+ 2(x — 3)(x — 6)] =30(x — 4)(x — 6).于是，当x 变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下表:由上表可得，x= 4是函数f(x)在区间3, 6)内的极大值点，也是最大值点•所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.尸[分徒用(*[r(1) 经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢， 以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.(2) 关于利润问题常用的两个等量关系 ① 利润=收入—成本.② 利润=每件产品的利润 X 销售件数.区眼踪训拣3•某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销， 在一年内，预计年销量Q(万3x+ 1件)与年广告费x(万元)之间的函数关系为 Q = ------- (x>0),已知生产此产品的年固定投入为x+ 1 3万元，每生产 1万件此产品需再投入 32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的 150% ”与“年平均每件所占广告费的 50% ”之和.(1) 试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企 业是亏损还是盈利？(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解: (1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q + 3)万元，销售收入是(32Q + 3) 150% + x 50%,11 3x+1所以年利润y=(年收入)—(年成本)—(年广告费)=(32Q+ 3— x) =32X + 3— x 2 2 x+1—x + 98x+ 35(x > 0)，当x = 100时，y<0,即当年广告费投入 100万元时，企业亏损.—x + 98x+ 35 ⑵由 y= f(x) = (x> 0)，可得 :(x+ 1)所以所求的函数关系式为—x 2 + 98x + 35 y =2( x +1) (x >0).(-2x+ 98) • (x+ 1)— 2 (- x 2+ 98x+ 35) 令 f'x) = 0，则 x 2+ 2x — 63= 0.所以x= — 9(舍去)或x= 7.又 x € (0, 7)时，f'(x)>0; x € (7,+^)时，f'(x)<0, 所以f(x)极大值=f(7) = 42. 又因为在(0, + g )上只有一个极值点， 所以 f(X)max = f(x)极大值=f(7) = 42.故当年广告费投入 7万元时，企业年利润最大..... 事靈粼提)开丿*易错警示因忽视讨论f'x 0)= 0中X 0的范围而致误侧④1甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时, 已知汽车每小时的运输成本 (元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比，比例系数为 b(b>0)；固定部分为a 元.(1) 把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2) 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？S S［解］(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 V ，全程运输成本为 y= a ； + 2 S abv 2v= S(v+ bv),所求函数及其定义域为 y = Sa + bv ，v € (0， ⑵令 y'= S —》+ b= 0，得 v= : b ， y 最小; ②若，a>c ，则 v € (0，c ］时 y( <,0 即 y 在(0， 所以当v = c 时，y 最小.综上可知，为使全程运输成本 y 最小，a 三c 时，行驶速度v =,b ； 当b >c 时，行驶速度v= c. ［错因与防范］(1) 一方面在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域造成求解 b 是否在区间(0, c ］内的讨论，致使答案错误.⑵在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题， 并且注意自变量的取值范围. 根据定义域，观察取最值的点是否在定义域内， 易因忽视定义域而出错.f'(x)= ---------------—x 2— 2x + 63 2 (x + 1) 24 (x +1)c]. c ］上为减函数.错误；另一方面由于忽视了对 v =，全程运输成本 ①若：琴三c ，则当v =4•某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3< a< 5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9< x w 11)时，一年的销售量为(12 —x)2万件.(1) 求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式；(2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L最大，并求出L的最大值Q(a).解：(1)分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式为：L = (x— 3 — a)(12 —x)2, x€ [9, 11] •(2)由(1)知 L = (x— 3— a)(12 — x)2, x€ [9 , 11],贝U L= (12 — x)2— 2(x— 3— a)(12 — x)=(12 — x)(18 + 2a— 3x) •2令L'= 0解得x= 6 + 或x= 12(舍去)•2 28'•3w a w 5,.°.8w 6 + 3aw —.2在x = 6+ 两侧L的值由正变负，2 9•①当8w6+尹<9，即3w a<-时，L max = L(9) = (9 — 3— a)(12 — 9)2 = 9(6 — a) •2 28 9②当9W 6+ |a w詈，即2w a w 5时，2 2 2 2 L max = L(6 + 尹)=(6 + 3a— 3— a)[12 — (6+ ?a)]21 3=4(3 —§a)3,9(6 —a) , 3 w a<21 39(3 — 3a) 3, 2w aw 59即若3w av》，则当每件销售价为 9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= 9(69 2—a)(万元)；若|w a w 5，则当每件销售价为(6 + |a)元时，分公司一年的利润L最大，最大1值 Q(a)= 4(3 — 3*)3(万元)•一当)电.................. ……―1. 某产品的销售收入 y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1= 17x2;生产总成本 y2(万元)也是产品x(千台)的函数，y2= 2x3— x2(x>0)，为使利润最大，应生产() A• 9千台 B • 8千台C. 6千台 D • 3千台解析：选 C.构造利润函数 y= y1— y2= 18/— 2x3(x>0)，求导得 y'= 36x — 6x2= 0? x= 6(x=0舍去)•2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27 n且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A • 5 C. 3 B•D62母线长为I,解析：选C.设圆柱的底面半径为则 V=n R2l = 27n,/l = RL要使用料最省，只需使水桶的表面积最小, 2254 n而S 表=冗氏+ 2冗Rl =n R +54 n令 Sbl= 2 冗R —眉=0,3. 