球的表面积与体积导学案4
高中数学《球的体积和表面积 》导学案
1.3.2 球的体积和表面积课前自主预习知识点 球的体积和表面积1.球的体积如果球的半径为R ，那么它的体积V ＝□143πR 3. 2.球的表面积如果球的半径为R ，那么它的表面积S ＝□24πR 2.1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )(3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R 3S .( )答案 (1)√ (2)√ (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)表面积为4π的球的半径是________．(2)直径为2的球的体积是________．(3)(教材改编，P 28，T 3)已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为_______．答案 (1)1 (2)4π3 (3)4π3.(教材改编，P 27，例4)若球的过球心的圆面圆周长是c ，则这个球的表面积是( )A.c 24πB.c 22πC.c 2π D ．2πc 2答案 C课堂互动探究探究1 球的体积与表面积例1 (1)已知球的直径为6 cm ，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；(3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．解 (1)∵直径为6 cm ，∴半径R ＝3 cm.∴表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)，体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4.∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝2563π.(3)∵V 球＝43πR 3＝5003π，∴R 3＝125，R ＝5.∴S 球＝4πR 2＝100π.拓展提升求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 【跟踪训练1】 (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．(2)已知球的大圆周长为16π cm ，求这个球的表面积．答案 (1)364π3 (2)见解析解析 (1)设大、小两球半径分别为R ，r ，则由题意可得⎩⎨⎧ R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，∴⎩⎨⎧ R ＝4，r ＝3.∴它们的体积和为43πR 3＋43πr 3＝364π3.(2)设球的半径为R cm ，由题意可知2πR ＝16π，解得R ＝8，则S 球＝4πR 2＝256π(cm 2).探究2 球的三视图例2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.该几何体的体积为V ＝23＋12×43π×13＝8＋2π3.拓展提升(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．(2)求解表面积和体积时，要避免重叠和交叉.【跟踪训练2】 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π 答案 C解析 由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，根据体积公式可得组合体的体积为12×43π×33＋13π×32×4＝30π.探究3 球的截面问题例3 一平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解析利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，∴OM＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V＝4＝43π.3π×(3)3答案B拓展提升球的截面的性质(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．(2)利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.【跟踪训练3】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3 cm 3答案 A解析 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3).【跟踪训练4】 球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________．答案 6解析 如图，由已知条件知球的半径R ＝10，截面圆的半径r ＝8，∴球心到截面的距离h ＝R 2－r 2＝6.探究3 球的组合体问题例4 设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析 作出图形的轴截面如图所示，点O 即为该球的球心，线段AB 即为长方体底面的对角线，长度为a 2＋(2a )2＝5a ，线段BC 即为长方体的高，长度为a ，线段AC 即为长方体的体对角线，长度为a 2＋(5a )2＝6a ，则球的半径R ＝AC 2＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2.答案 B[条件探究] 将本例中长方体改为棱长为a 的正四面体，则球的表面积如何求？解 如图，过A 作底面BCD 的垂线，垂足为E ，则E 为△BCD 的中心，连接BE .∵棱长为a ，∴BE ＝32a ×23＝33a .∴在Rt △ABE 中，AE ＝a 2－a 23＝63a .设球心为O ，半径为R ，则(AE －R )2＋BE 2＝R 2，∴R ＝64a ，∴S 球＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 2＝32πa 2. 拓展提升1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a 2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2.长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．3．正四面体的外接球 正四面体的棱长a 与外接球的半径R 的关系为：2R ＝62a .【跟踪训练5】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 答案 B解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.【跟踪训练6】 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．答案932或332解析①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球的半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－⎝⎛⎭⎪⎫r22＝3r2，高为3r2.该圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r22×3r2＝38πr3，球的体积为43πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.1.球的有关性质(1)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝R2－r2.(2)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径，被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．2.与球有关的组合体与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的轴截面．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合体，通常作出它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”“接点”作出轴截面．课堂达标自测1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6答案 A解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．20π答案 D解析 由该几何体的三视图知，它是由一个球和一个圆柱组成，S 表＝S 球＋S 圆柱＝4π×12＋π×22×2＋2π×2×2＝4π＋8π＋8π＝20π.3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A.1倍 B ．