第4讲 函数的概念及解析式与定义域

素材3
(1)函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，对任意正实数 m，n 恒 有 f(mn)＝f(m)＋f(n)， 且 f(2)＝－1， 则 f(1)＝ 1 ， f(2)＝ ；
x2 1 1 (2)已知函数 f(x)＝ ，则 f(1)＋f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3) 1＋x2 1 ＋f(4)＋f(4)＝ .
f(ab)＝f(a)＋f(b)成立． (1)求 f(0)，f(1)的值； 1 (2)求证：f( x)＋f(x)＝0(x≠0)； (3)若 f(2)＝m，f(3)＝n(m、n 均为常数)，求 f(36) 的值．
【分析】 本题是一个抽象函数问题，直接求函数的 解析式是不可能的，需通过取特殊值来解决．
【解析】 (1)不妨设 a＝b＝0. 由 f(ab)＝f(a)＋f(b)，得 f(0)＝0. 设 a＝b＝1，得 f(1)＝0.
【解析】 (1)令 m＝n＝1，得 f(1)＝f(1)＋f(1)， 所以 f(1)＝0. 1 1 1 f(1)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝－1＋f(2)＝0， 1 所以 f(2)＝1.
12 x x2 1 1 (2)由 f(x)＝ ＝ 2，知 f( )＝ 2， x 1 2 1＋x 1＋x 1＋x 1 所以 f(x)＋f(x)＝1， 1 7 故原式＝ ＋1＋1＋1＝2. 1 ＋1
备选例题
【解析】 (1)依题意，0＜c＜1，所以 c2＜c. 9 9 1 3 由 f(c )＝8，得 c ＋1＝8，所以 c＝2.
2
2 (2)f(x)＞ 8 ＋1 等价于
2 1 1 5 即 4 ＜x＜2或2≤x＜8. 2 5 综上所述，所求解集为{x| 4 ＜x＜8}．
1 ．已知函数的解析式求其定义域，只要使解 析式有意义即)＋f(x)＝3x，求 f(x)的解析式．
1 【解析】2f(x)＋f(x )＝3x，① 1 1 3 将①中 x 换成x 得 2f(x )＋f(x)＝ x.② 3 1 由①×2－②得 3f(x)＝6x－ x，所以 f(x)＝2x－x .
三
综合问题
【例 3】已知函数 f(x)对任意的实数 a、b，都有
1 2 1 已知f ( x＋ )=x ＋ 2 ，求f ( x -1)． x x
1 1 2 错解：由已知f ( x＋ )=( x＋ ) 2， x x 所以f x =x 2 -2， 所以f ( x-1)=( x-1) 2 -2=x 2 -2 x-1.
错解分析：在使用配凑法或换元法求函 数解析式时，没有考虑替换元的等价性， 忽视其定义域的变化导致错误．
【点评】函数的定义域就是指使这个 式子有意义的所有实数 x 的集合．在一些 具体函数综合问题中，函数的定义域往往 具有隐蔽性，所以在研究这些问题时，必 须树立“定义域优先”的原则．而逆向问 题应注意命题的等价转化．
素材1
(1)若 f(x＋1)的定义域为[－2,3)， 则 f(2x－1)的定 义域为 ；
1.设 A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，则 f： A→B 不是函数的是( ) 1 1 A．f：x→y＝2x B．x→y＝3x 1 1 C．x→y＝4x D．x→y＝6x
1 【解析】 因为 x∈A，y＝2x∈[0,3] B. 由函数定义可知，对于 6∈A，在集合 B 中找不 到对应元素， 1 故 f：x→y＝2x 不是函数．
2.下列各组函数中表示同一个函数的是( x2－1 A．f(x)＝ 与 g(x)＝x＋1 x－1 1 2 B．f(x)＝lgx 与 g(x)＝2lgx Cf(x)＝ x2－1 与 g(x)＝x－1. x2－1 D．f(x)＝ 与 g(t)＝t＋1(t≠1) x－1
)
【解析】对于 A，f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x) 的定义域为 R，不是同一函数．同理，对于 B，两函 数的定义域不同，而对于 C，f(x)＝|x|－1，g(x)＝x－ x2－1 1， 对应法则不同， 只有 D， 定义域相同， 又 f(x)＝ x－1 ＝x＋1(x≠1)，对应法则相同，因而值域也相同，故 为同一函数．
3．函数的表示法 ⑧ 4．映射的概念设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应 关系f ，使对于集合A中的⑨ ______________ ，在集 合B中都有⑩ __________ 的元素y与之对应，那么就 称对应f ：A B为从集合A到集合B的一个映射． ．
【要点指南】 ①任意一个数x；②唯一确定；③定义域； ④{ f x | x A}；⑤集合B； ⑥定义域、对应法则、值域； ⑦定义域和对应法则完全相同； ⑧解析法、图象法、列表法； ⑨任意一个元素x；⑩唯一确定
x＋2 4.函数 y＝ ＋lg(4－x)的定义域是 x－1
.
