函数的奇偶性(二)与对称性.尖子班
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。
本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。
1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。
常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。
1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。
例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。
1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。
举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。
奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。
2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。
我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。
2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于对称轴对称。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。
我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。
函数奇偶性对称性与周期性
函数奇偶性、对称性与周期性一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
2、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
3、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
4、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+ ⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+ )(b a < ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a < ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -= 11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -= 12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 4=。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：(奇偶性是一种特殊的对称性)1、奇偶性:(1) 奇函数关于(0，0)对称，奇函数有关系式 f (x )+ f (-x )=0(2) 偶函数关于y(即x=0)轴对称，偶函数有关系式 f (-x )= f (x )2 、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性1)函数的轴对称：函数y = f (x )关于x =a 对称 f (a +x )= f (a -x )f (a + x ) = f (a - x ) 也可以写成 f ( x ) = f (2a - x ) 或 f (- x ) = f (2a + x )若写成： f (a + x ) = f (b - x ) ， 则 函 数 y = f ( x ) 关于直线证明：设点(x 1, y 1) 在 y = f (x ) 上，通过f (x ) = f (2a - x ) 可知， y 1 = f (x 1)= f (2a- x 1) ，即点(2a - x 1, y 1)也在y = f (x )上，而点 (x 1, y 1)与点(2a - x 1, y 1)关于x=a 对称。
得证。
说明：关于x = a 对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。
∵(a +x 1,y 1)与(a -x 1,y 1) 关于x = a 对称，∴函数y = f (x )关于x =a 对称f ( a + x ) = f (a - x )∵(x 1,y 1)与(2a -x 1,y 1)关于x =a 对称，∴函数 y = f (x )关于x =a 对称f ( x ) = f (2a - x )∵ (- x 1, y 1)与(2a + x 1, y 1)关于x = a 对称，∴函数y = f (x )关于x =a 对称f (- x ) = f (2a + x )2)函数的点对称：函数 y = f (x )关于点(a ,b )对称 f (a +x )+ f (a -x ) =2b 上述关系也可以写成f (2a + x ) + f (- x ) = 2b 或 f (2a - x ) + f ( x ) = 2b若写成： f (a +x )+ f (b -x )=c ，函数y = f (x )关于点(a +b ,c ) 对称证明：设点(x 1, y 1)在y = f (x )上，即y 1 = f (x 1)，通过f (2a -x )+f (x )=2b 可知， f (2a -x = (a + x ) + (b - x ) 2 a +b 2 对称x1)+ f(x1)=2b，所以f(2a-x1)=2b- f(x1)=2b- y1，所以点(2a-x1,2b-y1)也在y= f (x)上，而点(2a - x1,2b - y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称得证。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是一种数学工具，用于描述两个变量之间的关系。
函数的对称性与奇偶性是函数的重要性质之一，它们可以帮助我们简化函数的分析和计算。
下面将介绍函数的对称性与奇偶性的概念和特点，并通过实例来说明其应用。
1. 对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变的性质。
常见的对称性包括轴对称（即关于某一条轴的对称性）和中心对称（即关于某一中心点的对称性）。
1.1 轴对称性对于轴对称函数，其图像相对于某一条轴对称，也就是说，图像在镜像之后仍然保持不变。
轴对称函数可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的轴对称函数有偶函数和周期为2π的周期函数。
