2017-2018届泸州市高三第一次教学质量诊断性考试理科数学试题及答案
四川省泸州市2018-2019学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷
四川省泸州市2018-2019学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷一、单选题 (共12题；共12分)1．（1分）已知集合A={(x,y)|y=−x+2}，B={(x,y)|y=2x}，则A∩B元素的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（1分）命题“ ∀x∈R，e x>x+1（e是自然对数的底数）”的否定是（）A．不存在，使B．，使C．，使D．，使3．（1分）已知函数f(x)=tanx1−tan2x，则函数f(x)的最小正周期为（）A．B．C．D．4．（1分）设a=(12)13，b=(13)12，c=ln(3π)，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．5．（1分）函数f(x)=xcosx−sinx的图象大致为（）A．B．C．D．6．（1分）若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“ l⊥m”是“ l//α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（1分）正数a，b，c满足3a=4b=6c，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．8．（1分）在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．（1分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的函数图象关于直线x=5π6对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．10．（1分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则cos(α−β)的值为（）A．B．C．D．11．（1分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．12．（1分）已知函数 f(x)=e x−1−alnx +(a −1)x +a(a >0) 的值域与函数 f(f(x)) 的值域相同，则 a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）使不等式 log 12(x −2)>0 成立的 x 的取值范围是 .14．（1分）在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 asinA =csinC +(a −b)sinB ，则角 C 的大小为 .15．（1分）已知函数 f(x)={2−x +1,x ≤0−√x,x >0，则 f(x +1)−9≤0 的解集为 . 16．（1分）长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =AA 1=2AD ， E 是 DD 1 的中点， BF =C 1K =14AB ，设过点 E 、 F 、 K 的平面与平面 AC 的交线为 l ，则直线 l 与直线 A 1D 1 所成角的正切值为 .三、解答题 (共7题；共14分)17．（2分）在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，已知 a =6 ， cosA =18 .（1）（1分）若 b =5 ，求 sinC 的值；（2）（1分）ΔABC 的面积为 15√74，求 b +c 的值.18．（2分）已知函数 f(x)=ax −2sinx +xcosx .（1）（1分）求曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线在 y 轴上的截距；（2）（1分）若函数 f(x) 在区间 [0,π2] 上是增函数，求实数 a 的取值范围.19．（2分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) 都在单位圆 O 上， ∠xOA =α ，且 α∈(π3,π2) .（1）（1分）若 sin(α+π6)=1314，求 x 1 的值；（2）（1分）若 ∠AOB =π3 ，求 y =x 12+y 22 的取值范围. 20．（2分）如图，在四棱锥 P −ABCD 中，平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形，且 ∠BCD =π4 ， PD ⊥BC .（1）（1分）求证： PC =PD ；（2）（1分）若底面 ABCD 是菱形， PA 与平面 ABCD 所成角为 π6 ，求平面 PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.21．（2分）已知函数 f(x)=(x −a)lnx +12x(a >0) .（1）（1分）若 f′(x) 是 f(x) 的导函数，讨论 g(x)=f′(x)−x −alnx 的单调性；（2）（1分）若 a ∈(12e,2√e) （ e 是自然对数的底数），求证： f(x)>0 .22．（2分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin 2θ=2acosθ(a >0) ，过点 P(−2,−4) 的直线 l 的参数方程为{x=−2+5ty=−4+5t（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点. （1）（1分）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）（1分）若|PA||PB|=|AB|2，求a的值.23．（2分）已知定义在R上的函数f(x)=|x−m|+|x|，m∈N∗，若存在实数x使f(x)<2成立.（1）（1分）求实数m的值；（2）（1分）若a>1，b>1，f(a)+f(b)=4，求证：4a+1b>3.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵集合 A ={(x,y)|y =−x +2} ， B ={(x,y)|y =2x } ，∴A∩B={（x ，y ）| {y =−x +2y =2x }={（1，1）}． ∴集合A∩B 的元素个数是1个． 故答案为：B ．【分析】根据集合中元素的特点，求出直线与曲线交点坐标即可.2．【答案】D【解析】【解答】命题““ ∀x ∈R ， e x >x +1 ”的否定是 ∃x ∈R ，使 e x ≤x +1 ，故答案为：D ．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接写出其否定即可.3．【答案】C【解析】【解答】 f(x)=tanx 1−tan 2x =sinxcosx 1−sin 2x cos 2x =sinxcosx cos 2x−sin 2x=12sin2x cos2x =12tan2x ， ∴f(x) 的最小正周期为 π2 ，故答案为：C.【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系，化简，结合正切函数的最小正周期，即可求出函数f （x ）的最小正周期.4．【答案】A【解析】【解答】利用 y =(12)x 与 y =x 12 的单调性可知：a =(12)13>(12)12>(13)12=b >0 ，又 c =ln(3π)<ln1=0∴a >b >c 故答案为：A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量进行比较即可.5．【答案】D【解析】【解答】因为 f(−x)=−xcosx +sinx =−xcosx −sinx =−f(x) ，所以函数 f(x)=xcosx −sinx 是奇函数， 函数图象关于原点对称，可排除选项 B,C ,由 f(π2)=−1<0 ，可排除选项 A ，故答案为：D.【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊点，逐一排除，即可确定函数的大致图象.6．【答案】B【解析】【解答】若 l ⊥m ，因为 m 垂直于平面 α ，则 l//α 或 l ⊂α ；若 l//α ，又 m 垂直于平面 α ，则 l ⊥m ，所以“ l ⊥m ”是“ l//α 的必要不充分条件， 故答案为：B ．【分析】根据空间直线与平面的位置关系，即可确定充分、必要性.7．【答案】B【解析】【解答】因为 a,b,c >0 ，且3a =4b =6c =k ∴a =log 3k,b =log 4k,c =log 6k∴2c =2a +1b故答案为：B【分析】将指数式转化为对数式，结合对数的运算性质，即可确定正确的关系式.8．【答案】A【解析】【解答】∵在梯形ABCD 中，∠ABC= π2 ，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，∴将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是： 一个底面半径为AB=1，高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1， 高为BC ﹣AD=2﹣1=1的圆锥， ∴几何体的表面积为：S=π×12+2π×1×2+ π×1×√12+12 =（5+ √2 ）π． 故答案为：A ．【分析】根据旋转成的几何体的结构特征，结合圆锥的表面积计算公式，即可求出几何体分表面积.9．【答案】A【解析】【解答】由最大值为 2√3 ，得 A =2√3 ， 由 T 2=43π−π3=π ，得 T =2π=2πω,ω=1 ，f(x)=2√3sin(x +φ) ，∵f(π3)=0,∴π3+φ=kπ ， ∵|φ|<π2,∴φ=−π3 ， f(x)=2√3sin(x −π3) ，将函数 y =f(x) 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 14 ，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移 θ(θ>0) 个单位长度，得到 g(x)=2√3sin[4(x −θ)−π3]=2√3sin(4x −4θ−π3) ， ∵g(x) 图象关于 x =56 对称， ∴4×56π−4θ−π3=kπ+π2 ，4θ=−kπ+5π2 ，k =2 时， θ 最小为 π8 ，故答案为：A.【分析】根据图象最高点的纵坐标求出A ，结合函数的周期求出ω，结合特殊点求出φ ，通过函数的对称轴，即可求出θ 的最小值.10．【答案】D【解析】【解答】设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为9：25， 可得：小正方形的边长为 35，可得：cosα﹣sinα= 35 ，①sinβ﹣cosβ= 35，②由图可得：cosα=sinβ，sinα=cosβ，①×②可得： 925 =cosαsinβ+sinαcosβ﹣cosαcosβ﹣sinαsinβ=sin 2β+cos 2β﹣cos （α﹣β）=1﹣cos （α﹣β），解得：cos （α﹣β）= 1625． 故答案为：D ．【分析】根据图形关系求出三角函数值，结合两角差的余弦公式，即可求出相应的三角函数值.11．【答案】D【解析】【解答】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个 14球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为 13×4×2×2=163. 而 14 球体的体积为 14×43π×(2)3=83π .故组合体的体积为16+8π3故答案为：D【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据棱锥的体积公式和球体的体积公式，即可求出组合体分体积.12．【答案】C【解析】【解答】f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=e x−1−ax+a−1，在（0，+∞）递增．而f′（1）=e0﹣a+a﹣1=0，则f（x）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增，f（1）=2a．∴f（x）的值域为[2a，+∞）．要使y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，只需2a≤1，又a＞0，解得0＜a ≤12．故答案为：C．【分析】求出函数的定义域，求导数，利用导数判定函数的单调性，根据单调性表示函数的值域，即可求出实数a的取值范围.13．【答案】【解析】【解答】∵log12(x−2)>0=log121∴0<x−2<1，即2<x<3故答案为：(2,3)【分析】根据对数函数的真数大于0，解对数不等式，即可求出x的取值范围. 14．【答案】【解析】【解答】∵asinA=csinC+(a−b)sinB，∴由正弦定理可得a×a2a =c×c2R+(a−b)×b2R，化为a2+b2−c2=ab，cosC=a2+b2−c22ab=12，C=π3，故答案为π3 .【分析】根据正余弦定理，边角转化，即可求出角C.15．【答案】【解析】【解答】 ∵ f(x)={2−x +1,x ≤0−√x,x >0 ， ∴ 当 x +1≤0 时， {x ≤−12−(x+1)−8≤0 ，解得 −4≤x ≤−1 ； 当 x +1>0 时， {x >−1−√x +1−9≤0 ，解得 x >−1 ， 综上， x ≥−4 ，即 f(x +1)−9≤0 的解集为 [−4,+∞) ， 故答案为 [−4,+∞) .【分析】对x+1的取值分类讨论，分别代入相应的区间，解不等式组，即可求出不等式的解集.16．【答案】4【解析】【解答】延长KE ，CD 交于M 点，又DE CK =23∴MD MC =23同样延长KF ，CB 交于N 点，又 BF CK =13∴NB NC =13MN 即为过点 E 、 F 、 K 的平面与平面 AC 的交线为 l ，又CN 平行于 A 1D 1 即MN 与CN 所成角为所求，记所成角为 θ则 tanθ=MC NC =3CD32BC=4 故答案为：4【分析】根据正方体的结构特征，通过作平行线得到异面直线所成的角，即可求出相应的正切值.17．【答案】（1）解：由 cosA =18 ，则 0<A <π2 ，且 sinA =3√78，由正弦定理 sinB =b a sinA =5√716，因为 b <a ，所以 0<B <A <π2 ，所以 cosB =916，sinC =sin(A +B) =sinAcosB +cosAsinB =√74（2）解： S ΔABC =12bcsinA =12bc ×3√78=15√74，∴bc =20 ，a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−2×20×18=36 ，∴b 2+c 2=41 ， (b +c)2=b 2+c 2+2bc =41+40=81 ， ∴b +c =9【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，即可求出sinC ；（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理，即可求出b+c.18．【答案】（1）解：因为 f′(x)=a −2cosx +cosx −xsinx =a −cosx −xsinx ，当 x =π 时， f(π)=aπ−π ， f′(π)=a +1 ， 所以曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线方程为： y −(aπ−π)=(a +1)(x −π) ， 令 x =0 得： y =−2π ，所以曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线在 y 轴上的截距为 −2π（2）解：因为 f(x) 在区间 [0,π2] 上是增函数， 所以 f′(x)≥0 在区间 [0,π2] 上恒成立，则 a −cosx −xsinx ≥0 ，即 a ≥cosx +xsinx ， 令 g(x)=cosx +xsinx ，则 g′(x)=−sinx +sinx +xcosx =xcosx ≥0 ，所以 g(x) 在区间 [0,π2] 上单调递增， 所以 g(x)max =g(π2)=π2 ， 故实数 a 的取值范围是 [π2,+∞) .【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，结合点斜式，求出切线方程，即可得到切线在y 轴的截距；（2）根据增函数，导函数大于等于0，构造函数g （x ），确定函数的单调区间，求出g （x ）的最大值，即可求出实数a 的取值范围.19．【答案】（1）解：由三角函数的定义有 x 1=cosα ， 因为 sin(α+π6)=1314， α∈(π3,π2) ，所以 π2<α+π6<5π6 ， cos(α+π6)=−3√314，所以 x 1=cosα=cos[(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cos π6+sin(α+π6)sin π6=−3√314⋅√32+1314⋅12=17（2）解：由题知 x 1=cosα ， y 2=sin(α+π3)y =x 12+y 22=cos 2α+sin 2(a +π3) =1+cos2α2+1−cos2(α+π3)2， =1+34cos2α+√34sin2α =√32sin(2α+π3)+1 ，α∈(π3,π2) ， 2α+π3∈(π,4π3) ，sin(2α+π3)∈(−√32,0) ， √32sin(2α+π3)+1∈(14,1) .所以 y 的取值范围是 (14,1) .【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，结合两角差是余弦公式，即可求出相应的三角函数值；（2）根据余弦的二倍角公式及辅助角公式，结合不等式的性质，即可求出y 的取值范围.20．【答案】（1）证明：过 P 作 PE ⊥BC ，垂足为 E ，连接 DE ，因为平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ，所以 PE ⊥ 平面 ABCD ， 因为 PD ⊥BC ，所以 BC ⊥ 平面 PDE ，所以 DE ⊥BC ，因为 ∠BCD =π4 ，所以 DE =EC ，因为 ΔPED ≌ΔPEC ，所以 PD =PC .（2）解：解法一：因为 BC ∥AD ， BC ⊄ 平面 ADP ， AD ⊂ 平面 ADP ， 所以 BC ∥ 平面 ADP ， 设平面 PBC ∩平面 PAD = 直线 l ，所以 l ∥BC ，因为 BC ⊥ 平面 PDE ，所以 l ⊥PE ， l ⊥PD ，所以 ∠DPE 是平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的平面角， 因为 PE ⊥ 平面 ABCD ，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即∠PAE=π6，设PE=a，则AE=√3a，PA=2a，设DE=m，则EC=m，DC=√2m，所以(√3a)2=m2+(√2m)2，所以m=a，故∠DPE=π4，所以cos∠DPE=√22，即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为√22.解法二：因为BC⊥平面PDE，PE⊥平面ABCD，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即∠PAE=π6，且DE⊥BC，DE⊥PE，设PE=a，则AE=√3a，PA=2a，在ΔDEC中，设DE=m，则EC=m，DC=√2m，在ΔEDA中，所以(√3a)2=m2+(√2m)2，所以m=a，以E为坐标原点，分别以ED、DB、EP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D(a,0,0)，A(a,√2a,0)，P(0,0,a)，则平面PBC的法向量a⃗=(1,0,0)，设平面PAD的法向量b⃗=(x,y,z)，因为AP⇀=(−m,−√2m,m)，AD⇀=(0,−√2m,0)，所以{−√2my=0−mx+√2my+mz=0，故b⃗=(1,0,1)，设平面PBD与平面PAC的夹角为θ，则cosθ=b⃗⃗ ⋅a⃗⃗|b⃗⃗ ||a⃗⃗ |=1√2=√22，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为√22.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明线面垂直，结合三角形全等，即可证明PC=PD ；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.21．【答案】（1）解：因为 f′(x)=lnx −a x +32 ，所以 g(x)=(1−a)lnx −a x −x +32， g′(x)=1−a x +ax2−1 =−(x−1)(x+a)x (x >0) ，①当 0<a ≤1 时， g ′(x)>0 ， g(x) 在 (0,+∞) 上是增函数；②当 a >1 时，由 g ′(x)>0 得 0<x <aa−1 ，所以 g(x) 在 (0,a a−1) 上是增函数；在 (aa−1,+∞) 上是减函数（2）解：因为 f′(x)=lnx −a x +32 ，令 ℎ(x)=lnx −a x +32 ，则 ℎ′(x)=1x +a x 2 ，因为 a ∈(12e ,2√e) ，所以 ℎ′(x)=1x +a x2>0 ，即 ℎ(x) 在 (0,+∞) 是增函数，下面证明 ℎ(x) 在区间 (a2,2a) 上有唯一零点 x 0 ， 因为 ℎ(a 2)=ln a 2−12， ℎ(2a)=ln2a +1 ，又因为 a ∈(12e ,2√e) ，所以 ℎ(a 2)<ln 2√e 2−12=0 ， ℎ(2a)>ln(2⋅12e )+1=0 ，由零点存在定理可知， ℎ(x) 在区间 (a2,2a) 上有唯一零点 x 0 ，在区间 (0,x 0) 上， ℎ(x)=f′(x)<0 ， f′(x) 是减函数， 在区间 (x 0,+∞) 上， ℎ(x)=f′(x)>0 ， f′(x) 是增函数，故当 x =x 0 时， f(x) 取得最小值 f(x 0)=(x 0−a)lnx 0+12x 0 ，因为 ℎ(x 0)=lnx 0−a x 0+32=0 ，所以 lnx 0=a x 0−32 ，所以 f(x 0)=(x 0−a)(a x 0−32)+12x 0 =1x 0(x 0−a2)(2a −x 0) ，因为 x 0∈(a2,2a) ，所以 f(x)>0 ， 所以 a ∈(12e,2√e) ， f(x)>0 .【解析】【分析】（1）求导数，表示出g （x ），对g （x ）求导数，解不等式，即可求出函数的单调区间；（2）求导数，构造函数h （x ），对h （x ）求导数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，结合零点的存在性定理，即可证明相应的式子成立.22．【答案】（1）解：由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)，所以曲线C的直角坐标方程y2=2ax，因为{x=−2+5ty=−4+5t ，所以x+2y+4=1，直线l的普通方程为y=x−2（2）解：直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数），代入y2=2ax得：t2−2√2(4+a)t+32+8a=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=2√2(4+a)，t1t2=32+8a，t1>0，t2>0由参数t1，t2的几何意义得|t1|=|PA|，|t2|=|PB|，|t1−t2|=|AB|，由|PA||PB|=|AB|2得|t1−t2|2=t1t2，所以|t1+t2|2=5t1t2，所以(2√2(4+a))2=5(32+8a)，即a2+3a−4=0，故a=1，或a=−4（舍去），所以a=1.【解析】【分析】（1）两边同时乘以ρ，将极坐标方程转化为直角坐标方程即可；消去参数t，即可得到直线的普通方程；（2）写出直线的参数方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，即可求出a的值.23．【答案】（1）解：因为f(x)=|x−m|+|x|≥|x−m−x|=|m|，因存在实数x使f(x)<2成立，所以|m|<2，解之得−2<m<2，因为m∈N∗，所以m=1（2）解：因a>1，b>1，所以f(a)+f(b)=2a−1+2b−1=2a+2b−2，因为f(a)+f(b)=4，所以2a+2b−2=4，所以a+b=3，因为4a+1b=13(4a+1b)(a+b)=13(5+4ba+ab)≥13(5+2√4ba⋅ab)=3，a=2且b=1时等号成立，又a>1，b>1，所以等号不成立，4a+1b>3.【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式，将存在实数x使f(x)<2成立进行转化，解不等式，即可求出m的值；（2）根据f(a)+f(b)=4，得到a和b的关系，结合基本不等式，即可证明结论成立.。
四川省泸州市高三上学期教学质量诊断性考试数学(理)---精校解析.doc
泸州市高高三第一次教学质量诊断性考试数学(理科)第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合A={(x,y)|y = -x + 2}, B = {(x,y)|y = 2X},则A Cl B元素的个数为()A.0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】(y =・ x + 2AAB={ (x, y) |i Y=2X },由此能求出集合AAB的元素个数.【详解】•・•集合A ={(x,y)|y=・x+2}, B = {(x,y)|y = 2X},iy = -x + 2・・・AQB={ (x, y) |l y = 2X } = { (1, 1) }.・・・集合AAB的元素个数是1个.故选：B.【点睛】本题考查两个集合的交集中元索个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用.2.命题“WMR, e x>x+l (e是自然对数的底数)”的否定是()A.不存在xWR,使e x>x+ 1B. y xGR，使e x<x+ 1C. bxGR,使etx+lD. mxGR,使e x<x + 1【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题写出结果即可.【详解】命题““WxWR, e">x+l”的否定是3X GR，使e x<x+l,故选：D.【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题.tanx3.已知函数21-tan x,则函数f（x）的最小正周期为7C冗Tt冗A. 6B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将f（x）化为1—tan。
