02静电场的环路定理
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
1 1 dr ( ) 2 4 0 RA RB 4 0 r RA
RB
q
q
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
Aoc U o U c
d
0
0
q q a ( ) 4 0 3 R 4 0 R q
q
b
c
R
i
q0
b
a
b E1 dl ＋q0 E2 dl ＋
a
q i i 40
1 1 r r bi ai
静电场力做功与路径无关，静电力是保守力
二、静电场的环流定理
—静电力做功与路径无关的数学表述 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线 积分等于零。
q0 E dr
Aa b
b
a
qq0 dA 40
dr ra r 2
rb
qq 0 1 1 4 0 ra rb
推广： 任意带电体产生的电场： b Aa b q0 E dl
a
q0
b
a
( E i ) dl
例：求半径为R、带电量为Q的球面在球心O 处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 40 R 40 R 40 R
好
(2):
U
E dl 0
E dl R
R E dl R E dl 0
求：E
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
解：U p
4 r
0
dq
dq
o
r
x p X
q 4 0 R 2 x 2
U q x Ex 2 2 32 x 40 ( R x )
由对称性： E y Ez 0
E Exi
0 r
A0
qq0 ＝－W 0 q0U o 0 r
例: 试计算均匀带电圆环轴线上任一点P 的电势。设已知带电量为 Q。 Z 解： dU
dq 40 r
dq 4 0 r
p
r
dq
R
2 12 2
U
40 ( z R )
dq
Q U( z ) 2 2 12 40 ( z R )
课堂练习： 由等势面确定a、b点 的场强大小和方向。 已知 u1 u2 u2 u3 0
Ea Eb
b
a
u3
u2
解：Ea Eb 方向如图。
u1
3、比较 E 和U ☆ E 和U是描述电场的两个物理量。 ☆ E 的形象表示是电场线， ☆ E ：电场线的切线方向表示E 的方向， 电场线的疏密表示 E的大小。 U：等势面的法线方向表示 E 的方向， 等势面的疏密表示 E的大小。
例：若电场中a点电势Ua>0，则Wa=?
答：不知道。 若向a点推进一个正电荷， Wa>0。
若向a点推进一个负电荷，Wa<0。
例：若以B作为电势零点，求C点的电势。
q
r1 r2
思路：UCB UC 0
UCB
A
B
C
ｑ ｑ １ ４0 ｒ ＋ｒ ｒ ２ ４0 １
ｑ ｑ UC １ ４0 ｒ ＋ｒ ｒ ２ ４0 １
b a
在很容易求出场强分布时,常用此法。
例:求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R，总带电量为Q。
U( r )
Q 40 r
2
r
dr
Q
Q 40 r
dr Q
rR
U ( r ) Edr
r
R
R
40 r
40 R
rR
带电球面是个等势面。
球面处场强不连续，而电势是连续的。
9-5 静电场的环路定理 电势能
重力做功的特点： 只与始末位置有关，与中间路径无关 沿闭合路径做功为零。 重力是保守力 还有哪些力是保守力？
一、证明电场力做功与路径无关
点电荷产生的电场：
rb
b
试验电荷q0电场中移动， dr r dr dl 电场力作的元功： q q r 0 E ra a dA q0 E dl q0 E cos dl
a
势能零点
Wa
q0 E dl
a
若 W 0,
则 Wa q0 E dl
a
点电荷产生的电场： 对比：
Aab (Wa Wb )
Aa b qq0 1 1 ( ) 40 ra rb
qq0 1 Wa CONST 40 ra
qq 1 0 若 W 0, 则 Wa 4 0 ra
例: 半径为R的均匀带电球体，带电量为Q , 求空间的电势分布。
Q 2 40 r E Qr 3 4 R 0
U U E dl r
r R r R
Q dr
Q 40 r
R
r
40 r 2
(r R)
R Qr E dl r r 40 R 3
U 的形象表示是等势面。
二、电场强度与电势梯度
1、E 和U的积分关系： 2、E 和U的微分关系：
U ( P ) E dl
p
U + U U
设 :单位正电荷由a →b 电场力作功：
