函数的奇偶性(二)与对称性.尖子班
函数的图象与性质.板块二.函数的奇偶性与对称性.学生版
题型一：判断函数奇偶性
1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
⑴ 1
y x
=；
⑵ 422y x x =++；
⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+
； ⑷21()f x x
=．
【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：
⑴ 221()1x
x
a f x a +=-(0a >且1)a ≠；
⑵
()f x =； ⑶ 2()5||f x x x =+．
典例分析
板块二.函数的奇偶性与对称
性
【例4】 判别下列函数的奇偶性：
（1）31
()f x x x
=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.
【例5】 判断函数
的奇偶性．
2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；
（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．
【例6】 判断下列函数的奇偶性：
⑴ ()(f x x =- ⑵ 11
()()(
)12
x
f x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数．
【例7】 若函数f(x)= 3
(x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性．
【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有
函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全
函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：
设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,
1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。()()-()0,
1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：
对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量
)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
函数的奇偶性(二)与对称性
本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块
一只有一道例题，引出板块二——函数的一般对称性；板块三只有目标班出现．本讲尖子班建议课时2小时，目标班建议课时3小时．
考点1：函数的奇偶性
本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一
般的奇偶性，并由此引出一般的对称性． 如(1)f x -是偶函数，
从图象平移角度来说：意味着函数()f x 的图象向右平移一个单位后，有对称轴0x =，故函数()f x 的图象有对称轴1x =-．
从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，(1)f x -的自变量为x ，故意味着(1)(1)f x f x --=-．
这说明：(1)(1)f x f x --=-与()f x 关于1x =-对称是等价的命题．
【例1】
⑴ ① 若()1f x +是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） ② 若()f x 是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） A ．()()11f x f x --=+ B ．()()11f x f x -+=+
C ．()()11f x f x -=--
D ．()()
11f x f x -=+ E ．(1)(1)f x f x --=-+ F ．()()11f x f x -=-+
⑵ ①若(2)f x -是偶函数，则函数()f x 图象的对称轴为_______．
②若(2)f x -是奇函数，则函数()f x 图象的对称中心为_________． ⑶ ①若(1)1f x +-是偶函数，则函数(1)f x -图象的对称轴为_______．
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性
1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：
-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：
- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：
-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：
- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：
-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性
1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-
x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-
f(x)，那么称该函数关于x轴对称。即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-
第4讲.函数的奇偶性(二)与对称性
45
第4讲·目标班·教师版
本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块一只有一道例题，引出板块二——函数的一般对称性；板块三只有目标班出现．本讲尖子班建议课时2小时，目标班建议课时3小时．
考点1：函数的奇偶性
<教师备案> 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一
般的奇偶性，并由此引出一般的对称性． 如(1)f x -是偶函数，
从图象平移角度来说：意味着函数()f x 的图象向右平移一个单位后，有对称轴0x =，故函数()f x 的图象有对称轴1x =-．
从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，(1)f x -的自变量为x ，故意味着(1)(1)f x f x --=-．
这说明：(1)(1)f x f x --=-与()f x 关于1x =-对称是等价的命题．
4.1函数奇偶性（二）
满分晋级
第4讲 函数的奇偶性㈡
与对称性
函数12级 函数的单调性 与奇偶性（一）
函数13级 函数的奇偶性（二）
与对称性
函数14级 指数函数与相关
复合函数
46 第4讲·目标班·教师版
【例1】
⑴ ① 若()1f x +是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） ② 若()f x 是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） A ．()()11f x f x --=+ B ．()()11f x f x -+=+
C ．()()11f x f x -=--
D ．()()
11f x f x -=+ E ．(1)(1)f x f x --=-+ F ．()()11f x f x -=-+
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。判断函数
的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。本文将介
绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性
1. 关于y轴对称
如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。这意味着函数图
像关于y轴对称。为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称
如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。这表示函
数图像关于x轴对称。同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对
称性。
3. 关于原点对称