1.2 中心对称性对于中心对称函数，其图像相对于某一中心点对称，也就是说，图像在中心点旋转180°之后仍然保持不变。
中心对称函数可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的中心对称函数有奇函数。
2. 奇偶性的定义和性质函数的奇偶性是指函数在代入负数或正数时的表现特点。
奇函数与轴对称性相关，而偶函数与中心对称性相关。
2.1 奇函数奇函数满足f(-x) = -f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值也取反。
奇函数的图像关于原点对称，具有轴对称性。
奇函数的常见特点是在原点处取值为零，而且在自变量为正负相等的情况下函数值相等。
2.2 偶函数偶函数满足f(-x) = f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值不变。
偶函数的图像关于y轴对称，具有中心对称性。
偶函数的常见特点是在y轴处取值为零，而且在自变量为相反数的情况下函数值相等。
3. 对称性和奇偶性的应用对称性和奇偶性是函数分析中常用的工具之一，它们可以帮助我们简化函数的计算和图像的绘制。
3.1 推导函数的性质通过对函数的奇偶性进行分析，我们可以推导出函数的其他性质。
例如，偶函数的奇次幂项的系数为零，奇函数的偶次幂项的系数为零。
这些推导可以帮助我们更快地分析函数的特点。
3.2 简化函数的计算对于奇函数，当我们需要计算积分、求解方程等操作时，可以从负数到正数的范围内进行计算，然后将结果乘以2即可。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用来描述函数在某种变换下的性质。
本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念和性质，并举例说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某个变换下具有不变性。
常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。
下面分别介绍这三种对称性：1. 关于x轴对称当一个函数的图像在x轴上下对称时，我们称之为关于x轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(x,-y)，那么这个函数就是关于x轴对称的。
例如，函数y = x^2就是关于x轴对称的。
当x取任意值时，对应的y值都是相等的，即对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(x,-y)。
2. 关于y轴对称当一个函数的图像在y轴左右对称时，我们称之为关于y轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,y)，那么这个函数就是关于y轴对称的。
例如，函数y = sin(x)就是关于y轴对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,y)。
3. 关于原点对称当一个函数的图像在原点对称时，我们称之为关于原点对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,-y)，那么这个函数就是关于原点对称的。
例如，函数y = x^3就是关于原点对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,-y)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在x轴上对称和y轴对称的性质。
具体来说，如果函数在关于y轴的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,y)相等，那么这个函数就是偶函数。
而如果函数在关于原点的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,-y)相等，那么这个函数就是奇函数。
例如，函数y = x^2是一个偶函数，因为对于任意的x，y = x^2和y = (-x)^2是相等的。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
函数的对称性与奇偶性的判断
函数的对称性与奇偶性的判断函数是数学中的一个重要概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
在研究函数的性质时，对称性和奇偶性是两个常见的概念。
本文将就函数的对称性和奇偶性进行详细的介绍和判断方法。
一、对称性的概念和判断方法对称性是指函数在定义域内关于某个中心对称轴对称的性质。
对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。
常见的对称性有偶对称和奇对称两种。
1. 偶对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = f(-x)，即函数在关于y轴对称的情况下，称为偶对称函数。
判断函数是否具有偶对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后化简这个新的表达式；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相同，则函数具有偶对称性。
例如，对于函数f(x) = x^2，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^2 = x^2。
与原函数表达式相同，因此该函数具有偶对称性。
2. 奇对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = -f(-x)，即函数在关于原点对称的情况下，称为奇对称函数。
判断函数是否具有奇对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后将新表达式中的符号取相反数；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相反，则函数具有奇对称性。
例如，对于函数f(x) = x^3，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^3 = -x^3。
化简后的表达式与原函数的相反数相同，因此该函数具有奇对称性。
二、奇偶性的概念和判断方法奇偶性是指函数在定义域内的某个位置对应的函数值的正负关系。
奇函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意非零x，f(-x) = -f(x)。
偶函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意x，f(-x) = f(x)。
