河北省定州中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷
河北省定州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试
定州市2016—2017学年度第一学期期末教学质量检测高一数学考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|33},{2,0,1},{1,0,1,2}I x Z x A B =∈-<<=-=-，则()I C A B 等于（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2-D ．{}1,0,1,2- 2. 计算sintan63ππ+的值为（ ）A B C ．12+ D ．12+3. {|02}A x x =≤≤，下列图象中能表示定义域和值域都是A 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．= （ ）A ．2lg 5B ．0C ．1-D ，．2l g 5-5. 已知函数()2(24,x bf x x b -=≤≤为常数）的图象经过点(3,1)，则()f x 的值域为（ ）A ．[]4,16B ．[]2,10C ．1[,2]2 D ．1[,)2+6.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 （ ） A ．1k =-且c 与d 反向 B ．1k =-且c 与d 同向 C ．1k =且c 与d 反向 D ．1k =且c 与d 同向7. 函数sin(2)12y x π=+的图象经过平移后所得图像关于点(,0)12π中心对称，这个平移变换可以是（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向右平移4π个单位8.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上有单调性，且(2)(1)f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A ．()()()123f f f -<<B ．()()()234f f f <<-C ．()()120()2f f f -<< D ．()()()531f f f <-<- 9. 已知5(sin(),sin()),(cos(),cos()),366313a x xb x x a b ππππ=+-=-+⋅=，且[,]36x ππ∈-，则sin 2x 的值为（ ）A ．1226 B ．1226 C ．526+ D ．526- 10. 函数()sin()(0,0,)2f x A wx A w πϕϕ=+>><的部分图象如图所示，若将()f x 图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A ．sin()12y x π=+B ．sin()6y x π=+C ．sin(4)3y x π=+D ．sin(4)6y x π=+11. 在ABC ∆中，若对任意t R ∈都有2BA tBC BA BC -≥-，则ABC ∆的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定 12. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上有意义，对于给定的正数k ，定义函数()(),(),()k f x f x kf x k f x k <⎧=⎨≥⎩， 取3,()()2xkk f x ==，则()2k kf x =的零点有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不确定，随k 的变化而变化第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若幂函数221(33)mm y m m x --=-+的图象不经过原点，则m 的值是 ．14.若函数()24x f x x =+-的零点1(,)x a b ∈，且1,,b a a b N -=∈，则a b += ．15.已知(0,),(0,)22ππαβ∈∈，且满足22)22αβπα=- 5cos()2πβ=-，则αβ+= ．16.已知12,e e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=-，若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数()ln(2)f x x m =-的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B .（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若AB φ=，求实数m 的取值范围.18.已知sin cos 5αα+=0απ<<. （1）求tan α的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.19. 设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1),(cos ,3sin 2)a x b x x ==. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数()f x 在区间[,]46ππ-上的最大值和最小值. 20. 在ABC ∆中，3144AM AB AC =+.（1）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比；（2）若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点P ，且(,)AP xAB yAC x y R =+∈，求x y +的值.21. 某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量P （件）与单价x （元）之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有感的周开支均为25元.（1）根据周销售量图写出P （件）与单价x （元）之间的函数关系式；（2）写出利润y （元）与单价x （元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润.22. 