二次函数与面积问题(2015)
二次函数应用 面积问题
（2）如果中间有n（n>1）道篱笆隔墙，要使鸡场的面积 最大，鸡场的长应多少？
50 - x 解： S x n2 1 ( x 2 50 x) n2 1 625 2 ( x 25) n2 n2
所以要使鸡场的面积最大，鸡场的长因为25m.
（3）结论：不论中间有多少道隔栏，要使鸡场的面积 最大，鸡场的长都为25m.
农户需要利用一面墙再砌三面墙，围成一块矩形菜地， 设备足以砌12m长墙的材料，设与已有的一面墙相邻的每面 墙长度为xm （1）求矩形面积S与x的关系式，写出x的取值范围. （2）求x等于多少时矩形面积S最大？最大面积是多少？ （3）画出S关于x的函数图像. （4）当x等于多少时，矩形面积为15㎡. （5）结合图像，为了使矩形的面积大于或等于15㎡，x的 取值范围应该怎样？ （6）当x等于多少时，矩形的面积等于12㎡. （7）结合图像，当x的取值范围怎样时，矩形的面积将小于 12㎡.
3
2.中间有无隔栏
问题2：要建立一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙 长足够长），如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的鸡 场，设它的长度为xm. （1）要使鸡场的面积最大，鸡场的长应多少m？ 解：设鸡场的面积为 S㎡， 50 - x x 所以S = 3 鸡场的宽为 50 - x m 3
Байду номын сангаас
1 2 = （x 50 x) 3 x 1 625 2 = （x 25) 3 3 所以要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为25m.
3.面数是否变化
问题3 ：用长为18m的篱笆(虚线部分)，两面 靠墙围成矩形的苗圃。 y x （1）设矩形的一边长为x（m），面积为y㎡，求y关于x的 函数关系式，并写出自变量x取值范围。 解 ：矩形的一边长为x m，则其邻边长为（18－x）m， 所以 y=x（18－x） =－x² +18x（0<x<18） （2）当x为何值时，所谓苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 解： y = -x² +18x = - (x－9)² +81 因为（0<x<18） 所以当x=9m时，面积y最大面积为81㎡。
二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)
(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。
278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。
抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。
思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。
该方法不是唯一的。
可以使用截补法，但是有点麻烦。
如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。
掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。
答： （1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。
将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。
二次函数的应用题 利润问题、面积问题、最值问题 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
三．二次函数应用题题型一．（10分）（2015•南充一模）某德阳特产专卖店销售“中江柚”，已知“中江柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个．（1）如果专卖店每天要想获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价多少元？（2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润？2．（12分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图：（1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=5m+600，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？3.（12分）某企业信息部进行市场调查发现：信息一、如果单独投资A种产品，所投资利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：x（万元）12 2.535y A（万元）0.40.81 1.22信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）从所学过的函数中猜想y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（2）求出y B与x的函数关系式，并求想利润y B为3（万元）应投资金额；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？例2、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？例3、拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=213x ，当水面离桥顶的高度为253m 时，水面的宽度为多少米？2、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB 为18米，拱顶O 离水面AB 的距离OM 为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF ，如图建立平面直角坐标系．(1)求此抛物线的解析式；(2)如果限定矩形的长CD 为9米，那么矩形的高DE 不能超过多少米，才能使船通过拱桥?(3)若设EF=a ，请将矩形CDEF 的面积S 用含a 的代数式表示，并指出a 的取值范围．x例4.如图所示，在ABC 中，∠B=90，AB=22cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始向点C 以1cm/s 的速度运动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发。
