平面向量解题技巧

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高中数学平面向量解题技巧

高中数学平面向量解题技巧

高中数学平面向量解题技巧高中数学中,平面向量是一个重要的概念,涉及到向量的表示、运算、共线性、垂直性等方面的内容。

在解题过程中,掌握一些解题技巧可以帮助学生更好地理解和应用平面向量,提高解题效率。

本文将介绍几个常见的平面向量解题技巧,并通过具体题目来说明其应用。

一、向量的表示和运算在解题过程中,正确地表示和运算向量是非常重要的。

首先,我们需要清楚向量的表示方法。

通常,我们用一个有向线段来表示一个向量,线段的方向表示向量的方向,线段的长度表示向量的大小。

其次,我们需要掌握向量的运算法则,包括向量的加法和数乘。

向量的加法满足交换律和结合律,数乘满足分配律。

例如,考虑以下题目:已知向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$,$\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$,求$\vec{a}+\vec{b}$和$2\vec{a}-3\vec{b}$。

解答:根据向量的加法和数乘法则,我们可以得到:$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+(-1)\\3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}$$2\vec{a}-3\vec{b}=2\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+3\\6-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-6\end{pmatrix}$通过这个例子,我们可以看到,正确地表示和运算向量可以帮助我们快速得到结果。

平面向量解题方法完全归纳与总结

平面向量解题方法完全归纳与总结

平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结!
1、基底法
在处理平面向量问题时,有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的,我们利用平面向量的基本定理,选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底,把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中,遇到和模长有关的问题,很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理,并且要灵活运用:向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成:两向量的数量积等于他们各自的模长,乘以它们夹角的余弦值;
②也可以理解成:两向量的数量积等于其中一个向量的模长,乘以另外一个向量在它上面的投影;
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法,在平面向量中,这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。

只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。

5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时,需要利用图形,结合向量的运算法则,综合分析,来处理一些动态变化问题。

这类问题主要包含:圆上动点、直线上动点等。

6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结,这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型,当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识,更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识,这些我们在后期的一些文章当中会涉及。

我们这个自媒体主要服务于高中生数学,高考数学,强基计划、数学竞赛,大家有兴趣可以关注一下我们,我们上的都是一些干货,绝对不会让你失望!。

平面向量做题技巧

平面向量做题技巧

平面向量做题技巧1. 嘿,平面向量做题的时候,要学会找关键信息呀!就像你在一堆玩具中找到你最喜欢的那个一样。

比如已知向量的模和夹角,那不是很明显要去用相关公式嘛!2. 哎呀,一定要记住向量的加减法法则哦,这可太重要啦!就好比搭积木,一块一块地往上加,或者把多余的拿走,不就清楚啦。

