江西省宜丰中学2019届高三数学上学期第四次月考试题理

江西省宜丰中学2019届高三数学上学期第四次月考试题理一、单选题1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．如下图，在边长为4的正方形内有区域（阴影部分所示），现从整个图形中随机取一点，若此点取自区域外的概率为0.4，则区域的面积为（）A． 4 B． 9 C． 9.6 D． 6.43．命题：中，若，则；命题：若，则方程一定无实根，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．4．已知等比数列的前n项和为S n=m+则m=（）A． 1 B．-1 C．D．5．已知函数是奇函数，且满足，则=（ ）A． 1 B．﹣1C． 3D．﹣36．将多项式分解因式得，为常数，若，则（）A． -2 B． -1 C． 1 D． 27．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 ( )A． 2 B． 4 C． 6 D． 88．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A．图象关于直线对称 B．图象关于点中心对称C．在区间单调递增 D．在区间上单调递减9．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A． B． C． D．10．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且MN的中点为，则双曲线的方程为A．B．C．D．11．某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题分别为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛．规定：每场竞赛的前三名得分分别为，，（，且，，），选手的最终得分为各场得分之和．最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在四场竞赛中，已知甲最终分为分，乙最终得分为分，丙最终得分为分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“听”这场竞赛的第三名是（）A．甲B．乙C．丙D．甲和丙都有可能12．若关于x的方程有三个不等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为 A．B．e C．D．二、填空题13．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝ (＋)，则与的夹角为________．14．设满足约束条件，则的取值范围为__________．15．已知离心率的双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点．若的面积为1，则实数的值为___．16．如图,一张矩形白纸ABCD,AB=10,AD=,E,F 分别为AD,BC 的中点,现分别将△ABE,△CDF 沿BE,DF 折起,且A 、C 在平面BFDE 同侧,下列命题正确的是____________(写出所有正确命题的序号)①当平面ABE∥平面CDF 时,AC∥平面BFDE ②当平面ABE∥平面CDF 时,AE∥CD ③当A 、C 重合于点P 时,PG⊥PD④当A 、C 重合于点P 时,三棱锥P-DEF 的外接球的表面积为150 π三、解答题17．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是设向量，，．（1）若∥，试判断△ABC 的形状并证明； （2）若⊥，边长，∠C=，求△ABC 的面积．18．已知各项均不为零的数列的前项和为，且对任意，满足．{}n a n n S *n N ∈()1113n n S a a =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设数列满足，数列的前项和为，求证： ． {}n b 2log n n n a b a ={}n b n n T 89n T <19．假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.20．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证； （2）求二面角的余弦值.21．在直角坐标系中，动圆与圆外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的轨迹方程；（2）设过定点的动直线与曲线交于两点，试问：在曲线上是否存在点（与两点相异），当直线的斜率存在时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数的最大值为， 的图像关于轴对称. ()ln f x b x x =-1e()22g x x ax =++y （1）求实数， 的值.a b （2）设，则是否存在区间()()()F x g x f x =+，使得函数在区间上的值域为[](),1,m n ⊆+∞()F x [],m n ,若存在，求实数的取值范围；若不存()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦k 在，请说明理由.2018-2019（上）高三第四次月考数学试卷（理科）参考答案1．D因为，即，得，令，得，所以，2．C设区域的面积约为，根据题意有：，解得，故选C.3．B三角形中，大角对大边，它的正弦值也大，故命题为真命题.当时，方程的判别式无法判断正负，故为假命题，所以，以及都是假命题，为真命题.4．D等比数列的前n项和为S n=m+.所以有.由等比数列有：，即得.故选D.5．A解：∵函数f（x）是奇函数，且满足f（x）=，∴f（﹣5）=﹣f（5）=﹣f（3）=﹣f（1）=﹣（1﹣2）=1．故选：A．6．D因为的通项公式为，=x+（-2）=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，故选D.7．C根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V=．故选：C．8．C将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin[2（x-）-]=sin （2x-）的图象，当x=时，求得g（x）=0，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故排除A．当x=时，g（x）= sin≠0，故g（x）的图象不关于点对称，故排除B；在上，2x-∈，sin（2x-）单调递增，故g（x）单调递增，故C正确；故选C．9．C第一次循环,第二次循环,第三次循环,第四次循环,第五次循环,第六次循环,第七次循环,第八次循环,第九次循环满足题意,此时输出k为9,故选C.10．D解：根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且，，直线MN过焦点F，则，则有，变形可得，，，，又由，且，，变形可得：，又由，则，解可得：，，则要求双曲线的方程为：；11．C总分为，∴，只有种可能或，若、、分别为、、时，若乙在“听”中得第名，得分，即使他在剩下三场比赛中都得第名，得分，不符合要求，故、、分别为、、，乙的得分组成只能“听”、“说”、“读”、“写”分别得分、、、分，即乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，其余均为第三名，由于甲得分为分，其得分组成只能是“听”、“说”、“读”、“写”分别得分、、、分，在“听”比赛中甲、乙、丙三人得分分别为、、分，故获得第三名的只能是丙，故选．12．A解：由关于x的方程，令，则有，令函数，，在递增，在递减，其图象如下：要使关于x的方程关于x的方程有3个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于t的方程一定有两个实根，，且，，，，可得，故选：A．13．