1-1线性规划的概念
第一章线性规划的基本概念
Pj = (a1 j , a2 j ,⋯, amj ) , j = 1,2,⋯, n
T
三线性规划的标准形式
• LP的标准型： LP的标准型 的标准型： • 1、LP标准型的概念 LP标准型的概念 • （1）什麽是LP的标准型？ 什麽是LP的标准型 的标准型？ • （2）LP标准型的特点 LP标准型的特点 • 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min） 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min）; 约束条件均用等式表示; • 约束条件均用等式表示; • 决策变量限于取非负值; 决策变量限于取非负值; • 右端常数均为非负值 ;
（3）数学表达式: 数学表达式:
有几种形式? 有几种形式? 如何书写? 如何书写?
2、LP问题的标准化 LP问题的标准化 （1）目标函数的标准化 Z’=Z’=-Z
MinZ=CX
MaxZ’=MaxZ’=-CX
目 标 函 数 标 准 化 示 意 图
y’ = -f (x) -3 1 0 -1 2 5 x y 3 y=f (x)
第一步－ 建立平面直角坐标系； 第一步－－建立平面直角坐标系； 第二步－－ －－根据约束条件和非负条件画出 第二步 －－ 根据约束条件和非负条件画出 可行域。 可行域。 第三步－－ 作出目标函数等值线（ －－作出目标函数等值线 第三步 －－ 作出目标函数等值线 （ 至少两 结合目标函数优化要求， 条）， 结合目标函数优化要求，平移目 标函数等值线求出最优解。 标函数等值线求出最优解。
x2
无可行解
⑵ ⑴
x1
做这个题目
• 一个生产家具的公司计划生产两种产品－ 椅子和桌子，其可用资源包括400板英尺的 红木板和450个工时。已知生产每把椅子需 用红木板5板英尺，10个工时，其利润为45 美元，而生产每张桌子需要红木板20板英 尺和15个工时，其利润为80美元，问题是 要确定，在资源约束范围内，公司生产多 少把椅子和多少张桌子，其总利润最大？
1-1线性规划的概念
第一章、 第一章、 线性规划
1.1 线性规划的概念 一、线性规划问题的导出 1．(引例) 配比问题—— 引例) 配比问题—— 用浓度为45% 92% 用浓度为45%和92%的硫酸配置 100t浓度为80%的硫酸。 100t浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t, 45% 92%的硫酸分别为x 则有： 则有：
问题讨论
何为生产计划？ 何为生产计划？ 总利润如何描述？ 总利润如何描述？ 还要考虑什麽因素？ 还要考虑什麽因素？ 有什麽需要注意的地方（技巧）？ 有什麽需要注意的地方（技巧）？ 最终得到的数学模型是什麽？ 最终得到的数学模型是什麽？
MinZ
= 2 x1 + 3 x 2 + x 3
x1 + x 2 + x 3 ≤ 3 s .t . x 1 + 4 x 2 + 7 x 3 ≤ 9 x ≥ 0 , j = 1, 2 ,3 j
4. 运输问题： 运输问题：
销售地 仓库 A1 A2 A3 需求量(吨 需求量 吨) B1 3 12 7 30 B2 11 9 4 60 B3 3 4 10 50 B4 12 8 5 60 生产能 力 (吨) 吨 70 40 90
运输距离（公里）
网络表示
仓库
3
销售地
B1
30
70
A1
12 12
11 3
设每周生产桌子、 设每周生产桌子、椅子数量分别为 销售收入为
x1 , x2 件，
z元。则目标为
Max z = 50x1 + 30x2
同时应满足人力资源的限制： 同时应满足人力资源的限制：
4x1 + 3x2 ≤120 s.t . 2x1 + x2 ≤ 50 x , x ≥0 1 2
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
第1章 线性规划基本性质
1. X1≥0, X2 ≥0 2. 2X1 + 3X2 ≤ 100 3. 4X1 + 2X2 ≤ 120
所有约束条件的的交集为R.