已知()2(log )2log 3(0m m f x x x m =+->，且1)m ≠（1）当2m =时，解不等式()0f x <；（2）()0f x <在[]2,4恒成立，求实数m 的取值范围.定州市2016—2017学年度第一学期期末教学质量检测高一数学参考答案及评分标准一、选择题1-5: CDABC 6-10:ACDBD 11、A 12：C二、填空题13. 1 14. 3 15.512π16. 2 三、解答题17.解：可知集合{|}2mA x x =>，集合{|13}B x x =<≤ （1）若B A ⊆，则12m≤，即2m ≤； 故实数m 的取值范围是(,2]-∞；（2）若A B φ=，则32m≥，故实数m 的取值范围是[6,)+∞18.解：（1）由sin cos αα+=32sin cos 5αα=-，因为0απ<<，所以sin cos 5αα-=，所以sin 1010αα==-，所以tan 3α=-； （2）22sin 22tan 3sin sin cos cos 21tan tan 22αααααααα==-+--+-.19.由题意得，得()f x a b =⋅2cos cos 22sin(2)16x x x x π=+=++，（1）()f x 的最小正周期为T π=， 由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-++∈.（2）求（1）可知，函数()f x 在区间[,]46ππ-单调递增，所以()max ()36f x f π==，()min ()14f x f π=-=20.解：（1）在ABC ∆中，3144AM AB AC =+，可得3BM MC =， 即点M 在线段BC 靠近B 点的四等分点. 故ABM ∆与ABC ∆的面积之比为14； （2）因为31,//44AM AB AC AM AP =+， (,)AP xAB yAC x y R =+∈，所以3x y =，因为N 为AB 中点，所以11()22NP AP AN xAB y AC AB x AB y AC =-=+-=-+， (1)CP AP AC xAB yAC AC xAB y AC =-=+-=+-因为//NP CP ，所以1()(1)2x y xy --=，即21x y +=，又3x y =，所以31,77x y ==，所以47x y +=.21.（1）①设当[]12,20x ∈时，11P k x b =+，代入点()12,26,(20,10)， 得112,50k b =-=，②设当(20,28]x ∈时，22P k x b =+，代入点(20,10),(28,2)， 得221,30k b =-=，故周销量P （件）与单价x （元）之间的函数关系式 为250,1220,30,2028,x x P x x -+≤≤⎧=⎨-+<≤⎩（2）(250)(10)25,1220,(10)25(30)(10)25,2028,x x x y P x x x x -+--≤≤⎧=--=⎨-+--<≤⎩，①当[12,20]x ∈时，2351752()22y x =--+，所以352x =时，max 1752y =； ②当(20,28]x ∈时，2(20)75y x =--+，可知2(20)75y x =--+在(20,28]x ∈单调递减，所以75y <， 由①②可知，当352x =时，max 1752y =， 故当该商品的销售价格为17.5元时，周利润最大为87.5元.22.（1）当2m =时，解不等式()0f x <，得2(log )2log 30m m x x +-<， 即23log 1x -<<， 故不等式的解集为1{|2}8x x <<； （2）由()0f x <在[]2,4恒成立，得23log 1x -<<在[]2,4恒成立，①当1m >时，有3log 2log 21m m -<⎧⎨<⎩，得4m >，②当01m <<时，有3log 4log 21m m-<⎧⎨<⎩，得0m <<，故实数m的取值范围(4,)+∞.。
河北省定州中学2017-2018学年高一(承智班)上学期周练(二)数学试题 Word版含解析
2017-2018学年高一数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．计算662log 3log 4+的结果是（ ）A 、6log 2B 、2C 、6log 3D 、3 【答案】B 【解析】试题分析：666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==，故选B. 考点：对数的基本运算.2．已知方程a x =-12有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,∞-B ．()2,1C ．()+∞,0D ．()1,0 【答案】D考点：1、方程的根与函数图象之间的关系；2、指数函数图象的平移变换和翻着变换. 3．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∈3,2,1,21,1,2α，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：因为a y x =是奇函数，所以a 应该为奇数，又在(0,)+∞是单调递增的，所以0a >则只能1,3，故选C. 考点：幂函数的性质.4．已知a b ＝0.32，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b>c>aB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a 【答案】A考点：指数函数的性质.5．若不等式0log 32<-x x a 对任意1(0,)3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.)1,271[B.)1,271(C.)271,0( D ．]271,0(【答案】A 【解析】试题分析：因为不等式0log 32<-x x a 对任意1(0,)3x ∈恒成立，所以01a <<，当1(0,)3x ∈时，22113333x ⎛⎫<⨯= ⎪⎝⎭，1log log 3a a x >，由数形结合分析可知只需11log 33a ≥，得1,127a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选A.x考点：1、对数函数的图象与性质；2、不等式恒成立问题. 6．函数2()log f x x=在区间[1,2]上的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B考点：对数函数的单调性及最值.7．