像那种给出几个向量让你合成的题,不就用这个嘛!3. 注意啦,向量的数量积可不能马虎!这就好像你和朋友之间的默契,要好好去感受和计算呀。

比如判断向量垂直,不就看数量积是不是零嘛!4. 嘿,在做题时别死脑筋呀,要灵活运用啊!就像跳舞要随着音乐节奏变换动作一样。

碰到复杂的向量问题,多想想有没有简便方法呀!5. 哇塞,对于那些和几何图形结合的题,要把图形看透呀!这就如同你了解一个人的性格一样重要。

比如在三角形里的向量问题,不就利用三角形的特点嘛!6. 记住哦,单位向量也有大用处呢!就好像一个小小的指南针能指引方向一样。

在一些问题里,利用单位向量来转化不就简单多啦!7. 千万别忘了向量共线的条件呀!这就好比走在同一条路上的伙伴。

看到相关条件,马上就想到共线的性质呀!8. 哎呀呀,平面向量做题技巧真的很关键呢!就像拥有一把万能钥匙能打开各种难题的门。

遇到困难别退缩,用对技巧呀!9. 注意那些隐含条件呀,别漏了它们!这就像宝藏藏在角落里,你得细心才能发现。

很多时候答案就在那些被忽略的地方呢!10. 真的,平面向量做题要多用心呀!就像对自己喜欢的事情一样充满热情。

用心去体会每一个技巧,你会发现做题越来越轻松啦!我的观点结论就是:掌握这些平面向量做题技巧,能让你在解题时更加得心应手,轻松应对各种难题,一定要好好运用哦!。

平面向量的解题技巧

平面向量的解题技巧

平面向量的解题技巧简介平面向量是高中数学中的重要内容,也是解题过程中经常会遇到的知识点。

掌握平面向量的解题技巧对于提高解题效率和准确性非常关键。

本文将介绍几种常见的解题技巧,帮助读者更好地理解和应用平面向量。

基本概念回顾在介绍解题技巧之前,我们先来回顾一些平面向量的基本概念。

定义1:平面向量是具有大小和方向的量。

在平面直角坐标系中,平面向量可以用坐标表示为(x, y)。

其中,x表示向量在x轴上的分量,y表示向量在y轴上的分量。

定义2:平面向量的模是指向量的长度,用∥a∥表示。

定义3:平面向量的方向是指向量的指向,用角度表示。

定义4:平面向量的加法是指将两个向量首尾相连所得到的向量,用a + b表示。

定义5:平面向量的乘法是指将向量的模与一个标量相乘所得到的向量,用k * a表示。

解题技巧接下来,我们将介绍几种常见的平面向量解题技巧。

投影投影是指将一个向量在某个方向上的分量分解出来。

在解题过程中,我们常常需要求解一个向量在另一个向量上的投影。

例如,已知向量a = (3, 4),向量b = (1, 2),我们要求解向量a在向量b上的投影。

首先,我们需要计算向量a与向量b的夹角θ,然后计算a在b方向上的分量,即可得到投影的结果。

单位向量单位向量是指模为1的向量。

在平面向量的解题中,单位向量常常用来表示方向。

使用单位向量可以简化计算,消除向量的模的影响。

例如,已知向量a = (3, 4),我们要求解向量a的方向。

我们可以通过计算向量a的单位向量a’ = (3/∥a∥,4/∥a∥),得到向量a的方向。

平移平移是指将所有向量沿着同一方向移动相同的距离。

平移不改变向量的方向和模。

在解题中,平移常常用来简化计算。

例如,已知向量a = (3, 4),向量b = (1, 2),我们要求解向量a + b。

可以将向量a平移到原点,得到向量a’ = (-3, -4),然后计算a’ + b,最后将结果平移回去,即可得到a + b的结果。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中,平面向量是一个常见的考点,也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结,帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律,即a + b = b + a,(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中,可以利用向量的平移性质,将向量平移至同一起点,再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理,即a - b = a + (-b)。

其中,-b表示b的反向量,即方向相反的向量,模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积,记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂),它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外,数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积,即a·b =|a| · |b| · cosθ,其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律:a·b = b·a(2) 分配律:a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律:k(a·b) = (ka)·b = a·(kb),其中k为实数(4) 若a·b = 0,则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0,则夹角θ为锐角;若a·b < 0,则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示:1. 向量的方向角:向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α,其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦:向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα,与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时,可以利用这两种方式来确定向量的方向。

初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目

初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目

初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目平面向量作为初中数学中的重要内容之一,在解题过程中可能会遇到一些较为复杂的题目。

本文将介绍一些解题技巧,帮助同学们快速解决这些复杂的平面向量题目。

一、快速计算向量的模和方向在解决平面向量题目时,经常需要计算向量的模和方向。

为了方便计算,我们可以使用平面向量的坐标表示法。

假设有一个向量AB,设点A的坐标为(A₁, A₂),点B的坐标为(B₁, B₂),则向量AB的坐标表示为(B₁ - A₁, B₂ - A₂)。

通过坐标表示法,我们可以快速计算向量的模和方向。

向量的模可以通过使用勾股定理计算得到,即向量的模为√((B₁ -A₁)² + (B₂ - A₂)²)。

向量的方向可以通过使用反正切函数计算得到,即向量的方向为arctan((B₂ - A₂) / (B₁ - A₁))。

二、夹角的计算在解决平面向量题目时,有时需要计算向量之间的夹角。

我们可以使用向量的点积来计算夹角。

设有两个向量A和B,它们的夹角记为θ,则有cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。

通过这个公式,可以快速计算出向量之间的夹角。

三、向量共线与共面判断在解决平面向量题目时,有时需要判断向量是否共线或共面。

可以通过计算向量的比值来判断。

1. 共线判断:如果向量A与向量B共线,那么它们的对应坐标之间的比值应该相等。

即 (B₁/A₁) = (B₂/A₂) = k。

如果向量A与向量B共线,那么我们可以通过求两个坐标之间的比值,判断出它们是否共线。

2. 共面判断:如果向量A、B和向量C共面,那么向量A与向量B的叉积与向量A与向量C的叉积应该平行。

即A×B = λ(A×C),其中λ是一个实数。

通过判断两个向量的叉积是否平行,我们可以判断出它们是否共面。

四、平面向量的运算在解决平面向量题目时,有时需要进行向量的运算。

以下是一些常见的向量运算规则:1. 向量的加法:设有向量A和向量B,它们的和记为A + B。

高中数学平面向量及其应用的解题技巧

高中数学平面向量及其应用的解题技巧

高中数学平面向量及其应用的解题技巧高中数学中,平面向量是一个重要的概念,它在各个数学分支中都有广泛的应用。

掌握平面向量的解题技巧,不仅能够帮助我们更好地理解数学知识,还能够提高解题的效率和准确性。

本文将从基本概念、解题方法和应用举例三个方面,介绍高中数学平面向量的解题技巧。

一、基本概念平面向量是空间中的一个有向线段,可以用有序数对表示。

在平面直角坐标系中,向量可以表示为(a, b),其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

向量的模表示向量的长度,记作|AB|或||AB||。

向量的方向可以用与x轴正方向的夹角表示。

二、解题方法1. 向量的表示与运算在解题过程中,我们需要掌握向量的表示与运算方法。

例如,已知向量A(3,4)和向量B(-2,1),求向量A与向量B的和、差以及数量积。

解答:向量A与向量B的和为A+B=(3+(-2),4+1)=(1,5);向量A与向量B的差为A-B=(3-(-2),4-1)=(5,3);向量A与向量B的数量积为A·B=3×(-2)+4×1=-6+4=-2。

