2018届二轮复习 主题六 科技创新与教育发展 学案
学案1：2.2 创新永无止境
创新永无止境【学习目标】1、重点识记建设创新型国家和科技创新的作用2、大力发展教育的重要性3、大众创业，万众创新4、企业是社会创新的主要力量和知识产权的作用【学习重难点】重点：建设创新型国家的原因和做法难点：充分认识教育的重要性；全面认识万众创新【学习内容】一、自主学习（一）温故知新1.我国实施创新驱动战略的必要性？2.新时代如何发扬改革创新精神？（二）设问导读第一目创新强国阅读P20-P24的正文，回答下列问题：★1．我国的科技现状？（科技成就和不足？）★2.如何建设创新型国家？（3点）★3.教育的重要性？第二目万众创新阅读P24-P28的正文，回答下列问题：1.我国为什么鼓励万众创新？2.创新精神表现在哪些方面？3.怎样对待知识产权？二、合作探究材料呈现：在2018年1月23日召开的2018年全国教育工作会议上，教育部部长陈宝生在详尽列举十八大以来中国教育事业发展成就之后强调，“我国教育整体大踏步前进，但局部差距依然存在；人民群众总体受教育机会大幅提升，但个性化、多样化需求仍未有效满足；目前我们人才总供给能力显著增强，但结构性矛盾尚未解决……解决教育发展不平衡不充分的问题，将是我们长期要面对的工作主题。
”思考：（1）我国教育整体大踏步前进，取得了哪些成就？（2）为什么要把解决教育发展不平衡不充分的问题作为长期面对的工作主题？【学习小结】创新永无止境创新强国中国科技创新之路任重道远落实科教兴国战略建设创新型国家的措施万众创新大众创业、万众创新的理念深入人心企业是社会创新的重要力量时代需要弘扬创新精神保护知识产权创新的目的【达标检测】1．我国科技面临的问题是（）①科技能力不强②科技发展总体水平不高③尖端技术还比较落后④科技对经济增长贡献率低于发达国家水平A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③2．人们日常用的圆珠笔，笔尖上的球座体直径2.3毫米。
由干我国无法炼出“笔尖钢”，所以，长期以来，无论是生产设备还是原材料全部需要进口，中国每年生产380亿支笔，需要每吨12万元的高价生产笔尖的钢材，付出外汇1500万美元。
科技创新专题复习
《科技创新专题复习》教学设计一、教学分析1．教学内容分析科技对经济发展的支撑引领作用日益凸显，国际金融危机加快催生重大科技变革的步伐，科技全球化的广度和深度迅速拓展，全球进入空前的创新密集和产业变革时代。
在我国，从当前的教育改革与创新，到国家的科教兴国战略和人才强国战略的实施，从各地区的科技成果展示到国家年度科技奖励大会，无不展示出我国对科技的重视，因此，本专题是中考的一个热点专题，也是初中学段思想品德课的主要知识点之一。
2．教学对象分析九年级学生学习积极性还是比较强的，但是还存在着偏科的现象，不是太重视思想品德学科，错误的认为品德课开卷考试，无须读背，还没有重视起来，大多数学生抱有突击思想品德的思想，认识不够到位。
3．教学环境分析班班通网，班班通白板，信息化设备比较健全。
学校的图书室、电子书包室、多媒体白板教室设备完善。
二、教学目标1.情感态度价值观目标：培养自身的创新精神2. 能力目标：提高科技创新能力3. 知识目标：了解我国在科技、教育发展方面的成就; 理解实施科教兴国战略的现实意义;感受科技创新、教育创新的必要性;三、教学重点、难点教学重点：科教兴国战略和人才强国战略。
教学难点：青少年培养自己的创新精神和创新能力。
四、教学过程（一）教学流程根据本节课是九年级学生即将面临中考的专题复习课的特点，我主要依据思品复习课的综合性和时政性这两点进行具体的教学流程的设计，并针对白板课的教学要求，尽可能的在每个教学环节中更多的使用白板的具体工具的操作。
教学流程主要为几下几个环节：1、宁夏思品中考命题能力考核目标与要求。
本环节让学生精准了解宁夏思品中考命题的方向2、课标要求：科技与创新具体的课表要求及对学生各种能力的要求，做到知己知彼，有的放矢的复习策略。
3、相关知识梳理4、近几年中考题再现5、中考预测6、实战演练（二）教学过程设计根据本节课是九年级学生即将面临中考的专题复习课的特点，我主要依据思品复习课的综合性和时政性这两点进行具体的教学流程的设计，并针对白板课的教学要求，尽可能的在每个教学环节中更多的使用白板的具体工具的操作。
2018届高中数学高考二轮复习创新题解题策略教案含答案(全国通用)
教学过程一、考纲解读高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展. 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.创新题具有以下特点：一是立意的鲜明性；二是背景的深刻性；三是情境的新颖性；四是设问的巧妙性二、复习预习创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.三、例题精析例1 [2014全国1卷] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 【规范解答】解法：填A∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B 城市，乙说：我没去过C 城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B ，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ。
【总结与反思】 本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A ，B 中的一个，再由丙即可推出结论。
科技与创新主题教案
科技与创新主题教案篇一：科技主题班会教案一、班会目的：通过开展本次活动，开阔学生的视野，增强他们的动手能力，使学生在活动中了解科学技术具有为人类造福的无穷力量，掌握基本的自然科学知识，进一步激发学生的求知欲和对科学技术的热爱之情。
二、班会准备：为了精心搞好这次科普知识班队会会，活动前应该精心做好各项准备工作。
（1）活动前，班级组织了一个筹委会，人员由班主任、班干部组成，对科普知识班队会的形式、程序、活动场地、器材的安排等作些计划，大家商定后就按计划筹备。
（2）动员学生通过各种媒体，如报刊资料、电视、网络等媒体收集有关科普知识、科学趣闻、最新科技成果等，并分门别类做好笔记，个人收集的资料精心整理后再与全班同学交流，以提高资料的利用价值。
（3）本次班队会在多媒体教室举行，课前准备课件及其他资料。
（4）挑选主持人。
班队会主持人从中队挑选合适人员担当，主持人要对科普知识感兴趣，并且对科普知识比较了解，同时还要落落大方，具有当主持人的基本技能。
三、活动过程：（l）班主任宣布科普知识班队会开始，并介绍本次班队会的主题。
（2）主持人介绍本次科技班队会的形式及主要程序。
同学们，科技知识无所不在，我们的学习、生活处处离不开科技。
我们的社会之所以能不断前进，就是因为科技在进步。
人类追求科学的脚步从未停止过。
今天，我们就一起来聊聊生活、学习中的科技，看谁准备的资料丰富，看谁对科技最感兴趣。
最后，我们将评选三名“小科技迷”和三名“未来科学家”。
我们先请几位同学和我们聊聊最近的科技新闻。
（3——5名学生介绍）（3）刚才他们介绍的这些新兴的科技把我们带入了一个神奇的世界。
这其中有不少都是高、新、尖科技，我们少先队员不仅要了解这些最新的科技成果，对一些基本的科技常识、科技知识也要有所了解，下面就请几位同学来介绍。
（学生介绍）（4）同学们，你们知道吗，在科学发展史上还有许多趣闻呢，科技也有许多有趣的现象，而且这些有趣的现象就发生在我们身边，你听。
2018年高考文科数学二轮创新专题复习教学案：第一部分
[研高考·明考点]第一讲 小题考法——函数的图象与性质[典例感悟][典例] (1)(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．[解析] (1)∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.(2)由题意知，当x ≤0时，原不等式可化为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0；当0<x ≤12时，原不等式可化为2x ＋x ＋12>1，显然成立；当x >12时，原不等式可化为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. [答案] (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ [方法技巧]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略[演练冲关]1．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫43的值为( ) A ．－1 B ．1C.32D.52解析：选B 依题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋2＝1，故选B.2．(2017·山东高考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1≥1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎫1a ＝6.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.[典例感悟][典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )[解析] (1)令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2. ∵22<1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2<f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B. [答案] (1)C (2)B[方法技巧]由函数解析式识别函数图象的策略[演练冲关]1．(2017·惠州调研)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D. 法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx 2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin x x2＞0，故排除选项A 、C.故选D.3.如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B 如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α. 在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1.又0≤t ≤1，故选B.[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m(2)(2017·成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258(3)(2017·四川模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足下列三个条件： ①对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )； ②对任意的0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)； ③f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是________．(用“<”连接)[解析] (1)因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m .(2)由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123＝18.(3)由①可知，f (x )是一个周期为4的函数；由②可知，f (x )在[0,2]上是增函数；由③可知，f (x )的图象关于直线x ＝2对称．故f (4.5)＝f (0.5)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)，f (0.5)<f (1)<f (1.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．[答案] (1)B (2)B (3)f (4.5)<f (7)<f (6.5)[方法技巧] 函数3个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[演练冲关]1．(2018届高三·湖北七市(州)联考)函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，函数y ＝g (x )为 R 上的奇函数，f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，则g (x )可以是( )A ．4tan πx8B ．－4sin πx2C ．4sin πx4D ．－4sinπx 4解析：选D ∵f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，∴g (2)＝－4.而4tan 2π8＝4tan π4＝4，－4sin 2π2＝－4sin π＝0,4sin 2π4＝4sin π2＝4，－4sin 2π4＝－4，∴y ＝g (x )可以是g (x )＝－4sin πx 4，经检验，选项D 符合题干条件．故选D.2．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧log 12⎪⎪⎪⎪12－x ，x ≠12，0，x ＝12，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A ．增函数且f (x )>0 B ．增函数且f (x )<0 C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0解析：选D 由f (x )为奇函数，f (x ＋1)＝f (－x )得，f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数．根据条件，当x ∈12，1时，f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎫x －12，x －2∈⎝⎛⎭⎫－32，－1，－(x －2)∈⎝⎛⎭⎫1，32，∴f (x )＝f (x －2)＝－f (2－x )＝log 12⎝⎛⎭⎫x －12.设2－x ＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫1，32，x ＝2－t ，∴－f (t )＝log 1232－t ，∴f (t )＝－log 12⎝⎛⎭⎫32－t ，∴f (x )＝－log 12⎝⎛⎭⎫32－x ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，可以看出当x 增大时，32－x 减小，log 12⎝⎛⎭⎫32－x 增大，f (x )减小，∴在区间⎝⎛⎭⎫1，32内，f (x )是减函数．而由1<x <32得0<32－x <12.∴log 12⎝⎛⎭⎫32－x >1，∴f (x )<0.故选D. [必备知能·自主补缺](一) 主干知识要记牢 函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．(二) 二级结论要用好1．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )为增(减)函数．(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称； f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称．(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.(6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．抽象函数的周期性与对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a.②若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a.③若函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a.(2)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．3．函数图象平移变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y ＝f(x＋c)的图象(c为常数)．(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y ＝f(x)＋b的图象(b为常数)．(三) 易错易混要明了1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[针对练1]已知f(cos x)＝sin2x，则f(x)＝________.解析：令t＝cos x，且t∈[－1,1]，则f(t)＝1－t2，t∈[－1，1]，即f(x)＝1－x2，x∈[－1,1]．答案：1－x2，x∈[－1,1]5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[针对练2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1e ＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫1e ＝ln 1e ＝－1，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e . 答案：1e[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题 1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos (6π＋x )，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.3．(2017·合肥模拟)函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是( )解析：选A 令f (x )＝4cos x －e |x |，因为f (－x )＝4cos(－x )－e |－x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，D.又f (0)＝4cos 0－e 0＝3>0，所以选项A 满足条件．故选A.4．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是()解析：选B函数f(x－1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象．因为函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称，排除A，C，D，故选B.5．(2017·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝e x＋e－x B．y＝ln(|x|＋1)C．y＝sin x|x|D．y＝x－1x解析：选D选项A，B是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；选项D中，y＝x－1x是奇函数，且y＝x和y＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．故选D.6．(2017·陕西质检)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，则f(8)＝()A．－1 B．0 C．1 D．－2解析：选B由奇函数f(x)的定义域为R，可得f(0)＝0，由f(x＋2)为偶函数，可得f(－x ＋2)＝f(x＋2)，故f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[－(x＋2)＋2]＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以f(8)＝f(0)＝0，故选B.7．(2018届高三·湖南五市十校联考)函数y＝(2－x)e x(x－1)2的图象大致为()选A当x>2时，2－x<0，e x>0，(x－1)2>0，∴y<0，此时函数的图象在x轴的下方，排除B；当x<2且x≠1时，2－x>0，e x>0，(x－1)2>0，∴y>0，此时函数的图象在x轴的上方，故选A.8．(2017·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b ＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .9．已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故当x >0时，f (x )是周期函数，f (x )的图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．11．(2018届高三·广西三市联考)已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，则m 的取值范围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝⎛⎭⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝⎛⎦⎤1，72＋ln 2解析：选D 作出函数y 1＝e |x－2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由e x －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.12．(2017·洛阳统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－a ＋3≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，故选A.二、填空题13．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)． 又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：614．(2017·陕西质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的结论： ①y ＝f (x )的值域为R ；②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点． 其中正确结论的序号是________． 解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1，x ≥0，1－x －1，x <0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f (x )在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y 轴对称，故③正确；由于f (x )在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④15．(2017·惠州调研)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件fx ＋32＝－f (x )，且函数y ＝fx －34为奇函数，给出以下四个结论：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中正确结论的序号为________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－fx ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数fx －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f －32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝－f －32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.答案：①②③16．(2017·云南统考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2＋ln (1＋x 2＋x )，x ≥0，3x 2＋ln (1＋x 2－x )，x <0，若f (x －1)<f (2x ＋1)，则x 的取值范围为________．解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝3(－x )2＋ln(1＋(－x )2＋x )＝3x 2＋ln(1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，当x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数．因为当x >0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)<f (2x ＋1)等价于|x －1|<|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)B 组——能力小题保分练1．(2017·郑州质检)函数f (x )＝1－2x1＋2xcos x 的图象大致为( )解析：选C 依题意，f (－x )＝1－2－x 1＋2－x cos(－x )＝2x (1－2－x )2x (1＋2－x )cos x ＝2x －12x＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0<x <1时，1－2x1＋2x<0，cos x >0，f (x )<0，结合选项知，C 正确，故选C.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．3．(2017·成都模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (π)<g (2)<g (3)C ．g (2)<g (3)<g (π)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选C 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以a 12＝22，即a ＝12，函数f (x )在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且g (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知在[－2,6]上距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选C.4．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝x 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π＋12，则∑k ＝12 016f ⎝⎛⎭⎫k 2 017的值为( ) A ．2 016 B ．1 008 C ．504D ．0解析：选B 因为f (x )＝x －12＋122⎝⎛⎭⎫x －12＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π＋12＝12＋14⎝⎛⎭⎫x －12＋sin ⎝⎛⎭⎫x －12，所以f (x )的图象是由y ＝14x ＋sin x ＋12的图象向右平移12个单位长度得到的，因为曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －12是由曲线y ＝sin x 向右平移12个单位长度得到的，所以曲线y ＝sin x －12关于点⎝⎛⎭⎫12，0对称，又曲线y ＝14⎝⎛⎭⎫x －12关于点⎝⎛⎭⎫12，0对称，所以f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫12，12对称，所以f (x )＋f (1－x )＝1.