判断函数的奇偶性，可以通过以下步骤：1. 判断函数在原点的函数值是否为0，若为0，则函数具有奇偶性，否则需继续下一步判断。
2. 将函数中所有的x换成-x，然后比较新表达式与原函数的关系。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性函数在数学中起着非常重要的作用，它通过各种数学运算将一个数对映到另一个数。
在这篇文章中，我们将讨论函数的奇偶性与对称性。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在变量值取正和负时的性质是否一致。
具体而言，若对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数被称为奇函数；若对于任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数被称为偶函数；若对于某些x，有f(-x)≠±f(x)，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数具有对称中心为原点的特点，也就是说当将函数关于原点对称时，图像不变。
例如，f(x)=x^3就是一个简单的奇函数。
当x取正值和负值时，函数的值相反，而且当将其图像沿y=x对称时，图像仍然保持不变。
偶函数则具有关于y轴的对称性，也就是说当将函数关于y轴对称时，图像不变。
例如，f(x)=x^2就是一个典型的偶函数。
当x取正值和负值时，函数的值相同，而且当将其图像沿y轴对称时，图像仍然保持不变。
二、函数的对称性与函数的奇偶性相关的是函数的对称性。
函数的对称性有三种：关于x轴的对称性、关于y轴的对称性和关于原点的对称性。
关于x轴的对称性是指当将函数关于x轴翻转时，图像不变。
例如，f(x)=sin(x)就是一个具有关于x轴对称性的函数。
当x取正值时，函数值是正的，而当x取负值时，函数值是负的，因此函数在x轴上关于原点具有对称性。
关于y轴的对称性是指当将函数关于y轴翻转时，图像不变。
例如，f(x)=cos(x)就是一个具有关于y轴对称性的函数。
当x取正值时，函数值相同，而当x取负值时，函数值也相同，因此函数在y轴上关于原点具有对称性。
关于原点的对称性是指当将函数关于原点翻转时，图像不变。
例如，f(x)=tan(x)就是一个具有关于原点对称性的函数。
当x取正值和负值时，函数的值相反，因此函数在原点上具有对称性。
三、实际应用函数的奇偶性与对称性在实际问题中有广泛应用。
在物理学中，奇函数常用于描述对称的场景，例如电流的方向或磁场的分布。
函数的对称性和奇偶性
函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中的重要概念，可以帮助我们研究函数的性质和特点。
在本文中，我们将探讨函数的对称性和奇偶性，并讨论它们在解题中的应用。
一、函数的奇偶性在数学中，如果对于函数 f(x)，满足 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
换句话说，函数的图像关于 y 轴对称。
相反地，如果对于函数f(x)，满足 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
也就是说，函数的图像关于原点对称。
函数的奇偶性可以通过解方程 f(x) = 0 来判断。
如果解方程 f(-x) = f(x) = 0，则函数是偶函数；如果解方程 f(-x) = -f(x) = 0，则函数是奇函数。
此外，对于一些简单的函数，我们也可以通过观察函数的表达式来判断其奇偶性。
比如，多项式函数 f(x) = x^n（n为正整数）是奇函数当且仅当 n 是奇数，是偶函数当且仅当 n 是偶数。
奇偶函数的性质也非常有趣。
如果函数 f(x) 是奇函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = -f(-a)。
这意味着奇函数在原点对称，即通过原点的直线上的函数值相等。
相反地，如果函数 f(x) 是偶函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = f(-a)。
这意味着偶函数在 y 轴上的函数值相等。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他种类的对称性。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和旋转对称。
1. 轴对称如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有轴对称性。
这条直线称为对称轴。
对称轴可以是 x 轴、y 轴，也可以是其他直线。
在解题中，我们可以根据函数的性质和方程来确定函数的对称轴。
比如，对于一般函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，则对称轴为直线 x = a。
2. 中心对称如果函数的图像关于某个点对称，则称该函数具有中心对称性。
这个点称为中心点。
常见的中心对称函数有圆和椭圆。
在解题中，我们可以通过观察函数的表达式和图形来确定函数的中心对称性。
谈高中函数中的奇偶性和对称性
谈高中函数中的奇偶性和对称性
高中函数中的奇偶性和对称性是基本的概念，它们在数学分析中被广泛使用。
下面我将详细介绍奇偶性和对称性，并给出一些例子：
一、奇偶性
1. 定义：奇偶性指函数图像围绕其中心(原点)对称，若函数关于原点对称，则称其具有奇偶性。
2. 表示方法： $$f(-x)=f(x)\text{ 即成对函数 }$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=-x$
二、对称性
1. 定义：对称性指函数图像沿某条直线对称，若函数关于这一条直线对称，则称其具有对称性。
2. 表示方法： $$f(x)=-f(x-a)\text{ 其中$a$是平移量}$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=sin(x)$。
综上，奇偶性和对称性是高中数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们有效地进行数学分析，提高解题速度和效率。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性在数学中，函数的奇偶性与对称性是一些基本概念。
了解这些概念能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
本篇文章将详细介绍函数的奇偶性与对称性，并讨论它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。
一个函数如果满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。