二次函数与面积问题
二次函数与面积问题一、引言二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在实际生活中有许多应用。
其中之一就是与面积问题相关联。
本文将详细讨论二次函数与面积问题的关系，并分析实际应用。
首先，我们将介绍二次函数的基本概念和公式，然后探讨如何利用二次函数解决面积问题。
二、二次函数基本概念2.1 二次函数的定义二次函数是指具有形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像通常为一个抛物线。
2.2 二次函数的图像与性质二次函数的图像可分为三种情况：开口向上、开口向下和与x轴相切。
其开口的方向由二次项的系数a决定。
二次函数还具有顶点坐标、对称轴和零点等性质，这些性质对于解决面积问题非常关键。
2.3 二次函数的标准形式和一般形式二次函数可通过变换转化为标准形式或一般形式。
标准形式为f(x)=a(x−ℎ)2+ k，其中(ℎ,k)为顶点坐标。
一般形式为f(x)=ax2+bx+c。
三、二次函数与面积问题3.1 二次函数与矩形面积问题矩形是我们生活中常见的图形之一。
假设一个矩形的长度为x，宽度为y，则它的面积A可以表示为A=xy。
现在，我们希望找到一个长度固定的矩形，使得它的面积最大。
我们可以建立一个二次函数来解决这个问题。
首先，根据矩形的面积公式A=xy，我们可以将y表示为x的函数：y=Ax。
然后，我们将该函数进行变形，得到一个二次函数的标准形式。
将x的取值范围限定为正实数，我们可以排除矩形不存在的情况。
通过对二次函数的顶点坐标求解，我们可以找到使得面积最大的矩形。
3.2 二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题也有密切的联系。
考虑一个等腰三角形，已知其底边长为x，高为y。
我们希望找到一个底边固定的三角形，使得它的面积最大。
根据三角形的面积公式A=12xy，我们可以得到y=2Ax。
类似地，我们将其转化为二次函数的形式，并求解顶点坐标，从而找到最大面积的三角形。
3.3 二次函数与其他面积问题除了矩形和三角形，二次函数还可以应用于其他形状的面积问题，如圆形、梯形等。
二次函数与三角形面积问题
二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题的关系是通过求解二次函数图像与x轴交点来得到三角形的面积。
具体而言，如果给定二次函数的表达式，我们可以求解方程f(x) = 0的解，这些解就是二次函数图像与x轴交点的横坐标。
通过这些横坐标，我们可以确定三角形的底边的长度。
同时，我们可以求解二次函数的最值来确定三角形的高，进而计算出三角形的面积。
首先，让我们来回顾一下二次函数的定义和性质。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由a的正负号决定，当a 大于零时开口向上，当a小于零时开口向下。
二次函数的顶点是抛物线的最值点，当a大于零时顶点是最小值点，当a小于零时顶点是最大值点。
现在，让我们将二次函数与三角形面积问题联系起来。
假设我们有一个给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望求解该二次函数图像与x轴交点的横坐标，并计算出通过这些交点确定的三角形的面积。
首先，我们需要求解方程f(x) = 0，也就是求解ax^2 + bx + c = 0。
这可以通过使用求根公式来进行计算。
根据求根公式，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据这个公式，我们可以求解出具体的x值。
假设我们求解得到了两个根，x1和x2。
接下来，我们可以通过计算这两个根之间的距离来确定三角形的底边的长度。
根据数学知识，我们知道两个点(x1, 0)和(x2, 0)之间的距离等于|x2 - x1|。
因此，通过计算|x2 - x1|，我们可以得到底边的长度。
接下来，我们需要确定三角形的高。
为了做到这一点，我们需要找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点的横坐标可以通过使用公式x = -b / (2a)来计算。
通过计算出的顶点横坐标，我们可以计算出顶点在x轴上的纵坐标。
最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)
二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。
【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。
“二次函数”面积最值问题的几种解法
“二次函数”面积最值问题的几种解法以微课堂公益课堂，奥数国家级教练与四位特级教师联手执教。
二次函数是初中数学的一个重点、难点，也是中考数学必考的一个知识点。
特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。
而求三角形面积的最值问题，更是常见。
今天介绍二次函数考试题型种，面积最值问题的4种常用解法。
同学们只要熟练运用一两种解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题，就好。
原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。
设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
解法三：切线法。
这其实属于高中内容。
但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。
解法四：三角函数法。
请大家认真看上面的解题步骤。
总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。
