南京工业大学线性代数3-5
南邮,线性代数与解析几何3-5
z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？ 例8 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4
解
z a2 x2 y2
上半球面,
2 a 2 a 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
35
2. 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、锥面、二次曲面）
7
3.5.2 旋转曲面、柱面、锥面
1. 旋转曲面 定义 在空间，一条平面曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所 生成的曲面 S称为旋转曲面.
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
4
例 3 已知 A(1,2,3)， B( 2,1,4)，求线段 AB 的垂 直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
36
例 9 如果空间一点 M 在圆柱面 x y a 上以 角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
11
y2 z2 2 2 1 z 轴； （2）椭圆 a 绕y 轴和 c x 0 2 y x2 z2 旋 绕 y 轴旋转 2 1 2 转 a c
《线性代数》课程教学大纲.
《线性代数》课程教学大纲课程名称：线性代数/ Linear Algebra课程编码：0703005103课程类型：（非数学专业）专业基础课总学时数/学分数：48 /3 实验(上机)学时：0适用专业：高中生源本科部分专业先修课程：制订日期：2005年11月12日一、课程的性质、任务和教学目标《线性代数》是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校工科本科（高中生源）各专业的一门重要的基础理论课。
由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。
尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。
通过教学，使学生，1．树立正确的数学思想，理论联系实际，具有创新精神；2．理解并掌握线性代数中的基本概念、基本定理、基本理论；3．培养解决实际问题的能力；并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
4．通过课后作业和答疑，掌握有关理论及解题技巧；二、课程教学内容及要求三、实验内容及要求无五、教学方法和手段1）此课程对学生来说比较陌生，学生很难从已有的数学思维迅速转型到代数思维中来，因此，教学中一定要特别注意循序渐进，紧紧围绕线性代数的研究对象展开，使学生再学习中逐步认识、领会线性代数的内容并达到一定的理论高度。
2）作业布置上应有一定灵活性，除计算证明外，可布置总结性作业，使学生在不同学习阶段能对内容有不同的系统认识，从而有助于对代数系统的把握。
3）根据专业特色，开展试验课，布置课外用计算机实现求解方程，矩阵运算等内容，提高学生学习兴趣，增强其对代数应用的潜能。
六、考核方式考核方式以各专业培养计划为依据。
考试课期末考试占总成绩的80%，平时作业、小测验及考勤等平时成绩占总成绩的20％，采用百分制，总成绩60分为及格，方能获得学分。
（注：平时成绩包括课程教学过程中的测验、作业、课堂讨论、考勤等项成绩。
南京工业大学浦江学院 线性代数 试题(A)卷
.
0 1
故原方程组有无穷多组解时的通解为 X k11 k22 ， k1, k2 为任意常数.―――13 分
2 0 4
七（16
分）解：二次型的矩阵为
A
0 4
6 0
0 2
―――――――――――――4
分
2 0 4
矩阵 A 的特征方程为
fA()
A E
0
4
6
0
(
6)
2(
2)
0 2
一、填空题（每题 3 分，共 15 分）
1 2 1
(1)-2
(2)
1A 2
(3) -1 (4)
1 A* | A|
(5)
0,
2 3
4 6
2 3
二、选择题（每题 3 分，共 15 分）
(1) D (2) A (3) C (4) B (5) A
三、（12 分）解：
a (n 1)b a (n 1)b a (n 1)b a (n 1)b
x2 y2 z2
1． 已知 0 2 3 2 ，则 2 4 5
。
111
111
2． 已知 A2 A 2E ，则 ( A E)1
。
3． 设向量1 (0,1,1)T , 2 (1, k,1)T 分别为属于三阶实对称矩阵 A 的特征值－2，1 的特征
向量，则 k
。
4． 若 A* 表示可逆方阵 A 的伴随矩阵，则 A1
（A） 1 个 (B) 3 个
(C ) 2 个
(D) 4Байду номын сангаас个
4．设三阶方矩 A 的三个特征值分别为 1,2,4, 又矩阵 B A2 A 3E ,则如下正确的是( )
线性代数-N阶行列式概要
南京工业大学理学院 信息与计算科学系 程 浩
介 绍
线性代数是研究在日常生活里、在工程技术
的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的