U a U b U E l El cos
l
9-6 电势
一、电势：
Wa Ua q0
反映电场的基本性质
对于任意带电体产生的电场：
电势零点
Ua
E dl
a
若 U 0, 则
U a E dl
a
对于点电荷产生的电场：
1 q 1 Ua CONST 若 U 0 , 则 U a 40 ra 4 0 ra q
x i 2 2 32 40 ( R x ) q
R
？ Q
40 r
2
dr
Q 40 R
2、定义法： (Ua U b ) E dl
b
（1）电荷分布在有限范围内时，常选 U 0
a
U a E dl
a
（2）电荷分布广沿到无限远时，可选任一合适 的点b为电势零点。
U a E dl
a
b
E
U E cos l E 在 l 方向上分量 U
U + U
当a、b无限接近：
dU a El E cos dl dU ：沿 l 方向单位长度的
l
b
E
电势变化率。 U 如果 l方向正好是x方向， E x x
dr
Qr
2
Q 40 r
2
dr
(r R)
3Q
80 R
80 R 3
例：求无限长均匀带电直线的电场中的 电势分布。 解：选取 B 点为电势零点，B点距带电 直导线为 rB 。
U
B P
rB E dl r
dr 20 r
ln r ln rB ln r C 20 20 20
电场力作正功时，电势能减少， 能量哪里去了？
q0 E dl q0 (U a U b )
b a
Aab
1 q0 (U a U b ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
三、电势的计算 1、叠加原理
利用点电荷的电势
U
q 40 r
qi
点电荷系： U
q 6 0 R
R
R
② 将单位负电荷由 O电场力所作的功 Ao U U o 0
例: 如图,半径均为R的两个球体相交,球心距 离o1o2=d，不重叠部分均匀带电，电荷体密 度左侧为 ＋ ，右侧为 － 。求距离o2为r的 A点的电势。
解:
将相交部分看成带 ＋ 电荷。于是有：
r P B A rB
当电荷分布到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远。
课堂练习：1.求等量异号的同心带电球面的
电势差。已知+q 、-q、RA 、RB
解: 由高斯定理
0
E
U AB
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
B
RB
U A U B E dl
i
4 0 ri
连续带电体： U
dq
带电体
dq 40 r
r
P
q 例： 如图：(1)计算O点的电势和 q 电场强度。 ｒｒ (2) 将试验正电荷ｑ0从无穷远处 ｒO ｒ q q 移到O点，电场力作的功。
(3)电势能的增量。
解题思路： 由对称性得：EO＝0
Uo 4 q 40 r q
E d l 0
L
证明：电力线不闭合（反证法）
静电场第二个基本性质：静电场是无旋场
三、电势能
重力 重力是保守力 重力势能
类比： 电场力 电场力是保守力 电势能
Aab E Pa E Pb
E Pa mgha
Aab (Wa Wb )
Wa
任意带电体产生的电场：
Aab ( Wa Wb ) 对比： b Aa b q0 E dl
U ：沿x方向单位长度的电势变化率。 x
dl
U 同理： E y y
U Ez z
U U U E E x i E y j E z k x i y j z k
记：
U U U gradU x i y j z
3 3
＋
r
A
Ｏ1
Ｏ2
4R 4R 3 R 1 1 3 3 U A＝ 4 0 d r 4 0 r 3 0 d r r
9－7 场强与电势的关系
一、电势的图示法：等势面
1、等势面：电势相等的点构成的曲面。
+
电偶极子
2、特点： ☆电场线与等势面处处正交。 ☆沿等势面移动电荷，电场力不作功。 ☆电场线的方向指向电势降落的方向。 规定：两等势面之间电势差相等。
二、电势差：
电场力做功： Aab Wa Wb q0 E dl
a
U ab U a U b E dl
b
b
q0 (U a U b )
a
a) 电势是标量，其单位为：J/C或V b) 电势的大小是相对的，与电势零点的选 取有关 c) 两点间的电势差与电势零点的选取无关 d) 电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有
k
U+dU U
E
为U的梯度（电势梯度），
它是矢量，与等势面正交。
n0
E gradU
低
高
电势梯度的方向是该点附近电势升高最快的方向。