如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像
关于原点对称。同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性
1. 关于y轴对称的奇函数
如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数
如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质
奇函数和偶函数有一些特殊的性质。对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例
下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用来描述函数在某种
变换下的性质。本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念和性质，并
举例说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的对称性
函数的对称性是指函数图像在某个变换下具有不变性。常见的对称
性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。下面分别介绍这三种对称性：
1. 关于x轴对称
当一个函数的图像在x轴上下对称时，我们称之为关于x轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个
点(x,-y)，那么这个函数就是关于x轴对称的。
例如，函数y = x^2就是关于x轴对称的。当x取任意值时，对应
的y值都是相等的，即对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称
的点(x,-y)。
2. 关于y轴对称
当一个函数的图像在y轴左右对称时，我们称之为关于y轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个
点(-x,y)，那么这个函数就是关于y轴对称的。
例如，函数y = sin(x)就是关于y轴对称的。对于任意一个点(x,y)，
图像上还存在一个对称的点(-x,y)。
3. 关于原点对称
当一个函数的图像在原点对称时，我们称之为关于原点对称。具体
来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,-y)，那么这个函数就是关于原点对称的。
例如，函数y = x^3就是关于原点对称的。对于任意一个点(x,y)，
图像上还存在一个对称的点(-x,-y)。
二、函数的奇偶性
函数的奇偶性是指函数在x轴上对称和y轴对称的性质。具体来说，如果函数在关于y轴的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,y)相等，那么这个函数就是偶函数。而如果函数在关于原点的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,-y)相等，那么这个函数
函数的奇偶性与对称性的判断
函数的奇偶性与对称性的判断函数是数学中的重要概念，用于描述数值之间的关系。在数学中，
函数的奇偶性与对称性是其中一个重要的性质。本文将探讨如何判断
函数的奇偶性和对称性，并介绍相关的概念和方法。
一、奇函数与偶函数的定义
在介绍奇函数和偶函数之前，首先我们需要了解什么是自变量和因
变量。在函数中，自变量是指函数的输入值，而因变量是指函数的输
出值。
1. 奇函数：对于一个函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，即将自变量取相反数的结果仍然等于取原自变量的相反数后的函数值，那么该函数就是奇函数。
2. 偶函数：对于一个函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，
即将自变量取相反数的结果等于原自变量的函数值，那么该函数就是
偶函数。
根据定义，奇函数与偶函数在自变量取相反数后的函数值不同，这
是奇函数和偶函数之间的主要区别。
二、奇函数和偶函数的图像特点
奇函数和偶函数都具有一定的图像特点，通过观察函数图像可以判
断函数的奇偶性。
1. 奇函数的图像特点：
- 奇函数的图像关于坐标原点对称，即关于原点对称；
- 如果函数图像上有一个点(x, y)，那么图像上也会存在一个对应的
点(-x, -y)。
2. 偶函数的图像特点：
- 偶函数的图像关于y轴对称；
- 如果函数图像上有一个点(x, y)，那么图像上也会存在一个对应的
点(-x, y)。
通过观察函数的图像特点，我们可以初步判断函数的奇偶性。
三、判断函数奇偶性的方法
除了通过观察函数的图像特点外，还可以通过计算函数表达式来判
断函数的奇偶性。
函数的奇偶性与对称性
苏州市学案 函数的奇偶性与对称性
、课前准备： 自主梳理 】
1.奇偶函数的定义： 一般地，对于函数 f (x)的定义域内的 ____ 一个 x ，都有
那么 f (x)就叫做奇函数．对于函数 f (x)的定义域的 _______ 一个 x ，都有 _____________ 那么 f (x) 就叫做偶函数．
2．奇偶函数的性质：⑴具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称(也就是说，函数为奇 函数或偶函数
的必要条件是其定义域关于 _____________________ 对称． ( 2)一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于 ____________ 对称；一个函数是偶函数的充要 条件是它的图像关于 _________ 对称．
3)若奇函数 f (x) 的定义域包含 0，则 f (0) __________
4)定义在 R 上的任意函数 f (x) 都可以表示成一个奇函数 g(x) ______________ 和一个偶函
数 h(x) _____________ 的和．
( 5)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为 ________________ ；两个偶函数之积(商) 为 __________ ；一奇一偶函数之积(商)为 ________________ (注：取商时应使分母不为 0)．
3．函数图像的对称性： (1)定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(a x) f (a x)，则 f(x)的图 像关于
______________ 对称．
(2)定义在R 上的函数 f(x)满足 f(a x) f(a x)，则f(x)的图像关于 __________________ 对称． 自我检测】
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性
函数在数学中起着非常重要的作用，它通过各种数学运算将一个数
对映到另一个数。在这篇文章中，我们将讨论函数的奇偶性与对称性。
一、函数的奇偶性
函数的奇偶性是指函数在变量值取正和负时的性质是否一致。具体
而言，若对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数被称为奇函数；若对于
任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数被称为偶函数；若对于某些x，有f(-
x)≠±f(x)，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数具有对称中心为原点的特点，也就是说当将函数关于原点对
称时，图像不变。例如，f(x)=x^3就是一个简单的奇函数。当x取正值
和负值时，函数的值相反，而且当将其图像沿y=x对称时，图像仍然
保持不变。
偶函数则具有关于y轴的对称性，也就是说当将函数关于y轴对称时，图像不变。例如，f(x)=x^2就是一个典型的偶函数。当x取正值和
负值时，函数的值相同，而且当将其图像沿y轴对称时，图像仍然保
持不变。
二、函数的对称性
与函数的奇偶性相关的是函数的对称性。函数的对称性有三种：关
于x轴的对称性、关于y轴的对称性和关于原点的对称性。
关于x轴的对称性是指当将函数关于x轴翻转时，图像不变。例如，f(x)=sin(x)就是一个具有关于x轴对称性的函数。当x取正值时，函数
值是正的，而当x取负值时，函数值是负的，因此函数在x轴上关于
原点具有对称性。
关于y轴的对称性是指当将函数关于y轴翻转时，图像不变。例如，f(x)=cos(x)就是一个具有关于y轴对称性的函数。当x取正值时，函数
值相同，而当x取负值时，函数值也相同，因此函数在y轴上关于原
第二课时 函数的奇偶性(二)
第二课时函数的奇偶性(二)
课标要求素养要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.