v2,从而可得结果.sinxtanx cosx sinxcosx1 -tan2x•乍? ・乍siiTx cos~x ・ sin x1 -------cos"x【详解】1~sin2x2 cos2x1= -tan2x2 ,兀・・・f（x）的最小正周期为2,故选c.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于屮档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.1 11亍】3 3a = （-）b = （-）**c = ln（-）4.设2 , 3 , 兀，则下列关系正确的是（）A. a> b >cB. b >a >c c. a> c> b D. c > b>a【答案】A【解析】【分析】利用指对函数、幕函数的单调性求解.=lx I【详解】利用旷口）与yf2的单调性可知:c = l又 • a> b>c 故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时耍认真审题，注意幕函数、对数 函数和指数函数的性质的合理运用.5. 函数f （x ） = xcosx-sinx 的图象大致为【解析】【详解】分析：用排除法，根据奇偶性可排除选项BC ；由彳自一・ 而可得结果.详解： 因为K - x) = - xcosx + sinx = - (xcosx - sinx) = - f(x)9所以函数f （x ） = XCOSX - Sinx 是奇函数,函数图象关于原点对称，可排除选项BC, 由伊亠°,可排除选项A,故选D.点睛：函数图彖的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图彖的左右位置；从函 数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的 奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 若In 是两条不同的直线，m 垂直于平面ct,则“1丄m”是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不D.1 <0，可排除选项A,从= b>0nl =0 【答案】D必要条件【答案】B【解析】若1丄叫因为m垂直于平面a,则l//ct或luct；若l//a,又m垂直于平面（X,贝|J1丄m,所以“1丄m” 是“l〃a 的必要不充分条件，故选B.考点：空间直线和平血、直线和直线的位置关系.视频口7.正数d b, c满足3a = 4b = 6c，则下列关系正确的是（）1 1 1 —| __2 2 1 __ sx _ | __1 2 2 __ sx _ | _ 2 1 2 __ sx _ |_A. c 3 bB. c 3 bC. c 3 bD. c a b【答案】B【解析】因为d,b,c>0,且3a = 4b = 6C = k a = log3k,b = log4k,c = lo&k2 2 1••. — = — + —cab,则可知选B71乙ABC = _&在梯形ABCD中，2, AD II BC, BC = 2AD = 2AB = 2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲而所禺成的几何体的表而积为（）A. （5 + Q）兀B. （4 + 血）兀c. （5 + 2血加D. G + 為兀【答案】A【解析】【分析】将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB=1,高为BC 二2的圆柱减去一个底面半径为AB二1,高为BC・AD二2・1二1的圆锥，由此能求出该儿何体的表而积.【详解】•・•在梯形ABCD 中，ZABC=2,AD〃BC, BC=2AD=2AB=2,・・・将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是: 一个底面半径为AB=1,高为BC 二2的圆柱减去一个底面半径为AB=1, 高为BC - AD=2 - 1=1的圆锥,・・・儿何体的表面积为：S= H X r+2 H X 1 X2+兀'1 ：< JF+ 1，=（5+血）兀.故选：A. 【点睛】本题考查旋转体的表面积的求法，考查圆柱、圆锥性质等基础知识，考查运算求解 能力、考查空I'可想象能力，是基础题.【答案】A【解析】【分析】【详解】由最大值为2的，得A = 2启,T 4 7T2 兀得到的函数图彖关于直线 6 6对称，贝阻的最小值为A. 8B. 6C. 4D. 3 由图象求得函数的的解析式 经过周期变换与相位变换可得2可得结果.由2 3 3 ，得 «的横坐标缩短为原来的4,纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移e （e>0）个单位长度,4x ・ 40 Q 3/,由 6 3—=-7C - ~ = 7C T = 2?C =——,0) = 1兀=0,・肓+…71 兀 v |©| < ― (0 =-— 2屮3f(x) = 2^/3sin(x1将函数y = f(x)的图彖上所有点的横坐标缩短为原来的4,纵坐标不变, 再将所得图象上所有点向右平移e (e > °)个单位长度，2丽sin (4x - 49 - -j5 5 兀 兀 x = - 4 x -ye ■一 = kz + - •••g (x)图象关于 6对称，6 3 2 5兀 40 = -k7c + —— 2 ■兀k = 2时，°最小为故选A. 【点睛】本题考查了三角函数的图彖与性质，重点考查学生对三角函数图彖变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学牛对所学 知识理解的深度. 10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼 成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为％卩，且小正方形与大正方形面积之比为 9:25,则cos(a-p)的值为() A. 9 B. 9 c. 16 D. 25【答案】D【解析】【分析】3设大的正方形的边长为1,由已知可求小正方形的边长，可求cos a ・sina=5, sinB -3cos 3 =5,且cos a 二sin 0, sina=C osP ,进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基 本关系式即可计算得解.7T1 g(x) = 2p5sin 4(x ・ 0) ■- 得到 丫 [3【详解】设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为9： 25,3可得：小正方形的边长为5,3 3可得：cos a ・ sin a 二5,①s j n p ・ cos 0 二5,②由图可得：cos a =sin0, sin a 二cos B,9① X ②可得：25 二cos a sin 3 +sin a cos B - cos a cos B - sina sinP=sin'P +cos2 B - cos ( a-S ) =1 - cos ( a - B ),16解得：cos ( a - B ) =25.故选：D.【点睛】本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.11•某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()循a16 + 24 兀16 + 16兀8 + 8兀16 + 8兀A. 3B. 3C. 3D. 3【答案】D【解析】1由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个4球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底血,1 16 1 14 ,8-X4x2x2 =——・- -X -7T X (2) = -7U其体积为3 3而4球体的体积为4 3 3 .16 + 8 兀故组合体的体积为3故选D12.已知函数f(x) = e x_1-alnx + (a-l)x + a(a>0)的值域与函数f(f(x))的值域相同，则啲取值范围【答案】C【解析】【分析】求出f (x)的单调区间和值域，从而得出f (x)的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围.【详解】f (x)的定义域为(0, +8).f(x)=e x_1 -- + a- 1x，在(0, +8)递增.而f' (1) =e° - a+a - 1=0,则f (x)在(0, 1)上单减，在(1, +8)上单增，f (1) =2a.・・.f (x)的值域为［2a, +8).1V —要使y=f［f (x)］与y=f (x)的值域相同，只需2aWl,又a>0,解得02.故选：C.【点睛】木题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考査了推理能力与计算能力，属于难题.第II卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在答题纸上)log^x-2) > 013•使不等式2 成立的x的取值范围是________ .【答案】23)【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可得到结杲.log1(x-2)>0 = log1l【详解】•・• 2 2;.0<x-2<l,即2<x<3故答案为：Q，3)【点睛】本题考查了对数不等式的解法，解题关键利用好对数函数的单调性，勿忘真数的限制.14.在△ ABC屮，角A, B, C所对的边分别为％b, c,若asinA = csmC + (a-b)sinB,则角C的大小为_______ .7U【答案】3【解析】【分析】7 2 2由asinA = csinC + (a ・b)sinB,利用正弦定理可得才+ b-c = ab,再根据余弦定理可得结果.［详解］•••跆匚皿=csinC + (a - b)sinB,a c ba x — = c x — + (a-b) x —•••由正弦定理可得2a 2R 2R,化为a2 + b2-c2 = ab,a2 + b2-c2 1cosC = ----------- =-2ab 2,71 71c =——3,故答案为3.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子屮含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子屮含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.f(x) = f27U7°15.已知函数______________________________________ 1 -很x>0 ,则f(x+l)-9<0的解集为.【答案】［-4, + s)【解析】【分析】I X<-1 i X>-1原不等式等价于|2_(x + 1)-8<0或(-小?匚1-9三° ,分别求解不等式组，再求并集即可.f(x)fl，x 宇【详解】•••I・&,x>0 ,(X<-1•••当x+l<o时，(2_(x + 1)-8<0 ,解得-4SX—1；( x> -1当x+l> 0时，(-&T1-9S0 ,解得X>—1,综上，x>-4,即f(x+l)-9<0的解集为+ 00),故答案为［-4, + oo).【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定耍层次清塑，思路清晰.16.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2AD, E是DR的中点，坯=C】K =，设过点已、F、K的平面与平面AC的交线为1,则直线1与直线A】Di所成角的正切值为__________ .【答案】4【解析】【分析】延长KE, KF找到交线为MN,又CN平行于A i D i,故MN与CN所成角为所求.DE 2【详解】延长KE, CD交于M点，又CK 3MD_2・・・疋亍BF _ 1同样延长KF, CB交于N点，又CK 3NB _ 1•NC 3••即为过点E、F、K的平面与平面AC的交线为1,又CN平行于"Di即MN与CN所成角为所求，记所成角为&MC 3CDtan0 = ----- = ------ = 4NC 3—BC则 2故答案为：4【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题，难度一般.求异面直线所成角的步骤：1平移，将两条异而直线平移成相交直线.2定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角.3求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角.4结论.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1 COS A L=—17.在A ABC 中，角A, B, C 所对的边分别是a, b, c,已知a = 6,* 8.(1)若b = 5,求smC 的值；150⑵AABC 的面积为〒，求b + c 的值.—【答案】(1) 4； (2) b + c=9【解析】 【分析】13^7 5^7 cosA = 一sinA = ---- sinB = ---------------------------- (1) rh 6可得8 ,由正弦定理可得 16, s 哎（2）由zc °,可得be = 20,再利用余弦定理，配方后化 简可得b + c = 9.b . 5帀 sinB = -sinA = -----由正弦定理 a 16,71 0<B <A<-因为所以2,所以=sinAcosB + cosAsinB =— sinC = sin(A + B) 41 1 3^7 15^7S AARP = —besinA = —be x -- = ------ (2) 2 2 8 4, Abe = 20, .7 7 1999 = b + c - 2 x 20 x - = 36犷=・ 2bccosA 8 ,,\b 2+ c 2 = 41, (b + c)2 = b 2 + c 2 + 2bc =41+40 = 81, • b + c =9• •【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形屮的应用，属于屮档题.正弦定理是解1cosA = 一由 6 9 cosB =—求得 16,利用诱导公式及两角和的正眩公式可得结果; 【详解】（1） 7C0 VA V —则 2sxnA 卫89 cosB =—16,三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；(4)求三角形外接圆半径.18.已知函数f(x) = ax-2sinx + xcosx.(1)求曲线y = f(x)在x =兀处的切线在y轴上的截距；兀[0厂](2)若函数Kx)在区间2上是增函数，求实数a的取值范围.71[一,+ 00)【答案】(1) 一2叫(2) 2【解析】【分析】(1)因为f(x) = a - cosx . xsinx^f(7U)= a + 1,又f@) =耐兀求出切线方程即可得到结果;(2)因为兀兀[0-] [0-]f(x)在区间2上是增函数，所以f(x)20在区间2上恒成立.通过分离变量，构造函数，把问题转化为函数的最值问题.【详解】(]) 因为f (x) = a ・ 2cosx + cosx - xsinx = 3 ・ cosx - xsinx, 当x =冗时,f(7t) = a?c ■兀,f(兀)=a+ 1, 所以曲线y = f(x)在x =兀处的切线方程为：y - (a7t - 7c) = (a + l)(x -兀)，所以曲线y = f(x)在x=兀处的切线在y轴上的截距为・2疋7C[0厂] (2)因为f(x)在区间2上是增函数，71[0-]所以Hx)nO在区间2上恒成立，贝爬・cosx ・ xsinx > 0, 即a n cosx + xsinx,令g(x) = cosx + xsinx贝ijg r(x) = - sinx + sinx + xcosx = xcosx > 0,7C[0-]所以g(x)在区间2上单调递增，兀71 所严"护，71[-+ °°)故实数&的取值范围是2 .【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量, 构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.兀兀19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点八区⑷严為血都在单位圆O上，厶xOA = a,且3‘2 .7C 兀Xi = cosa = cos[(a +-)--] “y° = sin(a+-)66 ,结合两角差的余弦公式可得结果；(2)由题知勺-cosa, - 37C乙AOB = — 1 9(2)若 3,求y=x ： + y3的取值范围._ 1 1【答案】(1)勺7； (2)(4,0【解析】 【分析】(1)由三角函数的定义可得X 1=cosa. 兀 13兀sin(a + —)=——cos(a + —)=6 14,可得 6丿利用710 C 0 兀 y = x ； + = cos^a + sin^(a + -) 则’ ■ 3 ,利用降幕公式以及辅助角公式化简为2帀 in(2a + -)+l3,利用三角函数的有界性可得结果.【详解】(1)由三角函数的定义有X 1=cosa兀 sin(a + -) 因为 6丿13~R 7171a G (--)3 2 ,7C7C5兀 兀一va+一v —— cos(a + -)所以26 6,6冗 7CX] = cosa =cos[(a+ -) - -1 所以6 67U 71 兀 71 =cos(a + -)cos - + sin(a + -)sin-6 6 6 6 3$ $ 13 1■ -- • -- + --- •— 14 2 14 2 17. ♦7C(2)由题知『沁,y2 = Sm(a+?3$7C1 ・ cos2(a + -)1+ cos2a 3----------- +------------------- 2 2 3 书. & . 7C=1 + -cos2a + ―in2a =——sin(2a + -) + 144 237所以y 的収值范围是【点睛】以平面图形为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几 年高考考查的一类热点问题，i 般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正 余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练学握并灵活应用，特别是二倍角公式的各 种变化形式要熟记于心.兀 乙 BCD= _20.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PBC 丄平面ABCD,底面ABCD 是平行四边形，且 4,（2）若底面ABCD 是菱形，PA 与平面ABCD 所成角为6,求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） 2. 【解析】 【分析】（1）过P 作PE 丄BC,垂足为E,连接DE,只需证明DE = EC 即可；⑵厶DPE 是平面PAD 与平 面PBC所成锐二面角的平而角，在三角形屮求解即可.y=x ； + y ； r . r 兀 =cos^a + sirT(a + -)3 HitaG (?2}兀 4兀 2七珂兀，亍）,sin(2a+-)G(-^,0)PD 丄 BC【详解】（1）过P作PE丄BC,垂足为E,连接DE, 因为平而PBC丄平而ABCD,所以PE丄平而ABCD, 因为PD1BC,所以BC丄平面PDE,所以DE1BC,71乙BCD =-因为％所以DE = EC,因为APED三APEC,所以PD = PC.解法一：（2）因为BC II AD, BCC平面ADP, AD u 平面ADP, 所以BCII平面ADP,设平面PBCA平面PAD =直线1,所以1IIBC,因为BC丄平而PDE,所以1丄PE, 1丄PD,所以乙DPE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，因为PE丄平面ABCD,兀乙P AE = _故乙PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即6,设PE = a,则AE = ^a, PA = 2a,设DE = m,则EC = m, DC=Qm,所以（^a）2 = m2 +（72m）2,所以兀^2乙DPE = - cos 乙DPE =—故4,所以2,即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为2 .解法二：（2）因为BC丄平面PDE, PE丄平面ABCD,7C乙P AE =-故乙PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即6,且DE 丄BC, DE 丄PE,设PE = a,则AE = j3m, PA = 2a t在ADEC 中，设DE = m,则EC = m, DC = Qm, 在AEDA 中，所以(伍)2 = iJ +(Qm )2,所以m =a>以E 为坐标原点，分别以ED 、DB 、EP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系, 则 13(X0,0), A(a,血0), P(0,0,a),则平面PBC 的法向量a = (1,0,0), 设平面PAD 的法向量b =(x,y,z), 因为心=AD = (0, - V2m,0),设平血PBD 与平血PAC 的夹角为平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为2 .计算。
四川省泸州市高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学(理)试题附答案
泸州市高2016级第一次教学质量诊断性考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）―、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合{(,)|2}A x y y x ==-+，{(,)|2}xB x y y ==，则AB 元素的个数为A. 0B. 1C. 2D. 32.命题“x R ∀∈，1xe x >+（e 是自然对数的底数）”的否定是 A.不存在x R ∈，使1xe x >+ B.x R ∀∈，使1xe x <+ C.x R ∀∈，使1xe x ≤+ D.x R ∃∈，使1xe x ≤+3.已知函数2tan ()1tan xf x x=-，则函数()f x 的最小正周期为A.6π B.3π C.2π D.4π 4.设131()2a =，121()3b =，3ln()c π=，则下列关系正确的是A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c b a >>5.函数()cos sin f x x x x =-的图象大致为A. B. C. D.6.若l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.正数a ，b ，c 满足346abc==，则下列关系正确的是 A.111c a b=+ B.221c a b=+ C.122c a b=+ D.212c a b=+ 8.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD BC ∥，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A.(5πB.(4πC.(5π+D.(3π9．已知函数()sin()(0,||)2f x A x A πωϕϕ=+><的部分图象如图所示，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度，得到的函数图象关于直线56x π=对称，则θ的最小值为A.8π B.6π C.4π D.3π 10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则co s ()αβ-的值为A.59B.49C.916D.162511.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.16243π+ B.8163π+ C.1683π+ D.843π+ 12．已知函数1()ln (1)(0)x f x e a x a x a a -=-+-+>的值域与函数(())f f x 的值域相同，则a 的取值范围为 A.(0,1]B.[1,)+∞C.1(0,]2D.1[,)2+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.使不等式12log (2)0x ->成立的x 的取值范围是______.14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin ()sin a A c C a b B =+-，则角C 的大小为______.15.已知函数21,0()0x x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则(1)90f x +-≤的解集为______.16.长方体1111ABCD A BC D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E 、F 、K 的平面与平面AC 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知6a =，1cos 8A =. （1）若5b =，求sin C 的值；（2）ABC ∆的面积为4，求b c +的值. 18.已知函数()2sin cos f x ax x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在x π=处的切线在y 轴上的截距； （2）若函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数，求实数a 的取值范围.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11(,)A x y 、22(,)B x y 都在单位圆O 上，xOA α∠=，且(,)32ππα∈.（1）若13sin()614πα+=，求1x 的值； （2）若3AOB π∠=，求2212y x y =+的取值范围.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，且4BCD π∠=，PD BC ⊥.（1）求证：PC PD =；（2）若底面ABCD 是菱形，PA 与平面ABCD 所成角为6π，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.21.已知函数1()()ln ()2f x x a x x a R =-+∈. （1）若'()f x 是()f x 的导函数，讨论()'()ln g x f x x a x =--的单调性；（2）若1(2a e∈（e 是自然对数的底数），求证：()0f x >. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2545x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若2||||||PA PB AB =，求a 的值. 23.选修4-5:不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+，*m N ∈，若存在实数x 使()2f x <成立. （1）求实数m 的值；（2）若1a >，1b >，()()4f a f b +=，求证：413a b+>. 试卷答案一、选择题1-5：BDCAD6-10：BBAAD11、12：CC二、填空题13. (2,3)14.3π 15.[4,)-+∞16.4三、解答题17．解：（1）由1cos 8A =，则02A π<<，且 sin A =由正弦定理sin sin 16b B A a ==， 因为b a <，所以02B A π<<<，所以9cos 16B =，sin sin()C A B =+sin cos cos sin 4A B A B =+=（2）11sin 22ABC S bc A bc ∆===，∴20bc =， 2222cos a b c bc A =+-221220368b c =+-⨯⨯=，∴2241b c +=，222()2b c b c bc +=++414081=+=，∴9b c +=.18.解：（1）因为'()2cos cos sin f x a x x x x =-+-cos sin a x x x =--，当x π=时，()f a πππ=-，'()1f a π=+， 所以曲线()y f x =在x π=处的切线方程为：()(1)()y a a x πππ--=+-，令0x =得：2y π=-，所以曲线()y f x =在x π=处的切线在y 轴上的截距为2π-； （2）因为()f x 在区间[0,]2π上是增函数，所以'()0f x ≥在区间[0,]2π上恒成立，则cos sin 0a x x x --≥，即 cos sin a x x x ≥+， 令()cos sin g x x x x =+，则'()sin sin cos g x x x x x =-++cos 0x x =≥， 所以()g x 在区间[0,]2π上单调递增，所以max ()()22g x g ππ==，故实数a 的取值范围是[,)2π+∞.19.