偶函数的图像在坐标系中具有关于y轴的对称性，即左右对称。
例如，$f(x) = x^2$是一个典型的偶函数。
我们可以观察到，对于函数图像上的任意一点$(x, y)$，如果存在另一个点$(-x, y)$也在图像上，那么这个函数就是偶函数。
奇函数的图像在坐标系中具有关于原点的对称性，即中心对称。
例如，$f(x) = x^3$是一个典型的奇函数。
我们可以观察到，在函数图像上，原点为中心，任意一点$(x, y)$和$(-x, -y)$对称。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他形式的对称性，如轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像具有关于某条垂直或水平直线的对称性。
例如，函数$y = f(x)$具有关于y轴对称性，而函数$x = f(y)$具有关于x轴对称性。
轴对称的性质对于解方程和图形绘制等问题具有重要意义。
中心对称是指函数图像具有关于坐标系原点的对称性。
例如，函数$y = \frac{1}{x}$具有关于原点的中心对称性。
中心对称和轴对称在几何和物理学等领域有广泛应用。
三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和求解函数问题。
1. 偶函数的性质：- 偶函数在定义域内关于y轴对称，因此只需研究正半轴上的取值。
- 偶函数的图像关于y轴对称，即$(x, y)$在图像上，则$(-x, y)$也在图像上。
- 偶函数的奇数次幂为奇函数，偶数次幂为偶函数。
2. 奇函数的性质：- 奇函数在定义域内关于原点对称，因此只需研究第一象限上的取值。
高中数学.函数的奇偶性(二)与对称性
本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块一只有一道例题，引出板块二——函数的一般对称性；板块三只有目标班出现．本讲尖子班建议课时2小时，目标班建议课时3小时．考点1：函数的奇偶性<教师备案> 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一般的奇偶性，并由此引出一般的对称性． 如(1)f x -是偶函数，从图象平移角度来说：意味着函数()f x 的图象向右平移一个单位后，有对称轴0x =，故函数()f x 的图象有对称轴1x =-．从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，(1)f x -的自变量为x ，故意味着(1)(1)f x f x --=-．这说明：(1)(1)f x f x --=-与()f x 关于1x =-对称是等价的命题．【例1】 ⑴ ① 若()1f x +是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项）② 若()f x 是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） A ．()()11f x f x --=+ B ．()()11f x f x -+=+C ．()()11f x f x -=--D ．()()11f x f x -=+ E ．(1)(1)f x f x --=-+ F ．()()11f x f x -=-+⑵ ①若(2)f x -是偶函数，则函数()f x 图象的对称轴为_______．②若(2)f x -是奇函数，则函数()f x 图象的对称中心为_________． ⑶ ①若(1)1f x +-是偶函数，则函数(1)f x -图象的对称轴为_______．②若(1)1f x +-是奇函数，则函数(1)f x -图象的对称中心为_________． ⑷ 若()3f x +的对称中心为()21，，则函数()21f x -+图象的对称中心为 ．【解析】 ⑴ ①B ；②A 、F ； ⑵ ①2x =-；②(20)-，； ⑶ ①2x =；②(21)，．⑷ ()72，；4.1函数奇偶性（二）函数的奇偶性㈡与对称性偶函数与奇函数代表着最基本的轴对称与中心对称，这两种最基本的对称可以拓展到一般的结论．首先说明的是这里所说的函数对称性指的是一个函数自身的对称性，而不是两个函数之间的对称．一、轴对称这里我们要讲的是研究方法：先来看偶函数，偶函数的图形是关于y 轴对称的，它具有代数形式是()()f x f x =-，如何从图象的对称性得到这个代数形式呢？若有两个互为相反数的自变量x 和x -，由于图象是关于y 轴对称的，所以在x 与x -处的函数值是相等的，但在这个过程中我们隐藏了一些想法：为什么要取互为相反数的两个自变量呢？因为对称轴是0x =，所以在对称轴左右两边找两个对称的东西，x 和x -可以理解为一个是0x +，一个是0x -，也可以理解为x 与x -中点为0．由此角度可以想想，若将对称轴换成x a =呢？此时若想构造轴对称该如何构造？该取什么样的自变量？(x 2,f (x 2))(x 1,f (x 1))-x x 0-x0+xx=0a-x a+xx 2x 1x a = ①()()f a x f a x +=-②若122x x a +=，则12()()f x f x =，一定要写成12x x +的形式，只需两个括号中的和为2a 即可． 第1种思考方式：若关于x a =对称，则关于x a =对称的两自变量所对应的函数值相等；第2种思考方式：因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上，所以若()()22x f x ，和()()11x f x ，两点关于y 轴对称()()12f x f x =，则两自变量满足120x x +=（∵中点在对称轴上）． 如：()()42f x f x -=+，括号中的和为6，∴()f x 的图象关于3x =对称．一定是函数值相等才有轴对称这一说法，若两自变量和为常数且函数值相等，则可表达轴对称：()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2a bx +=轴对称． 再如：若()()4222f x f x -=+，此时()f x 是否有对称轴？有，仍然为3x =． 当讨论轴对称时，只要看括号内的和是否为常数就行，不要受其它因素的干扰．例：若()2f x +是偶函数，则()f x 的对称轴为_____．在上一个板块，我们已经从图象平移角度得到过对称轴，这里我们从函数方程角度出发，由()()()22f x f x f x -+=+⇒关于2x =对称．上面的说法只是针对平常出现的，更变态的情况一般不可能出现，如若有1142f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图象否有对称性？不一定有，因为()4f 和()2f 的关系不能确定，但严格意义上还是关于3x =对称，因为()4f 与()2f 可通过12x =去解决． 若()()2242f x f x -=+，则()f x 的图象否有对称性？