A B R
10 60
现在,问题变为在R内找一点, O 使目标函数值最大.如何找?…
C
20 30 40 50
Ｘ1
§1.2 线性规划的图解法
Ｘ2
（三）目标函数的图形表示 Z = 6X1 + 4X2 将上式改写： X2 ＝－3X1/2 ＋ Z/4 令Z为参量，使其取不同 的值，则得到以－3/2为斜率的 一族平行等值线. 如令: 60, 则经过点(10,0)和(0,15); Z=0, 则经过原点; Z=120,则经过点(20,0)和(0,30);
0.8X1 + X2≥1.6 X1 X2 ≤2 ≤1.4
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
所谓线性规划问题： 就是求一组变量 ( x1 , x2 , , xn ) 的值，它们 在满足一组线性等式或不等式的限制条件下，使某 一线性函数的值达到极大或极小。而线性规划就是 研究并解决这类问题的一门理论和方法。 请问在企业中有哪些问题属于线性规划问题？
§1.2 线性规划的图解法
maxZ = 6X1 + 4X2 2X1 + 3X2 ≤ 100 --① 4X1 + 2X2 ≤ 120 --② X1≥0, X2 ≥0 （一）建立坐标系 （二）约束条件的图形表示
Ｘ2
60 50 40 30 20 10
两个概念:
1.可行解:满足约束条件的点. 2.可行域:全部可行解的集合, 即区域OABCO,用R表示.
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
线性规划--基本概念
线性规划–基本概念简介线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化技术，用于寻找最佳解决方案。
它被广泛应用于工程、经济学、商业和其他领域，以帮助决策者做出最佳决策。
基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由一个目标函数和一组约束条件组成。
目标函数是需要最小化或最大化的线性函数，约束条件是关于决策变量的线性不等式或等式。
2. 决策变量决策变量是影响问题解决方案的变量。
在线性规划中，这些变量通常代表着可供决策者调整的资源或决策参数。
3. 目标函数目标函数是需要优化的线性函数。
在线性规划中，最常见的目标是最大化利润或最小化成本，目标函数通常用代数符号表示。
4. 约束条件约束条件是问题中必须满足的条件。
这些条件通常由一组线性不等式或等式组成，描述了决策变量的限制范围。
5. 最优解线性规划的目标是找到满足所有约束条件下使目标函数达到最小值或最大值的决策变量值。
这些决策变量值组成了最优解。
6. 可行解满足所有约束条件的解决方案被称为可行解。
线性规划求解过程中，需要找到一个可行解才能进行优化。
7. 线性可分线性规划要求问题中的目标函数和约束条件都是线性的。
这意味着这些函数和不等式都可以用直线表示，且在图形上相交于有限个点。
求解方法1. 单纯形法单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。
它通过不断移动目标函数的极值点来寻找最优解，直到无法再改进为止。
2. 内点法内点法是另一种常用的线性规划求解方法，它通过在内部点迭代来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法在大规模问题上具有更好的性能。
3. 混合整数线性规划混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming，简称MILP）扩展了线性规划，允许决策变量为整数。
这种形式的问题更难求解，通常需要使用分支定界等复杂算法。
应用领域线性规划在许多领域都有广泛的应用：•生产计划：优化生产线的效率和成本。
•供应链管理：优化库存水平和运输成本。
1-1线性规划问题及模型
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.1线性规划问题及模型 运 筹 学
主要内容
01 线性规划问题
运
02 线性规划模型及特征
筹
学
一 线性规划问题
二 线性规划模型
2.线性规划模型的一般形式
运 筹 学
二 线性规划模型
简写式
运 筹 学
n
max（或 min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
(或 ，)bi
j1
xj 0
i 1,，m j 1,, n
二 线性规划模型
运向量式 筹 学
max（或 min ） Z CX
星期 需要人数 星期 需要人数
运
一
300
五
480
筹
二
300
六
600
学
三
350
日
550
四
400
应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
一 线性规划问题
在上班 周 周 周 周 周 周 周 一二三四五六日
开始上班
周一
周二
运
周三
筹
周四
学
周五 周六
周日
一 线性规划问题
解：设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星
期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
x1
第一章 线性规划
线性规划
【开篇案例】
一、人力资源分配的问题
某旅行社为了迎接旅 游黄金周的到来，对一日 游导游人员的需求经过统 计分析如表所示。为了保 证导游充分休息，导游每 周工作 5天，休息两天， 并要求休息的两天是连续 的。问应该如何安排导游 人员的作息，既满足工作 需要，又使配备的导游人
下午5时14分
什么是规划？
• 以上问题无一例外都属于规划问题，涉及到求解最大值 和最小值
• 人们经常谈规划，比如国家有5年规划、10年规划、城市 有城市规划，个人有自己的人生规划.