解：（1）由三角函数的定义有1cos x α=， 因为13sin()614πα+=，(,)32ππα∈，所以5266πππα<+<，cos()614πα+=-， 所以1cos cos[()]66x ππαα==+-cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+++131142=+⋅ 17=； （2）由题知1cos x α=，2sin()3y πα=+222212cos sin ()3y x y a πα=+=++1cos 2()1cos 2322παα-++=+，31cos 2244αα=++sin(2)123πα=++，(,)32ππα∈，42(,)33ππαπ+∈，sin(2)(3πα+∈1)1(,1)34πα++∈.所以y 的取值范围是1(,1)4.20.证明：（1）过P 作PE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ， 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ， 因为PD BC ⊥，所以BC ⊥平面PDE ，所以DE BC ⊥， 因为4BCD π∠=，所以DE EC =，因为PED PEC ∆∆≌，所以PD PC =；解法一：（2）因为BC AD ∥，BC ⊄平面ADP ，AD ⊂平面ADP ，所以BC ∥平面ADP ，设平面PBC ⋂平面PAD =直线l ，所以l BC ∥， 因为BC ⊥平面PDE ，所以l PE ⊥，l PD ⊥，所以DPE ∠是平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角， 因为PE ⊥平面ABCD ，故PAE ∠是直线PA 与平面ABCD 所成角，即6PAE π∠=，设PE a =，则AE =，2PA a =，设DE m =，则EC m =，DC ，所以222))m =+，所以m a =，故4DPE π∠=，所以cos 2DPE ∠=，即平面PAD 与平面PBC . 解法二：（2）因为BC ⊥平面PDE ，PE ⊥平面ABCD ， 故PAE ∠是直线PA 与平面ABCD 所成角，即6PAE π∠=，且DE BC ⊥，DE PE ⊥，设PE a =，则AE =，2PA a =，在DEC ∆中，设DE m =，则EC m =，DC =，在EDA ∆中，所以222))m =+，所以m a =，以E 为坐标原点，分别以ED 、DB 、EP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0)D a ，(,0)A a ，(0,0,)P a ， 则平面PBC 的法向量(1,0,0)a →=， 设平面PAD 的法向量(,,)b x y z →=，因为(,,)AP m m =-，(0,,0)AD =，所以0mx mz ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，故(1,0,1)b →=，设平面PBD 与平面PAC 的夹角为θ，则cos 2||||b ab a θ→→→→⋅===， 平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为2.21.解：（1）因为3'()ln 2a f x x x =-+，所以3()(1)ln 2a g x a x x x =---+， 21'()1a a g x x x -=+-(1)()(0)x x a x x-+=->， （ⅰ）当0a -≤即0a ≥时，所以0x a +>，且方程'()0g x =在(0,)+∞上有一根， 故()g x 在(0,1)上为增函数，(1,)+∞上为减函数， （ⅱ）当0a ->即0a <时，所以方程'()0g x =在(0,)+∞上有两个不同根或两相等根，（ⅰ）当1a =-时2(1)'()0x f x x-=≤，()f x 在(0,)+∞上是减函数； （ⅱ）当1a <-时，由'()0f x >得1x a <<-，所以()f x 在(1,)a -上是增函数；在(0,1)，(,)a -+∞上是减函数；（ⅲ）当10a -<<时，由'()0f x >得1a x -<<，所以()f x 在(,1)a -是增函数；在(0,)a -，(1,)+∞上是减函数；（2）因为3'()ln 2a f x x x =-+，令3()ln 2a h x x x =-+，则21'()a h x x x =+，因为1(,2a e ∈，所以21'()0a h x x x=+>， 即()h x 在(0,)+∞是增函数，下面证明()h x 在区间(,2)2aa 上有唯一零点0x ， 因为1()ln 222aa h =-，(2)ln 21h a a =+，又因为1(,2a e ∈，所以1()022a h <-=，1(2)ln(2)102h a e >⋅+=， 由零点存在定理可知，()h x 在区间(,2)2aa 上有唯一零点0x ，在区间0(0,)x 上，()'()0h x f x =<，'()f x 是减函数，在区间0(,)x +∞上，()'()0h x f x =>，'()f x 是增函数，故当0x x =时，()f x 取得最小值00001()()ln 2f x x a x x =-+， 因为0003()ln 02a h x x x =-+=，所以003ln 2a x x =-， 所以000031()()()22a f x x a x x =--+0001()(2)2a x a x x =--， 因为0(,2)2ax a ∈，所以()0f x >，所以1(,2a e∈，()0f x >. 22.解：（1）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得22sin 2cos (0)a a ρθρθ=>，所以曲线C 的直角坐标方程22y ax =，因为2545x t y t =-+⎧⎨=-+⎩，所以214x y +=+， 直线l 的普通方程为2y x =-；（2）直线l的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入22y ax =得：2)3280t a t a -+++=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12)t t a +=+，12328t t a =+，10t >，20t >由参数1t ，2t 的几何意义得1||||t PA =，2||||t PB =，12||||t t AB -=， 由2||||||PA PB AB =得21212||t t t t -=，所以21212||5t t t t +=，所以2))5(328)a a +=+，即2340a a +-=，故1a =，或4a =-（舍去），所以1a =.23.解（1）因为()||||||||f x x m x x m x m =-+≥--=，因存在实数x 使()2f x <成立，所以||2m <，解之得22m -<<，因为*m N ∈，所以1m =；（2）因1a >，1b >，所以()()2121f a f b a b +=-+-222a b =+-， 因为()()4f a f b +=，所以2224a b +-=，所以3a b +=， 因为41141()()3a b a b a b +=++14(5)3b a a b=++1(53≥+， 3≥，又1a >，1b >，所以413a b +>.。
四川省泸州市2017年高考数学一诊试卷(理科)Word版含解析
四川省泸州市2017年高考一诊试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x|x≤9，x∈N+}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则∁U（A∪B）=（）A．{3} B．{7，8} C．{7，8，9} D．{1，2，3，4，5，6}2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．若，则=（）A． B． C．D．4．已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件5．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ=（）A．3 B．C．2 D．16．如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．B．C．D．8．已知数列{an }满足an=若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）9．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[，] D．[，+∞）10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）A．B．C．D．11．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A．（0，2] B．[，+∞）C．[，2] D．[，2]∪[4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为．16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213身高（cm）121128135141148154160（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=， =﹣．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．20．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn，且满足2=an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn =（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．四川省泸州市2017年高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（A∪B）=（）1．已知全集U={x|x≤9，x∈N+}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则∁UA．{3} B．{7，8} C．{7，8，9} D．{1，2，3，4，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简全集U，根据并集与补集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：全集U={x|x≤9，x∈N+}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，A∪B={1，2，3，4，5，6}；（A∪B）={7，8，9}．∴∁U故选：C．2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=1+3i，得，故选：A．3．若，则=（）A． B． C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得要求式子的值．【解答】解：若，则cosα==，则=sinαcos+cosαsin=+=，故选：B．4．已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“￢p是假命题”可得：p是真命题，可得“p∨q是真命题”．反之不成立．【解答】解：由“￢p是假命题”可得：p是真命题，可得“p∨q是真命题”．反之不成立，例如p是假命题，q是真命题．∴“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的必要不充分条件．故选：B．5．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到的坐标表示，进而得到答案．【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（﹣1，1），∴=（1，0），=（﹣1，1），∵=（λ﹣μ，μ），又∵P是BC的中点时，∴=（1，），∴，∴λ=，μ=，∴λ+μ=2，故选：C6．如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟程序运行的结果，直到输出T的值大于29，确定最小的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环k=1，T=2第二次循环k=2，T=6；第三次循环k=3，T=14；第四次循环k=4，T=30；由题意，此时，不满足条件4＜n，跳出循环的T值为30，可得：3＜n≤4．故正整数n的最小值是4．故选：C．7．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m=，由此能求出组成的五位数是偶数的概率．【解答】解：从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n=，组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m=，∴组成的五位数是偶数的概率是p===．故选：D．8．已知数列{an }满足an=若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）【考点】数列递推式．【分析】，若对于任意的n∈N*都有an ＞an+1，可得＜0，a5＞a6，0＜a＜1．解出即可得出．【解答】解：∵满足an =，若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，∴＜0，a5＞a6，0＜a＜1．∴a＜0， +1＞a，0＜a＜1，解得．故选：B．9．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[，] D．[，+∞）【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，等价于不等式（sin cos+cos2﹣）min≥m对于x∈[﹣，]恒成立，令f（x）=sin cos+cos2﹣，求x∈[﹣，]的最小值即可．【解答】解：由题意，令f（x）=sin cos+cos2﹣，化简可得：f（x）=+（cos）==sin（）∵x∈[﹣，]∴∈[，]当=时，函数f（x）取得最小值为．∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选B．10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．根据三角形ABC 和三角形DBC所在平面互相垂直，可得AO⊥平面BCD，AO⊥OD．因此∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．通过证明△OBA≌△OBD，即可得出．【解答】解：如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．∵三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥OD．∴∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．∵AB=BD，∠CBA=∠CBD=，∴∠ABO=∠DBO，又OB公用，∴△OBA≌△OBD，∴∠BOD=∠AOB=．OA=OD．∴∠．故选：B．11．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，作出椭圆的图象，分析可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆方程可得+=1，①；结合椭圆的几何性质a2=b2+c2，②；联立两个式子，解可得c=（﹣1）a，由离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，如图，设F（0，c），又由△OAF是等边三角形，则A（，），A在椭圆上，则有+=1，①；a2=b2+c2，②；联立①②，解可得c=（﹣1）a，则其离心率e==﹣1；故选：A．12．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A．（0，2] B．[，+∞）C．[，2] D．[，2]∪[4，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，则（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，进而得到答案．【解答】解：∵函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，∵区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，∴函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，∵y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即≤t≤2，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为24 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0求出r的值，从而求出展开式中常数项．【解答】解：二项式展开式的通项公式为：T=••x r=24﹣r••x2r﹣4，r+1令2r﹣4=0，解得r=2，∴展开式中常数项为T=22•=24．3故答案为：24．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B ．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为48π．【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】判断几何体的特征，正方体中的三棱锥，利用正方体的体对角线得出外接球的半径求解即可．【解答】解：三棱锥补成正方体，棱长为4，三棱锥与正方体的外接球是同一球，半径为R==2，∴该球的表面积为4π×12=48π，故答案为：48π．16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设切点为（t，），求出切线方程，利用直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，建立方程，求出t，即可得出结论．【解答】解：设切点为（t，），y′=，x=t时，y′=t，∴切线方程为y﹣=（x﹣t），即y=tx﹣，∵一直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，∴=，∴t=2，∴切点为（2，1），代入圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0，可得a=3，故答案为3．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的大小；（Ⅱ）由（I）和内角和定理表示出B，并求出A的范围，代入sinAcosB后，由两角差的余弦公式、正弦公式化简后，由A的范围和正弦函数的性质求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，（2a+b）cosC+ccosB=0，∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，则2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，即sin（B+C）=﹣2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴1=﹣2cosC，得cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由（I）得C=，则A+B=π﹣C=，即B=﹣A，所以，∴sinAcosB=sinAcos（﹣A）=sinA（cos cosA+sin sinA）=sinA（cosA+sinA）=sin2A+=（）=∵，∴，则，即，∴sinAcosB的取值范围是．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213身高（cm）121128135141148154160（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=， =﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得，由此求得线性回归方程；（Ⅱ）将先15代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高．【解答】解：（Ⅰ）由题意得=（7+8+9+10+11+12+13）=10，==141，（=9+4+1+0+1+4+9=28，（xi ﹣）（yi﹣）=（﹣3）×（﹣20）+（﹣2）×（﹣13）+（﹣1）×（﹣6）+0×0+1×7+2×13+3×19=182，所以==， =﹣=141﹣×10=76，所求回归方程为=x+76．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =＞0，故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．将x=15代入（Ⅰ）中的回归方程，得=×15+76=173.5，故预测张三同学15岁的身高为173.5cm．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a的值，由此求得函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将问题转化为函数f（x）的图象与y=m有三个公共点，由此结合图象求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a，因为曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行，所以f′（）=+a=﹣，解得a=﹣1，所以f（x）=x3﹣x，设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x，又f（0）=0，所以f（x）=x3﹣x．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）=，f（1）=﹣，f（）=0，所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，等价于函数f（x）在[﹣3，]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣，0）．20．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn，且满足2=an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn =（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）首先利用Sn 与an的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；结合已知条件等式推出数列{an }是等差数列，由此求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）求得bn的表达式，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，有2=a1+1，解得a1=1；当n≥2时，由2=an +1得4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1，两式相减得4an =an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1），所以（an +an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，因为数列{an }的各项为正，所以an﹣an﹣1﹣2=0，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以数列{an }的通项公式为an=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn =（an+1）•2=2n•22n﹣1=n•4n．所以前n项和Tn=1•4+2•42+3•43+…+n•4n，4Tn=1•42+2•43+3•44+…+n•4n+1，两式相减得﹣3Tn=4+42+43+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1，化简可得Tn=+•4n+1．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x ﹣x为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，分离参数a，可得恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ae x﹣x，得f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，令ae x﹣1=0，得x=lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）==，函数y=在[1，2]上单调递减，令h（x）=，x∈[1，2]，h′（x）=．∴h（x）=在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线22．在平面直角坐标系中，曲线C1为C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．2（Ⅰ）求C的极坐标方程；2（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b=1时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）=2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|=|b2+1|=b2+1；g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2．而 a2+c2+2b2﹣（b2+1）=a2+c2+b2﹣1=（ a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac﹣1=0，当且仅当a=b=c=时，等号成立，即 a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．。
2018年四川省泸州市高考数学三诊试卷(理科)