2倍 C.95倍 D.74倍答案 C解析 设最小球的半径为r ，则另外两个球的半径分别为2r,3r ，其表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，故最大球是其余两个球的表面积之和的36πr 24πr 2＋16πr2＝95倍. 4.一个距离球心为3的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为________．答案 32π3解析 设所得的圆面的半径为r ，球的半径为R ，则由π＝πr2，得r＝1，又r2＋(3)2＝R2，∴R＝2.∴V＝43πR3＝32π3.5.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π·(3r)2·3r－4 3πr3＝53πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积是V′＝13π·⎝⎛⎭⎪⎫33h2·h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.即容器中水的深度为315r.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为( )A.24πB.6πC. 324πD. 36π答案 D解析 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝ 36π.2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3 B.32π3 C ．8π D.82π3答案 C 解析 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1， ∴截面圆的面积为S ＝π(R 2－1)2＝(R 2－1)π＝π，∴R 2＝2，∴球的表面积S ＝4πR 2＝8π.3.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是( )A.202π B ．252π C ．50π D ．200π答案 C解析 因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r ，则有(2r )2＝32＋42＋52＝50，即4r 2＝50，故它的外接球的表面积是S ＝4πr 2＝50π.4.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可知该几何体的体积为( )A.4π3B.15π3C.4π3－15π3D.4π3＋15π3答案 D解析 由三视图可得，该几何体的上部是一个球，球的直径为2，则V 球＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝4π3，该几何体的下部是一个圆锥，圆锥的底面直径为2，高为15，则V 圆锥＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×15＝15π3，所以该几何体的体积为V 球＋V 圆锥＝4π3＋15π3.5.一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A.96 3 B ．16 3 C ．24 3 D ．483答案 D解析 设正三棱柱的底面边长为a ，则球的半径R ＝33×12a ＝36a ，正三棱柱的高为33a .又V 球＝43πR 3＝4π3×(3)363a 3＝32π3.∴a ＝4 3.∴V 柱＝34×(43)2×33×43＝48 3.二、填空题6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.答案 4解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm.7.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．答案 16π解析 由题意得圆M 的半径r ＝3，又球心到圆M 的距离为R 2，由勾股定理得R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22，R ＝2，则球的表面积为16π.8.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2，则该球的表面积为________．答案 36π解析 ∵两正四棱锥有公共底，且体积比为1∶2，∴它们的高之比为1∶2，设高分别为h,2h ，球的半径为R ，则h ＋2h ＝3h ＝2R ，∴R ＝32h ，又∵底面边长为4，∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋(22)2， 解得h ＝2，∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π.三、解答题9.如图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．解 这个几何体的直观图如图所示．因为V 长方体＝10×8×15＝1200(cm 3)，又V 半球＝12×43πR 3＝12×4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π12(cm 3)， 所以所求几何体的体积为V ＝V 长方体＋V 半球＝1200＋125π12(cm 3)．因为S 长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm 2)，S 半球＝12×4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π2， S 半球底＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π4，故所求几何体的表面积 S 表面积＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋25π4(cm 2).B 级：能力提升练10.在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A－BCD，求此正三棱锥的体积．解①如图甲所示的情形，显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H 为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上．∵HB＝HC＝HD＝23×32×123＝12，∴OH＝OB2－HB2＝9，∴正三棱锥A－BCD的高h＝9＋15＝24.又S△BCD＝34×(123)2＝1083，∴V三棱锥A－BCD＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A－BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝1083，∴V三棱锥A－BCD＝13×1083×6＝216 3.综上，此正三棱锥的体积为8643或216 3.。
球的体积和表面积教案
球的体积和表面积教案教案名称：球的体积和表面积教学目标：1.了解球体积和表面积的概念以及计算公式。
2.通过具体实例，培养学生计算球体积和表面积的能力。
3.通过合作学习和讨论，提高学生的动手能力和分析问题的能力。
教学内容：1.球的体积和表面积概念介绍。
2.球体积的计算公式。
3.球表面积的计算公式。
4.实例讲解和练习。
教学过程：Step 1：引入教学（5分钟）教师可以通过问题引入，如“同学们是否知道什么是球的体积和表面积？”等，激发学生的学习兴趣。
Step 2：概念介绍（10分钟）通过教师的介绍和板书，向学生简单介绍球的体积和表面积的概念，并引导学生理解。
Step 3：计算公式（15分钟）教师通过示意图和具体的计算公式，向学生讲解球体积和表面积的计算方法，并强调公式的推导过程。
Step 4：实例讲解（15分钟）教师通过几个具体的实例，向学生讲解如何根据给定数据计算球的体积和表面积。
教师可以提供一些复杂的例子，并引导学生一步步解决问题。
Step 5：合作学习（15分钟）将学生分成小组，通过合作学习的方式进行练习。
每个小组选择一道题目进行讨论和解答，学生可以自由讨论并分享解题思路。
Step 6：展示与总结（10分钟）请几个小组派代表上台展示他们的解答思路，并进行讨论和解答。
教师总结和讲解正确答案，并强调问题的解题思路和技巧。
Step 7：拓展联系（15分钟）通过提出一些拓展问题，帮助学生巩固所学知识，并培养学生分析问题和解决问题的能力。
Step 8：课堂巩固（5分钟）布置相关的作业题，让学生在课后继续巩固和复习所学知识。
教学资源：1.教师教案和课件。
2.黑板和彩色粉笔。
3.计算器和几何器具。
4.课堂练习题和作业题。
教学评价方法：1.课堂参与度评价：观察学生是否积极参与课堂讨论和学习，参与度高者评价较好。
2.问题解答能力评价：观察学生在课堂上解答问题的能力，解答准确且思路清晰者评价较好。
3.作业完成情况评价：评价学生对所学知识的掌握情况，作业完成准确且规范者评价较好。
球的体积和表面积
球的体积和表面积
——西宁28中“4.16”教学法导学案
一、创设情景，引入新课：
提出问题：
1.曹冲称象的故事，你是否还记得？
2.你认为用什么样的方法可以快速的的测量出一个鸡蛋的体积?