• 规划是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优 的全面、理性的计划
下午5时14分
线性规划
• 线性规划简介： • 运筹学中最成熟的一个分支 • 静态规划：单周期决策
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
1. 模型隐含假定
作为严密的数学模型，线性规划蕴含着以下假定： （1）线性化假定
函数关系式f(x)= c1x1+c2x2+… +cnxn，称线性函数。 经济学中大多数函数都是非线性，通过偏导求最优。但在企业
运营决策中，经常考虑比较短时间内的计划安排，通过线性化 更便于应用。
乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
第1章 线性规划
第1章线性规划本章介绍了什么是线性规划，线性规划数学模型的概念及其建立数学模型方法；阐述了线性规划的图解法、解的概念及解的形式；详细介绍了普通单纯形法、人工变量单纯形法及单纯形法计算公式。
1．考核知识点（1） 基本概念：数学模型、决策变量、目标函数、约束条件、标准型、图解法、基矩阵、基变量、非基变量、可行解、基解、基可行解、最优解、基最优解、唯一解、多重解、无界解、无可行解、单纯形法、最小比值、入基变量、出基变量、解的判断、大M法、两阶段法、改进单纯形法。
（2） 建立简单的线性规划数学模型。
（3） 求解线性规划的图解法。
（4） 基、可行基及最优基的定义。
（5） 可行解、基本解、基可行解、最优解、基本最优解的定义及其相互关系。
（6） 有唯一解、有无穷多解、无界解、无可行解的判断。
（7） 求解线性规划的单纯形法。
（8） 求解线性规划的人工变量法。
（9） 单纯形法中的5个计算公式。
2．学习要求（1） 深刻领会线性规划的各种基与解的基本概念，它们之间的相互关系。
（2）掌握图解法的计算步骤，注意怎样将目标函数表达成一条直线，这条直线如何平移使得目标函数值上升或下降。
（3） 熟练掌握单纯形法计算的全过程，特别应注意如何列出单纯形表，如何由一个基可行解换到另一个基可行解，基可行解是最优解、无界解或多重解的判断准则。
（4） 理解在什么情况下加入人工变量，人工变量起何作用，用大M法计算时目标函数的变化，两阶段法计算时目标函数的构成，掌握这两种计算方法的全过程，在什么情形下线性规划无可行解。
（5） 理解用矩阵形式代替单纯形表，并用矩阵公式求解线性规划。
3．重点建立线性规划数学模型，有关线性规划解的概念、解的形式，单纯形法计算、大M法、两阶段法。
4．难点解析（1）建立线性规划数学模型建立数学模型是学习线性规划的第一步也是关键的一步。
建立正确的数学模型要掌握3个要素：研究的问题是求什么，即设置决策变量；问题要达到的目标是什么即建立目标函数，目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大值或求最小值；限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
线性规划和最优解
线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。
它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。
线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。
其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。
接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。
最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。
二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。
例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。
2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。
这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。
3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。
例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。