2018年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|lg x＞0}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜2}B. {x|0＜x＜2}C. {x|-1＜x＜2}D. ∅2.若复数z|z|=（）A. 53.已知平面直角坐标系内的两个向量（1，2（m，3m-2），且平面内的任一λ，μ为实数），则m的取值范围是（）A. （-∞，2）B. （2，+∞）C. （-∞，+∞）D. （-∞，2）∪（2，+∞）4.某中学数学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别100 2×2根据以上数据，该数学兴趣小组认为喜爱该食品与性别有关”的把握为（）A. 99%以上B. 97.5%以上C. 95%以上D. 85%以上5.tan2α=（）6.已知[x]表示不超过x的最大整数，比如：[0.4]=0，[-0.6]=-1．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2.4，则输出z的值为（）A. 1.2B. 0.6C. 0.4D. -0.47.已知点A（-2，0），B（2，0），若圆（x-3）2+y2=r2（r＞0）上总存在点P，则r的取值范围是（）A. [1，+∞）B. [1，3]C. [3，5]D. [1，5]8.某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是（）A. 18B. 24C. 36D. 429.设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间，上单调，且f=f=-f f（x）的最小正周期为（）B. 2πC. 4πD. π10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）11.已知三棱锥P-ABC的侧棱PA⊥底面ABC，且∠BAC=120°，AB=AC，且PA=2BC，若该三棱锥的外接球的表面积为16π，则PA之长为（）A. 1B. 2 D.12.已知关于x2-mx-ln x-m＜0的解集为（a，b），其中a＞0，若该不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围（）A. B.C. ，D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y z=x-4y的最大值为______．14.二项式（2x+y-1）6的展开式中x2y3的系数是______（用具体数字作答）．15.过双曲线C：（a＞0，b＞0）左焦点F1的直线与y轴及C的右支分别交于A、B两点，若点B在x轴上的射影为C的右焦点F2，且|AF2|=2a，则C的渐近线方程为______．16.数列{a n}的前n项和为S n，且S3=1，S4=-1，a n+3=2a n（n∈N*），则S2017=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，已知AD是△ABC的内角A的平分线．（Ⅰ（Ⅱ）若cos B=AC=2，DC求△ABD的面积．18.某城市计划兴建一座至多安装3台污水处理设备的城市污水处理厂，根据过去统计资料显示，污水每天需处理量X（单位：万立方米）都在[20，80]之间．现统计了过去的一个月每天需处理的污水量（单位：万立方米），其频率分布直方图如图：污水处理厂希望安装的设备尽可能运行，但每天设X将每天污水量在以上三段的频率作为相应段的概率．（Ⅰ）求未来某3天中，至多有1天的污水处理量超过60万立方米的概率；（Ⅱ）若某台设备运行，则该台设备每天产生利润5万元；若某台设备未运行，则该台设备每天亏损0.8万元，若污水厂安装3台设备，那么每天利润的均值能否超过8万元？19.在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD=DC=AB=1，PA=PC=PB=2．（Ⅰ）证明：点P在平面ABCD上的射影在棱BC上；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．20.已知椭圆C1（a＞b＞0）的右顶点为A4，抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点F是OA的中点（其中O是坐标原点）．（Ⅰ）求抛物线C2的方程；（Ⅱ）过椭圆C1上一点P作斜率为k1、k2的两条不同直线与抛物线C2分别都有且只有一个共点，若k1=2k2，求点P的坐标．21.已知函数f（x）=（x-2）e x2+ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a≥e时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）=f′（x）+2-a，且g（x）≥0在R上恒成立，求实数a能取到的最大整数值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1-y+4=0，曲线C2t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3t为参数，t＞0α＜π）分别交C1，C2于A，B两点，当a取何值时，取得最大值．23.设函数f（x）=|3x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x）-f（2-x）＞x；（Ⅱ）若a+b=2，证明：f（a2）+f（b2）≥4．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|lgx＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：A．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：复数，则故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题线的向量（1，2（m，3m-2）线解之得m≠2所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠2}．故选：D．线，则平面内的任一向量线性表示，即存在唯一的实数对λ、μ论，结线即可，因此不难求出实数m的取值范围．本题考查了平面向量坐标表示的应用，着重考查了平面向量基本定理、向量共线的充要条件等知识点，属于基础题．4.【答案】C【解析】＞3.841，∴该数学兴趣小组有95%以上把握认为“喜爱该食品与性别有关”．故选：C．这是一个独立性检验应用题，处理本题时可根据列联表，及K2的计算公式，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．独立性检验，就是要把采集样本的数据，利用公式计算值，比较与临界值的大小关系，来判定事件A与B是否无关的问题．具体步骤：（1）采集样本数据．（2）由算的K2值．（3）统计推断，当K2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当K2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当K2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．5.【答案】A【解析】解：，∴整理可得：∴故选：A．由已知利用两角和的正切函数公式，特殊角的正切值可解得tanα的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算求值．本题主要考查了两角和的正切函数公式，特殊角的正切值，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：输入x的值为2.4，执行循环体后：y=2.4．x=1．满足继续循环的条件，x=1.2 执行循环体后：y=1.2，x=0．满足继续循环的条件，x=0.2执行循环体后：y=0.6．x=-1．不满足继续循环的条件，则z=x+y=-0.4，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.【答案】D【解析】解：∴P在以AB为直径的圆O：x2+y2=4上，∴圆（x-3）2+y2=r2（r＞0）与圆x2+y2=4有公共点，∴|r-2|≤3≤r+2，解得1≤r≤5．故选：D．由题意可知以AB为直径的圆与圆（x-3）2+y2=r2有公共点，从额得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出r的范围．本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，若甲地分派2名女生，有C22=1种情况，若甲地分配1名女生，有C21•C31=6种情况，则甲地的分派方法有1+6=7种，甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有A32=6种安排方法，则不同的选派方法的种数是7×6=42；故选：D．根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由加法原理可得甲地的分派方法数目，第二步在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，由排列数公式可得其安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意先分析受到限制的元素，如本题的甲地．9.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间上单调，∴0＜ω≤3．∵f=f=-f∴为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，00）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，ω=2∈（0，3]，∴，故选：D．由题意求得为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对ω的值．本题考查三角函数的周期性及其求法，确定0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．10.【答案】B【解析】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，直角边斜边AC=4，PA⊥AC，且P在底面的射影在△ABC的外部，由主视图可知棱锥高为h=4，∴棱锥的体积△ABC故选：B．作出直观图，根据三视图得出棱锥的结构特征，代入数据计算即可．本题考查了棱锥的结构特征与三视图，考查棱锥的体积计算，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：如图：底面三角形ABC的外心为G，作出OQ⊥底面ABC，PA的中点为：E，PA=2BC，，AB=AC，该三棱锥的外接球的表面积为16π，所以外接球的半径为：2．即AO=2，可得AB=1，则：所以故选：D．画出图形，设出PA，求出外接球的半径，转化求解PA即可．本题考查几何体的外接球与几何体的关系，考查空间想象能力以及计算能力．12.【答案】C【解析】＜0化为：m令u（x）=x3+2x2-2x-2+2xlnx，u′（x）=3x2+4x+2lnx在（0，+∞）上单调递增，因此存在x0∈（0，1），使得u′（x0）0+2lnx0=0，2lnx00，u（x0）0-2+2x0lnx00-2+x0（0）-2x0-2=-2（x0+1）＜0，u（1）=-1＜0，u（2）=10+4ln2＞0．因此存在x1∈（1，2），使得u（x1）=0，因此函数f（x）在（0，x1）内单调递减，在（x1，+∞）单调递增．f（1）f（2）∵关于x2-mx-lnx-m＜0的解集为（a，b），其中a＞0，该不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，∴实数m的取值范围故选：C．关于x2-mx-lnx-m＜0化为：m（x），x＞0，利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】-2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-4y得，平移直线，当直线，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大．x=2，y=1，即A（2，1），此时z max=2-4×1=-2，故答案为：-2．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】-240【解析】解：（2x+y-1）6的展开式的通取r=4，可得（y-1）r=（y-1）4，其二项展开式的通取s=1，可得二项式（2x+y-1）6的展开式中x2y3故答案为：-240．把y-1看作一项，写出（2x+y-1）6的展开式的通项，取r=4，再写出（y-1）4的展开式的通项，取s=1即可求得答案．本题考查二项式系数的性质，考查数学转化思想方法，是中档题．15.【答案】y=±【解析】解：如图所示：|AF2|=2a，∵BF2⊥x轴，∴AO∥BF2，∴A为BF1的中点，∵|AF1|=|AF2|=2a，∴|BF1|=4a，∵|BF2|2+|F1F2|2=|BF1|2，∴（2a）2+（2c）2=（4a）2，∴4a2+4（a2+b2）=16a2，，∴C的渐近线方程为y=±，故答案为：y=±．如图所示，根据双曲线的简单性质和定义结合勾股定理即可求出a与b的关系．本题考查了双曲线的简单性质，以及直线和双曲线的位置关系，属于基础题16.【答案】-1【解析】解：由a n+3=2a n（n∈N*），可得：a4=2a1，又S3=1，S4=-1，∴1+2a1=-1，解得a1=-1．∵a n+3=2a n（n∈N*），a2017=2a2014=22a2011=……=2671a4=2672a1=-2672．∴S2017=S3+2S3+22S3+……+2671S3+a2017=1+2+22+……+2671-2672-2672=-1．故答案为：-1．由a n+3=2a n（n∈N*），可得：a4=2a1，又S3=1，S4=-1，可得1+2a1=-1，解得a1=-1．由a n+3=2a n（n∈N*），可得a2017=2a2014=……=2671a4=2672a1=-2672．可得S2017=S3+2S3+22S3+……+2671S3+a2017．本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）证明：在三角形ABD中，=由∠ADB+∠ADC=π，∠BAD=∠CAD，可得soin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠CAD，①÷（Ⅱ）若cos B AC=2，DC由余弦定理可得4=AB2+（BD2-2AB•（BD解得AB=4，BD△ABD的面积为S•BD•sin B4××=【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中，在三角形ACD中，分别运用正弦定理和诱导公式和角平分线的定义，即可得证；（Ⅱ）运用角平分线定理和余弦定理，解方程可得AB，DB，再由三角形的面积公式计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）依题意可得P1=P（20＜X＜40）=（0.010+0.020）×10=0.3，P2=P（40≤X≤60）=（0.035+0.025）×10=0.6，P3=P（X＞60）=（0.007+0.003）×10=0.1，由二项分布可得，未来某3天中，至多有1天的污水处理量超过60万立方米的概率：P1-p3）33+3×0.92×0.1=0.972．（Ⅱ）当运行1台设备时，利润为5-0.8×2=3.4万元，当运行2台设备时，利润为10-0.8=9.2万元，当运行3台设备时，利润为15万元．∴Y的可能取值为3.4，9.2，15，其中P（Y=3.4）=0.010×10+0.020×10=0.3，P（Y=9.2）=0.035×10+0.025×10=0.6，P（Y=15）=0.007×10+0.003×10=0.1．∴P（Y＞8）=P（Y=9.2）+P（Y=15）=0.7．【解析】（I）分别考虑20＜X＜40，40≤X≤60，X＞60，求出它们的概率，再由二项分布特点，即可得到所求概率；（II）根据频率分布直方图计算Y的各种取值对应的概率，得出P（Y＞8）．本题考查离散型随机变量的期望的求法，同时考查二项分布的特点和概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取BC中点O，连结PO、AO，∵AD∥BC，AD=DC=AB=1，PA=PC=PB=2，∴PO⊥BC，AO=1，PO∴PO2+AO2=PA2，∴PO⊥AO，∵AO∩BC=O，∴PO⊥平面ABCD，∵PO⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，∵平面PBC∩平面ABCD=BC，∴点P在平面ABCD上的射影在棱BC上．解：（Ⅱ）取AD中点E，连结OE，则OE⊥BC，以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A0，0），C（0，1，0），D0），P（0，0（0，（0，1，），设平面APC的法向量（x，y，z），x=2（21），设平面PCD的法向量（x，y，z），x=1（11），设二面角A-PC-D的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A-PC-D的余弦值为【解析】（Ⅰ）取BC中点O，连结PO、AO，推导出PO⊥AO，从而PO⊥平面ABCD，进而平面PBC⊥平面ABCD，由此能证明点P在平面ABCD上的射影在棱BC 上．（Ⅱ）取AD中点E，连结OE，则OE⊥BC，以O为原点，OE为x轴，OC为y 轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．本题考查点在平面上的射影在直线上的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：2b=4，则b=2，离心率e则a2=6，∴椭圆C1由A（2，0），则F（1，0），∴抛物线C2的方程y2=4x；（Ⅱ）由题意可知：当k1不存在时，显然不成立，当k1为0时，两直线重合，∴两直线与抛物线相切，设P（x0，y0），设切点M y1），M y2），由抛物线方程y2=4x，求导y′则k1k2由k1=2k2，则y2=2y1，则切线方程为：y-y1x整理得：y，同理y=y1，P代入椭圆方程：，解得：y12=2，则P（1P（1，∴点P的坐标（1，）或（1，【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式及性质求得椭圆及抛物线方程；（Ⅱ）由题意，求导，根据导数的几何意义，求得y2=2y1，利用点斜式方程，求得P点坐标，代入椭圆方程，即可求得P点坐标．本题考查椭圆的标准方程，导数的几何意义，直线的点斜式方程的应用，考查转化思想，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-2）e x2+ax，∴f′（x）=（x-1）e x-ax+a=（x-1）（e x-a），①当a=e时，f′（x）≥0，函数f（x）在R上的单调递增．②当a＞e时，令f′（x）=0，可得x1=1，x2=ln a＞1∈（-∞，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，ln a）时，f′（x）＜0，x∈（ln a，+∞）f′（x）＞0．此时函数f（x）的单调增区间为：（-∞，1），（ln a，+∞），减区间为（1，ln a）．（Ⅱ）函数g（x）=f′（x）+2-a，且g（x）≥0在R上恒成立⇔（x-1）（e x-a）+2-a≥0，由g（1）=-a+2≥0，得g（x）≥0的必要条件是a≤2，若a=2，则g′（x）=（x-1）e x-2x+2=（x-1）（e x-2），当ln2＜x＜1时，g′（x）＜0，故a＜2．下面证明：当a=1时，不等式（x-1）e x-x+2≥0恒成立．令h（x）=（x-1）e x-x+2，则h′（x）=xe x-1，记H（x）=xe x-1，则H′（x）=（x+1）e x，记H（x）=xe x-1，则H′（x）=（x+1）e x，当x＞-1时，H′（x）＞0，H（x）单调递增且H（x）＞当x＜-1时，H′（x）＜0，H（x）单调递减，且＜H（x）＜0，∵H＜0，H（1）=e-1＞0，∴存在唯一的H（x0）=0，且当x∈（-∞，x0）时，H（x）＞0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，H（x）＜0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（x0）=（x0-1）ex0-x0+2，∵H（x0）=0，∴h（x0）=（x0-1）-x0=3-（x02∴h（x）min=h（x0）＞0，∴（x-1）e x-x-2≥0恒成立，∴a能取得的最大整数为1．【解析】（Ⅰ）f′（x）=（x-1）e x-ax+a=（x-1）（e x-a），①当a=e时，f′（x）≥0，函数f（x）在R上的单调递增．②当a＞e时，f′（x）＞0，x∈（1，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）f′（x）＞0．（Ⅱ）由g′（1）=-a+2≥0，得g′（x）≥0的必要条件是a≤2，当a=1时，不等式（x-1）e x-x+2≥0恒成立．由此利用导数性质能求出a能取得的最大整数．本题考查导数及其应用、考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ曲线C2：（t为参数），转换为直角坐标方程为：x2+y2-2y=0，转换为极坐标方程为：ρ=2sinθ．（Ⅱ）曲线C3t为参数，t＞0α＜π）转换为极坐标方程为：θ=α，由于：曲线C3分别交C1，C2于A，B两点，|OB|=2sinα所以：=，．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用极坐标方程，根据三角函数的关系式的恒等变换，整理成正弦型函数，进一步求出函数的最值．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．23.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）-f（2-x）＞x⇔|3x-1|-|3x-5|＞x．⇒x∈∅，或或．∴原不等式解集为（]．（Ⅱ）证明：∵a+b=2，a2+b2≥2，f（a2）+f（b2）=|3a2-1|+|3b2-1|≥|3（a2+b2）-2|≥3×2-2=4．【解析】（Ⅰ）不等式f（x）-f（2-x）＞x⇔|3x-1|-|3x-5|＞x．可化别求解即可．a2+b2≥2，又f（a2）+f（b2）=|3a2-1|+|3b2-1|≥|3（a2+b2）-2|即可本题考查了绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，属于中档题．。
四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学理试题(PDF版,有答案)
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泸州一诊理科数学试卷(答案附后面)
4．我国的 5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香
农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率 C 的公式
C
W
log2 (1
S ) ”，其中 W N
是信道带宽（赫兹），S
是信道内所传信号的平均功率（瓦），
N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中 S 叫做信噪比．根据此公 N
A．1 x1x2 2
B． x1x2 2
C． 0 x1x2 1
D． x1x2 1
11．已知三棱锥 A BCD 中， △BAC 和 △BDC 是边长为 2 的等边三角形，且平面 ABD 平
面 BCD ，该三棱锥外接球的表面积为
A． 4
B． 16 3
C． 8
D． 20 3
12．已知函数
f
(x)
1 ax3 3
x2 (a
0)
，若存在实数
x0
(1,0)
且
x0
1 2
，使
f
(x
0)
f (
)1 2
，
则实数 a 的取值范围为 A． ( 2 ,5)
3 C． (18 , 6)
7
B． (2 ,3) (3,5) 3
D． (18 , 4) (4, 6) 7
高三·理数 第 2 页 共 4 页
第 II 卷 （非选择题 共 90 分）
第 I 卷 （选择题 共 60 分）
一、 选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的．
1．已知集合 A {x | x2 4x ≤ 0} ， B x | x 2n 1, n N ，则 A B
四川省泸州市2017年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
四川省泸州市2017年高考一模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．22．已知集合A={x|x2+3x≤0}，集合B={n|n=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，1} B．{1，3} C．{﹣3，﹣1} D．{﹣3，﹣1，1，3}3．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．5．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为（）A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或16．已知向量，向量，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形7．已知a＞0，x，y满足约束条件，z=x+2y的最小值为﹣2，则a=（）A．B．C．1 D．28．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．9．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，当x1＜x2＜x3＜x4时满足f （x 1）=f （x 2）=f （x 3）=f （x 4），则x 1•x 2•x 3•x 4的取值范围是（ ）A ．（7，）B ．（21，） C ．[27，30） D ．（27，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设函数f （x ）=（x+1）（2x+3a ）为偶函数，则a= ．14．在三角形ABC 中，点E ，F 满足，，若，则x+y= ．15．小王同学骑电动自行车以24km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 km ．16．已知f （x ）=x+alnx （a ＞0）对于区间[1，3]内的任意两个相异实数x 1，x 2，恒有成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知2sin α•tan α=3，且0＜α＜π． （1）求α的值；（2）求函数f （x ）=4sinxsin （x ﹣α）在上的值域．18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，SA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为SA ，CD 的中点．（I ）证明：直线MN ∥平面SBC ； （Ⅱ）证明：平面SBD ⊥平面SAC ．19．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线，P 2：y 2=bx+c ，如图所示．（1）求函数y 1，y 2的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？20．已知数列{a n }的前n 项和s n ，点（n ，s n ）（n ∈N *）在函数y=x 2+x 的图象上 （1）求{a n }的通项公式；（2）设数列{}的前n 项和为T n ，不等式T n ＞log a （1﹣a ）对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围．21．已知f （x ）=2ln （x+2）﹣（x+1）2，g （x ）=k （x+1）． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当k=2时，求证：对于∀x ＞﹣1，f （x ）＜g （x ）恒成立；（Ⅲ）若存在x 0＞﹣1，使得当x ∈（﹣1，x 0）时，恒有f （x ）＞g （x ）成立，试求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知直线l 的参数方程是（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos （θ+）．（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值． 23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|． （1）求不等式f （x ）＞0的解集；（2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）+2a 2＜4a ，求实数a 的取值范围．