3.是否可以用这一方法测出地球月球的体积呢？
4.如果不能，我们是否可以推导出一般的方法，来计算所有的球体的体积呢？
二、学导结合：
1．先通过已学知识，运用类比的方法猜想出球的体积
圆锥的体积： 球的体积： 圆柱的体积：
2. 探究球的体积运算公式：
构想：
方法：
结论：
3.运用极限法推导出球的表面积公式。
三、探究深化
径。
化为一个铁球，求其半如果将两铁球经熔铸后别是已知两个铁球的半径分例,4,2.121==R R
例2.如图，已知正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积和表面积分别是多少。
四、总结反思
作业：
1.球的体积为12时，内接正三棱锥的体积是多少?
2.球外切三棱锥的各棱长为2，球的表面积是多少？
——————说说你对本堂课的感受。
刘伟老师的信箱：421244717@
C B A。
高中数学《球的体积和表面积》问题导学案
1.3.2《球的体积和表面积》问题导读——评价单
【学习目标】
1．知识与技能：了解球的体积与表面积公式，会用求的体积和表面积公式来解决实际生活中的问题
2．过程与方法：以球的体积和表面积公式为载体，增强学生的直观感知，加深类比思想、转化思想、整体思想的认识;在公式的利用中，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3．情态与价值：通过利用球的体积与表面积公式解决实际问题，增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，增强辩证唯物主义观点。
【学习重点】球的体积和表面积公式的形式及应用。
【学习难点】应用球的体积和表面积公式来解决实际问题。
．
【预习评价】
（一）（自主预习思考，学生上课前填好空）
1、球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
设球的半径为R，则球的体积V=，表面积S=。
（注：这两个公式以后可以证明）
2、如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半径变为原来的__________倍，体积变为原来的________倍．
（二）（相互交流大胆质疑）
3、如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
2；
（1）球的体积等于圆柱体积的
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.。
《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教案、导学案、课后作业
《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教案【教材分析】本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；难点：圆台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-119页，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3．球的表面积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13 Sh.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h.(三) 球的体积公式与表面积公式1．球的体积公式V＝43πR3 (其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝4πR2.四、典例分析、举一反三题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.【答案】8π12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．解题技巧（求旋转体表面积注意事项）旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )A．81π B．100πC．168π D．169π【答案】C【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料. 解题技巧(求几何体积的常用方法) (1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.()2220.150.640.150.8478m ππ⨯⨯+⨯=0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=2. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．【答案】见解析【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos60°＝2a，AB＝CD sin60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a ＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13·π·a2·3a＝33πa3.∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.题型三 球的表面积与体积例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.【答案】【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .球的体积，圆柱的体积，.例4 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B．43π C ．46π D．63π 【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3.∴V ＝43π(3)3＝43π.解题技巧（与球有关问题的注意事项）1．正方体的内切球233143V R π=23222V R R R ππ=⋅=123342::233V V R R ππ∴==球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝√2a2，如图(2)．3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝√a2+b2+c22，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝3a. 5．正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝62a.6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3. 2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 【答案】B.【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》导学案【学习目标】知识目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．核心素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【学习重点】：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；【学习难点】：圆台的体积公式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本116-119页，填写。
球的表面积和体积教案
球的表面积和体积教案教案标题：球的表面积和体积教案教案目标：1. 通过本课的学习，学生将能够理解球的表面积和体积的概念。
2. 学生将能够运用适当的公式计算球的表面积和体积。
3. 学生将能够将所学知识应用于实际问题，并进行问题解决。
教学资源：1. 白板、黑板或投影仪2. 球模型或球图片3. 教学课件或教材4. 学生练习题和解答教学步骤：引入：1. 在白板上绘制一个球体的图形，引导学生思考并分享他们对球的认识和特点。
2. 提问学生，他们是否知道如何计算球的表面积和体积。
讲解：1. 通过使用球模型或球图片，向学生展示球的表面积和体积的定义。
2. 解释并推导出球的表面积和体积的公式。
表面积公式为4πr²，体积公式为(4/3)πr³，其中r为球的半径。
