(新课标版)备战2018高考数学二轮复习方法3.1选择题的解法教学案

方法3.1 选择题的解法高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨妨疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做． 【方法要点展示】 方法一 直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1【河北省邢台市2018届期末】过圆()227:19P x y ++=的圆心P 的直线与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，且3PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ）思路分析：圆上的点到定点的距离最值问题可以转为圆心到定点的距离. 【答案】D例2 【安徽省马鞍山市2018届期末】已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b +=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =，设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D例3已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若236 a a a ，，成等比数列，且1017a =-，则2nn S 的最小值是（ ）A ．12-B ．58- C.38- D ．1532-思路分析：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：先研究数列的单调性，可以用11n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩或11n n n n a a a a +-≤⎧⎨≤⎩也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解. 【答案】A【解析】()()()21111101252 917a d a d a d d a a a d +=++⇒=-=+=-，，∴1 1 2a d ==-，，22n S n n =-，1122n n n n S S ++>，1122n n n n S S -->，4n =时，122n nS =-最小.选A. 【规律总结】直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错． 【举一反三】1. 【辽宁省丹东市2018届期末】若函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间00,3x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和07π2,6x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上都是单调递增函数，则实数0x 的取值范围为A. ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. π3π,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得36k x k ππππ-≤≤+，在原点附近的递增区间为,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因此0036{ 223x x ππ≤≥，解得032x ππ≤≤，故选B. 2. 【福建省漳州市2018届1月】已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)为减函数，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为( )A. 541|216x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B. 13| 2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭54113| 2162x x x ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或【答案】C方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例4 已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 思路分析：利用()2f x x =-，显然符合条件，由3x -的单调性即可求得结论.【答案】B例5 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ） （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 点评：立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解． 例6 函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <思路分析：利用()()2ax bf x x c +=+，利用特点验证法即可求得结论.【答案】C 【解析】由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0bf c=>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C. 【规律总结】特例法是解答选择题最常用的基本方法．特例法适用的范围很广，只要正确选择一些特殊的数字或图形必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用特例法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在特值有代表性的基础上的，否则会因考虑不全面而得不到正确的答案． 【举一反三】1. 【安徽省蚌埠市2018届第一次质量检查】已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“”中应填的执行语句是（ ）A. 2018n i =-B. 2017n i =-C. 2018n i =+D. 2017n i =+ 【答案】A2. 【湖北省武汉市武昌区2018届元月调研】 已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上， PF x⊥轴（其中F 为双曲线的焦点），点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为【答案】A方法三 排除法(筛选法)数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．例7【福建省闽侯县2018届期末】下列四个图中，函数ln 11x y x +=+的图象可能是（ ）A ． B. C. D. 【答案】C【解析】当ln 10x +=时， 0x =或2x =-，由此排除,A B 两个选项.注意到当1000x =-时，函数值小于零，故排除D 选项.由此得到答案为C 选项.例8【湖南省常德市2018届期末】已知函数()()()log ,,xna f x x g x a p x x ===（其中0,1n a >>），则下列选项正确的是（ ）A. 0x ∀>，都有log x n a a x x >>B. 00x ∃>，当0x x >时，都有log x n a a x x >>C. 0x ∀>，都有log n x a x a x >>D. 00x ∃>，当0x x >时，都有log n x a x a x >> 【答案】B【解析】因为当x →+∞时， log x n a a x x >>，所以舍去C,D ，因为3223< ，所以A 错，选B.例9【2018北京大兴联考】下列函数中，既是偶函数又有零点的是 A. 12y x = B. tan y x = C. e e x xy -=+ D. ln y x =【答案】D【解析】因为12y x =是非奇非偶函数、tan y x =为奇函数，故排除选项A 、B ， e e xxy -=+为偶函数，但无零点，故排除选项C ， ln y x =为偶函数，且存在零点1；故选D.【规律总结】排除法(筛选法)是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要知道选项中的部分答案的知识必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．