函数y ＝x xx xe e e e --+-的图象大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：令()x xx x e e f x e e --+=-，可得()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，排除D.又∵()f x =x x x x e e e e --+-=2211x xe e +-=22121x x e e -+-=1+221x e -在()(),0,0,-∞+∞上都是减函数，排除B ，C.故选A.考点：1、函数的奇偶性及单调性；2、函数的图象. 8．函数22112x x y +-⎛⎫=⎪⎝⎭的值域是（ ）A.(－∞，4)B.(0，＋∞)C.(0,4]D.设a ＞0，b ＞0，（ ） A.若2a＋2a ＝2b＋3b ，则a ＞b B.若2a＋2a ＝2b＋3b ，则a ＜b C.若2a－2a ＝2b－3b ，则a ＞b D.若2a－2a ＝2b－3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】试题分析：因为0,0a b >>，所以222322a b ba b b +=+>+，令()22xf x x =+，则函数()f x 为单调增函数，由()()f a f b >，得a b >，故选A.考点：1、不等式的性质；2、函数的单调性.10．已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =．则（ ）（A ）>>a b c （B ）>>a c b （C ）>>c a b （D ）>>c b a【答案】B 【解析】 试题分析：由0.60.6log 0.5>log 0.6=1,1a >.ln 0.5ln10,0b <=<.0.5000.60.61,01c <<=∴<<.可得a cb >>.故选B.考点：1、对数函数的性质；2、指数函数的性质.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1,1-为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.11．化简34⎤的结果为（ ）A．5 BD ．﹣5 【答案】B考点：有理数指数幂的运算.【易错点睛】本题主要考查有理数指数幂的运算，属于中档题. 有理数指数幂的运算运算性质如下：（1）)0,,mna a m N n N =>∈∈；（2）()0,,mmm na a aa m Q n Q +=>∈∈；(3)()()0,,nm mn aa a m Q n Q =>∈∈；（4）()()0,,mm m ab a b a m Q n Q =>∈∈；在化简和运算过程中，一定要注意各个性质运用的条件，否则容易出错.12．已知函数12log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1]【答案】D 【解析】考点：1、指数函数与对数函数的图象与性质；2、函数的图象与方程的根的关系.【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象与性质、函数的图象与方程的根的关系，属于难题.判断方程方程()0f x =根的个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数.本题的解答就利用了方法③.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知1233,3()log (6),3x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则((3))f f 的值为 . 【答案】3 【解析】试题分析：因为()()2333log 36log 31f =-==,所以()()()113133ff f e-===.故答案为3.考点：1、分段函数的解析式；2、对数、指数的运算.14．已知函数f(x)＝122,0,20x x c x x x ⎧⎪≤≤⎨⎪+-≤<⎩，其中c ＞0.那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则c 的取值范围是________． 【答案】1-，0 (]0,4考点：1、分段函数的解析式；2、函数的值域.15．已知函数1221,1,()log , 1.x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】()1,0-【解析】试题分析：画出原函数的图象如下图，要使()f x k =有三个不同的实根，则需要10k -<<，故实数k 的取值范围为()1,0-，故答案为()1,0-.考点：1.分段函数的应用；2.函数与方程的应用.【方法点睛】本题主要考查分段函数的应用、函数与方程的应用，属于难题.判断方程方程()0f x = 根的个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数.本题的解答就利用了方法③.16．函数()f x =的值域为 . 【答案】(),0-∞考点：1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、数形结合的思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数()22log 1xf x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】1a ≤．考点：1、对数函数的性质及指数函数的性质；2、集合之间的关系 18．计算：（1（2）1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg --+.【答案】（1）19；（2）4-. 【解析】试题分析：（1）指数式运算，先将负指数化为正指数，小数化为分数，即再将分数化为指数形式，根据指数运算法则即可化简结果；（2）对数式运算，首先将底统一，本题全为10，再根据对数运算法则进行运算，即.4)1(2110lg 10lg 10lg 521258lg1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg 2121-=-⨯=⨯⨯=--+-试题解析：（1）132103410.027()25631)7-----+-+1133286334310001101101()(7)(2)1()49214964119.2733333=--+-+=-+-+=-+-+=（2）.4)1(2110lg 10lg 10lg 521258lg1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg 2121-=-⨯=⨯⨯=--+- 考点：1、指数的运算法则；2、对数式的运算法则． 