四川省泸州市2017年高考一模试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴，解得，则a+b=1．故选：B．2．已知集合A={x|x2+3x≤0}，集合B={n|n=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，1} B．{1，3} C．{﹣3，﹣1} D．{﹣3，﹣1，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A中的一元二次不等式的解集确定出集合A，观察发现集合B为所有的奇数集，所以找出集合A解集中的奇数解即为两集合的交集．【解答】解：由集合A中的不等式x2+3x≤0，因式分解得：x（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜0，所以集合A=（﹣3，0）；根据集合B中的关系式n=2k+1，k∈Z，得到集合B为所有的奇数集，则集合A∩B={﹣3，﹣1}．故选：C3．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由ln（x﹣1）＜0，得：0＜x﹣1＜1，解得：1＜x＜2，故x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件，故选：B．4．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【考点】不等关系与不等式．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．5．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为（）A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或1【考点】选择结构；程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．利用输出的值，求出输入的x的值即可．【解答】解：这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，输出的结果为，当x≤2时，sin=，解得x=1+12k，或x=5+12k，k∈Z，即x=1，﹣7，﹣11，…当x＞2时，2x=，解得x=﹣1（不合，舍去），则输入的x可能为1．故选B．6．已知向量，向量，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由已知向量的坐标求得的坐标，可得，结合得答案．【解答】解：∵，，∴=（3，1），∴．又．∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故选A．7．已知a＞0，x，y满足约束条件，z=x+2y的最小值为﹣2，则a=（）A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入ax﹣y﹣2a=0得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（1，﹣），z=x+2y的最小值为﹣2，由图形可知A是目标函数的最优解，A在ax﹣y﹣2a=0上，可得：a+﹣2a=0解得a=．故选：B．8．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【考点】数列的应用．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．}的公差为d，【解答】解：设此等差数列{an则30×5+d=390，解得d=，故选：D．9．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可知周期T=，可得ω的值，根据三角函数的平移变换规律可得结论．【解答】解：由题意，函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可知周期T=，那么：ω=．则f（x）=Asin（3x+）=Asin3（x+）要得到g（x）=Acos3x，即Acos3x=Asin（3x+）=Asin3（x+）由题意：可得：f（x）向左平移可得g（x）故选A10．已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，=g（0）=0，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选A．11．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案．【解答】解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的体积为π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为，故选：D．12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，当x1＜x2＜x3＜x4时满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•x3•x4的取值范围是（）A．（7，）B．（21，）C．[27，30）D．（27，）【考点】函数的值．【分析】画出分段函数的图象，求得（3，1），（9，1），令f（xl ）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=a，作出直线y=a，通过图象观察，可得a的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得x1x2=1，x3+x4=12，再由二次函数在（3，4.5）递增，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）的图象，令f（xl ）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=a，作出直线y=a，由x=3时，f（3）=﹣cosπ=1；x=9时，f（9）=﹣cos3π=1．由图象可得，当0＜a＜1时，直线和曲线y=f（x）有四个交点．由图象可得0＜x1＜1＜x2＜3＜x3＜4.5，7.5＜x4＜9，则|log3x1|=|log3x2|，即为﹣log3x1=log3x2，可得x1x2=1，由y=﹣cos（x）的图象关于直线x=6对称，可得x3+x4=12，则x1•x2•x3•x4=x3（12﹣x3）=﹣（x3﹣6）2+36在（3，4.5）递增，即有x1•x2•x3•x4∈（27，）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，则a= ﹣．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论．【解答】解：函数f（x）=（x+1）（2x+3a）=2x2+（3a+2）x+3a∵函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，∴2x2﹣（3a+2）x+3a=2x2+（3a+2）x+3a∴3a+2=0∴a=﹣，故答案为：14．在三角形ABC中，点E，F满足，，若，则x+y= ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】首先利用平面向量的三角形法则得到，然后用表示，结合平面向量基本定理得到x，y．【解答】解：在三角形ABC中，点E，F满足，，若==，所以x=﹣，y=，则x+y=；故答案为：15．小王同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 km ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△ABS 中，可得∠BAS=30°，AB=8，∠ABS=180°﹣75°=105°则∠ASB=45°，由正弦定理可得BS=．【解答】解：如图，由已知可得，AB=24×=8． 在△ABS 中，∠BAS=30°，AB=8，∠ABS=180°﹣75°=105° ∠ASB=45°由正弦定理可得BS==4，故答案为16．已知f （x ）=x+alnx （a ＞0）对于区间[1，3]内的任意两个相异实数x 1，x 2，恒有成立，则实数a 的取值范围是 （0，） ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于|1+|＜，（1），由x 1，x 2→时（1）变为|1+3a|＜9，由x 1，x 2→1时（1）变为|1+a|＜1，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】解：已知a ＞0，f （x ）=x+alnx ，对区间[1，3]内的任意两个相异的实数x 1，x 2，恒有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜|﹣|，∴|x 1﹣x 2+a （lnx 1﹣lnx 2）|＜||，两边都除以|x 1﹣x 2|，∵|1+|＜，（1）（lnx ）′=∈[，1]，∴∈[，1]，x 1，x 2→时（1）变为|1+3a|＜9，解得：﹣＜a ＜，x 1，x 2→1时（1）变为|1+a|＜1， 解得：﹣2＜a ＜0， 又∵a ＞0，∴0＜a ＜，故答案为（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知2sin α•tan α=3，且0＜α＜π． （1）求α的值；（2）求函数f （x ）=4sinxsin （x ﹣α）在上的值域．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，求得sin α的值，可得α的值．（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f （x ）=4sinxsin （x ﹣α）在上的值域．【解答】解：（1）∵2sin α•tan α=3，且0＜α＜π．∴2sin 2α=3cos α，∴2﹣2cos 2α=3cos α，∴2cos 2α+3cos α﹣2=0，解得cos α=，或cos α=﹣2（舍），∴α=．（2）∵α=，∴函数f（x）=4sinxsin（x﹣）=4sinx（sinxcos﹣cosxsin）==，∵，∴，∴，则，∴f（x）∈[﹣1，0]．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．（I）证明：直线MN∥平面SBC；（Ⅱ）证明：平面SBD⊥平面SAC．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取SB中点E，连接ME、CE，由三角形中位线定理、菱形性质得四边形MECN是平行四边形，由此能证明直线MN∥平面SBC．（Ⅱ）连接AC、BD，交于点O，由线面垂直得SA⊥BD，由菱形性质得AC⊥BD，由此能证明平面SBD⊥平面SAC．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取SB中点E，连接ME、CE，因为M为SA的中点，所以ME∥AB，且ME=，…因为N为菱形ABCD边CD的中点，所以CN∥AB，且CN=，…所以ME∥CN，ME=CN，所以四边形MECN是平行四边形，所以MN∥EC，…又因为EC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，所以直线MN ∥平面SBC ．…（Ⅱ）证明：如图，连接AC 、BD ，交于点O ， 因为SA ⊥底面ABCD ，所以SA ⊥BD ．… 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．… 又SA ∩AC=A ，所以BD ⊥平面SAC ．…又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAC ．…19．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线，P 2：y 2=bx+c ，如图所示．（1）求函数y 1，y 2的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）将（1，1.25），（4，2.5）代入曲线，解方程可得；由P 2：y 2=bx+c过原点，可得c=0，将（4，1）代入，可得b ，即可得到P 2的方程；（2）设甲投资x 万元，则乙投资为（10﹣x ）万元，投资获得的利润为y 万元，则=，令，转化为二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题知（1，1.25），（4，2.5）在曲线P 1上，则，解得，即．又（4，1）在曲线P 2上，且c=0，则1=4b ，则，所以．（2）设甲投资x 万元，则乙投资为（10﹣x ）万元，投资获得的利润为y 万元，则=，令，则．当，即（万元）时，利润最大为万元，此时10﹣x=3.75（万元），答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元．20．已知数列{a n }的前n 项和s n ，点（n ，s n ）（n ∈N *）在函数y=x 2+x 的图象上 （1）求{a n }的通项公式；（2）设数列{}的前n 项和为T n ，不等式T n ＞log a （1﹣a ）对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1），再写一式，即可求{a n }的通项公式；（2）由（1）知a n =n ，利用裂项法可求=（﹣），从而可求得T n ═ [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，由T n+1﹣T n =＞0，可判断数列{T n }单调递增，从而可求得a 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴①当②①﹣②得a n =n当，∴a n =n ；（2）由（1）知a n =n ，则=（﹣）．∴T n ═ [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1+﹣﹣）=﹣（+）．∵T n+1﹣T n =＞0，∴数列{T n }单调递增，∴（T n ）min =T 1=．要使不等式T n ＞log a （1﹣a ）对任意正整数n 恒成立，只要＞log a （1﹣a ）． ∵1﹣a ＞0， ∴0＜a ＜1．∴1﹣a ＞a ，即0＜a ＜．21．已知f （x ）=2ln （x+2）﹣（x+1）2，g （x ）=k （x+1）． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当k=2时，求证：对于∀x ＞﹣1，f （x ）＜g （x ）恒成立；（Ⅲ）若存在x 0＞﹣1，使得当x ∈（﹣1，x 0）时，恒有f （x ）＞g （x ）成立，试求k 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出定义域和导数f′（x ），令f′（x ）＞0，解出增区间，令f′（x ）＜0，解出减区间；（Ⅱ）令H （x ）=f （x ）﹣g （x ），利用导数判断出H （x ）的单调性和单调区间，得出H （x ）的最大值，证明H max （x ）＜0即可．【解答】解：（Ⅰ），当f′（x ）＞0 时，所以 x 2+3x+1＜0，解得﹣2＜x ，当f′（x）＜0时，解得，所以 f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k=2时，g（x）=2（x+1）．令H（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）=，令H′（x）=0，即﹣2x2﹣8x﹣6=0，解得x=﹣1或x=﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．（x）=H（﹣1）=0，∴Hmax∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k=2时，f （x）＜g （x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k （x+1）．∴2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k （x+1），即f （x）＜g （x）恒成立，不存在满足条件的x；令h（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）=，当k＜2时，令t （x）=﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t （x）与h′（x）符号相同，，+∞）时，t （x）＜0，h′（x）＜0，h （x）单调递减，当x∈（x当x∈（﹣1，x）时，h （x）＞h （﹣1）=0，即f （x）﹣g （x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）分别求出直线和曲线的普通方程，根据点到直线的距离，求出直线l与曲线C 的位置关系；（2）根据点到直线的距离求出直线l上的点向圆C引的切线长的最小值即可．【解答】解：（1）直线l方程：y=x+4，ρ=4cos（θ+）=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2sinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即+=4，∴圆心（，﹣）到直线l的距离为d=6＞2，故直线与圆相离．（2）直线l的参数方程化为普通方程为x﹣y+4=0，则圆心C到直线l的距离为=6，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为=4．23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a2 ，求得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x）+2a2＜4a，即f（x）＜4a﹣2a2 有解，由（1）可得f （x ）的最小值为f （）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a ﹣2a 2 ，求得﹣＜a ＜．。
四川省泸州市2017届高考数学三诊试卷理科 含解析 精品
2017年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U={x|x＞1}，集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，则∁U A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，3）2．复数（其中i是虚数单位）的虚部为（）A．B．i C．1 D．﹣13．已知等比数列{a n}的公比，a2=8，则其前3项和S3的值为（）A．24 B．28 C．32 D．164．已知平面向量，，则的值是（）A．1 B．5 C．D．5．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．12 B．24 C．18 D．66．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与抛物线C的准线交于点B，则线段FB的长为（）A．10 B．6 C．8 D．47．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m8．已知函数的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．9．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．310．已知Rt△ABC中，，以B，C为焦点的双曲线（a＞0，b＞0）经过点A，且与AB边交于点D，若|AD|=2|BD|，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．11．已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．20πB．16πC．8πD．17π12．已知函数f（x）=lnx+x与（a＞0）的图象有且只有一个公共点，则a所在的区间为（）A．B． C． D．二、填空题（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是（用数字表示）14．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．15．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．16．已知数列{a n}的前n项和（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c﹣2bcosA．（1）求证：A=2B；（2）若5b=3c，，求BC边上的高．18．（12分）甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在（1）的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=BC=1，，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=1，点M在线段EF上．（1）当为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；（2）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）已知点C是圆F：（x+1）2+y2=16上的任意一点，点F为圆F的圆心，点F′与点F关于平面直角系的坐标原点对称，线段CF′的垂直平分线与线段CF交于点P．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若轨迹E与y轴正半轴交于点M，直线交轨迹E于A，B两点，求△ABM面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e x+（a+1）x（其中e为自然对数的底数）（1）设过点（0，0）的直线l与曲线f（x）相切于点（x0，f（x0）），求x0的值；（2）若函数g（x）=ax2+ex+1的图象与函数f（x）的图象在（0，1）内有交点，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线（α为参数）经伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）A，B是曲线C2上两点，且，求|OA|+|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|2x+a|，若f（x）的最小值为2．（1）求实数a的值；（2）若a＞0，且m，n均为正实数，且满足m+n=a，求m2+n2的最小值．2017年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U={x|x＞1}，集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，则∁U A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，3）【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据题意，解x2﹣4x+3＜0可得集合A，又由全集U={x|x＞1}，结合补集的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，x2﹣4x+3＜0⇒1＜x＜3，即A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}=（1，3），而集合U={x|x＞1}，则∁U A={x|x≥3}=[3，+∞）；故选：A．【点评】本题考查集合的补集运算，关键是理解集合补集的定义．2．复数（其中i是虚数单位）的虚部为（）A．B．i C．1 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：==，则复z的虚部为：1．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知等比数列{a n}的公比，a2=8，则其前3项和S3的值为（）A．24 B．28 C．32 D．16【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由已知求出等比数列的首项，进一步求出a3，则S3的值可求．【解答】解：在等比数列{a n}中，∵公比，a2=8，∴，则S3=a1+a2+a3=16+8+4=28．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是基础题．4．已知平面向量，，则的值是（）A．1 B．5 C．D．【考点】93：向量的模．【分析】利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：=（﹣4，﹣3）．∴==5．故选：B．【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．12 B．24 C．18 D．6【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、对于A块，可以在3种不同的花中任选1种，由组合数公式可得其种法数目，②、对于B块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，由组合数公式可得其种法数目，③、对于C、D块，按“C块与B块相同”和“C块与B块不相同”分2种情况，求出D的种法数目，由加法原理可得CD的种法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、对于A块，可以在3种不同的花中任选1种，有C31=3种情况，②、对于B块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有C21=2种情况，③、对于C、D块，分2种情况：若C块与B块相同，则D块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有C21=2种情况，若C块与B块不相同，则C块有1种情况，D块有1种情况，此时C、D有1种情况，则C、D共有2+1=3种情况；综合可得：一共有3×2×3=18种不同的种法；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意相邻的2块种不同的花，分析CD时需要分类讨论．6．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与抛物线C的准线交于点B，则线段FB的长为（）A．10 B．6 C．8 D．4【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出直线方程、准线方程，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F且倾斜角为的直线y=（x﹣1），直线抛物线C的准线x=﹣1交于点B（﹣1，﹣2），则线段FB的长为：=4．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】LS：直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题8．已知函数的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ值，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间．【解答】解：函数f （x ）的图象向左平移个单位后的函数解析式为：y=sin [2（x +）+φ]=sin （2x +φ+），由函数图象关于y 轴对称，可得： +φ=kπ+，即φ=kπ+，k ∈z ，由于|φ|＜，可得：φ=，可得：f （x ）=sin （2x +），由2kπ﹣≤2x +≤2kπ+，k ∈Z ，解答：kπ﹣≤x ≤kπ+，k ∈Z ，可得，当k=1时，函数f （x ）的一个单调递增区间是：[﹣，]．故选：B ．