注：由于U是标量，通常先计算U，再根据
U U U E x i y j z k
1 1 dr ( ) 2 4 0 RA RB 4 0 r RA
RB
q
q
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
Aoc U o U c
d
0
0
q q a ( ) 4 0 3 R 4 0 R q
q
b
c
R
i
q0
b
a
b E1 dl ＋q0 E2 dl ＋
a
q i i 40
1 1 r r bi ai
静电场力做功与路径无关，静电力是保守力
二、静电场的环流定理
—静电力做功与路径无关的数学表述 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线 积分等于零。
q0 E dr
Aa b
b
a
qq0 dA 40
dr ra r 2
rb
qq 0 1 1 4 0 ra rb
推广： 任意带电体产生的电场： b Aa b q0 E dl
a
q0
b
a
( E i ) dl
例：求半径为R、带电量为Q的球面在球心O 处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 40 R 40 R 40 R
好
(2):
U
E dl 0
E dl R
R E dl R E dl 0
求：E
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
解：U p
4 r
0
dq
dq
o
r
x p X
q 4 0 R 2 x 2
U q x Ex 2 2 32 x 40 ( R x )
由对称性： E y Ez 0
E Exi
0 r
A0
qq0 ＝－W 0 q0U o 0 r
例: 试计算均匀带电圆环轴线上任一点P 的电势。设已知带电量为 Q。 Z 解： dU
dq 40 r
dq 4 0 r
p
r
dq
R
2 12 2
U
40 ( z R )
dq
Q U( z ) 2 2 12 40 ( z R )
课堂练习： 由等势面确定a、b点 的场强大小和方向。 已知 u1 u2 u2 u3 0
Ea Eb
b
a
u3
u2
解：Ea Eb 方向如图。
u1
3、比较 E 和U ☆ E 和U是描述电场的两个物理量。 ☆ E 的形象表示是电场线， ☆ E ：电场线的切线方向表示E 的方向， 电场线的疏密表示 E的大小。 U：等势面的法线方向表示 E 的方向， 等势面的疏密表示 E的大小。
例：若电场中a点电势Ua>0，则Wa=?
答：不知道。 若向a点推进一个正电荷， Wa>0。
若向a点推进一个负电荷，Wa<0。
例：若以B作为电势零点，求C点的电势。
q
r1 r2
思路：UCB UC 0
UCB
A
B
C
ｑ ｑ １ ４0 ｒ ＋ｒ ｒ ２ ４0 １
ｑ ｑ UC １ ４0 ｒ ＋ｒ ｒ ２ ４0 １
b a
在很容易求出场强分布时,常用此法。
例:求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R，总带电量为Q。
U( r )
Q 40 r
2
r
dr
Q
Q 40 r
dr Q
rR
U ( r ) Edr
r
R
R
40 r
40 R
rR
带电球面是个等势面。
球面处场强不连续，而电势是连续的。
9-5 静电场的环路定理 电势能
重力做功的特点： 只与始末位置有关，与中间路径无关 沿闭合路径做功为零。 重力是保守力 还有哪些力是保守力？
一、证明电场力做功与路径无关
点电荷产生的电场：
rb
b
试验电荷q0电场中移动， dr r dr dl 电场力作的元功： q q r 0 E ra a dA q0 E dl q0 E cos dl
a
势能零点
Wa
q0 E dl
a
若 W 0,
则 Wa q0 E dl
a
点电荷产生的电场： 对比：
Aab (Wa Wb )
Aa b qq0 1 1 ( ) 40 ra rb
qq0 1 Wa CONST 40 ra
qq 1 0 若 W 0, 则 Wa 4 0 ra
例: 半径为R的均匀带电球体，带电量为Q , 求空间的电势分布。
Q 2 40 r E Qr 3 4 R 0
U U E dl r
r R r R
Q dr
Q 40 r
R
r
40 r 2
(r R)
R Qr E dl r r 40 R 3
U 的形象表示是等势面。
二、电场强度与电势梯度
1、E 和U的积分关系： 2、E 和U的微分关系：
U ( P ) E dl
p
U + U U
设 :单位正电荷由a →b 电场力作功：
U a U b U E l El cos
l