2. 向量的模和方向在解题过程中,我们需要计算向量的模和方向。

例如,已知向量A(3,4),求向量A的模和方向。

解答:向量A的模为|A|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5;向量A的方向可以用与x轴正方向的夹角表示,tanθ=4/3,所以θ=arctan(4/3)≈53.13°。

3. 向量的共线与垂直在解题过程中,我们需要判断向量的共线与垂直关系。

例如,已知向量A(3,4)和向量B(6,8),判断向量A与向量B是否共线或垂直。

解答:向量A与向量B的方向相同,且比值相等,即3/6=4/8=1/2,所以向量A与向量B共线。

三、应用举例1. 平面向量的线性运算已知向量A(2,3)和向量B(1,2),求2A-3B的模和方向。

解答:2A-3B=2(2,3)-3(1,2)=(4,6)-(3,6)=(1,0);2A-3B的模为|2A-3B|=√(1²+0²)=√1=1;2A-3B的方向与x轴正方向平行,即与x轴的夹角为0°。

中考数学易错题系列之平面向量向量运算与共线关系的易错解题技巧

中考数学易错题系列之平面向量向量运算与共线关系的易错解题技巧

中考数学易错题系列之平面向量向量运算与共线关系的易错解题技巧平面向量是中考数学中一个重要的概念,涉及到向量的加法、减法和数量乘法等运算,以及向量的共线性判断。

然而,在解题过程中,很多学生容易犯错。

本文将介绍一些常见的易错解题技巧,帮助同学们加深对平面向量向量运算与共线关系的理解。

1. 向量的加法与减法向量的加法运算是指两个向量相加得到一个新的向量,减法运算是指两个向量相减得到一个新的向量。

在计算过程中,常常会忽略向量的方向,导致答案出错。

解决这个问题的关键在于注意向量的方向。

在计算向量的和或差时,首先要明确向量的起点和终点,并按照顺序进行运算。

若向量的方向相反,则减去后的结果向量的终点在起点的反方向上。

2. 距离的计算在平面上,两点之间的距离可以通过向量来计算。

但有时学生会忘记用向量的模长表示距离,而采用了其他方法。

要正确计算两点之间的距离,可以先求得两点连线的向量,然后计算该向量的模长即可。

模长即是该向量的长度,也是两点之间的距离。

3. 共线关系的判断共线关系是指若干向量共线于同一直线上。

在解题中,有时会遇到判断一组向量是否共线的问题,容易被迷惑而给出错误答案。

要判断向量的共线关系,可以利用向量的线性相关的性质,即若一组向量中存在一个向量可以用其他向量的线性组合表示,则这组向量共线。

也可以通过计算向量的比值来判断,若向量的坐标相应分量之比相等,则这组向量共线。

4. 叉乘与数量积的区别在向量运算中,有两种常见的乘法运算,即叉乘和数量积。

容易混淆这两种运算,导致计算错误。

叉乘的结果是一个向量,表示两个向量确定的平面的法向量。

数量积的结果是一个数值,表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。

在解题过程中,要注意叉乘和数量积的定义及使用方法,避免混淆导致计算错误。

5. 问题分类分析在解题过程中,正确的问题分类分析方法是解决问题的关键。

部分同学常常将问题归类错误,导致解题方向错误或无法解答。

要正确分类分析问题,首先要仔细阅读问题,理解问题所涉及的概念和要求。

(完整word版)平面向量解题技巧

(完整word版)平面向量解题技巧

平面向量解题技巧1. 这部分内容高考中所占分数一般在10分左右.2. 题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题.3. 考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主.【考点透视】"平面向量"是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考’题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主.透析高考试题,知命题热点为:1. 向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积,2. 平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义.3. 两非零向量平行、垂直的充要条件.4. 图形平移、线段的定比分点坐标公式.5. 由于向量具有"数"与"形"双重身份,加之向量的工具性作用向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合’综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.6. 利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.【例题解析】1. 向量的概念,向量的基本运算⑴理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念.(2) 掌握向量的加法和减法.(3) 掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.(4) 了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.(6) 掌握平面两点间的距离公式.向量与三角函数创新题型的解题技巧1. 三角函数的性质、图像及其变换,主要是的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现,属中低档题,这些试题对三角函数单一的性质考查较少,一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上,考查的知识点来源于教材.2. 三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力,一般要运用和角、差角与二倍角公式,尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查. 以选择题或填空题或解答题形式出现, 属中档题.3. 三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体,或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用,注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用. 这类题一般以解答题的形式出现, 属中档题.4. 在一套高考试题中,三角函数一般分别有1 个选择题、1 个填空题和1 个解答题,或选择题与填空题 1 个,解答题1 个,分值在17 分-22 分之间.5. 在高考试题中, 三角题多以低档或中档题目为主, 一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而三角题是高考中的得分点.【考点透视】1. 理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算.2. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义, 掌握同解三角函数的基本关系式, 掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义.3. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.4. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.5. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin( 3 X )的简图,理解A、3、X的物理意义•6. 会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsin x, arcosx,arctan x 表示.7. 掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形, 能利用计算器解决解三角形的计算问题.8. 掌握向量与三角函数综合题的解法.常用解题思想方法1.三角函数恒等变形的基本策略。

