2020年高三数学大串讲第17讲(数列中常见的求和问题)(原卷版)

第17讲（数列中常见的求和问题）
【目标导航】
数列求和的方法比较多：公式法；错位相减法；倒叙相加法；裂项法；分组求和法等。

数列求和，则应根据通项的特点选择对应的求和方法，其中错位相减法和裂项相消法经常考到，
【例题导读】
例1、已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时n 的值为________．
例2、设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4，则它的前5项和S 5＝________． 例3、 设数列{}a n 满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *
)，则(a k a k ＋1)的值为________．
例4、数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于________． 例5、．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________. 例6、已知两个无穷数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11a =，24S =，对任意的*n N ∈，都有1232n n n n S S S a ++=++．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若{}n b 为等差数列，对任意的*n N ∈，都有n n S T >．证明：n n a b >；
（3）若{}n b 为等比数列，11b a =，22b a =，求满足*2()2n n k n n
a T a k
b S N +=∈+的n 值． 例7、已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *)．
(1) 若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；
(2) 若λ＝12
，求S n . 例8、已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a 2n ＋a n ，数列{b n }满足b 1＝12，2b n ＋1＝b n ＋b n a n
. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2) 设数列{c n }满足c n ＝b n ＋2S n
，求和c 1＋c 2＋…＋c n ； (3) 是否存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，使得b p ，b q ，b r 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ，q ，r ；若不存在，请说明理由．
例9、已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．
(1) 若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；
(2) 当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ；
(3) 若对任意n ∈N *，都有a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5成立，求a 1的取值范围． 例10、已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋
2S n ，n ∈N *.
(1) 求a 1的值；
(2) 求数列{a n }的通项公式；
(3) 若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．
【反馈练习】
1、已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ．
2、记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m 的值为________．
3、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，总有S n ≤S k ，则k 的值是________．
4、已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．
(1) 若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；
(2) 当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ；
5、且2S n ＝a 2n ＋a n ，数列{b n }满足b 1＝12，2b n ＋1＝b n ＋b n a n
. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2) 设数列{c n }满足c n ＝
b n ＋2S n ，求和
c 1＋c 2＋…＋c n ； 6、已知数列
是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列． (Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列的前项和．
7、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .
8、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记c n ＝a n b n
，求数列{c n }的前n 项和T n . 9、已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.
(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．。