天津市红桥区届高三下学期第一次模拟考试数学(文)答案

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高三数学（文）（2016、03）一、选择题：每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CABDCDCB二、填空题：每小题5分，共30分．题号 9101112 13 14 答案{}10.0334- (0,1]232219三、解答题：共6小题，共80分． （15）（本小题满分13分）在锐角ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足2sin 3b A a =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，7b =，求cos(2)A B +． 解：（Ⅰ）因为3a －2b sin A ＝0，所以3sin A －2sin B sin A ＝0.--------------------------------------2分 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，则B ＝π3.---------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B ＝π3，因为b ＝7，根据余弦定理得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，--------------------7分整理得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，则ac ＝6.又a >c ，可得a ＝3，c ＝2.---------------------------------------9分 于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，故321sin 14A =13cos214A =-,33sin 214A =所以11cos(2)cos2cos sin 2sin 14A B A B A B +=-=---------------------------13分 （16）（本小题满分13分）要将两种大小不同的较大块儿钢板，裁成,,A B C 三种规格的小钢板，每张较大块儿钢板可同时裁成的三种规格小钢板的块数如下表：A 规格B 规格C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板131第一种钢板面积为21m ，第二种钢板面积为22m ，今分别需要A 规格小钢板15块， B 规格小钢板27块，C 规格小钢板13块．（Ⅰ）设需裁第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，用x y ，列出符合题意的数学关系式，并在给出的平面直角坐标系中画出相应的平面区域；（Ⅱ）在满足需求的条件下，问各裁这两种钢板多少张，所用钢板面积最小？ 解：（Ⅰ）由已知，x ，y 满足的数学关系式为2153271300x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，，．--------------------4分 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．----------------------8分（Ⅱ）设所用钢板的面积为2m z ，则目标函数为2z x y =+．------------------9分把2z x y =+变形为1122y x z =-+，这是斜率为12-，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一族平行直线．当12z 取最小值时，z 的值最小．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线xyO13x y +=215x y +=327x y +=M220x y +=1513920x y +=2z x y =+经过可行域上的点M 时，截距12z 最小，即z 最小．-------------------10分解方程组32713x y x y +=⎧⎨+=⎩，， 得点M 的坐标为(67)，．所以min 62720z =+⨯=．-------------------------------------------------------------------------12分答：在满足需求的条件下，裁第一种钢板6张，第二种钢板7张，所用钢板的面积最小．13分（17）（本小题满分13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列（N n *∈），且11a =，13b =,已知2330a b +=，3214a b +=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设(1)n n n c a b =+⋅， 12n n T c c c =+++,（N n *∈），求证：3(1)2n n n T a b =+. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q依题意：2232921502313d q q q d q ⎧+=⇒--=⎨+=⎩-------------------------2分解得：3q =，2d =-----------------------------------------------4分所以21n a n =-，3nn b =.------------------------------------------6分（Ⅱ） (1)23n n n n c a b n =+⋅=⋅，211223432(1)323n n n n T c c c n n -=+++=⋅+⋅++-⋅+⋅①231323432(1)323n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅②②得：23122(3333)23n n n T n +-=++++-⋅，-------------------------------------8分113(13)2133()31322n n n n n T n ++--=⋅-=⋅+-------------------------------------------------------9分因为1333213(1)(21)3()322222n n n n n a b n +-+=-+=+ 所以3(1)2n n n T a b =+．---------------------------------------------------------------------------------13分（18）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且AB BC =．（Ⅰ）求证：平面BED ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角F DE B --的大小；（Ⅲ）若6PA =，5DF =，求PC 与平面PAB 所成角的正切值． 解：（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABC ，所以PA BE ⊥又AB BC =，E 为AC 中点，故AC BE ⊥ 又ACPA A =，所以BE ⊥平面PAC ，BE ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面PAC ．-----------------------------------------4分（Ⅱ）由已知得：DE ⊥平面ABC ，所以FEB ∠为二面角F DE B --的平面角， 因为E ，F 分别为棱AC ，AB 的中点，AB BC ⊥，故90EFB ∠=，EF FB =，所以，二面角F DE B --的大小为45．--------------------------------------8分（Ⅲ）因为P A ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥， 又AB BC ⊥所以BC ⊥平面PAB ．所以BPC ∠为PC 与平面PAB 所成角，由6PA =，5DF =，得4EF =，8BC AB ==，10PB =，84tan 105BC BPC PB ∠===， 所以，PC 与平面PAB 所成角的正切值为45．--------------------------------------13分 （19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率255e =，左顶点A 与右焦点F 的距离25AF =+（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点， (2,1)P 为定点，当 △MNP 的面积最大时，求l 的方程. 解：（Ⅰ）由255e =得：255c a =，①--------------------------------------1分由25AF =+得25a c +=+，②----------------------------------------3分由①②得：5a =，2c =，1b =，---------------------------------------5分椭圆C 的方程为2215x y +=．--------------------------------------------6分（Ⅱ）过右焦点(2,0)F 斜率为k 的直线l ：(2)y k x =-，--------------------7分 联立方程组：2215(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消元得：2222(15)202050k x k x k +-+-=---------------------------8分 设交点1122(,),(,)M x y N x y则21222015k x x k +=+，212220515k x x k-=+------------------------------------------9分 2212121()4MN kx x x x =++-2222222080201()1515k k kk k -=+-++ 22220(1)115k kk +=++，---------------------------------------------------10分点(2,1)P 到直线l 的距离211d k =+，所以△MNP 的面积22222220(1)5(1)111215151k k S k k k k++=+=+++ 令211k t +=≥，则2554545t S t t t==--， 记4()5g t t t=-，单调递增， min ()(1)1g t g ==，所以S 最大值为5， 此时，0k =，l 的方程：0y =．---------------------------------------------14分 （20）（本小题满分14分）设函数()()2ln f x ax x a R =--?. （Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e，求a 的值； （Ⅱ）当0a >时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()xg x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >． 解：（Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e ，11()k f e a e e¢==-=，得2a e =．----------------------------------------------3分(Ⅱ)由11'()(0)ax f x a x x x-=-=> 当0a >时，令'()0f x = 解得：1x a=-------------------------5分 当x 变化时，'(),()f x f x 随x 变化情况如下表：1(0,)a 1a1(,)a+∞ '()f x -0 +()f x由表可知：()f x 在1(0,)a 上是单调减函数，在1(,)a+∞上是单调增函数所以，当0a >时，()f x 的单调减区间为1(0,)a ，单调增区间为1(,)a+∞ ------8分 （Ⅲ）当0x >时，要证()0xf x ax e -+>，即证ln 20x e x --> 令()ln 2(0)xh x e x x =-->，只需证 ()0h x >1'()x h x e x=-由指数函数及幂函数的性质知：1'()x h x e x=-在(0,)+∞上是增函数 又121'(1)10,'()302h e h e =->=-< ∴1'(1)'()02h h <'()h x 在1(,1)2内存在唯一的零点，也即'()h x 在(0,)+?上有唯一零点----------10分设'()h x 的零点为t ,则1'()0,t h t e t =-=即11(1),2t e t t =<< 由'()h x 的单调性知：当),0(t x ∈时，'()'()0h x h t <=，()h x 为减函数 当(,)x t ??时，'()'()0h x h t >=，()h x 为增函数，所以当0x >时，11()()ln 2ln 212220t t h x h t e t t e t t?--=--=+-?=又11,2t <<，等号不成立∴()0h x > -------------------------------14分。