如图，内接于抛物线 x 轴上运动，则此矩形的面积x 2•矩形 ABCD 的面积 S= f(x)= x •I — 23x厂=—4 + x ,x € (0, 2). 由 f' x)=—孑/ + 1= 0,一 2 ..3273 时，f'(x)>0, f(x)是递增的,2时，f'(x)<0, f(x)是递减的, ,f(x)取得最大值誓.答案：骨训练案仙能提升[A.基础达标]1.将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A . 2 和 6 B. 4 和 4 C. 3和5D .以上都不对解析：选B.设一个数为x,则另一个数为8— x,贝U y = x 3+ (8 — x)3, 0< x< 8, y'=3x 2—3(8 — x)2,令 y'= 0,即 3/— 3(8 — x)2= 0，解得 x= 4•当 0W x<4 时，y'<0;当 4<x W 8 时，y'>0. •••当x= 4时，y 最小.解得R = 3，即当R = 3时，S 表最小.故选C.2 2 得 x1=—3(舍去)，x2= .3, •••当 x € 0,解析: y = 1 — x 2的矩形ABCD ，其中A , B 在抛物线上运动，C , D 在 S 最大值是.2x x 2, 1— 2当x =32. 设函数h t(x)= 3tx— 2t2，若有且仅有一个正实数x°,使得h7(x。
人教A版高中数学选修2-2课件3.21生活中的优化问题举例(二).pptx
1答案
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x2 C km. 400 x2 又设铁路上每吨千米的运费为3t元, 则公路上每吨千米的运费为5t元. BDA 这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为
y 5t CD 3t BD 5t 400 x2 3t(100 x)(0≤ x ≤100).
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x2 km. 400 x2
又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千
米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂
C的总运费为
y 5t CD 3t BD 5t 400 x2 3t(100 x)
(0 ≤ x ≤100).
令,y在 的t( 范4050围x 内x2 有3)唯 0一解x0=≤15x.≤100
所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.
练习3(课本第41页A组第7题)
当 r R 时， f (r) 0 ；当 r R 时， f (r) 0 ．
2
2
因此 r R 时，磁盘具有最大存储量。 2
此时最大存储量为 2 R2
mn 4
练习1(课本第40页A组第4题)：
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖 向张贴的海报，要求版心面积为间1, 28dm2 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面 积最小？
4
当L' 0时,q 84, 当L' 0时,q 84,
选修2-2——生活中的优化问题举例
1.4生活中的优化问题举例1．问题导航(1)生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题？ (2)解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么？(3)求解优化问题的方法有多种多样，但较简捷的方法是什么？ 2．例题导读通过P 34～35例1、例2、例3的学习，应体会以下几方面的内容： (1)研究优化问题的实质就是研究函数的最值问题；(2)求解优化问题最简捷的方法就是利用导数作为工具进行求解； (3)解决优化问题的过程是典型的数学建模过程； (4)掌握利用导数解决优化问题的一般步骤．1．优化问题生活中经常遇到的求利润最大、用料最省、效率最高等问题，通常称为优化问题，导数是求函数最大(小)值的有力工具．2．利用导数解决优化问题的基本思路优化问题――→建立数学模型用函数表示数学问题――→Ｆ解决数学模型优化问题的答案――→作 答用导数解决数学问题3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，即写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，注明定义域；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案．1．下列不属于优化问题的是( ) A ．汽油的使用效率何时最高 B ．磁盘的最大存储量问题 C ．求某长方体容器的容积D ．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 答案：C2．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为( ) A ．32 m 2 B ．14 m 2 C ．16 m 2 D ．18 m 2 解析：选C.设矩形的长为x m ，则宽为(8－x )m ，矩形面积为S ＝x (8－x )(x >0)，令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4，此时S max ＝42＝16(m 2)．3．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为( )A.233RB.33R C.63R D.32R 解析：选A.作轴截面如图所示，设圆柱高为2h ，则底面半径为R 2－h 2，圆柱体体积为V ＝π·(R 2－h 2)·2h ＝2πR 2h －2πh 3.令V ′＝2πR 2－6πh 2＝0，∴h ＝33R .即当2h ＝233R 时，圆柱体的体积最大．4．一艘船从A 地到B 地，其燃料费w 与船速v 的关系为w (v )＝1 000v 2v －8(18≤v ≤30)，则燃料费最低时的船速v ＝________．解析：w ′(v )＝2 000v （v －8）－1 000v 2（v －8）2＝1 000v （v －16）（v －8）2>0，所以w (v )在[18，30]上单调递增，所以当v ＝18时，w (v )有最小值．答案：181．解决优化问题的常用方法解决优化问题的方法很多，如：判别式法，基本不等式法，线性规划法及利用二次函数的性质及导数法等．不少优化问题，可以化为求函数的最值问题．一般来说，导数方法是解决这类问题的有效工具．2．解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f ′(x )＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．几何中的最值问题(1)圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S ，要使它的容积最大，它的高h 与底面半径R 的比应为________．[解析] 因为S ＝2πRh ＋2πR 2，所以h ＝S －2πR 22πR，所以V (R )＝S －2πR 22πRπR 2，＝12(S －2πR 2)R ＝12SR －πR 3. 由V ′(R )＝12S －3πR 2＝0，得S ＝6πR 2，所以当S ＝6πR 2时，容积最大， 此时6πR 2＝2πRh ＋2πR 2.即h ∶R ＝2∶1. [答案] 2∶1(2)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 两点在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．①某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？ ②某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得，a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.①S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．②V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0，20)时，V ′>0；当x ∈(20，30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．1．(1)如图所示，等腰梯形ABCD 的三边AB ，BC ，CD 分别与函数y ＝－12x 2＋2，x ∈[－2，2]的图象切于点P ，Q ，R .求梯形ABCD 面积的最小值．解：设梯形ABCD 的面积为S ，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，－12t 2＋2(0<t ≤2)．由题意得，点Q的坐标为(0，2)，直线BC 的方程为y ＝2.因为y ＝－12x 2＋2，所以y ′＝－x ，所以y ′|x ＝t ＝－t ，所以直线AB 的方程为y －⎝⎛⎭⎫－12t 2＋2＝－t (x －t )， 即y ＝－tx ＋12t 2＋2，令y ＝0，得x ＝t 2＋42t ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋42t ，0. 令y ＝2，得x ＝12t ，所以B ⎝⎛⎭⎫12t ，2， 所以S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋t 2＋42t ×2×2＝2t ＋4t ，S ′＝2－4t 2， 令S ′＝0，得t ＝ 2.故当t ＝2时，S 有最小值为4 2.所以梯形ABCD 的面积的最小值为4 2.(2)从长为32 cm ，宽为20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设剪去的正方形的边长为x cm ，则箱子的容积V (x )＝x (32－2x )(20－2x )＝4x 3－104x 2＋640x ，(0<x <10)V ′(x )＝12x 2－208x ＋640 ＝4(3x 2－52x ＋160)＝4(3x －40)(x －4)．令V ′(x )＝0，得x 1＝403(舍去)，x 2＝4.当0<x <4时，V ′(x )>0， 当4<x <10时，V ′(x )<0， 所以V (x )在(0，4)内为增函数， 在(4，10)内为减函数．因此V (x )在(0，10)内有唯一的极大值V (4)，且该极大值即为函数V (x )的最大值，其最大值V (4)＝4×(32－8)×(20－8)＝1 152(cm 3)．故当剪去的正方形边长为4 cm 时，箱子的容积最大，最大容积为1 152 cm 3.用料、费用最省问题如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？[解] 法一：设C 点距D 点x km(0<x <50)，则BD ＝40 km ，AC ＝(50－x )km ， ∴BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2(km)．又设总的水管费用为y 元， 依题意，得y ＝3a (50－x )＋5ax 2＋402(0<x <50)．y ′＝－3a ＋5ax x 2＋402，令y ′＝0，解得x ＝30.当x ∈(0，30)时，y ′<0；当x ∈(30，50)时，y ′>0， ∴当x ＝30时函数取得最小值， 此时AC ＝50－x ＝20(km)．即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．法二：设∠BCD ＝θ，则BC ＝40sin θ，CD ＝40tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.∴AC ＝50－40tan θ.设总的水管费用为f (θ)元，依题意有f (θ)＝3a (50－40tan θ)＋5a ·40sin θ＝150a ＋40a ·5－3cos θsin θ.∴f ′(θ)＝40a ·3sin θ·sin θ－（5－3cos θ）·cos θsin 2θ＝40a ·3－5cos θsin 2θ.令f ′(θ)＝0，得cos θ＝35.根据问题的实际意义，当cos θ＝35时，函数取得最小值，此时sin θ＝45.∴tan θ＝43.∴AC ＝50－40tan θ＝20(km)．即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．(1)选取合适的量作为自变量(如法一取C 、D 之间的距离x 为自变量，法二取∠BCD ＝θ为自变量)，并确定其取值范围．(2)正确列出函数关系式； (3)利用导数求最值； (4)回归到原实际问题．其中，正确列出函数关系式是解题的关键．2．(1)(教材例1变式题)一报刊图文应占S cm 2，上、下边各空a cm ，左右边各空b cm ，若只注意节约用纸，问这种报刊的长、宽各为多少？解：设图文所占区域的长为x ，则宽为Sx，报刊的面积为y ，如图所示．则y ＝(x ＋2b )⎝⎛⎭⎫S x ＋2a ＝2ax ＋2bSx ＋S ＋4ab (x >0)， 求导得y ′＝2a －2bSx2.令y ′＝0，解得x ＝bS a 或x ＝－bSa(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0， bS a ，y ′<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫ bS a ，＋∞，y ′>0， ∴当x ＝ bSa 时，y 取得最小值．即报刊长为 bS a ＋2b ，宽为 aSb＋2a 时，报刊用纸最省．(2)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0，得x ＝15或x ＝－15(舍去)， 当x >15时，f ′(x )>0； 当10≤x <15时，f ′(x )<0，因此当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． 从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减x ＝4时，函数f (x )取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本．②利润＝每件产品的利润×销售件数．3．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与年广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解：(1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元，销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，所以年利润y ＝(年收入)－(年成本)－(年广告费)＝12·(32Q ＋3－x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352（x ＋1）(x ≥0)，所以所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352（x ＋1）(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损． (2)由y ＝f (x )＝－x 2＋98x ＋352（x ＋1）(x ≥0)，可得f ′(x )＝（－2x ＋98）·2（x ＋1）－2（－x 2＋98x ＋35）4（x ＋1）2＝－x 2－2x ＋632（x ＋1）2. 令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －63＝0. 所以x ＝－9(舍去)或x ＝7.