4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。
三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。
这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。
第一章 线性规划
B1 5 1 5
B2 4 2 20
B3 3 3 35
B4 2 4 50
B5 1 5 65
B6 0 7 10
毛坯 需要量 3000 5000
85 70 余料长度
4、营养问题 例5.假定一个成年人每天需要从食物中获取3000大 卡热量、65克蛋白质、800毫克钙和75克脂肪。如 果市场上只有8种食物可供选择，他们每千克所含热 量和营养成分以及市场价格见表所示，问如何选择才 能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小。
◦ 1、画出满足约束条件的可行区域，可行区域的点称为可 行解 ◦ 2、任取一点f=f0，画出等值线 ◦ 3、平移等值线，使目标函数达到最优。
1、把数学模型转化为标准型 2、确定基变量，在所有约束方程中只出现一次并 且系数为1的为基变量，其余为非基变量。 3、列出初始单纯型表 4、换基迭代：
红星玻璃制品厂是一个有3个工人的生产两种类型手工艺窗户的小厂。 窗户一种是木框架的，一种是铝框架的。3个工人的分工是：张三制作木 框架，每天做4个；李四制作铝框架，每天做6个；王二制作和切割玻璃， 每天制作18平方米的玻璃。又知每生产一个木框架窗户使用3平方米玻璃， 每一个铝框架窗户使用2平方米玻璃。又知每生产一个木框架窗户可获得 30元的利润，每生产一个铝框架窗户可获得50元的利润。由于工厂产量小， 可假设每天生产出来的产品都可以卖出去。现请为该厂制定一个每天的生 产计划，使其获利最大。 木框架窗户 铝框架窗户 工人的生产能力
5、检查检验数：若、确定最优解
◦ 原则上检验数大的变量入基，采用θ法则确定出基变量， 入基与出基交叉点处的变量为旋转元，用方框圈起。 ◦ 将旋转元所在行的所有元素都除以旋转元，将旋转元变为 1 ◦ 利用旋转元所在行的元素把旋转元所在列的所有元素都变 为0
第一章：线性规划基础
表1.5 效率表
工作 A 人员 甲 乙 丙 丁 X11 0.6 X21 0.7 X31 0.8 X41 0.7 X42 0.7 X32 1.0 X43 0.5 X22 0.4 X33 0.7 X44 0.4 B X12 0.2 X23 0.3 X34 0.3
s.t.
C X13 0.3
D X14 0.1 X24 0.2
6
三、合理下料问题建模:寻求最佳下料方式, 使余料最少. 合理下料问题建模:寻求最佳下料方式, 使余料最少. 有一批长度为180公分的钢管,需截成70 52和35公分三种管料 180公分的钢管 70、 公分三种管料。 例 有一批长度为180公分的钢管,需截成70、52和35公分三种管料。它们的需求量应分别不少于 100、150和100个 问应如何下料才能使钢管的余料为最少? 100、150和100个。问应如何下料才能使钢管的余料为最少? 解:
s.t.
5
二、人员分派问题建模: 合理分派人员, 使总效率最大. 人员分派问题建模: 合理分派人员, 使总效率最大. 设有四件工作分派给四个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工作。 例：设有四件工作分派给四个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工作。 希望适当安排人选，发挥各人特长又能使总的效率最大(或完成最快,或费用最少) 希望适当安排人选，发挥各人特长又能使总的效率最大(或完成最快,或费用最少)。 表示各人对各项工作所具有的工作效率。 表1.5表示各人对各项工作所具有的工作效率。
⑤
k •
ο •h • ο a ④ ③ 3 ο ② X1 ⑤
四、L.P. 的一般形式
Max(Min) Z = c1 · x1 + c2 · x2 + --- + cn · xn a11 · x1 + a12 · x2 + --- + a1n · xn ≤(≥, =) b1 a21 · x1 + a22 · x2 + --- + a2n · xn ≤(≥, =) b2 s.t. ------------------------------------------ ---- --am1 · x1 + am2 · x2 + --- + amn · xn ≤(≥, =) bm xj ≥ 0 , j=1, ～, n
第01-03章线性规划(1)
s.t.