过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。
设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。
对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
二次函数中的面积问题
二次函数——面积问题 【2 】〖常识要点〗一．求面积常用办法：1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 应用类似图形,面积比等于类似比的平方3. 应用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规矩多边形需把图形分化） 二． 常见图形及公式抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=抛物线极点坐标（-, ） 抛物线与y 轴交点（0,c ）“歪歪三角形中央砍一刀”,即三角形面积等于程度宽与铅垂高乘积的一半.〖基本习题〗C 铅垂高 h B y B y1.若抛物线y=-x2–x+6与x 轴交于A.B 两点,则AB= ,此抛物线与y 轴交于点C,则C 点的坐标为 ,△ABC 的面积为.2.若抛物线y=x2 + 4x 的极点是P ,与X 轴的两个交点是C.D 两点,则△PCD 的面积是_____________.3.已知抛物线与轴交于点A,与轴的正半轴交于B.C 两点,且BC=2,S △ABC=3,则=,=．〖典范例题〗 ● 面积最大问题1.二次函数的图像与轴交于点A （-1,0）.B （3,0）,与轴交于点C,∠ACB=90°.（1）求二次函数的解析式;（2）P 为抛物线X 轴上方一点,若使得△PAB 面积最大,求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点,若使得四边形PABC 面积最大,求P 坐标(4) P 为抛物线上一点,若使得,求P 点坐标.● 同高情形下,面积比=底边之比2．已知：如图,直线y=﹣x+3与x 轴.y 轴分离交于B.C,抛物线y=﹣x2+bx+c 经由点B.C,点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求B.C 两点的坐标和抛物线的解析式;（2）若点P 在直线BC 上,且,求点P 的坐标．3．已知：m.n 是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根,且m ＜n,抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经由点A （m,0）.B （0,n ）．（1）求这个抛物线的解析式;（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的极点为D,试求出点C.D 的坐标和△BCD 的面积;（注：抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的极点坐标为（3）P 是线段OC 上的一点,过点P 作PH ⊥x 轴,与抛物线交于H 点,若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分,要求出P 点的坐标．yx B A C O三角形面积等于程度宽与铅垂高乘积的一半4．浏览材料：如图,过△ABC的三个极点分离作出程度垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“程度宽”（a）,中央的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种盘算三角形面积的新办法：S△ABC=ah,即三角形面积等于程度宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图,抛物线极点坐标为点C（1,4）交x轴于点A,交y轴于点B（0,3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度;（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点,衔接PA,PB,当P点活动到极点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;（3）在第一象限内抛物线上求一点P,使S△PAB=S△CAB．法一：同底情形下,面积相等转化成平行线法二：同底情形下,面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2,点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点,贯穿连接PA,PB,是否消失一点P,使S△PAB=S△CAB？若消失,求出P点的坐标;若不消失,请解释来由．变式二：抛物线上是否消失一点P,使S△PAB=S△CAB？若消失,求出P点的坐标;若不消失,请解释点动+面积5．如图1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,假如点P由B动身沿BA偏向向点A匀速活动,同时点Q由A动身沿AC偏向向点C匀速活动,它们的速度均为2cm/s,衔接PQ,设活动的时光为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时,PQ∥BC．（2）是否消失某时刻t,使线段PQ正好把△ABC的面积等分？若消失求出此时t的值;若不消失,请解释来由．（3）如图2,把△APQ沿AP翻折,得到四边形AQPQ′．那么是否消失某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若消失,求出此时菱形的面积;若不消失,请解释来由．形动+面积6．如图1,抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴.y轴分离交于点A（﹣1,0）.B（3,0）.点C三点．（1）试求抛物线的解析式;（2）点D（2,m）在第一象限的抛物线上,衔接BC.BD．试问,在对称轴左侧的抛物线上是否消失一点P,知足∠PBC=∠DBC？假如消失,要求出点P点的坐标;假如不消失,请解释来由;（3）如图2,在（2）的前提下,将△BOC沿x轴正偏向以每秒1个单位长度的速度向右平移,记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移进程中,△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S,设平移的时光为t秒,试求S与t之间的函数关系式？。