【点评】本题主要考查y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（ ）A．4 B．5 C．2 D．3【考点】E8：设计程序框图解决实际问题．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的a，A，S的值是解题的关键，属于基础题．10．已知Rt△ABC中，，以B，C为焦点的双曲线（a＞0，b＞0）经过点A，且与AB边交于点D，若|AD|=2|BD|，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设|BD|=t，则|AD|=2t，|AB|=3t，运用双曲线的定义，可得|AC|，|DC|，再分别在直角三角形ACD和直角三角形ACB中，运用勾股定理，结合双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：如图，设|BD|=t，则|AD|=2t，|AB|=3t，由双曲线的定义可得|AC|=|AB|﹣2a=3t﹣2a，由双曲线的定义可得|DC|=|DB|+2a=2a+t，在直角三角形ACD中，|AC|2+|AD|2=|CD|2，即为（3t﹣2a）2+4t2=（2a+t）2，化简可得3t=4a，在直角三角形ACB中，|AC|2+|AB|2=|CB|2，即为（3t﹣2a）2+9t2=（2c）2，即有4a2+16a2=4c2，即为c2=5a2，则e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用定义法和方程思想，以及直角三角形的勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．20πB．16πC．8πD．17π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的三视图，建立空间坐标系，求出外接球的球心，从而得出半径，再计算面积．【解答】解：作出几何体的直观图如图所示：由三视图可知底面ACD是等腰三角形，∠ACD=，AD=2，BC⊥平面ACD，BC=2，取AD的中点E，连接CE，则CE⊥AD，以E为原点，以AD为x轴，以EC为y轴，以平面ACD的垂线为z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，则A（﹣，0，0），B（0，1，2），C（0，1，0），D（，0，0），设三棱锥的外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD．∴（x+）2+y2+z2=x2+（y﹣1）2+（z﹣2）2=x2+（y﹣1）2+z2=（x﹣）2+y2+z2，解得x=0，y=﹣1，z=1．∴外接圆的半径r=MA==．∴外接球的表面积S=4πr2=20π．故选：A．【点评】本题考查了棱锥的三视图，球与棱锥的位置关系，属于中档题．12．已知函数f（x）=lnx+x与（a＞0）的图象有且只有一个公共点，则a所在的区间为（）A．B． C． D．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】设T（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+x﹣﹣ax+1，T′（x）=（x+1）••（1﹣ax），推导出T（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，由此利用分类讨论思想能求出a所在的区间．【解答】解：设T（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+x﹣﹣ax+1，在x＞0时，有且仅有1个零点，T′（x）==﹣a（x+1）=（x+1）（）=（x+1）••（1﹣ax），∵a＞0，x＞0，∴T（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，如右图，当x→0时，T（x）→∞，x→+∞时，T（x）→﹣∞，∴，即ln+﹣﹣1+1=0，∴ln+=0，∴lnx+在x＞0上单调，∴在a＞0上最多有1个零点，a=1时， +=＞0，a=2时， +＜0，时，＜0，∴a∈（1，）．故选：D．【点评】本题考查实数值取值区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、填空题（2017•泸州模拟）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是﹣80（用数字表示）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在（1﹣2x）5的展开式中，令通项x的指数等于3，求出r，再求系数=C5r（﹣2x）r，令r=3，得x3的项的系【解答】（1﹣2x）5的展开式的通项为T r+1数是C53（﹣2）3=﹣80故答案为：﹣80【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用，属于基础题．14．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是1．【考点】CF：几何概型．【分析】画出图形，求出区域面积以及满足条件的P的区域面积，利用几何概型【解答】解：不等式组表示的区域D如图三角形区域，面积为，在区域D内随机取一个点P，则此点到坐标原点的距离大于2的点P落在圆x2+y2=4内对应区域外的部分，面积为，由几何概型的公式得到所求概率为：；故答案为：1﹣【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点．15．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2] ．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，即log a x ≥1，故有log a2≥1，由此求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．16．已知数列{a n}的前n项和（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=﹣a1﹣1+2，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n，化为：a n=a n﹣1+．可得2n a n﹣2n﹣1a n﹣1=1．即﹣1可得出．【解答】解：∵（n∈N*），∴n=1时，a1=S1=﹣a1﹣1+2，解得a1=．n≥2时，a n=S n﹣S n=﹣a n﹣+2﹣，﹣1化为：a n=a n﹣1+．∴2n a n﹣2n﹣1a n﹣1=1．∴数列{2n a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴2n a n=1+n﹣1=n，则数列{a n}的通项公式a n=．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•泸州模拟）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c﹣2bcosA．（1）求证：A=2B；（2）若5b=3c，，求BC边上的高．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）因为b=c﹣2bcosA，所以sinB=sinC﹣2sinBcosA，进而sinB=sin（A ﹣B），即可证明结论；（2）由余弦定理，求出b=6，c=10，利用等面积求BC边上的高．【解答】（1）证明：因为b=c﹣2bcosA，所以sinB=sinC﹣2sinBcosA，因为C=π﹣（B+A），所以sinB=sin（π﹣（B+A））﹣2sinBsinA所以sinB=sinBcosA+cosBsinA﹣2sinBcosA即sinB=cosBsinA﹣sinBcosA，即sinB=sin（A﹣B），因为0＜B＜π，0＜A＜π，所以﹣π＜A﹣B＜π，所以B=A﹣B或B=π﹣（A﹣B），故A=2B；（2）解：由5b=3c及b=c﹣2bcosA得，，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA得，解得：b=6，c=10，由得，，设BC边上的高为h，则，即，所以．【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．18．（12分）（2017•泸州模拟）甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在（1）的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）先分别求出甲机床为正品的频率、乙机床为正品的频率，由此能估计甲、乙两机床为正品的概率．（2）若用甲机床生产这2件零件，设可能获得的利润X1为320元、140元、﹣40元，分别求出相应的概率，由此能求出获得的利润的期望；用乙机床生产这2件零件，设可能获得的利润为X2为400元、160元、﹣80元，分别求出相应的概率，由此能求出获得的利润的期望，用甲、乙机床各生产1件零件，设可能获得的利润X3为360元、180元、120元、﹣60元，分别求出相应的概率，从而求出获得的利润的期望，由此能求出安排乙机床生产最佳．【解答】解：（1）因为甲机床为正品的频率为，乙机床为正品的频率约为，所以估计甲、乙两机床为正品的概率分别为；（2）若用甲机床生产这2件零件，设可能获得的利润X1为320元、140元、﹣40元，它们的概率分别为，，，所以获得的利润的期望，若用乙机床生产这2件零件，设可能获得的利润为X2为400元、160元、﹣80元，它们的概率分别为，，，让你以获得的利润的期望；若用甲、乙机床各生产1件零件，设可能获得的利润X3为360元、180元、120元、﹣60元，它们的概率分别为：，，，所以获得的利润的期望，∵E（X2）＞E（X3）＞E（X1），所以安排乙机床生产最佳．【点评】本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解答本题的关键是正确理解离散型随机变量的分布列的性质，是中档题．19．（12分）（2017•泸州模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=BC=1，，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=1，点M在线段EF上．（1）当为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；（2）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）当时，设AC∩BD=O，连接FO，推导出四边形AOFM是平行四边形，从而AM∥OF，由此能证明AM∥平面BDF．（2）在平面ABCD内过点C作GC⊥CD，以点C为原点，分别以CD，CG，CF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EF﹣D的余弦值．【解答】解：（1）当时，AM∥平面BDF．证明如下：在梯形ABCD中，设AC∩BD=O，连接FO，因为AD=BC=1，∠ADC=60°，所以DC=2，又AB=1，因为△AOB∽△CDO，因此CO：AO=2：1，所以，因为ACFE是矩形，所以四边形AOFM是平行四边形，所以AM∥OF，又OF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，所以AM∥平面BDF；（2）在平面ABCD内过点C作GC⊥CD，因为平面ACFE⊥平面ABCD，且交线为AC，则CF⊥平面ABCD，即CF⊥GC，CF⊥DC，以点C为原点，分别以CD，CG，CF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，D （2，0，0），，F （0，0，1），所以，，，，设平面BEF 的法向量为，则，∴，取，同理可得平面DEF 的法向量，所以，因为二面角B ﹣EF ﹣D 是锐角，所以其余弦值是．【点评】本题考查满足线面平行的线段的比值的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•泸州模拟）已知点C 是圆F ：（x +1）2+y 2=16上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F′与点F 关于平面直角系的坐标原点对称，线段CF′的垂直平分线与线段CF 交于点P ． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M ，直线交轨迹E 于A ，B 两点，求△ABM 面积的取值范围．【考点】J3：轨迹方程；KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用椭圆的定义，求动点P的轨迹E的方程；（2）利用弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出△ABM的面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意知圆F的圆心为F（﹣1，0），半径为4，所以|PF′|+|PF|=|CF|=4＞|FF′|=2，由椭圆的定义知，动点P的轨迹是以F，F′为焦点，4为长轴长的椭圆，设椭圆E的方程为（a＞b＞0），且焦距为2c（c＞0），则：，即，故椭圆E的方程为；（2）把直线，代入椭圆方程消去y得：，由△＞0得：或，因为直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则，，因为点，直线l与y轴交于点，△ABM的面积===，当且仅当，即时取等号，满足△＞0所心△ABM面积的取值范围是．【点评】本题考查轨迹方程，考查三角形的面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线的斜率公式、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式的合理运用．21．（12分）（2017•泸州模拟）已知函数f（x）=e x+（a+1）x（其中e为自然对数的底数）（1）设过点（0，0）的直线l与曲线f（x）相切于点（x0，f（x0）），求x0的值；（2）若函数g（x）=ax2+ex+1的图象与函数f（x）的图象在（0，1）内有交点，求实数a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，和切线方程，代入原点化简，解方程可得x0的值；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1，求出导数，设k（x）=e x﹣2ax+a﹣e+1，运用零点存在定理可得k（x）在（0，1）上至少有两个零点，再对a讨论，可得k（x）的单调性，以及最小值，证明小于0，从而得到h（x）的单调性和零点个数，即可得到a的范围．【解答】解：（1）因为函数f（x）=e x+（a+1）x，所以f′（x）=e x+（a+1），故直线l的斜率为，点（x0，f（x0））的切线l的方程为，因直线过（0，0），即解之得，x0=1；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1，所以h′（x）=e x﹣2ax+a﹣e+1，设k（x）=e x﹣2ax+a﹣e+1，则k′（x）=e x﹣2a，因函数g（x）=ax2+ex+1的图象与函数f（x）的图象在（0，1）内有交点，设x0为h（x）在（0，1）内的一个零点，由h（0）=0，h（1）=0，所以h（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单增，也不可能单减，所以k（x）在（0，x0）和（x0，1）上均存在零点，即k（x）在（0，1）上至少有两个零点，当时，k′（x）＞0，k（x）在（0，1）上递增，k（x）不可能有两个及以上零点；当时，h′（x）＜0，k（x）在（0，1）上递减，k（x）不可能有两个及以上零点；当时，令k′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），∴k（x）在（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）上递增，所以设，则，令φ′（x）=0，得，当时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，当时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，所以，∴k（ln（2a））＜0恒成立，若k（x）有两个零点，则有k（ln（2a））＜0，k（0）＞0，k（1）＞0，由k（0）=a+2﹣e＞0，k（1）=1﹣a＞0，得e﹣2＜a＜1，当e﹣2＜a＜1，设k（x）的两个零点为x1，x2，则h（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，1）递增，∴h（x1）＞h（x）=0，h（x2）＜h（1）=0，所以h（x）在（x1，x2）内有零点，即函数g（x）=ax2+ex+1的图象与函数f（x）的图象在（0，1）内有交点，综上，实数a的取值范围是（e﹣2，1）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，正确构造函数和运用零点存在定理是解题的关键，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•泸州模拟）在平面直角坐标系中，曲线（α为参数）经伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）A，B是曲线C2上两点，且，求|OA|+|OB|的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）先求出曲线C1的普通方程，从而求出曲线C2的直角坐标方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（2）设A（ρ1，θ），（），推导出|OA|+|OB|=，由此能求出|OA|+|OB|的取值范围．【解答】解：（1）曲线化为普通方程为：，又，即代入上式可知：曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2=2x，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（2）设A（ρ1，θ），（），∴=，因为，所以|OA|+|OB|的取值范围是．【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段和的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•泸州模拟）已知函数f（x）=|x+1|+|2x+a|，若f（x）的最小值为2．（1）求实数a的值；（2）若a＞0，且m，n均为正实数，且满足m+n=a，求m2+n2的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，得到关于a的方程，解出即可；（2）求出m+n=6，根据不等式的性质求出m2+n2的最小值即可．【解答】解：（1）①当时，即a＞2时，，则当时，，解得a=6或a=﹣2（舍）；②当时，即a＜2时，，则当时，，解得a=6（舍）或a=﹣2，③当时，即a=2，f（x）=3|x+1|，此时f（x）min=0，不满足条件，综上所述，a=6或a=﹣2；（2）由题意知，m+n=6，∵（m+n）2=m2+n2+2mn≤（m2+n2）+（m2+n2）=2（m2+n2）当且仅当m=n=3时取“=”，∴m2+n2≥18，所以m2+n2的最小值为18．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
四川省泸州市2017届高三第一次诊断考试试题(数学理)(含答案)word版
四川省泸州市2017届高三第一次诊断考试数 学 试 题（理）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第一部分的答案涂在机读卡上，第二部分的答案写在答题卡上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共60分）注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂、写在机读卡上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把机题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{1,2,3,4},{1,2,3},{2,3,4},()U U M N M N === 则C =（ ） A ．{1，2} B ．{2，3} C ．{2，4}D ．{1，4} 2．23(1)lim 6!x n n n →∞++的值为 （ ） A ．0 B ．1C ．16D ．不存在 3．复数52i +的值为（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．12i +4．若函数2log (1), 1.()2, 1.x a x x f x x -+>⎧=⎨≤⎩在定义域内连续，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-15．已知函数()x f x e =（e 是自然对数的底数），则函数()f x 的导函数'()f x 的大致图象为（ ）6．设函数()tan()3f x x π=+，则下列结论中正确的是 （ ）A ．函数()f x 的图象关于点(,0)3π对称B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．把函数()f x 的图象向右平移3π个单位，得到一个奇函数的图象D ．函数()f x 的最小正周期为2π7．设p ，q 是两个命题，121:log (||3)0,:112p x q x -><-，则p 是q 的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．经全国人大常委会批准，自2011年9月1日起我国实行新的《中华人民共和国所得税法》，新法规定：个人工资、薪金所得，以每月收入额减除费用3500元后的余额，为全月应纳税所得额，且税率也作了调整，调整后的部分税率见《中华人民共和国个人所得税税率表》。
四川省泸州市高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题文(含解析)
数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.命题“，”的否定是A. 不存在，使B. ，使C. ，使D. ，使【答案】D【解析】【分析】利用全称命题“”的否定为特称命题“”可得结果.【详解】全称命题的否定是特称命题，否定全称命题要改全称量词为存在量词,“，”的否定是，使，故选D.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.设，，，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4.已知函数，则函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.【详解】，的最小正周期为，故选C.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．5.函数的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，故选D.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】7.实数，满足，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法则可得结果.【详解】，，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数的性质与对数的运算法则，以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.在中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，表面积为两个圆锥侧面积的和，，故选A.【点睛】求几何体的表面积的方法:(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 16B. 8C. 4D. 20【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考查数形结合思想的应用，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，故选A.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，则，要使的值域为，则，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，则，在上递增，在上递减，要使的值域为，则，，又，的范围是，故选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：（1）求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）根据单调性可得函数的极值，如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（3）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，若，则__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】本题主要考查对数的基本性质，意在考查对基础知识的理解与运用，属于简单题.14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．15.已知函数，则的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，，，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.（1）若，求的值；（2）的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】（1）由，则，且，由正弦定理，因为，所以，所以，（2），∴，，∴，，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）。
2020年11月23日泸州市一诊理科数学试卷答案