3. 通过示例问题演示如何使用公式计算球的表面积和体积。
练习：1. 分发学生练习题，并要求学生独立或合作完成。
2. 监督学生的练习过程，及时解答他们的问题。
3. 收集学生的练习作业，并给予适当的反馈。
拓展：1. 提供一些拓展问题，鼓励学生运用所学知识解决实际问题。
2. 引导学生思考和讨论球的表面积和体积在现实生活中的应用。
总结：1. 总结本课的重点内容，强调球的表面积和体积的计算方法和公式。
2. 鼓励学生复习和巩固所学知识，以便能够灵活运用。
评估：1. 设计一些评估题目，测试学生对球的表面积和体积的理解和计算能力。
2. 根据学生的回答和解答，评估他们的学习情况，并提供适当的反馈和指导。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的实践和探索，例如测量和计算不同球体的表面积和体积。
2. 引导学生了解其他几何体的表面积和体积计算方法，扩展他们的数学知识。
注意事项：1. 在讲解过程中，使用简单清晰的语言和示例，确保学生能够理解和掌握。
2. 确保学生参与课堂互动，鼓励他们提问和分享自己的思考。
3. 在评估过程中，注重学生的思维过程和解决问题的能力，而不仅仅是答案的准确性。
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积与表面积教案设计(参考)第一章：球的定义与性质一、教学目标：1. 了解球的定义及其在几何中的重要性。
2. 掌握球的基本性质，如球心、半径等。
3. 能够识别和描述球的各种相关术语。
二、教学内容：1. 球的定义及特点。
2. 球心、半径等基本性质的介绍。
3. 球的相关术语，如球面、球体等。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解球的定义及性质。
2. 利用实物模型或图形，帮助学生直观理解球的特点。
3. 进行小组讨论，让学生互相交流对球的理解。
四、教学评估：1. 课堂提问，检查学生对球的概念和性质的理解。
2. 学生作业，要求学生绘制球的图形并描述其性质。
第二章：球的体积计算一、教学目标：1. 理解球的体积的定义及其计算公式。
2. 学会使用球的体积公式进行计算。
3. 能够应用球的体积公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 球的体积的定义及计算公式。
2. 球的体积公式的推导过程。
3. 应用球的体积公式解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用讲解法，讲解球的体积的定义及计算公式。
2. 通过数学推导，展示球的体积公式的推导过程。
3. 提供实际问题，让学生应用球的体积公式进行计算和解决。
四、教学评估：1. 课堂提问，检查学生对球的体积定义和计算公式的理解。
2. 学生作业，要求学生应用球的体积公式进行计算和解决实际问题。
第三章：球的表面积计算一、教学目标：1. 理解球的表面积的定义及其计算公式。
2. 学会使用球的表面积公式进行计算。
3. 能够应用球的表面积公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 球的表面积的定义及计算公式。
2. 球的表面积公式的推导过程。
3. 应用球的表面积公式解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用讲解法，讲解球的表面积的定义及计算公式。
2. 通过数学推导，展示球的表面积公式的推导过程。
3. 提供实际问题，让学生应用球的表面积公式进行计算和解决。
四、教学评估：1. 课堂提问，检查学生对球的表面积定义和计算公式的理解。
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积与表面积教案设计(参考)一、教学目标：1. 知识与技能：理解球的体积和表面积的概念，掌握球的体积和表面积的计算公式，能够运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
2. 过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，探究球的体积和表面积的计算方法，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神，使学生认识到数学在生活中的重要性。
二、教学内容：1. 球的体积和表面积的概念。
2. 球的体积和表面积的计算公式。
3. 运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：球的体积和表面积的概念，球的体积和表面积的计算公式，运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
2. 教学难点：球的体积和表面积公式的推导，运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
四、教学方法：1. 自主学习：让学生自主探究球的体积和表面积的概念和计算公式。
2. 合作交流：分组讨论，共同探究球的体积和表面积公式的推导，以及运用公式解决实际问题。
3. 实例分析：通过具体实例，让学生学会运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引出球的体积和表面积的概念。
2. 新课导入：介绍球的体积和表面积的计算公式。
3. 实例分析：运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
4. 课堂练习：让学生独立完成球的体积和表面积的计算练习。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调球的体积和表面积的概念和计算方法。
6. 课后作业：布置有关球的体积和表面积的练习题，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂练习：通过课堂练习，评估学生对球的体积和表面积计算公式的理解和运用情况。
2. 课后作业：通过学生完成的课后作业，评估学生对球的体积和表面积计算公式的掌握程度。
3. 小组讨论：通过小组讨论，评估学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
七、教学反思：在课后，对教学过程进行反思，思考教学方法是否适合学生，教学内容是否难易适中，以及学生的学习效果如何。
8.3.2(2)球的表面积和体积-导学案【新教材】
8.3.2（2）球的表面积和体积一、知识梳理1.球的表面积：=_____S球。
2.球的体积：=____V球。
3.球内接正方体的体对角线长为球的_______,即3____a 。
二、重要题型知识点一：球的表面积1．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．2πB．3π C．4πD．6π2．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.316B.916C.38D.932知识点二：球的体积3．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为() A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm4．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．5．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．6．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．知识点三： 球的切、接问题7．正方体的内切球与外接球的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶ 3C ．1∶3 3D ．1∶2 38.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为( )A.4π3 B ．43π C.246π3 D.82π39．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．三、巩固练习1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶272．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S 的值是( ) A ．