二次函数中面积问题
二次函数中面积问题在数学中，二次函数是一种定义域和值域都是实数的函数。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
二次函数在数学中有着广泛的应用，而与其相关的面积问题也是数学教学中常见的一个重要内容。
二次函数的图像是一个抛物线，它可以是开口向上的，也可以是开口向下的。
对于二次函数而言，面积问题主要涉及到两个方面：一是求解图形所围成的面积，二是求解函数与坐标轴所围成的图形面积。
下面将从这两个方面结合实际问题进行详细说明。
首先，我们来看第一个问题：求解图形所围成的面积。
对于给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过计算抛物线与坐标轴交点的横纵坐标，来确定被图形所围成的区域。
一般情况下，图形围成的区域可以是一个三角形、一个梯形或一个扇形。
以一个具体例子来说明：假设有一个二次函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们希望求出图形所围成的面积。
首先，要确定函数与坐标轴交点的横纵坐标。
当f(x) = 0时，即3x^2 - 2x + 1 = 0，则可以使用求根公式得到x的值。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
带入a = 3，b = -2，c = 1，则x的值为(-(-2) ± √((-2)^2 - 4*3*1)) / (2*3)，化简得到x = 1/3 和 x = 1然后，我们计算函数在两个交点处的纵坐标。
带入x=1/3和x=1，可以得到对应的y值。
令x=1/3，则f(1/3)=3*(1/3)^2-2*(1/3)+1，计算得到f(1/3)=10/9；令x=1，则f(1)=3*1^2-2*1+1，计算得到f(1)=2接下来，我们要确定图形所围成的区域。
由于二次函数是一个抛物线，且a为正值，所以图形是开口向上的。
因此，图形所围成的区域为一个梯形。
梯形上底为x=1/3，下底为x=1，高为f(1/3)和f(1)之间的差值。
《二次函数专题提优》：二次函数有关面积问题
《二次函数提优专题》：二次函数有关面积问题2、如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．（1）、求抛物线的解析式．（2）、设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①、如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②、是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．（二）、三角形面积最值：3、如图，已知抛物线c bx x y ++=2-与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB 。
(1)、求该抛物线的解析式；(2)、在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得BCD △的面积最大?若存在，求出D 点坐标及BCD △面积的最大值；若不存在，请说明理由。
(3)、在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得QMB △与PMB △的面积相等?若存在，直接写出满足条件的所有点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
（三）、有关三角形面积倍数关系：4、如图，已知：m 、n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，•抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）． （1）、求这个抛物线的解析式；（2）、设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积； （3）、P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标。
5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数5-x 6-x y 2+=的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l 。
二次函数与面积问题
例1在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°， 点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 A
解（2）设过B（2，0） M（ 的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ 3 则 ｋ＝ ｂ＝－３ 2 ∴直线ＢＭ的解析式为：
1 9 ，－ ） 2 4
y 5 4 3 2
1 Q B 3 A ｙ＝ ｘ－３ 2 -3 -2 -1 O 1 2 3 ∵QＮ=t ∴把ｙ＝ｔ代入直线 -1 N ＭＢ的解析式， 2 -2Ｃ M 得ｘ＝２－ ｔ -3 3 1 1 2 ∴S＝ ×２×１＋ （２＋ｔ）（2－ t） 2 2 3
A
（0<t<4）
P
=-t2 +4t (2)s=-t2 +4t
=-（t2 -4t +4 -4） = -（t - 2）2 + 4 t=2,s有最大值4
最大面积是 4 cm2
C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积最大
练习２．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形， 点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
1)△PBQ的面积S随出发时 间t如何变化?写出函数关系 式及t的取值范围. (2)当t为何值时,s的值最大? 最大值为多少?