泸州市高2018级第一次教学质量诊断性考试数 学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题二、填空题13．314．215．3416．①②④三、解答题17．解：（Ⅰ）因为2()2cos 12x f x x =-+cos x x - ·················································································· 1分 2sin()6x π=-， ··················································································· 2分因为()()6f παα=+，所以sin()6παα-=， ······························· 3分1cos 2ααα-=， ························································· 4分即cos αα-=， ·········································································· 5分所以tan α=； ·············································································· 6分 （Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象，所以函数()g x 的解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-， ······························ 8分因02x π≤≤，所以52666x πππ--≤≤， ··············································· 10分所以1()2g x -≤≤， 故m 的取值范围为[1,2]-. ········································ 12分18．解：（Ⅰ）因为()sin cos f x k x kx x '=+， ··································································· 2分所以()sin cos 2222f k k k ππππ'=+⨯=， ·························································· 3分又因为()sin 2222kf k b b ππππ=⨯+=+， ························································ 4分点(,())22f ππ处的切线方程为230x y --=．所以2k =， ··························································································· 5分3b =-. ·································································································· 6分 （Ⅱ）()f x 在(0,)2π上有且只有一个零点， ························································ 7分因为()2sin 2cos f x x x x '=+， ··································································· 8分当(0,)2x π∈时，()0f x '>，······································································ 9分所以()f x 在(0,)2x π∈上为单调递增函数且图象连续不断， ····························· 10分因为(0)30f =-<，()302f ππ=->， ······················································· 11分所以()f x 在(0,)2π上有且只有一个零点． ···················································· 12分（Ⅱ）因为()2sin 2cos f x x x x '=+,设()sin cos ,g x x x x =+当(,)2x ππ∈时，()2cos sin 0g x x x x '=-<恒成立． ······································· 7分所以()g x 在(,)2ππ上单调递减， ································································ 8分又()0,()02g g ππ><，所以(,)2t ππ∃∈使得()0g t =， ····································· 9分所以()f x 在(,]2t π为单调递增函数，在[,)t π为单调递减函数， ························ 10分因为()0,()02f f ππ><， ········································································ 11分所以()f x 在(,)ππ上有且只有一个零点． ··················································· 12分19（Ⅱ）解法一：设ABD ∆的AB 边上的高为1h ，ADC ∆的AC 边上的高为2h ,因3,3,1ADC S S c b ∆===,12132h b h ⋅=⨯⋅,2h =，AD 是ABC ∆角A 的内角平分线， ········································· 8分 30=，因3ABD ADC S S ∆∆=，可知34ABD ABC S S ∆∆=， ·················································· 10分31sin 30sin 6042AB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯， =. ················································································· 12分解法二：设=(0)3BAD παα∠<<，则=3DAC πα∠-, ················································ 7分 因3,3,1ADC S S c b ∆=== 1sin 3sin()23ADb AD παα⨯⨯=⨯⨯⨯-，sin()3παα=-， ········································································ 8分 1sin 2ααα=-，所以tanα， 因0α<<30BAD =，因3ABD ADC S S ∆∆=可知34ABD ABC S S ∆∆=························································ 10分31sin 30sin 6042AB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯， ················································································ 12分,=x BDA α=∠，则=ADC πα∠-,在ABC ∆中由3,1c b ==及余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-因a = ························································································ 7分 因3ABD ADC S S ∆∆=可知3BD DC =， ········································································· 8分 在ABD ∆中2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即2639cos 16AD AD α=+⋅，··························································10分 在ADC ∆中，271cos()16AD AD πα=+⋅-， 即271cos 16AD AD α=+⋅， ···························································· 11分 所以AD ． ················································································ 12分 h 2h 1DC BA20.解：（Ⅰ）第一步：在平面ABCD 内作GH ‖BC 交CD 于点H ； ······································· 2分 第二步：在平面SCD 内作HP ‖SC 交SD 于P ； ············································· 4分 第三步：连接GP ，点P 、GP 即为所求． ······················································ 5分 （Ⅱ）解法一:因P 是SD 的中点，HP //SC ，所以H 是CD 的中点， ··························· 6分 而GH//BC ，所以G 是AB 的中点. ····················································· 7分 连,AC GD 交于O ，连SO ，设S 在底面ABCD 的射影为M ，因为SA SB SD ==，所以MA MB MD ==，即M 为ABD ∆的外心，所以M 与O 重合， ········································································· 8分因OD =，2SD =，所以SO =，23OC AC ==， 过O 作OE //GB 交BC 于E ，以,,OG OE OS 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(S B C ， ······················· 9分 所以326(,1,),(3,1,0)SB BC =-=-，设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =，则3030n SB xy n BC y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取2z =，则1,x y ==所以(1,3,n =． ···················· 10分 又GB ⊥平面SGD ，故(0,1,0)GB =为平面SGD 的法向量， ··············································· 11分 设平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小为θ，则||3cos ||||6n GB n GB θ⋅===， 因为(0,)2πθ∈，所以4πθ=. ···························································· 12分 故平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小为4π．解法二：延长,DG CB 交与I ，连接SI ，取SI 的中点K ，连接,GK BK ，因为GP //平面SBC ，平面SBC ⋂平面SGD SI =，GP ⊂平面SGD ，所以GP //SI ， ·············································································· 7分 又P 是SD 的中点，则G 是DI 的中点，故GI GD GS ==，················································ 8分 所以GK SI ⊥， 又GB ⊥平面SID ，所以BKG ∠为二面角C SID --的平面角. ··········································· 10分 在SGI ∆中，SG GI =SI =则SK =,从而1GK =， 又1GE =，BG GK ⊥，故4BKG π∠=，故平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小为4π． ·····························12分21.解：（Ⅰ）因为()[]()1ln 0,1,e f x x m x m x m x=--->∈，所以()222111m x mx f x x x x-+'=+-=,因0x >,[]1,e m ∈ ······································ 1分 所以①当240m ∆=-≤即12m ≤≤时,()f x 的增区间为()0,+∞ ， ······················ 2分 ②当240m ∆=->即2e m <≤时,方程210x mx -+=的两根为1x =，2x =，()f x 的增区间为()()120,,,x x +∞， ····························································· 4分综上① 当12m ≤≤时，()f x 的增区间为()0,∞+，②当2e m <≤时，()f x 的增区间为,⎛⎫⎪+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭， ········································································································ 5分（Ⅱ）原不等式()1ln ln m x x x x nk x+-++⇔≤. ····················································· 6分 因[]1,e m ∈,[],e 1x ∈,所以()1ln ln 1ln ln m x x x x nx x x x nxx+-+++-++≥,令()1ln ln x x x x ng x x+-++=, ··································································· 7分 即()2ln x x n g x x -+-'=，令()ln p x x x n =-+-，即()11p x x '=-+， 所以()p x 在[],e 1x ∈上递增； ···································································· 8分 ① 当()10p ≥即1n ≤时,因为[]1,e n ∈,所以1n =，当[],e 1x ∈,()0p x ≥,即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,e 上递增，所以()()min 1c g x g n ===，故22n c n +==， ··············································································· 9分 ② 当()e 0p ≤即[]e 1,e n ∈-时，因为[],e 1x ∈,()0p x ≤,即()0g x '≤，所以()g x 在[]1,e 上递减，所以()()min 2e en c g x g +===， 故212e ,e 1e ee n n c n +⎡⎤+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ························································ 10分 ③当()()1e 0p p <即()1,1n e ∈-时,又()ln p x x x n =-+-在[]1,e 上递增，所以存在唯一实数()01,e x ∈,使得()00p x =,即00ln n x x =-，则当()01,x x ∈时()0p x <，即()0g x '<，当()0,e x x ∈时()0p x >即()0g x '>， 故()g x 在()01,x x ∈上减，()0,e x x ∈上增， 所以()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x n x x x c g x g x +-++=+===. ························ 11分所以00000011ln ln n c x x x x x x +=++-=+， 设()001x x x u =+（()01,e x ∈），则()2'02001110x u x x x -=-=>， 所以()u x 在[]1,e 上递增,所以12,e e n c ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述22,e 1e n c ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦.··································································· 12分 22.解： (Ⅰ) 解法一：设曲线1C 与过极点且垂直于极轴的直线相交于异于极点的点E ，且曲线1C 上任意点F (,)ρθ，边接OF ，EF ，则OF ⊥EF ， ····································· 2分在△OEF 中，4cos()4sin 2πρθθ=-=，······················································ 4分解法二：曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ······································ 2分即2240x y y +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=； ······················································ 4分（Ⅱ）因曲线2C的参数方程为)4x ty t π⎧=⎪⎨=-⎪⎩与两坐标轴相交，所以点(2,0),(0,2)A B ， ············································································ 6分所以线段AB 极坐标方程为cos sin 20(0)2πρθρθθ+-=≤≤， ·························· 7分12||sin cos OP ρθθ==+，2||4sin OM ρθ==,sin cos 4sin 2OM OP θθθ+=⨯22sin 2sin cos θθθ=+ ··························· 8分 1cos2sin2θθ=-+)14πθ=-+， ···························· 9分 当38πθ=时取得最大值为1． ···························································· 10分23.解：(Ⅰ)由3222,ab a b =++≥ ······································································· 2分220-≥，（舍去）， ··························································· 4分 当且仅当1,2a b ==时取得“=，即k 的最小值为2． ···················································································· 5分（Ⅱ）由2k =，2()(2)2x m x x m x m -+-≥---=-， ········································· 7分因0,x R ∃∈使不等式22x m x -+-≤成立， 所以22,m -≤即222m -≤-≤， ····················································································· 9分即m 的取值范围是[0,4] ············································································· 10分。
四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试理科数学试题及答案解析
四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若21)4tan(=+πα，则αtan 的值为（ ） A ．31 B ．31- C ．3 D ．3- 2．已知集合}12|{--==x y x A ，}|{2x y y B ==，则=B A （ ）A ．)}1,1{(-B ．),0[+∞C ．)1,1(-D ．∅3．“0>x ”是“3)31(<x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为BC 的中点，F 为11C B 的中点，则异面直线AF 与E C 1所成角的正切值为（ ）A ．25 B ．32 C ．552 D ．35 5．函数||ln x x y ⋅=的大致图象是（ ）6．设b a ,是空间中不同的直线，βα,是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．α⊂b b a ,//，则α//aB ．βαβα//,,⊂⊂b a ，则b a //C ． ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂，则βα//D ．αβα⊂a ,//，则β//a7．已知函数)2sin(ϕ+=x y 在6π=x 处取得最大值，则函数)2cos(ϕ+=x y 的图象（ ） A ．关于点)0,6(π对称 B ．关于点)0,3(π对称 C ．关于直线6π=x 对称 D ．关于直线3π=x 对称8．如图，CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A 处时测得点D 的仰角为030，行驶300m 后到达B 处，此时测得点C 在点B 的正北方向上，且测得点D 的仰角为045，则此山的高=CD （ ）A ．m 3150B ．m 275C ．m 2150D ．m 23009．已知圆锥的高为5，底面圆的半径为5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）A ．π4B ．π36C ． π48D ．π2410．定义在R 上的函数)(x f 的导函数)('x f 无零点，且对任意R x ∈都有2))((2=+x x f f ，若函数kx x f x g -=)()(在]1,1[-上与函数)(x f 具有相同的单调性，则k 的取值范围是（ ）A ．),0[+∞B ．]3,(--∞C ．]0,(-∞D ．),3[+∞-11．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A ．62π+ B ．π+21 C ．π+32 D ．32π+ 12．函数14)2ln()(--+++-=a a x e e x x x f ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使3)(0=x f 成立，则实数a 的值为（ ）A ．2lnB ．12ln -C ． 2ln -D ．12ln --第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数)2cos(2)(x x f +=π，且31)(=-a f ，则)(a f 的值为 ． 14．设函数⎩⎨⎧>+≤<+=2,1220,4log )(2x x x x f x ，若9)(=a f ，则a 的值为 ． 15．已知函数)212()(xx x x f -=，若)()1(x f x f >-，则x 的取值范围是 ． 16．一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数a x x x x f +-=2cos cos sin )(的最大值为22. （1）求a 的值；（2）若方程01)(=++m x f 在]2417,4[ππ内有两个零点，求m 的取值范围. 18．设)2cos()(x ae x f x π-=，其中0>a .（1）求证：曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线过定点；（2）若函数)(x f 在)1,1(-上存在唯一极值，求正数a 的取值范围.19．如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，)sin(2sin B A A +=，它的面积21675c S =.（1）求B sin 的值；（2）若D 是BC 边上的一点，43cos =∠ADB ，求DCBD 的值. 20．如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是梯形，DC AB //，090=∠ABC ，SD AD =，AB CD BC 21==，侧面⊥SAD 底面ABCD .（1）求证：平面⊥SBD 平面SAD ；（2）若SD 与底面ABCD 所成角为060，求二面角D SB C --的余弦值.21．已知函数)0(ln 21)(2>+-=a x a ax x x f . （1）讨论)(x f 的单调性；（2）当1=a 时，若方程)2(21)(2-<+=m m x x f 有两个相异实根21,x x ，且21x x <，证明：2221<x x . 选做题：22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为3)3cos(=+πθρ，曲线C 的极坐标方程为)0(cos 4>=a a θρ. （1）设t 为参数，若t y 2132+-=，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于Q P ,，设)32,0(-M ，且||||||2MQ MP PQ =，求实数a 的值.23.已知函数|2||3|)(x x a x f +--=.（1）若2=a ，解不等式3)(≤x f ；（2）若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：BBACD 6-10：DACBA 11、12：CD二、填空题13．31- 14．3 15．)21,(-∞ 16．)5,1( 三、解答题17．（1）a x x x x f +-=2cos cos sin )( a x x ++-=212cos 2sin 21 a x +--=21)42sin(22π 由R x ∈，得)(x f 的最大值为222122=+-a 故21=a . （2）方程01)(=++m x f 即01)42sin(22=++-m x π 所以1)42sin(22---=πx m 因为方程01)(=++m x f 在]2417,4[ππ内有两个零点,所以直线m y =与函数1)42sin(22---=πx y 的图象在]2417,4[ππ内有两个交点， 因为24174ππ≤≤x ，所以67424πππ≤-≤x ， 结合图象可得m 的取值范围是]23,221[---. 18.证明：（1）因为)2sin(2)('x ae x f x ππ+=所以a f =)0('，又1)0(-=a f ，所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为ax a y =--)1(，即1)1(-+=x a y ，所以曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线过定点)1,1(--.（2）因为)2sin(2)('x ae x f x ππ+=，当0>a ，函数x ae y =与)2sin(2x y ππ=在)1,1(-上都是增函数， 所以)2sin(2)('x ae x f x ππ+=在)1,1(-上是增函数，因为函数)(x f 在)0,1(-上存在唯一极值，所以⎩⎨⎧><-0)1('0)1('f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-+-02sin 20)2sin(21ππππae ae 所以22ππe a e <<- 所以正数a 的取值范围是)2,0(πe . 19、(1)因为)sin(2sin B A A +=，所以C A sin 2sin =，由正弦定理得c a 2=， 因为221675sin sin 21c B c B ac S === 所以1675sin =B（2）因为43cos =∠ADB ，所以47sin =∠ADB ， 在ABD ∆中，由正弦定理得ADB AB B AD ∠=sin sin ， 所以c AD 45= 由余弦定理得43452)45(222⨯⨯⨯-+=BD c BD c c ， 所以c BD 23=或c 83， 因为D 是BC 边上的一点，所以c BD 23=， 因为c a 2=，所以c CD 21=， 所以3=DCBD . 