(人教版)高中数学必修5课件：第1章 解三角形1.2 第1课时
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高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》(1.2 第1课时)同步课件
∴AE＝2csoisn1350°°＝
2×12 6＋
＝ 2
6－
2.
4
在△ABC 中，已知 A＝45°，cosB＝45. (1)求 cosC 的值； (2)若 BC＝10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长．
[解析]
(1)∵A＝45°，∴cosA＝
22，sinA＝
2 2.
又∵cosB＝45，∴sinB＝35.
第一章 解三角形
第一章 1.2 应用举例 第1课时 距离问题
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上
作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距
“蓝天号”20n mile的B处．现在“白云号”以10n
mile/h的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时
小岛A周围38 n mile内有暗
礁，一船正向南航行，在B处
测得小岛A在船的南偏东30°，
航行30 n mile后，在C处测
得小岛在船的南偏东45°，
如果此船不改变航向，继续
向南航行，有无触礁的危险？
• [分析] 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决
于A到直线BC的距离与38 n mile的大小，于是我们 只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，
∴x＝503 6 n mile.
• 4．在相距2 km的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB ＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为
______ km.
[答案] 6
[解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°， 由正弦定理，得siAn6C0°＝sinA4B5°，∴AC＝ 22·23＝ 6. 2
人教版2017高中数学(必修五)第1章《解三角形》 1.1.1(二) PPT课件
解析答案
题型三 正弦定理与三角变换的综合应用
例3 在△ABC 中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，若 c＝ 2＋ 6，C＝30° ，
求 a＋b 的取值范围.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3
a＋b 在△ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 a
sin B ＝ ，且 cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C.试确定△ABC 的形状. sin B－sin A
又∵B∈(0，π)，∴B1＝60°，B2＝120°.
asin C1 2 3sin 90° 当 B1＝60° 时，C1＝90° ，c1＝ sin A ＝ sin 30° ＝4 3；
asin C2 2 3sin 30° 当 B2＝120° 时，C2＝30° ，c2＝ sin A ＝ sin 30° ＝2 3.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2 则 b＝
解析
2 3
1 (1)在△ABC 中，若 a＝3 2，cos C＝3，S△ABC＝4 3， .
1 π ∵cos C＝3，∴C∈(0，2)，
∴sin C＝
12 2 2 1－3 ＝ 3 ，
1 1 2 2 又 S△ABC＝2absin C＝2· 3 2· b· 3 ＝4 3，
返回
题型探究
重点突破
题型一 三角形解的个数的判断 例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解， 有解的作出解答. (1)a＝10，b＝20，A＝80°； 解 a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， 讨论如下：
∵bsin A＝20sin 80° >20sin 60° ＝10 3，
答案
(2)几何角度 图形 A
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
高中数学第1章解三角形课件新人教A版必修5(2024)
的面积。 • 解析：根据正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，代入已知条件可得
$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin C}$，解得$a = \frac{2\sqrt{6}}{3}, b = \sqrt{2}$。再根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$，代入已知条件可得$S = \frac{\sqrt{3} + 1}{3}$。
例2
已知△ABC中，D、E分别是AB、AC上的 点，且AD/AB=AE/AC，求证： △ADE∽△ABC。
例3
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， 若AD=3，BD=4，求CD的长。
28
06
2024/1/28
三角函数在解三角形中的应用
29
三角函数基本概念回顾
2024/1/28
角度与弧度的定义及转换 正弦、余弦、正切函数的定义域、值域及 性质 诱导公式及周期性质 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
19