又x ∈(0，7)时，f ′(x )>0；x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )极大值＝f (7)＝42.又因为在(0，＋∞)上只有一个极值点， 所以f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．易错警示因忽视讨论f ′(x 0)＝0中x 0的范围而致误甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元．(1)把全部运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？[解] (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为S v ，全程运输成本为y ＝a ·Sv ＋b v 2·S v ＝S (av ＋b v )，所求函数及其定义域为y ＝S ⎝⎛⎭⎫av ＋b v ，v ∈(0，c ]．(2)令y ′＝S ⎝⎛⎭⎫－a v 2＋b ＝0，得v ＝ab ，①若a b ≤c ，则当v ＝ab 时，全程运输成本y 最小；②若ab>c ，则v ∈(0，c ]时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数．所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当a b ≤c 时，行驶速度v ＝a b ； 当a b>c 时，行驶速度v ＝c .[错因与防范] (1)一方面在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域造成求解错误；另一方面由于忽视了对v ＝ab是否在区间(0，c ]内的讨论，致使答案错误． (2)在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题，并且注意自变量的取值范围．根据定义域，观察取最值的点是否在定义域内，易因忽视定义域而出错．4．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a )．解：(1)分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式为：L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]．(2)由(1)知L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]， 则L ′＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x )．令L ′＝0解得x ＝6＋23a 或x ＝12(舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′的值由正变负，∴①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )． ②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L (6＋23a )＝(6＋23a －3－a )[12－(6＋23a )]2＝4(3－13a )3，∴Q (a )＝⎩⎨⎧9（6－a ），3≤a <924（3－13a ）3，92≤a ≤5.即若3≤a <92，则当每件销售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件销售价为(6＋23a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4(3－13a )3(万元)．1．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是产品x (千台)的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．9千台B ．8千台C ．6千台D ．3千台 解析：选C.构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，求导得y ′＝36x －6x 2＝0⇒x ＝6(x ＝0舍去)．2．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A ．5B ．6C ．3D ．2解析：选C.设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2.要使用料最省，只需使水桶的表面积最小， 而S 表＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋54πR，令S ′表＝2πR －54πR2＝0，解得R ＝3，即当R ＝3时，S 表最小．故选C.3．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积S 最大值是________．解析：设CD ＝x (0<x <2)，则点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，0，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22. ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0，2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，当x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，当x ＝23时，f (x )取得最大值439.答案：439[A.基础达标]1．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对解析：选B.设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x )3，0≤x ≤8，y ′＝3x 2－3(8－x )2，令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.∴当x ＝4时，y 最小．2．设函数h t (x )＝3tx －2t 32，若有且仅有一个正实数x 0，使得h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，则x 0＝( )A ．5 B. 5 C ．3 D.7解析：选D.∵h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，∴h 7(x 0)≥h t (x 0)max .记g (t )＝h t (x 0)＝3tx 0－2t 32，则g ′(t )＝3x 0－3t 12，令g ′(t )＝0，得t ＝x 20，易得h t (x 0)max ＝g (x 20)＝x 30，∴21x 0－147≥x 30，将选项代入检验可知选D.3．要建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的无盖长方体蓄水池，已知池壁的造价为100元/m 2，池底的造价为300元/m 2，则总造价最低为( )A ．400元B ．1 200元C ．1 600元D ．2 800元 解析：选D.设总造价为y 元，池底的一边长为x m ．由题意知池底的面积为4 m 2，则池底的另一边长为4xm ，池壁的面积为4⎝⎛⎭⎫x ＋4x m 2，有y ＝1 200＋100×4⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＝400⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋1 200(x >0)．y ′＝400⎝⎛⎭⎫1－4x 2，令y ′＝0，得x ＝2，由y ′>0，得x >2，由y ′<0，得0<x <2，所以当x ＝2时，y 取得最小值，且y min ＝2 800，故选D.4.