平面向量求解技巧

平面向量求解技巧

平面向量求解技巧平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

在应用平面向量求解问题时,以下技巧或方法可以帮助我们更快速、准确地解决问题。

1. 确定坐标系:在解决平面向量问题时,通常需要确定一个相应的坐标系。

常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

选择合适的坐标系可以简化问题,并使计算更加方便。

2. 表示向量:向量是带有方向的量,可以使用一个有序的数对来表示。

在直角坐标系中,一个向量可以表示为(x, x),其中x和x分别表示该向量在x轴和x轴上的分量。

在极坐标系中,一个向量可以表示为(x, x),其中x表示向量的长度,x表示向量与正半轴的夹角。

3. 向量的加法:向量的加法满足平行四边形法则,即将两个向量的起点放在一起,然后将它们的箭头相连接,连接后的向量为原向量的和。

在直角坐标系中,向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。

4. 向量的减法:向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算。

即,将被减向量进行取负操作,再将该向量与减向量进行加法运算。

在直角坐标系中,向量的减法可以通过将减向量的对应分量取负,然后与被减向量的对应分量相加得到。

5. 向量的数量乘法:向量的数量乘法是将一个向量的长度与一个标量相乘,得到一个新的向量。

数量乘法会改变向量的大小,但不会改变向量的方向。

6. 向量的点乘:向量的点乘也称为内积或数量积。

点乘的结果是一个标量,不带有方向。

点乘可以用来求解两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直等。

7. 向量的叉乘:向量的叉乘也称为外积或向量积。

叉乘的结果是一个新的向量,方向垂直于原始向量组成的平面,并遵循右手定则。

向量的叉乘可以用来求解平行四边形的面积、判断三个向量的共面性等。

8. 解决几何问题:应用平面向量求解平面几何问题时,我们通常可以将几何问题抽象为向量问题。

通过将几何问题转化为向量问题,我们可以利用向量的性质和计算方法快速求解。

9. 利用向量运算化简问题:在求解平面向量问题时,可以利用向量运算的性质化简问题。

平面向量最值问题解题方法

平面向量最值问题解题方法

平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点,涉及面广,难度较大。

下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。

一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|,则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y),其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后,可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值:(1)对于a的分量a_x和a_y,分别求出它们的绝对值,即|a_x|和|a_y|,然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中,求出|a|的最大值。

(2)根据勾股定理,可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根,即|a|=√((a_x+a_y))。

2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|,则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y),其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后,可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值:(1)对于a的分量a_x和a_y,分别求出它们的绝对值,即|a_x|和|a_y|,然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中,求出|a|的最小值。

(2)根据勾股定理,可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根,即|a|=√((a_x-a_y))。

二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ,则向量a和向量b的夹角的最值为:1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时,它们的夹角最大,此时θ=π。

2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时,它们的夹角最小,此时θ=0。

三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b,它们的和向量c=a+b。

则向量c的模长最值为:1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同,且它们的模长相等时,它们的和向量c的模长最大,此时|c|=2|a|。

2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反,且它们的模长相等时,它们的和向量c的模长最小,此时|c|=0。

