高中数学第三章Ⅰ3.3幂函数学业分层测评新人教B版必修43

学 习 资 料 专 题

幂函数

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．幂函数f (x )的图象过点(2，m )且f (m )＝16，则实数m 的值为( ) A ．4或1

2

B ．±2

C ．4或1

4

D.1

4

或2 【解析】 设f (x )＝x α

，由f (x )图象过点(2，m )，得2α

＝m ，∴f (m )＝f (2α

)＝(2α

)α

＝16，

∴α2＝4，α＝±2，故m ＝2α

＝4或14.

【答案】 C

2．已知幂函数f (x )＝x a

，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1 B ．a ＜1 C ．a ＞0

D ．a ＜0

【解析】 当x ＞1时，f (x )＜x 恒成立，即x a －1

＜1＝x 0

恒成立，因为x ＞1，所以a －1

＜0，解得a ＜1，故选B.

【答案】 B

3．如图3­3­3所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )

图3­3­3

A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 1

2，④y ＝x －1

B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 1

2，④y ＝x －1

C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 1

2，④y ＝x －1

D ．①y ＝x 3，②y ＝x 1

2，③y ＝x 2，④y ＝x －1

【解析】 因为y ＝x 3

的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2

为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．

【答案】 B

4．已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2)，则f (x )的增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)

D ．(1，＋∞)

【解析】 设幂函数f (x )＝x n ，则4n

＝2，解得n ＝12，即有f (x )＝x ，则有x ≥0，

则增区间为(0，＋∞)．故选C. 【答案】 C

5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 【导学号：60210095】

A ．a ＜b ＜c

B ．b ＜a ＜c

C ．c ＜a ＜b

D ．b ＜c ＜a

【解析】 由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在它的定义域R 上是减函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253

5>0.由于函数y ＝(x )25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252

5，故a ，b ，c 的大

小关系是b ＜a ＜c ，故选B.

【答案】 B 二、填空题

6．若幂函数y ＝(m 2

－2m －2)x －4m －2

在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值是

________.

【导学号：97512055】

【解析】 因为函数y ＝(m 2

－2m －2)x

－4m －2

既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，

所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

m 2

－2m －2＝1，

－4m －2<0⇒⎩

⎪⎨⎪

⎧

m ＝3或m ＝－1，m >－1

2，解得m ＝3.

【答案】 3

7．0.16-12、0.25-14、6.2514从小到大依次是________．

【解析】 ∵0.25-14＝0.5-12<0.16-12，0.25-14＝414<6.2514，6.2514＝2.512＝0.4-12<0.16-12. 【答案】 0.25-14<6.2514<0.16-1

2

8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13n

，则n ＝________. 【解析】 ∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n

＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n

， ∴y ＝x n

在(－∞，0)上为减函数．

又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2. 【答案】 －1或2 三、解答题

9．比较下列各组数的大小：

(1)2.334，2.434；(2)(2)-32，(3)-32；(3)(－0.31)65，0.356

5.

【解】 (1)∵y ＝x 34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.334<2.43

4. (2)∵y ＝x -3

2为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，

∴(2)-32>(3)-32.

(3)∵y ＝x 65为R 上的偶函数，∴(－0.31)65＝0.316

5.

又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165<0.356

5， 即(－0.31) 65<0.356

5.

10．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，18. (1)试求函数解析式；

(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．

【解】 (1)由题意，得f (2)＝2a ＝18

，即a ＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3

.