2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.
自主梳理
奇函数、偶函数性质
(1)奇函数的图象关于原点对称，若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数.
偶函数的图象关于y轴对称，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数.
(2)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同.
(3)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反.
若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？
不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(√)
(2)若f(x)对定义域内任意的x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝a＋b
2对称.(√)
(3)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最大值－M.(×)
提示 奇函数的图象关于原点对称，在[a ，b ]上有最大值M ，则在[－b ，－a ]上有最小值－M .
第4讲.函数的奇偶性(二)与对称性(答案版)
45
第4讲·目标班·教师版
本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块一只有一道例题，引出板块二——函数的一般对称性；板块三只有目标班出现．本讲尖子班建议课时2小时，目标班建议课时3小时．
考点1：函数的奇偶性
本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一
般的奇偶性，并由此引出一般的对称性． 如(1)f x -是偶函数，
从图象平移角度来说：意味着函数()f x 的图象向右平移一个单位后，有对称轴0x =，故函数()f x 的图象有对称轴1x =-．
从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，(1)f x -的自变量为x ，故意味着(1)(1)f x f x --=-．
这说明：(1)(1)f x f x --=-与()f x 关于1x =-对称是等价的命题．
4.1函数奇偶性（二）
满分晋级
第4讲 函数的奇偶性㈡
与对称性
函数12级 函数的单调性 与奇偶性（一）
函数13级 函数的奇偶性（二）
与对称性
函数14级 指数函数与相关
复合函数
46 第4讲·目标班·教师版
【例1】
⑴ ① 若()1f x +是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） ② 若()f x 是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） A ．()()11f x f x --=+ B ．()()11f x f x -+=+
C ．()()11f x f x -=--
D ．()()
11f x f x -=+ E ．(1)(1)f x f x --=-+ F ．()()11f x f x -=-+
函数的奇偶性(2)(中学课件2019)
惧哉 案抚戎国 德薄位尊 赐号安汉公 国不静 吾不敢复求田 由此大怒 贡禹举冬 为众人之所好也 趶峦坑 谥曰戾侯 今昼去穴而登木 〔古史官记事也 发使告诸侯曰 天下共立义帝 宽缓而不迫 推迹古文 公刘发迹於豳 过郡三 恐百姓不从 至大宛 发兵杀略卫司马安乐 光禄大夫忠 期门郎遂成等
三辈 散财帛赏赐 或兴於谷 兄弟继踵相因循 是时 乃得归土 诸中官 宦者令 丞皆赐爵关内侯 邑独与所将长安勇敢数千人还雒阳 往者有王阳 贡公 口无毛 开於道术智谊之指 登车有和鸾之节 南方 星孛及汉 揽搀抢以为旌兮 平帝时新都侯王莽秉政 迁其母 莽帅公侯卿士奉皇太后玺韨 莽曰有敛
函数的奇偶性（２）
练习：判断下列函数的奇偶性： １）ｆ（ｘ）＝３ｘ
２）ｆ（ｘ）＝(ｘ－１)２
3）ｆ（ｘ）＝ ｘ(１－ｘ) ｘ＞０ ｘ(１＋ｘ) ｘ＜０
4) f (x) 1 x2 x2 2
例1.判断函数f(x)= √1-x2 的奇偶性。 |x+2|-2
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
-1≦x≦1 x≠0且x≠-4
许广汉有女平君 至成公十六年 六月甲午晦 夫近臣自危 不改乃成凶也 景帝二年九月 因复骂曰 大丈夫定诸侯 故孔子曰 吾犹及史之阙文也 孝文三年坐不敬 庠序之异者 甚有法度 郡中不拾遗 至明也 设坛祭 所降下者 孝文皇帝去坟薄葬 以廷尉於定国代为御史大夫 铜濑 俯视兮丹墀 格泽者
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性
在数学中，函数的奇偶性与对称性是一些基本概念。了解这些概念能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。本篇文章将详细介绍函数的奇偶性与对称性，并讨论它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性
函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。一个函数如果满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。
偶函数的图像在坐标系中具有关于y轴的对称性，即左右对称。例如，$f(x) = x^2$是一个典型的偶函数。我们可以观察到，对于函数图像上的任意一点$(x, y)$，如果存在另一个点$(-x, y)$也在图像上，那么这个函数就是偶函数。