如何解决高考数学中的平面向量题

如何解决高考数学中的平面向量题

如何解决高考数学中的平面向量题高考数学中的平面向量题是一个常见且复杂的考点,对于许多学生来说,解决这类问题常常是一项挑战。

然而,只要我们能够掌握一些基本的解题技巧和方法,就能够轻松解决这些题目。

本文将介绍一些解决高考数学中平面向量题的方法,希望对广大考生有所帮助。

一、理解平面向量的基本概念在解决平面向量题之前,首先需要理解平面向量的一些基本概念,包括向量的表示方法、向量的运算法则以及向量的性质等。

只有对这些基本概念有了深入的理解,才能更好地解决相关的题目。

二、掌握平面向量的坐标表示方法在解题过程中,平面向量的坐标表示方法是一个非常重要的工具。

对于给定的平面向量,可以将其分解为两个分量,分别表示在x轴和y 轴上的投影。

利用这种表示方法,可以简化平面向量的运算,进而解决相关的题目。

三、了解平面向量的运算法则平面向量具有加法、减法和数量乘法等运算法则。

掌握这些运算法则是求解平面向量问题的关键。

需要熟练掌握向量的加法减法运算法则,以及数量乘法的运算规律。

通过灵活运用这些法则,可以大大简化解题的过程。

四、熟练掌握平面向量的性质平面向量具有一些独特的性质,如平行四边形定理、三角形面积公式等。

对这些性质的熟悉和理解,对于解决相关题目至关重要。

例如,利用平行四边形定理,可以推导出两个向量平行的条件;而利用三角形面积公式,可以计算两个向量构成的三角形的面积。

通过应用这些性质,可以更加高效地解答相关问题。

五、多加练习,熟悉各种题型解决高考数学中的平面向量题,需要进行大量的练习,熟悉各种题型。

只有通过不断地练习,才能够在考试中熟练灵活地应用解题方法,提高解题的速度和准确性。

建议考生多做真题和模拟题,尽可能涵盖各个难度层次的题目,从而全面提高解题能力。

六、培养逻辑思维和分析问题的能力解决平面向量题需要良好的逻辑思维和分析问题的能力。

在处理复杂的向量运算时,需要思考运算的顺序和方法,找到合适的转化和计算方式。

通过培养逻辑思维和分析问题的能力,可以更加迅速地捕捉到解题的关键点,提高解题的效率。

平面向量解题技巧

平面向量解题技巧

平面向量解题技巧1. 什么是平面向量?平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

它可以用有向线段来表示,线段的长度表示向量的大小,线段的方向表示向量的方向。

平面向量常用字母加箭头表示,如a⃗。

平面向量有两个重要的性质:大小和方向。

大小表示向量的长度,也称为向量的模或向量的大小,用|a⃗|表示。

方向表示向量的指向,可以用一个角度来表示,也可以用一个有向角度来表示。

2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示法和基本向量表示法来表示。

2.1 坐标表示法在平面直角坐标系中,每个向量可以用两个有序实数(x,y)来表示,其中x表示向量在x轴上的投影,y表示向量在y轴上的投影。

这种表示方法称为坐标表示法。

2.2 基本向量表示法在平面直角坐标系中,我们可以选取两个互相垂直的单位向量i⃗和j⃗作为基本向量,它们的长度都为1。

任意向量a⃗可以表示为a⃗=xi⃗+yj⃗,其中x和y为实数。

这种表示方法称为基本向量表示法。

3. 平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种运算。

3.1 平面向量的加法设a⃗=(x1,y1),b⃗⃗=(x2,y2)是平面上的两个向量,它们的和记作a⃗+b⃗⃗,定义为(x1+x2,y1+y2)。

即a⃗+b⃗⃗=(x1+x2,y1+y2)。

3.2 平面向量的数乘设a⃗=(x,y)是平面上的一个向量,k是实数,ka⃗定义为(kx,ky)。

即ka⃗=(kx,ky)。

3.3 平面向量的减法设a⃗=(x1,y1),b⃗⃗=(x2,y2)是平面上的两个向量,它们的差记作a⃗−b⃗⃗,定义为a⃗−b⃗⃗=a⃗+(−b⃗⃗)。

即a⃗−b⃗⃗=(x1−x2,y1−y2)。

4. 平面向量的性质平面向量具有一些重要的性质,包括相等性、共线性、平行性和垂直性。

4.1 相等性两个向量a⃗和b⃗⃗相等,记作a⃗=b⃗⃗,当且仅当它们的坐标相等,即x1=x2,y1=y2。

4.2 共线性两个向量a⃗和b⃗⃗共线,当且仅当它们的坐标成比例,即x1x2=y1y2。

平面向量的解题技巧

平面向量的解题技巧

平面向量的解题技巧
平面向量的解题技巧主要包括以下几个方面:
1. 理解平面向量的性质:平面向量有大小和方向,可以进行加减法、数乘等运算。

理解平面向量的性质是解题的基础。

2. 建立坐标系:建立一个适当的坐标系,可以方便地表示平面向量的位置和方向。

通常可以选择直角坐标系或极坐标系。

3. 平面向量的表示方法:平面向量可以用坐标表示,也可以用向量表示。

在解题时,灵活选择适当的表示方法,使问题变得简化。

4. 平面向量的运算法则:平面向量可以进行向量的加法、减法和数乘运算。

根据运算法则,可以进行组合运算,简化计算过程。

5. 理解平面向量的几何意义:平面向量可以表示平移、旋转和缩放等几何变换。

在解题时,可以把平面向量与几何问题相联系,更好地理解和解决问题。

6. 利用向量的性质解题:平面向量具有一些特殊的性质,如平行、垂直、共线等。

在解题时,可以利用这些性质将问题转化为已知的条件,从而更好地解决问题。

总之,平面向量的解题技巧在于灵活运用向量的定义、表示、
运算法则和几何性质,以及适当选择合适的坐标系和表示方法,从而解决平面向量相关的问题。

高中数学平面向量解题技巧

高中数学平面向量解题技巧

高中数学平面向量解题技巧1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景。

(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义。

(3)理解向量的几何意义。

2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义。

(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义。

(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义。

3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义。

(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。

(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

4.平面向量的数量积。

(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。

(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

好了,搞清楚平面向量的上述内容之后,下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。

一、向量的有关概念及运算考情聚焦:1.向量的有关概念及运算,在近几年的高考中年年都会出现。

2.该类问题多数是单独命题,考查有关概念及其基本运算;有时作为一种数学工具,在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。

