2020届高三数学一轮复习强化训练精品――几何概型

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2020高考(理)一轮复习：9.3 几何概型

3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端⑪“等距离”的两个二项式系数相
等，即Cnm＝Cnn－m. (2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当⑫k＜n＋2 1时，二项
式系数是递增的；当⑬k＞n＋2 1时，二项式系数是递减的．
n
当n是偶数时，中间的一项⑭Cn2 取得最大值．
n1
n1
当n是奇数时，中间两项⑮ Cn2 和⑯ Cn2 相等，且同时取得
考向一求展开式中的指定项或特定项
[自主练透型]
1．[2018·全国卷Ⅲ]x2＋2x5的展开式中x4的系数为( )
A．10
B．20
C．40
D．80
解析：x2＋2x5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr ＝C r 5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C 2 5·22＝40.故选C.
答案：(1)C (2)B
悟·技法 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令x＝1即可；对形如(ax＋ by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1 即可．
－32r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C2532＝90，故选C. (2)由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32
＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.
所以1＋x12(1＋x)6展开式中x2的系数为30.
故选C.
答案：C

苏教版高三数学一轮复习---12.3 几何概型

§12.3 几何概型2020高考会这样考 1.以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型；2.和平面几何、函数、向量相结合考查几何概型，题组以中低档为主．复习备考要这样做 1.准确理解几何概型的意义，会构造度量区域；2.把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练．1．几何概型事件A 发生的概率与d 的测度成正比，与d 的形状和位置无关，这样的概率模型称为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式为P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． [难点正本疑点清源]1．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．2．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解． 3．几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为________．答案 13解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.2．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．答案 23解析如图可设lAB＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.3．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是________．答案 25解析区域D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P ＝25. 4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是________．答案 25解析以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.5．(2012·湖北改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．答案 1－2π解析方法一设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.方法二连结AB ，由S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC 可求出空白部分面积．设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2.由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ，所以S 空白＝S △OAB＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.题型一与长度有关的几何概型例1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________．思维启迪：通过转化集合A 和lg m 有意义将问题转化成几何概型．答案 45解析由Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0得－1<m <4. 即A ＝{m |－1<m <4}．由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是(0,4)，故所求概率为P ＝4－04－(－1)＝45.探究提高解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．答案 12解析记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.题型二与面积有关的几何概型例2 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．思维启迪：(1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立a －b 平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.探究提高数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标． (1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．解 (1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，∴所求概率为P ＝49.(2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π，∴所求概率为P ＝410π＝25π.题型三与角度、体积有关的几何概型例3 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．思维启迪：根据“在∠BAC 内作射线AM ”可知，本题的测度是角度．解因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.探究提高几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC 上找一点M ”，则相应的测度变成线段的长度．一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为________．答案 127解析由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.转化与化归思想在概率中的应用典例：(14分)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．审题视角 (1)向量a ∥b 转化为x ＝2y ，而x 、y 的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2)和(1)中条件类似，但x 、y 的值有无穷多个，应转化为几何概型问题．规范解答解 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；[3分]其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝212＝16，即向量a∥b的概率为16.[6分](2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.[8分]基本事件空间为Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧(x，y)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2－1≤y≤1，B＝⎩⎪⎨⎪⎧(x，y)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2－1≤y≤12x＋y<0x≠2y，[12分]则P(B)＝μBμΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a，b的夹角是钝角的概率是13.[14分]温馨提醒(1)对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题．(2)本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.方法与技巧1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．失误与防范1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2012·辽宁改编)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________．答案 23解析设AC ＝x ，CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.2．(2012·北京改编)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．答案 4－π4解析如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.3．点P 在边长为1的正方形ABCD 内部运动，则点P 到顶点A 的距离|P A |<1的概率为______．答案 π4解析由题意可知，点P 到顶点A 的距离|P A |<1的区域为以点A 为圆心，以1为半径的圆的四分之一，它对应的面积为π4，所以所求概率为π4.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为________．答案 56解析 ∵－1≤x ≤1，∴－π4≤πx 4≤π4.由－12≤sin πx 4≤22，得－π6≤πx 4≤π4，即－23≤x ≤1.故所求事件的概率为1＋232＝56.5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．答案 13解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.6．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．答案 35解析一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝⎛⎭⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，5]∩{(－∞，－1]∪[2，＋∞)}的长度[0，5]的长度＝35. 7．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为________．答案 34解析根据函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点得4a 2－4(π－b 2)≥0，即a 2＋b 2≥π，建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部，使函数f (x )有零点的区域为图中阴影部分，且S 阴影＝4π2－π2＝3π2.故所求概率为P ＝S 阴影S 正方形＝3π24π2＝34.二、解答题(共27分)8．(13分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.设M －ABCD 的高为h ，则13×S ABCD ×h <16，又S ABCD ＝1，∴h <12，即点M 在正方体的下半部分，∴所求概率P ＝12V正方体V 正方体＝12.9．(14分)已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba ≤1，即2b ≤a .依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a >0b >0. 构成所求事件的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪2ba ≤1a >0b >0. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83，所以所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.B 组专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________．答案 34解析要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b >0，∴a －2b <0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.2. 如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为________．答案 12解析如图，在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不在半圆弧CMD 上时，MN >2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12.3．(2012·陕西改编)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的流程图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入____________．答案 P ←4M1 000解析 ∵x i ，y i 为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当x 2i ＋y 2i ≤1时，点(x i ，y i )均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的14圆内，当x 2i ＋y 2i >1时对应点落在阴影部分中(如图所示)．∴有NM ＝1－π4π4，N π＝4M －M π，π(M ＋N )＝4M ，π＝4M1 000.4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为________．答案 π4解析 D 为直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1围成的正方形区域，而由x 2＋y 2≤1，即x 2＋y 2≤1(x ≥0，y ≥0)知d 为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为14π×121×1＝π4. 5．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．答案 1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×(12)2π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×(14)2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 6．如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，则过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．答案 1－32解析弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32. ∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 二、解答题(共28分)7．(14分)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >yy ＋6－x －y >x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >3y <3x <3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14. 8．(14分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限的概率．解 (1)抽取的全部结果的基本事件有(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35. (2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示．要使函数的图象过第一、二、三象限，则m >0，n >0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17.。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题6.3 几何概型(解析版)

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】12【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝12.【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．【答案】 23【解析】方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．【答案】 34【套路总结】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求【解析】由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝32－02－0＝34.考向二面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【答案】（1）π48 （2）3π64【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12＝π2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π224＝π48.(2)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P＝SS △AOB ＝π4163＝3π64【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．【答案】 12【解析】以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC内的概率为S △PBCS △ABC＝12. 2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．【答案】 12【解析】 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .【套路总结】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.考向三体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【答案】（1）1－π12 （2）1－π4【解析】（1）记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. （2）鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.【举一反三】1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．【答案】16【解析】因为1A A BDV-＝1A ABDV-＝13AA1×S△ABD＝16×AA1×S矩形ABCD＝16V长方体，故所求概率为1A A BDVV-长方体＝16.考向四角度【例4】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．【答案13【解析】因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为∠CAB∠DAB＝30°90°＝13.【举一反三】【套路总结】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________．【答案】 16【解析】设事件D 为“作射线CM ，使AM >AC ”．在AB 上取点C ′使AC ′＝AC ，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P (D )＝μD μΩ＝15°90°＝16.1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．34π- B ．332π-C ．334π-D ．33π-【答案】C【解析】如下图所示：【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=∴阴影部分的面积21182223123323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：823334234p ππ-==-⨯本题正确选项：C2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（）A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C.3．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（） A ．12 B ．13 C ．14 D ．23【答案】A【解析】当a b > 时2223142a b a b a -<<⇒< ，当a b < 时,同理可得2ba <,则由下图可得所求的概率21121222t tP t ⨯⨯== ，故选A.4．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（）A ．25 B ．35 C ．15 D ．23【答案】A【解析】因为()5,112D d ==--=，所以由几何概型的计算公式可得25d P D ==，应选答案A 。