4π B ．32 C ．24 D ．12π3．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B ．4πC ．2πD.4π34．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( ) A ．4∶3 B ．3∶1 C ．3∶2D ．9∶45．一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为483，则球的表面积为________．6．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，PA 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．7.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 8．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？9．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．8.3.2（2）球的表面积和体积 答案一、知识梳理1. 24R π.2.343R π. 3.直径，2R 。
球的表面积和体积教案
球的表面积和体积教案一、教学目标1. 理解球的表面积和体积的概念。
2. 利用公式计算球的表面积和体积。
3. 运用所学知识解决实际问题。
二、教学重点1. 确定球的表面积和体积的计算公式。
2. 运用公式计算球的表面积和体积。
三、教学难点1. 确定球的表面积和体积的计算公式。
2. 运用所学知识解决实际问题。
四、教学过程Step 1 引入新知1. 引入球的表面积的概念：“同学们，你们平时在打篮球或足球时，有没有观察过球的表面？球的表面是光滑而圆润的，我们今天就来学习如何计算球的表面积。
”2. 引入求球的体积的概念：“那么，同学们，我们再思考一个问题，球的内部空间有多大呢？我们可以用体积来表示。
下面我们就来学习求球的体积。
”Step 2 讲解球的表面积的计算公式1. “同学们，请看这个球，球的每一个点都与球心的距离相等，我们称这个距离为半径。
我们可以用R来表示球的半径。
”2. “球的表面由许多小面元组成，每个小面元都是一个小圆，根据几何知识，我们可以知道每个小圆的面积是πR²。
”3. “考虑球的所有小圆，我们可以算出球的表面积。
由于球表面上每个小圆的面积相等，所以球的表面积等于小圆面积乘以球表面的个数。
”4. “根据上面的讲解，我们可以得出球的表面积公式：表面积 =4πR²。
”Step 3 讲解球的体积的计算公式1. “同学们，请思考一下，如果把球切成无数个很小的小块，每个小块的体积是什么？”2. “根据几何知识，我们可以知道每个小块的体积是半径为R的球冠体积的一部分。
”3. “考虑球的所有小块，我们可以得到球的体积。
由于球的所有小块的体积相等，所以球的体积等于小块体积乘以球内小块的个数。
”4. “根据上面的讲解，我们可以得出球的体积公式：体积 =(4/3)πR³。
”Step 4 练习计算球的表面积和体积1. 分发练习题，让学生在教师的指导下进行计算球的表面积和体积的练习。
2. 强调计算过程中的注意事项，例如要注意单位的转换，保留适当的有效数字等。
球的体积和表面积 教案
球的体积和表面积教案教案标题：探索球的体积和表面积教案目标：1. 理解球的体积和表面积的概念。
2. 掌握计算球的体积和表面积的方法。
3. 运用所学知识解决与球相关的实际问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾曾学过的几何图形的体积和表面积概念，如长方体、正方体等。
2. 提问学生，你们知道什么是球的体积和表面积吗？有什么特点？探索球的体积：1. 向学生介绍球的体积公式：V = (4/3)πr³，其中V表示体积，π为圆周率，r为球的半径。
2. 通过实际测量球的直径或半径，让学生运用公式计算球的体积。
3. 提供几个例子，让学生在小组中合作计算球的体积，并互相核对答案。
探索球的表面积：1. 向学生介绍球的表面积公式：A = 4πr²，其中A表示表面积，π为圆周率，r为球的半径。
2. 让学生运用公式计算球的表面积，并与他人分享自己的计算过程和结果。
3. 引导学生思考，球的表面积与球的半径之间有什么关系？为什么球的表面积公式中没有高度或长度的概念？应用实际问题：1. 提供一些与球相关的实际问题，如球形水池的容积、篮球的表面积等，让学生应用所学知识解决问题。
2. 鼓励学生在小组中合作讨论并提出解决方案。
3. 学生展示他们的解决方案，并与其他小组分享。
总结：1. 回顾本节课所学的内容，强调球的体积和表面积的概念和计算方法。
2. 提醒学生在实际生活中运用所学知识解决问题的重要性。
3. 鼓励学生继续探索几何图形的体积和表面积，拓展他们的数学思维。
扩展活动：1. 鼓励学生自主探索其他几何图形的体积和表面积，如圆柱体、圆锥体等。
2. 提供更复杂的实际问题，让学生进一步应用所学知识解决。
3. 引导学生思考，如何证明球的体积和表面积公式的正确性。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与程度和合作能力。
2. 收集学生在小组活动中的计算过程和解决方案，评估他们对球的体积和表面积的理解和运用能力。
3. 提供一些练习题或考试，测试学生对球的体积和表面积的掌握程度。
高中数学 第一章1.3.2球的体积和表面积导学案 新人教A
1.3.2 球的体积和表面积问题导学一、球的表面积与体积活动与探究1(1)已知球的直径为8 cm ，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为144π，求它的体积；(3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．迁移与应用1．两个球的体积之比为1∶27，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶12．三个球的半径比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两球体积和的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．8倍(1)与球的体积、表面积有关的问题就是与球的半径有关的问题，设出球的半径或求出球的半径，一切问题都迎刃而解．(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方，两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．二、球的截面问题活动与探究2已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积和体积．迁移与应用已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心的距离等于球半径的32倍，且AC ＝8，BC ＝6，AB ＝10，求球的表面积与球的体积．设球的截面圆上一点A ，球心为O ，截面圆心为O 1，则△AO 1O 是以O 1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．三、有关几何体的外接球与内切球活动与探究3有三个球，第一个球内切于正方体；第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．迁移与应用1．长方体的一个顶点上三条棱的长分别为3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积．2．在球面上有四个点A ，B ，C ，P ，且PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝a ．求球的体积．(1)球内接长方体的体对角线长等于球的直径．(2)注意“迁移与应用2”的解法：补形法的应用，即遇到类似问题时，可补形为一个长方体，利用长方体的外接球求解．当堂检测1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C ．2倍 D ．32倍2．设正方体的表面积为24 cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )A ．6π cm 3B ．6 cm 3C ．83π cm 3D ．