19．计算：（11132081()274e π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2lg5lg 4ln ++【答案】（1）2；（2）3.考点：1、对数的运算法则；2、指数的运算法则. 20．函数f (xA ，关于x 的不等式233()ax a xa +<∈R 的解集为B ，求使A B A ⋂=的实数a 的取值范围．【答案】2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：首先根据被开方式非负，求出集合A ；由指数函数的单调性，求出集合B ，并就a 讨论，化简B ，根据A B A ⋂=⇔A B ⊆，分别求出a 的取值范围，最后求并集．试题解析：由21xx --≥0，得12x <≤，即{|12}A x x =<≤． ∵2x y =是R 上的增函数，∴由222axa x +<，得2ax a x <+，∴{|(21)}B x a x a =-＜．考点：1、集合的包含关系判断及应用；2、指数、对数不等式的解法． 21．12lg 4lg 254(4-0++--π)．【答案】32．【解析】试题分析：正确运用对数运算法则及指数运算法则即可得结果. 试题解析：12lg 4lg 254(4-0++--π)12()21213lg(425)21lg10212122⨯--=⨯+-=+-=+-=.考点：指数式与对数式的运算.22．已知函数2()2(1)ln (,0)kf x x a x k N a R a *=--∈∈>且． （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若2014k =时，关于x 的方程()2f x ax =有唯一解，求a 的值；（3）当2013k =时，证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有212()2()xf x x a e ex->-成立．【答案】（1）当k 是奇数时，()f x 在()0,+∞上递增，当k 是偶数时，()f x 在(上是减函数，在)+∞上是增函数；（2）12a =；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）首先利用导数公式求出()x f ',然后讨论k 是奇数还是偶数，再定义域内求导数大于0或是导数小于0的解集，确定单调区间；（2）将唯一解问题转化为()()ax x f x g 2-=在定义域内和x 轴有唯一交点问题，求()()a ax x xx g --='220>x 在定义域内，导数为0的值有一个，分析函数()x g 是先减后增，所以如果有一个交点，那么函数在定义域内的极小值等于0即可；（3）转化为左边函数的最小值大于有边函数的最大值，要对两边函数求导，利用导数求函数的最值.当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上是单调递增函数．当x=x 2时, 2()0g x '=，min 2()()g x g x =． 因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =．则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，， 即22222222ln 200x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，设函数()2ln 1h x x x =+-，因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解． 因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得12a =另解:()2f x ax =即22ln 2x a x ax -=有唯一解,所以:22ln x a x x =+,令()2ln x p x x x=+,则()()()22ln 1ln x x x p x x x +-'=+,设()2ln 1+h x x x =-，显然()h x 是增函数且()10h =，所以当01x <<时()0p x '<，当1x >时()0p x '>，于是1x =时()p x 有唯一的最小值，所以()211a p ==，综上：12a =．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究方程的根及利用导数证明不等式. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根及利用导数证明不等式，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.23．已知函数()()ln ,f x a x bx a b R =+∈在点()()1,1f 处的切线方程为2x y -20-=. （1）求a 、b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n N *∈，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 【答案】（1）1a =，12b =-；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）通过()1f '和()1f 的值列有关a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值；（2）利用参数分离法将不等式()0kf x x+<在区间()1,+∞上恒成立问题转化为不等式2ln 2x k x x <-在区间()1,+∞上恒成立，并构造函数()2ln 2x g x x x =-，从而转化为()min k g x <，从而求出k 的取值范围；（3）在（2）的条件下得到21ln 2x x x -<，在不等式两边为正数的条件下两边取倒数得到111ln 11x x x x >--+，然后分别令2x =、3、4、、n ，利用累加法以及同向不等式的相加性来证明问题中涉及的不等式.