代数问题的一门学科。 这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方 程组的求解理论与方法，化二次型为标准型，
线性空间与线性变换等。
1 什么全国大学生数学建模竞赛？ 2 数学建模竞赛在我校的情况？ 3 该怎样参加数学建模竞赛？
－ ＋ ＋ a31 a32 a33
1 2
＋
－ ＋
A12 = (1)
a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32
(a21a33 a23a31 )
和
A13 = (1)
1 3
a21a32 a22a31
而且
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33
例1． 解线性方程组
x1 2 x2 0 3 x1 4 x2 1 解 由于方程组的系数行列式 1 2 D 4 6 2 0 3 4 又 1 0 0 2 D2 1 D1 2 3 1 1 4
所以方程组的解为
D1 x1 1 D
D2 1 x2 D 2
1 3
解
8
0 1 1 1
例2．计算行列式 D 1 2 3
D =1 2 1 1 (1) 1 0 3 3
1 2 3 1 3 1 0 (1) 1
=8
但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向
一般 n 阶行列式推广。
事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对 角线法则
南京工业大学浦江学院 线性代数 试题(B)卷
3 1
x1 9x2 3x3 7x4 7
南京工业大学浦江学院
第3页共6页
七、（16 分）已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 4x22 5x32 4x1x3 ，试回答下列问题 1） 写出此二次型的矩阵 A ； 2） 利用正交变换 X QY 该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；
五、（12 分）求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组
线性表示. 1 (1,1,1, 1),2 (1,1, 1, 1),3 (1, 1, 1,1),4 (1, 1, 1,1).
六、（13分）求线性非齐次方程组的通解.
x1 5x2 x3 x4 1
3x1x128xx2 2xx3 33xx44
0 0
＝ (1)n1 (n 1)! ――――――12 分 2
0
0 0 n 1 (n 1)
四（12 分）解：由 AB=A+2B，可见(A－2E)B=A，因此 B=(A－2E)－1A ―――――――4 分
2 2 3
1 4 3
又
(
A
2E)
1
1
0
，其逆矩阵
(A
2 E ) 1
1
5 3 ―
――――――16 分
3 5
南京工业大学浦江学院
第6页共6页
( A) R( A) 5 (B) R( A) 4 (C) R( A) 3 (D) R( A) 2
5．若矩阵 A 的秩为 r，则（
）。
（A）A 中至少存在一个 r 阶子式不为零
（C）A 中所有 r－1 阶子式均不为零
（B）A 中存在一个 r+1 阶子式不等于零 （D）A 中只有一个 r 阶子式不为零
南京工业大学线性代数第3章6节
1 3
是 R3 的一个标准正交基。
证
1
,
2
,
3
1
3 2
3
2 3 1
3
2
3 2
A
3
2 3
2 3
1 3
则不 是单位正交向量组，从而也就是 R3
的一个标准正交基。
五．小结
向量组的内积及其性质 ； 正交向量组与施密特正交化方法； 正交矩阵。
六．思考题
2,3
k12 , 1
k22, 2
0
解得 于是
k1
1 1
, 3 , 1
,
k2
2,3 2 , 2
3
3
1,3 1, 1
1
2,3 2 , 2
2
继续做下去 … …， 直至得到
r
r
1 1
, r , 1
1
2 2
, r , 2
2
r 1 r 1 ,
, r
r 1
r
1
于是得到一个正交向量组 1, 2 ,, r ：
概念性题
设可逆矩阵 A
aij
满足A* AT ，其中 A*
33
为
A
的伴随矩阵，AT 为 A 的转置矩阵。若 a11,a12,a13
为三个相等的正数，试求 a11
思考题解答：
第二章引理
AA* AAT A E
从而
A 1 or 0（不合题意） AAT E
即 A 为正交矩阵，于是
a121 a122 a123 1
ki i ,i 0
再由 i 0 知 i ,i 0 ，得到
ki 0 (i 1,2,,m)
因此，1,2 ,,m 线性无关。
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
南京工业大学线性代数江浦A答案