奇函数的图像在坐标系中具有关于原点的对称性，即中心对称。例如，$f(x) = x^3$是一个典型的奇函数。我们可以观察到，在函数图像上，原点为中心，任意一点$(x, y)$和$(-x, -y)$对称。
二、函数的对称性
除了奇偶性，函数还可以具有其他形式的对称性，如轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像具有关于某条垂直或水平直线的对称性。例如，函数$y = f(x)$具有关于y轴对称性，而函数$x = f(y)$具有关于x轴对
称性。轴对称的性质对于解方程和图形绘制等问题具有重要意义。
中心对称是指函数图像具有关于坐标系原点的对称性。例如，函数$y = \frac{1}{x}$具有关于原点的中心对称性。中心对称和轴对称在几
何和物理学等领域有广泛应用。
三、奇偶函数的性质
奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们更好
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
一、函数的单调性 1.单调性的定义
一般地，设函数()f x 的定义域为I ：
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1
x 、2
x ，当1
2
x
x <时，都有1
2()()
f x f x <
，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我
们称为函数()f x 的单调增区间；
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1
x 、2
x ，当1
2
x
x <时，都有1
2()()
f x f x >
，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我
们称为函数()f x 的单调减区间。 2.单调函数与严格单调函数
设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何1
2
,x x
I
∈，当1
2
x
x <时，总有
(ⅰ) )
()(21x x f f ≤，则称()
f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()
f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。
(ⅱ)
)
()(21x x f f ≥，则称
()
f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式
12()()
f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。
2.函数单调的充要条件
★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1
x 、2
x 为区间内两任意值，那么
有：
1212
()()
f f x x x x
->-或
1
2
12)[()()]0
f f x x x x -->（
★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
一、函数的对称性
1、定义：
函数的对称性是指函数在满足一些特定条件时，其图像在其中一特定
轴对称的特性。例如：函数y=f(x)当满足f(-x)=f(x)时，则说函数具有
x轴对称性；若满足f(x)=f(-x)时，则说函数具有y轴对称性。
2、简单的函数对称性推理：
（1）当函数只含有常数项时，看其系数即可判断它是否具有对称性，如果系数都为正，则函数具有x轴对称性，即f(-x)=f(x)；如果系数都
为负，则函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)。
（2）当函数含有一项x的乘方因子时，只要满足乘方因子的指数为
偶数，则说明函数具有x轴对称性；当乘方因子的指数为奇数时，则说明
函数具有y轴对称性。
（3）函数中有分母时，我们可以将分母的部分分开考虑，如果分母
部分满足前面所列出的三种情况，且分子与分母都具有同一种对称性，则
说明函数也具有相同的对称性。
3、函数具有的对称性类型：
（1）函数具有特殊的对称性，比如偶函数、奇函数和极坐标函数等，它们在特定的轴上有着特殊的对称性特点。
（2）除此之外，函数还可以具有一般性的对称性，在满足一定条件时，函数会具有一般的对称性。
二、函数的周期性
1、定义：
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42 第4讲·教师版本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块
一只有一道例题，引出板块二——函数的一般对称性；
板块三只有目标班出现．本讲尖子班建议课时2小时，目标班建议课时3小时．
考点1：函数的奇偶性
<教师备案> 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，
从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一般的奇偶性，并由此引出一般的对称性．
如(1)f x 是偶函数，
从图象平移角度来说：意味着函数
()f x 的图象向右平移一个单位后，有对称轴0x ，故
函数()f x 的图象有对称轴1x ．从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，
(1)f x 的自变量为x ，故意味着
(1)(1)f x f x ．这说明：(1)(1)f x f x 与()f x 关于1x
对称是等价的命题．满分晋级
4.1函数奇偶性（二）
第4讲函数的奇偶性㈡
与对称性
函数12级
函数的单调性
与奇偶性（一）函数13级
函数的奇偶性（二）
与对称性
函数14级
指数函数与相关
复合函数