【解析】
故该函数的定义域为[－2,1)∪(1,4)．
1 2 【解析】若 a≥0，则 1－2a＝a，所以 a＝3； 1 若 a<0，则a＝a，所以 a2＝1， 所以 a＝－1(a＝1 舍去)． 2 综上得 a＝－1 或3.
易错点： 分段函数在定义域的不同子集上 有不同的对应函数关系式， 忽视 a 在不同 子集上的变化，多取或少取 a 值．
偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于
零同时底数大于零不等于1，等等． 2 ．求函数的解析式的主要方法有：待定系数 法、换元法、配凑法、函数方程法、赋值法 等．当已知函数为某类基本初等函数时用待定 系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配 凑法，抽象型函数问题一般用赋值法或函数方
程法．
3．分段函数是指自变量在取值情况不同时， 对应法则不同．分段函数的定义域为自变 量的所有取值的集合．
二
函数的解析式
【例 2】(1)已知 f(x)是一次函数，并且满足 3f(x
＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求函数 f(x)的解析式； (2)已知函数 f(x)满足 f(3x＋1)＝9x2－6x＋5， 求函 数 f(x)的解析式； (3)已知 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求 f(x)．
素材2
1 (2)证明：当 x≠0 时，因为 x· x ＝1， 1 1 于是 f(1)＝f(x· x)＝f(x)＋f(x)＝0， 1 所以 f(x)＋f(x)＝0. (3)因为 f(2)＝m，f(3)＝n， 所以 f(36)＝f(22)＋f(32)＝f(2×2)＋f(3×3)＝2f(2) ＋2f(3)＝2(m＋n)．
一
函数的定义域
【例 1】 (1)函数 y＝ x2－2x－3＋log2(x＋2)的
定义域是__________； 1 (2)若函数 y＝ 2 的定义域为 R，则实数 2x ＋kx＋1 k 的取值范围是__________．
所以函数 y＝f(x＋1)＋f(x2－3x)的定义域 是{x|－1≤x≤0 或 x＝3}．
理解函数的概念；掌握简单函数的定义域 的求法；掌握求函数解析式的常用方法．
1．函数的概念 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A中的① __________________ ， 在集合B中都有② ____________ 的数f x 和它对应， 那么就称f ：A B为从集合A到集合B的一个函数， 其中x的取值范围A叫函数的③ __________ ， ④ ________ 叫函数的值域， 值域是⑤ ________ 的子集． 2．函数的三要素 ⑥ __________________________ 为函数的三要素． 两函数相同，当且仅当⑦ ．
3.设一个函数的解析式为 f(x)＝2x＋3，它的定义 域为{x∈Z|－1≤x<3}，则此函数的值域为 .
【解析】因为 f(x)的定义域为{x∈Z|－1≤x<3}＝ {－1,0,1,2}， 所以 f(－1)＝1，f(0)＝3，f(1)＝5，f(2)＝7， 故函数 f(x)的值域为{1,3,5,7}．
1 (2)若函数 f(x)＝ x 的定义域为 R，则实数 e －x＋m m 的取值范围是 .
【解析】 (1)因为－2≤x<3，所以－1≤x＋1<4. 5 由－1≤2x－1<4，得 0≤x<2， 5 故 f(2x－1)的定义域为[0，2)．
(2)由已知 ex－x＋m≠0 对 x∈R 恒成立， 即 m≠x－ex 对 x∈R 恒成立． 令 g(x)＝x－ex，则 g′(x)＝1－ex. 由 g′(x)＝0，得 x＝0， 故函数 g(x)在 x＝0 处取得最大值， 即 g(x)≤g(0)＝－1， 所以要使 m≠x－ex 对 x∈R 恒成立，则应有 m>－1.