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点P 从顶点A 沿着A →B 的方向向顶点B 运动，速度为2，同时，点Q 从顶点B 沿着B →C 的方向向顶点C 运动，速度为1，则|PQ |的最小值为( )A ．0 B.55C.22D ．1解析：选B.设点P ，点Q 运动的时间为t ，则|PQ |＝|BP |2＋|BQ |2＝（1－2t ）2＋t 2(0≤t ≤12)，令f (t )＝|PQ |2＝(1－2t )2＋t 2＝5t 2－4t ＋1，则f ′(t )＝10t －4，令f ′(t )＝0，得t ＝25.当0≤t <25时，f ′(t )<0，f (t )单调递减；当25<t ≤12时，f ′(t )>0，f (t )单调递增．所以当t ＝25时，f (t )取得极小值，也是最小值，此时|PQ |也取得最小值，即有|PQ |min ＝f （t ）min ＝55，故选B.5．某商品的进价为3元/件，根据以往经验，当售价为8元/件时，可卖出30件，市场调查表明，每当售价下降1元时，销量可增加10件，且售价下降x 元时，获得的利润为L (x )元，则L (x )的最大值为( )A ．220元B ．200元C ．180元D ．160元解析：选D.当售价下降x 元时，每件的利润为(5－x )元，此时销量为(30＋10x )件，∴L (x )＝(5－x )(30＋10x )＝10(5－x )(3＋x )＝10(－x 2＋2x ＋15)(0≤x ≤5)，∴L ′(x )＝10(－2x ＋2)＝20(－x ＋1)，令L ′(x )＝0，得x ＝1；令L ′(x )>0，得0≤x <1，∴L (x )在区间[0，1]上单调递增；令L ′(x )<0，得1<x ≤5，∴L (x )在区间(1，5]上单调递减，∴当x ＝1时，L (x )取得极大值，也是最大值，最大值为160.故选D.6．某厂生产x 件产品的总成本为C 万元，产品单价为P 万元，且满足C ＝1 200＋275x 3，P ＝500x，则当x ＝________时，总利润最高．解析：设总利润为L (x )万元，则由题意得L (x )＝x ·500x－1 200－275x 3＝－275x 3＋500x －1 200(x >0)．由L ′(x )＝－225x 2＋250x＝0，得x ＝25.令L ′(x )>0，得0<x <25；令L ′(x )<0，得x >25，得L (x )在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，＋∞)上单调递减，所以当x ＝25时，总利润最高．答案：257．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，其中一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．解析：要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料场地宽为x m ，则长为512xm ，因此新墙总长为L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2，令L ′＝0，得x ＝±16，又x >0，∴x ＝16，则当x ＝16时，L min ＝64，长为51216＝32 (m)．答案：32 m ，16 m8．已知正三角形ABC 的边长为2，点D 是边BC 上一动点，点D 到AB ，AC 的距离分别为x ，y ，则xy 的最大值为________．解析：由S △ABD ＋S △ACD ＝S △ABC 且△ABC 是边长为2的正三角形，得12×2x ＋12×2y ＝12×2×3，即x ＋y ＝3，令f (x )＝xy ＝x (3－x )＝－x 2＋3x (0≤x ≤3)，f ′(x )＝－2x ＋3，由f ′(x )＝0，得x ＝32.令f ′(x )>0，得0≤x <32，f (x )在区间⎣⎡⎭⎫0，32上递增；令f ′(x )<0，得32<x ≤3，f (x )在区间⎝⎛⎦⎤32，3上递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝34.答案：349．甲、乙两地相距400 km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 km/h ，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (km/h)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v .(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．解：(1)Q ＝P ·400v ＝⎝⎛⎭⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80， 当0＜v ＜80时，Q ′＜0； 当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80 km/h 时，全程运输成本取得极小值，即最小值．从而Q min ＝Q (80)＝2 0003(元)．10．假如你是一名糖果设计师，现需要设计一种体积为π3的圆锥形巧克力，那么将巧克力的底面半径设计为多少时，可使其侧面积最小？解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，底面圆周长为c ，母线长为l ，体积为V ，则V ＝13πr 2h ＝π3，得h ＝1r2.记圆锥的侧面积为S ，则S ＝12cl ＝12×2πr ×r 2＋h 2＝πrr 2＋1r 4＝πr 4＋1r2，r >0.令f (r )＝r 4＋1r 2，则f ′(r )＝4r 3－2r －3＝2（2r 6－1）r 3，令f ′(r )＝0，得r ＝162，由f ′(r )>0，得r >162，由f ′(r )<0，得0<r <162，∴f (r )在(0，162)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫162，＋∞上单调递增，∴当r ＝162时，f (r )取得最小值，此时S 也取得最小值．即将巧克力的底面半径设计为162时，可使其侧面积最小．[B.能力提升]1.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，其断面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d 3B.d 2C.33d D.22d 解析：选C.设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度为f (x )，则f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)(0<x <d )．令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝33d (x ＝－33d 舍去)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，33d 上单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫33d ，d 上单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以当x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C.2．某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙建造一个平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：①建1 m 新墙的费用为a 元；②修1 m 旧墙的费用为a4元；③拆去1 m 旧墙，用可得的建材建1 m 新墙的费用为a2元．若利用旧墙中长为x m 的一段(0<x ≤14)为矩形的一边，则建墙总费用最少为( )A ．35a 元B ．35元C ．12a 元D ．12元 解析：选A.