江苏省南通市教研室2012年高考全真模拟试卷二(数学)

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷二试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知i 为虚数单位，则102i r r ==∑ ▲ ．2． 在区间[]12-, 内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲． 3． 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量为400，则寿命在500~600小时的电子元件的数量为 ▲ ．4． 设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲． 5． 运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．6． 在△ABC 中，a b c ,, 分别是角A B C , , 的对边，若222a b c , , 成等差数列，则cos B 的最小值为 ▲ ．7． 若定义在R 上的函数23()f x ax =（a 为常数）满足(2)(1)f f ->，则()f x 的最小值是 ▲ ．8． 已知双曲线22221y x a b-=（00a b >>,）的两个焦点为()10F、)20F ，点P 是）（第3题图）（第5题图）第一象限内双曲线上的点，且121tan PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为▲ ．9． 函数e x y =的图象在点()e k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲． 10．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ,b ,c 满足x +y =c a b （,R ∈x y ），则x y += ▲ .11．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时，观察下列等式： 211122S n n =+， 322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ ．12．有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是 ▲ ．13．定义在[)1+∞, 上的函数()f x 满足：①(2)2()f x f x =；②当[]24x ∈,时，()13f x x =--，则集合{}()(36)x f x f =中的最小元素是 ▲ ．14．已知关于x 的实系数一元二次不等式20 ()ax bx c a b ++<≥的解集为R ，则24a b cM b a++=-的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知集合{}2280A x x x =--≤，{}22(23)30B x x m x m m m =--+-∈R ≤, ． （1）若[]24AB =, ，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A B ⊆R ð，求实数m 的取值范围．（第10题图）16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD BC CD ⊥⊥, ，且2BC AD =．（1）若点E 为线段PC 的中点，求证：//DE 平面PAB ； （2）若二面角P BC A --的大小为π4，求证：平面PAB ⊥平面PBC ．17．（本题满分15分）如图，点P 在ABC ∆内，23AB CP BC ===,, πP B ∠+∠=，记B α∠=．（1）试用α表示AP 的长； （2）求四边形ABCP 的面积的最大值，并写出此时α的值．18．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)16x y -+=，圆2C ：22(1)1x y ++=，点S 为圆1C 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心2(10)C -, 恰与点S 重合，折痕与直线1SC 交于点P ．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过动点S 作圆2C 的两条切线，切点分别为M N 、，求MN 的最小值；（3）设过圆心2(10)C -,的直线交圆1C 于点A B 、，以点A B 、分别为切点的两条切线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上．19．（本题满分16分）已知整数列．．．{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比ABCDPE（第16题图）α ABCP（第17题图）数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．20．（本题满分16分）已知函数2()f x x =，()ln g x a x =，a ∈R ． （1）若1x ∃≥，()()f x g x <，求实数a 的取值范围；（2）证明：“方程()()f x g x ax -=(0)a >有唯一解”的充要条件是“1a =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，以正方形ABCD 的顶点C 为圆心，CA 为半径的圆 交BC 的延长线于点E 、F ，且点B 为线段CG 的中点． 求证：2GE GF BE BF ⋅=⋅．B ．