x1+x2+x3≤7
x1-x2+x3≥2
-3x1+x2+2x3＝5
x1，x2≥0
24
(3)
Min z = -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0 解：首先，将目标函数转换成极大化： 令 z’ = -z = 3x1–5x2–8x3+7x4 ； 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变 量x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 ， x2”≥0 ； 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两 端乘以-1 。 25
矩阵，一般有0<m<n
A=[aij]m×n i=1,2,..,m;j=1,2,…,n是约束条件方程的系数
X=(x1,x2,…,xn)T b= (b1,b2,…,bn)T
17
二、标准形式
1.标准型的描写形式
繁写形式
Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ，x2 ，… ，xn
第2章 线性规划及单纯形法1-2节
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
运筹学第一章
第一章、 线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有： 求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数； 对决策变量有非负要求。
运筹学_线性规划1
x1 x 2 x3 10 3 x 2 x x 8 1 2 3 s.t. x1 3 x 2 x3 1 x1 , x 2 0, x3 符号不受限制
Байду номын сангаас
标 准 化
maxZ 2x1 3x2 ( x3 x4 ) 0 x5 0 x6
I 设备A(h) 设备B(h) 调试工序（h） 利润（千元） 0 6 1 2
II 5 2 1 1
课堂练习
一家家电公司准备将一种新型电视机在三家商场进行销 售，每一个商场的批发价和推销费及产品的利润如表所示。 由于该电视机的性能良好，各商场都纷纷争购，但公司每 月的生产能力有限，只能生产1000台，故公司规定：商场 1至少经销100台，至多200台，商场2至少经销300台，商 场3至少经销200台。公司计划在一个月内的广告预算费为 8000元，推销人员最高可用工时数为1500。同时，公司只 根据经销数进行生产，试问公司下个月的市场对策？
④ 右端非负。
标准型的紧缩形式：
max Z c j x j
j 1 n
标 准 型
n aij x j bi s.t. j 1 x 0 j
i 1,2,, m j 1,2,, n
标准型的矩阵形式：
max Z CX
AX b s.t. X 0
例2-3 某饲料公司生产一种鸡饲料，每份饲料
问 题 的 导 出
为100公斤，饲料中的营养成份要求、配料及 其成本数据如下：
配料 营养成分 单位 蛋白质 配料 钙 含量 粗纤维 单位配料成本 大豆粉 玉米粉 石灰石 0.50 0.002 0.08 2.50 0.09 0.001 0.02 0.926 0 0.38 0 0.164 含量要求 ≥22% ≥0.8%且≤1.2% ≤5%
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3．LP的数学描述(数学模型)：
（1）一般形式
Max ( 或 Min ) Z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ( , ) b1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( , ) b 2 s .t . a x a x a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 , , x n 0
（2）紧缩形式
Max ( 或 Min ) Z
n
c
j 1
n
j
xj
i 1, 2 , m a ij x j ( , ) b i s .t . j 1 xj 0 j 1, 2 , n
（3）矩阵形式
Max ( 或 Min ) Z CX AX ( , ) b s .t . X 0
' ' x1 x 2 ( x 3 x 4 ) x 5 1 0 ' 3 x1 2 x 2 ( x 3 x 4 ) x 6 8 s .t . ' x1 3 x 2 ( x 3 x 4 ) 1 x , x , x' , x , x , x 0 1 2 3 4 5 6
2. 生产计划问题：
生产单位 产品 产品所需资源 资 源
A
B
C
每天可利用 资源量
工时（单位） 材料（吨） 产品利润 （元/吨）
1 1
1 4
1 7
3 9
2000 3000 1000
如何制定生产计划，使三种产品总 利润最大？
问题讨论
何为生产计划？
(设定决策变量)
总利润如何描述？(目标函数) 还要考虑什么因素？(约束条件)
M a x Z 2 x1 3 x 2 x 3 x 4 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 0 3 x1 2 x 2 x 3 x 4 x 6 8 s .t . x1 3 x 2 x 3 x 4 1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5 6
（4）向量—矩阵形式：
Max ( 或 Min ) Z CX n Pj x j ( , )b s .t . j 1 X 0 其中：
P j ( a 1 j , a 2 j , , a mj ) , j 1, 2 , , n
T
A ( P1 , P2 , , Pn )
