高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习

专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习

一、选择题

1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10

2，则tan 2α等于( )

A.43

B.34

C.－34

D.－43

解析 ∵sin α＋2cos α＝10

2，

∴sin 2 α＋4sin α·cos

α＋4cos 2α＝

52

. 用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2α

cos 2α＝－3

4.故选C.

答案 C

2.(2016·宁波二模)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A.10 B.9 C.8

D.5

解析 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，

得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，又角A 为锐角， 解得cos A ＝1

5

，

由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b ＝5. 答案 D

3.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1

3BC ，则cos A ＝( )

A.

3

1010

B.1010

C.－1010

D.－

31010

解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝2

3BC ，tan ∠

BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋2

1－1×2＝－3，所以cos A ＝－10

10.

答案 C

4.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin β

cos β，

则( ) A.3α－β＝π

2

B.2α－β＝π

2

C.3α＋β＝π

2

D.2α＋β＝π

2

解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin β

cos β，

即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，

∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2－α.

∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，

∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，

∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－α，得α－β＝π

2－α，

∴2α－β＝π

2.

答案 B

5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π

3，则△ABC

的面积是( )

A.3

B.

932

C.

332

D.33

解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π

3

，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得

ab ＝6，∴S △ABC ＝12

ab sin C ＝1

2

×6×

32＝332

，故选C. 答案 C 二、填空题

6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b

－c ＝2，cos A ＝－1

4，则a 的值为________.

解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝15

4，

S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×15

4

＝3

15，∴bc ＝24，

又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ＝52－2×24×

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－14＝64，∴a ＝8.

7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.

解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600

sin 45°，

所以BC ＝300

2.在

Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100

6.

答案 100

6

8.(2016·杭州模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是

________. 解析 ∵sin A ＋

2sin B ＝2sin C .

由正弦定理可得a ＋

2b ＝2c ，即c ＝

a ＋2b

2

，

cos C ＝

a 2＋

b 2－

c 2

2ab

＝

a 2＋

b 2－

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫a ＋2b 22

2ab ＝

3a 2＋2b 2－2

2ab 8ab ≥2

6ab －22ab

8ab

＝

6－2

4

，

当且仅当

3a 2＝2b 2即

a

b

＝

2

3时等号成立. ∴cos C 的最小值为

6－24

.

答案

6－2

4