（矩阵与变换）若直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值． C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系() (02π)ρθθ<≤,中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标． D ．（不等式选讲）设a b ,为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+．G（第21 —A 题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11 (01)A P AC λλ=<<． （1）若12λ=，求直线PB 与PD 所成角的正弦值；（2）是否存在实数λ，使得直线1AC ⊥平面PBD ？并说明理由．23．我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法——“算两次”（G.Fubini 原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高⋅⋅⋅请结合二项式定理，利用等式2(1)(1)(1) (*)n n n x x x n +⋅+=+∈N 证明：（1）220(C )C nr n nnr ==∑； （2）20(C C )C mr m rm n n n r -==∑．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷二参考答案1．1-； 2．23； 3．300； 4； 5．2； 6．12； 7．0；8； 9．-6； 10．19； 11．14； 12； 13．12； 14．8．答案解析：1． 102i r r ==∑i 2+(i 3+i 4+i 5+i 6)+(i 7+i 8+i 9+i 10)=i 2=1-；2． 易得正数的取值区间长度是2，总长度是3，由几何概型得所求概率为23；3． 寿命在100~300小时的电子元件的频率是()1311002002005+⨯=，故样本容量是140020005÷=，ABCD 1A1B1C1D P（第22题）从而寿命在500~600小时的电子元件的数量为()320001003002000⨯⨯=；4． 易得锐角α满足1sin 2cos αα=，即12sin cos cos ααα=，所以1sin cos 4αα=，于是tan α．5． 变量i 的值分别取1，2，3，4，…时，变量S 的值依次为11 1 2 22-，，，，…，不难发现变量S 的值是以3为周期在变化，当i 的取值为2010时，2S =，而后i 变为2011退出循环．6． 易得222222222212 cos 222a cb b b b ac B ac ac a c +-=+===+，≥（当且仅当a c =时等号成立）． 7． 由(2)(1)f f ->得23(2)a a ->，即0a >，所以偶函数()f x 在[)0 +∞，上是单调增函数，在(] 0-∞，上是单调减函数，所以min ()(0)0f x f ==；8． sin ∠PF 1F 2=，sin ∠PF 1F 2=，由正弦定理得122PFPF =，又易得tan ∠F 1PF 2=34，所以cos ∠F 1PF 2=45，由利用余弦定理得12 PF PF =，所以12PF PF -=，故2a2c =e =；9． 易求得切线方程为()e e k k a a k y x a -=-，令y =0得，x =1k a -，即11k k a a +-=-，故数列{}k a 是等差数列，所以1356a a a ++=-；10．由向量坐标的引入可以认为()()()1 2 2 3 3 4a b c ==-=，，，，，，代入x +y =c a b 得172 x y ==，， 故197x y +=； 11．易观察出A =16，对于5S ，可令n =1得51S =，即有11516212B +++=，所以112B =；12．如图，是某正四棱锥的平面展开图，等腰△ABC 的底边BC 即为所求正方形包装纸的边长的最小值，由余弦定理得6BC =；13．易得()()991(36)2(18)4(9)816164244f f f f f =====⨯=，由条件可知，[][][]()2 4 4 8 8 16f x ⋅⋅⋅在，，，，，上的最大值依次为1， 2，4…，即最大值构成一个以2为公比的等比数列，结合图象（第12题图）不难发现()=4f x 时x 的最小值是12；14．由题意得240 0b ac a ->≤，，所以2222242()a ab ac a ab b M a b a ab a++++=--≥()2121b b a a b +⋅+=-，令 (1)b t t a =>，，则()22+14142811t t M t t t +=-++=--≥≥（当且仅当3 3t b a ==，即时等号成立）．15．命题立意：本题主要考查集合的交、并、补集运算以及一元二次不等式等基础知识，考查运算求解能力．解：（1）易得集合{}24A x x =-≤≤，集合{}3B x m x m =-≤≤，（4分）由[]2 4AB =，得32 4 m m -=⎧⎨⎩，≥，所以m =5．（7分） （2）由（1）得{}3 R B x x m x m =<->，或ð，（10分） 因为A B ⊆R ð，所以342m m -><或，解得72m m ><-或．（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识，考查空间想象、推理论证能力． 证明：（1）取BP 得中点F ，连结AF ，EF ， 又点E 为线段PC 的中点，且AD CD BC CD ⊥⊥,，且2BC AD =， 所以EF //12BC //AD ，所以四边形ADEF 是平行四边形，(2分) 故ED //AF ，又因为DE ⊄平面PAB ，AF ⊂平面PAB ，所以//DE 平面PAB ．(5分) （2）因为PD ABCD ⊥平面，且BC ABCD ⊂平面， 所以PD BC ⊥， 又CD BC ⊥， PDCD D PD CD PCD =⊂，、平面， 所以BC PCD ⊥平面．于是PCD P BC A ∠--是二面角的平面角，即有π4PCD ∠=，(7分)此时，PCD △是等腰三角形， 又E PC 是的中点，故DE PC ⊥，(9分)因为BC PCD ⊥平面， 又DE PCD ⊂平面， 所以DE BC ⊥， 又//DE AF ， 所以AF PC ⊥，且AF BC ⊥，ABCDPE（第16题图）F又 PC BC C =，PC BC PBC ⊂、平面， 所以AF PBC ⊥平面，(12分)又AF PAB ⊂平面， 所以PAB PBC ⊥平面平面．(14分)17．命题立意：本题主要考查三角形的余弦定理与面积公式以及三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力．解：（1）△ABC 与△APC 中，由余弦定理得，22223223cos AC α=+-⨯⨯， ①()222222cos AC AP AP α=+-⨯⨯π-，②（4分） 由①②得()24cos 12cos 90 0 AP AP ααα++-=∈π，，，解得34cos AP α=-；（7分）（2）()()1123sin 2sin 0 22ABC APC S S S AP ααα∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯π-∈π,， 由（1）得4sin cos S αα=⋅2sin2 α=，()0 α∈π，（13分）所以当4απ=时，max 2S =．（15分）18． 命题立意：本题主要考查直线、圆、椭圆基础知识，考查运算求解、综合应用能力． 解：（1）由题意得121124PC PC PC PS C C +=+=>，故P 点的轨迹是以C 1、C 2为焦点，4为长轴长的椭圆，则24 1a c ==，，所以2a =，b = 故P 点的轨迹方程是22143y x +=．（5分）（2）法1（几何法） 四边形SMC 2N 的面积=211222SC MN SM MC SM ⋅=⋅⨯=，所以2222cos SM MN MSC SC ==∠=（9分）从而SC 2取得最小值时，MN 取得最小值， 显然当(3 0)S -，时，SC 2取得最大值2，所以min MN =．（12分）法2（代数法） 设S (x 0，y 0)，则以SC 2为直径的圆的标准方程为()()()()2222112222x y x y x y -+-+-=+，该方程与圆C 2的方程相减得，()00010x x y y x +++=，（8分） 则圆心2C 到直线MN 的距离d ==因为()2200116x y -+=，所以22000152x y x +=+， 从而d =，[]03 5x ∈-，，故当03x =-时d max 12=，因为MN =minMN =（12分）（3）设( )Q m n ，，则“切点弦”AB 的方程为()1(1)16m x ny --+=， 将点（-1，0）代入上式得7m =-， R n ∈， 故点Q 在定直线7x =-上．（16分）19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）设数列前6项的公差为d ，则512a d =-+，613a d =-+，d 为整数． 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以()()231421d d -=-，解得1d =，当n ≤6时，4n a n =-，（3分）由此51a =，62a =，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，52n n a -=. 故54 4 2 5.n n n n a n --⎧=⎨⎩≤，，，≥（7分）（2）由（1）知，数列{}n a 为：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即-3-2-1=-6=(-3)⨯(-2)⨯(-1)；当m =3时等式成立，即-1+0+1=0；（11分） 当m =2或4时，等式均不成立；（13分）当m ≥5时，312122m m m m a a a -++=，535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯， 因为3122752272m m m ---=⨯，而5m m ∈Z ≥，，所以272m -是偶数，所以3125272m m --≠⨯，于是1212m m m m m m a a a a a a ++++++≠，故m =1，或m =3．（16分） 20．命题立意：本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化、分类与讨论思想进行运算求解、推理论证的综合能力．解：（1）记()()()F x f x g x =-，则22()2a x a F x x x x-'=-=，1x ≥，当0a ≤时，()0F x '>恒成立，故()F x '为[)1+∞, 上的单调增函数，所以min ()(1)1F x F ==，（2分） 当0a >时，由()0F x '=得x =1，即20a <≤时，()0F x '≥恒成立，故()F x 为[)1+∞, 上的单调增函数，所以min ()(1)1F x F ==，（4分）若1，即2a >时，()F x '在1⎡⎢⎣上恒小于0，在)∞上恒大于0，所以()F x在1⎡⎢⎣上的单调递减，在)∞上的单调递增，故()min ()1ln 22a a F x F ==-， 综上所述，()min 21()1ln 2a F x a a a ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤,, , , （6分）所以()1ln <22a a -0, 且2a >,解得2e a >．（8分） （2）1充分性：当1a =时，方程2ln x x x -=，即2l n 0x x x --=，记2()l n G x x x x=--，0x >由2(1)(21)121()210x x x x G x x x x x-+--'=--===得1x =（负值已舍）， 所以()G x 在(01),上单调递减，在[)1+∞, 上单调递增， 故min ()(1)0G x g ==，即2()ln G x x x x =--在(0)+∞, 有唯一解1x =，即证．（11分）2必要性：因为方程2ln x a x ax -=(0)a >有唯一解，记2()ln h x x a x ax =--，0x >由22()20a x ax a h x x a x x --'=--==得0x =，所以()h x 在0(0)x , 上单调递减，在[)0x +∞, 上单调递增，故min 0()()0h x h x ==，且0()0h x '=（13分）即2000200ln 020x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩,,②-①⨯2得002ln 10x x +-=，00x >，记000()2ln 1s x x x =+-，00x >，则函数0()s x 为(0)+∞,上的单调增函数，且(1)0s =，所以方程002ln 10x x +-=有唯一解①②01x =，将01x =代入②式得1a =，即证．由1、2得，“方程()()f x g x ax -=(0)a >有唯一解”的充要条件是“1a =”．（16分） 21．A ．命题立意：本题主要考查相似三角形、圆的相关几何知识，考查推理论证能力． 证明：连结AG ，AE 、AF ， 因为AB 垂直且平分CG ，所以AG =AC ，由切割线定理得2AG GE GF =⋅ ①，（3分） 由Rt Rt ABE FBA △∽△得到2AB BE BF =⋅ ②，（5分）因为AG ，所以222AG AB = ③，（7分） 由①②③得，2GE GF BE BF ⋅=⋅．（10分） B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦， 则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（5分） 即 x x y y '=⎧⎨'=⎩，，代入直线y kx =得x ky ''=， 将点(41)P , 代入得k =4．（10分）（注：本题亦可将点(41)P , 在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵作用下得到点的坐标代入直线y kx =，从而求出k 的值．）C ．命题立意：本题主要考查直线与圆的极坐标方程，考查运算求解能力．解：将直线cos 1ρθ=与圆2sin ρθ=分别化为普通方程得， 直线1x =与圆22(1)1x y +-=，（6分）易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，， 所以交点Q 的极坐标是)π4，．（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a >0，b >0， 所以要证3334()()a b a b +>+，只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+， 即要证2224()()a ab b a b -+>+，（5分） 只需证()230a b ->， 而a ≠b ，故()230a b ->成立．（10分） （注：本题亦用“作差法”证明．）22．命题立意：本题主要考查空间向量的应用，考查运算求解能力．解：（1）如图，分别以DA ，DC ，D D 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -， 则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)，C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，由12λ=得()111 222P ，，，所以()()111111 222222PB PD =-=---，，，，，，所以1111cos PB PD --+⋅==-，所以，直线PB 与PD ．（5分）（2）假设存在符合条件的实数λ，因为()()11 1 1 1 1 0AC BD =--=--，，，，，， 所以10AC BD ⋅=，故1A C BD ⊥． 要使1A C P B D ⊥平面，只需1BP A C ⊥， 由11(1 1 1)A P AC λλ==--，，得(1 1)P λλλ--，，，此时( 1 1)BP λλλ=---，，， 由10AC BP ⋅=得23λ=．（10分） 23．命题立意：本题主要考查二项式定理等基础知识，考查推理论证能力．证明：（1）考虑等式()()()2111n n nx x x +⋅+=+， 等式左边n x 的系数是 ()()()22201122001C C C CC CC C CCCn n n n n nnnnn nnnnnn--++++=+++=()20C nr n r =∑，等式右边nx 的系数是2C n n， 根据对应项系数相等得，()2C nr n r =∑=2C nn ．（5分） （2）仍考虑等式()()()2111n n nx x x +⋅+=+， 等式左边mx 的系数是011220C C C CC CC C m m m mn n n nn nn n--++++=()0C C mr m rn nr -=∑， 等式右边m x 的系数是2C mn， 根据对应项系数相等得，()0C C mr m rn n r -=∑=2C m n ．（10分）。