南京工业大学 线性代数 试题 （A ）卷试题标准答案2009 --2010 学年第一学期 使用班级 江浦08级各专业一、填空题（每题3分，共15分）(1)3/212--n (2) A -(3) -1 (4) 3 (5) 0,121242363--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭二、选择题（每题3分，共15分）(1) C (2) A (3) C (4) B (5) A 三、（12分）解：n D =mx x x m x x x m x n n n ni i ---∑=2221111)(―――――――――――――――5分＝mm x x m x nn i i ---∑= 00001)(21――――――――――――――――――10分＝)()(11m x m ni i n --∑=-―――――――――――――――――――――――――12分四（12分）解：由矩阵方程2366AB A E B +=+可得 2636AB B E A -=- 即(6)(6)(6)A E B A E A E -=--+ （1）―――――――――6分又|6|0A E -≠，6A E -可逆，方程（1）两边左乘1(6)A E --可得――――8分70002900(6)0011015013B A E -⎛⎫ ⎪--⎪=-+= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭――――――――――12分 五（12分）解：以125,,,ααα 为列构成矩阵A ，对A 施行初等行变换将其化为行最简形。
A ＝103211301121752421460⎛⎫ ⎪--⎪⎪⎪⎝⎭21314124r r r r r r +--10321033300111002224⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ 234332r r r r --1032100000011100044⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭233413r r r r r ↔↔-1032101110000110000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭23132r r r r -- 10301011010001100-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭――――――――――――――――――――――――――――――――――――6分 故15(,,)3,R αα= ―――――――――――――――――――――――――――8分 其一个极大线性无关组为124,,ααα且31254123,ααααααα=+=--――――――12分六、（13分）解：系数行列式)4)(1(2111111k k k k-+=--由克莱姆法则得，当,1-≠k 且4≠k 时，方程组有唯一解。
南京工业大学课程
2010-2011学年第2学期学习
课程名称
课程性质
大学体育-4
必修课
大学英语-4
必修课
概率统计
必修课
工程力学-1
必修课
管理学原理
必修课
会计学
必修课
经济学
必修课
毛泽东思想和中国特色社会主义理论 体系概论
必修课
认识实习
必修课
土地管理学
任选课
课程归属
学分 1 3 3 4 2 3 3 3 2 2
行政班：工管0901 开课学院 备注
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
第1、2节
第3、4节
土木工程制图-2 周一第3,4节{第1-15
周} 唐明怡
B207(多)
高等数学A-2
周一第5,6节{第1-15
第5、6节
周}
唐健 B208(多)
第7、8节
大学物理B-1
周一第7,8节{第1115周} 崔运国
B202(多) 环境污染与健康
第9、10、 11节
电子与信息工 程学院
理学院 外国语学院 理学院 测绘学院 测绘学院 政治教育学院 土木工程学院 电子与信息工 程学院
专业：工程管理
学年
学期
2010-2011
1
2010-2011
1
2010-2011
1
2010-2011
1
2010-2011
1
2010-2011
1
2010-2011
1
2010-2011
1
{第2-9周|3节/周}
王海玲 厚202(多)
大学英语-2(听力) 周二第1,2节{第4-14周|双周}
南京工业大学线性代数B试卷
南京工业大学线性代数B试卷南京工业大学线性代数B 试题（A ）卷（闭）2016-2017学年第二学期使用班级 16级计算机等专业班级学号姓名符号说明：A A 表示矩阵A 的转置，A (A )表示矩阵A 的秩，|A |表示方阵A 的行列式，A *表示方阵A 的伴随矩阵。
一、选择题(每题3分，共12分)1. 设A 为4阶方阵，且5A =，则()15T A -=（）A. 55B. 35C.5-5D. 3-52. 设A 为m n ?阶矩阵，m n ≠，则齐次线性方程组0Ax =只有零解的充分必要条件是A 的秩（）A. 小于mB. 等于mC. 小于nD. 等于n3.设向量组12,,,r ααα(Ⅰ)和向量组12,,,sβββ（Ⅱ）均线性相关，且(Ⅰ)可由（Ⅱ）线性表示，则一定有（）A. (Ⅰ)的秩≤（Ⅱ）的秩B. (Ⅰ)的秩 >（Ⅱ）的秩C. r s ≤D. r s >4.已知111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ,111213212223313233333a a a B a a a a a a ?? ?= ? ，100030001P ?? ?= ?，100310001Q ?? ?= ?，则 B =（） A. PA B. AP C. QA D. AQ二、填空题 (每题3分，共18分)1. ,3211-=A 则A 的伴随矩阵A *= . 2. 设A 为3阶方阵，如果对任意一个3维向量()T 321,,x x x X =都是AX=0解向量，则A= .3. 设3阶方阵A 有特征值1，-1，2，E A B 232-=，则B 的特征值为= .4. 设321ααα，，为3阶方阵A 的列向量组，且|A|=3，则22312-2αααα，，= .5. 设有m 个n 维向量, 且m>n ，则该向量组必线性 .6. 向量组(1, 0 ,1) T , (2, 3, 4) T 单位正交化为T ??? ??21021，，、 . 三、(8分)求行列式D=12 2 2 2212222 21222221222221.四、(10分)设????? ??=????? ??--=100012,2113402-03B A ，且AX-2X=B, 求X .五、(12分)已知向量组()T 10231，，，=α，()T 23-1407，，，=α，()T 3101-2，，，=α，()T 42615，，，=α，()T 5141-2，，，=α.(1). 求该向量组的秩。