高考数学一轮复习专题训练—古典概型与几何概型

古典概型与几何概型考纲要求1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义．知识梳理1．古典概型 (1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(3)古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.2．几何概型 (1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)概率为0的事件一定是不可能事件．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( ) A.25 B ．415C ．35D ．非以上答案答案 A解析从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p ＝615＝25. 3.如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD 内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为____________．答案 0.6解析由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S ，由几何概型概率公式可得S4≈30200，∴S ≈0.6.4．(2020·全国Ⅰ卷)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A.15 B ．25C ．12D ．45答案 A解析从O ，A ，B ，C ，D 这5个点中任取3点，取法有{O ，A ，B }，{O ，A ，C }，{O ，A ，D }，{O ，B ，C }，{O ，B ，D }，{O ，C ，D }，{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，C ，D }，{B ，C ，D }，共10种，其中取到的3点共线的只有{O ，A ，C }，{O ，B ，D }这2种取法，所以所求概率为210＝15.故选A.5．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B ．14C.13 D ．12答案 D解析设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.6. (2021·郑州模拟)公元前5世纪下半叶，希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为4，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自阴影部分的概率是________．答案π＋68π＋4解析上方阴影部分的面积等于△AOB 的面积，S △AOB ＝12×2×2＝2，下方阴影部分面积等于14×π×22－⎣⎡⎦⎤14×π×22－12×2×2＝π2＋1，所以根据几何概型概率公式得所求概率P ＝2＋π2＋14π＋2＝π＋68π＋4.考点一古典概型的简单计算1．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23 B ．35C ．25D ．15答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.2．(2021·安徽江南十校质量检测)“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( ) A.15 B ．13C ．35D ．23答案 A解析 6拆成两个正整数的和的所有基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，而加数全为质数的为(3,3)，所以所求概率为15，故选A.3．(2020·江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．答案 19解析列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6789101112点数的和共有点数和为5的概率P ＝436＝19.感悟升华古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．考点二古典概型与其他知识的简单交汇【例1】 (1)(2020·郑州一模)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取k ∈A ，则幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率为________(结果用数值表示)．(2)(2021·河北七校联考)若m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________．答案 (1)14 (2)12解析 (1)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任意k ∈A 的基本事件总数为8，当k ＝±2时，幂函数f (x )＝x k 为偶函数，从而幂函数f (x )＝x k 为偶函数包含的基本事件个数为2，∴幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率p ＝14.(2)∵m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1,3,11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p＝36＝12. 感悟升华求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型的概率公式求解．【训练1】设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18 B ．14C ．13D ．12答案 A解析有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ⊥(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.考点三古典概型与统计的综合应用【例2】某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．解 (1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x ＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5，且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)．抽样方法为分层抽样，在[240,260)，[260,280)，[280,300]中的用户比为3∶2∶1，所以在[240,260)，[260,280)，[280,300]中分别抽取3户、2户和1户．设参加节目的2户来自不同组为事件A ，将来自[240,260)的用户记为a 1，a 2，a 3，来自[260,280)的用户记为b 1，b 2，来自[280,300]的用户记为c 1，在6户中随机抽取2户有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a3，c1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，c1)，共15种取法，其中满足条件的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，c1)，(b2，c1)，共11种，故参加节目的2户来自不同组的概率P(A)＝1115.感悟升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．【训练2】海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝1 50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.考点四几何概型角度1 与长度(角度)有关的几何概型【例3】 (1)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215B ．715C ．35D ．1115(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．答案 (1)D (2)34解析 (1)因为f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝m 2＋4m ≥0，所以m ≤－4或m ≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率p ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115. (2)过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC ，又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为p ＝67.5°90°＝34.感悟升华 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．角度2 与面积有关的几何概型【例4】在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225 B ．1625C ．1725D ．1825答案 C解析设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.感悟升华几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．角度3 与体积有关的几何概型【例5】有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析由题意得该圆柱的体积V ＝π×12×2＝2π.圆柱内满足点P 到点O 的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V 1＝12×43π×13＝23π，所以所求概率p ＝V －V 1V ＝23.感悟升华对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【训练3】 (1)(2021·西安一模)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( ) A.12B ．13C ．24D ．23(2) (2020·新疆一模)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．剪纸艺术通过一把剪刀、一张纸就可以表达生活中的各种喜怒哀乐．如图是一边长为1的正方形剪纸图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为( )A.π64B ．π32C ．π16D ．π8答案 (1)C (2)D解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y ＝k (x ＋3)的距离为|3k |k 2＋1，要使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则|3k |k 2＋1<1，解得－24<k <24. ∴在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为24－⎝⎛⎭⎫－242＝24. (2)设黑色小圆的半径为r .由题意得2r ＋2r ＋2×2r ＝1，解得r ＝18，所以白色区域的面积为π·⎝⎛⎭⎫122－4×π·⎝⎛⎭⎫182－π·⎝⎛⎭⎫142＝π8.所以在正方形图案上随机取一点，该点取自白色区域的概率为π81×1＝π8.故选D. 基础巩固一、选择题1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B ．14C ．34D ．0答案 A解析列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.故选A.2．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A.19 B ．16C ．29D ．518答案 C解析由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29.故选C.3. (2021·河北六校联考)《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a (0<a <r )，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A.a 21－p r 2B ．a 21＋p r 2C.a1－p rD ．a1＋p r答案 A解析由几何概型的概率计算公式，得πr 2－a 2πr 2＝p ，化简得π＝a 21－p r 2.故选A.4．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( ) A.12 B ．13C ．34D ．25答案 B解析点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.5．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15—8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( )A.23 B ．58C ．13D ．38答案 D解析该职工在7：50至8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率p ＝1540＝38.故选D.6．(2021·合肥质检)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC的概率为( ) A.13 B ．49C ．827D ．1927答案 D解析作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC， ∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率p ＝1－827＝1927.二、填空题7．(2020·太原模拟)下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次随机走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________．答案 13解析 2位男同学记为男1，男2，则三位同学依次走出教室包含的基本事件有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6种，其中第2位走出的是女同学包含的基本事件有2种．故第2位走出的是女同学的概率是p ＝26＝13.8．在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．答案33解析 ∵点M 在直角边BC 上是等可能出现的， ∴“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.9．(2021·郑州质量预测改编)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．答案 16解析从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故p ＝212＝16.三、解答题10．(2020·成都诊断)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.030.(2)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝715.11．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以事件M发生的概率P(M)＝1115.能力提升12．(2021·长春质检)我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质中随机选取三种，则取出的三种物质中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为()A.35 B ．12C ．25D ．13答案 B解析 (列举法)依题意，三种物质间相生相克关系如下表，金木水金木火金木土金水火金水土金火土木水火木水土木火土水火土 × √√√×××√×√所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p ＝510＝12，故选B.13．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 78解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝⎛⎭⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率p ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.。

2020届高考数学一轮配套练习 11.3 几何概型文苏教版 .doc

第三节几何概型强化训练当堂巩固1.已知Ω={(x,y)|3400x y x y +≤,≥,≥},A={(x,y)|00x y x y ≤,≥,≥},若向区域Ω内随机投入一点P,则点P 落入区域A 的概率为( )A.38B.23C.14D.34答案:D 解析:如图,直线3x+y=4和y=x 的交点为C(1,1),且4(0)3D ,、B(0,4),故所求概率为34BOC BOD SP S ==V V .2.设m 在[0,10]内随机地取值,则方程244x mx ++m+6=0有实根的概率是( ) A.15B.35C.710D.910答案:C解析:区间[0,10]的长度是10,2(4)4m ∆=-⨯4(m+6)22161696060m m m m =--≥,--≥, ∴2m ≤-或3m ≥.∴310m ≤≤,其长度是7. ∴所求概率为710P =.3.(2011福建厦门高三模拟)已知函数2()f x x ax b =-+-,若a 、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f(1)>0成立的概率是 . 答案:932解析:f(1)=-1+a-b>0,即a-b>1,满足条件的区域如图中的△ABC.又A(1,0),B(4,0),C(4,3),∴999224432ABCABCSS PS=,===⨯VV正方形.4.如图,在边长为25 cm的正方形中挖去边长为23 cm的两个等腰直角三角形,现有均匀的粒子散落在正方形中,则粒子落在中间带形区域的概率是 .答案:96625解析:由题知正方形的面积为2525625⨯=,阴影区域的面积为212522323962-⨯⨯⨯=,所以粒子落在阴影区域的概率是96625P=.5.设有关于x的一元二次方程2220x ax b++=.若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求方程有实根的概率.解:试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0302a b≤≤,≤≤}.构成事件A的区域为{(a,b)|0302a b a b≤≤,≤≤,≥}.所以所求的概率为2132222323P⨯-⨯==⨯.课后作业巩固提升见课后作业B题组一与长度有关的几何概型的求法1.ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为( )A.4π B.14π-C.8π D.18π-答案:B解析:当以O为圆心,1为半径作圆,则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1,故所求事件的概率为()=14AS SP ASμπμΩ-==-长方形半圆长方形.2.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则[01]x∈,的概率为 .答案:13解析:如图,这是一个长度的几何概型,所求概率13CD P AB ==.题组二与面积有关的几何概型的求法3.如图是一个边长为4的正方形及其内切圆,若随机地向正方形内丢一粒豆子,则豆子落入圆内的概率是 ( )A.8πB.4πC.2π D.π答案:B解析:因为正方形的面积是16,内切圆的面积是4π,所以豆子落入圆内的概率是4164ππ=.4.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n,记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ,则(0]2πθ∈,的概率是( )A.512B.12C.712D.56答案:C解析:∵m>0,n>0,∴a =(m,n)与b =(1,-1)不可能同向.∴夹角0θ≠.∵(0]2πθ∈,⇔a ⋅b 0≥,∴0m n -≥,即m n ≥.当m=6时,n=6,5,4,3,2,1; 当m=5时,n=5,4,3,2,1; 当m=4时,n=4,3,2,1; 当m=3时,n=3,2,1; 当m=2时,n=2,1; 当m=1时,n=1.∴概率是65432176612P +++++==⨯.5.在平面直角坐标系xOy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E 中的概率为 . 答案:16π解析:如图:区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部, 因此214416P ππ⨯,==⨯.题组三与体积有关的几何概型的求法 6.在街道旁边有一游戏:在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm 的小圆板,规则如下:每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边,可免费重掷一次;若掷在正方形内,则无奖.若重掷须再交5角钱;若掷在或压在塑料板的顶点上,可获1元钱.试问: (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少? (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?解:(1)由题知,满足条件的结果构成以圆心为中心,边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内,所以概率为2229732819-=. (2)考虑小圆板的圆心在以塑料板的顶点为圆心的14圆内,因正方形有四个顶点,所以概率为2819ππ=.7.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定答案:C解析:由于取水样的随机性,所求事件A:“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比,即为20500=.004.8.已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,使得——12P ABC S ABC V V ≤的概率是( )A.78B.34C.12D.14答案:A解析:当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求,由几何概型知71188P ,=-=.9.方程20((01))x x n n ++=∈,有实根的概率为( ) A.12B.13C.14D.34答案:C解析:由一元二次方程有实根的条件11404n n ∆=-≥⇒≤,而(01)n ∈,,由几何概率得有实根的概率为14.10.如图,在半径为1的半圆内,放置一个边长为12的正方形ABCD.向半圆内任投一点,点落在正方形内的概率为 .答案:12π解析:21411212SP S ππ===⨯正. 11.已知函数()[11]f x ax b x a =+,∈-,,、b ∈R 是常数.(1)若a 是从-2、-1、0、1、2五个数中任取的一个数,b 是从0、1、2三个数中任取的一个数,求函数y=f(x)为奇函数的概率.(2)若a 是从区间[-2,2]中任取的一个数,b 是从区间[0,2]中任取的一个数,求函数y=f(x)有零点的概率.解:(1)函数()[11]f x ax b x =+,∈-,为奇函数,当且仅当[11](x f ∀∈-,,-x)=-f(x),即b=0,基本事件共15个:(-2,0)、(-2,1)、(-2,2)、(-1,0)、(-1,1)、(-1,2)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(2,2),其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值.设事件A 为”函数()[11]f x ax b x =+,∈-,为奇函数”包含的基本事件有5个:(-2,0)、(-1,0)、(0,0)、(1,0)、(2,0),事件A 发生的概率为P(A)=51153=.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|2202a b -≤≤,≤≤},区域面积为428⨯=构成事件A 的区域为:{(a,b)|a=b=0}⋃{(a,b)|2-≤a ≤2020b a ,≤≤,≠且(a+b)(b-a)<0}, 即{(a,b)|a=b=0}⋃{(a,b)|220a -≤≤,≤b ≤20a ,≠且11b a-<<},区域面积为14242⨯⨯=,事件A 发生的概率为41()82P A ==.。