43π cm 3 3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72π B．48π C．30π D．24π 4．球的大圆的面积为9π，则该球的表面积为__________．5．已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，求这两个截面间的距离．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．课前预习导学 【预习导引】 43πR 3 4πR 2 预习交流 提示：设球的半径为R ，则43πR 3＝36π，所以R ＝3，所以球的表面积S ＝4πR2＝36π．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：根据条件，求出球的半径，再代入公式求解． 解：(1)∵球的直径为8 cm ，∴半径R ＝4 cm ．∴表面积S 球＝4πR 2＝64π(cm 2)，体积V 球＝43πR 3＝2563π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝144π，∴R ＝6．∴V 球＝43πR 3＝43π×63＝288π．(3)∵V 球＝43πR 3＝500π3，∴R ＝5．∴S 球＝4πR 2＝4π×52＝100π． 迁移与应用 1．A 2．C活动与探究2 思路分析：利用截面圆的半径、球的半径以及球心与截面圆心的连线构成的直角三角形求解．解：如图是球的轴截面．设以r 1为半径的截面面积为5π，以r 2为半径的截面面积为8π，O 1O 2=1，球的半径为R ，则πr 12=5π，πr 22=8π，∴r 12=5，r 22=8．∴OO 1=2221=5R r R --， OO 2=2222=8R r R --．∴O 1O 2=OO 1－OO 2=2258R R ---=1，移项得R 2－5＝1＋R 2－8，两边平方并化简得R 2－8＝1． ∴R 2＝9，R ＝3，∴球的表面积S 球＝4π×32＝36π，球的体积V 球＝43π×33＝36π．迁移与应用解：如图，设球的半径为R ，球心为O ，截面圆心为O 1，则OO 1＝32R ．在△ABC 中，∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴O 1是AB 的中点，即O 1B ＝5．又OO 21＋O 1A 2＝OA 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2＋52＝R 2， ∴R 2＝100，R ＝10．∴球的表面积S 球＝4πR 2＝4π×102＝400π，球的体积V 球＝43πR 3＝43π×103＝4 0003π．活动与探究3 解：作出截面图，分别求出三个球的半径． 设正方体的棱长为a ．(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 12＝πa 2．(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心取正方体的对角面为截面，如图②，有2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2．(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心取正方体的对角面为截面，如图③，所以2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 32＝3πa 2．图③综上知S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3．迁移与应用 1．解：设球半径为R ，∵长方体的一个顶点上三条棱的长分别为3,4,5，∴2R ＝32＋42＋52＝52．∴R ＝522．∴S 球表面积＝4πR 2＝4π×504＝50π．2．解：以PA ，PB ，PC 为棱作一长方体，则该长方体内接于球．设长方体的对角线长为l ，球半径为R ，则l ＝a 2＋(2a )2＋a 2＝2a ．所以R ＝a ．所以V 球＝43πa 3．【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．36π5．解：当两个截面在球心同一侧时，其轴截面如图甲．由题意知O 1A ＝3，O 2B ＝4，又OA ＝OB ＝5，由勾股定理得OO 1＝4，OO 2＝3．∴O 1O 2＝1．当两个截面在球心两侧时，其轴截面如图乙． 同理可得OO 1＝4，OO 2＝3， ∴O 1O 2＝7．∴这两个截面间的距离为1或7．。
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积与表面积教案设计(参考)章节一：引言与概念介绍教学目标：1. 让学生理解球的基本概念。
2. 让学生了解球体体积与表面积的定义。
教学内容：1. 引出球体的概念，展示图片并让学生观察。
2. 介绍球体的体积与表面积的定义及计算公式。
教学活动：1. 展示球体模型，引导学生观察并描述球体的特征。
2. 讲解球体的体积与表面积的定义及计算公式。
作业与练习：1. 让学生完成课后练习题，巩固球体体积与表面积的概念。
章节二：球的体积计算教学目标：1. 让学生掌握球体体积的计算方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 讲解球体体积的计算公式：V = 4/3πr³。
2. 举例说明球体体积的计算方法。
教学活动：1. 通过公式推导，讲解球体体积的计算方法。
2. 举实例，让学生演示如何计算球体体积。
作业与练习：1. 让学生完成课后练习题，巩固球体体积的计算方法。
2. 布置实际问题，让学生运用球体体积公式解决问题。
章节三：球的表面积计算教学目标：1. 让学生掌握球体表面积的计算方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 讲解球体表面积的计算公式：S = 4πr²。
2. 举例说明球体表面积的计算方法。
教学活动：1. 通过公式推导，讲解球体表面积的计算方法。
2. 举实例，让学生演示如何计算球体表面积。
作业与练习：1. 让学生完成课后练习题，巩固球体表面积的计算方法。
2. 布置实际问题，让学生运用球体表面积公式解决问题。
章节四：球体积与表面积在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生学会运用球体积与表面积公式解决实际问题。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 通过实例讲解球体积与表面积在实际问题中的应用。
2. 培养学生运用公式解决实际问题的能力。
教学活动：1. 讲解球体积与表面积在实际问题中的应用实例。
2. 让学生分组讨论，尝试解决实际问题。
作业与练习：1. 让学生完成课后练习题，巩固球体积与表面积公式的应用。
最新人教版六年级数学下《球体的表面积》导学案
最新人教版六年级数学下《球体的表面积》导学案目标本导学案的目标是帮助六年级学生研究和理解球体的表面积计算方法。
导入* 引入球体的概念：球体是由一条半径相等的线段围绕其中一端转动形成的立体图形。
* 引发思考：如果知道球体的半径，我们如何计算球体的表面积呢？探究* 给出一个实际例子：以半径为4厘米的球体为例。
* 提问：如何计算球体的表面积？* 学生思考并讨论问题，引导他们思考球体表面积的计算公式。
概念解释* 公式介绍：球体的表面积计算公式为 $4\pi r^2$，其中 $r$ 表示球体的半径。
* 解释公式中的符号：$\pi$ 是一个常数，大约等于3.14，$r$ 表示球体的半径。
计算实例1. 取一个球体半径为4厘米的实际例子。
2. 将半径带入公式 $4\pi r^2$ 进行计算。
3. 计算过程：$4 \times 3.14 \times 4^2 = 4 \times 3.14 \times 16 = 200.96$。
4. 理解计算结果：球体的表面积为200.96平方厘米。
总结* 归纳公式：球体的表面积公式为 $4\pi r^2$。
* 强调重要性：掌握球体表面积的计算公式可以帮助我们计算球体的表面积。
拓展思考* 提问：如果有一个球体的表面积为100平方厘米，我们能否通过公式反推出半径的值呢？* 引导学生思考，进一步巩固他们对球体表面积计算的理解。
总结本导学案介绍了球体的表面积计算方法，通过引入球体的概念、提问和讨论问题、解释公式及进行计算实例等方式，帮助学生理解并掌握了球体表面积的计算公式及其应用。
通过学习和探究，学生能够熟练计算球体的表面积，并且能够运用公式解决实际问题。
球的表面积与体积导学案
1.3空间几何体的表面积与体积（第4课时）