南京工业大学矩阵论第三章讲义 ch3
第三章 欧氏空间与酉空间在线性空间中，向量之间只有加法与数量乘法这二种基本运算，而没有象几何空间2R 、3R 那样引入向量的长度，两个向量的夹角等度量概念，而这些概念在实际应用中是非常重要的。
本章将对一般的实线性空间和复线性空间定义内积计算，从而引入向量的长度、夹角等度量概念。
§3.1 欧氏空间定义1 设V 是实线性空间，如果对于任意V ∈βα,，按照某一法则有一个确定的实数记为（βα,）与它们对应，且满足下列条件：（1）),(),(αββα=； （2）),(),(βαβαk k =； （3）),(),(),(γβγαγβα+=+；（4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
其中γβα,,为V 中任意向量，k 为任意实数，（βα,）称为α与β的内积，定义了内积的实线性空间V 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称欧氏空间。
例1 在线性空间nR 中，对于任意两个向量：),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα定义：n n b a b a b a +++=Λ2211),(βα （1）容易验证以上定义满足内积定义中的四个条件，因而nR 对于（1）构成一欧氏空间，以后仍用nR 来表示这个欧氏空间。
当2=n 或3时，（1）式就是几何空间中所称为向量的数量积或点积。
如果定义：n n b na b a b a +++=Λ22112),(βα同样可以验证n R 也构成一个欧氏空间，因此对于同一线性空间，可以定义不同的内积，使它成为欧氏空间，以后用到欧氏空间n R ，内积总是指定义（1）。
例2 在实连续函数组成的线性空间],[b a C 中，对任意],[)(),(b a C x g x f ∈，定义：((),())()()baf xg x f x g x dx =⎰ （2）根据定积分基本性质，容易验证（)(),(x g x f ）满足定义1的四个条件，因此],[b a C 构成一个欧氏空间。
南京工业大学近几年线性代数考试试卷及答案解析
南京工业大学近些年线代期末考试卷及答案包括以下六份试卷1南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)2南京工业大学线性代数课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)3南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2007--2008学年第一学期使用班级江浦各专业本科生4南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生5南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生6南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第二学期使用班级计软0801－3南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)所在系(院) 班级学号姓名一． 填空题(每空3分，共15分)1、 若n 阶方阵A 满足02=+-E A A (E 为单位阵)，则A 的逆矩阵=-1A ____________.2、设矩阵B 是由矩阵A 划去某一列所得, 则秩(B )________秩(A ).3、若1111320=z y x, 则=---222431111z y x ________..4、若向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112k α 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110k β 正交，则=k ________.5、已知三阶矩阵A 的特征值为,2,1,1-设,223A AB -=则B 的三个特征值为________.二． 