排除法(筛选法)的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握一定“三基”的基础上的，否则也是无法准确地得到正确答案．【举一反三】1.函数223xx xy e-=的图象大致是（ ）【答案】A2.下列四个命题中正确的命题序号是 （ ）①向量,a b 共线的充分必要条件是存在唯一实数λ，使a b λ=成立. ②函数11()()y f x y f x =-=-与的图像关于直线1x =对称.③sin cos 2([0,])y y θθθπ-=∈成立的充分必要条件是|2|y ≤④已知U 为全集，则x A B ∉的充分条件是()()U U x C A C B ∈.A ．②④B ．①②C ．①③D ．③④【答案】D【解析】由①命题成立还要一个条件0b ≠.所以排除B,C 选项. ②命题中函数(1)y f x =-的图像是根据函数()y f x =图像向右平移1个单位得到，而函数(1)y f x =-的图像是通过函数()y f x =-图像即函数()y f x =图像关于y 轴对称的图像向右平移一个单位得到.所以②正确.故选择A.方法四 图解法(数形结合法)在解答选择题的过程中，可先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合 图象的特征，得出结论，习惯上也叫数形结合法． 例10【2018南宁摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】D例11【2018河南天一联考】已知实数满足若的最大值为10，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】作可行域，则直线过点(3,4)时取最大值，由得，选B.例12 已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．4分析：根据题意作出()f x 和()g x 的图像，问题转化为两个函数的交点问题即可. 【答案】C【规律总结】图解法(数形结合法)是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要把握图形的性质必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用图解法(数形结合法)的方法巧解选择题，是建立在扎实函数图像的基础上的，否则会因为图像的把握不准而不能得到正确的结论． 【举一反三】1. 【2018云南昆明一中摸底】一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于2的正方形，这个几何体的表面积为（ ）A. 16+16+20+20+【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方形的内部挖去一个底面为边长为2的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为， 215242202S =⨯+⨯⨯=+ D.2.设定义域为R的函数|1|251,0,()44,0x xf xx x x-⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x的方程22()(21)()0f x m f x m-++=有7个不同的实数解，则m=（）A．6 B．4或6 C．6或2 D．2【答案】D方法五估算法选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.例13已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是( )A.169π B.83π C.4π D.649π【答案】D例14 在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1【答案】B【解析】满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上.事件“x ＋y ≥12”对应的图形如图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分.对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.【规律总结】1.“估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义.2.在选择题中作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项.对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”.【举一反三】1．设M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A.34B.1C.74D.2【答案】 C【解析】如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故C 项满足.答案 C2．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为()A.92 B ．5 C ．6 D.152【答案】：D方法六 概念辨析法概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选出正确结论的方法.这类题目一般是给出的一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心.例15 【2018湖南株洲两校联考】设函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足条件：存在[a ，b ]⊆D （a＜b ），使f （x ）在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”，若函数()()24x f x log t =+为“优美函数”，则t 的取值范围是（ ） A. 1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】()()24x f x log t =+为增函数，存在[](),a b D a b ⊆<,使()f x 在[],a b 上的值域也为[],a b ，则()()22log 4{ log 4a b t at b +=+=，即42{ 42a a b b t t +=+=，,a b ∴是方程420x x t -+=的两个不等的根，设2x m =，20m m t ∴-+=有两个不等的实根，且两根都大于0，140{0t t =->∴>，解得104t <<，故答案选D 【规律总结】1.创新命题是新课标高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本例中的“优美函数”，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题.2.解决该类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决.【举一反三】【安徽省马鞍山市2018届期末联考】若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体()1,2,3,4k k k k A B C D k =，记k k k ABC 的三个内角分别为k A ， k B ， k C ，其中一定不是“完美四面体”的为( )A. 111::3:5:7A B C =B. 222sin :sin :sin 3:5:7A B C =C. 333cos :cos :cos 3:5:7A B C =D. 444tan :tan :tan 3:5:7A B C =【答案】B从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的，所以解题可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因；另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大做，真正做到准确和快速.总之，解答选择题既要用各类常规题的解题思想原则来指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选项的暗示，迅速地做出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.。