由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.14．由约束条件作出可行域如图，联立，解得，联立，解得，由图可知，当目标函数过时，有最小值为；当目标函数过时， 有最大值为，故答案为.15．2直径所对的圆周角为直角，故，双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，故直角三角形的面积为，联立方程，解得.16．①④【解析】 在中， ，在中，ABE ∆tan ABE ∠=ACD ∆tan CAD ∠=，ABE DAC ∠=∠ 由题意，将沿折起,且在平面同侧， ,ABE CDF ∆∆,BE DF ,A C BEDF 此时四点在同一平面内，平面平面，,,,A C G H ABE ⋂AGHC AG =平面平面，当平面平面时，得到, CDF ⋂AGHC CH =//ABE CDF //AG CH 显然，所以四边形是平行四边形，所以, AG CH =AGHC //AC GH 进而得到平面，所以①正确的；//AC BFDE 由于折叠后，直线与直线为异面直线，所以与不平行，所以②错误的；AE CD AE CD 折叠后，可得, ，其中,ZE ，所以和PG =10PD =10GD =222PG PD GD +≠PG 不垂直，所以③不正确；当重合于点时,在三棱锥中， 和PD ,A C P P DEF -EFD ∆均为直角三角形，所以为外接球的直径，即则三棱锥FCD ∆DF 22DF R ==P DEF -的外接球的表面积为，所以④是正确，综上正确命题的序号为2244150R πππ=⨯=①④.17．详解：（1）ABC 为等腰三角形； 证明：∵ =（a ，b ），（sinB ，sinA ），∥， ∴， 即=，其中R 是△ABC 外接圆半径， ∴∴△ABC 为等腰三角形（2）∵，由题意⊥，∴ 由余弦定理可知，4=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab 即（ab ）2﹣3ab﹣4=0，∴ab=4或ab=﹣1（舍去） ∴S=absinC=4sin =．18．（1）.（2）见解析.4n n a =（1）当时， ，∵，∴.∵，∴当1n =()1111113a S a a ==-10a ≠14a =()413n n S a =-2n ≥时， ，两式相减得，因， ，故，∴数列()11413n n S a --=-14n n a a -=14a =0n a ≠14n n a a -=是首项为4，公比为4的等比数列，∴.{}n a 4n n a =（2）∵，∴，∴， 2log 2n n n a b a n ==124n n n b =12324624444n nnT =++++，两式相减得： 23411246244444n n nT +=++++ 23123132222211112244444444444n n n n n n n T ++⎛⎫=++++-=++++- ⎪⎝⎭ .所以. 111111222226844214334433414n n n n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=-⋅⋅-86889949n nn T +=-<⋅19．（1）；（2）见解析.（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件，则=．（2）命中的次数可取0，1，2，3；，， ,,所以答：的数学期望为2． 20．(1)见解析;(2).试题解析：（1）取中点，连结，，∵是正方形，∴，又∵，，∴，∴面，∴，又∵，，都是中点，∴，，∴面，∴； （2）建立如图空间直角坐标系，由题意得，，，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，得，同理得平面的法向量为，∴，所以他的余弦值是.21．（1）；（2）答案见解析. 【详解】（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切， 所以，① 又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，②由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），0 1 2 3则，，，，，所以，③显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2， 联立方程组，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1， 所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2， 代入③式得，令（m 为常数），整理得，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立， 所以，所以或，即M （2，4）或M （-2，－4），即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （-2，－4）满足题意．22．（1）， .（2）见解析. 0a =0b =（1）由题意得，令，解得，当时， ()'ln 1f x x =--()'0f x =1x e =10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数单调递增；当时， ，函数单调递减.所()'0f x >()f x 1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()'0f x <()f x 以当时， 取得极大值，也是最大值，所以，解得.1x e =()f x 111f b e ee ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0b =又的图像关于轴对称，所以，解得.()22g x x ax =++y 02a -=0a =（2）由（1）知， ，则，所以()ln f x x x =-()22g x x =+()2ln 2F x x x x =-+，令，则对()'2ln 1F x x x =--()()'2ln 1x F x x x ω==--()1'20x xω=->()1,x ∀∈+∞恒成立，所以在区间内单调递增，所以恒成立，所以函数()'F x ()1,+∞()()''110F x F >=>()F x 在区间内单调递增. ()1,+∞假设存在区间，使得函数在区间上的值域是[](),1,m n ⊆+∞()F x [],m n ，()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦则，问题转化为关于的方程()()()()2222{ 22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+x ()2ln 22x x x k x -+=+在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否()1,+∞2ln 22x x x k x -+=+()1,+∞存在两个不相等的实根，令， ，则()2ln 22x x x h x x -+=+()1,x ∈+∞，()()22342ln '2x x xh x x +--=+设， ，则对()2342ln p x x x x =+--()1,x ∈+∞()()()2122'230x x p x x x x-+=+-=>恒成立，所以函数在区间内单调递增，故恒成立，()1,x ∀∈+∞()p x ()1,+∞()()10p x p >=所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区()'0h x >()h x ()1,+∞2ln 22x x x k x -+=+间内不存在两个不相等的实根.()1,+∞综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是[](),1,m n ⊆+∞()F x [],m n .()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦。