(试题)第二章平面向量章末检测
平面向量章末测试(含答案)
2016-2017学年高中数学第二章平面向量章末测试20＝2 5.14．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2，所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4，故|a －b |＝2，因为cos 〈a －b ，a ＋b 〉＝a －b ·a ＋b |a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12，故所求夹角是2π3.15．已知向量a ＝(1，t )，b ＝(－1，t ).2a －b 与b 垂直，则|a |＝________. 答案：2解析：由(2a －b )·b ＝0，可得t ＝±3，所以|a |＝12＋±32＝2.16．如右图，在△ABC 中，∠BAC ＝135° ，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.答案：－43解析：根据向量的加减法法则有：BC →＝AC →－AB →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →，此时AD →·BC →＝(13AC →＋23AB →)(AC →－AB →)＝13|AC →|2＋13AC →·AB →－23|AB →|2 ＝13－13×1×2×22－23×2＝－43. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17小题10分，第18～22小题各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? 解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16， |a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝4 3.(2)由题意，知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.18．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (6，2)、B (0,3)、C (－32，sin α)，α∈(π2，3π2)．若AB →|＝|BC →|，求角α的值．解：∵AB →＝(－6，1)，BC →＝(－32，sin α－3)∴|AB →|＝7，|BC →|＝34＋sin α－32 由|BC →|＝|AB →|得sin α＝12.又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π6.19．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝242＋348·(－32)－282＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝4a －2b 2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2＝1642－1648－32＋482＝8(2＋6)．20．已知向量a 与b 的夹角为23π，|a |＝2，|b |＝3，记m ＝3a －2b ，n ＝2a ＋k b .(1)若m ⊥n ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得m ∥n ？说明理由．解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即(3a －2b )·(2a ＋k b )＝0，整理得：6|a |2－(4－3k )a ·b －2k |b |2＝0，∴27k ＝36，∴k ＝43，∴当k ＝43时，m ⊥n .(2)若存在实数k ，使m ∥n ，则有m ＝λn ，即3a －2b ＝λ(2a ＋k b )，∴(3－2λ)a ＝(2＋kλ)b .∵由题意可知向量a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2λ＝0，2＋kλ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝－43，即存在实数k ＝－43，使得m ∥n .21．如图所示，现有一小船位于d ＝60m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80m 的L 处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布．若河水流速的方向为上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s ，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？解：船速最小时，船应在到达瀑布的那一刻到达对岸，如图所示，船的临界合速度应沿PQ →方向．设PA →＝v 水，从A 向PQ →作垂线，垂足为B ，有向线段AB →即表示最小划速的大小和方向．|v 划|min ＝|v 水|sin θ＝|v 水|·d |PQ →|＝5×60602＋802＝5×0.6＝3(m/s)，所以划速最小为3m/s.22．已知点A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)． (1)已知点D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →；(2)若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第四象限，求λ的取值范围．解：如图，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0. ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即0＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．122．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．34D ．324．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒5．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．727．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(21⎤⎦B ．(21⎤⎦ C ．221⎡⎤⎣⎦D ．)21,⎡+∞⎣8．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．49．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．210．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B C ．2D 11．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．2312．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．14．已知ABC ，AB AC ⊥，2AB =，12AC =，如果P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，那么PB PC ⋅的值等于________.15．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 16．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________.17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____．18．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______.19．下面六个句子中，错误的题号是________. ①周期函数必有最小正周期； ②若0a b ⋅=则a ，b 至少有一个为0； ③α为第三象限角，则()cos sin 0a <； ④若向量a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>；⑤存在α，R β∈，使()sin sin sin a a ββ+=+成立；⑥在ABC 中，O 为ABC 内一点，且0OA OB OC ++=，则O 为ABC 的重心. 20．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)A --，()2,3B ，(2,1)C --． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在y 轴上一点P 满足BC AP ⊥，求BPC ∠．22．在OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知:1:2OP PA =，:3:2OQ QB =，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA a =，OB b =.（1）用a 与b 表示OR ；（2）过R 作RH AB ⊥，垂足为H ，若1a =，2b =，a 与b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BHBA的范围.23．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 25．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值； （2）若a b ⊥，求||a .26．ABC 中，点()2,1A 、()1,3B 、()5,5C . （1）若D 为BC 中点，求直线AD 所在直线方程； （2）若D 在线段BC 上，且2ABDACDSS=，求AD .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ．【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．2．A解析：A 【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 3．A解析：A 【分析】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得OD OE λ=-，进而可得13OAC AEC S S =△△，即可得解.【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，所以DE 是ABC 的中位线，因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()OA OC OB OC λ+=-+， 所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线， 所以111363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12λ-=-即12λ=.故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.4．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=.5．C解析：C 【详解】由题意可得2(2)b =-=所以cos ,252a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.6．B解析：B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.8．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122b b bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题9．A解析：A【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．10．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以22101,112, 5.2AB CE CG CG==+=∴== 本题选择B 选项.11．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=，又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B 解析：1【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -，如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤，设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈， 则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-， 因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩， 整理可得113cos 226131cos 22μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以131113322(cos )cos sin()26222626πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈，当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12， 所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.14．13【分析】由条件可得可得由可得出答案【详解】又故答案为：13【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用属于中档题 解析：13【分析】由条件可得0AB AC ⋅=，182AP AB AC =+，可得217AP =，由()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+，可得出答案.【详解】 AB AC ⊥，2AB =，12AC =，4AB AC AP AB AC =+， 0AB AC ∴⋅=，182AP AB AC =+， 2222118641724AP AB AC AB AC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， PB PA AB =+，PC PA AC =+，()()2PB PC PA AB PA AC PA PA AC PA AB ∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅ 又42PA AC AC ⋅=-=-，2PA AB AB ⋅=-=- 172213PB PC ∴⋅=--=.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.15．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3 解析：【详解】方法一：3cos 2OA OC AOC OAOC ⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ② 22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n =+，所以229m n =， 点C 在AOB ∠内， 所以3m n=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭， 又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=， 得()31,=32m n λ⎫⎪⎪⎝⎭，即 3=132m n λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3m n=. 故答案为：3.16．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π. 【详解】 解：∵ 3a =，2b =， ∴ 229a a ==，224b b ==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>， ∵ ()()2318a b a b +⋅-=-， ∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=- 整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】 本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.17．【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得的值利用平面向量数量积的定义可求得与的夹角的余弦值由此可求得与的夹角【详解】设与的夹角为则所以故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量 解析：3π【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得a b ⋅的值，利用平面向量数量积的定义可求得a 与b 的夹角的余弦值，由此可求得a 与b 的夹角.【详解】 3a =，2b =，()()2223618a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=-，2222618362183a b a b ∴⋅=-+=-⨯+=，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅，0θπ≤≤，所以，3πθ=. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 18．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可.【详解】因为0a b c d +++=， 所以++=-a b c d ， 所以()()22++=-a b c d ， 所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ， 因为2a =，3b =，4c =，4d =，所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．①②③【分析】①常函数没有最小正周期；②是非零向量时代表的是两向量垂直；③可采用赋值法令判断正误；④由数量积公式即可判断；⑤令即可判断；⑥结合平面向量加法法则和重心特征即可求解；【详解】①常函数没有解析：①②③【分析】①常函数没有最小正周期；②,a b 是非零向量时，0a b ⋅=代表的是两向量垂直；③可采用赋值法，令76πα=判断正误； ④由数量积公式即可判断；⑤令0αβ==即可判断；⑥结合平面向量加法法则和重心特征即可求解；【详解】①常函数没有最小正周期，故判断错误；②,a b 是非零向量时，0a b a b ⋅=⇔⊥，判断错误；③令76πα=，则()1cos sin 0cos 02a ⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即1cos 02<，显然错误； ④若向量a 与b 的夹角为锐角，则cos 0a b a b θ⋅=⋅>，判断正确；⑤当0αβ==，()sin sin sin a a ββ+=+，判断正确；⑥若OA OB OC O ++=，如图：设D 为AC 中点，则2OA OC OD OE +==，则20OD OB +=，所以,,D O B 三点共线，且2OD OD =，故O 为ABC 的重心，判断正确；故答案为：①②③【点睛】本题主要考查平面向量和三角函数的基础知识，属于基础题20．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cossin 22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值.【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=， 所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=， 所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，所以c 的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cossin 22θθ+， 故答案为：cossin 22θθ+. 【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题. 三、解答题21．（1）；（2）arccos5． 【分析】（1）计算AB AC +和AB AC -可得；（2）先求出P 点坐标，再求PB 和PC 的夹角即得．【详解】（1）由题意(3,5)AB =，(1,1)AC =-，(2,6)AB AC +===(4,4)AB AC -==所以所求对角线长为 （2）设(0,)P y ，则由BC AP ⊥得3(1)(2)12(2)0(1)y ----⨯=-----，3y =-，即(0,3)P -，(2,6)PB =，(2,2)PC =-，cos 52PB PCBPC PB PC ⋅∠===所以BPC ∠= 【点睛】 关键点点睛：根据向量加减法的几何意义，以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的对角线长就是,AB AC 和与差的模．而求BPC ∠，可以算作是,PB PC 的夹角，也可以用两直线的夹角公式求解．22．（1）1162OR a b =+；（2）171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用,,A R Q 三点共线和,,B R P 三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设BH t BA =，利用0BH AB ⋅=，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用,a b 表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到t 关于cos θ的函数形式，利用cos θ的范围即可求得结果. 【详解】（1）设OR OA OQ λμ=+，,,A R Q 三点共线，1λμ∴+=， 又:3:2OQ QB =，35OQ OB ∴=，35OR OA OB μλ∴=+； 设OR mOP nOB =+，同理可得：1m n +=，3m OR OA nOB =+， ,OA OB 不共线，335m n λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，51331m n m n ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1162OR OA OB ∴=+， 即1162OR a b =+. （2）设BHt BA =，则BH tBA =，()()1162RH BH BR tBA OR OB t OA OB OA OB ⎛⎫=-=--=--- ⎪⎝⎭ 11116262t OA t OB t a t b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又AB OB OA b a =-=-，BH AB ⊥，0BH AB ∴⋅=，()2211112262623t a t b b a t a t b t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-=-+-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14134244cos 54cos cos 06363t t t t t θθθ⎛⎫=-+-+-=-+-= ⎪⎝⎭， 整理可得：134cos 138cos 136354cos 3024cos 33024cos t θθθθθ--===+---， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11cos ,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，171,422t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 即BHBA 的取值范围为171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用,a b 表示出,BH AB ，再结合数量积的运算律来进行求解. 23．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan 3x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s co x x x == 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f xa xb x =⋅=⋅- cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭ 于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.24．（1）22143x y +=；（2）[0,12]. 【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，b =（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵122F F =，椭圆的离心率为12e =， ∴1,2c a ==， ∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，∴()()22200001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=， ∵P 点在椭圆上，∴2200143x y +=，2200334y x =-， ∴21001354PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-，当02x =-时，取最小值0，当02x =时，取最大值12．∴1PF PA ⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.25．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案.【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-； （2）由已知得122111cos 32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=， 所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =． 【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题. 26．（1）35y x =-；（2）55 AD =【分析】 （1）求出线段BC 中点D 的坐标，利用斜率公式求得直线AD 的斜率，然后利用点斜式可得出直线AD 所在直线的方程； （2）由2ABD ACD S S =可得2BD DC =，可得23AD AB BC =+，可计算出平面向量AD 的坐标，进而可求得AD 的值.【详解】（1）D 为BC 中点，()3,4D ∴，直线AD 的斜率14323k -==-， 所以直线AD 所在的直线方程为：()433y x -=-，即AD 直线方程为35y x =-； （2）因为2ABD ACD S S =，所以2BD DC =，则23BD BC =， 又由()()225101,24,2,3333A B D D A AB B B C =+⎪⎛⎫==-+=+ ⎝⎭，所以5 3AD ⎛== . 【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积的倍数关系求向量的模，考查计算能力，属于中等题.。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ） A ．23B ．72C ．103D ．432．已知向量,a b ，满足||1,||2a b ==，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤，则向量,a b 的夹角的取值范围是（ ）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为34．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 5．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．6．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A．3 B．2 C ．52D．327．已知非零向量,OA a OB b==，且BC OA⊥，C为垂足，若(0)OC aλλ=≠，则λ等于( )A．a ba b⋅B．2a ba⋅C．2a bb⋅D．a ba b⋅8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且2DE AE=，2CF BF=．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PFλ=成立的点P有（）个．A．2 B．4 C．6 D．09．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若2FP QF=，则||QF=（）A．8 B．4 C．6 D．310．已知O是三角形ABC内部一点，且20OA OB OC++=，则OAB∆的面积与OAC∆的面积之比为（）A．12B．1 C．32D．211．已知ABC∆为等边三角形，则cos,AB BC=( )A ．3B．12-C．12D312．ABC是边长为23的正三角形，O是ABC的中心，则()()OA OB OA OC+⋅+=（）A．2 B．﹣2 C．634-D．634-二、填空题13．已知平面向量,,a b c满足()()||2,||2||a cbc a b a b-⋅-=-==.则c的最大值是________.14．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为1F，2F，且12F F=，1F与2F的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[]0,π； ③当2πθ=时，1F G =；④当23πθ=时，1F G =.其中正确结论的序号是______.15．已知向量2a =，1b =，223a b -=，则向量a ，b 的夹角为_______. 16．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 17．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 18．已知点()0,1A ，()3,2B，向量()4,3AC =，则向量BC =______.19．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.20．已知a →，b →为单位向量，2c a b →→→=-，且,3a b π→→<>=，则,a c →→〈〉=________．三、解答题21．已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且()01AP AB λλ=≤≤. （1）若等边三角形ABC 的边长为6，且13λ=，求CP ； （2）若CP AB PA PB ⋅≥⋅，求实数λ的取值范围. 22．已知||6a =，||4=b ，(2)(3)72a b a b -⋅+=-. （1）求向量a ，b 的夹角θ； （2）求|3|a b +.23．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =，()3,b k =-，()2,4c =-.（1）若()//(2)ma c a c +-，求m ； （2）若()a a b ⊥+，c a b λμ=+，求λμ+.24．已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =． （1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标．25．对于任意实数a ，b ，c ，d ，表达式ad bc -称为二阶行列式（determinant ），记作a b c d，（1）求下列行列式的值：①1001；②1326；③251025--； （2）求证：向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=；（3）讨论关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.26．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值； （2）若2t =，求向量a ，b 的夹角.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b bb λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立；所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=2．B解析：B 【分析】根据向量不等式得到7a b +≤，平方得到1a b ⋅≤，代入数据计算得到1cos 2α≤得到答案. 【详解】由||1a =，||2b =，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤ 可得：()()27a b c a b c a c b c +⋅≤+⋅≤⋅+⋅≤ 可得:()227a b +⋅≤,7a b +≤平方得到2227a b a b ++⋅≤，即1a b ⋅≤1cos 1,cos ,23a b a b παααπ⋅=⋅≤∴≤∴≤≤故选：B 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键.3．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．4．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大， 而由x+y=11x ⎧⎨=⎩ 可得A （1，0），此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1B ．2C ．3D ．42．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．123．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）A ．10B ．210C ．10D ．204．设平面向量()a=1,2，()b=2,y -，若a b ，则2a b -等于（ ） A ．4B ．5C ．35D ．455．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为36．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭，7．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣8．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-9．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ） A ．18-B ．116-C ．316-D ．010．如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P 的中心，18PP x ⊥轴，若坐标轴上的点M （异于点O ）满足0i j OM OP OP ++=（其中1,8i j ≤≤，且i 、j N *∈），则满足以上条件的点M 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-12．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．23二、填空题13．已知单位向量,a b 满足1a b +=，则|a b -=___________.14．O 为坐标原点，已知向量()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+，则OD 的最小值为_______________15．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.16．如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.17．已知(2,1)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则b =__________18．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.19．在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.20．已知平面单位向量a ，b 满足1a b -≤．设向量2a b +与向量2a b -的夹角为θ，则cos θ的最大值为______． 三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .22．已知()1,2a =，()2,1b =-，k 为何值时， （1）ka b +与a b -垂直？ （2）ka b +与a b -平行？23．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值. （2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小.24．已知()sin ,a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数3()2f x a b =⋅+． （1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）若方程1()3f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，求()12cos x x +的值．25．设()2,0a →=，(b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值. 26．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，()n a kb k R =-∈. （1）若n 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；（2）若向量()1,1c =-，且n 与向量kb c +平行，求实数k 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．3．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．4．D解析：D 【分析】利用向量共线定理即可得出y ，从而计算出2a b -的坐标，利用向量模的公式即可得结果. 【详解】//,220a b y ∴-⨯-=，解得4y =-，()()()221,22,44,8a b ∴-=---=，2248a b ∴-=+= D.【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．6．D解析：D 【分析】设出(,)c x y =，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解. 【详解】设(,)c x y =，向量()1,2a =，()2,3b =-，可得(1,2),(3,1)c a x y a b +=+++=-， 由()//c a b +，可得3(1)2(2)x y -⨯+=+，即3270x y ++=， 由()c a b ⊥+，可得30x y -=， 联立方程组327030x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得77,93x y =-=-，即77(,)93c =--.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.8．B解析：B 【分析】求出2a b -)2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.9．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，2t ≤，则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，C ，设()0,P t ，其中t ≤1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-． 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.10．D解析：D 【分析】分点M 在x 、y 轴进行分类讨论，可得出点i P 、j P 关于坐标轴对称，由此可得出点M 的个数. 【详解】分以下两种情况讨论：①若点M 在x 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于x 轴对称，由图可知，1P 与8P 、2P 与7P 、3P 与6P 、4P 与5P 关于x 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个；②若点M 在y 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于y 轴对称，由图可知，1P 与4P 、2P 与3P 、5P 与8P 、6P 与7P 关于y 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个.综上所述，满足题中条件的点M 的个数为8.故选：D. 【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.11．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．12．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+，因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】根据条件两边平方进行数量积运算可求得然后根据即可求得答案【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题解题思路如下：（1）首先根据题中条件结合向量模的平【分析】根据条件1a b +=两边平方，进行数量积运算可求得21a b ⋅=-，然后根据2()a b a b -=-即可求得答案.【详解】因为1a b ==，1a b +=，所以2222()2221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=，所以21a b ⋅=-， 所以22()223a b a b a b a b -=-=-=-⋅=，【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题，解题思路如下：（1）首先根据题中条件，结合向量模的平方等于向量的平方，求得21a b ⋅=-； （2）之后再应用向量的模的平方等于向量的平方来求解.14．【分析】根据题意得表示的区域为及内部的点进而得当时取得最小值再计算即可得答案【详解】又为非负实数且所以表示的区域为及内部的点当时取得最小值因为所在的直线方程为即则取得最小值为故答案为：【点睛】本题考解析：【分析】根据题意得D 表示的区域为ABC 及内部的点，进而得当⊥OD AB 时，OD 取得最小值，再计算即可得答案.【详解】()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，又,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+， 所以D 表示的区域为ABC 及内部的点， 当⊥OD AB 时，OD 取得最小值， 因为AB 所在的直线方程为()()5251114y x x --=-=---，即60x y +-=， 则OD 取得最小值为322=. 故答案为：32.【点睛】本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确D 表示的区域，是中档题.15．【分析】根据向量线性关系的几何应用有令结合已知条件有即可列方程组得到关于k 的表达式表示x+y 最后由基本不等式即可求得最小值【详解】由题意连接可得如下示图∵在△ABC 中＝2即有若令则有又＝x ＝y （x ＞ 解析：213+【分析】根据向量线性关系的几何应用有1233AD AB AC =+，令DE k DF =结合已知条件有11x kyAD AB AC k k =+++，即可列方程组，得到关于k 的表达式表示x + y ，最后由基本不等式即可求得最小值 【详解】由题意，连接AD 可得如下示图∵在△ABC 中BD ＝2DC ，即有1233AD AB AC =+ 若令DE k DF =，则有111kAD AE AF k k =+++ 又AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0） ∴11x kyAD AB AC k k =+++ 即113213x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩有1(1)321(1)3x k y k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(0)k > ∴22221113333k k x y k k +=++≥⋅=+2k = min 22()13x y +=+故答案为：221+【点睛】本题考查了向量线性关系的几何应用，及利用基本不等式求最值，通过定向量与其它向量的线性关系找到等量关系，进而构建函数并结合基本不等式求最值16．【分析】利用表示向量再由可求得实数的值【详解】所以则为线段的中点则因此故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数考查计算能力属于中等题解析：14-【分析】利用AB 、AC 表示向量AD ，再由12AE AD =可求得实数λ的值. 【详解】()22BC CD BD BC ==-，所以，32BD BC =， 则()33132222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， E 为线段AD 的中点，则11332444AE AD AB AC AB AC λ==-+=+，因此，14λ=-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】根据向量垂直得数量积为0从而求得的值利用求模公式求得向量的模【详解】若则即求得故故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法意在考查学生的数学运算的学科素养属中档题【分析】根据向量垂直得数量积为0，从而求得t 的值，利用求模公式求得向量的模. 【详解】(2,1)a =-，(1,)b t =，2a b -()3,2t =--，若(2)a b a -⊥，则(2)0a b a -⋅=，即()620t ++=，求得8t故 b ==【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.18．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC=++，所以()()350 OA AB AO AC AO+-+-=，所以935AO AB AC=+，即1539AO AB AC=+.因为BD DCλ=，即()AD AB AC ADλ-=-,化简得111AD AB ACλλλ=+++，设11k kAO k AD AB ACλλλ==+++，所以113519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题解析：53-【分析】用AB、AC表示向量MB、MC，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC⋅的值.【详解】O为BC的中点，()12AO AB AC∴=+，3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=，()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC ∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】设的夹角为由题可得则可化简得出即可求出最值【详解】是单位向量设的夹角为则由可得即可得则当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题考查数量积的运算律解题的关键是先得出的夹角为满足的再将所求化为可求解析：14-【分析】设,a b 的夹角为α，由题可得1cos 2α≥，则可化简得出cos θ=-求出最值. 【详解】,a b 是单位向量，1a b ∴==，设,a b 的夹角为α，则由1a b -≤可得21a b -≤，即222cos 1aa b b α-⋅⋅+≤，可得1cos 2α≥， 则()()22222222cos 224444a b ab a b a ba ab b a a b bθ+⋅-==+⋅-+⋅+⋅-⋅+==-=- 当1cos 2α=时，cos θ取得最大值为14-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查数量积的运算律，解题的关键是先得出,a b 的夹角为α满足的1cos 2α≥，再将所求化为cos θ=-. 三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1）1（2）-1【分析】（1）分别表示出ka b +与a b -，再利用数量积为0求解即可； （2）若ka b +与a b -平行，则等价于22131k k -+=，化简即可； 【详解】 （1）()()()1,22,12,21ka b k k k +=+-=-+()3,1a b -=当()()ka a b b +⊥-时()()2,213,10k k -+⋅=36210k k ∴-++= 1k ∴=时()()ka a b b +⊥-（2）当()ka b +与()a b -平行时22131k k -+= 1k ∴=-1k ∴=-时，()ka b +与()a b -平行【点睛】本题考查向量加法与减法的坐标运算，由两向量平行与垂直求参数，属于基础题 23．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+， 则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±，故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-，所以()()22233520a b a b a a b b+⋅-=+⋅-=，令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=.【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λab ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.24．（Ⅰ）5()212k x k Z ππ=+∈; （Ⅱ）13. 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标表示求出()f x ,利用二倍角公式与辅助角公式化简()f x ，结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；（2）由方程1()3f x =在()0,π（上的解为12,x x ，及正弦函数的对称性可求12x x +，进而可得结果． 【详解】解：(),a sinx =，(),b cosx cosx =-，()2311212222232cos x f x a b sinxcosx x sin x sin x π+⎛⎫∴=⋅+===-- ⎪⎝⎭()1令112232x k πππ-=+可得512x k ππ=+，k z ∈∴函数()f x 图象的对称轴方程512x k ππ=+，k z ∈ ()2方程()13f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，由正弦函数的对称性可知12526x x k ππ+=+，1x ，()20,x π∈，()1212562x x cos x x π∴+=∴+=-.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 25．（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x =-，2y =. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解. 【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=， ∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 62m bm bπ→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题.26．（1）53-；（2）12-. 【分析】 （1）求出()3,12n k k =--+，解方程(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=即得解；（2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，解方程(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+即得解.【详解】（1）由已知得()3,12n a kb k k =-=--+，()27,4a b -=-，所以()20n a b ⊥-=，即(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=， 解得53k =-； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，因为()//n kb c +，所以(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+， 解得12k =-. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A1B ．221-C ．231-D ．712．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ） A ．4B ．25C ．325+D ．63．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．夹角是锐角D ．夹角是钝角4．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．－15．已知非零向量a →，b→夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．B ．2C D6．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC++=D ．ED 在BC 方向上的投影为767．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A B ．1C ．2D ．8．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC=,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB的取值范围是（ ） A ．(1⎤⎦B ．(1⎤⎦ C ．1⎤⎦D ．)1,+∞9．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．2,222]+D ．[222,2]-10．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4511．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A ．2BCD 12．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ）A ．6B ．83C ．127D ．4二、填空题13．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________14．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________．15．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________. 16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 17．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.18．在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．19．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.20．在ABC △中，已知4CA =，CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．在直角坐标系xoy 中，单位圆O 的圆周上两动点A B 、满足60AOB ∠=︒（如图），C 坐标为()1,0，记COA α∠=（1）求点A 与点B 纵坐标差A B y y -的取值范围； （2）求AO CB ⋅的取值范围； 22．设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值.23．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值. 24．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cossin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ；（2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值 25．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，3,6AB AC ==（1）用,AB AC 表示AD 和EB ； （2）求向量EB 与EC 夹角的余弦值．26．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数,m n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立. 因此，AP 的最小值为31. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+.2．B解析：B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1a a b =-=， 所以22222cos ,1a a ba ab a b b =-=-〈〉+=，则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-， 所以2b t =， 则()23232a b a b-=-22124a a b t b =-+== ()2222a b a b a a b t b +=+=++22418t t =+=+，所以29832a b a b t -+-=+，利用基本不等式知：2a b a b +≤+≤，≤=，=此时2t =±.则32a b a b -++的最大值为 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到22981382a b a b t t -+-+=++，最后利用基本不等式即可解决.3．D解析：D 【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.4．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0），此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
平面向量：章末检测含答案
平面向量 章末检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x =( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．62．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO→，BO →，OC →，OD →是( )A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量4．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC →=( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)5．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a =( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．26．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 7．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →= ( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 28．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，16，若a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°9．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA→＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( ) A ．2 B.52 C ．3D ．411．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF→＝－23，则λ＋μ=( ) A.12 B.23 C.56 D.71212．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2D ．2二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若λa ＋b 与c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．已知a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.15．已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l的方程为________．16．已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝3，〈a ，b 〉=2π3,若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．18．(12分)(1)在直角三角形ABC 中，C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →； (2)已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R .若△ABC 为直角三角形，求a 的值．19．(12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.20．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )， (1)若a ∥AB→，且|AB →|＝5|OA →|，求OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．22．(12分)在△OAB 中，OC→＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示OM→;(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求证：17p ＋37q ＝1.平面向量 章末检测答案1．解析 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.答案 B 2．答案 B解析 设a ＝k 1e 1＋k 2e 2，A 中，∵(3,2)＝(k 2,2k 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝3，2k 2＝2，无解，B 中，∵(3,2)＝(－k 1＋5k 2,2k 1－2k 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －k 1＋5k 2＝3，2k 1－2k 2＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 2＝1. 故B 中的e 1，e 2可把a 表示出来． 同理，选项C 、D 同选项A ，无解． 3．答案 D 4．答案 A 5．答案 C6．解析 当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a |－|b ||，选项B 不成立．答案 B 7．解析 BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.8．解析 ∵a ∥b ，∴sin 2α＝32×16＝14，∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°.答案 A9．解析 在△ABC 中，由BC→＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC→，故选D. 10．解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33， ∴m ＝3n ，即mn ＝3，故选C.11．解析 以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB →2＋λAD →2＋(1＋λμ)AB →·AD→ ＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1.①CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC→＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23，② 由①②可得λ＋μ＝56.答案 C12．解析 坐标法：由已知可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． 由|c |＝1，(a －c )·(b －c )≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x －y ≤0， ∴x ＋y ≥1.从而|a ＋b －c |＝(1－x )2＋(1－y )2＝3－2(x ＋y )≤1.答案 B13．答案 2解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． 因为λa ＋b 与c ＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.14．解析 因为|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49.所以|5a －b |＝7. 答案 715．解析 设P (x ，y )是直线l 上任意一点，根据题意，有AP →·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)· (－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0.16．解析 AO →·AP →＝|AO →|·|AP →|·cos 〈AO →，AP →〉＝2|AP →|cos 〈AO →，AP →〉，如图， |AP →|cos 〈AO →，AP →〉的最大值为AB ＝3，故AO →·AP →的最大值为6. 17．解 ∵AB→与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.18．解 (1)在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，故BC ＝3，且cos ∠ABC ＝35， AB →与BC →的夹角θ＝π－∠ABC ，∴AB →·BC→＝－|AB →||BC →|cos ∠ABC ＝－5×3×35＝－9. (2)∵△ABC 是直角三角形，∴A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°. 当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，∴a ＝3；当B ＝90°时，BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0， ∴a ＝13；当C ＝90°时，由BC→⊥AC →，得 －1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0， ∵a ∈R ，∴方程a 2－a ＋4＝0无解． 综上所述，a ＝3或13.19．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61，又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13. 20．(1)证明 由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0，故a ⊥b . (2)解 因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.21．解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得5t 2＝5，∴t 2＝1，∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14 ＝54(cos 2θ－65cos θ)＋14＝54(cos θ－35)2－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 22．(1)解 设OM→＝m a ＋n b ，则AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .因为点A ，M ，D 共线，所以AM→与AD →共线，所以12(m －1)－(－1)×n ＝0，所以m ＋2n ＝1.① 而CM→＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b . 因为C ，M ，B 共线，所以CM→与CB →共线，所以－14n －⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14＝0.所以4m ＋n ＝1.②联立①②可得m ＝17，n ＝37，所以OM→＝17a ＋37b .(2) 证明 EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17－p a ＋37b ，EF→＝－p a ＋q b ， 因为EF→与EM →共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫17－p q －37×(－p )＝0. 所以17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q ＝1.。
2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量章末检测 4
第2章平面向量章末检测时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共40分）1．已知向量错误!＝(2，－1),错误!＝(－4，1），向量错误!的坐标是（）A．(－6，2）B．（6，－2）C．(－2，0）D．（2，0)解析：选C 错误!＝错误!＋错误!＝（2,－1)＋(－4,1)＝（－2，0）,故选C．2．已知平面向量a＝（3，1)，b＝（x，－3)，且a⊥b，则x＝( ）A．－3 B．－1C．1 D．3解析：选C 由题可知,3x－3＝0，∴x＝1，故选C．3．在菱形ABCD中，若AC＝2，则错误!·错误!等于（)A．2 B．－2C．｜错误!|cos A D．与菱形的边长有关解析：选B 设对角线AC与BD的交点为O，则错误!·错误!＝错误!·(错误!－错误!)＝错误!·错误!－错误!·错误!＝－错误!·错误!错误!＝－2，故选B．4．已知向量a,b满足a·b＝0，|a｜＝1，|b|＝2，则|2a－b｜＝（)A．0 B．22C．4 D．8解析：选B ｜2a－b｜2＝4a2－4a·b＋b2＝4＋4＝8,∴｜2a－b|＝22，故选B．5．如图,AB＝2,O为圆心，C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点，则（错误!＋错误!)·错误!的最小值等于（）A．－错误!B．－2C．－1 D．－错误!解析：选A 设PO＝x，由AB＝2，∴OC＝1,∴PC＝1－x，∴（PA ，→＋错误!)·错误!＝2错误!·错误!＝－2x ·（1－x ）＝2x 2－2x ＝2错误!2－错误!,∴当x ＝错误!时，(错误!＋错误!)·错误!有最小值－错误!.故选A ．6．下面给出的关系式中正确的个数是( ）①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ;③a 2＝｜a |2；④（a ·b ）·c ＝a ·（b ·c ）；⑤｜a ·b |≤a ·b 。
章末测试卷2：第二章 平面向量
必修四第二章 平面向量章末测试卷一．填空题1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a =(1,－2),b =(1,x ),若a ⊥b ,则x 等于______9. 已知向量a ,b 的夹角为 120，且|a |=2,|b |=5,则（2a -b ）·a =______10. 设a =(2,－3),b =(x ,2x ),且3a ·b =4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x +2y 的值为_____12. 已知向量a +3b ,a -4b 分别与7a -5b ,7a -2b 垂直，且|a |≠0,|b |≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM =2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y =－x 2进行平移，使得到的图形与函数y =x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t ,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案 1.0 2.（－3，－4） 3.7 4.90° 5.（21，321）． 6.73．7.（－3，2）． 8.－2 9.12 10.31-11.0 12. 90° 13. 14.51--或 简答题1.（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50． （2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos ＝||||AC AB ACAB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．2．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底2-（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a3.．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a +t b (t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )4.解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OBOC y x OC ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ……… )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.5.．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.6．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即 （2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。
新教材高中数学第二章平面向量及其应用章末测评含解析北师大版必修第二册
新教材高中数学：章末综合测评(二) 平面向量及其应用(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题正确的是( )A ．若∀λ∈R ，a ≠λb ，则a ，b 不共线B ．若|a |＝|b |，则a ＝±bC ．若a 和b 都是单位向量，则a ∥bD ．若m ＝3a ＋2b ，n ＝32a ＋b ，则m ∥nD [由m ＝2n ，得m ∥n .]2．已知|a |＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为2π3时，a 在e 方向上的投影数量为( )A ．12B ．－12 C ．4 D ．－4D [a 在e 方向上的投影为|a |cos2π3＝8×⎝⎛⎭⎫－12＝－4.] 3．若向量AB →＝(1，2)，BC →＝(－4，2)，则|AC →|＝( ) A ．2 5 B. 5 C. 20 D. 25B [因为AC →＝AB →＋BC →＝(－3，4)，所以|AC →|＝（－3）2＋42＝5.] 4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ⊥(a －b )，则|b －2a |＝( ) A. 2 B ．2 3 C ．4 D ．43A [|b －2a |＝|2a －b |＝|(a －b )＋a |＝[（a －b ）＋a ]2＝3＋1＝2.] 5．若向量AB →＝(3，4)，d ＝(－1，1)，且d ·AC →＝5，那么d ·BC →＝( ) A ．0 B ．－4 C ．4D ．4或－4C [d ·BC →＝d ·(AC →－AB →)＝d ·AC →－d ·AB →＝5－1＝4.]6．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋ 2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于( )A ．13B ．12C ．1D ．2D [由已知，得(OA →－OB →)＋2(OC →－OB →)＝0，即BA →＋2BC →＝0. ∴BA →＝－2BC →， ∴|AB →||BC →|＝2.] 7．已知△ABC 的面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2C ．12 D ．4A [由已知得，外接圆的半径为R ＝1，由三角形的面积公式，得12ab sin C ＝14，又sin C ＝c 2R ＝c2，∴abc ＝1.]8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3A [如图，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32，C (0，3).设E (0，y )(0≤y ≤3)， 则AE →＝(－1，y )， BE →＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，∴AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116(0≤y ≤3)，∴当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116.故选A.] 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知向量a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8，16)，则下列结论正确的是( ) A ．||a ＝5 B ．||b ＝13C ．a 在b 方向上的投影数量为－635D ．a 在b 方向上的投影数量为－6313ABD [由已知得a ＝(－3，4)，b ＝(5，－12)， 所以||a ＝5，||b ＝13，a ·b ＝－63. 所以a 在b 方向上的投影为a ·b ||b ＝－6313.]10．黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，……，解得b ＝ 6.根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件．．．．( ) A ．A ＝30°，B ＝45° B ．c ＝1，cos C ＝13C ．B ＝60°，c ＝3D ．C ＝75°，A ＝45°ABC [∵2sin 30°≠6sin 45°，∴A 错；∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋6－146≠13，∴B 错；∵a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋9－612＝712≠cos 60°，∴C 错；对于D ，由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝2sin 60°sin 45°＝6，故D 正确．] 11．已知|a |＝1，a ·b ＝12，|a －b |＝1，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．b 在a 方向上的投影数量为12C ．|a ＋b |＝ 3D ．a 与b 的夹角等于π3ABCD [因为|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝1，即1＋|b |2－1＝1，故|b |＝1. ①又|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝3，所以|a ＋b |＝3， 设a 与b 的夹角为θ，因为a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝12，且|a |＝1，所以|b |cos θ＝12.②由①②得cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.]12．设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法中正确的是( ) A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12ACD [A 项，AM →＝12AB →＋12AC →⇒12AM →－12AB →＝12AC →－12AM →，即BM →＝MC →，则点M 是边BC的中点，所以A 正确；B 项，AM →＝2AB →－AC →⇒AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB →，则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误．C 项如图，设BC 的中点为D ，则AM →＝－BM →－CM →＝MB →＋MC →＝2MD →，由重心性质可知C 正确． D 项，AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12⇒2AM →＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1，设AD →＝2AM →，所以AD →＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1， 可知B ，C ，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 面积的12，所以D 正确．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．向量P A →＝(k ，12)，PB →＝(4，5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为________．－2或11 [BA →＝P A →－PB →＝(k ，12)－(4，5)＝(k －4，7)，CA →＝P A →－PC →＝(k ，12)－(10，k )＝(k －10，12－k ). 因为A ，B ，C 三点共线， 所以BA →∥CA →，所以(k －4)(12－k )－7(k －10)＝0， 整理得k 2－9k －22＝0， 解得k ＝－2或11.]14．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m的值为________．19[∵B ，P ，N 三点共线． ∴存在λ，使BP →＝λBN →.∴BP →＝λBN →＝λ(BA →＋AN →)＝－λAB →＋14λAC →.∴AP →＝AB →＋BP →＝(1－λ)AB →＋14λAC →.又∵AP →＝mAB →＋29AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，14λ＝29，∴λ＝89，m ＝1－89＝19.]15．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________，AD →与BE →夹角的余弦值为________.－14 －2114 [选CA →，CB →为基，则AD →＝AC →＋12CB →，BE →＝－CB →＋13CA →， ∴AD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫AC →＋12CB →·(－CB →＋13CA →)＝－13CA →2－12CB →2＋76CA →·CB →＝－13－12＋76×1×1×cos 60°＝－14.又||AD →＝32，||BE →＝73， 则AD →与BE →夹角的余弦值为AD →·BE →||AD →||BE →＝－1432×73＝－2114. ]16．平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足a ·e ＝2，且|a |2≤5·|a ＋t e |对任意实数t 成立，则|a |的取值范围是________．[5，25] [不妨设e ＝(1，0)，由于a ·e ＝2，可设a ＝(2，s )， 则对任意实数t ，有4＋s 2＝|a |2≤5·|a ＋t e |＝5（2＋t ）2＋s 2， 这等价于4＋s 2≤5|s |， 解得|s |∈[1，4]， 即s 2∈[1，16]，于是|a |＝4＋s 2∈[5，25].]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R ). (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.[解] (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝2x ＋3－x 2＝0. 即x 2－2x －3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0， 解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，∴|a －b |＝|(1，0)－(3，0)|＝|(－2，0)|＝（－2）2＋02＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1，2)|＝|(2，－4)|＝22＋（－4）2＝2 5.18．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？[解] 如图所示，连接A 1B 2.由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°. 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度的大小为10220×60＝302(海里/小时). 答：乙船每小时航行302海里．19.(本小题满分12分)如图，已知Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，M 在OB 上，且OM ＝1，N 在OA 上，且ON ＝1，P 为AM 与BN 的交点，求∠MPN .[解] 设OA →＝a ，OB →＝b 且AM →，BN →的夹角为θ， 则OM →＝12b ，ON →＝13a .又∵AM →＝OM →－OA →＝12b －a ，BN →＝ON →－OB →＝13a －b ，∴AM →·BN →＝⎝⎛⎭⎫12b －a ·⎝⎛⎭⎫13a －b ＝－5， |AM →|＝10，|BN →|＝5，∴cos θ＝－55·10＝－22.又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝3π4.又∵∠MPN 即为向量AM →，BN →的夹角， ∴∠MPN ＝3π4.20．(本小题满分12分)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，求AO →·BC →. [解] AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →， ∵AO →在AB →上的投影数量为12|AB →|，∴AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2.同理，AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92.∴AO →·BC →＝92－2＝52.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ，得2cos C ⎝⎛⎭⎫a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝c ， 所以2c cos C ＝c ， 所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)， 所以C ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，整理得a 2＋b 2－ab ＝7，又a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤7，当且仅当a ＝b 时，取等号， 所以△ABC 的面积为12ab sin C ≤12×7×32＝734，所以△ABC 的面积的最大值为734.22．(本小题满分12分)已知△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.(1)求AB →·AC →； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，∴3OA →＋4OB →＝－5OC →，即(3OA →＋4OB →)2＝(－5OC →)2. 可得9OA →2＋24OA →·OB →＋16OB →2＝25OC →2. 又∵|OA |＝|OB |＝|OC |＝1， ∴OA →2＝OB →2＝OC →2＝1， ∴OA →·OB →＝0.同理OB →·OC →＝－45，OC →·OA →＝－35.∴AB →·AC →＝(OB →－OA →)·(OC →－OA →) ＝OB →·OC →－OA →·OB →－OC →·OA →＋OA →·OA → ＝－45－0＋35＋1＝45.(2)|AB →|＝AB →2＝（OB →－OA →）2＝2－2OA →·OB →＝2－0＝2， |AC →|＝AC →2＝（OC →－OA →）2＝2－2OC →·OA→＝2＋65＝455， 又cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝452×455＝1010，则sin A ＝31010，S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×2×455×31010＝65.。
2019年高中数学第二章平面向量章末检测新人教A版必修4
第二章 平面向量章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是( ) A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫作相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：对A ，方向相同或相反的非零向量是平行向量，错误；对B ，零向量是0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫作相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B. 答案：B2．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A ．一条线段 B ．一条直线 C ．圆上一群孤立的点D ．一个半径为1的圆解析：由于向量的始点确定，而向量平行于同一直线，所以随向量模的变化，向量的终点构成一条直线． 答案：B3．已知A 、B 、D 三点共线，存在点C ，满足CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( )A . 23B. 13C ．－13D ．－23解析：∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.答案：C4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，( a ＋λb )∥c 则λ＝( ) A.14 B.12 C ． 1D ．2解析：可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.答案：B5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心B ．重心 内心C ．外心 重心D ．外心 内心解析：由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得AN →＝NB →＋NC →，取BC 边的中的点D ，则AN →＝NB →＋NC →＝2ND →，知A 、N 、D 三点共线，且AN ＝2ND ，故点N 是△ABC 的重心．答案：C6．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈(π2，π)，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角等于( )A ．θ－π2B.π2＋θ C.3π2－θ D ．θ解析：设a 与b 的夹角为α，a·b ＝cos θ×0＋sin θ×(－1)＝－sin θ，|a |＝1，|b |＝1，∴cos α＝a·b|a ||b |＝－sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α∈[π2，π]，∴y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴α＝3π2－θ，故选C.答案：C7．等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么a·b ＋b·c ＋c·a 等于( ) A ．3 B ．－3 C.32D ．－32解析：由平面向量的数量积的定义知，a·b ＋b·c ＋c·a ＝|a |·|b |cos(π－C )＋|b |·|c |cos(π－A )＋|c |·|a |cos(π－B ) ＝cos(π－C )＋cos(π－A )＋cos(π－B ) ＝－cos C －cos A －cos B ＝－3cos 60°＝－32.故应选D. 答案：D8．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a·b ＋3＝7，a·b ＝0，∴a ⊥b.如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.答案：B9．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．形状无法确定解析：∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形． 答案：C10．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.53 B.54 C.109D.158解析：依题意，不妨设BE →＝12EC →，BF →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →；AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →)＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →)＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A. 答案：A11．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝|a |＝1，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )，∴|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，∴|c |＝ 3. 又c·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a·c |a ||c |＝－323×1＝－32，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.答案：D12．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,0≤y ≤1，动点P的轨迹所覆盖的面积为( ) A.103 6 B.53 6 C.103D.203解析：如图，∵OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,0≤y ≤1， ∴动点P 的轨迹所覆盖的区域是以OA ，OB 为邻边的平行 四边形OAMP ，则动点P 的轨迹所覆盖的面积S ＝AB ×r ，r 为△ABC 的内切圆的半径．在△ABC 中，由向量的减法法则得BC →＝AC →－AB →，∴BC 2→＝(AC →－AB →)2， 即|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2－2|AC →||AB →|cos A ， 由已知得72＝62＋|AB →|2－2×6·|AB →|×15，∴5|AB →|2－12|AB →|－65＝0，∴|AB →|＝5.∴S △ABC ＝12×6×5×sin A ＝66，又O 为△ABC 的内心，故O 到△ABC 各边的距离均为r ，此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和， ∴S △ABC ＝12(6＋5＋7)×r ，即12(6＋5＋7)×r ＝66，∴r ＝263，所求的面积S ＝AB ×r ＝5×236＝103 6.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________．解析：m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋4b 与a －2b 共线，∴－1(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2. 答案：－214.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________ (用向量a 和b 表示)．解析：∵AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →)＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝μa ＋μ2b ∵μ＋μ2＝1，解得μ＝23.∴AO →＝23a ＋13b.答案：23a ＋13b15．已知两点A (－1,0)，B (－1，3)．O 为坐标原点，点C 在第一象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－3OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ＝________.解析：由题意，得OC →＝－3(－1,0)＋λ(－1，3)＝(3－λ，3λ)，∵∠AOC ＝120°，∴OA →·OC →|OA →||OC →|＝－12， 即3－λ－λ2＋3λ2＝12，解得λ＝32. 答案：3216. 若将向量a ＝(1,2)绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则b 的坐标是________．解析：如图，设b ＝(x ，y )，则|b |＝|a |＝5，a·b＝|a ||b |·cos π4＝5×5×22＝522， 即x 2＋y 2＝5，又a·b ＝x ＋2y ，得x ＋2y ＝522，解得x ＝－22，y ＝322(舍去x ＝322，y ＝22)． 故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，322. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－22，322 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)如图所示，D ，E 分别是△ABC 中边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示 DE →，CE →，MN →.解析：由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a .CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b.MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b.18．(12分)已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． 因为AE →＝13AC →，所以(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23， 又因为83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，所以EF →∥AB →.19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解析：(1)由a ＝(1,2)，得|a |＝12＋22＝5， 又|c |＝25，所以|c |＝2|a |.又因为c ∥a ，所以c ＝±2a ，所以c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)． (2)因为a ＋2b 与2a －b 垂直，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋3a·b －2|b |2＝0，将|a |＝5，|b |＝52代入，得a·b ＝－52. 所以cos θ＝a·b|a ||b |＝－1.又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a 与b 的夹角为π.20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，∴ (OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2. ∴OP 1→·OP 2→＝－12，cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，∴∠P 1OP 2＝120°.∴|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝OP 2→－OP 1→2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是正三角形．21．(13分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解析：(1)证明：由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2， 整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a·b ＝0，因此a ⊥b.(2)由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，①sin α＋sin β＝1，②又0<β<α<π，由①，有cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α， 代入②，得sin α＋sin(π－α)＝1， 所以sin α＝12，得α＝π6，或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.综上，α＝5π6，β＝π6为所求．22.(13分)(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →并判断 OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解析：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b.同理OQ →＝13a ＋23b.OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)结论：OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1nAB →＝OA →＋1n(OB →－OA →)＝n －1nOA →＋1nOB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1nb ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2nb ， ……因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.。
高中数学 第二章 平面向量章末测评 北师大版必修4
第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.以下说法中不正确的是()A.零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量解析:只有C是错误的,平行向量有方向相同与相反两种情况.答案:C2.已知向量a=(4,x),b=(-4,4),若a∥b,则x的值为()A.0B.4C.-4D.±4解析:依题意,得4×4=(-4)×x,所以x=-4.答案:C3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.-a+bB.a-bC.a-bD.-a+b解析:设c=x a+y b,因此,解得因此,c=a-b.答案:B4.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的射影为()A. B. C. D.解析:设a,b的夹角为θ,则a在b方向上的射影为|a|cos θ=.答案:A5.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=()A. B. C.2 D.10解析:由a⊥c得a·c=2x-4=0,所以x=2,由b∥c得1×(-4)=2y,所以y=-2,于是a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),从而|a+b|=.答案:B6.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2+λ,则λ=()A.B.C.-D.-解析:∵=2,∴=2=2(),即得,由已知条件+λ可得λ=.答案:A7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若向量+2=3,则的值为()A. B. C. D.解析:+2=3=2-2=2,所以的值为.答案:A8.在△ABC中,∠ACB=90°,且CA=CB=3,点M满足=2,则=()A.2B.3C.4D.6解析:如图,∵=)=,∴|2=×0+×32=3.答案:B9.(2015重庆高考)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.π解析:由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,即3·|b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得cos θ=,故θ=.答案:A10.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),点C在第二象限内,∠AOC=,且||=2,若=λ+μ,则λ,μ的值是()A.,1B.1,C.-1,D.-,1解析:根据平面向量的基本定理并结合图形求出分量即可.答案:D11.若点O为平面内任意一点,且(-2)·()=0,则△ABC是()A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形但不一定是直角三角形D.直角三角形但不一定是等腰三角形解析:由(-2)·()=0得()·()=0,∴=0,即||=||.∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.由题意不能判定△ABC为直角三角形.答案:C12.导学号03070121在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||==2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是()A.2B.2C.4D.4解析:以为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使A,B两点关于x轴对称,由已知||=||==2,可得出∠AOB=60°,点A(,1),点B(,-1),点D(2,0).现设P(x,y),则由=λ+μ得(x,y)=λ(,1)+μ(,-1),即由于|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R,可得画出动点P(x,y)满足的区域为如图阴影部分,故所求区域的面积为2×2=4.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若m a+n b与a-2b共线,则等于.解析:m a+n b=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).由m a+n b与a-2b共线知,∴n-2m=12m+8n.∴=-.答案:-14.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.解析:由|2a-b|=可得,4|a|2-4a·b+|b|2=10,所以4-4×1×|b|×cos 45°+|b|2=10,即|b|2-2|b|-6=0,解得|b|=3.答案:315.(2016陕西宝鸡高三模拟)函数y=tan的部分图像如下图所示,则()·=.解析:依题意知A(2,0),B(3,1),∴=(3,1),=(2,0),=(1,1),∴()·=4.答案:416.如图,在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则·()的最小值是. 解析:如题中图,设=a,则|a|=2.因为O为中线AM上的动点,所以=t=t a(0≤t≤1),故=(1-t)a.因为M是BC的中点,所以=2=-2t a.所以·()=(1-t)a·(-2t a)=-2t(1-t)|a|2=8t2-8t=8-2.所以,当t=∈[0,1]时,最小值为-2.答案:-2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平行四边形OADB中,设=a,=b,.试用a,b表示.解:由题意知,在平行四边形OADB中,)=(a-b)=a-b,则=b+a-b=a+b.)=(a+b),则(a+b)-a-b=a-b.18.(12分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.(1)求|b|;(2)当a·b=时,求向量a与b的夹角θ的值.解:(1)因为(a-b)·(a+b)=,即a2-b2=.所以|b|2=|a|2-=1-,故|b|=.(2)因为cos θ=,又0°≤θ≤180°,故θ=45°.19.(12分)已知向量a,b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.(2)求实数k,使k a+b与2a+k b共线.解:(1)因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),所以=5a+5b=5,因此共线.又点B为的公共点,所以A,B,D三点共线.(2)因为k a+b与2a+k b共线,则存在实数λ使k a+b=λ(2a+k b),所以所以k=±.20.(12分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北.一个单位长度表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向匀速前进,6分钟时路过少年宫C,10分钟后到达科技馆B(-3,5).(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度(用坐标表示).(2)求少年宫C点相对于广场中心所在的位置.解:(1)依题意知=(-3,5)-(2,0)=(-5,5).||==5,∠xAB=135°.所以此人沿北偏西45°方向走了500米.因为t=小时,所走的实际距离s=||×100=500(米),所以|v|==3 000(米/时)=30(百米/时), 所以|v|cos 135°=-30,|v|sin 135°=30,所以v=(-30,30).(2)因为,=(2,0)+(-5,5)=(-1,3),所以||=,又tan∠COy=,所以∠COy=18°26',即少年宫C位于距离广场中心100米,且在北偏西18°26'处.21.(12分)已知向量a,b满足|a|=|b|=1,|k a+b|=|a-k b|(k>0,k∈R).(1)求a·b关于k的解析式f(k);(2)若a∥b,求实数k的值;(3)求向量a与b夹角的最大值.解:(1)由已知|k a+b|=|a-k b|,有|k a+b|2=(|a-k b|)2,k2a2+2k a·b+b2=3a2-6k a·b+3k2b2.又因为|a|=|b|=1,得8k a·b=2k2+2,所以a·b=,即f(k)=(k>0).(2)因为a∥b,k>0,所以a·b=>0,则a与b同向.因为|a|=|b|=1,所以a·b=1,即=1,整理得k2-4k+1=0,所以k=2±,所以当k=2±时,a∥b.(3)设a,b的夹角为θ,则cos θ==a·b=.当,即k=1时,cos θ取最小值,又0≤θ≤π,所以θ=,即向量a与b夹角的最大值为.22.(12分)导学号03070122设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有,求证:AC=BC.证明:设=t(0≤t≤1),∴=t,∴=(t)·(t)=t2+t.由题意,即t2+t=,即当t=取得最小值.由二次函数的性质可知-,即-,∴=0.取AB中点M,则,∴=0,即AB⊥MC.∴AC=BC.。
高中数学 第二章 平面向量章末检测(A)(含解析)苏教版必修4
第2章 平面向量(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是____________．2．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝________.3．设平面向量a 1，a 2，a 3满足a 1－a 2＋a 3＝0，如果平面向量b 1，b 2，b 3满足|b i |＝2|a i |，且a i 顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i ＝1,2,3，则b 1－b 2＋b 3＝________. 4．若a 与b 满足|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a ·a ＋a ·b ＝________.5．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________.(用a ，b 表示) 6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________.7．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→为________． 8．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是________． 9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.10．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →＝________.11．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.12．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________． 13.如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是________．(填序号)①P 1P 2→·P 1P 3→； ②P 1P 2→·P 1P 4→； ③P 1P 2→·P 1P 5→； ④P 1P 2→·P 1P 6→. 14.如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c∥a ，求c ；(2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．16．(14分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时， (1)c∥d ；(2)c ⊥d .17．(14分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．18．(16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．19．(16分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .20．(16分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1.求证：△P 1P 2P 3是正三角形．第2章 平面向量(A)1．(0,1)或(32，12)2．(1,2)解析 根据力的平衡原理有f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0， ∴f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)． 3．0解析 将a i 顺时针旋转30°后得a ′i ， 则a ′1－a ′2＋a ′3＝0. 4.32解析 由题意得a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 60°＝1＋12＝32.5.12a －32b 解析 令c ＝λa ＋μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝－1λ－μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .6．4解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)， ∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． 又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30. ∴x ＝4. 7．(2,3)解析 ∵AB →＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB →后得A ′B ′→，A ′B ′→＝AB →＝(2,3)． 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞ 解析 a·b ＝－3λ＋10<0，∴λ>103.当a 与b 共线时，λ－3＝25，∴λ＝－65.此时，a 与b 同向，∴λ>103.9．－1解析 ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )， ∴a ＋b ＝(1，m －1)．∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1. 10．－2 解析如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →. CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝－2＋0＝－2. 11．3解析 a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝2·3·cos 30°＝3. 12．6解析 由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＝2k －12＝0， ∴k ＝6. 13．①解析 根据正六边形的几何性质．〈P 1P 2→，P 1P 3→〉＝π6，〈P 1P 2→，P 1P 4→〉＝π3，〈P 1P 2→，P 1P 5→〉＝π2，〈P 1P 2→，P 1P 6→〉＝2π3.∴P 1P 2→·P 1P 6→<0，P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|cos π6＝32|P 1P 2→|2， P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2→|2.比较可知①正确．14．－12解析 因为点O 是A ，B 的中点，所以PA →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)．所以(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x )＝2(x －12)2－12.∴当x ＝12时，(PA →＋PB →)·PC →取到最小值－12.15．解 (1)∵c∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)． 又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－1，∴θ＝180°.16．解 由题意得a·b ＝|a||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．∴3λ＝5，且k λ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0.∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a·b ＝0，∴k ＝－2914.17．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝1－|b |2＝12，∴|b |2＝12，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22.∴θ＝45°.(2)∵|a |＝1，|b |＝22，∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12.∴|a －b |＝22， 又|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52.∴|a ＋b |＝102， 设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则 cos α＝a －b a ＋b|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. 即a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值为55. 18．解 (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)， ∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.19．证明如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2， 则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)， E (1,2)，F (0,1)． (1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2) ＝(－2，－1)， ∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. ∴AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝AB →2，∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .20．证明 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0， ∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，∴OP 1→·OP 2→＝－12，cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，∴∠P 1OP 2＝120°.同理，∠P 1OP 3＝∠P 2OP 3＝120°， 即OP 1→、OP 2→、OP 3→中任意两个向量的夹角为120°， 故△P 1P 2P 3是正三角形．。
章末综合测评2 平面向量
章末综合测评(二) 平面向量(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知AB →＝(3,0)，那么|AB →|等于( ) A ．2 B ．3 C ．(1,2)D ．5 B [∵AB →＝(3,0)，∴|AB →|＝32＋02＝3.故选B.]2．若OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，则AB →＝( ) A ．(－2,3) B ．(0,1) C ．(－1,2)D ．(2，－3)D [OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．]3．已知向量a ＝(3，k )，b ＝(2，－1)，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－32 B ．32 C ．6D ．2C [∵向量a ＝(3，k )，b ＝(2，－1)，a ⊥b ， ∴6－k ＝0，解得k ＝6，故选C.]4．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) B [设a ＝k 1e 1＋k 2e 2，A 选项，∵(3,2)＝(k 2,2k 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝3，2k 2＝2，无解，B 选项，∵(3,2)＝(－k 1＋5k 2,2k 1－2k 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －k 1＋5k 2＝3，2k 1－2k 2＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 2＝1. 故B 中的e 1，e 2可把a 表示出来． 同理，C 、D 选项同A 选项，无解．]5．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量D [这四个向量的模相等．]6．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C ．34a 2D ．32a 2 D [BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.]7．数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( )【导学号：64012152】A.AB →的坐标是2 B.CA →＝－3AB → C.CB →的坐标是4D.BC →＝2AB →C [答案C 不正确．故选C.]8．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →D [在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]9．设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值为( )A. 2B. 3 C ．3 2D ．2 3C [因为P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)， 所以|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2.]10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( )A ．2B ．52C ．3D ．4C [∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )． ∵tan 30°＝3n m ＝33， ∴m ＝3n ，即mn ＝3，故选C.]11.如图1所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC →上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )图1A ．2B ．0C ．－1D. －2D [由平行四边形法则得P A →＋PB →＝2PO →， 故(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，又|PC →|＝2－|PO →| 且PO →·PC →反向，设|PO →|＝t (0≤t ≤2)， 则(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2t (2－t ) ＝2(t 2－2t )＝2[(t －1)2－1]． ∵0≤t ≤2，∴当t ＝1时，(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－2.]12．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10D [∵P A →＝CA →－CP →， ∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2.∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2，∴|P A →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP→2.又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|P A →|2＋|PB →|2＝10|CP →|2，故所求值为10.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知向量O A →⊥A B →，|O A →|＝3，则O A →·O B →＝________.[解析] 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA 2→＝0，所以OA →·OB →＝OA 2→＝|OA →|2＝9，即OA →·OB →＝9.[答案] 914．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________角的方向行驶．[解析] 如图，OA →为水速，OC →是船行驶路程最短的情形，OB →是船行驶的速度，不难知道∠AOB ＝135°.[答案] 135°15．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________.【导学号：64012153】[解析] AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. [答案] 1216．已知a ＝(1,3)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋λb ，a 和c 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．[解析] c ＝(1＋λ，3＋λ)，∵a ，c 夹角为锐角， ∴0<cos 〈a ，c 〉<1， ∵cos 〈a ，c 〉＝a·c|a ||c |＝10＋4λ10·(1＋λ)2＋(3＋λ)2＝10＋4λ20λ2＋80λ＋100，0<10＋4λ20λ2＋80λ＋100<1，∴0<10＋4λ<20λ2＋80λ＋100，∴λ>－52，且λ≠0，∴实数λ的取值范围是⎩⎨⎧λ⎪⎪⎪⎭⎬⎫λ>－52，且λ≠0.[答案]⎩⎨⎧ λ⎪⎪⎪⎭⎬⎫λ>－52，且λ≠0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：AC ⊥BC .【导学号：64012154】[证明] 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系如图，设AD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)，BC →·AC →＝－1×1＋1×1＝0，所以AC →⊥BC →，即AC ⊥BC .18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)． (1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件． [解] (1)当m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝xOA →＋yOB →，则 (8,3)＝x (2，－1)＋y (3,0)＝(2x ＋3y ，－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC →＝－3OA →＋143OB →.(2)因为A ，B ，C 三点能构成三角形， 所以AB →，AC →不共线， AB →＝(1,1)，AC →＝(m －2,4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.19．(本小题满分12分)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝34. (1)求|b |；(2)当a ·b ＝－14时，求向量a 与a ＋2b 的夹角θ的值． [解] (1)根据条件，(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝1－b 2＝34， ∴b 2＝14，∴|b |＝12.(2)∵a ·b ＝－14，∴a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝1－12＝12， |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝1－1＋1＝1，∴cos θ＝a ·(a ＋2b )|a ||a ＋2b |＝121×1＝12，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值． [解] (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )， 又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1，∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14 ＝54(cos 2θ－65cos θ)＋14 ＝54(cos θ－35)2－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.21．(本小题满分12分)如图2所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .图2(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线.【导学号：64012155】[解] (1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →， 连接BG ，CG (图略)，得到平行四边形ABGC ， 所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →， 又因为BE →，BF →有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →. [解] (1)由题设知AB →＝(n －8，t )， ∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)． (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k .∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k . 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4,8)． ∴OA →·OC →＝(8,0)·(4,8)＝32.。
高中数学 第二章 平面向量章末检测(B)(含解析)苏教版
第2章 平面向量(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是________．2．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是________．3．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝________.4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD →＝________. 5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是________． 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是________．(填序号)7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于________． 8．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.9．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝________.11．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________.12．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为________．13．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA →·MB →的最小值为________．14．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法正确的是________．(填相应说法的序号) ①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )；④(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2.二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)如图所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →、ON →、MN →.16．(14分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：(1)(a －2b )·(a ＋b )；(2)|a ＋b |； (3)|3a －4b |.17．(14分)已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t2t的最小值．18．(16分)设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．(16分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．20．(16分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b .求证：1m ＋1n＝3.第2章 平面向量(B)1．6解析 ∵a ∥b ，∴4×3－2x ＝0，∴x ＝6.2．(－43，2)解析 ∵a 与b 的夹角大于90°，∴a ·b <0， ∴(m －2)(2m ＋1)＋(m ＋3)(m －2)<0，即3m 2－2m －8<0，∴－43<m <2.3.12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， ∵AB →∥AC →，∴(a －2)(b －2)－4＝0，∴ab －2(a ＋b )＝0，该等式两边同除以ab ，可得ab －2a ＋bab＝0，∴1－2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝0， ∴1a ＋1b ＝12. 4．8解析 ∵AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， ∴AD →·BD →＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8. 5.π3解析 ∵a (b －a )＝a ·b －|a |2＝2，∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝31×6＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.6．①④解析 由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若a ·b ＝a ·c ，则a (b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )，所以④正确，即正确命题序号是①④. 7．－4解析 向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝－123＝－4.8．7解析 ∵|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×(－12)＝49.∴|5a －b |＝7. 9．2x －3y －9＝0解析 设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有AP →·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0.10．－35解析 由已知得4b ＝－3a －5c ，将等式两边平方得(4b )2＝(－3a －5c )2，化简得a ·c ＝－35.同理由5c ＝－3a －4b 两边平方得a ·b ＝0，∴a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝－35. 11.79解析 AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋23CR →＝AC →＋23(23AB →－AC →)＝49AB →＋13AC →故有m ＋n ＝49＋13＝79.12．3解析 设△ABC 边BC 的中点为D ，则 S △ABC S △ABP ＝2S △ABD S △ABP ＝2ADAP.∵AP →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →，∴AD →＝32AP →，∴|AD →|＝32|AP →|.∴S △ABCS △ABP＝3. 13．－8解析 设OM →＝tOP →＝(2t ，t )，故有MA →·MB →＝(1－2t,7－t )·(5－2t,1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，故当t ＝2时，MA →·MB →取得最小值－8. 14．①③④解析 若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故①正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故②不正确．对于③，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故③正确．对于，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故④正确．15．解 BA →＝OA →－OB →＝a －b . ∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b .ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM → ＝23a ＋23b －16a －56b＝12a －16b. 16．解 a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. (1)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22 ＝12.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(3)|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴|3a －4b |＝419.17．解 由题意有|a |＝32＋－12＝2，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1. ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a⊥b .∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值为－74.18．解 设OM →＝tOC →，t ∈[0,1]，则OM →＝(6t,3t )，即M (6t,3t ).MA →＝OA →－OM →＝(2－6t,5－3t )， MB →＝OB →－OM →＝(3－6t,1－3t )． 若MA ⊥MB ， 则MA →·MB →＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0.即45t 2－48t ＋11＝0，t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. 19．解 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得2t e 1＋7e 2·e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22<0.(*) ∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0.解得：－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)． 对比系数得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ7＝λtλ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.20.证明 如右图所示，∵OD →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，∴OG →＝23OD →＝13(a ＋b )．∴PG →＝OG →－OP → ＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b . PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a . 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG →＝λPQ →. ∴(13－m )a ＋13b ＝λn b －λm a ， ∴(13－m ＋λm )a ＋(13－λn )b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＋λm ＝0， ①13－λn ＝0， ②由①②消去λ得：1m ＋1n＝3.。
数学版章末测试：第二章平面向量A
第二章测评A（基础过关卷)（时间：90分钟 满分:100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．与a ＝(12，5)平行的单位向量为( )A ．125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．125,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭或125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．125,1313⎛⎫± ⎪⎝⎭2．若向量a ＝（0，1)，b ＝(1,0)，则向量a ＋b 与2b －2a 的夹角等于( )A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π3．如图所示，已知AB ＝2BC ,错误!＝a ,错误!＝b ，错误!＝c ,则下列等式中成立的是（ )A ．c ＝32b －12a B ．c ＝2b －a C ．c ＝2a －b D ．c ＝32a－12b4．设向量a ，b 满足｜a ｜＝1，|a －ba ·(a －b )＝0,则｜b ｜＝( ）A ．2B ．C ．4D ．5．如图，已知｜OA |＝3，｜OB |＝1,OA ·OB ＝0，∠AOP ＝6π,若OP ＝t OA ＋OB ,则实数t 等于（ ）A ．13 B ．3C D ．36．已知｜p ｜＝|q |＝3，p ，q 的夹角为4π,则以a ＝5p ＋2q ,b ＝p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ) Ａ．15 BC ．14D ．167．如图,OA ＝a ，错误!＝b ，且BC ⊥OA 于C ,设错误!＝λa ，则λ等于（ )Ａ．2a b aB ．a b a bC ．2a bbD ．a b a b8．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1,E ，F 为边BC 的三等分点，则AE ·AF ＝（ )Ａ．53B ．54C ．109D ．1589．在△ABC 中，P 是BC 的中点，角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ,若c AC ＋a PA ＋b PB ＝0，则△ABC 的形状为( ）Ａ．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形10．已知点O为△ABC所在平面内一点，且OA2＋BC2＝OB2＋CA2＝OC2＋AB2,则O一定为△ABC的( ）Ａ．垂心B．重心C．外心D．内心二、填空题(本大题共5小题,每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2OA＋AB＋AC＝0,且｜OA｜＝｜AB｜，则向量BA在向量BC方向上的投影为__________．12．在△ABC中，AB＝（1，2），AC＝（－x,2x）(x〉0），若△ABCx的值为__________．的周长为13．已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等,若|a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝1，则｜a＋b＋c|＝__________．14．如图，在△ABC中,O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则OA·（OB＋OC）的最小值是__________．15．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题:①若a·b＝a·c,则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝（－2,6），a∥b,则k ＝－3；③非零向量a和b满足｜a｜＝|b|＝|a－b｜，则a与a＋b的夹角为60°．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题6分）在平面直角坐标系xOy中,已知点A（－1，－2)，B(2，3),C（－2,－1）．（1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）设实数t满足（AB－t OC）·OC＝0，求t的值．17．(本小题6分)如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．18．(本小题6分)已知P为△ABC内一点，且3AP＋4BP＋5CP＝0．延长AP交BC于点D，若AB＝a,AC＝b，用a，b表示向量AP，AD．19．（本小题7分）如图，已知OP＝（2，1)，OA＝（1，7），OB＝(5，1)，设Z是直线OP上的一动点．（1)求使ZA ·ZB 取最小值时的OZ ；(2)对（1)中求出的点Z ，求cos∠AZB 的值．参考答案一、选择题 1．答案：C 2．答案：C 3．答案：A 4．答案：A 5．答案：B6．解析：a ＋b ＝6p －q ,对角线长为｜a ＋b ｜cos4p q π＝＝＝15．答案:A 7．答案：A 8．答案：A 9．答案：C10．解析：OA 2＋BC 2＝OB 2＋CA 2⇒OA2－OB 2＝CA 2－BC 2⇒(OA －OB ）·（OA ＋OB ）＝(CA －BC )·（CA ＋BC ）⇒BA ·（OA ＋OB ）＝BA ·（CA －BC ）⇒BA ·(OA ＋OB －CA ＋BC ）＝0⇒2BA ·OC ＝0⇒BA ⊥OC ．同理CB ⊥OA ,所以O 为△ABC 的垂心． 答案：A 二、填空题( 11．答案：1212．解析：因为BC ＝AC －AB ＝(－x －1，2x －2）,＝，所以x ＝3011．答案：301113．解析：｜a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝4＋4＋1－2×2×2×12－2×2×1×12－2×2×1×12＝1．答案：114．解析:如题图，设MA ＝a ，则|a ｜＝2．因为O 为中线AM 上的动点， 所以MO ＝t MA ＝t a （0≤t ≤1）, 故OA ＝MA －MO ＝(1－t ）a ． 因为M 是BC 的中点， 所以OB ＋OC ＝2OM ＝－2t a ．所以OA ·（OB ＋OC ）＝(1－t ）a ·（－2t a ）＝－2t (1－t )｜a ｜2＝8t 2－8t ＝812t ⎛⎫- ⎪⎝⎭2－2．所以当t ＝12∈[0,1］时，最小值为－2．答案：－2 15．答案：② 三、解答题 16．解：(1)AB ＝(3，5)，AC ＝(－1,1），求两条对角线的长即求|AB ＋AC |与｜AB －AC ｜的大小．由AB ＋AC ＝（2,6），得|AB ＋AC ｜＝由AB －AC ＝（4,4），得|AB －AC ｜＝．（2)OC ＝(－2，－1）,因为(AB －t OC )·OC ＝AB ·错误!－t OC 2，易求AB·OC＝－11，OC2＝5，所以由（AB－t OC)·OC＝0得t＝－115．17．解：设AD＝a,AB＝b，则BD＝a－b,AC＝a＋b．而|BD|＝|a－b2a b b+a b＝a b，所以｜BD|2＝5－2a·b＝4，所以2a·b＝1．所以｜AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋｜b|2＝5＋2a·b＝6．所以|AC|,即AC．18．解：因为BP＝AP－AB＝AP－a，CP＝AP－AC＝AP－b,又3AP＋4BP＋5CP＝0，所以3AP＋4（AP－a)＋5（AP－b）＝0，化简，得AP＝13a＋512b．设AC＝t AP（t∈R），则AD＝13t a＋512t b．①又设BD＝k BC(k∈R）,由BC＝AC－AB＝b－a，BD＝AD－AB＝AD－a，得AD－a＝k(b－a）．所以AD＝a＋k（b－a）＝（1－k)a＋k b．②又因为a，b不共线,由平面向量的基本定理及①②有：11, 35. 12t kt k⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩两式相加解得t＝43．代入①,有AD＝49a＋59b．19．解：(1）因为Z是直线OP上的一点，所以OZ∥OP．设实数t,使OZ＝t OP，所以OZ＝t（2，1）＝(2t，t），则ZA＝OA－OZ＝（1,7)－（2t,t)＝（1－2t,7－t)，ZB＝OB－OZ＝(5,1）－(2t，t）＝(5－2t，1－t）．所以ZA·ZB＝(1－2t）(5－2t)＋(7－t）(1－t)＝5t2－20t＋12＝5（t －2）2－8．当t＝2时，ZA·ZB有最小值－8，此时OZ＝（2t,t）＝(4，2)．（2）当t＝2时，ZA＝(1－2t，7－t)＝(－3，5），｜ZA|ZB＝(5－2t，1－t）＝(1，－1）,|错误!故cos∠AZB ＝ZA ZBZA ZB＝．。
高中数学 第二章 平面向量章末综合测评 新人教A版必修
(二) 平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)【解析】 法一：设C (x ，y )， 则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A ．法二：AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A ． 【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C ．53D ．32【解析】 c ＝a ＋k b ＝(1＋k,2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2 D ．32a 2 【解析】 由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D ．【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝23π.【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D ．【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( ) A ．0 B ．2 C ．5D ．25【解析】 因为a ＝(2,1)，则有|a|＝5，又a·b ＝10， 又由|a ＋b|＝50，所以|a|2＋2a·b ＋|b|2＝50，即5＋2×10＋|b|2＝50， 所以|b|＝5. 【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( ) 【导学号：00680065】图1A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b【解析】 BC →＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b . 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【解析】 设向量a ，b 夹角为θ，|c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ．【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【解析】 设AE →与AB →的夹角为θ，则AE →与AD →的夹角为π2－θ，又AD →∥BC →，故有AE →与BC →夹角为π2－θ，如图．∵AE →·AB →＝|AE →|·|AB →|·cos θ＝3|AE →|·cos θ＝1， ∴|A E →|·cos θ＝33， ∴AE →·BC →＝|AE →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AE →|sin θ＝1， ∴AE →·AC →＝AE →·(AB →＋BC →)＝AE →·AB →＋AE →·BC →＝1＋1＝2. 【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【解析】 设P (x,0)，则有 AP →·BP →＝(x －2,0－2)·(x －4,0－1)＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10 ＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，(AP →·BP →)min ＝1， 此时P 点坐标为(3,0)． 【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形【解析】 ∵非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，∴∠BAC 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－12，∴∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 【解析】 ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6. 【答案】 －614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【解析】 ∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n ) ＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.【答案】 －315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________． 【解析】 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5. 【答案】 －516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【解析】 ∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)． 因为0°<θ<120°， 所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)． (1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件． 【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)， 设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0) ＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →.(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形， 则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)， AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0， ∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0， 所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形， 又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ， 则c ＝(λ，2λ)． 又|c |＝25，∴λ＝±2， ∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1， 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关； (2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →， 即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20， ∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10， ∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →) ＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100 ＝12MN →·AB →－100， ∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关． (2)由(1)得， AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100.∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。
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《平面向量》检测
一、选择题
1． 与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是
( )
A ．(12，3
2)或(1，3)
B ．(
32，12
) C ．(0,1)
D ．(0,1)或(
32，12) 2． 设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，1
2
)，则下列结论中正确的是
( )
A ．|a |＝|b |
B ．a ·b ＝22
C ．a －b 与b 垂直
D ．a ∥b
3． 已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使
物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于
( )
A ．(－1，－2)
B ．(1，－2)
C ．(－1,2)
D ．(1,2)
4． 已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( )
A ．0
B ．2＋ 2
C. 2
D ．2 2
5． 已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于
( )
A ．－4
B ．4
C ．－12
5
D.125 6． 若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于
( )
A ．－12a ＋32b
B.12a －3
2b C.32a －1
2
b
D ．－32a ＋12
b
7． 若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于
( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 8． 向量BA →＝(4，－3)，向量BC →
＝(2，－4)，则△ABC 的形状为
( )
A ．等腰非直角三角形
B ．等边三角形
C ．直角非等腰三角形
D ．等腰直角三角形
9． 设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→
为
( )
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(3,4)
D ．(4,7)
10．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是
( )
A.⎝⎛⎭⎫10
3，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫10
3，＋∞ C.⎝
⎛⎭⎫－∞，10
3
D.⎝
⎛⎦⎤－∞，103 11．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →
等于
( )
A ．2
B ．－2
C ．|AB →
|cos A
D ．与菱形的边长有关
12. 如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大
的是
( )
A.P 1P 2→·P 1P 3→
B.P 1P 2→·P 1P 4→
C.P 1P 2→·P 1P 5→
D.P 1P 2→·P 1P 6→ 二、填空题
13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝
________.
15．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为
________．
16. 如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是 ________． 三、解答题
17．已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．
(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝
5
2
，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 18．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时：
(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .
19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值．
20. 已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→
|＝1.
求证：△P1P2P3是正三角形．
21．已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
答案
1．D 2.C 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8．C 9.B 10.A 11.B 12.A 13.－1 14．3 15.6 16.－1
2
17．解 (1)∵c ∥a ，
∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)． 又|c |＝25，∴λ＝±2， ∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ∵|a |＝5，|b |＝
52，∴a·b ＝－5
2
. ∴cos θ＝a·b
|a||b |＝－1，∴θ＝180°.
18．解 由题意得a·b ＝|a||b |cos 60°
＝2×3×1
2＝3.
(1)当c ∥d ，c ＝λd ， 则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝9
5.
(2)当c ⊥d 时，c·d ＝0， 则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a·b ＝0， ∴k ＝－2914
.
19．解 (1)AB →＝(3,5)，AC →
＝(－1,1)，
求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →
|的大小． 由AB →＋AC →
＝(2,6)， 得|AB →＋AC →
|＝210， 由AB →－AC →
＝(4,4)， 得|AB →－AC →
|＝4 2. (2)OC →
＝(－2，－1)，
∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，
易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5， ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.
20．证明 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→
＝0，
∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→， ∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→
)2， ∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→ ＝|OP 3→
|2， ∴OP 1→·OP 2→
＝－12
，
cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→
|＝－1
2，
∴∠P 1OP 2＝120°. ∴|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→
| ＝(OP 2→－OP 1→)2
＝
OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.
同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→
|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是等边三角形．
21．证明 如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，
则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)， E (1,2)，F (0,1)．
(1)BE →＝OE →－OB →
＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →
＝(0,1)－(2,2) ＝(－2，－1)，
∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →
，即BE ⊥CF .
(2)设P (x ，y )，则FP →
＝(x ，y －1)， CF →
＝(－2，－1)，
∵FP →∥CF →
，∴－x ＝－2(y －1)，
即x ＝2y －2.
同理由BP →∥BE →
，得y ＝－2x ＋4， 代入x ＝2y －2.
解得x ＝65，∴y ＝8
5，即P ⎝⎛⎭⎫65，85. ∴AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2， ∴|AP →|＝|AB →
|，即AP ＝AB .。