C Q
二次函数面积最值问题
二次函数面积最值问题一、问题概述二次函数面积最值问题是指在给定的二次函数中，找到使其面积最大或最小的变量取值。
这个问题在数学中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
二、问题分析为了解决二次函数面积最值问题，我们需要先了解一些基本概念和公式。
下面是一些常见的数学公式：1. 二次函数的标准形式：y=ax^2+bx+c其中a,b,c都是实数，且a≠0。
2. 二次函数的顶点坐标：(h,k)其中h=-b/2a，k=f(h)，f(x)表示二次函数。
3. 二次函数的对称轴方程：x=h4. 两点之间距离公式：d=sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]5. 矩形面积公式：S=lw其中S表示矩形面积，l表示矩形长，w表示矩形宽。
了解了这些基本概念和公式后，我们可以开始分析如何解决二次函数面积最值问题。
三、求解方法1. 求最大值要求一个二次函数在给定区间内的最大面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。
步骤二：求出二次函数的顶点坐标。
步骤三：根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽。
步骤四：计算矩形面积，并比较得出最大值。
具体的，可以按照以下函数来实现：```pythondef max_area(a,b,c,start,end):# 将二次函数化为标准形式f = lambda x: a*x**2+b*x+c# 求出二次函数的顶点坐标h = -b/(2*a)k = f(h)# 根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽l = end-startw = abs(f(start)-k)*2# 计算矩形面积，并比较得出最大值S = l*wreturn S if S>0 else 0```其中，a,b,c分别表示二次函数的系数，start,end表示给定区间的端点。
这个函数会返回一个最大面积值。
2. 求最小值要求一个二次函数在给定区间内的最小面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。
二次函数与面积问题
二次函数与面积问题二次函数是中学数学中一个重要的概念，其应用不仅仅限于代数学习中的求解，还包括了实际生活中的丰富应用。
其中，面积问题是二次函数应用的一个重要方面。
在本文中，我们将重点探讨二次函数与面积问题的应用。
一、二次函数基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 是已知常数，一个非零实数。
2. 二次函数图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或者向下的抛物线，其对称轴在 $x$ 轴上的直线，称为二次函数的轴，其方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。
如果 $a>0$，则抛物线开口向上，如果 $a<0$，则抛物线开口向下。
当 $a\neq0$ 时，函数值的范围为 $(-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a})$ 或者 $(\frac{4ac-b^2}{4a},\infty)$。
3. 二次函数的变形二次函数除了基本形式 $y=ax^2+bx+c$，还有一些基于基本形式的变形，如 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $h,k$ 是常数。
变形后的形式可以更方便地求解问题，但需要熟练运用基本变形公式。
二、二次函数与面积问题1. 抛物线下面积抛物线下面积的计算通常可以通过解析式的积分得出，但是如果需要精确解往往较为困难，尤其是在没有高深数学知识支持的情况下。
在使用二次函数计算抛物线下面积时，可以先求出对应的定积分，即：$$\int_{x_1}^{x_2}ax^2+bx+c\mathrm{d}x=\frac{a} {3}(x_2^3-x_1^3)+\frac{b}{2}(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)$$该式是利用积分的基本公式计算得出的，它可以方便地求解出抛物线在一个给定区间内的面积。
2. 平面图形面积二次函数还可用于计算平面图形的面积。
例如，一个半径为 $r$ 的圆的面积可以表示为 $A=\pi r^2$。
专题 二次函数与面积有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。
特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。
与面积有关的问题，更是常见。
本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。
同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。
【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。
）方法二： 铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。
二次函数的周长与面积(含最值问题)
【知识梳理】一．二次函数之周长因为平面直角坐标系中点的坐标的几何意义为点到轴的距离，即横平竖直的线段长，所以处理二次函数压轴题的核心思想即为斜线段转化为横平竖直的线段（“斜转直”）．“斜转直”的几种处理思路：①斜线段转化为横平或竖直的线段；②计算有关周长或面积的问题其本质一般也可转化为计算线段，所以同样可利用“斜转直”来处理；③出现斜放的角时，一般也可根据该角构建直角三角形，来实现“斜转直”．二．二次函数之面积割补求面积——铅垂法：12APB B A S PM x x =⋅⋅- 12APB B A S PM x x =⋅⋅- Tips ：①过动点作铅垂线；②铅垂线平行于y 轴或垂直于x 轴．二次函数之周长与面积（含最值问题）【经典例题】【例一】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =（x ﹣2）2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．