主备人：审核人：
1.3.2 球的体积和表面积
学习目标
1. 了解球的表面积和体积计算公式；
2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、复习
球的体积公式V=
球的表面积公式S=
二、新课导学
※典型例题
例1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.
例2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
三、总结提升
※学习小结
1. 球的表面积及体积公式的应用；
2. 空间问题转化为平面问题的思想.
※当堂检测
1.
把一个半径为cm的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆
锥的高应为_______cm.
2. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.
3. 半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?
教师关注
高考连接
1.已知一个正四面体内接在一个表面积为36π的球内, 求这个四面体的表面积和体积.
2.已知P、A、B、C为球面上的四个点, 若PA、PB、PC两两互相垂直, 且PA=3cm 、PB=4cm、PC=6cm , 求这个球的表面积.
3.正方体, 等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱), 球的体积相等, 则哪一个表面积最小?。
球的体积与表面积导学案
兴隆县第一中学数学必修2 导学案http://121.26.254.71………………………..装……………………订……………………线……………………….球的体积与表面积导学案日期：撰写人：审定人：孙红芳一、学习目标1、了解球体的体积与表面积公式，并能够利用它们解决几何体的度量问题。
2、积极讨论，大胆质疑，探究球的体积与表面积公式的应用。
3、积极主动，用极度的热情投入学习，体验成功。
二、重点、难点1、重、难点：了解球体的体积与表面积公式，并能够利用它们解决集合体的度量问题。
三、知识链接1、柱体、锥体、台体的体积公式和表面积公式分别是什么？2、球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，那么它的表面积和体积的求法也是我们这节课所要研究的内容。
四、学法指导1、结合问题导学自学课本27-28页，独立完成例题，并总结规律方法。
2、针对预习自学合作探究疑惑点，课上小组讨论交流。
答疑解惑。
五、学习内容1、半径为R的球的体积公式：_________________________2、半径为R的球的表面积公式：__________________________热身练习：1、若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的_______倍.2、若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_______倍.3、若两球的表面积之比为1：2，则体积之比为_______________.4、若两球的体积之比为1：2，则表面积之比为_______________.例题解析：例1（1（2例2、已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为2a，求球O的表面积和体积.变式1、如果球O和正方体的六个面都相切，则有S=________________变式2、如果球O和正方体的十二棱都相切，则有S=________________巩固练习：课本28页练习练习：1．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）.A. B. 2 C. 2 D. 32．设正方体的全面积为224cm，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）.A. 3cm B. 3323cmπ C. 383cmπ D. 343cmπ………………………..装……………………订……………………线……………………….3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（ ）.A. 以上四个图形都是正确的B. 只有(2)(4)是正确的C. 只有(4)是错误的D. 只有(1)(2)是正确的4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）.A. 25πB. 50πC. 125πD. 都不对 5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（ ）.A.49 B. 94 C. 427 D. 2746．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是 .7． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则这个球的表面积为 ，体积为 .8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.六、学习小结：知识方面：____________________________________________解题方法：___________________________________________七、达标检测：1、直三棱柱高为cm 6，底面三角形的边长分别为cm cm cm 543，，，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值______________.2、已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为632、、，则它的体积为（ ） A.32 B.23 C.6 D.43、已知圆台两底面的半径分别为)(,b a b a >，则圆台和截得它的圆锥的体积比为_________4、一个斜棱柱的体积是230cm ，和它等底等高的棱锥的体积为___________、已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：，母线长为10，则圆台的侧面积为______________八、学习反思：(3)(4)。
《球的体积和表面积》导学案
1.3.2球的体积与表面积学习目标1. 了解球的表面积和体积计算公式；2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.二、新课导学※探索新知新知：球的体积和表面积·球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：球的体积公式：___________________________球的表面积公式：_________________________其中，R为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径R有关.]※典型例题例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍!变式1：若三个球的表面积之比为1﹕2﹕3，则它们的体积之比为多少^例2、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证（1）球的体积等于圆柱体积的23；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.变式2：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，~则这个球的表面积是。
体积是__________________.变式3：半径为R的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为r，则Rr为多少》.三、当堂检测1. 2）.2 B.2倍2倍倍—2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为1,V2V，球直径为d，正方体的棱长为a，则（）.A.12,d a V V>> B.12,d a V V>< C.12,d a V V<> D.12,d a V V<<3. 记与正方体各个面相切的球为1O，与各条棱相切的球为2O，过正方体各顶点的球为3O 则这3个球的体积之比为（）.:2:3 23:2233:4:9（4. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.5.把一个半径为cm的金属球熔成一个圆锥,倍，则这个圆锥的高应为_______cm.\6. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.》[四、学习小结：[五、反思：}。
