高考数学(浙江版,理)课件:7.7 空间角
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(i)若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线,
如图1所示,则二面角的大小就是向量 AB 、 CD 的夹角.此时,cos θ=
④
AB c CD
| AB || CD |
.
(ii)设n1、n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α、β的法向量,则向量n1与n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图2、3).其中cos<n1,n2>=
.
答案
3, 6
3
2
解析 建立空间直角坐标系,且A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,1),D(0,0,1),
则M 12 ,
1 2
,0
,设N(x,x,1),x∈[0,1],
c
则 MN
=
x
1 2
,
x
1 2
,1
, BD
=(0,-1,1),
3
AM=A,所以DM⊥平面SAM.
由于DM⊂平面SDM,所以平面SDM⊥平面SAM. 过点A作AN⊥SM,垂足为N,则AN⊥平面SDM,故∠ASM即为直线SA与平
面SDM所成的角.因为SA=1,AM= 2 ,所以SM= 3 .则sin∠ASM=AM =2 = SM 3
6 ,故直线SA与平面SDM所成角的正弦值为 6 .故选A.
6
3.线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内,并与这两个面都成30°角,
则异面直线AB与l所成的角是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案 B 如图,在α内作AA'⊥l于A',在β内过点B作l的平行线,过点A'作l
的垂线,两线交于点C,作BB'⊥l于B'.连结AC,则∠ABC即为异面直线AB与
由此可知,直线和平面所成的角的范围为 0, 2
.
求直线与平面所成角的一般过程:通过射影转化法,作出直线与平面所成
的角;在三角形中求角的大小.
向量法:设PA是平面α的斜线,m=P A ,n为平面α的法向量,PA与平面α所成
m n
的角为θ,则sin θ=② | mc| | n | .
.
直线与平面所成的角 典例2 如图,四边形ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,SA=AB=1,AD=2,点M 为BC的中点,求直线SA与平面SDM所成角的正弦值.
解析 解法一:连结AM,因为点M为BC的中点,SA=AB=1,AD=2,所以AM= DM= 2 ,
由勾股定理的逆定理知DM⊥AM.又c SA⊥平面ABCD,则DM⊥SA,因SA∩
解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2), ∴ AN=(-1,0,-2), BM=(1,-1,-2),
∴cos< AN , BM >= AN BM = 1 4 = 3 = 30 ,故选C. | AN || BM | 5 6 30 10
所以CM= CD2 MD2 =2 2 ,AN= AC2 NC2 =2 2 ,MH=1 AN= 2 ,HC=
2
NC2 NH 2 = 3 ,
则|cos∠HMC|=| CM 2 MH 2 HC2 | =7 .
2CM MH
8
故异面直线AN,CM所成角的余弦值为78 .
1-2 (2015杭州二模文,15,4分)在正四面体ABCD中,M是AB的中点,N是棱 CD上的一个动点,若直线MN与BD所成的角为α,则cos α的取值范围是
则三棱锥A-SDM的体积为V1=1 ×1 × 2 × 3 ×d= 6 d.
所以BM与AN所成角的余弦值为|cos<B M ,A N >|= 30 . 10
异面直线所成角的求解方法 (1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角. (2)用“向量法”求两直线的方向向量所成角(或其补角),当异面直线的 方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.
1-1 (2015浙江,13,4分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=
⑤
|
c n1 n2
n1 || n2
|
.
1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
答案 C 如图,正四棱锥P-ABCD中,过P作PO⊥平面ABCD于点O,连结
AO,则AO是AP在底面ABCD上的射影,
∴∠PAO即为所求的角,易知AO= 2 ,又PA=1,∴cos∠PAO= AO = 2 ,∴
2
4 t
3 t2
令 1t =u∈ 23 ,2 ,
则cos
α= 2
2
× 3u
2
1 4u
2
,3u2-4u+2∈ 23 ,6
, 3u 2
1 4u
2
∈
6, 6
6 2
,
所以cos
α= 2
2
×
3u
2
1 4u
2
∈
3, 6
3 2
取x=1,得n=(1,1,2).
设直线SA与平面SDM所成角为θ,
则sin θ=|cos< AS ,n>|= | AS n | = 2 = 6 , | AS | | n | 6 3
故直线SA与平面SDM所成角的正弦值为 6 . 3
解法三:设点A到平面SDM的距离为d,
由解法一知DM⊥AM,DM⊥SM,且DM= 2 ,SM=3 .
)
A. 1
2
答案
B. 3 C. 1 或 5 7
2
2 14
D. 3 或 5 7 2 14
D 取BC的中点H,连结FH、EH,则∠EHF=60°或∠EHF=120°,由
已知得HE=1,HF=2,由余弦定理可得EF= 3 或EF= 7 .从而有cos∠EFH=
3 或cos∠EFH=5 7 ,即异面直线EcF与CD所成角的余弦值为 3 或5 7 .
x
2
则cos α=|cos< MN , BD >|=
2
2
x
1 2
2
1
= 2 × 2
2
3 2
x
2
x
1 2
2
1
.