有，关于3x =对应．有限制时，不一定对称，如()()2242f x f x +=-，因为x ∈(24)，时，()f x 的情况无法确定．当4.2函数的对称性然，这些问题本身就非常变态了，不必深究．本质上来说，当24x -与22x +的值域的并集为R 时，可以得到对称，否则得不到．一般的轴对称：⑴ 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称⇔()(2)f x f a x =-()()f a x f a x ⇔-=+；⑵ 若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=成轴对称．【练习1】⑴若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________；⑵若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-，则()f x 的图象的对称轴为________；⑶若函数()f x 满足：(22)(22)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________．【解析】 ⑴1x =；⑵2x =-；⑶2x =．考点2：二次函数的对称性<教师备案> 二次函数是一类很特殊的轴对称函数，对于二次函数来说，只需要两个特殊点的函数值相等就可得到它的对称轴，这是因为它的对称性+单调性决定的．对于一般的轴对称函数，并没有这样的性质．【铺垫】函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是（ ）A ．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C ．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<<【解析】 C【例2】 ⑴二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，若1212()()()f x f x x x =≠，则122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．2b a -B ． ba- C ．c D ．244ac b a -⑵二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，若1212()()()f x f x x x =≠，则()12f x x +等于（ ） A ．2b a - B ．ba- C ．c D ．244ac b a -⑶设()2f x x bx c =++且()()02f f =，则（ ）A ．()322f c f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭B ．()322f c f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C ．()322f f c ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭D ．()322c f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭【解析】 ⑴ D⑵ C ⑶ B经典精讲知识点睛考点3：轴对称函数的性质【铺垫】若函数()f x 在(4)+∞，上为减函数，且对任意的x ∈R ，有(4)(4)f x f x +=-，则（ ）A ．(2)(3)f f >B ．(2)(5)f f >C ．(3)(5)f f >D ．(3)(6)f f > 【解析】 D【例3】 ⑴已知函数()f x ，当4x >时，()2013f x x =-，且()()44f x f x -=+恒成立，则当4x < 时，()f x = ．⑵已知()f x 为定义在R 上的函数，且(1)f x +为偶函数，且当1x ≥时，2()f x x =，则当1x <时，()f x =__________． ⑶设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有三个不相等的实数根，那么这三根之和等于 ．【解析】 ⑴ 2005x --⑵ 2(2)x -． ⑶ 6．【拓展】已知函数()()y f x x =∈R 满足①()()11f x f x +=-；②[)1x ∈+∞，时，()f x 为增函数；③10x <，21x > 且122x x +<-，则()1f x -与()2f x -的大小关系是 ．【解析】 12()()f x f x ->-．二、中心对称-xxO(a,b )(a-x ,f (a -x ))(a+x ,f (a +x ))af x f x -=- 2f a x f a x b ++-=对称中心：每个点绕着对称中心旋转180︒后还在图象上．奇函数中两自变量的中点是中间的0，两函数值中点是0，有()()0f x f x +-=． 若将对称中心移到点()a b ，，可同理，从a 出发，向左向右距离相等，使其自变量对称，则它们对应的函数值的中点应为b ，所以()()2f a x f a x b ++-=．当自变量关于a 对称时，函数值关于b 对称． 例：()()312f x f x ++-=，则()f x 关于()21，中心对称． 当描述对称性时一定要注意，自变量的和是一个常数时，所表达的一定是对称性，因为对称性就是往两边走．例：(1)1()f x f x -=-，则()f x 是中心对称的，对称中心为1122⎛⎫⎪⎝⎭，．()(8)2f x f x -++=-，则()f x 关于(41)-，中心对称．一般的中心对称：⑴ 函数()y f x =的图象关于点()a b ，对称⇔()()2f a x f a x b ++-=⇔2()(2)b f x f a x -=-． ⑵ 若函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=，则()y f x =的图象关于点22a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭，成中心对称．【练习2】⑴若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________；⑵若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=--，则()f x 的图象的对称中心为________； ⑶若函数()f x 满足：(2)(2)2f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________．【解析】 ⑴(10)，；⑵(20)-，；⑶(21)，．考点4：中心对称函数的性质 【例4】 ⑴已知函数()f x 当4x >时，()2013f x x =-，且()()440f x f x -++=恒成立，则当4x < 时，()f x = ．