2020版高考数学一轮复习专用精练：第6讲几何概型_含解析

第6讲几何概型一、选择题1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，即x ≤1，故所求的概率为( ) A.45B.35C.25D.15解析在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，且x ≤1，即－2≤x ≤1，故所求的概率为P ＝35. 答案 B2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( ) A.π3B.πC.2πD.3π解析设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得S S ′＝13，则S ＝3π.答案 D3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14解析由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34，故选A. 答案 A4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8解析设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4. 答案 B5.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12B.1－π12C.π6D.1－π6解析设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部. ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.答案 B6.已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16B.13C.12D.23解析如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.答案 C7.设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.故选D.答案 D8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A.14B.316C.916D.34解析由x ，y ∈[0，4]知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A (4，2)，S 正方形＝16， S 阴影＝（2＋4）×42＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.答案 D9.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( ) A.78B.34C.12D.14解析当点P 到底面ABC 的距离小于32时， V P －ABC ＜12V S －ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.答案 A10.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析因为复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )且|z |≤1，所以|z |＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，即点(x ，y )在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y ≥x表示直线y ＝x 左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，即P ＝14·π·12－12×1×1π·12＝14－12π. 答案 D 二、填空题11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去. 当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3. 答案 312.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.解析因为VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16. 答案 1613.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x－5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.解析直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3.则|5k －0|k 2＋1＜3，解之得－34＜k ＜34，故所求事件的概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－（－1）＝34.答案 3414.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.解析顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1.答案4π－1 15.在区间[－1，4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( ) A.12B.13C.25D.35解析由2x －x 2≥14，得－1≤x ≤2.又－1≤x ≤4. ∴所求事件的概率P ＝2－（－1）4－（－1）＝35.答案 D16.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km ，大圆的半径为4 km ，卫星P 在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为( ) A.112B.512C.13D.15解析根据几何概型公式，小于3km 的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P (A )＝5π12π＝512. 答案 B17.已知平面区域D ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y ＝kx (k ∈R )下方的概率为( ) A.12B.13C.23D.34解析由题设知，区域D 是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y ＝kx 将其面积平分，如图，故所求概率为12.答案 A18.(2017·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( ) A.1πB.2πC.13D.23解析由0≤sin x ≤12，且x ∈[0，π]，解之得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.故所求事件的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－56π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0π－0＝13.答案 C19.(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117B.217C.317D.417解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217. 答案 B20.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.23B.13C.89D.π4解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13，故点P 到O 的距离大于1的概率为23. 答案 A21.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A.p 1<p 2<12 B.p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1D.p 1<12<p 2解析 (x ，y )构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x ＋y ≤12的区域如图1中阴影部分所示，所以p 1＝12×12×121×1＝18，满足xy ≤12的区域如图2中阴影部分所示，所以p 2＝S 1＋S 21×1＝12＋S 21＞12，所以p 1＜12＜p 2，故选D.答案 D22.在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( ) A.1－π8 B.1－π4 C.1－π2D.1－3π4解析由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，可得Δ＝(2a 2)－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. 答案 B23.(2017·安徽江南名校联考)AB 是半径为1的圆的直径，M 为直径AB 上任意一点，过点M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率是________. 解析依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，因此相应的点M 应位于线段AB 上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12. 答案 1224.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.解析由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127. 答案 12725.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×（12）2π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×（14）2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 答案 131626.随机地向半圆0＜y ＜2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为________.解析由0＜y ＜2ax －x 2(a ＞0). 得(x －a )2＋y 2＜a 2. 因此半圆域如图所示.设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.1 2＋1π答案。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题6.3 几何概型(原卷版)

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．考向二面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【套路总结】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．【套路总结】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．考向三体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【举一反三】1．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．【套路总结】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．考向四角度【例4】如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【举一反三】1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________．1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．34π- B ．332π-C ．334π-D ．33π-【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（）A ．140B ．1121C ．1364D ．110933．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（）A ．12 B ．13 C ．14 D ．234．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（）A ．25 B ．35 C ．15 D ．235．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ．866B ．500C ．300D ．1346．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC =15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角ΔCDE 中（阴影部分）的概率是（）A ．√32B ．34C ．23D ．√227．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（）A ．310B ．23C ．35D ．458．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π9．在区间[0,2]π上随机取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（） A ．13B ．12C ．23 D ．．3410．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（） A ．23B ．34C ．25D ．1311．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.6412．如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1πB．12πC．1142π-D．112π-13．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）.A．215πB．320πC．2115π-D．3120π-14．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )A．2π332(π3)--B．32(π3)-C ．32(π3)+D ．2π332(π3)-+15．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．12B ．13C ．24D ．2316．如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设33DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（）A ．37B ．217C ．413D ．2131317．关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对()(),y 01,01x x y <<<<；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值.那么可以估计π的值约为（）A ．m nB ．n mn- C ．()4n m n- D ．4mn18．如图，矩形ABCD 满足2BC AB =，E 为BC 的中点，其中曲线为过,,A D E 三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A ．16B ．13C ．14D ．24π-19．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．3420．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．332π-B ．634π-C ．33πD ．63π21．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形（阴影部分）放在圆内，现在向圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（）A ．11π- B ．1π C ．2π D ．41π-22．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：3 2.09460.8269≈）（）A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.141323．在区间[]4,4-上任取一个实数a ，使得方程22123x y a a +=+-表示双曲线的概率为（） A ．18 B ．14 C ．38 D ．5824．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（）A ．1325B ．35C ．1225πD ．35π25．一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为________.。

2020版高考数学一轮复习-第6讲几何概型教案(理)(含解析)新人教A版

第6讲几何概型基础知识整合1．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A)＝□04构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．(2019·大连模拟)在长为6 m 的木棒上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B解析将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.3．(2019·衡水中学调研)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.π4 B.π8 C.π6 D.π12答案 C解析设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.4．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．答案 35解析本题可以看成向区间[0,5] 内均匀投点，设A ＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P (A )＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析由题意知m >0，当0<m <2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －－m 4－－2＝56，解得m ＝52(舍去)；当2≤m <4时，所求概率为m －－24－－2＝56，解得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不符合题意，故m ＝3.6．(2019·保定调研)在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x －1的概率是________．答案 78解析点(x ，y )分布在如图所示的正方形区域内，画出x －y －1≤0表示的区域(图中阴影部分)，可知所求的概率为1－124＝78.核心考向突破考向一与长度有关的几何概型例1 (1)(2019·上海模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，则直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点的概率为( )A.29B.36C.13D.33 答案 D解析圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y ＝k (x －2)的距离为|2k |k 2＋1.要使直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，则需|2k |k 2＋1<1，解得－33<k <33，所以在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点的概率P ＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫－331－－1＝33.故选D.(2)(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案 59解析由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比． 2求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.即时训练 1.(2019·河南濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )A.215 B.715 C.35 D.1115答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m ≥0，∴m ≤－4或m ≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115.故选D.2．(2019·湖北武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( )A.14B.12C.13D.34答案 A解析设MP＝x cm,0<x<16，则NP＝(16－x) cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝416＝14.故选A.考向二与面积有关的几何概型角度1 与平面图形面积有关的问题例2 (2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案 A解析不妨取AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积为S △ABC ＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p 1＝p 2.故选A.角度2 与线性规划交汇的问题例3 (2019·湖北联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14B.316C.619D.34 答案 D解析如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x ＋2y ≤8(x ，y ∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P ＝4×4－12×4×24×4＝34.故选D.角度3 与定积分交汇的问题例4 (2019·甘肃武威阶段考试)如图所示的阴影区域由x 轴、直线x ＝1及曲线y ＝e x－1围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是( )A.1eB.1e －1C ．1－1eD ．1－1e －1答案 B解析由题意，阴影部分的面积为⎠⎛01(e x－1)d x ＝(e x－x )|10＝e －2，∵矩形区域OABC 的面积为e －1，∴该点落在阴影区域的概率是e －2 e －1，故该点落在非阴影区域的概率为1e －1.触类旁通求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．即时训练 3.(2019·四川成都模拟)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A.3π10 B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20答案 D解析直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3. ∴内切圆的面积为πr 2＝9π， ∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20.4．(2019·四川宜宾模拟)向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为________．答案 18解析由题意可知阴影部分的面积为2⎠⎛01x 3d x ＝2×14x 4⎪⎪⎪1＝12，所以所求概率为P ＝122×2＝18. 5．(2019·福建三明模拟)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2－y 2b 2＝1表示离心率小于5的双曲线的概率为________．答案 78解析 ∵双曲线的离心率小于5，∴1<e<5，∴1<c a<5，∴1<1＋b 2a 2<5，∴0<b 2a2<4，得b <2a (a >0，b >0)．它对应的平面区域如图中阴影部分所示，根据几何概型概率公式，得所求概率为P ＝12×3＋4×24×2＝78. 考向三与体积有关的几何概型例5 (1)(2019·厦门模拟)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝2π3，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－2π38＝1－π12.故选B.(2)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析圆柱的体积V 柱＝πR 2h ＝2π，半球的体积V 半球＝12×43πR 3＝2π3.∴圆柱内一点P到点O 的距离小于等于1的概率为13.∴点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．即时训练 6.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V三棱锥P －ABC<12V 三棱锥S －ABC的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78. 考向四与角度有关的几何概型例6 (1)如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.23答案 D解析依题意可知∠AOC ∈[15°，75°]，∠BOC ∈[15°，75°]，故OC 活动区域为与OA ，OB 构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.P (A )＝OC 活动区域的圆心角度数∠AOB 的度数＝60°90°＝23. (2)(2019·鞍山模拟)过等腰Rt△ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，求AD <AC 的概率．解在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE (如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD <AC .易知∠ACE ＝67.5°，∴AD <AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75.触类旁通与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度. 2解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算.即时训练 7.如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM<1的概率．解因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝AD tan60°＝1，∠BAD ＝30°. 记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.。