单项选择题(每题3分，共15分)1、齐次线性方程组0=x A 的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A 的秩为 （ ）5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D 2、设有m 个n 维向量)(n m >，则 （ ）)(A 必线性相关 )(B 必线性无关 )(C 不一定 )(D 无法确定3、设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ）()A A A '- ()B CAC ' （C 为任意n 阶方阵） ()C AA ' ()()D AA B ' （B 为任意n 阶方阵）4、设A 与B 均为n 阶方阵，若A 与B 相似，则下面论断错误的是 （ ）)(A 存在M ，且0M ≠，并有AM MB = )(B A 与B 有相同的特征值B E A EC -=-λλ)( )(D A 与B 均可对角化5、若向量组321,,ααα 线性无关，向量组421,,ααα线性相关, 则 （ ）)(A 4α 必不可由321,,ααα 线性表示 )(B 4α必可由321,,ααα 线性表示 )(C 2α 必不可由431,,ααα 线性表示 )(D 2α必可由431,,ααα 线性表示三. (12分) 求n 阶行列式:)1(10000220000111321------n n n n。
南京工业大学线性代数第3章3节
本节内容：
一、极大线性无关组； 二、向量组的等价性； 三、向量组的秩。
一、极大线性无关组
定义1 设有向量组A, 如果： (1) A 中有r个向量1, 2,…, r线性无关; (2) A 中任一向量都可由1, 2,…, r线性表示. 则称 1, 2,…, r 是向量组A的一个极大线性无关 组（maximal linearly independent systems）。
故 3 与 1、2 线性相关。 所以1 ,2 就是 1 , 2 , 3 的一个极大线性无关组。
事实上，1 ,2 线性无关是毫无疑问的，此外
1 11 0 2 2 0 1 12 3 2 1 12
即 1 ,2 , 3 中的任一个都可由1 ,2 线性表示，
所以 1 ,2 就是 1 ,2 , 3 的一个极大线性无 关组。
由推论 2，r(A) = r(B) 。 从而 向量组 A 线性无关
r(A) = 3 r(B) = 3 向量组 B 线性无关
四、小结
向量组的极大线性无关组； 等价向量组及其性质； 向量组的秩。
五、思考题
综合性题
设向量组1,2 ,, s 线性无关。试讨论下列
向量组
1 1 2,
2 2 3,
定理1 如果线性无关的向量组A: 1, 2 ,, s
可以由向量组B: 1, 2 ,, t 线性表示， 则
st。
？ 即用含向量个数较少的向量
组，不可能表示出个数更多的、 且线性无关的向量组
几
何
结论是：
解 释
k11 k22 2
k11 k22 中
线性无关的向
1
量不能超过两
个.
定理1 如果线性无关的向量组A: 1, 2 ,, s 可以由向量组B: 1, 2 ,, t 线性表示， 则
南京工业大学线性代数第3章5节
解设
x11 x22 xnn
x1
1
,
2
,,
n
x2
xn
即
1 1
0 1
0 0
0 x1 a1 0 x2 a2
0
1
0
0
x3
a3
或
0 0
0 0
1 1
0 1
xn1 xn
an1 an
x1 a1
x1 x2
x2 x3
a2 a3
是 Rn 的子空间。
定义3 设 1,2 ,,r 是向量空间V的向量,且满
足
1) 1,2 ,,r 线性无关； 2) V中任一向量都可以由 1,2 ,,r线性表示。
则称 1,2 ,,r 为向量空间V的一个基，r 称为向 量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间。
只含零向量的集合也是一个向量空间，它没有 基，它的维数规定为0。
n ≥4 时，它没有直观的几何意义。
例2 集合 V X | X 0, x2,, xn , x2,, xn R 是一
个向量空间。
例3 集合V X | X 1, x2,, xn , x2,, xn R 不是
一个向量空间。
例4 设、为两个已知的 n 维向量，证明集合
V X | X , , R
x11 x2 2 xr r
则称有序数组 x1, x2 ,, xr 为向量 在基
1, 2 ,, r 下的坐标，记为 x1 , x2 ,, xr 或为 x1, x2 ,, xr
显然，向量空间的基不是唯一的，但向量在给
定基下的坐标是唯一的。
例5 求n维向量 (a1, a2 ,, an )在基 1 (1,1,0,,0),2 (0,1,1,,0), n1 (0,,0,1,1),n (0,,0,1) 下的坐标。
南邮,线性代数与解析几何3-2
ax
ay
az
(1) (a , b , c ) (a b ) c (b c ) a (c a ) b . (2) 三向量 a 、 b 、 c 共面 (a , b , c ) 0. 0
4
4. 数量积符合下列运算规律
（1）交换律：a b b a; （2）分配律： (a b ) c a c b c ;
（3）若 为数： ( a ) b a ( b ) ( a b ), 若 、为数： ( a ) ( b ) ( a b ).
5. 几何意义
c ab
a 和b 为邻边 | a b |表示以
的平行四边形的面积.
b
a
例5 若 , , 证 明
与 共 线 .
证：因
( ) ( ) 0,
注意： (a b )c a(b c)
5
例1 用向量法证明三角形的余弦定理
证明：如图，设
A
CB a CA b
c
B
b
C
AB c
则
c ab
a
| c |2 ( a b ) ( a b ) a a b b 2a b
.
| a | | b | 2 | a || b | cos
j ay by
例 7 求证以 M1 (4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,并求三角 形的面积.