修旧墙的费用为ax4元，拆旧墙造新墙的费用为a （14－x ）2元，其余新墙的费用为⎝⎛⎭⎫2x ＋2×126x －14a 元，记总费用为y 元，则y ＝7a ⎝⎛⎭⎫x 4＋36x －1(0<x ≤14)，y ′＝7a ⎝⎛⎭⎫14－36x 2，令y ′＝0，得x ＝12，令y ′>0，得12<x ≤14，令y ′<0，得0<x <12，所以当x ＝12时，y min ＝35a ，即建墙总费用最少为35a 元，故选A.3.如图，已知点A (1，1)，B (2，0)，O 为坐标原点，设△OAB 被直线x ＝t 与x ＝t ＋1所夹部分的面积为S ，则当34≤t ≤1时，S 的最大值为________．解析：由题意得S ＝12×2×1－12t 2－12[2－(t ＋1)]2＝－t 2＋t ＋12，S ′＝－2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －12，当34≤t ≤1时，S ′<0，S ＝－t 2＋t ＋12单调递减，所以当t ＝34时，S 取得最大值，且S max ＝1116. 答案：11164．(2015·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少． 解析：设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40，y ′＝－4 500x 2＋20＝20（x ＋15）（x －15）x 2，令y ′＝0，得x x (0，15) 15 (15，150)y ′ － 0 ＋ y↘极小值↗所以当x ＝15时，y 取得极小值，故当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少． 答案：10 15 0005．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，再设总造价为y 元，则有y ＝2x ×400＋200x ×2×400＋248×2×200x ＋80×200＝800x ＋259 200x＋16 000≥2 800x ·259 200x＋16 000＝2×800×18＋16 000＝44 800，当且仅当800x ＝259 200x ，即x ＝18 m 时，y 取得最小值．∴当污水池的长为18 m ，宽为1009m 时总造价最低，为44 800元．(2)∵0<x ≤16，0<200x ≤16，∴12.5≤x ≤16，x ≠18，y ′＝φ′(x )＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2， 当12.5≤x ≤16时， y ′＝800·x 2－324x2<0，∴φ(x )在[12.5，16]上为减函数． 从而φ(x )≥φ(16)＝45 000.所以，当该池的长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低，最低总造价为45 000元． 6.某园林公司计划在一块以O 为圆心，R (R 为常数)为半径的半圆形(如图所示)地上种植花草树木，其中弓形CMD 区域用于观察样板地，△OCD 区域用于种植花木出售．其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木地的利润是每平方米8元，草皮地的利润是每平方米3元．(1)设∠COD ＝θ，弧CMD 的长为l ，分别用θ，l 表示弓形CMD 的面积S 弓＝f (θ)，S 弓＝g (l )；(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？(参考公式：扇形面积公式S ＝12R 2θ＝12Rl ) 解：(1)S 扇形OCD ＝12R 2θ，S △OCD ＝12R 2sin θ，S 弓＝f (θ)＝12R 2(θ－sin θ)．又∵S 扇形OCD ＝12Rl ，∴θ＝l R ，S △OCD ＝12R 2sin l R ，∴S 弓＝g (l )＝12R ⎝⎛⎭⎫l －R sin l R . (2)设总利润为y 元，草皮地的利润为y 1元，花木地的利润为y 2元，观察样板地成本为y 3元，y 1＝3⎝⎛⎭⎫12πR 2－12R 2θ，y 2＝12R 2sin θ·8，y 3＝12R 2(θ－sin θ)·2，∴y ＝y 1＋y 2－y 3＝3⎝⎛⎭⎫12πR 2－12R 2θ＋12R 2sin θ·8－12R 2(θ－sin θ)·2＝12R 2[3π－(5θ－10sin θ)]． 设g (θ)＝5θ－10sin θ，θ∈(0，π)，则g ′(θ)＝5－10cos θ，令g ′(θ)<0，得cos θ>12，∴g (θ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上为减函数；令g ′(θ)>0，得cos θ<12，∴g (θ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π上为增函数．∴当θ＝π3时，g (θ)取到最小值，此时总利润最大，∴当园林公司把扇形的圆心角θ设计成π3时，总利润最大．。
3.4生活中的优化问题举例
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
2
h
解得 x1=0 (舍), x2=40.
x
解 设箱底边长为 x, 箱子容积为
V (x) x2(60 x) (0 x 60)
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
解得
x1=0
(舍),
2
x2=40.
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.
2、费用(用材)最省和利润最大问题
例2.某球形瓶装的饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.其中r 是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL的饮料,制造 商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm.瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小和最大？
解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：
（略）
（略）
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个 无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大? 最大容积是多少?
解 设箱底边长为 x,
则箱高为 h 60 x 2
箱子容积为 V (x) x2(60 x) (0 x 60)
∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个
极大值就是函数V (x)的最大值.
V
(40)
402
(
60
2
40
)
16000(cm)h3
x
答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,
最大值为16000cm3
问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
例3 磁盘的最大存储量问题
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瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 ,此时利润是负值 . ② 半径为6cm时,利润最大 .
y 换一个角度 : 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 r3 2 3 r 1.4 4)上观察,你有什么发现 ? f r 0.8π 从 图象上容 易看出 ,当 r 3 时, f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 2 3 o r 饮料的利润与饮料瓶的 成本恰 好相等;当r 3 时,利润才为正值 .