⑵已知当4x >时，()2013f x x =-，且()()442013f x f x -++=恒成立，则当4x <时， ()f x =________．⑶已知()f x 是定义在R 上的函数且()1f x +为奇函数，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()f x 不是奇函数 B ．()()20f x f x +-+=C ．函数()f x 的图象关于点(01)-，对称D ．函数()f x 的图象关于点(01)，对称⑷已知()f x 为定义在R 上的函数，若函数(1)f x +为奇函数，则下列说法不正确的是（ ） A ．(1)(1)f x f x -+=-+ B ．函数()f x 的图象关于点(10)，对称 C ．(2012)(2010)0f f +-= D ．函数()f x 为奇函数 【解析】⑴ 2005x +； ⑵ 4018x +； ⑶ D ； ⑷ D【拓展】若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12x x ∈R ，，有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()1f x +是奇函数D ．()1f x +是偶函数【解析】 C ；经典精讲知识点睛考点5：含绝对值的函数的对称性这里研究三种常见的含绝对值的函数：()f x x a =-，()f x x a x b =-+-，()f x x a x b =---： 绝对值a b -的几何意义是数轴上坐标为a b ，的两点之间的距离，从这个角度去理解()12f x x x =+++：-2-1绝对值中的两个对应的零点为12--，，()f x 表示x 到这两个零点12--，的距离之和，两零点应关于对称轴对称，故函数的对称轴为32x =-．且此函数的最小值为2(1)1---=．同样的，对()12f x x x =+-+，表示的是距离之差，当2x <-时，函数值一直为1，且为最大值；当1x >-时，函数值一直为1-，且为最小值，在21x -<<-时，函数单调递减．⑴()f x x a =-的图象关于直线x a =对称，且函数的最小值为0；⑵()f x x a x b =-+-的图象关于直线2a bx +=对称，且函数的最小值为b a -； ⑶()f x x a x b =---的图象关于点02a b +⎛⎫⎪⎝⎭，对称，且函数的值域为a b a b ⎡---⎤⎣⎦，．<教师备案> 对上面结论的证明：方法一：可以由函数图象的对称性获得． x=ax=a+b 2b ax=a+b 2ba()f x x a =- ()f x x a x b =-+-（a b <） ()f x x a x b =---（a b <）方法二：代数证明．⑴ ()(2)2f a x a x a a x f x -=--=-=；⑵ ()()f a b x a b x a a b x b b x a x f x +-=+--++--=-+-=； ⑶ ()()f a b x a b x a a b x b b x a x f x +-=+---+--=---=-．知识点睛【例5】⑴设函数()1f x x x a=++-的图象关于直线1x=对称，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．1-⑵设函数()f x x a x b=---的图象关于点(10)，对称，且函数的最大值为2，则a=_______．⑶用{}min a b，表示a，b两数中的最小值．若函数(){}minf x x x t=+，的图象关于直线12x=-对称，则t的值为（）A．2-B．2C．1-D．1【解析】⑴ A⑵0或2；⑶ D【拓展】要使得函数123y x x x x a=-+-+-+-的图象有对称轴，a的值为_____．【解析】0a=或2或4．若()y f x=的图象的对称轴为8x=，则①()y f x=-的图象的对称轴为______；②(1)y f x=-的图象的对称轴为_______；③(2)y f x=的图象的对称轴为______．【解析】①8x=-；②7x=-；③4x=．()y f x=-与()y f x=是关于y轴对称的，故()y f x=-有对称轴8x=-；()y f x=-向右平移一个单位得到(1)y f x=-+，故(1)y f x=-的对称轴为7x=-．因为(8)(8)f x f x-=+，从而(82)(82)f x f x-=+，故[2(4)][2(4)]f x f x-=+，记()(2)g x f x=，则有(4)(4)g x g x-=+，即()g x有对称轴4x=，即(2)f x有对称轴4x=．【演练1】对于二次函数()22f x x x m=-+，及任意的x∈R有( )A．()()11f x f x--=-+B．()()11f x f x-=+C．()()11f x f x-=+D．()()22f x f x-=+【解析】B【演练2】若二次函数()2f x ax bx c=++的对称轴为1x=且其图象过点()20，，则()()11ff-的值为（）A．3-B．3 C．2 D．1【解析】A经典精讲实战演练【演练3】若函数()f x 满足()()2f x f x =-，且1x >时，()245f x x x =-+，则1x <时，()f x =______． 【解析】 21x -+；【演练4】 若函数()f x 满足()()24f x f x +-=，1x >时，()245f x x x =-+，则1x <时，()f x =______． 【解析】 23x -+；【演练5】 已知定义域为R 的函数()f x 在()8+∞，上为减函数，且函数()8y f x =+为偶函数，则（ ）A ．()()67f f >B ．()()69f f >C ．()()79f f >D ．()()710f f >【解析】 D（2009年全国Ⅰ理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）． A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()(2)f x f x =+ D ．(3)f x +是奇函数【解析】 D∵(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x -+=-+，(1)(1)f x f x --=--，∴函数()f x 关于点()10，及点()10-，对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数． ∴(14)(14)f x f x --+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数．故选D ．大千世界。
专题一 函数三大性质专项突破之相关结论(解析版)
