2014全国数学竞赛初三决赛试卷

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全国初中数学竞赛试题及答案

1. 角函数的计算和证明问题

在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：

(1)三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大;cosa与ctga随a的值增大而减小;当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.

注意到sin45=cos45= ,由(1)可知,当时0sina;当45

(2)三角函数的有界性|sina|1,|cosa|1,tga、ctga可取任意实数值(这一点可直接利用三角函数定义导出).

例1(1986年全国初中数学竞赛备用题)在△ABC中，如果等式sinA+cosA= 成立，那么角A是( )

(A)锐角 (B)钝角 (C)直角

分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.

解当A=90时，sinA和cosA=1;

当45 ，cosA0，

sinA+cosA 当A=45时，sinA+cosA= 当00,cosA sinA+cosA ∵ 1, 都大于 .

淘汰(A)、(C)，选(B).

例2(1982年上海初中数学竞赛题)ctg6730的值是( )

(A) -1 (B)2- (C) -1

(D) (E) 分析构造一个有一锐角恰为6730的Rt△，再用余切定义求之.

解如图36-1，作等腰Rt△ABC，设B=90，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC= ，D=22.5,DCB=67.5.这时，

ctg6730=ctgDCB= 选(A).

2014年全国初中数学联合竞赛试题及答案

2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案

（八年级组）

第一试

一、选择题

1．C 2．D 3．A 4．B 5．B （5.由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫

⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢

⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎝⎭

可得11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2014=4×

503+2，所以2014x =2）二、填空题

6．20°

7．－4

8．91

9．5（小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块）

10．23（对角四边形的面积之和相等）

第二试

一、（1）证明：∵2

33x x y y =+=+，，

∴2

2x y x y -=-

∴ 1 ()x y x y +=≠……………………………………………………6分

（2）解：∵2

33x x y y =+=+，，∴3

33x x x y y y =+=+，， 43243233x x x y y y =+=+，，54354333x x x y y y =+=+，，

∴5

3339339x y x x y y x x x x y y y y +=+++=++++++3+ 2

712712x x y y =+++

3()2()1921192119()4261x y x y x y x y =+++=+++=++=.………15分二、解：方程两边分解因式得（2x +y ）（x +y ）=2×19×53．………………………………5分

试卷：2014年上海市新知杯初中数学试题(含答案解析)

2014上海市初三数学竞赛试卷

（2014年12月7日上午9：00—11:00）

解答本试卷可以使用科学计算器

一、填空题（每小题10分，共80分）

1.化简：3223

2a a b ab b a ab b

--+=-+ 2. 若

y x

a x z

+=，z y b y x +=，x z c z y +=，则()()()b c a c a b a b c +-+-+-的值为

3. 已知ABCD 是等腰梯形， ABIICD ，AB=6，CD=16，△ACE 是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD ，则AE 的长为

4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为

5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为

6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221

x y x y ⎧≤⎪

≤⎨⎪

-≤⎩确定的区域的面积为

7. 使得关于x 的方程22

1130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是

8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111

(201420142014)

k d d d +++=+++

二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)

x x x x a x x

+--=++

10.如图，在凸四边形ABCD 中，已知∠ABC +∠CDA =3000，AB CD BC AD ⨯=⨯, 求证：AB CD AC BD ⨯=⨯

初三数学竞赛试题(含答案)-

初三数学竞赛试题

班级姓名

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+2

3223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（）

（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）3

43<>a a 或 2．一块含有︒30AB ＝8cm, 里面

空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是

1cm,那么DEF ∆的周长是（）

(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+

3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )

(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种

4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( )

(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y

5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( ) (A)

32 (B) 31 (C) 21 (D) 6

1 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方

向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。

如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶

初三数学竞赛试题(决赛)

初三数学竞赛试题（决赛）

（时间：120分钟满分：120分）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么 a 和 b 的大小为（）