所以∑k ＝12 016f ⎝⎛⎭⎫k 2 017＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝1 008×⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝1 008，故选B.5．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝________.解析：依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.答案：236．已知函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，函数g (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有g (xy )＝g (x )－g (y )成立，且f (3)＝2，g (－2)＝3，则f (－3)＋g (2)＝________.解析：根据题意，函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，即f (1)＝0；令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，则f (－1)＝0；令y ＝－1，则f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，f (－3)＝f (3)＝2.函数g (x )满足对任意的x ，y ∈R ，都有g (xy )＝g (x )－g (y )成立，令x ＝y ＝－1，则g (1)＝g (－1)－g (－1)＝0；令x ＝1，y ＝－1，则g (－1)＝g (1)－g (－1)，即g (－1)＝0；令y ＝－1，则g (－x )＝g (x )－g (－1)，∴g (－x )＝g (x )，即函数g (x )为偶函数，∴g (2)＝g (－2)＝3.∴f (－3)＋g (2)＝2＋3＝5.答案：5第二讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程[典例感悟][典例](1)若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|(a>0且a≠1)满足f(x)≤1，则函数y＝loga(x＋1)的图象大致为()(2)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z[解析](1)由a|x|≤1(x∈R)，知0<a<1，又函数y＝loga(x＋1)的图象是由y＝log a x的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝2log k2－3log k3＝2log k3－3log k2 log k2·log k3＝log k32－log k23 log k2·log k3＝log k98log k2·log k3>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝3log k3－5log k5＝3log k5－5log k3log k3·log k5＝log k53－log k35log k3·log k5＝log k125243log k3·log k5<0，∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝2log k2－5log k5＝2log k5－5log k2log k2·log k5＝log k52－log k25log k2·log k5＝log k2532log k2·log k5<0，∴5z >2x .∴5z >2x >3y . [答案] (1)C (2)D[方法技巧]3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．[演练冲关]1．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－3x －⎝⎛⎭⎫13x＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数．2．(2017·洛阳统考)已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：选C 依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，故选C.3.(2018届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x－log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 24(x 0＋3)＝3＋log 2x 0＝log 28x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3.答案： 3[典例感悟][典例] (1)(2017·南昌模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2017·成都模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3D ．－1(3)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13C.12D ．1[解析] (1)当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.(2)因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，如图所示．由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. (3)由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e－x ＋1≥2e x －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时等号成立．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时等号成立． 若a >0，则a (e x －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.[答案] (1)C (2)A (3)C[方法技巧]1．判断函数零点个数的方法2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[演练冲关]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选A 由已知条件得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0，函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的个数，分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的草图，观察发现有2个交点．故选A.2．(2017·洛阳统考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎫0，1＋ee 2解析：选B 依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正实数根．记g (x )＝ln xx，则g ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e ，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧a 1＝1－ln x 0x 2，a 1x 0－1＝ln x 0x，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1与函数g (x )的大致图象，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)，故选B.3．(2017·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)解析：选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．[必备知能·自主补缺](一) 主干知识要记牢1．指数函数与对数函数的对比表2.方程的根与函数的零点 (1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(2)函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的实数根．[针对练1] 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34解析：选C 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫14，12.(二) 易错易混要明了1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性时忽视字母a 的取值范围，忽视a x >0；研究对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有且只有一个零点，要注意讨论a 是否为零．[针对练2] 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围为________．解析：当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，则x ＝12为函数的零点．当m ≠0时，若Δ＝4－4m ＝0，即当m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点． 若Δ＝4－4m ≠0，即m ≠1时，显然x ＝0不是函数的零点．这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1有一个正根一个负根． 因此1m <0.则m <0.综上知实数m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}． 答案：(－∞，0]∪{1}[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质检)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln [(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D.故选A.2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523. ∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .3．(2017·福州质检)已知a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 因为a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，所以a ＝ln 2，b ＝ln 5，c＝ln62＝ln 3.又对数函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，由2<3<5，得ln 2<ln 3<ln 5，所以a <c <b ，故选B.4．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，∴f (0)·f (1)<0，故函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，故选C.5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年解析：选B 设2017年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n ＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，f ′(x )＝2＋1x ，由x >0知f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4<0，f (e)＝2e －5>0，f (1)·f (e)<0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．故函数f (x )的零点个数是2.7．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln [x (2－x )]＝ln [－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＋ln ⎝⎛⎭⎫2－12＝ln 34， f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎫2－32＝ln 34， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 8．(2017·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.9．(2018届高三·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52D ．92解析：选D 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2n m ·m n ＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(2017·长春质检)已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x －1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－∞，1)解析：选A 令F (x )＝f (x )＋2x ，由对任意实数x 1<x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－2，可得f (x 1)＋2x 1<f (x 2)＋2x 2，即F (x 1)<F (x 2)，所以F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x －1|等价于f (log 2|3x －1|)＋2log 2|3x －1|<3，令t ＝log 2|3x －1|，则f (t )＋2t <3，即F (t )<3，所以t <1，即log 2|3x －1|<1，从而0<|3x －1|<2，解得x <1，且x ≠0.故选A.11．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥0，－x ln (1－x )＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：选D 若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.12．(2017·合肥质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2＋e ，x ≤2，x ln x ＋a ＋10，x >2，(e 是自然对数的底数)，若f (2)是函数f (x )的最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,6]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,6]解析：选D 当x >2时，f (x )＝xln x ＋a ＋10，f ′(x )＝ln x －1(ln x )2，令f ′(x )>0，解得x >e ，令f ′(x )<0，解得x <e ，所以f (x )在(2，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，即函数f (x )在x >2时的最小值为f (e)；当x ≤2时，f (x )＝(x －a )2＋e 是对称轴方程为x ＝a 的二次函数，欲使f (2)是函数的最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，f (2)≤f (e )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，(2－a )2＋e ≤e ＋a ＋10，解得2≤a ≤6，故选D. 二、填空题13．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤0，1－log 2x ，x >0，若|f (a )|≥2，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1，所以21－a ≥2，即|f (a )|≥2恒成立；当a >0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得a ≥8或0<a ≤12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[8，＋∞)． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[8，＋∞) 14．(2017·宝鸡质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x <1，log 2x ，x ≥1，若函数y ＝f (x )－k 有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：∵当x <1时，2－x >12，当x ≥1时，log 2x ≥0，依题意函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝k 的交点有两个，∴k >12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞15．(2018届高三·广西三市联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)·f (log 3x ＋1)≤5的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧0<log 3x ＋1<1，log 2x ＋2(log 144x －1)≤5，解得1≤x ≤4或13<x <1，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4. 答案：⎝⎛⎦⎤13，416．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.。
2018届二轮 主题六 科技创新与教育发展 专题卷
主题六科技创新与教育发展1．步入近代，科学、技术的进步在人类社会的发展中发挥着愈来愈重要的作用。
阅读下列材料：材料一17、18世纪的一些科学新发现，激励着很多有天赋的女性科学家提出自己的自然理论，做自己的实验，公布她们自己的科学发现。
从16世纪到18世纪，在整个欧洲，女性科学家对于自然科学兼职就像着了魔一样。
她们和同时代的男性科学家相互通信，一起研究。
……同社会上的许多男性一样，她们也是人文主义者、自然主义者和科学家。
——[美]邦尼·安德森、朱迪斯·津泽《她们自己的历史》材料二一位法国游客在1788年参观一家棉布工厂后，写道：“和我们在一起时，拥有这种工厂的英国富人们并不注意保持与其财富相称的姿态。
”……对他们而言，他们的工作有其自身的尊严和回报；至于工作所带来的财富，则是另一回事。
当博斯韦尔在伦敦索霍区看到瓦特和博尔顿的大型发动机工厂时，他想起了博尔顿的一句话：“先生，我们在卖全世界都渴望拥有的东西——动力。
”这些新贵就是企业家，他们带来了一种新的精神。
事实证明，这种精神是取之不尽用之不竭的。
从经济而非政治的角度来讲，他们给我们呈现了一场全面彻底且不可逆转的变革，因此他们堪称“革命者”。
——[美]罗伯特·海尔布隆纳《经济社会的形成》材料三每个时代都有技术进步，但是对于帝国主义者的掠夺行为有帮助的许多发明，却首先是在1860年至1880年这20年间产生作用的。
……新技术在19世纪的传播令帝国主义的成本变得很低廉，因此欧洲各民族和政府对它的接受程度也达到了顶峰，它让欧洲各国进入了帝国主义时代。
——[美]丹尼斯海德里克《帝国的工具》请回答：(1)据材料一，促使17、18世纪许多欧洲女性积极投身科学研究的原因有哪些？(2)据材料二，概括指出英国“新贵”们“新的精神”追求是什么。
据材料并结合所学知识，分析说明他们从经济角度“给我们呈现了一场全面彻底且不可逆转的变革”。
(3)据材料并结合所学知识，分析说明1860至1880年间出现的新技术为何能令帝国主义的成本变得很低廉？据上述材料，分析说明科学和技术进步对人类发展产生的客观进步作用。
2018年高考理科数二轮创新专题复习教学案：第一部分
[研高考·明考点]第一讲小题考法——等差数列与等比数列[典例感悟][典例](1)(2017·云南调研)已知数列{an}的前n项和为S n，且满足4(n＋1)(S n＋1)＝(n＋2)2a n(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝()A．(n＋1)3B．(2n＋1)2C．8n2D．(2n＋1)2－1(2)(2017·成都模拟)在数列{a n}中，a1＝1，a1＋a222＋a332＋…＋a nn2＝a n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式a n＝________.[解析](1)当n＝1时，4×(1＋1)×(a1＋1)＝(1＋2)2×a1，解得a1＝8.当n≥2时，4(S n＋1)＝(n＋2)2a nn＋1，则4(S n－1＋1)＝(n＋1)2a n－1n，两式相减得，4a n＝(n＋2)2a nn＋1－(n＋1)2a n－1n，整理得，a na n－1＝(n＋1)3n3，所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝(n＋1)3n3×n3(n－1)3×…×3323×8＝(n＋1)3.检验知，a1＝8也符合，所以a n＝(n＋1)3.(2)根据a1＋a222＋a332＋…＋a nn2＝a n，①有a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1(n －1)2＝a n －1，②①－②得，a nn 2＝a n －a n －1，即n 2a n －1＝(n 2－1)a n ，所以a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2(n ＋1)(n －1)，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×22(2＋1)(2－1)×32(3＋1)(3－1)×…×n 2(n ＋1)(n －1)＝22×32×42×…×n 2(2－1)(2＋1)(3－1)(3＋1)(4－1)(4＋1)…(n －1)(n ＋1)＝22×32×42×…×n 21×3×2×4×3×5×…×(n －1)×(n ＋1) ＝2nn ＋1. [答案] (1)A (2)2nn ＋1[方法技巧]由a n 与S n 的关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)．(3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).[演练冲关]1．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝( )A.2 0171 009B.2 0151 008C.2 0162 017D.2 0152 016解析：选A 由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝(n －1)(n ＋2)2，所以a n ＝n 2＋n 2，所以1a n＝2n 2＋n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝211－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2⎝⎛⎭⎫1－12 018＝2 0171 009，故选A.2．(2017·石家庄质检)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845D ．1 830解析：选D 不妨令a 1＝1，根据题意，得a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1，当n 为偶数时构成以a 2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以{a n }的前60项和为S 60＝30＋2×30＋30×(30－1)2×4＝1 830. 3．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则S 5＝________. 解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.答案：121[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97(2)(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8(3)(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.[解析] (1)∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1. ∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98，故选C. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23， 即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2， 所以{a n }前6项的和 S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24. (3)设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14， 则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.[答案] (1)C (2)A (3)32[方法技巧]等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．[演练冲关]1．(2017·合肥质检)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d＝24.故选C.2．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.解析：设等比数列{a n}的公比为q，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，两式相除，得1＋q1－q2＝13，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8.答案：－83．(2018届高三·河南十校联考)已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝________.解析：∵{a n}是公差为1的等差数列，∴S8＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝1 2，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.答案：19 2[典例感悟][典例](1)(2017·云南调研)已知数列{an}是等比数列，S n为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝()A．40 B．60C．32 D．