2020届高三理数一轮讲义：11.6-几何概型(含答案)

第6节几何概型最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.知识梳理1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3.几何概型的概率公式.P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.().()(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是110(3)概率为0的事件一定是不可能事件.()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B ).答案A3.(必修3P146B4改编)如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD 内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为____________.解析由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S ，由几何概型概率公式可得S 4＝30200，∴S ＝0.6.答案0.64.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.答案B5.(2018·深圳模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.18B.16C.127D.38解析由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p ＝127.答案C6.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则()A.p 1＝p 2B.p 1＝p 3C.p 2＝p 3D.p 1＝p 2＋p 3解析不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×（2）22－S 1＝π－2.区域Ⅱ的面积为S 2＝－S 3＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3.答案A考点一与长度(角度)有关的几何概型【例1】(1)(2019·孝感期末)在区间[－1，4]内任取一个实数a ，使得关于x 的方程x 2＋2＝a 有实数根的概率为()A.23B.25C.35D.34(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.解析(1)若方程x2＋2＝a有实根，可知a－2≥0，即a≥2，那么p＝4－24－（－1）＝2 5 .(2)连接AC，如图所示tan∠CAB＝CBAB＝13＝33，所以∠CAB＝π6，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率p＝∠CAB∠DAB＝π6π2＝13.答案(1)B(2)1 3规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.2.(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求p＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.【训练1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.1 3B.12C.23D.34(2)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在π6角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.解析(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率p ＝10＋1040＝12.(2)因为射线OA 在坐标系是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为p ＝π2－π62π＝16.答案(1)B(2)16考点二与面积有关的几何概型多维探究角度1与平面图形面积有关的问题【例2－1】(1)(2019·烟台诊断)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.14 B.18C.38D.316(2)(2018·黄冈、黄石联考)若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是()A.29B.13C.23D.79解析(1)不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为1，1，2，两个大等腰直角三角形的边长为2，2，22，即最大正方形的边长为22，则较大等腰直角三角形的边长分别为2，2，2，故所求概率p ＝1－12×2×2＋1×1×2＋12×22×228＝18.(2)设第一天工作的时间为x 小时，第二天工作的时间为y≤x ≤9，≤y ≤9，因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以x ＋y2≥7，即x ＋y ≥14≤x ≤9，≤y ≤9表示的区域面积为9，其中满足x ＋y ≥14的区域面积为9－12×2×2＝7，∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是79.答案(1)B (2)D角度2与线性规划有关的问题【例2－2】(2019·福州期末)关于x ，y≤4，≥2，－y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的平面区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为()A.π16B.π8C.14D.12解析关于实数x ，y≤4，≥2，－y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，面积为12×4×4＝8，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的区域记为N ，且满足不等式组≤4，≥2，－y＋2≥0的面积为12π，所以在M内随机取一点，则该点取自N的概率为12π8＝π16.答案A角度3与定积分有关的问题【例2－3】如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.解析由题意知，阴影部分的面积S＝错误!(4－x2)d xx－13x21＝53，所以所求概率p＝SS矩形ABCD＝531×4＝512.答案512规律方法(1)几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；(2)几何概型与线性规划的交汇问题：先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率；(3)几何概型与定积分的交汇问题：先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.【训练2】(1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14 B.π8C.12D.π4(2)(2018·石家庄调研)x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是()A.14B.34C.13D.23解析(1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4.又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π.所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率p ＝S 黑S 正方形＝π8.(2)x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0表示的平面区域(即△ABC )，其面积为4.事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3.所以事件A 发生的概率是34.答案(1)B (2)B考点三与体积有关的几何概型【例3】(1)在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是________.(2)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________.解析(1)“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A ，则P (A )＝取出的水的体积所有水的体积＝15.从而所求的概率为15.(2)设四棱锥M －ABCD 的高为h ，由于S 正方形ABCD ＝1，V 正方体＝1，且h 3S 正方形ABCD <16.∴h <12，则点M 在正方体的下半部分，故所求事件的概率p ＝12V 正方体V 正方体＝12.答案(1)15(2)12规律方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.【训练3】已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是()A.78B.34C.12D.14解析由题意知，当点P 在三棱锥的中截面A ′B ′C ′以下时，满足V P －ABC <12V S －ABC ，又V 锥S －A ′B ′C ′＝12×14V 锥S －ABC ＝18V 锥S －ABC .∴事件“V P －ABC <12V S －ABC ”的概率P ＝V 台体A ′B ′C ′－ABC V 锥S －ABC ＝V 锥S －ABC －V 锥S －A ′B ′C ′V 锥S －ABC＝78.答案A[思维升华]1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个.2.判断几何概型中的几何度量形式的方法：(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系.(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域.[易错防范]1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关.2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值.这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据，如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图所示，向圆内随机投掷一点，那么该点不落在正六边形内的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)()A.0.16B.0.17C.0.18D.0.19解析设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为6×12×r ×32r ＝332r 2，因而所求概率为1－332r 2πr 2＝1－332π≈0.17.答案B2.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为()A.12 B.14C.16D.18解析由图形的对称性知，所求概率为14π×12π×12＝14.答案B3.(2018·潍坊一中质检)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 121”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14解析由－1≤log 121，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 121”发生的概率为322＝34.答案A4.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()A.π8 B.π16C.1－π8D.1－π16解析正方形的面积为82＝64，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为64－8π，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率p ＝64－8π64＝1－π8.答案C5.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为()A.13B.23C.34D.14解析设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则p 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13.故点P 到点O 的距离大于1的概率p ＝1－13＝23.答案B6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为()A.5000B.6667C.7500D.7854解析S 阴影＝S 正方形－错误!x 2d x ＝1－13＝23，所以有23＝S 阴影S 正方形＝n 10000，解得n ≈6667.答案B7.(2019·西安调研)若函数f(x)x，0≤x<1，x＋e，1≤x≤e在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A.1 eB.1－1eC.e 1＋eD.1 1＋e解析当0≤x<1时，恒有f(x)＝e x<e，不满足题意.当1≤x≤e时，f(x)＝ln x＋e.由ln x＋e≥e，得1≤x≤e.∴所求事件的概率p＝e－1 e＝1－1 e .答案B8.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4n mB.2nmC.4mnD.2mn解析如图，数对(x i，y i)(i＝1，2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知p＝S扇形S正方形＝14πR2R2＝π4，又p＝mn，所以π4＝mn，故π＝4m n.答案C二、填空题9.在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________.解析∵点M在直角边BC上是等可能出现的，∴“测度”是长度.设直角边长为a，则所求概率为33aa＝33.答案3 310.记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率是________.解析由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3].故所求事件的概率p＝3－（－2）5－（－4）＝59.答案5 911.≤0，≥0，－x－2≤0确定的平面区域记为Ω1，＋y≤1，＋y≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，易知－1 2，由几何概型的概率公式，所求概率p＝S四边形OACDS△OAB＝2－142＝78.答案7812.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________.解析因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为V A －A 1BD V 长方体＝16.答案16能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·西北工大附中调研)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为()A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析由|z |≤1得(x －1)2＋y 2≤1，由题意作图如图所示，则满足条件的区域为图中阴影部分，∴y ≥x 的概率为π4－12π＝14－12π.答案D14.(2019·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是()A.14B.13C.23D.12解析以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12.答案D15.＋y －4≤0，>0，>0内随机取一点(a ，b )，则函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________.解析不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及边界AB (不包括边界OA ，OB )，则S △AOB ＝12×4×4＝8.函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a >0，且x ＝4b2a ≤1>0，≥2b ，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC ，BC ，不包括边界OB )＝2b ，＋b －4＝0，解得a ＝83，b＝43，所以S △COB ＝12×4×43＝83为838＝13.答案1316.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1h ，乙船停泊时间为2h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________.解析设甲、乙两艘船到码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h 以上或乙比甲早到达2h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}. A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝（24－1）2×12＋（24－2）2×12242＝506.5576＝10131152.答案1013 1152。

【必备】2020年高考数学一轮复习高分点拨专题6.3 几何概型(文理科通用)(学生版)

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．考向二面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．考向三体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【举一反三】1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．考向四角度【例4】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．【举一反三】1．在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则AM>AC的概率为________．1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A B ．3π C ．3π-D2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（） A ．140B ．1121C ．1364D ．110933．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在⎫⎪⎪⎝⎭之内的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．234．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（） A ．25 B ．35 C ．15 D ．235．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ．866B ．500C ．300D ．1346．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC =15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角ΔCDE 中（阴影部分）的概率是（）A ．√32B ．34C ．23D ．√227．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（）A ．310B ．23C ．35D ．458．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（） A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π9．在区间[0,2]π上随机取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（） A ．13B ．12C ．23 D ．．3410．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（） A ．23B ．34C ．25D ．1311．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.6412．如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．1πB ．12πC ．1142π-D ．112π-13．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）. A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-14．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )ABCD15．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．12B ．13C ．4D ．316．如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设33DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（）A ．37B ．7C ．413D17．关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对()(),y 01,01x x y <<<<；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值.那么可以估计π的值约为（） A ．m nB ．n mn- C ．()4n m n- D ．4mn18．如图，矩形ABCD 满足2BC AB =，E 为BC 的中点，其中曲线为过,,A D E 三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A ．16B ．13C ．14D ．24π-19．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．3420．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．2-B ．4-C D21．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形（阴影部分）放在圆内，现在向圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（）A ．11π- B ．1πC ．πD ．41π-22．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269 2.0946≈）（）A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.141323．在区间[]4,4-上任取一个实数a ，使得方程22123x ya a +=+-表示双曲线的概率为（）A ．18B ．14C ．38D ．5824．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（） A ．1325B ．35C ．1225πD ．35π25．一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为________.。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《几何概型》