专题一 函数三大性质专项突破之相关结论函数的奇偶性(对称性)、周期性与单调性的秒杀结论1．函数的奇偶性(1)(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称． 结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )． 结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数； 结论12：函数f (x )＝log a x －b x ＋b(a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a (1＋m 2x 2±mx )(a >0且a ≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y ＝f (x )满足f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0（y 轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称． 推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 轴对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a －x )＝f (x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )若函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔f (2a ＋x )＝－f (－x )3．周期性(1)周期函数的定义：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．(2)函数周期性常用的结论：结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．4．单调性(1)说函数f (x )在区间D 上是增函数 说函数f (x )在区间D 上是减函数自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．(3)函数单调性常用结论结论1：y ＝f (x )在区间D 上是增函数⇔对∀x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)⇔()0f x '≥⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0； 结论2：y ＝f (x )在区间D 上是减函数⇔对∀x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)⇔()0f x '≤⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0．结论3：函数y ＝f (x )与函数y ＝f (x )＋C (C 为常数)具有相同的单调性．结论4：若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反．结论5：在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )＞0)与()n y f x =和y =结论6：在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝1f (x )单调性相反． 结论7：若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数． 结论8：若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，且f (x )＞0，g (x )＞0，则f (x )•g (x )也是区间A 上的增(减)函数．结论9：奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．结论10：(4)对勾函数：f (Ⅰ．当a ＞0，，(0]上是减函数；Ⅱ．当a ＜0，，(0]上是增函数；飘带函数：f (Ⅰ．当a ＞0，b ＜)Ⅱ．当a ＜0，b ＞)。
2019 高一秋季第4讲.函数的奇偶性(二)与对称性
【练习 1】⑴若函数 f (x) 满足： f (x 1) f (1 x) 0 ，则 f (x) 的图象的对称轴为________； ⑵若函数 f (x) 满足： f (x) f (x 4) ，则 f (x) 的图象的对称轴为________； ⑶若函数 f (x) 满足： f (2x 2) f (2 2x) 0 ，则 f (x) 的图象的对称轴为________．
当描述对称性时一定要注意，自变量的和是一个常数时，所表达的一定是对称性，因为对称性就是往两边 走．
例：
f
(1
x)
1
f
(x)
，则
f
(x)
第 4 讲 函数的奇偶性㈡ 与对称性
满分晋级
函数 12 级 函数的单调性
与奇偶性（一）
函数 14 级
指数函数与相关
函数 13 级
复合函数
函数的奇偶性（二）
与对称性
本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块一只有一 道例题，引出板块二——函数的一般对称性；板块三只有目标班出现．本讲尖子班建议课时 2 小时，目标班建议 课时 3 小时．
B. f (x1) f (x2 ) D. f (x1) ，f (x2 )
考点 3：轴对称函数的性质
【铺垫】若函数 f (x) 在 (4， ) 上为减函数，且对任意的 x R ，有 f (4 x) f (4 x) ，则（ ）
A． f (2) f (3) D． f (3) f (6)
A． b 2a
B． b a
C． c
D． 4ac b2 4a
⑶ 设 f x x2 bx c 且 f 0 f 2 ，则（ ）
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在数学中，函数可以具有对称性和奇偶性。
函数的对称性和奇偶性是函数图像的特征，它们能够提供有关函数行为的重要信息。
一、函数的对称性函数的对称性指的是函数图像相对于某一基准轴的镜像对称关系。
常见的对称形式包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
1. 关于x轴对称的函数如果一个函数的图像关于x轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = -f(-x)，则该函数关于x轴对称。
常见的对称函数包括y = x^2 和 y = sin(x)。
2. 关于y轴对称的函数如果一个函数的图像关于y轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = f(-x)，则该函数关于y轴对称。
常见的对称函数包括y = x^3 和 y = cos(x)。