50(2)(2017·长沙模拟)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4 B．6C．8 D．8－4 2(3)(2018届高三·湖南名校联考)若{a n}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和S n>0成立的最大正整数n是()A．2 016 B．2 017C ．4 032D ．4 033[解析] (1)由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，所以S 9－S 6＝16，S 12－S 9＝32，所以S 12＝(S 12－S 9)＋(S 9－S 6)＋(S 6－S 3)＋S 3＝32＋16＋8＋4＝60，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8，故选C.(3)因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2>0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.[答案] (1)B (2)C (3)C[方法技巧]等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．[演练冲关]1．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，前10项和等于前5项和，若a m ＋a 6＝0，则m ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8D ．2解析：选A 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由题意S 10＝S 5，所以S 10－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，又a 6＋a 10＝a 7＋a 9＝2a 8，于是a 8＝0，又a m ＋a 6＝0，所以m ＋6＝2×8，解得m ＝10.2．(2017·合肥质检)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]解析：选A 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝1＋a nan＝1＋1a n ，又对任意的n ∈N *都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0，a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1<0，9＋a －1>0，解得－8<a <－7. 3．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50[典例感悟][典例] (1)(2018届高三·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值为( )A ．－ 3B ．－1C ．－33D ． 3(2)设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是等比数列，记数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________. [解析] (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，所以b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3， 故tanb 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. (2)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q . 由a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝b 5，a 5＋d ＝b 5q ，2a 5＋3d ＝4(b 5＋b 5q )，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝－6a 5.故a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 5＋2d b 5q 2＋b 5＝2a 5＋2(－6a 5)25a 5＋a 5＝－10a 526a 5＝－513.[答案] (1)A (2)－513[方法技巧]等差、等比数列综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．(2)数列的通项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．[演练冲关]1．(2017·云南调研)已知数列{a n }是等差数列，若a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，则q ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 依题意，得2a 3＝a 1＋a 5,2a 3－6＝a 1＋a 5－6，即2(a 3－3)＝(a 1－1)＋(a 5－5)，所以a 1－1，a 3－3，a 5－5成等差数列．又a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，因此有a 1－1＝a 3－3＝a 5－5，q ＝a 3－3a 1－1＝1.2．(2017·望江调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为( )A ．－47B ．－48C ．－49D ．－50解析：选C 由已知得⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又6<203<7，从而检验n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49.所以nS n 的最小值为－49.3．(2017·太原模拟)设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－a 22为a 1，a 3的等差中项，则a 7＋a 8＋a 9＝________.解析：依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，由等比数列的性质，知数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－S 6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8.答案：8[必备知能·自主补缺](一) 主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列2．判断等差数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (二) 二级结论要用好1．等差数列的重要规律与推论(1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m ＋a n . (2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd .(3)连续k 项的和(如S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…)构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 奇S 偶＝a ma m ＋1. (5)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. [针对练1] 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：52．等比数列的重要规律与推论 (1)a n ＝a 1q n －1＝a m q n－m；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ·a q ＝a m ·a n .(2){a n }，{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．(3)连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m 项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝q . (5)对于等比数列前n 项和S n ，有： ①S m ＋n ＝S m ＋q m S n ；②S m S n ＝1－q m1－q n(q ≠±1)． (三) 易错易混要明了已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.[针对练2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则该数列的通项公式为________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又当n ＝1时，2×1－1＝1≠2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·成都模拟)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选B ∵a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78，解得q 2＝3，∴a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B.2．(2017·兰州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B ∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72. 3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 4．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D ．8解析：选B ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎨⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4.5．已知S n 是公差不为0的等差数列{}a n 的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2＋a 3a 1的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 设数列{}a n 的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以a 2＋a 3a 1＝2a 1＋3d a 1＝8a 1a 1＝8.6．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92.7．已知数列{}a n 满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1.若a 1＝35，则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 因为a 1＝35，根据题意得a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，所以数列{}a n 以4为周期，又2 018＝504×4＋2，所以a 2 018＝a 2＝15，故选A.8．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94C ．1D ．2解析：选D 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814，化简得a 21q 3＝92，则1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q3＝2. 9．(2017·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝5－12，故选A.10．(2017·张掖模拟)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选Ba n a 2n ＝a 1＋(n －1)d a 1＋(2n －1)d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ≠0，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1－d ＋nd ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12. 11．(2018届高三·湖南十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1<0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n >m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n <a nB ．S n ≤a nC ．S n >a nD ．大小不能确定解析：选C 若a 1<0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d >0，否则若d ≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有S m <a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1<0，d >0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m >0，S m >0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n >a n .故选C.12．(2017·洛阳模拟)等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56解析：选C 依题意得，S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n .当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1<S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，0<S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n <1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n－1S n <0.因此S n －1S n的最大值与最小值分别为56，－712，其最大值与最小值之和为56＋⎝⎛⎭⎫－712＝14. 二、填空题13．(2017·合肥质检)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，又因为a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×(1－29)1－2＝210－2＝1 022.答案：1 02214．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________.解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，∴2S n－2S n －1＝1，又2S 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，∴2S n＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009. 答案：11 00915．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝⎛⎭⎫n －722＋498， 结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：6416．(2017·广州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________． 解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n＋2.故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×(1＋n )n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝(n ＋1)2－(n ＋1)＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8，即n ＝7时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n ＋1＝7，即n ＝6时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292.2B 组——能力小题保分练1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选D 不妨设a ＞b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p ＞0，ab ＝q ＞0，∴a ＞0，b ＞0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9. 2．(2017·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n＝122n －1＝12×⎝⎛⎭⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 3．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 因此∑k ＝1n1S k＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.n ＋14．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1n (n ＋1)，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，则b 2 018＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1，得b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n－1，∴b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)×n，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n ＝n －1n ，∵b 1＝0，∴b n ＝n －1n ，∴b 2 018＝2 0172 018.答案：2 0172 0185．(2017·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝________.解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7(n ＝－8舍去)，所以a k ＝78.答案：786．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n ＝1a n＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，又a 1＋b 1＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n ，将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘并化简，得a n ＋1b n ＋1＝2a n b n ，即a n ＋1b n ＋1a n b n ＝2.所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n ，所以c n ＝a n ＋b n a n b n＝2n 2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036.答案：4 036第二讲 大题考法——数 列[典例感悟][典例1] (2017·沈阳模拟)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n－1)×2＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 5b 2＝8，解得q ＝2.因为b 1＝b 2q＝2，所以b n ＝b 1·q n －1＝2×2n －1＝2n .(2)因为a n ＝2n ，b n ＝2n，所以a n ＋b n ＝2n ＋2n，所以S n ＝n (2＋2n )2＋2(1－2n )1－2＝n 2＋n ＋2n ＋1－2.[备课札记][方法技巧]等差、等比数列的基本量的求解策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[演练冲关]1．(2017·洛阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4a 1－3，又a 1＝1，∴a 2＝12.由题可得，2a n a n ＋1＝4S n －3，①2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.[典例感悟][典例2] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)， 则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n (n ＋2)，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．[备课札记][方法技巧]1．分组求和中分组的策略 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组． 2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘({a n ·b n })型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比； ②将两个和式错位相减； ③整理结果形式．[演练冲关]2．(2017·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列，∴⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋a n ＝22n ＋1＋(2n ＋1)＝2×4n ＋(2n ＋1)，∴T n ＝2×(4＋42＋…＋4n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝2×4(1－4n )1－4＋n (3＋2n ＋1)2＝83(4n －1)＋n 2＋2n .3．(2017·天津高考)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b2n－1}的前n项和(n∈N*)．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q＞0，解得q＝2.所以b n＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②由①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n.(2)设数列{a2n b2n－1}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2n b2n－1＝(3n－1)×4n，故T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4T n＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3T n＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝12×(1－4n)1－4－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.故T n＝3n－23×4n＋1＋83.所以数列{a2n b2n－1}的前n项和为3n－23×4n＋1＋83.[典例感悟][典例3](2017·成都模拟)已知数列{an}满足a1＝－2，a n＋1＝2a n＋4.(1)证明数列{a n＋4}是等比数列；(2)求数列{|a n|}的前n项和S n.[解] (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋4， ∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ， ∴a n ＝2n －4.当n ＝1时，a 1＝－2<0， ∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，也满足上式．∴数列{|a n |}的前n 项和S n ＝2n ＋1－4n ＋2.[备课札记][方法技巧]判定和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的某一常数．(2)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列； ②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1≠0(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列． [演练冲关]4．(2018届高三·东北三校联考)已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .解：(1)证明：记b n ＝1a n －1，则b n ＋1b n＝1a n ＋1－11a n－1＝2a n ＋13a n －11an－1＝2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n 3(1－a n )＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n－1＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1，即a n ＝2×3n －11＋2×3n －1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.(2)由(1)知，1a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＋n ＝34⎝⎛⎭⎫1－13n ＋n . 5．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[解题通法点拨] 数列问题重在“归”——化归、归纳[循流程思维——入题快]等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，大凡涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法，是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．[按流程解题——快又准][典例] (2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． [解题示范](1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17 ＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3).