3.多以选择、填空题的形式出现,有关会渗透在解答题中。

解题技巧:向量的有关概念及运算要注意以下几点:(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念,如有遗漏,则会出现错误。

(2)正确理解平面向量的运算律,一定要牢固掌握、理解深刻例1:(2022·山东高考理科·T12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的a=(m,n),b(p,q),令a⊙bmqnp,下面说法错误的是()A.若a与b共线,则a⊙b0B.a⊙bb⊙a2222C.对任意的R,有(a)⊙b(a⊙b)D.(a⊙b)(ab)ab【命题立意】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题。

快速解决平面向量题目的技巧

快速解决平面向量题目的技巧

快速解决平面向量题目的技巧解决平面向量题目的技巧在学习平面向量时,很多学生常常觉得题目难以解决,因为涉及到复杂的计算和概念。

然而,只要我们掌握一些解题技巧,就能够快速解决这类问题。

本文将介绍一些快速解决平面向量题目的技巧,帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、向量的加减运算在解决平面向量题目时,向量的加减运算是非常基础也是重要的一步。

我们可以使用三角形法则或平行四边形法则来进行运算。

1. 三角形法则三角形法则适用于解决两个向量相加的问题。

即将两个向量的起点和终点相连接,构成一个三角形,那么连接起点和三角形的终点的向量就是所要求的向量。

例如,已知向量A的坐标为(Ax, Ay),向量B的坐标为(Bx, By),我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。

其中,Cx = Ax + Bx,Cy = Ay + By。

2. 平行四边形法则平行四边形法则适用于解决两个向量相减的问题。

即将两个向量的起点相连,形成一个平行四边形,那么连接起点和平行四边形的对角线的向量就是所要求的向量。

例如,已知向量A的坐标为(Ax, Ay),向量B的坐标为(Bx, By),我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。

其中,Cx = Ax - Bx,Cy = Ay - By。

二、向量的数量积和向量积除了向量的加减运算外,向量的数量积和向量积也是平面向量题目中常见的计算方法。

这两个概念在解决平面向量问题时非常重要。

1. 向量的数量积向量的数量积又称点积,表示为A·B。

计算公式为A·B=|A||B|cosθ,其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长,θ表示两个向量的夹角。

在解决平面向量问题时,我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们的关系,例如判断是否正交、平行或夹角大小等。

2. 向量的向量积向量的向量积又称叉积,表示为A×B。

计算公式为A×B=|A||B|sinθn,其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长,θ表示两个向量的夹角,n表示单位法向量。

平面向量5类解题技巧(解析版)

平面向量5类解题技巧(解析版)

平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展,用“爪子定理”能更快速求解,需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD =xAB +yAC条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质:(1)已知AB ,AC 为不共线的两个向量,则对于向量AD ,必存在x ,y ,使得AD =xAB+yAC。