第六节几何概型知识点一几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．1．判断正误(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．(√)(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．(×)解析：(1)正确．根据几何概型的概念可知正确．(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等． (3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状无关．(4)错误．几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．知识点二几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2．(2019·安徽质量检测)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( D )A.23B.58C.13D.38解析：该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P ＝1540＝38，故选D.3．(2019·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( D )A.3π10B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20解析：如图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20.选D.4．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 与点O 的距离大于1的概率为1－π12.解析：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与点O 的距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V 1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P 与点O 的距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3.根据几何概型概率公式，得点P 与点O 的距离大于1的概率P ＝23－2π323＝1－π12.1．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．考向一与长度、角度有关的几何概型【例1】 (1)(2018·贵阳市监测考试)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为( )A.15B.710C.12D.310(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以点A 为圆心，1为半径作弧，交线段AB 于点E ，在DE 上任取一点P ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【解析】 (1)由几何概型的概率计算公式可知所求概率P ＝10－710＝310，故选D.(2)如图，连接AC ，交圆弧DE 于点P ，则tan ∠CAB ＝13＝33，∴∠CAB ＝30°，∵射线AP 与线段BC 有公共点的条件是射线AP 在∠CAB 内，∴所求概率为30°90°＝13.【答案】 (1)D (2)13(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解.解题的关键是构建事件的区域(长度).(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.(1)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是59.(2)如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，它的长度小于或等于半径长的概率为13.解析：(1)由6＋x －x 2≥0解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，故所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59. (2)当AA ′的长度等于半径的长度时，∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得所求概率P ＝2π32π＝13. 考向二与面积有关的几何概型方向1 与平面几何有关的几何概型【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3【解析】解法1：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×(c 2)2＋12π×(b 2)2－[π×(a 2)22－12bc ]＝18π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故选A.解法2：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－[π×(2)22－2]＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.【答案】 A方向2 与线性规划有关的几何概型【例3】两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是( )A.1136B.14C.12D.34【解析】因涉及两人见面时间，故考虑到是几何概型，建立坐标系列出满足条件的式子，计算出最终的概率．因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成，以5：30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系．设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤30,0≤y ≤30}，画成图为一正方形，见面的充要条件为|x －y |≤15，即事件A 可以见面所对应的区域是图中的阴影部分，故由几何概型概率公式知所求概率为面积之比，即P (A )＝302－152302＝34.故选D.【答案】 D方向3 与随机模拟有关的几何概型【例4】从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2n m C.4m nD.2m n【解析】设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤1，0≤y n≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn .故选C.【答案】 C求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．1．(方向1)(2019·湖南郴州质量检测)如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( C )A.π8B.π16 C ．1－π8D ．1－π16解析：如题图，设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意可知，8r ＝8，即r ＝1.∴图中黑色区域的面积为：S 1＝8×8－π×42＋4×π×12＋π×22＝64－8π，又正方形的面积S ＝64.∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率P ＝S 1S ＝64－8π64＝1－π8.故选C.2．(方向2)设点(a ，b )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －4≤0，a >0，b >0表示的平面区域内，则函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数的概率为( A )A.13 B.23 C.12D.14解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．若函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则⎩⎨⎧a >0，－－2b 2a ＝b a ≤12，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －2b ≥0，可得满足条件的平面区域为△OBC .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －4＝0，a －2b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝83，b ＝43，即C 83，43，则S △OBC ＝12×4×43＝83，又S △OAB＝12×4×4＝8，故所求概率P ＝S △OBC S △OAB ＝838＝13，故选A.3．(方向3)(2019·河南濮阳一模)如图所示的长方形的长为2、宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( B )A.n mB.2n mC.m nD.m 2n解析：长方形的面积为2，图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为n m ，故图中飞鸟图案的面积约为2nm .故选B. 考向三体积型几何概型【例5】一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为()A.34B.23C.13D.12【解析】由题图可知V F -AMCD ＝13×S AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF -BCE＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.【答案】 D与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为( C )A.913πB.113πC.913169πD.13169π解析：由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为32的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r 为三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的体对角线，即2r ＝42＋(32)2＋(32)2＝213，所以球的体积为5213π3，所以点落在四面体内的概率为125213π3＝913169π.。

2020届高考数学一轮复习第10章第3节几何概型

第三节几何概型[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[常用结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． ()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19. ()[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D ．1B [坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A B C DA [∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．] 4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________．12[在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h ＜12.即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12.]5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．0.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45C [设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.]2．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59[由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．34[过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.]►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.π8 C.12D.π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8. 故选B.]►考法2 与线性规划知识交汇命题的问题【例2】在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A.14 B.12C.23 D.34A[依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝S阴影S正方形＝12×12×112＝14.]＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是()A．1－π4 B.π4C.π－32 D.π2－1(2)在满足不等式组⎩⎨⎧x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0－2x0”，那么事件A发生的概率是()A.14 B.34C.13 D.23(1)A(2)B[(1)方程有实数根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.]P ，使得V P -ABC ＜12V S -ABC 的概率是( )A.78 B.34 C.12D.14A [当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.]2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为( )A.34 B.23 C.13D.12D [由题图可知V F -AMCD＝13×S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF -BCE＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.]1．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34B [如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.]2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.310B[如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4mn D.2mnC[因为x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.]。

2020届高中数学一轮复习北师大版第3讲几何概型学案Word版

第3讲几何概型[最新考纲]1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义.知识梳理几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．(3)公式：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).辨析感悟1．对几何概型的理解(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)2．几何概型的计算(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19.(×)(5)(2018·福建卷改编)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为13.(√)[感悟·提升]1．一个区别“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．2．一点提醒几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，如(3).学生用书第186页考点一与长度、角度有关的几何概型【例1】 (1)(2018·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.(2)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．解析 (1)由题意知m ＞0，当m ≤2时，满足|x |≤m 的概率为m －(－m )4－(－2)＝2m 6＝56，解得m ＝52(舍去)．当2＜m ≤4时，所求概率为m ＋26＝56，∴m ＝3. (2)∵∠B ＝60°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝75°，在Rt △ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°， ∴BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25. 答案 (1)3 (2)25规律方法解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．【训练1】 (1)(2018·淄博二模)设P 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( )． A.15B.25C.35D.45(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．解析 (1)方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为5－25－0＝35.(2)因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域h 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13.答案 (1)C (2)13考点二与面积有关的几何概型【例2】 (1)(2018·陕西卷)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )．A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4(2)(2018·北京卷)设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )． A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4解析 (1)依题意知，有信号的区域面积为π4×2＝π2，矩形面积为2，故无信号的概率P ＝2－π22＝1－π4.(2)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.故选D. 答案 (1)A (2)D规律方法数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.【训练2】已知x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )．A.316B.38C.34D.32解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为12×32×1＋12×32×1＝32，则所求概率为322×2＝38.答案 B考点三与体积有关的几何概型【例3】在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．审题路线画出正方体⇒找出以点O 为中心且到O 点的距离等于1的几何体(球)⇒利用球的体积公式及几何概型的概率公式求解．解析点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12.答案 1－π12规律方法很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．【训练3】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________ 解析当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.答案 121．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．学生用书第187页教你审题11——几何概型中有关平面几何的“临界点”的探求【典例】 (2018·湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( )． A.12 B.14 C.32 D.74[审题] 一审条件：在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ；二审过程：如何确定△APB 的最大边是AB ？找出BP ＝AB 与AP ＝AB 的“临界点”；三审结论：要求ADAB ，利用直角三角中的勾股定理找出AD 与AB 的关系式．解析矩形ABCD 如图所示，在点P 从D 点向C 点运动过程中，DP 在增大，AP 也在增大，而BP 在逐渐减小，当P 点到P 1位置时，BA ＝BP 1，当P 点到P 2位置时，AB ＝AP 2，故点P 在线段P 1P 2上时，△ABP 中边AB 最大，由已知事件发生的概率为12可得P 1P 2＝12CD .在Rt △BCP 1中，BP 21＝916CD 2＋BC 2＝916AB 2＋AD 2＝AB 2.即AD 2＝716AB 2，所以AD AB ＝74.答案 D[反思感悟] (1)解决有关长度、角度、面积、体积的几何概型问题，关键是动点的轨迹的判断，在“动”中求“静”，也就是找出符合题设条件的“临界点”． (2)此类试题常与平面几何图形、不等式组表示的平面区域、直线与圆等知识综合考查，难度稍大．【自主体验】已知M ：⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，定点A (3,1)，在M 内任取一点P ，使得P A ≤2的概率等于________．解析如图所示，区域M 是一个边长为2的正方形，其面积为S ＝22＝4；满足P A ≤2的点P 在以点A (3,1)为圆心，2为半径的圆内．如图，作出圆A ，则扇形ABC 的圆心角∠BAC ＝π2，故扇形ABC 的面积S 1＝14×π×(2)2＝π2，S △ABC ＝S 2＝12×AB ×AC ＝12×2×2＝1，所以阴影部分弓形的面积S 3＝S 1－S 2＝π2－1. 所以所求事件的概率为P ＝S 3S ＝π2－14＝π－28. 答案 π－28能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1. 如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为( )．A.15B.14C.13D.12解析如图，在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不在半圆弧上时，MN ＞2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12.答案 D2．(2018·湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．A.12－1πB.1π C ．1－2π D.2π解析如图，设OA ＝2，S 扇形AOB ＝π，S △OCD ＝12×1×1＝12，S 扇形OCD ＝π4，∴在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率P ＝π－1×2π＝1－2π.答案 C二、填空题3．(2018·烟台二模)已知正三棱锥S －ABC 的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <12V S －ABC 的概率是________．解析三棱锥P －ABC 与三棱锥S －ABC 的底面相同，V P －ABC <12V S －ABC 就是三棱锥P －ABC 的高小于三棱锥S －ABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC 的面积为S ，三棱锥S －ABC 的高为h ，则所求概率为：P ＝13Sh －13×14S ×12h 13Sh ＝78.答案 78三、解答题4．设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A ，B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎨⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎨⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎨⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎨⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.。