通过大量的统计数据 , 并 15 对数据进行分析、研究 , 10 人们发现 ， 汽车在行驶 过程中 ， 汽油平均消耗 5 v km / h 率g(即每小时的汽油消 30 50 60 90 120 o 耗量, 单位 ：L / h)与汽车 图1.4 1 行驶的平均速度 v(单位 : km / h)之间有如图 1.4 1 所示的函数关系 g f v .
o
30 50 60
90
120
图1.4 1
汽车行驶的平均速度 v 之间关系的问题 ,然后利用 图象中的数据信息 , 解决汽油使用效率最高 的问题.
如图 1.4 1,函数 g f v 最小值的意义是什么 ? 它是 否表示在此点处汽油的 使用效率最高?
gL / h
W W / t 15 解 因为 G . S S/t g 斜率 L / km 10 g v 这样,问题就转化为求 的 v g 5 g 最小值 .从图象上看 , 表示 v km / h v 30 50 60 90 120 o v 什么 ? 图1.4 2 g 从图1.4 2可以看出 , 表示经过原点与曲线上 点 v v, g的直线的斜率 . 继续观察图象 ,我们可以发现 ,
' ' 当r 0,2 时, f r 0;当r 2,6 时, f r 0. 因此,当半径 r 2时, f ' r 0,它表示 f r 单调递增 , 即半径越大 ,利润越高 ;半径r 2时, f ' r 0,它表 示f r 单调递减 ,即半径越大 ,利润越低 . ①半径为2cm时, 利润最小 , 这时 f 2 0, 表示此种
当直线与曲线相切时 , 其斜率最小 .在此切点处速 度约为90km / h.
因此,当汽车行驶距离一定时 , 要使汽油 的使用效率最高 , 即每千米的汽油消耗 量最少,此时的车速约为 90km / h . 从数 值上看, 每千米的汽油消耗量就 是图1.4 2中切线的斜率 , 即f ' 90, 约为 L.
单位 : km / h之间有一定关系 ,汽油的消耗量 w是汽车
1 是不是汽车的速度越快 ,汽油的消越量越大 ? 2" 汽油的使用效率最高 " 的含义是什么 ?
速度v的函数.根据你的生活经验 , 思考下面两个问题:
现实生活中 ,当汽车行驶路程一定时 , 我们希望汽油 的使用效率最高,即每千米路程的汽油消 耗量最少 或每升汽油能够使汽车 行驶最长路程 . 这就需要考 虑如何提高汽油的使用 效率, 使汽油使用效率最高 .
正比,那么如何计算磁盘的存 储量? 此时, 是不是 r越小, 磁盘的存储量越大 ?
例3 饮料瓶大小对饮料公司 利润的影响 1 你是否注意过,市场上等量的小包装的 物品 一般比大包装的贵些 ? 你想从数学上知道它的 道理吗? 2是不是饮料瓶越大 , 饮料公司的利润越大 ? 背景知识 某制造商制造并出售球形瓶 装的 某种饮料 .瓶子的制造成本是 0.8πr 2分, 其中r 是 瓶子的半径,单位是厘米 .已知每出售 1 mL 的饮 料,制造商可获利 0.2分,且制造商能制作的瓶子 最大半径为6cm. 问题 1 瓶子半径多大时 ,能使每瓶饮料的利 润最大 ? 2 瓶子半径多大时 , 每瓶饮料利润最小 ?
研究汽油的使用效率 单位 : L / km 就是研究汽 油消耗量与汽车行驶路 程的比值 .如果用 G表示 w 每千米平均的汽油消耗 量,那么 G , 其中, w s 表示汽油消耗量 单位 : L , s表示汽车行驶的路 程 单位 : km . 这样,求" 每千米路程的汽车消耗 量最少 " , 就是求 G的最小值问题 . 解决" 优化问题 "的途径之一是通过搜集 大量的 统计数据 , 并对数据进行整理 和分析, 建立与其 相应的函数模 型 ; 再通过研究相应函数的 性 质, 提出优化方案 , 使问题得到解决 .在这个过程中 , 导数往往是一个有力的 工具.
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过 程是一个典型的数学 建模过程 .