A ．b a >

B ．b a <

C ．b a =

D ．与勺子大小相关

2．若22222008200820072007+⨯+=a ，则关于a 的说法准确的是（）

A ．是正整数，而且是偶数

B ．是正整数，而且是奇数

C ．不是正整数，而是无理数

D ．无法确定

3．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（）

A ．5个

B ．4个

C ．3个

D ．2个

4．如图，直线l 1：1+=x y 与直线l 2：2

1--=x y 把平面直角坐标系分成四个部分，点（－1，2）在（）

A ．第一部分

B ．第二部分

C ．第三部分

D ．第四部分

5．方程1|3|3||=+-x x 的解的个数是（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

第4题第6题

6．如图，点P 为弦AB 上的一点。连接OP 。过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ．若AP ＝8，PB ＝2，则PC 的长是（） A ．4 B ．22 C ．5 D ．无法确定

二、填空题（每小题5分，共30分）

7．已知已知a 、b 是一元二次方程012=--x x 的两个根，则代数式b a b a 232322--+ 的值等于．

8．已知81=-a b ，4122=+a a ，则a a

全国初三数学竞赛题试卷

一、选择题（每题5分，共25分）

1. 下列哪个数不是有理数？

A. 0.25

B. 1/2

C. -1/3

D. √2

2. 若x=2，则下列等式中不成立的是：

A. x²=4

B. x³=8

C. x²=2

D. x³=16

3. 下列哪个数是负数？

A. -3

B. 0

C. 1/3

D. -1/3

4. 若a、b、c是三角形的三边，则下列哪个结论一定成立？

A. a+b>c

B. a+c>b

C. b+c>a

D. a-b>c

5. 下列哪个函数是单调递增函数？

A. y=2x+1

B. y=2x-1

C. y=-2x+1

D. y=-2x-1

二、填空题（每题5分，共25分）

6. 若x²-5x+6=0，则x的值为______。

7. 若a²+b²=1，则a²+b²+2ab的值为______。

8. 若sinA=1/2，则cosA的值为______。

9. 若等差数列的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为______。

10. 若一个正方形的对角线长为10cm，则该正方形的面积为______cm²。

三、解答题（每题10分，共30分）

11. 已知一元二次方程x²-4x+3=0，求该方程的解。

12. 已知等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=60°，求∠ABC的度数。

13. 已知函数f(x)=2x+1，求函数f(x)的对称轴方程。

四、应用题（每题10分，共20分）

14. 一辆汽车从A地出发，以每小时60km的速度匀速行驶，经过2小时到达B地。然后，汽车以每小时40km的速度匀速行驶，经过3小时到达C地。求A、B、C三

全国初三初中数学竞赛测试带答案解析

全国初三初中数学竞赛测试

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、选择题

1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为( ).

(A)35 (B)40 (C)81 (D)84

2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有( )个.

A．50B．90C．99D．100

3.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x

1，0)，(x

，0)，且

=8a-3.则a的值是( ).

A．1B．2C．0或D．

4.若不等式ax2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是( ).

A．2≤x≤3B．2

5.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边

△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于( ).

(A) (B) (C) (D)

6.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待

定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有( )个可以是这枚棋子出发的小方格.

A．6B．8C．9D．10

二、填空题

1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.

则PB= .

2.设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1="(x-b)(x-c)" 恒成立.则a+b+c的值为 .

初三奥数竞赛题及答案

全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

、如果2a =-1

1123a +++的值为【】

（A

）（B

（C ）2 （D

）解：B ∵213+=+a ∴1231-=+a ，12312+=++a ，123121-=++a 因此原式=2

2、在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式y x y x 2222+≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为

【】

（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5

解：B 解法一：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x

因为x 、y 均为整数，因此()()01122=-+-y x 或()()11122=-+-y x 或()()2112

2=-+-y x 分别解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩

⎨⎧==02y x 所以共有9个整点解法二：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x 它表示以点（1,1）为圆心，2为半径的

圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）

3、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为【】

初三数学竞赛辅导教程

5.设表示不超过实数的最大整数，正整数n小于100且满足，这样的正整数n有几个？（2000年全国初中数学联赛第一试第4题）
6.设表示不超过t的最大整数，令 . 已知实数x满足，求 .（2014全国初中数学联赛第5题）
7.设表示不超过实数的最大整数，求方程 - 8[x]+ 7 = 0的所有解的平方和
8. 求满足不等式的最大正整数，其中表示不超过实数的最大整数.（2008新知杯第五大题）
1.4 概率
一、基本概念
1. 排列
（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列。
（2）排列的计算公式：；使用计算器时先输入n的值，然后按P按钮，再输入m的值。
2. 组合
5. 已知x、y是正整数，并且，，则 =____________
6. 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设为整数，当直线的交点为整数时，可以取的值有________个
7. 若实数x、y满足，，则x+y=__________
8. 已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有____对
二、练习题
1. 在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边顺次为a、b、c，若关于x的方程的两根平方和为10，求的值.（2007新知杯第3题）
2. 已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为−2，求所有实根的平方和.（2009新知杯第4题）

初三数学竞赛试题及参考答案

全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填得零分）

1、方程组⎩

⎨

⎧=+=+6||12

||y x y x 的解的个数为（）

A 、1

B 、 2

C 、3

D 、4

答案：A

解析：若0≥x ，则⎩

⎨

⎧=+=+6||12

y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能

若0 x ，则⎩

⎨

⎧=+=+-6||12y x y x

于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩

⎨

⎧=-=93

y x ，只有1个解．故选（A ）．

2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）

A 、 14

B 、 16

C 、18

D 、20

答案：B

解析：用枚举法：

红球个数白球个数黑球个数种数

5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，

6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，

7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，

8 3，2，1，0 4 所以，共16种．故选（B ）．

3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（）

A 、内心

B 、外心

C 、重心

年全国初中数学联合竞赛决赛试题

1 / 1 年全国初中数学联合竞赛决赛（初三）试卷

第二试（）（月日上午﹕——﹕）

考生注意：本试共三个大题，第一题分，第二、三题各分，全卷满分分.

一、（本题满分分）

已知实数,,a b c 满足a b c ≤≤，16a b c ++=，

22211284

a b c abc +++=，求c 的值.

二、（本题满分分）

求所有的正整数m ，使得212

21m m --+是完全平方数.

三、（本题满分分）

如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ∠=∠，OA OD ⊥，OB OC ⊥.求证：2222AB CD AD BC +=+.

初三数学竞赛试卷难点

16．一商店销售某种食品，每天从食品厂批发进货，当天销售. 已知进价为每千克5元，售价为每千克9元，当天售不出的食品可以按每千克3元的价格退还给食品厂. 根据以往销售统计，该商店平均一个月(按30天计算)中，有12天每天可以售出这种食品100千克，有18天每天只能售出60千克. 食品厂要求商店每天批进这种食品的数量相同，那么该商店每天从食品厂批进这种食品多少千克，才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?

初中数学竞赛试卷第4页(共6页)

18．给出一个三位数. 重排这个三位数三个数位上的数字，得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成一个三位数（允许百位数字为零），再重排这个得到的三位数三个数位上的数字，又得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差又构成另一个三位数（允许百位数字为零），重复以上过程. 问重复2007次后所得的数是多少？证明你的结论.

初三数学竞赛参考答案和评分意见

一、选择题(每小题5分，共40分) 1—8：ACAD BCBC

二、填空题(每小题5分，共30分)

9． 30︒或150︒ 10． 0 11．

34 12． 21033y x =-+ 13．1 14 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）

15．一次函数11+-=

k kx y 的图象与两坐标轴的交点为（1k ，0）、（0，11

k +），所围成的图形的面积为)