1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)， 使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达 式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优 化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
2.配比问题和生产计划问题的线性规 划模型的特点：
用一组未知变量表示要求的方案，这组 未知变量称为决策变量； 存在一定的限制条件，且为线性表达式；
课堂练习1-1
（1）P43 习题1 ：1）.填空（1）
加深理解线性规划的定义
（2）复习线性规划定义及数学描述 以《生产计划问题》为例，写出线性规划的4 种模型 M a x Z 2 x1 3 x 2 x 3
x1 x 2 x 3 3 s .t . x1 4 x 2 7 x 3 9 x 0 , j 1, 2 , 3 j
目 标 函 数 标 准 化 示 意 图
y
3 y= f (x )
1
0 -1
2
5
x
y’ = -f (x ) -3
***********************
（2） 约束条件的标准化
& 约束条件是≤类型 ——左边 加 非负松弛变量 ,变为等式； & 约束条件是≥类型 ——左边 减 非负剩余变量 ,变为等式；
精品课小组负责人：徐 渝 教授 杨民助 副教授 郭菊娥 教授
线 性 规 划 内 容 框 架
实际问题
(1) LP 数学模型 可行解（重点） 基本解（难点） 基本概念 ( 2 ) LP 各种解的概念 基本可行解（重点） 最优解 基本最优解 图解法 大M法 法、人工变量法 ） 基本方法 单纯形法（原始单纯形 两阶段法 对偶单纯形法 ？条件 LP 模型 （求解） 前提？步骤？ 修正单纯形法 对偶理论 进一步讨论 灵敏度分析 参数规划 算法复杂性问题 哈奇扬算法、 karmarkar 算法 经济管理方面的典型问 整数 LP 运输问题 特殊 LP 多目标 LP FuzzyLP 题
讨论：
如何下手？标准化过程排序 -------
① x3； 令
x3 x x4
' 3
②约束1引入松弛变量；约束2引入剩余变 量；约束3变号； ③目标函数标准化，引入变换Z’=-Z； ④整理； 提问、答疑、讨论 总结，看最终结果
M a x Z 2 x1 3 x 2 ( x 3 x 4 ) 0 x 5 0 x 6
有什么需要注意的地方（技巧）？
最终得到的数学模型是什么？
M a x Z 2 x1 3 x 2 x 3 x1 x 2 x 3 3 s .t . x1 4 x 2 7 x 3 9 x 0 , j 1, 2 , 3 j
二、线性规划的定义和数学描述（模型）
三、LP的标准型：
1、LP标准型的概念
（1）什么是LP的标准型？
（2）为什么要用标准型？
（3）LP标准型的特点：
目标函数约定是极大化Max(或极小化Min);
约束条件均用等式表示;
决策变量限于取非负值; 右端常数均为非负值 ;
（3）数学表达式:
有几种形式?
为什么?
如何书写?
2、LP问题的标准化 （1）目标函数的标准化 MinZ=CX Z’=-Z MaxZ’=-CX
& 变量符号不限
——引入新变量 x k x x
1 k 2 k
课堂练习1-2
将下面的线性规划问题化为标准型：
M in Z 2 x1 3 x 2 x 3 x1 x 2 x 3 1 0 3 x1 2 x 2 x 3 8 s .t . x1 3 x 2 x 3 1 x , x 0, x 符 号 不 限 3 1 2
问题？ • 线性规划的决策变量必须是非负的。 （Yes/No） • 线性规划包括一般形式的线性规划 和标准形式的线性规划。（Yes/No） • 任何一个线性规划问题都可以化成 相应的标准形式，但并非只有标准 形式的线性规划才叫做线性规划。 （Yes/No）
求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫 酸可选（30%，45%，73%，85%， 92%）会出现什么情况？ 取这5种硫酸分别为x1 、x2 、x3 、x4 、 x5 吨, 则有：
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 100 0 . 3 x 1 0 . 45 x 2 0 . 73 x 3 0 . 85 x 4 0 . 92 x 5 0 . 8 100
第一章、 线性规划
1.1 线性规划的概念
一、线性规划问题的导出
1．(引例) 配比问题——
用浓度为45%和92%的硫酸配置 100吨浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2吨, 则有：
x 1 x 2 100 0 . 45 x 1 0 . 92 x 2 0 . 8 100
李鹏翔 郭菊娥《运筹学》精品课小组成员
管理学院 管理科学系（Office: 756, 429） Email：lipengx@
主 讲 教 师
Email：guojue@
《运筹学》精品课建设
网站： 进展：2003年7月被评为校精品课程 2004年9月评为省精品课程 传承教学风格，保持精品课水准
有多少种配比方案？为什么？ 何为最好？
5种硫酸价格分别为：400，700，1400， 1900，2500元/吨，则有：
M in Z 400 x1 700 x 2 1400 x 3 1900 x 4 2500 x 5 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 100 s .t . 0.3 x1 0.45 x 2 0.73 x 3 0.85 x 4 0.92 x 5 0.8 100 x 0, j 1, 2, , 5 j
其中 :
C ( c1 , c 2 ห้องสมุดไป่ตู้ c n )
X ( x1 , x 2 , x n )
b ( b1 , b 2 , , b m )
T
a 11 a 21 A a m1
a 12 a 22 am 2
a1 n a2n a mn