则B ,C ,D 三点共线⇔x +y =1当0<x +y <1,则D 与A 位于BC 同侧,且D 位于A 与BC 之间当x +y >1,则D 与A 位于BC 两侧x +y =1时,当x >0,y >0,则D 在线段BC 上;当xy <0,则D 在线段BC 延长线上(2)已知D 在线段BC 上,且BD :CD =m :n ,则AD =n m +n AB +m m +nAC1(全国·高考真题)设D 为△ABC 所在平面内一点,且BC =3CD,则()A.AD =-13AB+43ACB.AD =13AB-43AC C.AD =43AB +13ACD.AD =43AB -13AC 【解析】解析:由图可想到“爪字形图得:AC =14AB +34AD ,解得:AD =-13AB+43AC答案:A2(2023江苏模拟)如图,在△ABC 中,AN =13NC ,P 是BN 上的一点,若AP =mAB +211AC,则实数m 的值为()A.911B.511C.311D.211【解析】解:观察到B ,P ,N 三点共线,利用“爪”字型图,可得AP =mAB +nAN ,且m +n =1,由AN =13NC 可得AN =14AC ,所以AP =mAB +14nAC ,由已知AP =mAB +211AC 可得:14n =211⇒n =811,所以m =311答案:C1(2022·全国·统考高考真题)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA .记CA =m ,CD =n,则CB =()A.3m -2n B.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.【详解】因为点D 在边AB 上,BD =2DA ,所以BD =2DA ,即CD -CB =2CA -CD,所以CB =3CD -2CA =3n -2m =-2m +3n .故选:B .2(全国·高考真题)在△ABC 中,AB =c ,AC =b .若点D 满足BD =2DC ,则AD=()A.23b +13c B.53c -23bC.23b -13cD.13b +23c【答案】A【详解】试题分析:AD =AB +BD =c +23AC -AB =c +23b -c =23b +13c,故选A .3(2020·新高考全国1卷·统考高考真题)已知平行四边形ABCD ,点E ,F 分别是AB ,BC 的中点(如图所示),设AB =a ,AD =b ,则EF等于()A.12a +bB.12a -bC.12b -aD.12a +b 【答案】A【分析】利用向量的线性运算,即可得到答案;【详解】连结AC ,则AC 为△ABC 的中位线,∴EF =12AC =12a +12b ,故选:A4(全国·高考真题)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC【答案】A【分析】分析:首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得BE =12BA +12BD ,之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则,得到BC =BA +AC ,之后将其合并,得到BE=34BA+14AC ,下一步应用相反向量,求得EB =34AB -14AC ,从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则,可得BE =12BA +12BD =12BA +14BC =12BA +14BA +AC =12BA+14BA +14AC =34BA +14AC ,所以EB =34AB -14AC ,故选A .【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算.5(江苏·高考真题)设D 、E 分别是ΔABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC . 若DE =λ1AB +λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值是【答案】12【详解】依题意,DE =DB +BE =12AB +23BC=12AB +23(AC -AB )=-16AB+23AC ,∴-16AB +23AC =λ1AB +λ2AC ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=-16+23=12.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.技法02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年,高考、模考中有关“系数和(等和线)定理”背景的试题层出不穷,学生在解决此类问题时,往往要通过建系或利用角度与数量积处理,结果因思路不清、解题繁琐,导致得分率不高,而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题,将系数和的代数运算转化为距离的比例运算,数形结合思想得到了有效体现,同时也为相关问题的解决提供了新的思路,大家可以学以致用知识迁移如图,P 为ΔAOB 所在平面上一点,过O 作直线l ⎳AB ,由平面向量基本定理知:存在x ,y ∈R ,使得OP =xOA +yOB下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x +y 的值①若P ∈l 时,则射线OP 与l 无交点,由l ⎳AB 知,存在实数λ,使得OP =λAB 而AB =OB -OA ,所以OP =λOB -λOA ,于是x +y =λ-λ=0②若P ∉l 时,(i )如图1,当P 在l 右侧时,过P 作CD ⎳AB ,交射线OA ,OB 于C ,D 两点,则ΔOCD ∼ΔOAB ,不妨设ΔOCD 与ΔOAB 的相似比为k 由P ,C ,D 三点共线可知:存在λ∈R 使得:OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +k (1-λ)OB 所以x +y =kλ+k (1-λ)=k(ii )当P 在l 左侧时,射线OP 的反向延长线与AB 有交点,如图1作P 关于O 的对称点P ,由(i )的分析知:存在存在λ∈R 使得:OP=λOC +(1-λ)OD =kλOA +(1-λ)OB所以OP=-kλOA +-(1-λ)OB于是x +y =-kλ+-k (1-λ)=-k综合上面的讨论可知:图中OP 用OA ,OB线性表示时,其系数和x +y 只与两三角形的相似比有关。

解题技巧如何巧妙解决平面向量的模长与夹角问题

解题技巧如何巧妙解决平面向量的模长与夹角问题

解题技巧如何巧妙解决平面向量的模长与夹角问题在数学学科中,平面向量的模长与夹角是一个经常出现的问题。

解决这类问题,需要掌握一些巧妙的技巧和方法。

本文将介绍一些解题技巧,以帮助读者更好地解决平面向量的模长与夹角问题。

一、平面向量的模长计算技巧在计算平面向量的模长时,一些特殊的技巧可以大大简化计算过程。

首先,对于平面上的向量A(x1, y1)和B(x2, y2),其模长可以通过勾股定理来进行计算。

即模长|AB| = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

通过这个公式,我们可以将平面上两点的坐标代入,得到向量的模长。

其次,如果两个向量的坐标给定为A(x1, y1)和B(x2, y2),我们要计算它们之间的距离,可以将两个向量相减,得到新的向量C(x2-x1, y2-y1),然后计算向量C的模长。

即|AB| = |C| = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

另外,如果两个向量的坐标给定为A(x1, y1)和B(x2, y2),我们要计算它们的模长平方和,可以使用平方差公式进行计算。

即|AB|² = (x2-x1)² + (y2-y1)²。

通过掌握这些计算技巧,我们可以更快速、准确地计算平面向量的模长。

二、平面向量的夹角计算技巧在计算平面向量的夹角时,可以运用一些几何和代数的技巧来解决。

首先,对于两个非零向量A和B,它们的夹角θ可以通过内积公式来计算。

即cosθ = (A·B) / (|A| |B|),其中(A·B)表示向量A和B的内积,|A|和|B|分别表示向量A和B的模长。

通过这个公式,我们可以得到夹角θ的值。

其次,如果两个向量A和B的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2),我们要计算它们之间的夹角θ,可以通过求解方程来进行计算。