利用面积公式解决实际问题
2024/1/28
01
在测量工程中，经常需要计算不 规则地块的面积，可以通过测量 地块边界的长度，利用海伦公式 或向量叉积计算面积。
02
在建筑设计中，计算房间面积或 建筑物占地面积时，也可以利用 三角形面积公式进行计算。
20
面积公式在几何中的应用
在几何证明题中，有时需要计算某个 三角形的面积，以证明两个三角形面 积相等或成比例等关系。
解决几何问题中的最值问题
通过正弦定理可以解决一些几何问题中的最值问题，如求三角形中的最大角或最 小角等。
$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin C}$，解得$a = \frac{2\sqrt{6}}{3}, b = \sqrt{2}$。再根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$，代入已知条件可得$S = \frac{\sqrt{3} + 1}{3}$。
例2
已知△ABC中，D、E分别是AB、AC上的 点，且AD/AB=AE/AC，求证： △ADE∽△ABC。
例3
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， 若AD=3，BD=4，求CD的长。
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06
2024/1/28
三角函数在解三角形中的应用
29
三角函数基本概念回顾
2024/1/28
角度与弧度的定义及转换 正弦、余弦、正切函数的定义域、值域及 性质 诱导公式及周期性质 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
19
利用面积公式解决实际问题
2024/1/28
01
在测量工程中，经常需要计算不 规则地块的面积，可以通过测量 地块边界的长度，利用海伦公式 或向量叉积计算面积。
02
在建筑设计中，计算房间面积或 建筑物占地面积时，也可以利用 三角形面积公式进行计算。
20
面积公式在几何中的应用
在几何证明题中，有时需要计算某个 三角形的面积，以证明两个三角形面 积相等或成比例等关系。
解决几何问题中的最值问题
通过正弦定理可以解决一些几何问题中的最值问题，如求三角形中的最大角或最 小角等。
高一数学必修5第一章解三角形1.1.1《正弦定理》课件
bsin A 6sin 30° 3 a ＝ 2 3 ＝2，
注意：与上题不 一样，这题的两 解都是有效解。 为什么呢？
画三角形使得a＝14，b＝16，∠A＝45°，你能画出几个？ 【提示】 作 45°角为 ∠ A ，在 ∠ A 的一
边上取一点 C ，使 AC ＝ 16 ，以点 C 为
圆 心 ，以 14 为半 径 画弧 ， 因为 16sin 45°＝ 8 ＜ 14 ，所以能作出两个三角 形． 根据上面的例题和变式训练，同学一起来讨论一下什么时 候有一解？什么时候有两解？什么时候无解？甚至会不会 有其他情况？
(2)当 ABC是钝角三 角形时,结论是否还 成立呢?有兴趣的同 学可以课后证明一 下。
正弦定理:
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即 C
a b c 2R sin A sin B sin C
B
a c
b
A
定理解析： 1、对边、对角 2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角 4、R为三角形外接圆的半径
(3)b＝10，c＝5，b＜c，C＝60°＜90°，
∴= 45°或135°
又当= 135°时+ C= 195°> 180°故舍去.
∴= 45， = 75°
+1)
注意：本题验证了三角形内角和舍去了一解。一个角的正弦值在（0,1） 时，三角的的内角是在（0°，180°），这是对应这个正弦值的角度一 定有2个，但是这2个是否都符合条件却有待验证。
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
本节主要学习正弦定理及用正弦定理解三角形。以嫦娥奔 月的故事和如何测量恒星之间的距离引入新课。教学过程以 学生探究为主，利用直角三角形中的正弦定理探究锐角三角 形和钝角三角形中的正弦定理，引导学生借助三角形的外接 圆和三角形的面积两种方法证明正弦定理，使学生能够灵活 应用所学知识，加深对定理的理解。针对定理所解决的两类 问题给出 2 个例题和变式，通过解决问题引出三角形的解的 不同情况，强调正确应用定理的重要性。 教学过程例题与变式结合，通过例1和变式1巩固掌握已知 两角和任意边，求其他两边和一角的解三角形问题。通过例 2和变式巩固掌握已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 的解三角形问题。通过思考已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形解的情况，加深对正弦定理的理解。
新版高中数学人教A版必修5课件：第一章解三角形 1.2.1
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
题型一 题型二
测量两个不可到达的点之间的距离问题 【例 2】 如图,隔河看到两个目标 A,B,但均不能到达,在岸边选取 相距 3 km 的������, ������两点, 并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC= 30°,∠ADB=45°(A,B,C,D 在同一平面内),求两个目标 A,B 之间的距 离.
反思如图,不可到达的A,B是地面上两点,要测量A,B两点之间的距 离,步骤是:
(1)取基线CD; (2)测量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA; (3)在△ACD中,解三角形得AC;在△BCD中,解三角形得BC; (4)在△ABC中,利用余弦定理得 AB= ������������2 + ������������2-2������������·������������·cos∠������������������ .