人教A版高中数学必修三第一轮复习强化训练几何概型新人教

11.3 几何概型【考纲要求】1、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2、了解几何概型的意义.【基础知识】1、几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

（2）特点：①结果的无限性②每个结果发生的等可能性（3）几何概型的解题步骤首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式构成事件A的区域长度P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。

2、求事件的概率计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式。

3、温馨提示求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。

一般与线性规划知识有联系。

【例题精讲】例1 在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝12x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．解析：f′(x)＝32x2＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f(x)＝12x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－12－a－b)(12＋a－b)<0，则(12＋a＋b)(12＋a－b)>0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤10≤b≤112＋a－b>012＋a＋b>0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b <0，12＋a ＋b <0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.例2 将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)的概率．解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1－x －y ，则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x ，y ) |0＜x ＜1,0＜y ＜1,0＜x ＋y＜1}，此区域面积为12.事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”所对应的几何区域可表示为A ＝{(x ，y )|(x ，y )∈Ω，x ＜a ，y ＜a,1－x －y ＜a }．即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a ≤12时，为(3a －1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P ＝(3a －1)2/21/2＝(3a －1)2；当12≤a ≤1时，为12－3(1－a )22.此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P ＝1－3(1－a )2.11.3 几何概型强化训练【基础精练】1.如图所示，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为a 3，a2，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是( )A.710 B.57 C.512 D.582.如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( )A.12B.32C.13D.143．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.124．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C. 34D.785.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( ) A.235 B.215 C.195 D.1656.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 ( )A.18B.14C.12D.34 7．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．8．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________． 9．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．10．设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤y ≤6.表示的区域为A ，不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤6，x －y ≥0.表示的区域为B .(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．11．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．【拓展提高】已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．【基础精练参考答案】1.C[【解析】：S 梯形＝12(a 3＋a 2)·b ＝512ab ，S 矩形＝ab .∴P ＝S 梯形S 矩形＝512. 2.C 【解析】：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′=3π ，由圆的对称性及几何概型得P =213.23ππ=3.C 【解析】：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14.4.C 【解析】：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.由题意知|x -y |＜12，所以所求概率为P =111123222.14-⨯⨯⨯= 5.A 【解析】：据题意知：S 阴S 矩＝S 阴2×5＝138300，∴S 阴＝235. 6.A 【解析】：P ＝45360＝18. 7.29解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U =18，S A =4，则点P 落入区域A 的概率为29A U S S =. 8.59【解析】：如图，由题意，△PBC 的面积小于3，则点P 应落在梯形BCED 内，∵2113ABC ADE S S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴S △ADE =4，∴S 梯形BCED =5，∴P =59. 9.6【解析】：60×(1－910)＝6分钟．10.解：(1)设集合A 中的点(x ， y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18， ∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝12.(2)设点(x ，y )在集合B 中为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B 中的点有21个，故P (N )＝2136＝712.11.解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎨⎧⎭⎬⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|2300,0x x x y +-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤≥≥其图形如图中的三角形OAD (阴影部分) 又直线x +2y -3=0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，23)， ∴三角形OAD 的面积为S 1=1343.229⨯⨯= ∴所求事件的概率为P =1934.1216S S ==【拓展提高参考答案】(2)m 、n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P =112772=.。

2020届高三数学一轮复习《几何概型》学案

《几何概型》学案【考纲要求】1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义．【知识梳理】 1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积、体积，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点①无限性：每次试验的基本事件个数是的． ②等可能性：每个事件发生的概率是的． 3．几何概型的计算公式()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．【基础自测】1．（2019荆州质检）利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是（） A ．12B ．23C ．13D ．142．(2019芜湖模拟)广州高铁站芜湖至A 地上午发车时间分别为7:00，8:00，8:30，小明需在当天乘车到A 地参加一高校自主招生，他在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（） A ．13 B ．12 C ．23 D ．343．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A ．14 B ．π8 C ．18 D ．π44．（2019南昌模拟）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（） A ．827 B ．271 C ．2627 D ．1527 【典例剖析】考点一与长度（角度）有关的几何概型【例1】(2019广州质检)在区间[1,5]-上随机取一个实数a ，则方程22430x ax a -+-=有两个正根的概率是（） A ．23 B ．21 C ．38 D ．13【方法技巧】（1）与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．（2）与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．【变式】（2019襄阳联考）在Rt ABC ∆中，60B ∠=o过直角顶点A 在BAC ∠内随机作射线AD ，交斜边BC 于点D ，则BD BA >的概率为（） A ．13 B ．12 C ．23D ．34考点二与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形面积有关的问题【例2】（2018新课标Ⅰ）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+【变式】（2019郑州调研）如图，圆C 内切于扇形AOB , 3AOB π∠=,若向扇形AOB 内随机投掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（） A ．450 B ．400 C ．200 D ．100命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题【例3】（2019山西八校）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（） A ．425 B ．825C ．2425 D ．1625OABCg【变式】（2019汕头质检）假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6:007:00:之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6:307:30:之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）【方法技巧】求解与面积有关的几何概型解题策略关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．考点三与体积有关的几何概型【例4】（2019河师附中）在球O 内任取一点P ，则P 点在球O 的内接正四面体中的概率是（） A ．112πBC ．D【方法技巧】与体积有关的几何概型解题策略关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【变式】(2019济南模拟)如图，长方体1111ABCD A B C D -中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥1A A BD -内的概率为________．AD CB D 1A 1C 1D C BAB 1。