过点B 作BC ∥x 轴，交抛物线于点C ，过点A 作AD ∥y 轴，交BC 于点D ，点P 在BC 下方的抛物线上（P 不与B ，C 重合），连结PC ，PD ，则△PCD 面积的最大值是．2．已知直线经过点A （0，2），B （2，0），点C 在抛物线2y x 的图象上，则使得ABC S =2的点有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．1【例二】1.如图，抛物线2(3)3(0)y ax a x a=+++≠与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若126 5CC=，求m的值；（3）求△PBA面积的最大值以及此时点E的坐标．2.如图，二次函数()2302y ax x c a =-+≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点Q ，使△ACQ 周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上的一个动点，求△BCM 面积的最大值以及此时点M 的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（-4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ．求S 的最大值.4.如图，抛物线2=-++与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与y x bx c抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RMP与△RMB的面积相等？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【能力训练】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =-++与y 轴交于点A ，过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为．2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上一动点，过A 作AC x ⊥轴交抛物线222y x x =++于点C ，以AC 为边作等边ABC ∆，高AD 的最小值为．3．如图，P 是抛物线22y x x =-++在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为．4．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，它的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME y ⊥轴于点E ，连结BE 交MN 于点F ．（1）求F 的坐标．（2）求EMF ∆与BNF ∆的面积之和．5.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ，D 在y 轴上且OB =OC =3，OA =OD =1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．（3）在抛物线上是否存在点G ，使得AEG S =3？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．。
★二次函数与面积计算问题(较难)
3 x＝－1代入直线AB的解析式∴点C的坐标为(－1，3 )
B
C
A
P
O
M
x
9 3 1 当x＝－ 时，△PAB的面积有最大值，最大值为 8 2 1 3 P ( , ) 2 4
（3）设点P的坐标为（x，y） S PAB
∴|y|＝3，∴y＝±3
1 3 13 AB y 2 2
再得x＝－2或x＝3；x＝0或x＝1
P1（－2，3），P2（3，3），P3（0，－3）或P4（1，－3）
2．已知：t1，t2是方程t 2＋2t－24＝0的两个实数根，且t1＜t2，
（1）求这个抛物线的解析式； （2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形 OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与x之间的函数 关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P， 使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． 2 2 14 y
y C E B O P A x
解：（1）解方程x2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4． ∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)（a≠0） 又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×(－4)＝4，
1 a 2
1 y x2 x 4 2
时，求出此二次函数的解析式； （3）若题（2）中二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P， 使得△PAB的面积为 3 13 ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 2 （1）∵△＝a 2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0 ∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． （2）设x1、x2是x 2＋ax＋a－2＝0的两个根 则x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2． ∵此函数图象与x轴的两个交点的距离为 13 ∴(x1－x2)2＝13．即(x1＋x2)2－4x1x2＝13．∴(－a)2－4(a－2)＝13， 整理得(a＋1)(a－5)＝0，解得a＝－1或a＝5． ∵a ＜0，∴a＝－1． ∴此二次函数的解析式为y＝x 2－x－3．
二次函数与面积线段问题
二次函数代几综合之线段、面积问题（二中训练题3）如图1，在平面直角坐标系中，A 点的坐标为（m ，3），AB ⊥x 轴于点B ，tan ∠OAB =43，反比例函数y =kx的图象的一支经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D 。