且∠
ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这
两支精锐部队之间的距离.
解法一∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
又∠ACD=60°,∴∠DAC=60°.
∴AD=CD=AC=
3 2
������.
在△BCD 中,∠DBC=180°-30°-105°=45°.
题型一 题型二
目标导航
Z 知识梳理 HISHISHULI
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
反思如图,设A(可到达),B(不可到达)是地面上两点,要测量A,B两 点之间的距离,步骤是:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(2)课件新人教a必修5
梳理
一个了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把 边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.
思考2
什么时候适合用正弦定理进行边角互化？ 答案
尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系， 但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使 用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.
由正弦定理，得sin2
A＝sin
660°，∴sin
A＝
2 2.
∵BC＝2< 6＝AC，∴A 为锐角，
∴A＝45°，∴C＝75°.
123
2.在△ABC中，若
a cos
A＝cobs
B＝cocs
C， 则△ABC是
答案
解析
A.直角三角形
B.等边三√角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
由正弦定理，知csoins AA＝csoins BB＝csoins CC， ∴tan A＝tan B＝tan C， 又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.
知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1
在△ABC中，已知acos B＝bcos A.你能把其中的边a，b化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)? 答案
可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
1.sin A∶sin B∶sin C＝ a∶；b∶c
a 2.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝
2R
人教版2017高中数学(必修五)第1章《解三角形》 1.1.2(一) PPT课件
题型一 已知两边及夹角解三角形
例1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15° ，求角 A，B 和边 c 的
6＋ 2 6－ 2 值(cos 15° ＝ 4 ，sin 15° ＝ 4 ).
反思与感悟
解析答案
D
解析
1 由三角形内角和定理可知 cos C＝－cos(A＋B)＝－3，又由余弦定
2 2 2
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对
的角是直角.
2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. (2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解 三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解.
返回
b＝ 6，A＝45° ，求边 c.
反思与感悟
解析答案
解析答案
返回
当堂检测
1
2
3
4
5
A
解析
由余弦定理及其推论知只有A正确.
解析答案
1
2
3
4
5
2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( D )
A.8 B.2 17 C.6 2 D.2 19
解析 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
解析 a2＋b2－c2 ab 1 cos C＝ 2ab ＝2ab＝2，
π 又 B∈(0，π)，∴B＝3.
解析答案
1
2
3
4
5
5.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1，b＝ 7， 5 6π . c＝ 3，则 B＝ 解析 a2＋c2－b2 1＋3－7 3 cos B＝ 2ac ＝2×1× 3＝－ 2 ，
高中数学第一章解三角形122高度角度问题课件新人教A版必修5
3．如图，位于 A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距
40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在 A 处南
偏西 30°且相距 20 海里的 C 处有一艘救援船，该船接到观测站
通知后立即前往 B 处救助，则 sin∠ACB＝
21
7
.
解析：在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余
解：如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台 风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD＝20，AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2，BC＝( 3＋1)×10 2.
在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
2．如图，D，C，B 三点在地面同一直线上，DC＝100 m， 从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是 60°，30°，则 A 点离地面的 高度 AB 等于( A )
A．50 3 m C．50 m
B．100 3 m D．100 m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC 为等腰三角形．所以 AC＝DC＝100 m， 在 Rt△ABC 中，AB＝ACsin60°＝50 3 m.
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一 建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、 俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即 可.
[变式训练 2] 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼， AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角 α ＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米， 则乙楼高 CD＝ 32 米．
(人教版)高中数学必修5课件：第1章 解三角形1.1.2
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[问题3] 你会利用向量求边AC吗？ [提示] 会．|B→A|＝3，|B→C|＝2，〈B→A，B→C〉＝60°. A→C2＝(B→C－B→A)2 ＝B→C2－2B→C·B→A＋B→A2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32 ＝7. ∴|A→C|＝ 7，即边AC为 7.