2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第59讲几何概型

P(A)＝ 5 5第 5 讲几何概型1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）导师提醒关注两个易错点在几何概型中，如果 A 是确定事件，(1)若 A 是不可能事件，则 P(A)＝0 肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是 0，则它出现的概率为 0，显然它不是不可能事件，因此由 P(A)＝0 不能推出 A 是不可能事件．(2)若 A 是必然事件，则 P(A)＝1 肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是 1，但它不是必然事件，因此由 P(A)＝1 不能推出 A 是必然事件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． ( )(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×某路公共汽车每 5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过 2 分钟的概率是()A. 3 5 4B.2 C.D. 1 5解析：选 C.试验的全部结果构成的区域长度为 5，所求事件的区域长度为 2，故所求概率为P＝.A.πB．1－ C.D．1－S阴影2－面积的比，即所求概率P＝＝＝1－.S长方形ABCD＝1.V长方体ABCD-A1B1C1D1＝AA1S△ABDV长方体ABCD-A1B1C1D1＝＝1.25已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()πππ4488解析：选B.如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分面积与长方形π2π24如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析：根据题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为60°360°6答案：16(教材习题改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为________．解析：设事件M为“动点在三棱锥A-A1BD内”，则P(M)＝V三棱锥A-A1BD V三棱锥A1ABDV长方体ABCD-A1B1C1D1＝13113AA12S矩形ABCDAA1S矩形ABCD6答案：16与长度(角度)有关的几何概型(师生共研)(1)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D，在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率是________．.故填.(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB，所以P(AM<AC)＝∠ACC′＝3.132解析：选A.令t＝2，函数有零点就等价于方程t－2at＋1＝0有正根，进而可得⎨t＋t>0⎩t t>0(2)在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C.①在斜边AB上任取一点M，求AM<AC的概率；②在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．【解】(1)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝5599(2)①如图所示，在AB上取一点C′，使AC′＝AC，连接CC′.由题意，知AB＝2AC.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.所以P(AM<AC)＝AC′＝AC＝2.AB2AC2②由于在∠ACB内以C为端点任作射线CM，所以CM等可能分布在∠ACB内的任一位置∠ACB＝π－2ππ442与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．1．从区间[－2，2]中随机选取一个实数a，则函数f(x)＝4x－a·2x＋＋1有零点的概率是()A.141B.1C. D.23⎧Δ≥0x21212a≥1，又a∈[－2，2]，所以函数有零点的实数a应满足a∈[1，2]，故P＝，选A. 120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇3730°，所以扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝1.3π433Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×⎝2⎭＋π×⎝2⎭－142.(2019·长春市普通高中质量检测(二))如图，扇形AOB的圆心角为13形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A.141B.2C. D.38解析：选A.设OA＝3，则AB＝33，所以AP＝3，由余弦定理可求得OP＝3，∠AOP＝3π3π44与面积有关的几何概型(多维探究)角度一与平面图形面积有关的几何概型(1)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2C．p2＝p3B．p1＝p3D．p1＝p2＋p3(2)(2019·潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是()A.141B.2C. D.34【解析】(1)法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域11⎛c⎫21⎛b⎫2222π×⎝2⎭ △ABC 的面积，为 S 1＝ ×2×2＝2，区域Ⅱ的面积 S 2＝π×12－⎢ －2⎥＝2，区域Ⅲ2的面积 S ＝－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p ＝p ＝ 2，p ＝ π＋2π＋2 ，所以 p ≠p ，p ≠p ，p ≠p ＋p ，故选 A.△BCG 中，由余弦定理得 1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos 120°，得 BG ＝ 3，所以 S＝1×BG ×BG 3 2 1 3 3 3＝ 3，因为 S13 3，23 × 3 ×＝S △ ×6＝ ×1×1×sin60°×6＝六边＝2.(2019· 河南洛阳模拟)已知 O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C ⎝5，－5⎭，动点 P(x ，y)满足 0≤OP ·OA ≤2 且 0≤OP ·OB ≤2，则点 P 到点 C 的距离大于的概率为________．因为 O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C ⎝5，－5⎭，动点 P(x ，y)满足 0≤OP OA ≤2 且 0≤OP OB ≤2，⎡ ⎛a ⎫2 ⎢ ⎣ 2 ⎤ 1 1 1 －1bc ⎥＝8π(c 2＋b 2－a 2)＋2bc ＝2bc ，所以 S 1＝S 2，由几何概型的知识知 p 1＝p 2，故选2 ⎦A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则 BC ＝2 2，所以区域Ⅰ的面积即1 ⎡π×（ 2）2 ⎤ ⎣ ⎦π×（ 2）23 21 23π－21 323 1 2 3(2)设正六边形的中心为点 O ，BD 与 AC 交于点 G ，BC ＝1，则 BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG×sin 120°＝2× 212 2 2所以该点恰好在图中阴影部分的概率是 1－6S △BCGS 六边形ABCDEF3【答案】 (1)A (2)C角度二与线性规划交汇命题的几何概型⎛3 1⎫→ → → → 14【解析】⎛3 1⎫→ → → →⎧0≤2x ＋y ≤2， ⎧0≤2x ＋y ≤2，所以⎨ 如图，不等式组⎨ 对应的平面区域为正方形 OEFG 及其⎩0≤x －2y ≤2. ⎩0≤x －2y ≤2内部，|CP |>1对应的平面区域为阴影部分．4⎧x ＝5，由⎨解得⎨⎩2x ＋y ＝2⎩y ＝2，即 E ⎛ ， ⎫，所以|OE|＝⎛4⎫2＋⎛2⎫2＝2 5，则阴影部分的面积为4－，4－ π所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为＝1－ .【答案】1－5π4⎧x －2y ＝0，54 2⎝5 5⎭⎝5⎭ ⎝5⎭ 5所以正方形 OEFG 的面积为4，5π5 165 165π 4 64 564角度三与定积分交汇命题的几何概型(2019· 洛阳第一次联考)如图，圆 O ：x 2＋y 2＝π 2 内的正弦曲线y ＝sin x 与 x 轴围成的区域记为 M (图中阴影部分)，随机往圆 O 内投一个点 A ，则点 A 落在区域 M 内的概率是()A. 4 π 24 B.π 32 C.π 2D. 2 π 3【解析】由题意知圆 O 的面积为π3，正弦曲线 y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与 x 轴围成的区域⎪π记为 M ，根据图形的对称性得区域 M 的面积 S ＝2⎛πsin x d x ＝－2cos x ⎪ ＝4，由几何概型的概⎠⎪0 0率计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A ，则点 A 落在区域 M 内的概率 P ＝ 4，故选 B.π3【答案】 B角度四与随机模拟相关的几何概型从区间[0，1]随机抽取 2n 个数 x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成 n 个数对(x 1，mnD.2m⎧⎪0≤x n≤10≤yn≤1⎪⎩以＝＝m，所以π＝4m，故选C.1.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝，y＝－，y＝，8C.πD.π⎩82y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm2nB.4mC.n【解析】设由⎨构成的正方形的面积为S，x2＋y2＜1构成的图形的面积为S′所n nπS′4S1n n【答案】C与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的区域以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验的全部结果构成的平面图形，以便求解．11x xx，y＝－x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.141B.48解析：选A.根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1，选A.4⎧⎪f（2）≤12，2．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4，0≤c≤4.记函数f(x)满足条件⎨为⎪f（－2）≤4事件A，则事件A发生的概率为()A.145B.1C.解析：选C.由题意，得D.38表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为8＝1.82<VS ABC，故使得VP ABC<VS ABC的概率：＝7.B．1－6D．1－π⎧⎪4＋2b＋c≤12，⎧2b＋c－8≤0，⎨4－2b＋c≤4，即⎨2b－c≥0，⎪⎩0≤b≤4，⎩0≤b≤4，0≤c≤4，0≤c≤4162与体积有关的几何概型(师生共研)已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP 1ABC<2VS ABC的概率是()A.347B.1C. D.14【解析】由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足V P11ABC22大三棱锥的体积－小三棱锥的体积P＝大三棱锥的体积8【答案】B与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．1．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12π12πC.6解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点14π23－××13P到点O的距离大于1”为事件M，则P(M)＝＝1－.33解析：选D.因为V F AMCD＝×S3×DF＝a3，V ADF BCE＝a3，所以它飞入几何体44F-AMCD内的概率为＝1.223π23122．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F-AMCD内的概率为()A.342B.1C. D.121a312a31四边形AMCD112几何概型与实际问题的综合甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．【解】设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．22＝A.114230×30－2××15×15率计算公式得P(A)＝＝3.1055D.363π所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积（24－1）2×1＋（24－2）2×1＝506.5＝10132425761152.本例以几何概型为基础，把数学中的实际问题转化为几何概型，建立数学模型，从而解决实际问题．充分体现了数学建模能力的培养．两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是()361B.1C. D.34解析：选D.如图所示，以5：30作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见面，所构成的区域为A＝{(x，y)||x－y|≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概1230×304[基础题组练]1．(2019·河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是()A.363π363πmm2 B.mm2726πC.mm220mm2＝ 30 ×π×112＝ (mm 2)． 12C.πD ．1－ π3 C. 7 ⎧⎪sin x ＋cos x ≥ 2， ⎧sin ⎛ π⎫≥1，解得 0≤x ≤ ，故所求的概率为＝ 7 .π 12A. π16解析：选 A.向硬币内投掷 100 次，恰有 30 次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是 S363π 100 102．如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是 ()A ．1－4π4 π B. 12解析：选 A.鱼缸底面正方形的面积为 22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸π内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是 1－，故选 A.43．在区间[0，π ]上随机取一个数 x ，则事件“sin x ＋cos x ≥ 2 2”发生的概率为( )A. 1 2 1B. 12D. 2 3解析：选 C.由题意可得⎨2 即⎨⎝x ＋4 ⎭ 2⎪⎩0≤x ≤π，⎩0≤x ≤π，7π7π 12124.(2019· 湖南长沙模拟)如图是一个边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()8π B.C．1－π为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P＝＝1－，故选D.π解析：选A.y＝sin2x＝－cos2x，所以⎛π⎛－cos2x⎫d x＝⎛x－sin2x⎫⎪＝，区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}的面积⎠⎝22⎭⎝24⎭⎪0为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是＝1.故选A.∠CAB的度数＝30°2 45°37．(2019·安徽江南十校联考)在区间[0，1]上随机取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b 解析：函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，则Δ＝a2－b≥0，所以b≤a2，所以函数f(x)＝x2＋ax＋1b有零点的概率P＝⎛1a2d a＝18D．1－π16解析：选C.正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积82－8ππ828C.5．(2019·湘东五校联考)已知平面区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是()A.121B.πC.2π411221111⎪ππ2π2π2 6．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM<30°的概率为________．解析：如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM<30°)＝∠CAM的度数0＝.答案：2314有零点的概率是________．14答案：134⎠13内随机投掷一点，则该点落在 x 轴下方的概率 P ＝－ . 4π4π则 P(A)＝ 2 11＝，即向量 a ∥b 的概率为 .11为 × ×4－ ×2× 3＝－ 3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)＝46 4π 解：(1)圆 O 的周长为 4π，所以AB 的长度小于π的概率为＝ .4}，所以 P(M )＝4π－2π1(8．(2019· 唐山模拟)向圆(x －2)2＋(y － 3)2＝4 内随机投掷一点，则该点落在 x 轴下方的概率为________．解析：如图，连接 CA ，CB ，依题意，圆心 C 到 x 轴的距离为3，所以弦 AB 的长为 2.又圆的半径为 2，所以弓形 ADB 的面积π 2π 2 3 2 361 3答案：－9.如图所示，圆 O 的方程为 x 2＋y 2＝4.︵(1)已知点 A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB 的长度小于π 的概率；(2)若 N (x ，y)为圆 O 内任意一点，求点 N 到原点的距离大于 2的概率．︵2π 1 4π 2(2)记事件 M 为 N 到原点的距离大于 2，则 Ω M )＝{(x ，y)|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤210．已知向量 a ＝(2，1)，b ＝(x ，y)．(1)若 x ∈{－1，0，1，2}，y ∈{－1，0，1}，求向量 a ∥b 的概率；(2)若 x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量 a ，b 的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a ∥b ”为事件 A ，由 a ∥b ，得 x ＝2y .所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共 12个基本事件．其中 A ＝{(0，0)，(2，1)}，包含 2 个基本事件．12 66(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件 B ，由 a ，b 的夹角是钝角，可得 a · b <0，即 2x ＋y <0，且 x ≠2y .基本事件为⎧ ⎧－1≤x ≤2，⎫ ⎨（x ，y ）|⎨ ⎬所表示的区域， ⎩ ⎩－1≤y ≤1 ⎭×⎝2＋2⎭×2所以，P(B)＝＝1，即向量 a ，b 的夹角是钝角的概率是1.⎪⎪⎪⎩ ⎩2 C.3－ 3D. 2－ 3k 2＋（－1）2 ＝ 2|k| ，直线 l 与圆 C 相离时 d >r ，即 2|k| >1，解得 k <－ 3或 k > 3，故k 2＋1 k 2＋1 2×⎝1－＝ .1－（－1）3 3解析：选 D.以 PB ，PC 为邻边作平行四边形 PBDC ，则PB ＋PC ＝PD ，因为PB ＋PC ＋2 P A ＝0，所以PB ＋PC ＝－2P A ，得PD ＝－2P A ，由此可得，P △是 ABC 边 BC 上的中线 AO 的中2 2⎧ ⎧－1≤x ≤2， ⎫ B ＝⎨（x ，y ）|⎨－1≤y ≤1，⎬，⎪⎪2x ＋y <0，x ≠2y ⎪⎭如图，区域 B 为图中阴影部分去掉直线 x －2y ＝0 上的点，1 ⎛1 3⎫ 23×2 33[综合题组练]1．(2019· 河南正阳模拟)已知圆 C ：x 2＋y 2＝1，直线 l ：y ＝k(x ＋2)，在[－1，1]上随机选取一个数 k ，则事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率为()A. 1 2 2－ 2B. 32解析：选 C.圆 C ：x 2＋y 2＝1 的圆心 C(0，0)，半径 r ＝1，圆心到直线 l ：y ＝k(x ＋2)的距离 d＝|0×k －0＋2k|3 3所求的概率为 P ＝ ⎛ 3⎫ 3 ⎭ 3－ 33→ → →2．(创新型)已知 P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2P A ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A. 1 4 1B.2 C.D. 1 2→ → → → → →→ → → → →点，点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 距离的1，所以 S △PBC ＝1S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在48⎧⎪y－x≥5，⎨0≤x≤20，其构成的区域为如图阴影部分，则所求的概率P＝2×15×15＝3.⎪⎩5≤y≤20，如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sinπx的图象分割解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝3sin x的最小正周期T，又T＝＝12，所以大6圆的面积S＝π⎛⎝2⎭＝36π，一个小圆的面积S′π12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自12⎫2＝＝1.△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为S△PBC＝1.S△ABC23．(应用型)(2019·山西太原联考)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是()A.181B.3C. D.58解析：选C.建立平面直角坐标系如图，x，y分别表示甲、乙二人到达的时刻，则坐标系中每个点(x，y)可对应甲、乙二人到达时刻的可能性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是120×1584．(应用型)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在6为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．π2ππ6＝阴影部分的概率为P＝2S′2πS36π18答案：1185．(创新型)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.⎧⎪8≤x ≤102 2 2 所以由几何概型得 P(A)＝＝ 1 ，即甲比乙跳得远的概率为 1 . 解：(1)因为函数 f(x)＝ax 2－4bx ＋1 的图象的对称轴为 x ＝，要使 f(x)＝ax 2－4bx ＋1 在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当 a >0 且2b≤1，即 2b ≤a.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在 8～10 米之间，乙的成绩均匀分布在 9.5～10.5 米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：(1)第 6 小组的频率为 1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为 7＝0.1450.由图易知第 4、5、6 组的学生均进入决赛，人数为 (0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为 36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为 x ，y 米，则基本事件满足⎨， ⎪⎩9.5≤y ≤10.5设事件 A 为“甲比乙跳得远”，则 x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示．1 1 1 × × 1×2 16 166．(创新型)已知关于 x 的二次函数 f(x)＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合 P ＝{1，2，3}和 Q ＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ，求函数 y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；⎧⎪x ＋y －8≤0，(2)设点(a ，b )是区域⎨x >0，内的随机点，求函数 y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数⎪⎩y >0的概率．2b aa若 a ＝1，则 b ＝－1；所以所求事件的概率为 5 ＝1.⎧⎪a ＋b －8＝0， 3⎭，a ， ⎝ 3 S 2×8×3 S △AOB 1×8×8 ＝1.若 a ＝2，则 b ＝－1，1；若 a ＝3，则 b ＝－1，1.所以事件包含基本事件的个数是 1＋2＋2＝5，因为事件“分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ”的个数是 15.15 3(2)由(1)知当且仅当 2b ≤a 且 a >0 时，函数 f(x)＝ax 2－4bx ＋1 在区间[1，＋ ∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎧⎪⎧a ＋b －8≤0，⎫⎨（a ，b ）⎪⎨a >0，⎬，⎩⎪⎩b >0⎭构成所求事件的区域为如图所示的三角形 BOC 部分．由⎨ 得交点坐标 C ⎛16，8⎫ ⎪⎩b ＝21 8故所求事件的概率 P ＝ △BOC ＝23。