具体来说,在平面上建立两个以A和B为起点,长度分别为|A|和|B|的向量。

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平面向量的解题技巧
由2007年高考题分析可知:
1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右.
2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题.
3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主.
考点透视
“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主.透析高考试题,知命题热点为:
1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积.
2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义.
3.两非零向量平行、垂直的充要条件.
4.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.
5.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.
例题解析:
一. 向量的概念,向量的基本运算
(1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
(6)掌握平面两点间的距离公式.
1.(2007年北京卷理)已知是所在平面内一点,为边中点,
且,那么()A.
B.C.D.命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力.
解:
. 故选A.
2.(2006年安徽卷)在平行四边形中,,M为BC的中点,则______.(用表示)
命题意图:本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.
解:由得,,
所以。

3.(2006年广东卷)如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量( )
(A)(B)
(C)(D)
命题意图:本题主要考查向量的加法和减法运算能力.
解:,故选A.
4.设平面向量、、的和.如果向量、、,满足,且顺时针旋转
后与同向,其中,则()
(A)(B)
(C)(D)
命题意图:本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.
常规解法:∵,∴故把2 (i=1,2,3),分别按顺时针旋转30后与重合,故,应选D.
巧妙解法:令,则,由题意知,从而排除B,C,同理排除A,故选D.
点评:巧妙解法巧在取,使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.
二.向量的坐标运算
5.( 2006年重庆卷)与向量、的夹角相等,且模为1的向量是 ( )
(A)(B)或
(C)(D)或
命题意图:本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.
解:设与向量、的夹角相等,且模为1的向量为,

解得
故或,选B.
6.(2006年天津卷)设向量与的夹角为,且,,
则_.
命题意图:本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.
解:设,由

∴时,,故填.
7.(2006年湖北卷)已知向量,是不平行于轴的单位向量,且,则=()
(A)(B)(C)(D)
命题意图:本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.
解:设,则依题意有,故选B.
三. 平面向量与三角函数的结合
(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题,由于结合性强,因而综合能力较强,所以复习时,通过解题过程,力争达到既回顾知识要点,又感悟思维方法的双重效果,解题要点是运用向量知识,将所给问题转化为代数问题求解.
(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题,如垂直、平行、共线等,此类题综合性比较强,难度大.
8.(2007年陕西卷理17.)设函数,其中向量=(m,cos2x),
=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点,
(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
解:(Ⅰ),
由已知,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
当时,的最小值为,
由,得值的集合为
9.(2007年湖北卷理16)
已知的面积为,且满足,设和的夹角为.
(I)求的取值范围;
(II)求函数的最大值。

解:(Ⅰ)设中角的对边分别为,
则由,,可得,.
(Ⅱ)

,,.
即当时,;当时,.
10.(2007年广东卷理)已知的三个顶点的直角坐标分别为、、. (1)若,求的值;(2)若为钝角,求的取值范围;
解:
(1),,若,则,
∴,∴;
(2)为钝角,则,解得,
∴c的取值范围是。

11.(2007年山东卷文17)在中,角、、的对边分别为、、,.(1)求;(2)若,且,求.
解:
(1)
又,解得.
,是锐角,.
(2)∵,,.
又,,.


12.(2006年湖北)设函数,其中向量
,.
(Ⅰ)求函数的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)将函数的图像按向量平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的.
命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力.
解:
(Ⅰ)由题意得,
所以,的最大值为,最小正周期是.
(Ⅱ)由得,即,(k∈Z)
于是,(k∈Z)
因为k为整数,要使最小,则只有k=1,此时即为所求.
13.(2006年全国卷II)已知向量,,.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)求的最大值.
命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识,
考查推理和运算能力.
解:
(Ⅰ)若,则,由此得(),所以;
(Ⅱ)由,得
当时,取得最大值,即当时,最大值为.
四. 平面向量与解析几何的结合
14.(2006年陕西卷)如图,三定点、、,三动点D、
E、M满足,,,.
(I)求动直线DE斜率的变化范围;(II)求动点M的轨迹方程。

命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、
三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基
本知识,考查推理和运算能力.
解: 如图, (Ⅰ) 设
,,,则
,,
由, 知
∴即同理.

∵ , ∴.
(Ⅱ) ∵,,

∴即,∴.
∵, .
即所求轨迹方程为: ,
15.(2006年全国卷II)已知抛物线的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且
(),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明为定值;
(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出的表达式,并求S的最小值.
命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识,考查推理和运算能力.
解:
(Ⅰ)由已知条件,得,.
设,,则,.
由,得即
将(1)式两边平方并把,代入得(3)
解(2)(3)式得,,且有,
抛物线方程为,求导得.
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是,
即,.
解出两条切线的交点M的坐标为即.
∵,
所以
所以为定值,其值为0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,,,
因而.
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,
所以
于是,
由知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.。

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