令 23 -x=t∈ 12 , 23
,
则cos α= 2 × t2 = 2 × 1 ,
2
2t2 4t 3 2
2
PA 2
∠PAO=45°,即所求角为45°.故选C. c
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1与平面BB1D1D所成的角是 ( )
A.
6
答案
B. C. D.
4
3
2
A 连结A1C1交B1D1于E,连结BE、C1E,易知C1E⊥平面BB1D1D,所
以BC1与平面BB1D1D所成角就是∠cC1BE,而sin∠C1BE=EBCC11
PA PC <0,等价于 PA· PC <0,
| PA | | PC |
即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2
=(λ-1)(3λ-1)<0,得 1<λ<1.
3
因此,λ的取值范围为 13 ,1.
异面直线所成的角
典例1 (2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分 别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为 ()
1.直线与直线所成的角 (1)定义法:用平移转化的方法,将异面直线所成的角转化为相交直线所成 的角. (2)确定两条直线的方向向量分别为a,b,则两条直线所成角θ的余弦为cos
θ=① | aac||bb |
化为坐标运算.
,既可以用数量积公式直接计算,也可以建立坐标系后转
2.直线和平面所成的角 分类:(1)直线与平面斜交时,直线和平面所成的角是指这条直线和它在平 面内的射影所成的锐角; (2)直线和平面垂直时,直线和平面所成的角为90°; (3)直线和平面平行或直线在平面内时,直线和平面所成的角为0°.
A. 1 B. 2
10
5
答案 C
C. 30 10
D. 2 2
解析 解法一:取BC的中点Q,连结QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ即为所
求,设BC=CA=CC1=2,
c
则AQ= 5 ,AN= 5 ,QN= 6 ,
∴cos∠ANQ= AN 2 NQ2 AQ2 2AN NQ
= 5 6 5 = 6 = 30 ,故选C. 2 5 6 2 30 10
l所成的角.连结A'B.由题意易知AA'=1 AB,BB'=A'C1= AB,A'B=3 AB,所以
2
2
2
A'B'=BC= 2 AB,AC= 2 AB.由勾股c定理逆定理知∠ACB=90°,则∠ABC=4
2
2
5°.
4.空间四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD的中点,若CD=2AB=4,异面直 线AB与CD所成的角为60°,则异面直线EF与CD所成角的余弦值为 (
(2)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个
半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.由此可知,二面角的平面角
所在的平面与棱垂直.
(3)射影法:利用面积射影公式③S射=S斜·cos θ
角的大小.此方法不必在图中画出平面角.
,其中θ为二面角的平面
(4)向量法:设二面角α-l-β的平面角为θ,
由 D1B =(1,1,-1)得 D1P =λ D1B =(λ,λ,-λ), 所以 PA= PD1 + D1 A =(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1), PC = PD1+ D1C =(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1). 显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos<P A ,P C >=
3
3
解法二:以AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(0,1,0),S(0,0,1),D(2,0,0).
依题意有M(1,1,0), DM =(-1,1,0), DS =(-2,0,1),
设平面SDM的法向量为n=(x,y,z),则有2xxyz00, ,
5
线AM与CN所成角的余弦值为2 .
4
4
5
6.(2015浙江金丽衢十二校联考)如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-
A1B1C1D1的对角线BD1上,记DD11PB =λ.当∠APC为钝角时,求λ的取值范围.
解析 以{ DA, DC, DD1}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标
系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,c0),D1(0,0,1).
BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值
是
.
答案
7
8
解析 连结DN,取DN的中点H,连结HM,HC,由N、M、H均为中点,知|cos ∠HMC|即为所求.
因为AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,
又M,N分别为AD,BC的中点,
所以CM⊥AD,AN⊥BC,
,C(0,1,0),N 1,1, 12
,则A M
= 0, 12 ,1
,
CN
= 1, 0,
1 2
,∴|cos< AM
, CN
>|= | AM
| AM
CN | | | CN
|
=
| 01 1 0 1 1
2
2
0 1 1 10
| 1
= 2 .即直
解法三:不妨取AC=CB=CC1=2, 则BM= 6 ,AN= 5 ,B M ·A N
=( BB1 + B1M )·( AA1 + A1N )
=
BB1
1 2
B1C1
1 2
C1
A1
·
AA1
1 2
A1C1
=3,
则cos< BM , AN >= BM AN = 30 , | BM || AN | 10
转化法:若斜线段(其中有一个端点在平面内)长度确定,则求斜线与平面 所成角的问题可转化为直角三角形中的问题,求斜线段的另一个端点到 平面的距离,即求点到平面的距离,进而求角.
3.二面角
(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点分别在两个半平
面中作棱的垂线,得出平面角.用定义法时,要认真观察图形的特征.
2
14
2 14
5.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是A1B1和BB1
的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为
.
答案 2
5
解析 以D为坐标原点,D A 为x轴正向,D C 为y轴正向,D D1 为z轴正向建立
空间直角坐标系,则A(1,0,0),M 1, 12 ,1