北师大版高中数学必修二球的表面积和体积导学案
高一数学导学案课题：球的表面积和体积姓名：___________________________【学习目标】了解并灵活运用球的表面积和体积公式，运用公式解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题【重点难点】灵活运用公式求球的表面积和体积，难点是与球有关的简单组合体的表面积和体积问题的综合应用【知识链接】S圆柱侧=__________________________；V柱体=__________________________S圆锥侧=__________________________；V锥体=__________________________S圆台侧=__________________________；V台体=__________________________ 【学习过程】⑴球的表面积公式S球面=__________________________⑵球的体积公式V球=__________________________注：①计算球的表面积和体积应把握的关键量是什么？②通过学习球的表面积公式，分析球的表面积公式有何特点？仅与什么有关？若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的多少倍？若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的多少倍？例1、做课本习题1-7A组1于导学案.例2、看课本例6、例7并做本节练习1、2 .例3、在球心同一侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49 π2cm 和400π2cm ，求球的表面积.例4、做课本习题1-7A 组4于导学案.拓展：若球的表面积膨胀为原来的2倍，则体积变为原来的多少倍？注：若一个球的体积为π，则它的表面积为__________________________. ⑴ 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为____________________.⑵ 已知球的体积为36π，则过球的球心的截面圆周长为____________________.【学后反思】【教后反思】。
《球的体积和表面积》教案
《球的体积和表面积》教案教学目标1、知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识.⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题. ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力. 2、过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝4πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想.3、情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心.教学重难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法. 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.教学过程一、创设情景提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考.设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式.二、探究新知 1．探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.构造新的几何体，结合祖暅原理推导球的体积公式(见P 32页).球的体积公式：343π=V R .2.探究球的表面积公式设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用12,,,,i S S S ∆∆∆表示，则球的表面积:S =12i S S S ∆+∆+++∆以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ∆可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h ，因此，第i 个小棱锥的体积13i i i V h S =⋅∆，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+，又∵i h R ≈，且S =12i S S S∆+∆+++∆∴可得13V R S ≈⋅， 又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S Rπ=即为球的表面积公式 三、例题示范例1已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2A B B C C A ===，求球的表面积.解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ， 则223O A '==， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+， ∴22214R R =+，∴43R =，∴26449S R ππ==． 例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球，求球的表面积和体积.''解：作轴截面如图所示，CC '=，AC ==，设球半径为R ， 则222R OC CC '=+ 229=+= ∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球． 例3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ， 则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =， ∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．例4. 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的23； (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3空间几何体的表面积与体积（第4课时）
主备人：审核人：
1.3.2 球的体积和表面积
学习目标
1. 了解球的表面积和体积计算公式；
2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、复习
球的体积公式V=
球的表面积公式S=
二、新课导学
※典型例题
例1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.
例2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
三、总结提升
※学习小结
1. 球的表面积及体积公式的应用；
2. 空间问题转化为平面问题的思想.
※当堂检测
1.
把一个半径为cm的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆
锥的高应为_______cm.
2. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.
3. 半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?
教师关注
高考连接
1.已知一个正四面体内接在一个表面积为36π的球内, 求这个四面体的表面积和体积.
2.已知P、A、B、C为球面上的四个点, 若PA、PB、PC两两互相垂直, 且PA=3cm 、PB=4cm、PC=6cm , 求这个球的表面积.
3.正方体, 等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱), 球的体积相等, 则哪一个表面积最小?。