（1）求反比例函数解析式；（2）设直线OA 的解式为2y =nx ，请直接写出1y ＜2y 时，自变量x 的取值范围 ； （3）如图2，若函数y =3x 与1y =kx的图象的另一支交于点M ，求△OMB 与四边形OCDB 的面积的比值。
知识点一：二次函数代几综合之面积问题 【知识梳理】1、铅垂法求面积图1：S △ABC ＝ S △ACD ＋S △BCD ＝B x x －A 21×CD ； 图2： S △ABC ＝S △BCD ＋S △ABD ＝c y y －A 21×BD2、平行线法求面积S △ABC ＝ S △BDA （过 C 点作 AB 的平行线 CD ，则两三角形同底等高）【例题精讲】1、已知抛物线y ＝21x 2＋2mx －4m －2(m≥0)与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点的左边，与y 轴交于点C ． ⑴求点B 的坐标；⑵抛物线上有两点M(－1，0)、N(4，b)，若△AMN 的面积为17.5，求抛物线的解析式；2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。
（1）若A（－4,0），B（2，0），求抛物线的解析式;（2）在（1）的条件下，点P从点C出发，在线段CA上以每秒5个单位长度的速度向A运动，同时点Q 从点B出发，在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒时使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？【试一试】1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P 为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PEF的面积最大？2、如图1，抛物线y ＝ax 2＋(2－a )x ＋2－2a （a ＞0）经过x 轴负半轴上的定点A 。
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１
二次函数与面积问题讲义
1. (2014 贵州省黔西南州) 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过(3,0)A -、
B(1,0)、(0,3)C 三点，其顶点为D ，连接AD ，点P 是线段AD 上一个动点（不与A 、D 重合）．经过点P 作y 轴的垂线，重足为E ，连接AE ．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）如果P 点的坐标为(,)x y ，∆PAE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范围，并求S 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S 取到最大值时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，把∆PEF 沿直线EF 折叠，点P 的对应点为点P '，求出P '的坐标，并判断P '是否在该抛物线上．
2. (2014 四川省达州市) 如图，在平面直角坐标系中，己知点O （0，0），A （5，0），B （4，4）．
（1）求过O 、B 、A 三点的抛物线的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上存在点M ，使以O 、A 、B 、M 为顶点的四边形面积最大，求点M 的坐标． （3）作直线x =m 交抛物线于点P ，交线段OB 于点Q ，当△PQB 为等腰三角形时，求m 的值．
２
3. (2014 浙江省丽水市) 如图，二次函数()2
0y ax bx a =+≠的图象经过点A (1，4)，对称轴是直线3
2
x =-
，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C （0，2），直线AC 交抛物线于点B ，连结OA ，OB ，OD ，
BD ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B 坐标和坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 坐标；
（3）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，问PD 为何值时，将△BPF 沿边PF 翻折，使△BPF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的
1
4
？
（备用图）
（第24题）
３
4. (2014 四川省南充市) 如图，抛物线y=x ²+bx+c 与直线y=x －1交于A 、B 两点.点A 的横坐标为－3，点B 在
y 轴上，点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P 作PC ⊥x 轴于C ，交直线AB 于D. (1)求抛物线的解析式；
（2）当m 为何值时，2BPD OBDC S S =V 四边形；
(3)是否存在点P,使△PAD 是直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
5. (2014 重庆市A 卷) 如图，抛物线223y x x =--+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与
y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，若点P 在点Q 的左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （G 在点F 的上方）
．若FG =，求点F 的坐标．
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6. (2014 重庆市B 卷) 如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y
轴交于点C ，连接BC 。
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当△BCM 的面积最大时，求△BPN 的周长；
（3）在（2）的条件下，当BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，求点
Q 的坐标。