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1．利用余弦定理解三角形的步骤： (1) 两边和它们的夹角 余―弦――定→理 另一边 余―正 弦―弦 定――定 理―理 推→论 另两角
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第一章 解三角形
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2．利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是 三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”． (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也 可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂， 但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围， 这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判 断，尽可能减少出错的机会．
6－ 2
2，
故A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或A＝120°时，
C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
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第一章 解三角形
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已知两边及一边对角解三角形的方法及注意 事项
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要 根据题目条件优先选择使用哪个定理．
第一章 解三角形
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余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
高中数学人教A版必修五教学课件：第一章 《解三角形》 1.1.2 余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和 减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的 二 倍 在△ABC 中，
符号 语言
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B，
2 2 c2＝ a ＋b －2abcos C ．
在△ABC 中， 推论 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac
)
a2＋c2－b2 1 解析：由题意知，cos B＝ ＝cos 120° ＝－ ，∴a2＋c2－b2 2ac 2 ＝－ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝－ac＋ac＝0.
答案：C
1 3．在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝ . 4 若 a＝4，b＋c＝6，且 b<c，求 b，c 的值．
[解]
设 BD＝x.在△ABD 中， 根据余弦定理， AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos
∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10×xcos 60° ，………………………………3 分 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ………………………6 分 ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ，∴∠CDB＝30° . ……………………9 分 在△BCD 中，由正弦定理， BC BD ＝ ， sin∠CDB sin ∠BCD
答案：120°
探究三
利用正余弦定理判断三角形的形状
[典例 3] 在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
[解析] ∵B＝60° ， ∴b2＝a2＋c2－2accos 60° ， 1 ∴ (a＋c)2＝a2＋c2－ac， 4 ∴(a－c)2＝0， ∴a＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC 为等边三角形．
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]
![高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/090c01fd90c69ec3d4bb75af.png)
sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
高中数学必修5全册(人教A版)PPT课件
q
q
q 1 三个数为 4,1,2 或 2,1,4 2
（3）若 2为2q,2 的等差中项，则 q 1 2 即：q2q20
q
q
q2 三个数为 4,1,2 或 2,1,4
综上：这三数排成的等差数列为. : 4,1,2或 2,1,4 30
Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
例2（1）已知等差数列{ a n } 满足 a1a2a1010，则 ( C )
域.在点E正北55海里处有一个雷达观测站A，
某时刻测得一艘匀速直线行驶的船，位于点A
北偏东45°方向，且与点A相距
海4 0里2的
位置B.经过40分钟又测得该船已行驶到
点A北偏东45°＋θ（其中sin 2266,0
90）
方向，且与点A相距1 0 1 3 海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断
.
9
例5 （2006年湖南卷）如图，D是直 角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记 ∠CAD=α，∠ABC=β. （Ⅰ）证明sinα+cos2β=0； （Ⅱ）若AC=DC，求β的值.
A
β=60°
α
β B
D
C
.
10
作业： P19习题1.2A组：3，4，5.
.
11
第一章 解三角形 单元复习
第二课时
Aa.1a10 10B.a2a10 00 Ca .3a990 D.a5151
（2）已知等差数列{ a n } 前 m项和为30，前 2m 项和为100，
则前 项和3m为
(C )
A.130
B. 170
C. 210
D. 260
（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后 四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.
人教版高中数学必修5第1章《解三角形》PPT课件
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第一章 解三角形
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由sina A＝sinc C得，
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
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第一章 解三角形
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当B＝60°时，C＝90°， c＝ a2＋b2＝4 3； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
8分 10分
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第一章 解三角形
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第一章 解三角形
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解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正 确．
答案： B
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第一章 解三角形
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合作探究 课堂互(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°， 从而A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝ c2－b2＝4 3.
高二数学必修5第一章 解三角形1.2课时1 课件
第十二页，编辑于星期一：一点 七分。
所以，∠CAB=19.0°,
75°－∠CAB=56.0°. 答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15n mile.
第十三页，编辑于星期一：一点 七分。
通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需要：
（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；
么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得:
第七页，编辑于星期一：一点 七分。
例3 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
，在
塔底C处测得A处的俯角
.已知铁塔BC部分的高为
27.3m，求出山高CD(精确到1m).
分析：Leabharlann 根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长.
解：依题意，得
由正弦定理，得
第八页，编辑于星期一：一点 七分。
（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活 科学实验相结合的数学问题.
实际问题
实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型
推演 理算 数学模型的解
第十四页，编辑于星期一：一点 七分。
课后练习 课后习题
第十五页，编辑于星期一：一点 七分。
THANKS!