[思维升华] 对于数列的备考：一是准确掌握数列中a n 与S n 之间的关系，这是解决数列问题的基础；二是重视等差与等比数列的复习，熟悉其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；三是注意数列与函数、不等式等的综合问题，掌握解决此类问题的通法；四是在知识的复习和解题过程中体会其中所蕴含的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程思想等．[应用体验](2017·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)． (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：当n ≥2时，由4a n ＝a n －1－3得a n ＋1＝14(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列．所以a n ＋1＝512×⎝⎛⎭⎫14n －1＝211－2n ，a n＝211－2n－1. (2)b n ＝|11－2n |，设数列{11－2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝10n －n 2. 当n ≤5时，S n ＝T n ＝10n －n 2；当n ≥6时，S n ＝2S 5－T n ＝n 2－10n ＋50.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.[课时跟踪检测]1．(2018届高三·广西三市联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12， 则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， 又b 1＝log 4a 1＋1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n4.2．(2017·福州质检)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n .解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.因为a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1， 所以a 21＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)， 所以a n ＝2n －1. (2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n －1) ＝2×(1＋3＋32＋…＋3n )－(n ＋1) ＝2×1－3n ＋11－3－(n ＋1)＝3n ＋1－n －2.3．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)∵S n ＝2a n －a 1，①∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1；② ①－②得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3， ∴2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴a n ＝2n .(2)∵a n ＝2n ，∴S n ＝2a n －a 1＝2n ＋1－2，S n ＋1＝2n ＋2－2.∴b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n ＋1(2n ＋1－2)(2n ＋2－2)＝1212n －1－12n ＋1－1. ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎛⎭⎫12－1－122－1＋⎝⎛⎭⎫122－1－123－1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝12⎛⎭⎫1－12n ＋1－1＝2n －12n 1－1.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝－3S n ＋4，b n ＝－log 2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式与数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝b n 2n ＋1＋1n (n ＋1)，其中n ∈N *，若数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由a 1＝－3a 1＋4，得a 1＝1， 由a n ＝－3S n ＋4，知a n ＋1＝－3S n ＋1＋4， 两式相减并化简得a n ＋1＝14a n ，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫14n －1，b n ＝－log 2a n ＋1＝－log 2⎝⎛⎭⎫14n ＝2n . (2)由题意知，c n ＝n 2n ＋1n (n ＋1).令H n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，① 则12H n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，②①－②得，12H n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1.∴H n ＝2－n ＋22n. 又T n －H n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，∴T n ＝H n ＋(T n －H n )＝2－n ＋22n ＋nn ＋1. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n ＋1.(1)是否存在实数p ，q ，使{a n ＋pn ＋q }成等比数列？若存在，求出p ，q 的值；若不存在，请说明理由；(2)令b n ＝a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)假设存在实数p ，q ，使数列{a n ＋pn ＋q }为等比数列，且其公比为A ，则由题意得，a n ＋1＋p (n ＋1)＋q ＝A (a n ＋pn ＋q )，即a n ＋1＝Aa n ＋(Ap －p )n ＋Aq －q －p ，又a n ＋1＝2a n ＋n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，Ap －p ＝1，Aq －q －p ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，p ＝1，q ＝2，∴a n ＋1＋(n ＋1)＋2＝2(a n ＋n ＋2)，当n ＝1时，a 1＋1＋2＝4，∴存在实数p ＝1，q ＝2，使数列{a n ＋pn ＋q }是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)可知a n ＋n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，。
2018年高考文科数学二轮创新专题复习教学案：第一部分 专题四 概率与统计 含答案 精品
[研高考·明考点][析考情·明重点]第一讲小题考法——概率、统计、统计案例[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(2)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．100,10 B．200,10C．100,20 D．200,20[解析] (1)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份有2个，故D错误．(2)∵x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x甲<x乙．又s2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确．(3)易知样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200；抽取的高中生人数为 2 000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.[答案] (1)D (2)B (3)D[方法技巧]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：选A 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确．2．(2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3. (2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 000[典例感悟][典例] (1)(2017·兰州诊断)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( )A ．45B ．50C ．55D ．60(2)(2017·南昌模拟)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg [解析] (1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m5.∵当x －＝5时，y －＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m5＝50，解得m ＝60. (2)因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，所以若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．[答案] (1)D (2)D[方法技巧]求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解b ^，a ^的计算公式和准确地求解．(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．[演练冲关]1．(2018届高三·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如表所示(单位：万元)：由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( )A ．101.2万元B ．108.8万元C ．111.2万元D ．118.2万元解析：选 C 根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.2．(2018届高三·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．99.5%D ．95%解析：选D 由表中数据可得，当k >3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(3)(2018届高三·湖北五市十校联考)在矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ，△ABP 的最大边是AB 的概率为( )A.22B.32C.2－1D.3－1[解析] (1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.(3)分别以A ，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交CD 于P 1，P 2，则当P 在线段P 1P 2间运动时，能使得△ABP 的最大边是AB ，在Rt △P 2BC中，BP 2＝2，BC ＝1，故CP 2＝3，DP 2＝2－3，同理CP 1＝2－3，所以P 1P 2＝2－(2－3)×2＝23－2，所以P 1P 2CD＝3－1，即△ABP 的最大边是AB的概率为3－1.[答案](1)C(2)B(3)D[方法技巧]1．利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数． (2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[演练冲关]1．(2018届高三·湘中名校联考)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14解析：选A 从集合A ，B 中随机选取一个数后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9对，要使直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限，则需a ≥0，b ≥0，共有2对满足，所以所求概率P ＝29，故选A.2．(2017·长春质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P在弦AB 上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )A.14B.13C.27D.38解析：选A 设OA ＝3，则AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，则∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.3．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110 B.15 C.310 D.25解析：选D 记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝25.4．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.5．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率P ＝3－－5－－＝59. 答案：59[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；(2)互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(3)对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )；(4)几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2．抽样方法(1)三种抽样方法的比较(2)分层抽样中公式的运用①抽样比＝样本容量个体总量＝各层样本容量各层个体数量；②层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量． 3．用样本数字特征估计总体 (1)众数、中位数、平均数(2)方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小． ①方差：s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]；②标准差：s ＝1nx 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x n －x－2] .(二) 二级结论要用好 1．频率分布直方图的3个结论 (1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.2．与平均数和方差有关的4个结论(1)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ； (2)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x ′1＝x 1＋a ，x ′2＝x 2＋a ，…，x ′n ＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2； (4)s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2＝1n ∑i ＝1nx 2i －x －2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．求s 2时，可根据题目的具体情况，结合题目给出的参考数据，灵活选用公式形式． 3．线性回归方程线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )．[针对练1] (2018届高三·惠州调研)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)：由最小二乘法求得回归方程y ＝0.67x ＋a ，则a 的值为________． 解析：因为x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋68＋75＋81＋895＝75，所以回归直线一定过样本点的中心(30,75)，将其代入y ^＝0.67x ＋a ^，可得75＝0.67×30＋a ^，解得a ^＝54.9. 答案：54.9(三) 易错易混要明了1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等)．[针对练2] 一种小型电子游戏的主界面是半径为r 的圆，点击圆周上的点A 后，该点在圆周上随机转动，最后落在点B 处，当线段AB 的长不小于3r 时自动播放音乐，则一次转动能播放音乐的概率为________．解析：如图，当|AB |≥3r ，即点B 落在劣弧CC ′上时才能播放音乐．又劣弧CC ′所对应的圆心角为2π3，所以一次转动能播放音乐的概率为2π32π＝13. 答案：13[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·南昌模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040解析：选D 根据分层抽样方法，得 1 2001 000＋1 200＋n ×81＝30，解得n ＝1 040.2．(2018届高三·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎪⎬⎪⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎪⎬⎪⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 A ．07 B ．25 C ．42D ．52解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别为12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52，故选D.3．(2017·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( )A ．5B ．7C ．10D ．50解析：选 D 根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，故选D.4．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mn D.2mn解析：选C 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n，所以π＝4mn.5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解析：选D 因为所有样本点都在直线y ＝12x ＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.6．甲、乙两位歌手在“中国新歌声”选拔赛中，5次得分情况如图所示．记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列判断正确的是( )A.x 甲＜x 乙，甲比乙成绩稳定B.x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定C.x 甲＞x 乙，甲比乙成绩稳定D.x 甲＞x 乙，乙比甲成绩稳定 解析：选B x 甲＝76＋77＋88＋90＋945＝85，x 乙＝75＋88＋86＋88＋935＝86，s 2甲＝15[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52，s 2乙＝15[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6，所以x 甲＜x 乙，s 2甲＞s 2乙，故乙比甲成绩稳定，故选B.7．(2017·洛阳统考)若θ∈[0，π]，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3>12成立的概率为( )A.13B.12C.23D ．1 解析：选B 依题意，当θ∈[0，π]时，θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3>12得π3≤θ＋π3<5π6，即0≤θ<π2.因此，所求的概率为π2π＝12. 8．将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m ，n ，m 为2或4时，m ＋n >5的概率为( )A.227 B.29 C.13 D.23解析：选D 依题意得，先后抛掷两次骰子所得的点数对(m ，n )为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，…，(6,5)，(6,6)，共有36组，其中当m ＝2或4时，相应的点数对(m ，n )共有12组．当m ＝2时，满足m ＋n >5，即n >3的点数对(m ，n )共有3组；当m ＝4时，满足m ＋n >5，即n >1的点数对(m ，n )共有5组，因此所求的概率为3＋512＝23.9．(2017·惠州调研)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A ，B ，C ，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共9种，田忌马获胜有Ab ，Ac ，Bc ，共3种，所以田忌的马获胜的概率为13.10．(2018届高三·西安八校联考)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A.34B.23C.12D.14解析：选D 依题意得，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，1≤y ≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD 的内部(含边界)，其面积为1×1＝1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，1≤y ≤2，y ≤2x表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)，其面积为12×12×1＝14，因此所求的概率为14.11．(2018届高三·广东五校联考)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A.12B.13C.24D.23解析：选C 若直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则圆心到直线的距离d ＝|3k |1＋k2<1，解得－24<k <24，故在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为P ＝222＝24.12．已知样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝a x ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定解析：选A 由题意可得，x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm，则z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m n ＋m ＝n n ＋m ·x 1＋x 2＋…＋x n n ＋m n ＋m ·y 1＋y 2＋…＋y mm ＝n n ＋m·x ＋mn ＋m ·y ＝a x ＋(1－a )y ，所以nn ＋m＝a ，mn ＋m ＝1－a ，又0<a <12，所以0<n n ＋m <12<mn ＋m，故n <m .二、填空题13．(2017·石家庄质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________．解析：设样本数据的平均数为x －，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －－1，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(2x 1－1－2x －＋1)2＋(2x 2－1－2x －＋1)2＋…＋(2x 2 017－1－2x －＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 2 017－x －)2]＝4×4＝16.答案：1614．(2018届高三·广西三市联考)已知函数f (x )＝log a x ＋log 1a 8(a >0，且a ≠1)，在集合14，13，12，3,4,5，6,7中任取一个数a ，则f (3a ＋1)>f (2a )>0的概率为________． 解析：∵3a ＋1>2a ，f (3a ＋1)>f (2a )，f (x )＝log a x －log a 8，∴a >1.又f (2a )>0，∴2a >8，即a >4，符合条件的a 的值为5,6,7，故所求概率为38.答案：3815．(2017·张掖模拟)在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使2≤2sin θ＋2cos θ≤2成立的概率为________．解析：由2≤2sin θ＋2cos θ≤2，得22≤sin θ＋π4≤1，结合θ∈[0，π]，得满足条件的θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴使2≤2sin θ＋2cos θ≤2成立的概率为π2π＝12.答案：1216．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x －甲，x －乙，则x －甲>x －乙的概率是________．解析：设污损处的数字为m ，由15(84＋85＋87＋90＋m ＋99)＝15(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即当m ＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m 的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m ＝6,7,8,9时，x －甲>x －乙，故所求概率为410＝25.答案：25B 组——能力小题保分练1．(2017·成都模拟)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A.1136 B.14 C.12 D.34解析：选D 如图所示，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.2．(2017·广州模拟)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.14B.716C.12D.916解析：选B 四个人按顺序围成一桌，同时抛出自己的硬币抛出的硬币正面记为0，反面记为1，则总的基本事件为(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)，共有16种情况．若四个人同时坐着，有1种情况；若三个人坐着，一个人站着，有4种情况；若两个人坐着，两个人站着，此时没有相邻的两个人站起来有2种情况．所以没有相邻的两个人站起来的情况共有1＋4＋2＝7种，故所求概率为716.3．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，即(8－2d )(8＋4d )＝64，又d ≠0，所以d ＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为S 1010＝＋10＝13，中位数为12＋142＝13.4．根据如下样本数据：得到的回归方程为y ＝bx ＋a .若样本点的中心为(5,0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位解析：选B 依题意得，4.0＋a －5.4－0.5＋0.5＋b －0.65＝0.9，故a ＋b ＝6.5；①又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ＋a ，②联立①②，解得b ＝－1.4，a ＝7.9，则y ^＝－1.4x ＋7.9， 所以当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位．5．正六边形ABCDEF 的边长为1，在正六边形内随机取点M ，则使△MAB 的面积大于34的概率为________．解析：如图所示，作出正六边形ABCDEF ，其中心为O ，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，则OG的长为中心O 到AB 边的距离．易知∠AOB ＝360°6＝60°，且OA ＝OB ，所以△AOB 是等边三角形，所以OA ＝OB ＝AB ＝1，OG ＝OA ·sin 60°＝1×32＝32，即对角线CF 上的点到AB 的距离都为32. 设△MAB 中AB 边上的高为h ，则由S △MAB ＝12×1×h >34，解得h >32.所以要使△MAB 的面积大于34，只需满足h >32，即需使M 位于CF 的上方．故由几何概型得，△MAB 的面积大于34的概率P ＝S 梯形CDEF S 正六边形ABCDEF ＝12. 答案：126．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________．解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n，分层抽样的抽样比是n 36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n 36＝n6，篮球运动员人数为12×n 36＝n 3，足球运动员人数为18×n 36＝n2，可知n 应是6的倍数，36的约数，故n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n 为6.答案：6第二讲 大题考法——概率与统计[典例感悟][典例1] (2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？[解] (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19，(x ∈N)．(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)．若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．[备课札记][方法技巧]解决概率与用样本估计总体交汇问题的方法[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为。