2020年高考数学一轮复习专题6.3几何概型练习(含解析)

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【答案】12【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝12.【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．【答案】 23【解析】方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．【答案】 34【解析】由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝32－02－0＝34.考向二面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【答案】（1）π48 （2）3π64【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12＝π2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π224＝π48. (2)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P ＝S S △AOB ＝π4163＝3π64【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．【答案】 12【解析】以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC＝12. 2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．【答案】 12【解析】 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.考向三体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【答案】（1）1－π12 （2）1－π4【解析】（1）记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. （2）鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.【举一反三】1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．【答案】16【解析】因为1A A BDV-＝1A ABDV-＝13AA1×S△ABD＝16×AA1×S矩形ABCD＝16V长方体，故所求概率为1A A BDVV-长方体＝16.考向四角度【例4】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．【答案13【解析】因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13.【举一反三】1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________．【答案】 16【解析】设事件D 为“作射线CM ，使AM >AC ”．在AB 上取点C ′使AC ′＝AC ，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P (D )＝μD μΩ＝15°90°＝16.1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A B ．3π-C ．3πD【答案】C【解析】如下图所示：设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=∴阴影部分的面积2118221323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：834234p ππ-==-⨯本题正确选项：C 2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（）A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C.3．已知在椭圆方程22221x y a b +=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（）A ．12 B ．13 C ．14 D ．23【答案】A【解析】当a b > 时2223142a b a b a -<<⇒< ，当a b < 时,同理可得2ba <,则由下图可得所求的概率21121222t tP t ⨯⨯== ，故选A.4．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（）A ．25 B ．35 C ．15 D ．23【答案】A【解析】因为()5,112D d ==--=，所以由几何概型的计算公式可得25d P D ==，应选答案A 。

2020届高三理科数学一轮复习第十一章第6节几何概型

解析由题意知，阴影部分的面积
S＝2(4－x2)dx
＝4x－13x3|21＝53，
1
5
所以所求概率 P＝S矩形SABCD ＝1×34＝152.
答案 5
考点二与面积有关的几何概型(多维探究)
1.与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合． 2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，构成的平面图形，以便求解．
1
考点一与长度(角度)有关的几何概型
[例 1] (2)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1，以 A 作四分之一个圆弧D︵E，在∠DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 点的概率为________．弧依解D题析︵B意′(交2，)以A点CA，P为′A在圆PB，︵心′DA，上B以分任A别何D＝为位1置C为′是，半等P径′，可作B能圆′. 的，且射线 AP 与线段 BC 有公共点，则事件“点 P′在B︵′C′上发生”．又在 Rt△ABC 中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝π6.
3－－3
考点二与面积有关的几何概型(多维探究)
命题角度1 与平面图形面积相关的几何概型Байду номын сангаас
[例 2-1] (2019·烟台诊断)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它
是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板
组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一
点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.14
B.18
C.38
D.136
解
概率是一个比
不妨设小正方形的边长为 1，
的边长
故所求概率则两个小等腰直角三角形的边长分别为 1，1， 2，

2020届高考高中理科数学一轮专题复习第十二章 12.2几何概型

§12.2几何概型1.几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型.2.几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比.3.借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率.概念方法微思考1.古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )题组二教材改编2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.1 答案 B解析坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B ).4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4答案 D解析如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.题组三易错自纠5.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.故m ＝3.6.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________. 答案 23解析设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2).由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12. 在数轴上表示，如图所示.由几何概型概率计算公式，得所求概率为812＝23.题型一与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰Rt △ABC 中，直角顶点为C . (1)在斜边AB 上任取一点M ，求|AM |<|AC |的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM |<|AC |的概率.解 (1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使|AC ′|＝|AC |，连接CC ′.由题意，知|AB |＝2|AC |.由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB . 所以P (|AM |<|AC |)＝|AC ′||AB |＝|AC |2|AC |＝22. (2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝∠ACC ′∠ACB＝π－π42π2＝34.思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).跟踪训练1 (1)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为____________. 答案 23解析方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.答案 13解析因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.题型二与面积有关的几何概型命题点1 与面积有关的几何概型的计算例2 (1)(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.(2)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.答案512解析由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3|21＝53，所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.命题点2 随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32答案 C解析由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________. 答案 0.4解析根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820＝0.4.思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.跟踪训练2 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn，∴π＝4mn，故选C.(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.答案2e 2解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.题型三与体积有关的几何概型例4 已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为________.答案2764解析当四棱锥O －ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，所以PE P A ＝34，所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD＝⎝⎛⎭⎫PE P A 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764. 思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π 答案 D解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.1.已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－3,3]，在定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率是( ) A.13 B.23 C.12 D.16 答案 C解析由f (x 0)≤0，可得－1≤x 0≤2，所以D ＝3－(－3)＝6，d ＝2－(－1)＝3，故由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝d D ＝12，故选C.2.在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为12，则实数m 为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析区间[－1,3]的区间长度为4. 不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，当1<m ≤3时，由题意得m ＋14＝12，解得m ＝1(舍)，当0<m ≤1时，由2m 4＝12，则m ＝1.故m ＝1.3.若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( ) A.132 B.78 C.38 D.18 答案 D解析设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为216＝18，故选D.4.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A.2－33πB.4－63πC.－13－32πD.23答案 B解析设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B.5.如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为ππππ44(sin cos )d (cos sin )|x x x x x ⎰－＝－－＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.6.(2018·郑州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图所示是赵爽的弦图.弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A.866B.500C.300D.134答案 D解析设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为(3－1)24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝⎛⎭⎫1－32×1 000≈134. 7.记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________. 答案 59解析设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ，由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3].如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.8.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________. 答案33解析因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度.设BC ＝a ，则所求概率P ＝33a a ＝33.9.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______.答案 16解析因为11A A BD A ABD V V =－－＝13AA 1×S △ABD＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为11.6A A BD V V =－长方体10.正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示.若将一个质点随机投入到正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是______.答案 23解析正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－⎝⎛⎭⎫－23＝43，阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.11.已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个. 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为 Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}.满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}. 画出图像如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}.A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.13.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为________.答案 34解析设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件所占的面积为 1.记这两点之间的距离小于12为事件A ，则A ＝{(x ，y )||x －y |<12，0≤x ≤1,0≤y ≤1}，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2×12×12×12＝14，所以所求两点之间的距离小于12的概率P (A )＝1－141＝34.14.向圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________. 答案 16－34π解析如图所示，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以∠ACB ＝60°，所以S 圆C ＝π×22＝4π，所以S 弓形ADB ＝60°×π×22360°－12×2×3＝2π3－3，所以向圆C 内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝2π3－34π＝16－34π.15.在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥13”的概率，p 2为事件“|x －y |≤13”的概率，p 3为事件“xy ≤13”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1答案 B解析因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥13”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，事件“|x －y |≤13”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤13”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率.解设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整个图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以P ＝2π.。