南宁房地产 商铺投资 /aaaa2424540912 南宁房地产 商铺投资 心里，雅思琦更是糊涂，这到底是出了什么事情？而且永远都不去宫里请安，那她得编出多少谎言来对付德妃娘娘？不过，唯壹让她想明 白的问题就是，肯定是天仙妹妹惹了爷，只是不知道原因罢了，而且严重到连去宫里请安都被永远地取消了。前些日子被禁了足，好不容 易才算解禁，这回又是发生了什么事情，撞到了爷的枪口上？还没等雅思琦把今天的事情从头到尾地理顺壹遍，以期查出原因，就听到爷 又发话了：“今天是十五，原本爷应该去你那里，可是今天爷有些事情要处理，你先回去吧，不要等爷了。”“爷，这么晚了，您多注意 身体，明……”“福晋放心，爷会注意身体，也会注意休息。”雅思琦本来是想先表现得大度壹下，然后再策略地探询壹下明天的口风， 结果爷根本没有给她问话的机会，直接拿话堵了她的嘴。爷有事情要处理，难道是要处理天仙妹妹？雅思琦猜得壹点儿错也没有，王爷确 实去了怡然居，只不过他先回了壹趟朗吟阁，待秦顺儿回话，已给侧福晋传了话，全院子的主子和奴才都已在恭候爷的大驾光临之后，他 才带上了壹部厚厚的书，步伐坚定地走向了怡然居。第壹卷 第142章 针毡 冰凝是和淑清坐壹辆马车回的王府。第壹次参加宫宴，尽管她 提前做足了功课，可是，事情并没有像她想象的那样顺利地进行。这壹天下来，无论是在德妃娘娘的永和宫，还是在宫宴所在的乾清宫， 她都是如坐针毡、时光难挨。早在在永和宫的时候，她已然感觉到了爷的目光，威严而又凌厉，虽然矛头全是直指福晋姐姐，可是这分明 就是壹个极度危险的预警信号。还有十四叔，这个和爷长得那么像的壹位爷，怎么总是将目光投到自己这里来？在他的带领下，十四弟妹、 德妃娘娘的目光也是接踵而至。虽然从小就壹直是个备受瞩目的人，但是来自年轻异性的瞩目，除了二哥就是自家爷，十四叔还真是第壹 个。直到秋婵来请德妃娘娘出发去乾清宫参加宫宴，总算是暂时缓解了冰凝的窘迫。好在是家宴，没有太多的规矩，按位置就坐，只等皇 上到来就开宴了。可是，刚刚在永和宫上演的壹幕，在乾清宫又重新上演了壹回。但是很不幸，她明显地感觉到，被瞩目的人变作了自己， 而行注目礼的，换作了几乎所有到场的男性。虽然男宾女眷是分开桌，相距也很远，但直觉让她感觉到了源自四面八方如乱箭般射来的目 光，当然还有爷的目光。虽然远隔千山万水，但爷的目光却如壹把利刀，企图将这些乱箭统统地抵挡回去。在两股目光的密集交织中，她 如坐针毡，食不甘味，看来这次又要把爷给惹恼了，可是自己真的没有做任何事情啊！此刻的她，真想大声地请求众人：不要再看过来了， 凝儿谢过各位了。可是这只是她的壹厢情愿而已，她阻止
又由于每条磁道上的比 特数 相同, 为获得最大存储量 , 最内 一条磁道必须装满 , 即每条磁 2 πr 道上的比特数可达到 .所 n 以, 磁盘总存储量 R r 2 πr 2 π f r r R r . m n mn
R
r
图1.4 3
1它是关于 r的二次函数 , 从函数的解析式上可
以判断,不是r越小, 磁盘的存储量越大 .
2为求f r 的最大值 ,计算f ' r 0.
2π R ' R 2r , 令 f r 0, 解得 r . f r mn 2
'
R R R ' ' 当r 时, f r 0;当r 时, f r 0.因此,当r 2 2 2 πR 2 时, 磁盘具有最大存储量 , 最大存储量为 . 2mn 思考 如果每条磁道存储信息 与磁道的长度成
当r 2时, f ' r 0.
解 由于瓶子的半径为 r, 所以每瓶饮料的利润是 3 r 4 3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 0 r 6. 令f ' r 0.8π r 2 2r 0.
1.4
生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润 最大、用料 最省、效率最高等问题 ， 这些问题 通常称为优化问题 .通 过 前面的学 小 习 , 我们知道, 导数是求函数最大 值的有力工具.本节我们运用导数, 解决一些生活中的优化 问题.
例1 汽油的使用效率何时最 高
我们知道,汽油的消耗量w 单位 : L 与汽车的速度 v
例2
磁盘的最大存储量问题
1你知道计算机是如何存 储、检索信息的吗 ? 2你知道磁盘的结构吗 ? 3 如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
信息 ?
背景知识 计算机把信息存储在磁 盘上.磁盘是带 有磁性介质的圆盘 ,并由操作系统将其格式 化成磁 道和扇区 .磁道是指不同半径所构 成的同心圆轨道 , 扇区是指被圆心角分割 成扇形 R 区域.磁道上的定长的弧可作 为 r 基本存储单元 , 根据其磁化与否 可分别记录数据 0 或1, 这个基本 单元通常称为比特 bit .磁盘的 图1.4 3 构造如图 1.4 3所示. 为了保障磁盘的分辩率 , 磁道之间的宽度必须大于 m, 每比特所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据 检索的方便, 磁盘格式化时要求要求所有磁道具有 相同的比特数.
那么 , 我们如何根据这个图象 中的数据信息 , 解决汽 油使用效率最高的问题 呢?
gL / h
从图象中我们不能直接 解决汽油使用效率最高 问题.因此, 我们首先需要 将问题转化为汽 油平均 消耗率 g (即每小时的汽 油消耗量 , 单位 : L / h) 与Βιβλιοθήκη gL / h1510