第十六页，编辑于星期一：一点 七分。
教学过程讲练结合，通过例1，巩固掌握测量距离的方法；通 过例2、例3、例4巩固掌握测量高度的方法；通过例5巩固掌握 测量角度的方法。例题讲解思路清晰，讲解到位，知识层次分明。
第二页，编辑于星期一：一点 七分。
利用三角形计算台风入侵时间
/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=55c97001 af508f0099b1c5ba
所以，∠CAB=19.0°,
75°－∠CAB=56.0°. 答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15n mile.
第十三页，编辑于星期一：一点 七分。
通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需要：
（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；
么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得:
第七页，编辑于星期一：一点 七分。
例3 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
，在
塔底C处测得A处的俯角
.已知铁塔BC部分的高为
27.3m，求出山高CD(精确到1m).
分析：Leabharlann 根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长.
解：依题意，得
由正弦定理，得
第八页，编辑于星期一：一点 七分。
（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活 科学实验相结合的数学问题.
实际问题
实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型
推演 理算 数学模型的解
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课后练习 课后习题
第十五页，编辑于星期一：一点 七分。
THANKS!
第十六页，编辑于星期一：一点 七分。
教学过程讲练结合，通过例1，巩固掌握测量距离的方法；通 过例2、例3、例4巩固掌握测量高度的方法；通过例5巩固掌握 测量角度的方法。例题讲解思路清晰，讲解到位，知识层次分明。
第二页，编辑于星期一：一点 七分。
利用三角形计算台风入侵时间
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第一章 解三角形
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【错因】 本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD， 产生了增解，应用正弦定理来求解．
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测量角度问题
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1．如图，货轮在海上以50海里/ 时的速度沿方位角(从指北方向顺时针 转到目标方向线的水平角)为155°的方 向航行．为了确定船的位置，在B点处 观测到灯塔A的方位角为125°.半小时后， 货轮到达C处，观测到灯塔A的方位角 为80°.求此时货轮与灯塔之间的距离． (得数保留最简根号)
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(3)方位角和方向角 从正_北____方向顺_时__针____转到目标方向线所成的角叫方位角 _______.如图2，目标A的方位角为135°. 从指_定____方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫 __方__向__角__，如图3，北偏东30°，南偏东45°.
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测量高度问题
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝ β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
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求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所 在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未 知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选 择更便于计算的定理．
每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线
到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的
方向所成的角为( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
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答案： B
பைடு நூலகம்
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测量中的基本术语
(1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫 做基_线____．
(2)仰角与俯角 与目标视 线 在同一铅垂平面内的水平 视 线 和目标视 线 的夹角，目标视 线 在水 平视线 上方时叫仰_角____，目标视 线 在水平 视 线 下方时俯叫角_____，如图1.
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1．2 应用举例
第1课时 正、余弦定理在实际应用中的应用
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测量高度时需在与地面垂直的竖直平面内构 造三角形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解．解决测量高 度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区别及 联系．测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般要转化为 直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解 决．
解析： 设甲沿直线与乙船同时到C点， 则A，B，C构成一个△ABC， 如图，设乙船速度为v，
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◎某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的 一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人， 距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处， 此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到 达A城？
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解析： 画出示意图，在△ABE中，
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答案： 15°
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4．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处， 两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍， 问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？在追赶 过程中乙船行驶了多少海里？
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测量中的有关概念、名词、术语的应用 (1)在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长 度，目的是使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长， 测量的精确度越高． (2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理 解实际问题的题意，根据题意作出示意图． (3)方位角α的范围是0°<α<360°，方向角β的范围是 0°<β<90°.
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解决此类问题的关键是根据题意画出图形， 将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与 角的关系，运用正、余弦定理求解．
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1．熟练掌握正、余弦定理． 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离、高 度和角度等问题．
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如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河
两岸打上两个桥位桩A，B，若要测算A，B两点之间的距离， 需要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC＝50米，∠ABC ＝105°，∠BCA＝45°，则A，B两点的距离为________米．
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答案： D
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2．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是
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解析： 如图所示，设预报时台 风中心为B，开始影响基地时台风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为D，
则B，C，D在一条直线上，且AD ＝20，AC＝20.
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