2018年高考文科数学二轮创新专题复习教学案：第一部分 专题五 解析几何 含答案 精品
[研高考·明考点][析考情·明重点]第一讲 小题考法——直线与圆[典例感悟][典例] (1)已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( )A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2(2)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12(3)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________________________________________________________________.[解析] (1)由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.(2)易知BC 所在直线的方程是x ＋y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即当a ＝0时，易得b ＝1－22，故b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x ＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵点P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.[答案] (1)C (2)B (3)y ＝2或4x －3y ＋2＝0[方法技巧]直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．[演练冲关]1．已知直线l 的倾斜角为π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (－a,1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B 由题知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a ＝－1，所以a＝－4.又l 1∥l 2，所以－2b＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2，故选B.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3 D.833解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－2＝823.3．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：5[典例感悟][典例] (1)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43(2)(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______________．(3)(2017·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是______________．[解析] (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －433y ＋1＝0，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213. (2)由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.(3)抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.[答案] (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 (3)x 2＋(y －1)2＝2[方法技巧] 圆的方程的2种求法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．[演练冲关]1．(2017·长春质检)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需求圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，故选D.2．(2017·北京西城区模拟)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 根据题意直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)，即圆心为(－1,0)．因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径r ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A.3．(2017·惠州调研)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .由已知⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0，b >0，又圆心(a ，b )到y 轴、x 轴的距离分别为|a |，|b |，所以|a |＝r ，|b |2＋3＝r 2.综上，解得a ＝2，b ＝1，r ＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝4[典例感悟][典例] (1)(2017·昆明模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．(3)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.[解析] (1)由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，即圆M 的圆心为(0,2)，半径为2.又圆N 的圆心为(1,1)，半径为1，则圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，半径之和为3,1<2<3，故两圆相交．(2)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝a 2＋2＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.(3)如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°. 在Rt△BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. [答案] (1)B (2)4π (3)4[方法技巧]1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．直线截圆所得弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即l ＝2r 2－d 2(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间的距离公式求解．[演练冲关]1．(2017·南昌模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510B ．－510C.910D ．－910解析：选D 因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝⎛⎭⎪⎫152＝2195. 在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.2．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k ＝________.解析：如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为C (0,1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，则d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，化简得k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2.答案：23．(2017·云南调研)已知动圆C 过A (4,0)，B (0，－2)两点，过点M (1，－2)的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意得，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C 的一条直径，此时圆心C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，又点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝－2＋－1＋2＝2<5，所以点M 位于圆C 内，所以当点M 为线段EF 的中点时，|EF |最小，其最小值为252－22＝2 3.答案：2 3[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．直线方程的五种形式2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．4．直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交，d >r ⇔相离，d ＝r ⇔相切．5．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则 (1)当|O 1O 2|＞r 1＋r 2时，两圆外离； (2)当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；(3)当|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交； (4)当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切； (5)当0≤|O 1O 2|＜|r 1－r 2|时，两圆内含． (二) 二级结论要用好1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0；(3)相交⇔A1B2－A2B1≠0；(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.[针对练1] 若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________. 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1.答案：12．若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则圆过该点的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.[针对练2] 过点(1，3)且与圆x2＋y2＝4相切的直线l的方程为____________．解析：∵点(1，3)在圆x2＋y2＝4上，∴切线方程为x＋3y＝4，即x＋3y－4＝0.答案：x＋3y－4＝0(三) 易错易混要明了1．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，忽视斜率不存在的情况直接将过定点P(x0，y0)的直线设为y－y0＝k(x－x0)等．[针对练3] 已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________________．解析：当截距为0时，直线方程为5x－y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，代入P(1,5)，得a＝6，∴直线方程为x＋y－6＝0.答案：5x－y＝0或x＋y－6＝02．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.如果利用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y ＋C2＝0垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0，就可以避免讨论．[针对练4] 已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．解析：∵l1⊥l2，∴(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0，解得t＝1或t＝－1.答案：－1或13．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解．[针对练5] 两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．解析：把直线6x ＋4y ＋5＝0化为3x ＋2y ＋52＝0，故两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－5232＋22＝151326.答案：1513264．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．[针对练6] 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相切，则m ＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，由x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0，得(x －5)2＋(y －6)2＝61－m .当两圆外切时，有－2＋－2＝61－m ＋11，解得m ＝25＋1011；当两圆内切时，有－2＋－2＝||61－m －11，解得m ＝25－1011.答案：25±1011[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质检)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．(2017·陕西质检)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.3．(2017·洛阳统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件． 4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝1或－53.故实数m 的取值最多有4个，故选C.5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，由x ＋1＝0且x ＋y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选 D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.7．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 D.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13解析：选C 设圆的方程为(x ±a )2＋y 2＝r 2(a >0)，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |＝3，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43，故选C.8．(2017·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 由题可知，圆心C (1,1)，半径r ＝2.当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.9．(2018届高三·湖北七市(州)联考)关于曲线C ：x 2＋y 4＝1，给出下列四个命题： ①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C 的长度l 满足l >42；④曲线C 所围成图形的面积S 满足π<S <4. 上述命题中，真命题的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A ①将(x ，－y )，(－x ，y )，(－x ，－y )代入，方程不变，则可以确定曲线关于x 轴，y 轴对称，关于原点对称，故①是真命题．②由x 2＋y 4＝1得0≤x 2≤1,0≤y 4≤1，故x 2＋y 2≥x 2＋y 2·y 2＝x 2＋y 4＝1，即曲线C 上的点到原点的距离为x 2＋y 2≥1，故②是真命题．③由②知，x 2＋y 4＝1的图象位于单位圆x 2＋y 2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l >42，故③是真命题．④由③知，π×12<S <2×2，即π<S <4，故④是真命题．综上，真命题的个数为4. 10．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，解得a ＝－1，∴A (－4，－1)，|AC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36，即|AB |＝6.11．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．3 2B ．－3 2C ．6D ．－6解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.12．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y－7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.二、填空题13．(2017·河北调研)若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意得直线l 1和l 2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，得a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(1－22)2＝18. 答案：1814．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋52＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝915．设直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程为____________．解析：因为直线l 恒过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2x －3＝0变形为(x －1)2＋y 2＝4，易知点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，依题意，k ·1－00－1＝－1，即k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.答案：y ＝x ＋116．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上不同的两点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．解析：由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k2－1＝0，解得k ＝－2，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的最大距离为322，所以P 到直线AB 的最大距离，即△PAB 的AB 边上的高的最大值为1＋322，又|AB |＝22，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝⎛⎭⎪⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 2B 组——能力小题保分练1．(2017·石家庄模拟)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.则t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤122×12×[]2a2＋1＋2b22＝142·[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D.2．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形AOB 的三个顶点，其中OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，即|k |2＝1，解得k ＝2；当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故|k |2<2，即k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．3．(2018届高三·湖北七市(州)联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋32＝2.当2－r >1，即0<r <1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当2－r ＝1，即r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当0<2－r <1，即1<r <2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2－r ＝0，即r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当0<r －2<1，即2<r <3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r －2＝1，即r ＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1； 当r －2>1，即r >3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.综上，当0<r <3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0<r <3.故p 是q 的充要条件，故选C.4．(2018届高三·广东五校联考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 解析：选 B 把圆的方程化为标准方程得，(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax －by ＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，则ab ＝(1－2b )b ＝－2b 2＋b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，当b ＝14时，ab 有最大值18，故ab的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18. 5．已知点A (3,0)，若圆C ：(x －t )2＋(y －2t ＋4)2＝1上存在点P ，使|PA |＝2|PO |，其中O 为坐标原点，则圆心C 的横坐标t 的取值范围为________．解析：设点P (x ，y )，因为|PA |＝2|PO |，所以x －2＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点P 在以M (－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆M 有公共点，则1≤|CM |≤3，即1≤t ＋2＋t －2≤3,1≤5t 2－14t ＋17≤9.不等式5t 2－14t ＋16≥0的解集为R ；由5t 2－14t ＋8≤0，得45≤t ≤2.所以圆心C 的横坐标t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2 6．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]第二讲 小题考法——圆锥曲线的方程与性质[典例感悟][典例] (1)(2017·合肥模拟)已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1 B. 3 C. 5 D.12(2)在平面直角坐标系中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 1上一点M 到点Q (0,3)的距离的最大值为4.则椭圆C 1的方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 (3)(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析] (1)在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不妨设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A.(2)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设M (x ，y )，则|MQ |＝x －2＋y －2＝4b 2－4y 2＋y －2＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9＝－y ＋2＋4b 2＋12.所以当y ＝－1时，|MQ |有最大值，为4b 2＋12＝4，解得b 2＝1，则a 2＝4，所以椭圆C 1的方程是x 24＋y 2＝1.故选B.(3)法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.法二：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6. [答案] (1)A (2)B (3)6[方法技巧]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2px 或x 2＝2py (p ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[演练冲关]1．(2017·长沙模拟)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A 由题可知椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，而抛物线y 2＝－4x的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.3．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.解析：法一：令l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，所以|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43. 法二：如图所示，∠AFO ＝30°，∴∠PAF ＝30°，又|PA |＝|PF |，∴△APF 为顶角∠APF ＝120°的等腰三角形， 而|AF |＝2cos 30°＝433，∴|PF |＝|AF |3＝43.答案：43[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．[解析] (1)由题，不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)，∴C 的焦点到准线的距离为4.(2)双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝ab c .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝abc ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. [答案] (1)B (2)233[方法技巧]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得b a 或a b的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[演练冲关]1．(2017·成都模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以OF 1(O 为坐标原点)为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B.－3＋624 C. 3D.3＋627解析：选D 如图，在圆O 中，F 1F 2为直径，P 是圆O 上一点，所以PF 1⊥PF 2，设以OF 1为直径的圆的圆心为M ，且圆M 与直线PF 2相切于点Q ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，0，MQ ⊥PF 2，所以PF 1∥MQ ，所以|MQ ||PF 1|＝|MF 2||F 1F 2|，即c2|PF 1|＝3c22c ，可得|PF 1|＝2c 3，所以|PF 2|＝2c 3＋2a ，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4c 29＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3＋2a 2＝4c 2，即7e 2－6e －9＝0，解得e ＝3＋627，e ＝3－627(舍去)．故选D.2．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 3．(2017·贵阳检测)如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使|OA |＝|AC |，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G ，则|EG |的最小值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y4)，则y 3＝2y 1，y 4＝12y 2，|EG |＝y 4－y 3＝12y 2－2y 1.因为AB 为抛物线y 2＝4x 的焦点弦，所以y 1y 2＝－4，所以|EG |＝12y 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 2＝12y 2＋8y 2≥212y 2×8y 2＝4，当且仅当12y 2＝8y 2，即y 2＝4时取等号，所以|EG |的最小值为4.答案：4[典例感悟][典例] (1)(2018届高三·河南九校联考)已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－3,0)D ．(－2,0)(2)(2017·宝鸡质检)已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率为( )A.53 B.54 C.53或2516D.53或54 [解析] (1)因为直线与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1，即k 2＝t 2＋2t .将直线方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，解得t >0或t <－3.故选A.(2)圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径r ＝1.当m <0，n >0时，由mx 2＋ny 2＝1得y 21n－x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y 轴上，不妨设双曲线与圆相切的渐近线方程为y ＝a b x ，即ax －by ＝0，则圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a －b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，即8a 2－6ab ＝0，则b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，即c 2＝259a 2，则c ＝53a ，离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，同理可得e ＝54，故选D.[答案] (1)A (2)D[方法技巧]处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．[演练冲关]1．(2018届高三·广西三市联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.43B.53C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1，∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a ，∵|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2a ＋2c ，∴|PA |＝12·|PF 1|＝a ＋c ，则在Rt△APF 2中，4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.2．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，则直线OM 与直线l 的斜率之积为________．解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9，故直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，所以k OM ·k ＝－9，即直线OM 与直线l 的斜率之积为－9.答案：－9[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质(二) 二级结论要用好 1．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2. (3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .2．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，|PF 1|＝ex 0＋a ，|PF 2|＝ex 0－a ；若P 在左支上，|PF 1|＝－ex 0－a ，|PF 2|＝－ex 0＋a .3．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的4个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2；(3)|AB |＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)；(4)|AB |＝x A ＋x B ＋p . 4．圆锥曲线的通径 (1)椭圆通径长为2b2a；(2)双曲线通径长为2b2a；(3)抛物线通径长为2p . 5．圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为2a (长轴长)． (2)双曲线上两点间的最小距离为2a (实轴长)．(3)椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短． (三) 易错易混要明了1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a ＜|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．[针对练1] △ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，设内切圆的圆心为P ，过点P 作AC ，BC 的垂线PD ，PF ，垂足分别为D ，F ，则|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，∴|CA |－|CB |＝|AD |－|BF |＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)2．解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置． [针对练2] 若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________． 解析：当焦点在x 轴上时，a 2＝8＋k ，b 2＝9，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝k －1k ＋8＝14，解得k ＝4.当焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝8＋k ，e 2＝c 2a ＝a 2－b 2a ＝1－k 9＝14，解得k ＝－54.答案：4或－543．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要。
实施科教兴国战略
《科技创新》专题复习课导学案
一、学习目标：
1. 培养自身的创新精神
2. 提高科技创新能力
3. 了解我国在科技、教育发展方面的成就; 理解实施科教兴国战略的现实意义;感受科技创新、教育创新的必要性;
二、教学重难点：
1.重点：科教兴国战略和人才强国战略。
2.难点：青少年培养自己的创新精神和创新能力。
三、学习过程：
（一）自主复习，构建知识网络：
列出第七课实施科教兴国战略中创新、科技的知识提纲。
（二）掌握重点问题和知识点。
（三）巩固练习，拓展提高：
材料一：
1、近年来，我国取得了哪些举世瞩目的科技创新成就？
2、科技成就的取得说明了什么？
3．我国取得一系列科技创新成就的意义有哪些？
4．我国为什么能不断取得科技创新成就？
5．众多科技成就的取得，能否说明我国已经成为世界科技强国了？
6．为进一步促进我国科技创新发展，请你为国家提出合理化建议？
材料二：
1．请你为全国科技活动周设计宣传标语。
2．在全国科技活动周期间，我校为响应国家号召准备开展“弘扬创新精神，增强创新能力”系列活动。
（1）请你设计活动的形式。
（2）初四˙2班准备开展主题班会，请你设计活动的步骤
材料三：
1、材料中获得最高科学技术奖科学家是哪两位？
2、我国为什么高度重视科技创新？
3、国家为什么要设立这些科技人才大奖？
4、要使自己成为国家需要的创新型人才，我们应该怎么做？。
创新驱动发展 复习教案
创新驱动发展复习教案一、教学目标：1. 让学生理解创新驱动发展战略的含义和重要性。
2. 让学生掌握我国实施创新驱动发展战略的主要措施和成果。
3. 培养学生关注国家发展、积极参与科技创新的意识。
二、教学内容：1. 创新驱动发展战略的含义2. 我国实施创新驱动发展战略的主要措施3. 创新驱动发展战略的成果4. 创新驱动发展战略的意义5. 学生如何积极参与科技创新三、教学重点与难点：1. 教学重点：创新驱动发展战略的含义、我国实施创新驱动发展战略的主要措施和成果。
2. 教学难点：创新驱动发展战略的意义，学生如何积极参与科技创新。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生思考和创新。
2. 运用案例分析法，让学生了解我国创新驱动发展的实际情况。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神和创新能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示我国科技创新的图片和数据，引发学生对创新驱动发展的兴趣。
2. 讲解创新驱动发展战略的含义和重要性。
3. 分析我国实施创新驱动发展战略的主要措施和成果。
4. 讨论创新驱动发展战略的意义，以及学生如何积极参与科技创新。
课后作业：1. 查阅相关资料，了解我国创新驱动发展的最新动态。
2. 思考如何运用所学知识，为我国的创新驱动发展贡献力量。
六、教学活动设计：1. 案例分析：挑选几个具有代表性的我国科技创新案例，如华为、阿里巴巴等，让学生了解这些企业在创新驱动发展中的作用和贡献。
2. 小组讨论：让学生分组讨论，每组选择一个案例，分析其成功的原因，以及对于其他企业的启示。
七、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 课后作业：评估学生课后作业的完成质量，了解学生对课堂内容的掌握程度。
八、教学资源：1. 教材：使用与人教版高中思想政治教材相关的教学资源，帮助学生巩固理论知识。
2. 网络资源：利用互联网查找相关的新闻报道、学术论文等，丰富教学内容。
2018年高考文科数学二轮创新专题复习教学案：第一部分
[研高考·明考点][析考情·明重点]第一讲 小题考法——空间几何体的三视图、表面积与体积及位置关系的判定[典例感悟][典例] (1)(2017·惠州调研)如图所示，将图①中的正方体截去两个三棱锥，得到图②中的几何体，则该几何体的侧视图为( )(2)(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )[解析] (1)从几何体的左面看，棱AD 1是原正方形ADD 1A 1的对角线，在视线范围内，画实线；棱C 1F 不在视线范围内，画虚线．故选B.(2)先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体如图①所示，故其侧(左)视图如图②所示．故选B.[答案] (1)B (2)B[方法技巧]1．由直观图确定三视图的方法根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确定．2．由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．[演练冲关]1．(2018届高三·广州六校联考)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：选B 由题知可以作为该几何体的俯视图的图形可以为①②③⑤.故选B.2．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．3 2 B．2 3C．2 2 D．2解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示，从图中易得最长的棱为AC1＝AC2＋CC21＝2＋22＋22＝2 3.3．(2017·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥PABCD，易知四棱锥PABCD的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形的个数是4，故选C.[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A．18＋36 5 B．54＋18 5C．90 D．81(2)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(3)(2018届高三·广西三市联考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18[解析] (1)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.(2)法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π.(3)该几何体是一个直三棱柱截去14所得，如图所示，其体积为34×12×3×4×2＝9.[答案] (1)B (2)B (3)B[方法技巧]1．求解几何体的表面积与体积的技巧(1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体求解．(3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化． 2．根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤 (1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图． (2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量． (3)套用相应的面积公式或体积公式计算求解．[演练冲关]1．(2017·合肥质检)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )A.283B ．2823C ．28D ．22＋6 3解析：选A 由三视图知，该几何体为三棱台，其上、下底面分别是直角边为2,4的等腰直角三角形，高为2，所以该几何体的体积V ＝13×12×2×2＋12×4×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4 ×2＝283，故选A. 2．(2017·沈阳质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是( )A ．36＋610B ．36＋310C ．54D ．27解析：选A 由三视图知该几何体为底面是梯形的四棱柱，其表面积为S ＝2×12×(2＋4)×3＋2×3＋4×3＋2×3×10＝36＋610，故选A.3．(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π2[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6πD.32π3(2)(2018届高三·湖北七市(州)联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( ),A ．36πB ．112π3C ．32πD ．28π[解析] (1)设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.故选B. (2)根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2 3.将该四棱锥还原成一个三棱柱，如图所示，该三棱柱的底面是边长为4的正三角形，高是4，其中心到三棱柱的6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为23×23＝433，∴其外接球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＋22＝283，则外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×283＝112π3，故选B. [答案] (1)B (2)B[方法技巧]求解多面体、旋转体与球接、切问题的策略(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题． (2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或通过画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4.2．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.答案：323．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ，∵SC 为球O 的直径， ∴点O 为SC 的中点， ∵SA ＝AC ，SB ＝BC ， ∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ， ∴AO ⊥平面SCB ， 设球O 的半径为R ， 则OA ＝OB ＝R ，SC ＝2R . ∴V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×SC ×OB ×AO ， 即9＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 答案：36π4．(2018届高三·浙江名校联考)某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，其外接球的表面积为________．解析：由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4×12×3＝24.又直四棱柱的外接球的半径R＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋22＝52，所以四棱柱的外接球的表面积为4πR2＝25π.答案：24 25π[典例感悟][典例] (1)(2017·成都模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有( )A．①② B．②③ C．①③ D．①②③(2)(2018届高三·广东五校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n[解析] (1)由题意画出草图如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．综上可知，故选C.(2)选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n与m，n是异面直线均有可能，不正确；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α，β有可能相交但不垂直，不正确；选项D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n有可能是异面直线，不正确，故选B.[答案] (1)C (2)B[方法技巧]判断与空间位置关系有关命题真假的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．(3)借助反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．[演练冲关]1．(2017·惠州调研)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B 将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.2．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：选C 法一：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD.又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.法二：∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B、D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析：选A 法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB.因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝ch (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线长)， S 圆锥侧＝πrl (r 为底面半径，l 为母线长)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′，r 分别为上、下底面的半径，l 为母线长)．(5)柱、锥、台体的体积公式V 柱＝Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S ，S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积公式S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.2．两类关系的转化 (1)平行关系之间的转化(2)垂直关系之间的转化3．证明空间位置关系的方法已知a ，b ，l 是直线，α，β，γ是平面，O 是点，则 (1)线线平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ∥c ⇒c ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b . (2)线面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α.(3)面面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥β，b ∥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ.(4)线线垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b .(5)线面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α. (6)面面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β.(二) 二级结论要用好1．长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系d 2＝a 2＋b 2＋c 2；若长方体外接球半径为R ，则有(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2.[针对练1] (2018届高三·西安八校联考)设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2,23，4，则其外接球的表面积为( )A ．48πB ．32πC ．20πD ．12π解析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R ，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R ＝1222＋32＋42＝22，所以该三棱锥外接球的表面积为S ＝4πR 2＝32π. 2．棱长为a 的正四面体的内切球半径r ＝612a ，外接球的半径R ＝64a .又正四面体的高h ＝63a ，故r ＝14h ，R ＝34h . [针对练2] 正四面体ABCD 的外接球半径为2，过棱AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为________．解析：由题意知，面积最小的截面是以AB 为直径的圆，设AB 的长为a ，因为正四面体外接球的半径为2，所以64a ＝2，解得a ＝463，故截面面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝8π3. 答案：8π3(三) 易错易混要明了应用空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理时，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件．[针对练3] 设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，则“m ∥β ”是“α∥β ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上可知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要不充分条件．[课时跟踪检测]A组——12＋4提速练一、选择题1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( )解析：选B 根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，结合选项知，它的正视图为B.2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A．10 B．12 C．14 D．16解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为＋2×2＝12，故选B.3．(2017·合肥质检)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．0条或2条解析：选C 因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所以该三棱锥中与平面α平行的棱有2条，故选C.4．(2017·成都模拟)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m，n可能平行，也可能异面；②若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；③若α∩β＝l ，且m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β. 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 对于①，直线m ，n 可能平行，也可能异面，故①是真命题；对于②，直线m ，n 同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直，故②是假命题；对于③，当直线n ∥l 时，不能推出两个平面垂直，故③是假命题．故真命题的个数为1.故选B.5．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1. 6．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．80B ．160C ．240D ．480解析：选B 如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABC A ′B ′C ′中截去一个三棱锥A A ′B ′C ′后所剩余的部分，其中底面△ABC 是直角三角形，AC ⊥AB ，AC ＝6，AB ＝8，BB ′＝10.因此题中的几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×8×10－13×12×6×8×10＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×8×10＝160，故选B.7．(2017·合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π解析：选 A 由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×2×2＋14×2π×2×4＝72＋6π，故选A.8．某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A ．207B ．216－9π2C ．216－36πD ．216－18π解析：选B 由三视图知，该几何体是一个棱长为6的正方体挖去14个底面半径为3，高为6的圆锥而得到的，所以该几何体的体积V ＝63－14×13×π×32×6＝216－9π2，故选B.9．(2017·贵阳检测)三棱锥P ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.10．(2017·洛阳统考)已知三棱锥P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3 B.40π3 C.64π3D.80π3解析：选D 依题意，记三棱锥P ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝203，所以三棱锥P ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3，故选D.11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.15π2 B ．8π C.17π2D ．9π解析：选B 依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长为3、最长母线长为5，将这两个截后所得的部分拼接恰好形成一个底面半径为1，母线长为5＋3＝8的圆柱，因此题中的几何体的体积为π×12×8＝8π，故选B.12．(2018届高三·湘中名校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.1603 B ．32 C.323D.3523解析：选A 由三视图可知， 该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为4)、高为8的直三棱柱截去一个等底且高为4的三棱锥而得到的，所以该几何体的体积V ＝12×4×4×8－13×12×4×4×4＝1603，故选A. 二、填空题13．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．解析：设圆柱高为h ，底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l .由图得r ＝2，h ＝4，则c ＝2πr ＝4π，由勾股定理得：l ＝22＋32＝4，则S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.答案：28π14．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为________．解析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15. 答案：1515．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的________．解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为 12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为13×6×2＝4.而直三棱柱的体积为12×2×2×4＝8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的12. 答案：1216．(2017·兰州诊断考试)已知球O 的半径为13，其球面上有三点A ，B ，C ，若AB ＝123，AC ＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积为________．解析：如图，过点A ，B 分别作BC ，AC 的平行线，两线相交于点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ＝12，AB ＝123，在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝－12， ∴∠ACB ＝120°，∴在菱形ACBD 中，DA ＝DB ＝DC ＝12，∴点D 是△ABC 的外接圆圆心，连接DO ，在△ODA 中，OA 2＝DA 2＋DO 2， 即DO 2＝OA 2－DA 2＝132－122＝25，∴DO ＝5，又DO ⊥平面ABC ，∴V O ABC ＝13×12×12×12×32×5＝60 3.答案：60 3B 组——能力小题保分练1．(2017·石家庄质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．20C ．52D ．60解析：选 B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V ＝12×3×4×6－2×13×2×4×3＝20，故选B.2．(2017·成都模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥外接球的表面积为( )A ．136πB ．34πC ．25πD ．18π解析：选B 由三视图知，该四棱锥的底面是边长为3的正方形，高为4，且有一条侧棱垂直于底面，所以可将该四棱锥补形为长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体外接球的半径R 即为该四棱锥外接球的半径，所以2R ＝32＋32＋42，解得R ＝342，所以该四棱锥外接球的表面积为4πR 2＝34π，故选B.3．(2018届高三·湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：选D 由三视图可知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积为S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.4．(2017·石家庄质检)四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高为( )A ．6B ．5 C.92D.94解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P ABCD 是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ，所以OM FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h＝94，故选D. 5．(2017·云南模拟)某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A ．2πB ．4πC ．5πD ．20π解析：选C 由三视图知，该几何体为三棱锥，其中边长为1的侧棱与底面垂直，底面为底边长为2的等腰直角三角形，所以可以将该三棱锥补形为长、宽、高分别为2，2，1的长方体，所以该几何体的外接球O 的半径R ＝22＋22＋122＝52，则球O 的表面积S ＝4πR 2＝5π，故选C.6．(2017·武昌调研)在矩形ABCD 中，AB <BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直． 其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接CE ，如图所示，则AE ⊥BD ，BD ⊥AC .又AE ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AEC ，从而有BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，CE 与BD 不垂直，故假设不成立，①错误．②假设AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，由AB <BC 可知，存在这样的直角三角形BAC ，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，∵DC ⊥BC ，AD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面ADC ，∴BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB <BC ，故矛盾，假设不成立，③错误．答案：②第二讲 大题考法——立体几何平行、垂直关系的证明是高考的必考内容，主要考查线面面面平行、垂直的判定定理及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的转化等.[典例感悟][典例1] (2016·山东高考)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF∥DB .(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC ，求证：AC ⊥FB ；(2)已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC.[证明] (1)因为EF ∥DB ， 所以EF 与DB 确定平面BDEF . 如图①，连接DE .因为AE ＝EC ，D 为AC 的中点，所以DE ⊥AC .同理可得BD ⊥AC . 又BD ∩DE ＝D ，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.[备课札记][方法技巧]平行、垂直关系的证明思路[演练冲关]1．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.本部分的计算题目多设两问，第问考查空间位置关系的证明，第问考查空间几何体体积的求法或点到平面距离的求[典例感悟][典例2] (2017·成都模拟)如图，已知梯形CDEF 与△ADE 所在的平面垂直，AD ⊥DE ，CD ⊥DE ，AB ∥CD ∥EF ，AE ＝2DE ＝8，AB ＝3，EF ＝9，CD ＝12，连接BC ，BF .(1)若G 为AD 边上一点，DG ＝13DA ，求证：EG ∥平面BCF ；(2)求多面体ABCDEF 的体积．[解] (1)证明：如图，作GM ∥CD ，交BC 于点M ，连接MF . 作BH ∥AD ，交GM 于点N ，交DC 于点H .∵EF ∥CD ，∴GM ∥EF .∵AB ∥CD ，∴四边形ABNG 与四边形ABHD 都是平行四边形， ∴GN ＝DH ＝AB ＝3，HC ＝9. ∵AB ∥GM ∥DC ， ∴NM HC ＝BM BC ＝AG AD ＝23， ∴NM ＝6，∴GM ＝GN ＋NM ＝9，∴GM 綊EF ， ∴四边形GMFE 为平行四边形，∴GE ∥MF . 又MF ⊂平面BCF ，GE ⊄平面BCF ， ∴GE ∥平面BCF . (2)如图，连接BD ，BE .∵平面ADE ⊥平面CDEF ，AD ⊥DE ，AD ⊂平面ADE ，∴AD ⊥平面CDEF . ∵CD ⊥DE ，CD ⊂平面CDEF ，∴CD ⊥平面ADE ， ∵AB ∥CD ，∴AB ⊥平面ADE .∴四棱锥B CDEF 的高为AD ，三棱锥B ADE 的高为AB . 在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2－DE 2＝82－42＝43， ∴V 多面体ABCDEF ＝V B ADE ＋V B CDEF ＝13S △ADE ·AB ＋13S 梯形CDEF ·AD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×43×3＋13×12×(9＋12)×4×43＝64 3. 故多面体ABCDEF 的体积为64 3.[备课札记][方法技巧](1)求解不规则几何体的体积时，常用割补法，将问题转化为柱体或锥体的体积求解． (2)求点到平面的距离时，常用等体积转换法．[演练冲关]2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积． 解：(1)证明：在平面ABCD 内， 因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD . 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD .(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC∥AD ，∠ABC ＝90°，得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD . 因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ， 所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3. 所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×＋2×23＝4 3.3．(2018届高三·广东五校联考)如图，已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC。
2018年高考理科数二轮创新专题复习教学案：第一部分 专题七 选考内容 含答案 精品
第一讲 选修4－4 坐标系与参数方程考点一 极坐标方程及其应用[典例感悟][典例1] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.[方法技巧]1．求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．2．解决极坐标交点问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标．[演练冲关]1．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2， 即sin θ＝2cos θ，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.考点二 参数方程及其应用[典例感悟][典例2] (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin (θ＋φ)－a －4|17⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，tan φ＝34.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917， 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117， 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.[方法技巧]参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．[演练冲关]2．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用[典例感悟][典例3] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.[方法技巧]解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)在参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先将其化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[演练冲关]3．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． 解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝32， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴θ＝2π3.(2)由题，易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0， ∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0. 又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)， 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝2π3(ρ≥0)，ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3.∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，2π3， ∴|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.[课时跟踪检测]1．(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ＝12，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； (2)在(1)的条件下，若|AP |·|AQ |＝6，求直线l 的普通方程．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝12. 直线l 恒过的定点为A (2,0)．(2)把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中得， (sin 2α＋1)t 2＋4(cos α)t －8＝0. 由t 的几何意义知|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|. ∵点A 在椭圆内，这个方程必有两个实根， ∴t 1t 2＝－8sin 2α＋1，∵|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝6， ∴81＋sin 2α＝6，即sin 2α＝13， ∵α∈(0，π)， ∴sin α＝33，cos α＝±63， ∴直线l 的斜率k ＝±22，因此，直线l 的方程为 y ＝22(x －2)或y ＝－22(x －2)． 2．(2017·郑州质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心为⎝⎛⎭⎫3，π2，半径为1的圆．(1)求曲线C 1的普通方程，C 2的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 1上的点，N 为曲线C 2上的点，求|MN |的取值范围．解：(1)消去参数φ可得C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题可知，曲线C 2的圆心的直角坐标为(0,3)， ∴C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝1. (2)设M (2cos φ，sin φ)，曲线C 2的圆心为C 2， 则|MC 2|＝(2cos φ)2＋(sin φ－3)2＝4cos 2φ＋sin 2φ－6sin φ＋9＝－3sin 2φ－6sin φ＋13 ＝－3(sin φ＋1)2＋16.∵－1≤sin φ≤1，∴|MC 2|min ＝2，|MC 2|max ＝4. 根据题意可得|MN |min ＝2－1＝1，|MN |max ＝4＋1＝5， 即|MN |的取值范围是[1,5]．3．(2017·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎫2，π2. 设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π42，所以d min ＝42＝2 2.又|AB |＝22， 所以△PAB 面积的最小值是S min ＝12×22×22＝4.4．(2018届高三·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[)0，2π.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，并求出点D 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以G (0,1)为圆心、1为半径的圆，(易知C ，l 相离) 设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1， 又x 20＋(y 0－1)2＝1，可得x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝32， 即点D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，32.5．(2018届高三·广东五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到曲线C 2上点的距离的最小值．解：(1)由曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α得曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.由曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42得，22ρ(sin θ＋cos θ)＝42， 即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0. (2)易知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P (2cos α，sin α)到直线x ＋y －8＝0的距离为d ＝|2cos α＋sin α－8|2＝|3sin (α＋φ)－8|2，其中φ是锐角且tan φ＝ 2.所以当sin(α＋φ)＝1时，d 取得最小值82－62.6．(2017·成都模拟)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ－4sin θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，∴直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2 θ－4sin θ＝0得ρ2cos 2 θ－4ρsin θ＝0，即x 2－4y ＝0. ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)∵点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，∴点M 的直角坐标为(0,1)． 又直线l 经过点M ，∴1＝tan α·(0－1)， ∴tan α＝－1，即直线l 的倾斜角α＝3π4.∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. ∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q 对应的参数值为t 1＋t 22＝622＝3 2.又点P (1,0)是直线l 上对应t ＝0的点，则|PQ |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝3 2.7．(2017·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0.∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，得2t 2－22t ＋1－4a ＝0.Δ＝(22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a2， 根据参数方程的几何意义可知|PA |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|， 又|PA |＝2|PB |，∴2|t 1|＝2×2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2，t 1·t 2＝2t 22＝1－4a 2，解得a ＝136>0，符合题意． 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2，t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94>0，符合题意． 综上所述，实数a 的值为136或94.8．(2017·贵阳检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋3cos t ，y ＝5＋3sin t(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求当AB 取最小值时△AOB 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋3cos t ，y ＝5＋3sin t 得C 1的普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝9.由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsinθ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入上式，得C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)如图，当A ，B ，C 1，C 2四点共线，且A ，B 在线段C 1C 2上时，|AB |取得最小值，由(1)得C 1(4,5)，C 2(0,1)，∴kC 1C 2＝5－14－0＝1，则直线C 1C 2的方程为x －y ＋1＝0，∴点O 到直线C 1C 2的距离d ＝12＝22，又|AB |＝|C 1C 2|－1－3＝(4－0)2＋(5－1)2－4＝42－4，∴S △AOB ＝12d |AB |＝12×22×(42－4)＝2－ 2.第二讲 选修4－5 不等式选讲考点一 绝对值不等式的解法[典例感悟][典例1] (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 解得1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为x －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 考点二 不等式的证明[典例感悟][典例2] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |. [解](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x >－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－ 1)·(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.[方法技巧] 证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等． (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．(2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．[演练冲关]2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.考点三 含绝对值不等式的恒成立问题[典例感悟][典例3] (2017·合肥质检)已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m >0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )<|2＋t |＋|t －1|恒成立，求m 的取值范围． [解] (1)当m ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x ≥1，－2x －2，－3<x <1，4，x ≤－3.由f (x )≥1，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1，－3<x <1或x ≤－3，解得x ≤－32，∴不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≤－32.(2)不等式f (x )<|2＋t |＋|t －1|对任意的实数x ，t 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )<(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]max <(|2＋t |＋|t －1|)min ，∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ，|2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m <3，又m >0，∴0<m <34.即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，34. [方法技巧]已知不等式恒成立求参数范围问题的解法[演练冲关]3．(2017·洛阳统考)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b ≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x >12，函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立．∵1a ＋4b ≥3(|2x －1|－|x ＋1|)恒成立， ∴|2x －1|－|x ＋1|≤3， 结合图象知－1≤x ≤5， ∴x 的取值范围是[－1,5]．[课时跟踪检测]1．(2017·云南调研)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|m －x |(其中m ∈R)． (1)当m ＝2时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≥6对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝2时，f (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，①当x <－1时，f (x )≥6可化为－x －1＋2－x ≥6，解得x ≤－52；②当－1≤x ≤2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋2－x ≥6，无实数解； ③当x >2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋x －2≥6，解得x ≥72.综上，不等式f (x )≥6的解集为xx ≤－52或x ≥72.(2)法一：因为|x ＋1|＋|m －x |≥|x ＋1＋m －x |＝|m ＋1|，由题意得|m ＋1|≥6，即m ＋1≥6或m ＋1≤－6，解得m ≥5或m ≤－7，即m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．法二：①当m <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m －1，x <m ，－m －1，m ≤x ≤－1，2x ＋1－m ，x >－1，此时，f (x )min ＝－m －1，由题意知，－m －1≥6， 解得m ≤－7，所以m 的取值范围是m ≤－7. ②当m ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|＋|－1－x |＝2|x ＋1|， 此时f (x )min ＝0，不满足题意．③当m >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m －1，x <－1，m ＋1，－1≤x ≤m ，2x ＋1－m ，x >m ，此时，f (x )min ＝m ＋1，由题意知，m ＋1≥6，解得m ≥5， 所以m 的取值范围是m ≥5.综上所述，m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．2．(2017·郑州模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4. (1)求a ＋b 的值； (2)求14a 2＋19b 2的最小值．解：(1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )<0时，等号成立，又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ，所以a ＋b ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ，14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169＝1336⎝⎛⎭⎫a －16132＋1613，故当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2取最小值为1613. 3．(2018届高三·湖南五市十校联考)设函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋a |. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若不等式f (x )>0在x ∈[2,3]上恒成立，求a 的取值范围．解：(1)a ＝1，f (x )>1⇔|x －1|－2|x ＋1|>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－x ＋1＋2(x ＋1)>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，－x ＋1－2(x ＋1)>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －1－2(x ＋1)>1⇔－2<x ≤－1或－1<x <－23或x ∈∅⇔－2<x <－23，故不等式f (x )>1的解集为⎝⎛⎭⎫－2，－23.(2)f (x )>0在x ∈[2,3]上恒成立⇔|x －1|－2|x ＋a |>0在x ∈[2,3]上恒成立⇔|2x ＋2a |<x －1⇔1－x <2x ＋2a <x －1⇔1－3x <2a <－x －1在x ∈[2,3]上恒成立⇔(1－3x )max <2a <(－x －1)min ⇔－5<2a <－4⇔－52<a <－2.故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－52，－2. 4．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由||x －1|＋2|<5得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解得－2<x <4，则不等式|g (x )|<5的解集为{x |－2<x <4}．(2)因为对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5， 所以实数a 的取值范围为{a |a ≥－1或a ≤－5}．5．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥5；(2)若存在x 0满足f (x 0)＋|x 0－2|<3，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥5得|x －2|＋|2x ＋1|≥5.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥5，解得x ≥2，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥5，即x ≥2，所以解集为空集；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥5，解得x ≤－43，所以x ≤－43.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≤－43或x ≥2.(2)f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|，∵原命题等价于(f (x )＋|x －2|)min <3，即|a ＋4|<3，∴－7<a <－1.即实数a 的取值范围为(－7，－1)．6．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43. 7．(2017·贵阳检测)已知|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立． (1)求实数k 的最大值；(2)若实数k 的最大值为n ，正数a ，b 满足85a ＋b ＋22a ＋3b＝n .求7a ＋4b 的最小值． 解：(1)因为|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立， 设g (x )＝|x ＋2|＋|6－x |，则g (x )min ≥k .又|x ＋2|＋|6－x |≥|(x ＋2)＋(6－x )|＝8，当且仅当－2≤x ≤6时，g (x )min ＝8， 所以k ≤8，即实数k 的最大值为8.(2)由(1)知，n ＝8，所以85a ＋b ＋22a ＋3b ＝8，即45a ＋b ＋12a ＋3b＝4，又a ，b 均为正数， 所以7a ＋4b ＝14(7a ＋4b )⎝⎛⎭⎫45a ＋b ＋12a ＋3b＝14[](5a ＋b )＋(2a ＋3b )⎝⎛⎭⎫45a ＋b ＋12a ＋3b ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(2a ＋3b )5a ＋b ＋5a ＋b 2a ＋3b ≥14×(5＋4)＝94， 当且仅当4(2a ＋3b )5a ＋b ＝5a ＋b 2a ＋3b ，即a ＝5b ＝1552时，等号成立，所以7a ＋4b 的最小值是94.8．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，当且仅当a＝b 时等号成立．所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca ， 所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫acb ＋abc ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a≥2a ＋2b ＋2c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立.。
创新与科技发展教案【DOC范文整理】
创新与科技发展教案教学内容：创新与科技发展教学过程：一、情境导入导入语：爱因斯坦在幼年时曾惊讶罗盘的指针永远指向北方，并由此产生了对科学研究的好奇心。
后来，他说：“我没有特别的天赋，我只有强烈的好奇心。
”一语道出了科学家成功的奥秘所在。
仰观茫茫太空。
留心周围世界的每个地方，我们会发现许许多多有趣的现象和问题，需要我们去不断地探索和发现。
我们如何才能开启奇妙的知识世界之门，步入科学的殿堂呢？板书课题：一、创新与科技发展科技发展靠创新创新是力量之源、发展之基情境活动一：人类文明发展史，实际上就是一部人类不断创新的历史。
火的发现，将人类送上了文明的级台阶，人类从此脱离了茹毛饮血的野蛮时代；文字的创造，使人类将自己的智慧结晶永久传递、永恒保存；蒸汽机的发明，使人类逐渐从手工劳动中解放出来；计算机的诞生，给人类的智慧插上了新的翅膀；因特网的应用，使“地球村”的村民在网上恣意遨游。
想一想：上述材料说明了什么道理？学生：创新是力量之源、发展之基。
谈一谈：列举事实，说明创新推动了科技的发展。
学生阅读教材以及相关链接内容思考、讨论相关链接：人类历史上的三次科技革命次科技革命发生在18世纪中期，也称工业革命。
主要标志是蒸汽机的发明和运用，它使人类由手工劳动进入机器生产时代。
第二次科技革命发生在19世纪中后期，也称电力革命。
主要标志是电的发明和电力的广泛运用。
人类从此由蒸汽时代进入电气时代。
第三次科技革命兴起于20世纪40-50年代.广泛涉及信息技术、新能源技术、新材料技术、生物技术、空间技术和海洋技术等诸多领域，其主要标志是电子计算机、原子能和空间科学技术的发明和应用，人类由此进入电子原子时代。
议一议：为什么说“创新是力量之源、发展之基”？学生：①科技前进的每一步都是追求创新的结果；②科学的本质是创新，科技发展靠创新。
创新是当今时代的主旋律与时俱进是时代发展的要求,不断创新是当代科技发展的主旋律.请同学们看一组数据:据有关资料统计,人类的科技成果,19世纪是每50年增加一倍,20世纪中叶是每10年增加一倍,当前则是每3-5年增加一倍。
《科技创新》专题复习课教学设计
【集备版】
《科技创新》专题复习课教学设计
【课程解构】
一、课程概要
本课主要围绕《2018年广州市初中毕业学生学业考试指导书思想品德》专题五之《认识发展战略》考点"科技创新”的内容进行复习，此内容也是中考热点考点。
作为复习课，目标是帮助学生对该内容有关考点进行重温与巩固，达到温故而知新的效果。
【学情分析】
因为是复习课，学生对基础知识有一定的了解，但巩固落实不够；而且学生在知识点与材料对接方面的能力不足，要善于引导学生加强理论联系实际的能力。
【教学目标】
一、初学目标
结合十九大的最新表述,温习科技创新的基本观点
二、深学目标
1、学生能结合时事科技类考点，列举我国的科技成果；
2、学生能根据所学知识，分析我国科技创新取得巨大成就的原因
三、拓学目标
1、学生围绕“我国科技创新取得了一系列的成就，我国已经迈进了科技创新强国”谈谈自己对此的看法
2、学生学会反思做题方法。
【课时安排】1课时
【板书设计】
新民主主义时期
内涵——丰富与发展新中国成立后
改革开放以来民族精神作用
做法
【教学反思】
学生的解题能力较弱，提取材料信息的能力有待加强。
思想品德：专题复习《科技创新》教案(鲁教版九年级全)
初三专题复习：科技创新【设计思想】本课为九年级的时政综合复习课,主要是从科技、教育、人才、创新角度与学生共同复习回顾有关科教兴国战略,人才强国战略,自主创新战略等国家的大政方针，从而加强学生对国家政策的理解和拥护,增强学生的责任感和使命感,也使八年级14、15课和九年级第7课的知识得以系统化.。
中考复习一方面要注重对学生答题方法的指导,另一方面要结合新闻热点引导学生用八九年级所学知识进行分析,锻炼学生的答题速度,掌握知识点,把握各种题型,帮助学生进行中考复习的同时,激发学生了解时事,关心时事,拓展知识面的自觉性.。
【教学目标】1、情感目标：通过科技创新专题学习，增强学生热爱科技的情感，努力学习，提高自己的科技创新素质，为改变祖国的命运做出贡献。
2、能力目标：通过新闻分析，掌握原理加分析的答题方法。
引入时政新闻，提高学生理论联系实际的能力。
3、知识目标：了解科技、教育、人才、创新的相关原理及其对国家对个人的启示，指导科教兴国、人才强国、自主创新的战略思想。
【教学准备】教师准备：搜集相关案例，准备课件。
【教学方法】学案导学法、案例教学法、教师示范引导,学生自主学习合作探究。
【教学过程】（一）新闻播报：(设计意图:这一环节的目的在于加强学生理论联系实际的感性认识,由学生来主持完成这一环节,锻炼学生的表达能力，提高其学习积极性。
)视频：从神一到神七——改革开放铸就航天伟业材料：改革开放以来，我国航天科技工作者继承和发扬中国航天的优良传统，弘扬两弹一星精神，坚持走自力更生、自主创新的发展道路，以较少的投入在较短的时间内取得了举世瞩目的辉煌成就。
经济实力的提升为我国载人航天事业的不断发展，顺利完成载人航天工程的“三步走”战略目标打下了坚实的基础。
从神一到神七，短短九年中国航天完成了从无人到载人，从一人到多人，从舱内试验到出舱活动的飞跃，中国也跃居为世界上第三个独立掌握载人航天技术，并能够开展有人参与的空间实验的国家。
【高中说明文阅读】高考语文二轮专题复习学案：科技类文本阅读
【高中说明文阅读】高考语文二轮专题复习学案：科技类文本阅读高考语文二轮专题复习学案：科技类文本阅读考纲阐释（一）理解文中重要概念的含义文中比较重要的概念，也常常与文章的整体内容和要传达的主要信息密切相关，理解文中的重高考语文二轮专题复习学案：科技类文本阅读考纲阐释（一）理解文中重要概念的含义文中比较重要的概念，也常常与文章的整体内容和要传达的主要信息密切相关，理解文中的重要概念往往是理解整篇文章内容的重要环节。
高考考查要点主要集中在如下一些方面：1、现代科技文中的新词语、新概念。
2、代词或指代短语的指代义。
理解重要概念在文中的含义，要抓两个方面：1、分析词语本身的含义。
2、从句子、语段及全文的整体联系中理解词语。
在具体的句子中，可以从词语所在位置的语法要求、内容要求、整个句子意思完整要求等各方面去确定词语的基本意思。
对有些词语的理解应从语段内容的角度去分析，注意语句前后的层次性、内容的连贯性及内涵的完整性。
个别词语的含义必须通过对全文内容的把握，结合文章的基本内容和思想感情倾向，来确定其含义，特别是对词语语境义的提炼与概括。
针对不同的考查方式，采取以下不同的方法：、对概念的理解要以准确判断概念的本质属性为基础，筛选出文中有关重要信息，选出揭示概念的有关信息。
2、对词语比喻义的理解与确认要从分析喻体与本体的相似性入手，寻找比喻的本体是正确解题的关键。
3、代词指代义的确定必须紧扣上下文的内容，要注意指代内容有近距离指代，也有远距离指代，对有些指代性词语还要特别注意其前后指代是否一致，范围是否统一等。
（二）理解文中重要的句子所谓重要的句子是就它们在文中的作用而言的，科技文中重要的句子一般包括：1、文中内容丰富的语句。
2、结构较为复杂的语句。
3、在文中有特定含义的语句。
理解科技文中重要的句子，主要的方法有两种：1、语法分析。
对复杂的单句要分清主干，明确陈述的对象，理解修饰、限制的成分。
对复句要明确区分分句间的关系。
第六单元科学技术与教育文化导学案
第六单元科学技术与教育文化（复习课）【学习目标】
1.知道“两弹一星”的成功研制、“籼型杂交水稻”的培育推广等标志性成果，以及“863”计划的制定。
2.以计算机网络技术的应用为例，说明信息技术在促进我国社会发展中的重要地位。
3.列举九年义务制教育基本普及和高等教育迅速发展的事实，认识教育发展在“科教兴国”战略中的地位。
4.了解我国文化艺术和体育事业的主要成就。
【单元概述】
本单元反映了新中国成立后在科技、教育和文化方面的突出成就。
“两弹一星”、“籼型杂交水稻”、“863计划”凝聚着老一辈科学家的辛勤和汗水，科教兴国给人以希望，申奥成功让国人振奋，这一切都展现了腾飞的中国在21世纪的美好前景。
【知识结构】
自主复习，构建本单元知识网络。
（相信自己，你能行！）
【巩固提升】。
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主题六科技创新与教育发展
(1)古代中国科技的辉煌与落伍与新中国的科技创新(两弹一星、东方魔稻、银河系列计算机、“神舟”飞船等)以及形成的航天精神。
(2)近现代西方的科技发展与创新(近现代三次科学技术革命、牛顿经典力学体系、相对论和量子论、现代信息技术等)。
(3)中国古代、近代教育的发展及特色；现代中国教育发展的阶段及特征。
1．工业革命对资本主义经济增长方式的转变
(1)第一次工业革命：由手工到机器，提高了劳动生产率，促进经济增长；资本家依靠收入、资本积累来促进经济增长。
(2)第二次工业革命：以科技为依托、以提高生产率为手段、以垄断组织为组织形式的经济增长模式。
(3)第三次科技革命：利用经济、科技、军事特别是互联网技术等，促进经济全球化。
2．科技发展与社会进步
(1)古代科学技术的萌芽催生古代农业文明：应用数学知识、天文、医学、四大发明等。
欧洲处于“黑暗中世纪”时，科技、经济、社会进步受到极大阻碍，四大发明是近代欧洲从封建社会向资本主义社会过渡的前提和条件。
(2)近代科学革命和技术革命引发工业文明“日心说”动摇了教会观念，促进人们思想的解放，近代科学诞生；一系列发明创造推动了生产力发展、社会进步。
(3)现代科学技术发展迎来知识经济的新时代：信息技术、空间
革命是人类社会日新月异，以信息革命为中心的新科学革命带领人类迈向知识经济时代。
(2015·高考新课标全国Ⅰ卷)阅读材料，完成下列要求。
材料有历史学者为说明近代以来科学技术在生产力发展中的作用，引用了如下公式：
生产力＝科学技术×(劳动力＋劳动工具＋劳动对象＋生产管理)
这一公式表明，科学技术有乘法效应，它能放大生产力诸要素。
——摘编自齐世荣总主编《世界史》运用世界近现代史的史实，对上述公式进行探讨。
(说明：可以就科学技术与公式中一个或多个要素之间的关系进行论证；也可以对公式进行修改、补充、否定或提出新公式，并加以论述。
要求观点明确、史论结合、史实准确。
)
[解题思路]本题是一道提供观点型开放试题，首先应审清题意，即“可以就科学技术与公式中一个或多个要素之间的关系进行论证”“可以对公式进行修改、补充、否定或提出新公式，并加以论述”；然后从中选择一个自己比较擅长的角度，根据题目要求联系所学知识加以阐释、论证。
解答时可以依据世界近现代史上的两次工业革命和第三次科技革命的相关史实，选取科学技术与公式中一个或多个要素之间的关系进行论证，如选择第一次工业革命中牛顿力学与瓦特改良蒸汽机、工厂制度的建立，第二次工业革命中电力的广泛使用、垄断组织的形成、流水线生产等内容，论证它们之间的关系，也可对公式进行修改、补充、否定或提出新公式，整理答案时应做到史论结合、言之有理。
[参考答案]评分说明：
阅读材料，回答问题。
材料近代以来，由于社会环境的变化，各阶层人民的教育观念发生了相应的转变。
甲午战争失败后，维新派积极推进新式学堂的开办。
维新派认为，中国积贫积弱的主要原因是没有良好的教育，为了变法，必先改革教育。
从京师大学堂到各省的实业学堂、南洋公学等各教学机构纷纷成立。
长沙创办的时务学堂和京师大学堂设立后，把
经学、理学、掌故学等列为普通学，以高等算学、格致学、农学、矿学、商学、卫生学等实学为专门学。
——摘编自张海鹏等编《中国近代史》结合材料及所学知识，指出当时维新派与洋务派教育改革的共同之处。
如何认识教育与时代发展的关系。
解析：第一小问共同，根据“以高等算学、格致学……实学为专门学”得出内容设置重视西学，根据所学知识可知维新派和洋务派兴办教育都是为了救亡图存，培养人才，都创办了新式学堂，都促进了中国教育的近代化；第二小问认识，根据不同时期教育的不同得出教育是随着时代的需要而变化发展的，结合所学可知教育对社会的发展起着巨大的促进作用。
答案：(1)共同：课程内容设置重视西学；兴办教育与救亡图存相结合；开启民智，培养新式人才；创办新式学堂，推动教育近代化。
(2)认识：教育是随着时代的需要而变化发展的；教育对社会的发展起着巨大的促进作用。