1(1

2111121+⋅=+⋅=

k k k k S k . …………4分 ∴1S +2S +3S +2006S +

200720061

2014年全国初中数学联赛决赛(初三)试题及其解答

2014 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第 4 页（共 6 页）
＝ (x y z)3 3(x y z)(xy yz zx)
1 (x y z)(x2 y2 z2 xy yz zx) 2
1 (x y z)[(x y)2 ( y z)2 (z x)2 ]. 2
【答】 0.
由题意知 1 1 1 1，所以 1 2c 1 2a 1 2b
(1 2a)(1 2b) (1 2b)(1 2c) (1 2a)(1 2c) (1 2a)(1 2b)(1 2c)
整理得 2 2(a b c) 8abc ，所以 abc 0.
2014 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第 2 页（共 6 页）
8.
a2 b2 a2b2
a2b2
22
二．（本题满分 25 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且满足 ECD ACB ,
AC 的延长线与△ ABD 的外接圆交于点 F . 证明： DFE AFB ．
D
证明由 ABCD 是平行四边形及已知条件知 ECD ACB DAF .
．
【答】 48 .
由题意可得 PEA PEB CED AED ，
B
而 PEA PEB AED 180 ，
所以 PEA PEB CED AED 60，
从而可得 PCA 30 .
又 BPC 108 ，所以 PBE 12 ，从而 ABD 24 .

全国初三初中数学竞赛测试带答案解析

全国初三初中数学竞赛测试

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、填空题

1.分数，，，，中最小的一个是。

2.如右图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为。

3.将105表示成不少于两个连续的(非零)自然数之和，最多有种表达方式。

4.将奇数1、3、5、…、2007、2009从小到大排成一个多位数A=135********…20072009，从A中截出能被5整除的五位数，则所有的这种五位数中，最小数是，最大数是。

二、解答题

1.如果一个自然数n能被不超过的所有的非0自然数整除，我们称自然数n为“牛数”。

请写出所有的牛数。

2.循环小数0.xyz可以表达成0.xyz=。已知算式´0.c5d=中a，b，c，d，e，f都是

数字，且c<4。求出所有满足条件的两位数。

3.下列m个整数中恰有69个不同的整数，问自然数m的最大值和最小值分别是多少？

[]，[]，[]，…，[]。

4.已知四边形ABCD中AD//BC，AD：BC=1：2，S

D AOF ：S

D DOE

=1：3，S

D BEF

="24" cm2，求r AOF的面积。

全国初三初中数学竞赛测试答案及解析

一、填空题

1.分数，，，，中最小的一个是。

【答案】

【解析】略

2.如右图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为。

【答案】24

【解析】S(ADP)+S（APM）+S(MBC)="0.5" S(ABCD)=S(AND)

初三奥数竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。）

1、如图，有一块矩形纸片 ABCD A 吐8, AD = 6。将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为AE,再将△ AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为卩，则厶CEF 的面积为（）

A 、2

B 、4

答：A

解：由折叠过程知，DE= AD= 6, 三角形，且ECP 8— 6= 2,所以，

2、若 M = 3x 2 -8xy 9y 2 -4x 6y 13 （x, y 是实数），则 M 的值一定是（

A 、正数

B 、负数

C 、零

D 、整数

1 - 1 1 1 1 1 '

訂2 需弋1 五）七

（1

/ DAE^Z CEP 45°，所以△ CEF 是等腰直角 S/\ CEF = 2

解：因为 M= 3x 2「8xy 9y 2「4x 6y 13 = 2（x 「2y ）2 （x 「2）2 且x-2y , x-2 , y 3这三个数不能同时为0,所以M> 0

3、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A, B , G 分别是C1 点I 关于边BC , CA AB 的对称点。若点B 在厶ABC 的外接圆上，则Z ABC 等于（ A 、30° B 答：C 解：因为IA

、45° 、60° 1

= IB 1= IC 1 = 2r （r 为厶ABC 的内切圆半径），所以

点I 同时是△ ABG 的外接圆的圆心，设IA 1与BC 的交点为D,则IB 所以Z IBD = 30°,同理，Z IBA = 30

1 1 1 4、设 A = 48 （飞

初三数学竞赛试题及答案精选

全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ]

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]

A．62πB．63π C．64πD．65π

5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S △CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]

A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定

6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]

A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0

C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空题

1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．

第二试

一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D

三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的

自然数之和。

初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有