20、（1）因为090=∠ABC ，CD BC =，所以045=∠CBD ，BCD ∆是等腰直角三角形， 故CB BD 2=， 因为BD AB 2=，045=∠ABD ，所以ABD ∆∽BCD ∆，090=∠ADB ，即AD BD ⊥，因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，交线为AD ，所以⊥BD 平面SAD ，所以平面⊥SBD 平面SAD .（2）过点S 作AD SE ⊥交AD 的延长线于点E ，因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，所以⊥SE 底面ABCD ，所以SDE ∠是底面SD 与底面ABCD 所成的角，即060=∠SDE ，过点D 在平面SAD 内作AD DF ⊥，因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，所以⊥DF 底面ABCD ，如图建立空间直角坐标系xyz D -，设1==CD BC ，)26,0,22(),0,22,22(),0,2,0(--S C B ， 则)26,2,22(),0,2,0(--==BS DB ，)0,22,22(--=， 设),,(z y x =是平面SBD 法向量， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=02622202z y x y 取)0,0,3(=， 设),,(z y x n =是平面SBC 的法向量， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=--02622202222z y x y x 取)1,3,3(--=n ，771)3()3(1)3(2|||||,cos |222=+-+⋅+==><n m 所以二面角D SB C --的余弦值为77. 21、（1）因为)(1)('2a ax x xx a a x x f +-=+-=， 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，因为0>a ，当042≤-=∆a a ，即40≤<a 时，)('x f 对0>x 恒成立所以)(x f 在),0(+∞上是增函数，当042>-=∆a a ，即4>a 时，由0)('>x f 得2402a a a x --<<或242a a a x -+>， 则)(x f 在)24,0(2a a a --，),24(2+∞-+a a a 上递增 在)24,24(22a a a a a a -+--上递减； （2）设)2(21)(2-<+=m m x x f 的两个相异实根分别为21,x x ，满足0ln =--m x x ， 且1,1021><<x x ，0ln ln 2211=--=--m x x m x x令x x x g -=ln )(的导函数11)('-=x x g ， 所以)(x g 在),1(+∞上递减由题意可知22ln 2ln 11-<-<=-m x x ，故21>x ，所以12,0221<<x x ， 令m x x x h --=ln )(，)22(ln )(ln )2()(222222222x x x x x h x h ---=- 2ln ln 322222-++-=x x x 令)2(2ln ln 32)(2>-++-=t t t t t F ， 则323)1()2(341)('tt t t t t F +-=+--=， 当2>t 时，0)('<t F ，所以)(t F 是减函数， 所以0232ln 2)2()(<-=<F t F ， 所以当21>x 时，0)2()(221<-x h x h ， 因为12,0221<<x x ，)(x h 在)1,0(上单调递增，所以2212x x <，故2221<x x ， 综上所述，2221<x x .22、（1）直线l 的极坐标方程为3)3cos(=+πθρ 所以3sin 23cos 21=-θρθρ，即32321=-y x 因为t 为参数，若t y 2132+-=，代入上式得t x 23=， 所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==t y t x 213223（t 为参数）（2）由)0(cos 4>=a a θρ，得)0(cos 42>=a a θρρ 由θρθρsin ,cos ==y x 代入，得)0(422>=+a ax y x 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立 得012)1(322=++-t a t （*）04)1(124)]1(32[22>-+=⨯-+=∆a a12),1(322121=+=+t t a t t ，设点Q P ,分别对应参数21,t t 恰为上述方程的根则||||,||,||2121t t PQ t MQ t MP -===，由题设得21221||t t t t =-， 则有060)]1(32[2=-+a ，得15-=a 或15--=a 因为0>a ，所以15-=a .23.解：（1）不等式3)(≤x f 可化为3|2||32|≥+--x x ，则- 11 - ⎩⎨⎧≤++--≤32322x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤<-3232322x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--->322332x x x 解得2743≤≤-x ， 所以不等式3)(≤x f 的解集为}2743|{≤≤-x x . （2）不等式|2|41)(x a x f +--≤等价于a x x a -≤++-|2|3|3| 即a x x a -≤++-1|2|3|3|，因为|6||363||36||3||2|3|3|+=++-≥++-=++-a x x a x x a x x a 若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立， 则a a -≤+1|6|， 解得25-≤a ， 实数a 的取值范围是]25,(--∞.。
2017-2018年高三数学质检一理科试题及答案
2017-2018年质检一理科答案一.选择题DBDDB CBACB BA二.填空题13. -1 14.12 15.2053π16. 3三.解答题17. 解:（Ⅰ）由1112n n n n n a a n +++=+可得1112n nn a an n +=++………2分1111,,1,1,2nn n n n a b b b a b n +=∴-=== 又由得………4分累加法可得：()()()21321121111222n n n b b b b b b ---+-++-=+++化简并代入11b =得：1122n n b -=-；………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知122n n n a n -=-，设数列12n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T则 01211232222n n n T -=++++ ①123112322222n n nT =++++ ②①-②……………………8分0012111111111221222222212222422n n n n nn n n n nT n n T ---=+++-=--++=-∴=-………10分18. 解（Ⅰ）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯= 解得 0.008m = ……… 3分950.004101050.012101150.024101250.04101350.012101450.00810x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯121.8= ……… 6分（Ⅱ）成绩在[)130,140的同学人数为6，,在[]140,150的同学人数为4，从而ξ的可能取值为0,1,2，3，()0346310106C C P C ξ===， ()1246310112C C P C ξ=== ()21463103210C C P C ξ=== ()30463101330C C P C ξ===ξ……… 10分113160123.6210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……… 12分 19. （Ⅰ）证明：由题知四边形ABCD 为正方形∴AB//CD ，又CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD∴AB//平面PCD又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面PCD=EF∴EF // AB ，又AB//CD∴EF //CD ， ………………2分由S △PEF ：S 四边形CDEF =1:3知E 、F 分别为PC 、PD 的中点连接BD 交AC 与G ，则G 为BD 中点，在△PBD 中FG 为中位线，∴ EG//PB ………………4分∵ EG//PB ，EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴PB//平面ACE. ………………6分（Ⅱ）∵底面ABCD 为正方形，且PA ⊥底面ABCD ，∴PA 、AB 、AD 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz ，设AB=AD=2a ，AP=2b ，则A （0，0，0），D （0，2a ，0），C （2a ，2a ，0）G （a ，a ，0），P （0，0，2b ），F （a ，a ，b ），∵PA ⊥底面ABCD ，DG ⊂底面ABCD ，∴DG ⊥PA ，∵四边形ABCD 为正方形∴AC ⊥BD,即DG ⊥AC ，AC ∩PA=A∴DG ⊥平面CAF ，∴平面CAF 的一个法向量为(,,0)DG a a =- ………………8分设平面AFD 的一个法向量为(,,)m x y z = 而(0,2,0),(,,)AD a AF a a b ==由00m AD m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得02000x a yz ax ay bz ⋅+⋅+⋅=⎧⎨++=⎩取z a =-可得 (,0,)m b a =- 为平面AED 的一个法向量，………………10分设二面角C —AF —D 的大小为θ则cos ||||||DGm DG m θ⋅===⋅ 得3b a = 又2,2,PA b AB a == ∴λ=∴当二面角C —AF —D的余弦值为53λ=. ………………12分20.解：（Ⅰ）设1AF 的中点为M ，在三角形21F AF 中，由中位线得：11221)2(2121AF a AF a AF OM -=-== ……………3分当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即1213AF OM -=所以3=a ，椭圆长轴长为6. ……………5分（Ⅱ）由已知1=b ，,22=c 3=a ，所以椭圆方程为1922=+y x当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为：)22(+=x k y设),(),,(A 2211y x B y x 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(9922x k y y x 得0972236)19(2222=-+++k x k x k0>∆∴恒成立192362221+-=+∴k k x x 199722221+-=k k x x ……………7分19)22)(22(2221221+-=++=k k x x k y y设)0,(0x T212002121)(y y x x x x x x TB TA +++-=⋅199)712369(2202020+-+++=k x k x x……………9分 当)9(971236920020-=++x x x 即92190-=x 时⋅为定值817920-=-x……………11分当直线AB 斜率不存在时，不妨设)31,22(),31,22(---B A 当)0,9219(-T 时81731923192-=-⋅=⋅），（），（TB TA ，为定值综上：在X 轴上存在定点)0,9219(-T ，使得⋅为定值817-……………12分 21.解：（Ⅰ）若1=a ，则)12(2)(--=x xe x f x ，当0=x 时，2)(=x f ，4)('-+=x x e xe x f ，当0=x 时，3)('-=x f ，所以所求切线方程为23+-=x y 。
2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学(理科)答案 (校对版)
肇庆市中小学教学质量评估 2018届高中毕业班第一次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13． 0.8413 14． 120- 15． 22π+ 16． 1700三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 满意度评分的众数=6070652+= （2分） 因为()()0.010.02100.30.5,0.010.020.03100.60.5+⨯=<++⨯=>，所以满意度评分的中位数在[60,70)之间，设中位数为a ，则()600.030.50.3a -⨯=-，得66.7a ≈ （5分） （Ⅱ）（9分）()22802430101610.03 6.63540403446K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， （11分）所以有99.9%的把握认为用户满意度与地区有关. （12分）（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取VD 的中点F ，连接,EF AF . （1分）在VCD ∆中，EF 是中位线，所以1//2EF CD ， （2分）又1//2AB CD ，所以//EF AB ， （3分） 所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF . （4分） 又,BE VAD AF VAD ⊄⊂面面，所以//BE VAD 面. （6分） （Ⅱ）因为//,AB CD CD VD ⊥，所以AB VD ⊥， （8分） 又因为AB VA ⊥，VA VD V =，,VA VD 都在VAD 面内，所以AB VAD ⊥面. （10分） 又AB ABCD ⊂面，所以面ABCD ⊥VAD 面. （12分）（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“小王恰好抽奖3次停止”为事件A ，则()1123223515C C A P A A ==. （4分） （2）X 可取200，300，400，500 （5分）()2225120010A P X A ===，()()1123223513005C C A P X P A A ====， （7分） ()21332345340010C C A P A ==，()3143245525005C C A P A ==. （9分） X 的分布列如下表200300400500400105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （12分）（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取AD 的中点E ，连接,SE BE . （1分） 因为SA SD =，所以AD SE ⊥. （2分） 在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，所以ABD ∆是等边三角形，所以AD BE ⊥. （3分） 又因为,,SEBE E SE SBE BE SBE =⊂⊂面面，所以AD SBE ⊥面. （5分）因为BS SBE ⊂面，所以AD BS ⊥. （6分）（Ⅱ）因为ABD ∆和ASD ∆是等边三角形，经计算，22SE BE ==. （7分） 由（Ⅰ）知，SEB ∠是二面角S AD B --的平面角， （8分）222cos 27SE BE SB SEB SE SB +-∠==-， （11分） 所以二面角S AD B --的余弦值为. （12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt BEC ∆中，03cos302CE CB ==，12AE AC CE =-=，03sin 30BE CB ==由tan BEBAC AE∠==，得060BAC ∠= 0000180603090ABC ∠=--=，即BC AB ⊥. （1分）又因为PAB ABC ⊥面面，PABABC AB =面面，BC ABC ⊂面所以BC PAB ⊥面，所以BC PA ⊥ （3分） 由BE AC ⊥，同理可得BE PA ⊥，又BEBC B =，所以PA ABC ⊥面. （4分）（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则10,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0C ，()0,0,1P，3,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,1CP =-. （5分） 设(),,n x y z =是面PBC 的一个法向量，则00BC n PC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30220y y z ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，方程组的一组解为12x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即()3,1,2n = （7分）设()01CF CP λλ=≤≤则AF AC AP AC λλ-=-， 即()1AF AP AC λλ=+-=()022,λλ-，，30,2,2EF AF AE λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（8分）依题意有385cos ,68EF n EF n EF n==，得1=10λ或11=10λ（舍去） （10分）则有410,,510F ⎛⎫⎪⎝⎭，即三棱锥F CBE -的高为110，（11分） 113132210F CBE V -=⨯⨯=（12分）（22）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）24cos ,4cos ρθρρθ=∴=， （1分）由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=. （3分）所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （4分）（Ⅱ）把 1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y x +=，整理得26cos 50t t α-+= （5分）设其两根分别为 12,t t ，则12126cos ,5,t t t t α+==（6分）12PQ t t ∴=-===（7分）得cos 2α=±，566ππα=或，（9分）所以直线l 的斜率为 （10分）（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当2x ≥时，125,x x ++-≤ ∴3x ≤，∴23x ≤≤； （1分） 当12x -<<时，125,x x +-+≤∴12x -<<； （2分） 当1x ≤-时，125,x x ---+≤∴2x ≥-，∴21x -≤≤- （3分） 综上所述，23x -≤≤，即不等式()5f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤. （4分） （Ⅱ）当[]0,2x ∈时，()123f x x x =+-+=， （5分）()22f x x x m ≥-++ ，即232x x m ≥-++，即2230x x m --+≥. （6分）也就是 ()2120x m --+≥，在[]0,2x ∈恒成立， （7分） 当1x =时，()212x m --+取得最小值2m -， （8分） 由20m -≥，得2m ≤，即m 的取值范围是{|2}m m ≤. （10分）。
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泸州市2017-2018届高三第一次教学教学质量诊断性考试
数学（理工类）
一、选择题：本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U M N ð=
A ．{5，7}
B ．{2，4}
C ．{1，3，5，6，7}
D ．{2，4，8}
2. 下列命题中的假命题是
A ．x ∀∈R ，1
20x -> B ．x *
∀∈N ，2(1)0x -> C ．x ∃∈R ，lg 1x < D ．x ∃∈R ，tan 2x =
3. 1
2lg 2lg
25
-的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4.函数()2
11sin f x x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
5．△ABC 中，若 2AD DB = ，13
CD CA CB λ=+
，则λ=
A ．13
B ．23
C ．23-
D ．13
-
6．将函数()()sin 2f x x θ=+（其中22
ππ
θ-<<）的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()(),f x g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝
⎭
，则的
值可以是
A ．53π
B ．6π
C ．2
π
D ．56π
7．设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是
递增数列”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 8． 若曲线()1
2
f x x =在点()(),a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =
A. 64
B. 32
C. 16
D. 8
9．一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4
人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是 A ．1025 B ．1035 C ．1045 D ．1055
10．定义在R 上的函数()f x 满
足
()22
1,
11(4)(),()log 22,1 3.x x f x f x f x x x ⎧-+-⎪+==⎨
--+<⎪⎩≤≤≤，若关于x 的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是
A ．11(,)43
B ．11(,)64
C
．1
(16)6
-
D
．1(,86
-
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．复数22(56)(215)i m m m m +++--（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为 ．
12．等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ． 13．函数
()log a f x x
=（其中01a <<），则使
314f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
成立的a 的取值范围
是 ．
14. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意
[],2x a a ∈+，不等式()()31f x a f x +≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 . 15．已知集合()()()()(){}2
2|,A f x f
x f y f x y f x y x y R =-=+-∈，有下列命题；①若
()1,01
x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩，则()f x A ∈；②若()f x kx =，则()f x A ∈；③若()f x A ∈，则()
y f x =可为奇函数；④若()f x A ∈，则对任意不等实数1
2
,x x ，总有()()
1
2
1
2
f x f x x x
-<-成立。
其中所有正确命题的序号是 (填上所有正确命
题的序号)
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤． 16．（本小满分12分）
在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学
的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．
（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；
（Ⅱ）现从80分以上的样本中随机抽出2名
同学的成绩，设选出同学的分数为90分以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值。
17．（本小满分12分）（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，设S 为ABC V 的面积，满足：)
2
224S a
b c +-。
（Ⅰ）求角C 的大小。
（Ⅱ）若tan 21tan A c
B b
+=，且8AB BC =-uu u r uu u r
g ，求c 的值。
18. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36a =，10110S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 前n 项和为n T ，且1n
a n T =-， 令()n n n c a
b n N +=∈，求数列{}n
c 的前n 项和n
R
19．（本小满分12分） 已知函数321
()43sin 32
f x x x θ=-+
，其中x ∈R ，(0,)θπ∈．
(Ⅰ)若函数()f x 的导函数()f x '的最小值为34
-，试判断函数()f x 的
零点个数，并说明理由；
(Ⅱ)若函数()f x 的极小值大于零，求θ的取值范围．
20．（本小满分12分）
设平面向量
),2cos )x x =a ，
(2sin ,cos )
2x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
b ，已知函数
()f x m =⋅+a b 在[0,]2
π
上的最大值为
6．
（Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）若0014(),,2
5
42f x x πππ⎡⎤
+=∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值．
21. （本小满分14分）
已知函数()(1)ln 15a f x x a x a x
=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =--++--，
其中0a <且1a ≠-．
(Ⅰ) 当2a =-，求函数()f x 的单调递增区间；
(Ⅱ) 若1x =-时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；
（Ⅲ）设函数()()()661,1,
()(),
1.x
F x x a x e x g x e f x x ⎧-+-⎪=⎨>⎪⎩≤g g （e 是自然对数的底数），
是否存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，若存在，求实数a 的范围；若不存在，请说明理由。