【名校推荐】广东深圳中学高中数学必修二导学案23.空间直角坐标系

23．空间直角坐标系刘岩 学习目标1．用类比的方法得出空间直角坐标系的建立方法，了解相关概念． 2．能够在空间直角坐标系确定点的坐标． 3．掌握空间两点的距离公式，中点公式．4．能够通过建立适当的空间直角坐标系解决相关问题． 一、夯实基础 基础梳理1．空间直角坐标系如图，OABC D A B C ''''-是单位正方体，以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD '的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD '的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴，z 轴，这时我们说建立 了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．x将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135︒，而z 轴垂直于y 轴，x 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等． 2．右手直角坐标系；在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指指向z 轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系．3．空间直角坐标系中的点与有序数组之间的关系：（1）已知M 为空间一点，过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ．这样空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组x ，y ，z ．这组数x ，y 、z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，坐标为x ，y ，２z 的点M 通常记为(),M x y z ，．（2）反过来，一个有序数组x ，y ，z 我们在x 轴上取坐标为x 的点P 在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 同上取坐标为z 的点R ，然后通过P 、Q 、R 分别作x 轴、y 轴，z 轴的垂直平面．这三个平面的交点M 即为有序数组x ，y ，z 为坐标的点．数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 通常记为(),,M x y z ．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M 和有序数组x ，y ，z 之间的一一对应关系 4．空间两点的距离公式：空间中任意两点()1111,,P x y z ，()2222,,P x y z 间的距离为__________．空间中两点()1111,,P x y z ，()2222,,P x y z ，线段12P P 的中点M 的坐标是__________． 基础达标1．在空间直角坐标系中，点()1,0,1A 与点()2,1,1B -之间的距离为（ ） AB ．6CD ．22．求点()2,3,1A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点．3．如图在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1BB 和11D B 的中点，棱长为1，求E ，F 点的坐标．二、学习指引 自主探究1．要确定点在直线上的位置，可以建立数轴，并且一个数表示；要确定点在平面的位置，可以建立平面直角坐标系，并用有序实数对来表示．那么，要确定点在空间的位置可以怎么做？2．空间直角坐标系内，点的对称问题．其规律为：()(),,,,P x y z P x y z '−−−−−→---关于原点对称(),,xOy P x y z −−−−−−−→关于坐标平面对称____________________．(),,yOz P x y z −−−−−−−→关于坐标平面对称____________________．(),,xOz P x y z −−−−−−−→关于坐标平面对称____________________．3．在空间直角坐标系中，x 轴上的点、xOy 坐标平面内的坐标各具有什么特点？案例分析1．已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．【解析】先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系．正四棱锥P ABCD -的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为()2,2,0A -、()2,2,0B 、()2,2,0C -、()2,2,0D --、(0,0,P ．建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标． 2．（1）在空间直角坐标系O xyz -中，画出不共线的3个点P ，Q ，R ，使得这3个点的坐标都满足3z =，并画出图形，（2）写了由这三个点确定的平面内的坐标应满足的条件．Q （4，0，4，3）【解析】（1）取三个点()0,0,3P ，()4,0,3Q ，()0,4,3R ．（2）P ，Q ，R 三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在xOy 平面的同侧，且到xOy 平面的距离相等，所以平面PQR 平行于xOy 平面，而且平面PQR 内的每一个点在z 轴上的身影到的点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足3z =． 3．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，P 、Q 分别是D B '，B C '的中点，求PQ 的长．A【解析】以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD ' 分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题意得，(),,0B a a ，()0,0,D a '， ,,222a a a P ⎛⎫⎪⎝⎭，又()0,,0C a ，(),,B a a a '， ,,22aa Q a ⎛⎫∴⎪⎝⎭．22a PQ ∴=．三、能力提升能力闯关1．已知三角形的三个顶点()2,1,4A -，()3,2,6B -，()5,0,2C -，则过点A 的中线长为__________．2．已知点()1,2,1A -，()4,2,3B ，(),,15C x y 三点共线，那么x ，y 的值分别是__________．3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱PD ⊥底面ABCD ，2PD b =，取各侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点E ，F ，G ，H ，试建立空间直角坐标系，并写出点E ，F ，G ，H 的坐标．D AB C E FGP H拓展迁移4．在空间直角坐标系中，求出经过()2,3,1A 且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程． 5．在空间直角坐标系中，已知()3,0,1A 和()1,0,3B -，试问 （1）在y 轴上是否存在点M ，满足MA MB =？（2）在y 轴上是否存在点M ，使MAB △为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标． 挑战极限6．在正四棱锥S ABCD -中，底面边长为a ，侧棱长也为a ，以底面中心O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P 点在侧棱SC 上，Q 点在底面ABCD 的对角线BD 上，试求P 、Q 两点间的最上距离．A２３．空间直角坐标系 一、夯实基础 基础梳理12PP ；中点M 的坐标为121212 , , 222x xy y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭．基础达标１.Ａ． ２.()2 , 3 , 1A '-，()2 , 3 , 1A ''-和()2 , 3 , 1A '''--．３.方法一：从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B ，而B 点的坐标为()1 , 1 , 0，E 点的竖坐标为12，所以E 点的坐标为11 , 1 , 2⎛⎫ ⎪⎝⎭；F 点在xOy 平面上的射影为G ，而G 点的坐标为11 , , 022⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 点的竖坐标为1，所以F 点的坐标为11 , , 122⎛⎫⎪⎝⎭．方法二：可以得到()11 , 1 , 1B ，()10 , 0 , 1D ，()1 , 1 , 0B ．E 为1BB 的中点，F 为11D B 的中点，由中点坐标公式得E 点的坐标为11 , 1 , 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 点的坐标为 11 , , 122⎛⎫⎪⎝⎭．二、学习指引１.从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，建立空间直角坐标系O xyz -，我们用有序数组() , , x y z 来表示点的位置．２．() , , P x y z −−−−−→关于原点对称() , , P x y z '---() , , P x y z xoy −−−−−−−→关于坐标平面对称()5 , , P x y z '-() , , P x y z yoz −−−−−−−→关于坐标平面对称() , , P x y z '-() , , P x y z xoz −−−−−−−→关于坐标平面对称() , , P x y z '-３．落在x 轴上的点的坐标() , , x y z 满足：0y z ==。

落在xOy 坐标平面内的坐标() , , x y z 的坐标满足：0z =． 三、能力提升１.７． B ，C 的中点坐标为()1 , 1 , 2--，所以过点A 的中线长为７．２.12-，－４． 把由A ，B ，C 三点共线可得它们在各左标面上的射影共线．三点在xoz坐标面上的射影分别为()1 , 11，()4 , 3， , 15x ，可得12x =-；三点在yoz 坐标面上的射影分别是()2 , 11-，()2 , 3，() , 15y ，可得4y =-．３．由图知，DA DC ⊥，DC DP ⊥，DP DA ⊥，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D xyz -．因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行，从而这４个点的竖坐标都为点P 的竖坐标的一半，也就是b ，由H 为DP 中点，得()0 , 0 , H b ；E 在底面面上的射影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以() , 0 , E a b ，同理()0 , , G a b ；F 在坐标平面xoz ，yoz 上的射影分别为点E 和G ，故F 与E 横坐标相同都是a ，与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故() , , F a a b ． ４．求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解． ∵坐标平面yOz x ⊥轴，而平面α与坐标平面yOz 平行，∴平面α也与x 轴垂直，∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点， ∴平面α内的所有点的横坐标都相等．∵平面α过点()2 , 3 , 1A ，∴平面α内的所有点的横坐标都是２，∴平面α的方程为2x =．对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。