南京工业大学线性代数第2章4节
0
2
1 2 3
B
1
0
4
0 1 0
0
0 1
解
A
E2 O
A1 2E2
B
B1 O
B2 E2
AB
B1 O
B2 A1
2E2
1 1
0
0
1 2
2
0
0 3 0
2
作为特殊应用，例如，取以下一种特殊的分块
方式
a11
Ams
a21
a12
a22
a1s a2s
am1 am2 ams
A1 2E2
0
0
0
2
或
1 0 1 3 1
或
A
0
0
0
1 0 0
2 2 0
1
0
2
2
34
1 0 1 3
A
0
0
1 0
2 2
1
0
1 2 3 4
0
0
0
2
二. 分块矩阵的运但算分矩块阵时分每块条方分法隔没线有都限必制须性，
1.加减运算
贯串整个矩阵。
设矩阵有相同的规模（即行、列数相等），且 采用相同的分块方法，即
Am
A1B1 A1Bn
√
Am B1 Am Bn
结论：同样两个矩阵A，B相乘，只是采用的
分块方法不同，就有了不同形式的结果。
4.矩阵转置
设 则其转置
A11 A1t
A
As1 Ast
A1T1 AsT1
AT
A1Tt
AsTt
注意：分块矩阵转置时，不仅行列需要互换,互
南京工业大学线性代数b试卷
南京工业大学线性代数B 试题（A ）卷（闭） 2016-2017学年第二学期使用班级16级计算机等专业班级学号姓名符号说明：A A 表示矩阵A 的转置，A (A )表示矩阵A 的秩，|A |表示方阵A 的行列式，A *表示方阵A 的伴随矩阵。
一、选择题(每题3分，共12分)1.设A 为4阶方阵，且5A =，则()15T A -=（）55355-53-5设A 为m n ⨯阶矩阵，m n ≠，则齐次线性方程组0Ax =只有零解的充分必要条件是A 的秩（）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n3.设向量组12,,,r αααL (Ⅰ)和向量组12,,,s βββL （Ⅱ）均线性相关，且(Ⅰ)可由（Ⅱ）线性表示，则一定有（）A.(Ⅰ)的秩≤（Ⅱ）的秩B.(Ⅰ)的秩>（Ⅱ）的秩r s ≤.r s >4.已知111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,111213212223313233333a a a B a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100030001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100310001Q ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B =（）PA AP QA AQ 二、填空题(每题3分，共18分)1.,3211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 则A 的伴随矩阵A *=.2.设A 为3阶方阵，如果对任意一个3维向量()T321,,x x x X =都是AX=0解向量，则A=. 3.设3阶方阵A 有特征值1，-1，2，E A B 232-=，则B 的特征值为=.4.设321ααα，，为3阶方阵A 的列向量组，且|A|=3，则22312-2αααα，，=.5. 设有m 个n 维向量,且m>n ，则该向量组必线性.6. 向量组(1,0,1)T ,(2,3,4)T 单位正交化为T⎪⎭⎫ ⎝⎛21021，，、. 三、(8分)求行列式 D=12 2 2 2212222 21222221222221.四、(10分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100012,2113402-03B A ，且AX-2X=B ,求X . 五、(12分)已知向量组()T 10231，，，=α，()T 23-1407，，，=α，()T3101-2，，，=α，()T 42615，，，=α，()T 5141-2，，，=α.(1).求该向量组的秩。
南京工业大学线性代数第2章3节
v v
或
x y
1
2 1
22
2
1
2 1
u v
2
（3.2）
若记（3.1）、（3.2）式中的系数矩阵分别为
A，B，即 A 1 1
1 1
B
1
2 1
1
2 1
2 2
不难验证矩阵A，B满足下列性质：
称它们互为 “逆矩阵”
AB BA E
一. 可逆矩阵的定义
定义1 设 A 为n阶矩阵，如果存在一个n阶矩 阵 B，使得
0 2 0 * * * 1
0 0 0 * * *
1
所以这个 3 阶矩阵是不可逆的。
定理1 若 A 为 n 阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是 唯一的。
证 若 A 为 n 阶可逆矩阵，且矩阵B，C均为其 逆矩阵。则有
AB BA E AC CA E
下从证而
B
BE
B( AC)
(BA)C
?
2. 对于 n 阶对角矩阵
因为
1
2
n
1
1 1
?