3. 关于原点对称的函数如果一个函数的图像关于原点对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数关于原点对称。
常见的对称函数包括y = x^4 和 y = tan(x)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性指的是函数的输入为正数或负数时的输出表现。
函数可以是奇函数、偶函数或者既不奇也不偶。
1. 奇函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数为奇函数。
奇函数的特点是关于原点对称，即对于函数图像中的任意一点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
常见的奇函数包括y = x 和 y = sin(x)。
2. 偶函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = f(x)，则该函数为偶函数。
高中数学公式大全函数与方程的对称性与奇偶性的计算公式
高中数学公式大全函数与方程的对称性与奇偶性的计算公式高中数学公式大全：函数与方程的对称性与奇偶性的计算公式在高中数学学习中，函数与方程的对称性与奇偶性是非常重要的概念。
通过对对称性与奇偶性的理解与计算，我们能够更好地理解和应用各类函数与方程。
下面是关于函数与方程的对称性与奇偶性的计算公式。
一、函数的对称性计算公式1. 奇函数与偶函数的定义在讨论函数的对称性之前，首先需要明确奇函数与偶函数的定义。
若函数满足对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数；若函数满足对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
2. 奇偶性的判断方法（1）对称轴判定法：通过判断函数图像是否关于y轴对称，可以判断函数的奇偶性。
若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数；若函数图像关于原点对称（即关于y轴和x轴对称），则函数为奇函数。
（2）符号变换法：对于给定的函数f(x)，a) 若f(-x) = -f(x)成立，则函数为奇函数；b) 若f(-x) = f(x)成立，则函数为偶函数；c) 若f(-x)既不等于-f(x)，也不等于f(x)，则函数既不是奇函数，也不是偶函数。
3. 奇函数与偶函数的计算公式（1）奇函数的计算公式：若f(x)为奇函数，则有以下公式成立：a) f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₅x⁵ + a₃x³ + a₁xb) f(x) = Σ(a₂ₙ₋₁x²ⁿ⁻¹), n取整数其中，aₙ为实系数，且aₙ ≠ 0。
（2）偶函数的计算公式：若f(x)为偶函数，则有以下公式成立：a) f(x) = a₂ₙx²ⁿ + a₂ₙ₋₂x²ⁿ⁻² + ... + a₆x⁶ + a₄x⁴ + a₂x² + a₀b) f(x) = Σ(a₂ₙx²ⁿ), n取非负整数其中，a₂ₙ为实系数。
函数的奇偶性及对称性
函数的奇偶性及对称性函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。
在实际问题的建模和解决中，经常会遇到需要研究函数的性质和特征的情况。
其中，函数的奇偶性及对称性是我们常见且重要的性质之一。
一、函数的奇偶性在研究函数的奇偶性之前，我们先来了解一下奇数和偶数的定义。
奇数指的是不能被2整除的整数，例如1，3，5，7等；而偶数指的是能被2整除的整数，例如2，4，6，8等。
1.1 定义对于定义在实数集上的函数f(x)，若对任意的实数x，函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
同样地，若对任意的实数x，函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
1.2 性质（1）奇函数的图像关于原点对称，即对于函数y=f(x)，会关于原点O对称。
（2）奇函数在原点处取值为0，即f(0) = 0。
（3）奇函数的奇次幂项系数为0，即f(x)中只包含奇次幂的项。
（4）奇函数的乘积仍为奇函数。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他类型的对称性，比如轴对称、中心对称等。
2.1 轴对称当函数的图像关于某一直线对称时，称该函数具有轴对称性。
常见的轴对称有关于y轴和x轴的对称。
2.2 中心对称当函数的图像关于某一点对称时，称该函数具有中心对称性。
该点称为对称中心。
三、应用举例接下来，我们通过一些具体的函数来深入了解函数的奇偶性及对称性的应用。
3.1 奇函数的例子我们以f(x) = x^3作为奇函数的例子来说明。
（1）对于任意的实数x，有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，满足奇函数的定义。
（2）图像关于原点O对称，过原点的直线y=x是该函数的斜渐近线。
（3）该函数在原点处取值为0。
（4）该函数的乘积仍为奇函数，例如f(x)g(x)= (x^3)(x^5) = x^8。
3.2 偶函数的例子我们以f(x) = x^2作为偶函数的例子来说明。
（1）对于任意的实数x，有f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)，满足偶函数的定义。
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42 第4讲·教师版本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块
一只有一道例题，引出板块二——函数的一般对称性；
板块三只有目标班出现．本讲尖子班建议课时2小时，目标班建议课时3小时．
考点1：函数的奇偶性
<教师备案> 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，
从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一般的奇偶性，并由此引出一般的对称性．
如(1)f x 是偶函数，
从图象平移角度来说：意味着函数
()f x 的图象向右平移一个单位后，有对称轴0x ，故
函数()f x 的图象有对称轴1x ．从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，
(1)f x 的自变量为x ，故意味着
(1)(1)f x f x ．这说明：(1)(1)f x f x 与()f x 关于1x
对称是等价的命题．满分晋级
4.1函数奇偶性（二）
第4讲函数的奇偶性㈡
与对称性
函数12级
函数的单调性
与奇偶性（一）函数13级
函数的奇偶性（二）
与对称性
函数14级
指数函数与相关
复合函数。