9-6 电势
一、电势：
Wa Ua q0
反映电场的基本性质
对于任意带电体产生的电场：
电势零点
Ua
E dl
a
若 U 0, 则
U a E dl
a
对于点电荷产生的电场：
1 q 1 Ua CONST 若 U 0 , 则 U a 40 ra 4 0 ra q
x i 2 2 32 40 ( R x ) q
R
？ Q
40 r
2
dr
Q 40 R
2、定义法： (Ua U b ) E dl
b
（1）电荷分布在有限范围内时，常选 U 0
a
U a E dl
a
（2）电荷分布广沿到无限远时，可选任一合适 的点b为电势零点。
U a E dl
a
b
E
U E cos l E 在 l 方向上分量 U
U + U
当a、b无限接近：
dU a El E cos dl dU ：沿 l 方向单位长度的
l
b
E
电势变化率。 U 如果 l方向正好是x方向， E x x
dr
Qr
2
Q 40 r
2
dr
(r R)
3Q
80 R
80 R 3
例：求无限长均匀带电直线的电场中的 电势分布。 解：选取 B 点为电势零点，B点距带电 直导线为 rB 。
U
B P
rB E dl r
dr 20 r
ln r ln rB ln r C 20 20 20
电场力作正功时，电势能减少， 能量哪里去了？
q0 E dl q0 (U a U b )
b a
Aab
1 q0 (U a U b ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
三、电势的计算 1、叠加原理
利用点电荷的电势
U
q 40 r
qi
点电荷系： U
q 6 0 R
R
R
② 将单位负电荷由 O电场力所作的功 Ao U U o 0
例: 如图,半径均为R的两个球体相交,球心距 离o1o2=d，不重叠部分均匀带电，电荷体密 度左侧为 ＋ ，右侧为 － 。求距离o2为r的 A点的电势。
解:
将相交部分看成带 ＋ 电荷。于是有：
r P B A rB
当电荷分布到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远。
课堂练习：1.求等量异号的同心带电球面的
电势差。已知+q 、-q、RA 、RB
解: 由高斯定理
0
E
U AB
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
B
RB
U A U B E dl
i
4 0 ri
连续带电体： U
dq
带电体
dq 40 r
r
P
q 例： 如图：(1)计算O点的电势和 q 电场强度。 ｒｒ (2) 将试验正电荷ｑ0从无穷远处 ｒO ｒ q q 移到O点，电场力作的功。
(3)电势能的增量。
解题思路： 由对称性得：EO＝0
Uo 4 q 40 r q
E d l 0
L
证明：电力线不闭合（反证法）
静电场第二个基本性质：静电场是无旋场
三、电势能
重力 重力是保守力 重力势能
类比： 电场力 电场力是保守力 电势能
Aab E Pa E Pb
E Pa mgha
Aab (Wa Wb )
Wa
任意带电体产生的电场：
Aab ( Wa Wb ) 对比： b Aa b q0 E dl
U ：沿x方向单位长度的电势变化率。 x
dl
U 同理： E y y
U Ez z
U U U E E x i E y j E z k x i y j z k
记：
U U U gradU x i y j z
3 3
＋
r
A
Ｏ1
Ｏ2
4R 4R 3 R 1 1 3 3 U A＝ 4 0 d r 4 0 r 3 0 d r r
9－7 场强与电势的关系
一、电势的图示法：等势面
1、等势面：电势相等的点构成的曲面。
+
电偶极子
2、特点： ☆电场线与等势面处处正交。 ☆沿等势面移动电荷，电场力不作功。 ☆电场线的方向指向电势降落的方向。 规定：两等势面之间电势差相等。
二、电势差：
电场力做功： Aab Wa Wb q0 E dl
a
U ab U a U b E dl
b
b
q0 (U a U b )
a
a) 电势是标量，其单位为：J/C或V b) 电势的大小是相对的，与电势零点的选 取有关 c) 两点间的电势差与电势零点的选取无关 d) 电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有
k
U+dU U
E
为U的梯度（电势梯度），
它是矢量，与等势面正交。
n0
E gradU
低
高
电势梯度的方向是该点附近电势升高最快的方向。
注：由于U是标量，通常先计算U，再根据
U U U E x i y j z k