2
·
2
n
1 n
? 1 1
=
2
1
·
2
=E
1 n
n
所以这个 n 阶对角矩阵是可逆的，且
diag(1,2,, n)1 diag(1, 1 ,, 1) 2n
3.设 3 阶矩阵
因为
1 0 1 0 2 0 0 0 0
? 1 0 1 * * * 1
an1 an2 ann A1n A2n Ann
? A 0 0
0
A
0
AE
0 0 A
同理，有
线性代数习题册(答案) 南林
线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式： (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n xa a a x a D aax=（每行都加到第一行，并提公因式。
）(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名 1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。
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Er PAQ 0
其中 E r 为r阶单位矩阵。
0 0 m n
称右端为为A的相抵标准形（或等价标准形）。 容易证明：任意两个同型矩阵是相抵的充要条件
是它们有相同的秩。
三. 小结
1. 矩阵的非零子式阶数与秩的关系；
2. 矩阵的相抵标准形（或等价标准形）。
四. 思考题
概念性题
思考题解答：
答案 （D）
证 设矩阵 A 的秩 r(A) = r min { m , n } ， 下面 先证 A 有 r 阶子式不等于零： 不等于零
a11 a21 ar 1 a r 11 a m1 a1r a1r 1 a2 r a 2 r 1 arr arr 1 a r 1 r a r 1 r 1 A1 amr a m r 1 a1n a2 n arn a r 1 n am n
设 n 维列向量组 1 , 2 ,, m （m<n）线性 无关， 则 n 维列向量组 1 , 2 ,, m 线性无 关的充要条件是（ ）
（A）向量组 可由向量组 线性表示； （B）向量组 可由向量组 线性表示； （C）向量组 与向量组 等价； （D）矩阵A =（）与矩阵B=（）等价。
第五节 矩阵的非零子式· 相抵标准型
一．矩阵的非零子式与ห้องสมุดไป่ตู้的关系
定义1 矩阵 A (aij )mn 的任意 k 行和任意 k 列 的交叉点上的 k 2 个元素，按原顺序排列成的 k 阶 行列式
ai1 j1 ai1 j2 ai2 j1 ai2 j2 aik j1 aik j2
Amn
A有r个行线性无关
A1有r个列线性无关
为零 再证 A 的任何 r+1 阶子式均为零：
Amn
a11 a21 ar 1 a r 11 a m1
a1r a1r 1 a2 r a 2 r 1 r+1 arr 阶子式 arr 1 a r 1 r a r 1 r 1 amr a m r 1
ai1 jk a i 2 jk a i k jk
即为A的主对角线
如果矩阵 A 存在 r 阶非零子式，而所有的 r+1 阶子式（如果有 r+1 阶子式）都等于零，则称矩 阵 A 的非零子式的最高阶数为 r。 注意：由所有的 r+1 阶子式都等于零可推出所 有更高阶的子式都等于零。 定理1 矩阵 A 的非零子式的最高阶数等于矩 阵 A 的秩 r(A) 。
二．矩阵的相抵标准形
最后我们讨论，一个秩为 r 的矩阵通过初等变 换化为怎样的最简单的矩阵？也就是矩阵的相抵 标准形 ( 或说等价标准形 ) 。
定义2 若存在可逆矩阵 P、Q ，使得
PAQ = B 就称矩阵 A 相抵于（或称等价于）B, 记作 A B
根据定义,容易证明矩阵的相抵关系有以下性质：
ai1 jk a i 2 jk a i k jk
称为 A 的一个 k 阶子行列式，简称 A 的 k 阶 子式。
当 k 阶子式为零（不等于零）时，称为 k 阶零
子式（非零子式）。
当 i1 j1, i2 j2 ,, ik jk 时，称为 A 的 k 阶主子
式。
ai1 j1 ai1 j2 ai2 j1 ai2 j2 aik j1 aik j2
a1n a2 n arn a r 1 n am n
A的任何r+1行线性相关 r+1 阶子式的行线性相关
综上所述，关于矩阵的秩的基本结论是：
1）初等变换不改变矩阵秩； 2）矩阵的秩
=矩阵的行秩
=矩阵的列秩
=矩阵的非零子式的最高阶数。
1） 反身性：即 A A
2） 对称性：即若 A B, 则 B A
3） 传递性：即若 A B, B C , 则 A C
满足以上三点性质的关系一般称为等价关系。 联系到在第二章中我们曾得到的一个结论:
定理2 若A为 m n 矩阵，且r(A)=r，则一定存在 可逆矩阵P（m阶）和Q（n阶），使得