（3）由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<，又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. 把2x =、3、4、、n 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121n n =+--+223222n n n n--=+. 考点：1、导数的几何意义；2、 参数分离法及不等式恒成立；3、分类讨论及不等式的证明． 【方法点晴】本题主要考查利用导数的几何意义、 参数分离法及不等式恒成立、分类讨论及不等式的证明属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）是利用方法①求得k 的最大值.24．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当[]0,4x ∈时，()2x mf x n -=+，且()26f =.（1）求,m n 的值；（2）当[]0,4x ∈时，关于x 的方程()20xf x a -⋅=有解，求a 的取值范围.【答案】（1）2m =，5n =；（2）9,916a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）方程即为2252x x a -+=⨯在[]0,4有解.考点：1、指数函数，二次函数求值域；2、函数的解析式及方程有解问题.。
2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一（上）期末数学试卷一、单选题1．（3分）已知函数，若函数y＝f（x）﹣m有四个零点a，b，c，d，则abcd的取值范围是（）A．[0，2）B．[0，3）C．[1，2）D．[2，3）2．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BB1的中点，则直线MN与平面A1BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（3分）形如y＝（c＞0，b＞0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数（a＞0，a≠1）有最小值，则当c ＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝log a|x|的图象交点个数为（）个．A．1B．2C．4D．64．（3分）设函数f（x）＝a|x|，（a＞0且a≠1在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f （2）的大小关系为（）A．f（a+1）＝f（2）B．f（a+1）＞f（2）C．f（a+1）＜f（2）D．不能确定5．（3分）已知函数f（x）是定义在上的单调函数，且，则f（1）的值为（）A．1B．2C．3D．46．（3分）设函数f（x）＝ax2﹣2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f（x）＞0，则实数a的取值范围为（）A．a≥1B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）﹣x2﹣m＝0有且仅有一个实数根，则实数m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜1B．﹣1≤m＜﹣或m＝1C．﹣1≤m＜﹣D．﹣1＜m＜﹣或m＝18．（3分）已知函数，若方程f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，2]D．（0，+∞）9．（3分）已知函数f（x）＝，若方程f2（x）+bf（x）+2＝0有8个相异实根，则实数b的取值范围（）A．（﹣4，﹣2）B．C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）10．（3分）定义：对于一个定义域为D的函数f（x），若存在两条距离为d的直线y＝kx+m1，y＝kx+m2，使得在x∈D时，恒有kx+m1≤f（x）≤kx+m2，则称f（x）在D上有一个宽度为d的通道．下列函数：①f（x）＝x2（x≥0）；②；③；④，其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为（）A．①②B．②③C．②④D．②③④11．（3分）已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）A．B．C．D．12．（3分）已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．当且仅当x＝2kπ+（k∈Z）时，f（x）的最大值为1C．函数f（x）的值域是[﹣1，1]D．当π+2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，f（x）＞0二、填空题13．（3分）点A，B分别为圆M：x2+（y﹣3）2＝1与圆N：（x﹣3）2+（y﹣8）2＝4上的动点，点C在直线x+y＝0上运动，则|AC|+|BC|的最小值为．14．（3分）给出以下四个结论：①若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（）的定义域是[4，8]；②函数f（x）＝log a（2x﹣1）﹣1（其中a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0）；③当α＝0时，幂函数y＝xα的图象是一条直线；④若log a＞1，则a的取值范围是（，1）；⑤若函数f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a2）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是[1，+∞）．其中所有正确结论的序号是．15．（3分）已知函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R），则下列各式恒成立的是．①f（0）＝0；②f（3）＝3f（1）；③f（）＝f（1）；④f（﹣x）f（x）＜0．16．（3分）若m＞0，且关于x的方程（mx﹣1）2﹣m＝在区间[0，1]上有且只有一个实数解，则实数m的取值范围是．三、解答题17．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣．（1）求函数在[0，]上的值域；（2）若函数在[m，]上的值域为[﹣，2]，求m的最小值；（3）在△ABC中，f（）＝2，sin B＝cos C，求sin C．18．已知函数f（x）＝e x，g（x）＝﹣x2+2x+b（b∈R），记（I）判断h（x）的奇偶性，并写出h（x）的单调区间，均不用证明；（II）对任意x∈[1，2]，都存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2）．若f（x1）＝g（x2）．求实数b的值．19．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，米，记∠BHE＝θ．（1）试将污水净化管道的总长度L（即RtFHE的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；（2）问θ当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度．（提示：sinθ+cosθ＝sin（θ+），sin＝．）2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．【解答】解：作出函数的图象如图，函数y＝f（x）﹣m有四个零点，即y＝f（x）与y＝m的图象有4个不同交点，不妨设四个交点横坐标a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，则﹣4≤a＜﹣3，﹣1＜b≤0，＜c＜1，1＜d≤2，由f（c）＝f（d），得|log2c|＝|log2d|，则﹣log2c＝log2d，可得log2cd＝0，即cd＝1．∴abcd＝ab．∵a，b关于直线x＝﹣2对称，则a＝﹣4﹣b，﹣1＜b≤0，得ab＝﹣（4+b）b＝﹣（b+2）2+4∈[0，3）．∴abcd的取值范围是[0，3）．故选：B．2．【解答】解：连接AB1交A1B于O，∵M，N为中点，∴AB1∥MN，∴直线OB1与平面A1BC1所成的角θ即为所求．在棱长1的正方体中，利用等体积法，可求得点B1到面A1BC1的距离h＝，又OB1＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，故选：C．3．【解答】解：由题意y＝（c＞0，b＞0）的函数，此函数是偶函数，当c＝b＝1时，则y＝，画出这个函数的图象，如图绿色的曲线，∵（a＞0，a≠1）有最小值，又∵x2+x+1＞0∴a＞1，再画出函数y＝log a|x|的图象（黑色的曲线），当c＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝log a|x|的图象交点个数为4个．故选：C．4．【解答】解：根据题意，f（x）＝a|x|＝，当x＜0时，f（x）＝（）x，且在（﹣∞，0）上单调递增，则0＜a＜1，则当x＞0时，f（x）＝a x，在（0，+∞）上单调递减，又由0＜a＜1，则a+1＜2，则有f（a+1）＞f（2），故选：B．5．【解答】解：根据题意，设f（1）＝a≠0，∵f（x）f（f（x）+）＝，令x＝1，则f（1）f[（f（1）+1]＝，即af（a+1）＝，再令x＝a+1，则f（a+1）f[f（a+1）+）＝，即f（+）＝a＝f（1），∵f（x）是定义在（，+∞）上的单调函数∴+＝1，解得a＝1或a＝﹣（舍去）∴f（1）＝1，故选：A．6．【解答】解：∵满足1＜x＜4的一切x值，都有f（x）＝ax2﹣2x+2＞0恒成立，可知a≠0∴a＞＝2[﹣（﹣）2]，满足1＜x＜4的一切x值恒成立，∵＜＜1，∴2[﹣（﹣）2]∈（0，]，实数a的取值范围为：（，+∞）．故选：D．7．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，由题意可得f（x）＝x2+m有且仅有一个实数根，即y＝f（x）的图象和y＝x2+m有一个交点，显然m＝1成立；由y＝x2+m过（1，）可得m＝﹣1＝﹣；由y＝x2+m经过点（﹣1，0），可得m＝﹣1，则﹣1＜m＜﹣时，它们有一个交点．综上可得m的范围是﹣1＜m＜﹣或m＝1．故选：D．8．【解答】解：∵函数，∴作出函数f（x）的图象如右图所示，x→+∞时，f（x）＝1﹣→1，x≥1时，f（x）∈[0，1）；∵方程f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f（x）的图象与y＝a的图象有三个不同的交点，根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．故选：A．9．【解答】解：令f（x）＝t，则方程f2（x）+bf（x）+2＝0⇔方程t2+bt+2＝0．如图是函数f（x）＝，的图象，根据图象可得：方程f2（x）+bf（x）+2＝0有8个相异实根⇔方程t2+bt+2＝0．有两个不等实数解t1，t2且t1，t2∈（1，2）．可得⇒﹣3＜b＜﹣2．故选：D．10．【解答】解：①当x≥0时，f（x）＝x2≥0且函数单调递增，故①不存在宽度为2的通道；②∈[0，2]，故存在y＝0和y＝2，满足有一个宽度为2的通道；③∈（﹣1，1），故存在y＝﹣1和y＝1，满足有一个宽度为2的通道；④∈[﹣，0）∪（0，]，故存在y＝﹣1和y＝1，满足有一个宽度为2的通道；故有一个宽度为2的通道的函数的序号为②③④，故选：D．11．【解答】解：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，设线段AB1上的切点为E，AC1∩面A1BD＝O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E记为r，则，，由O1E∥O2F知，则圆柱的高为，．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝表示在sin x和cos x中取较大的一个，f（x）在一个周期上的图象如图所示，由图象可得，它的值域为[﹣，1]，它的最小正周期为2π，故A正确，C错误；当x＝2kπ，或x＝2kπ+（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，故B不正确；当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，cos x和sin x都小于零，故函数f（x）＜0，故D错误．故选：A．二、填空题13．【解答】解：设圆M'是圆M：x2+（y﹣3）2＝1关于直线x+y＝0对称的圆可得M'（﹣3，0），圆M'方程为（x+3）2+y2＝1，可得当点P位于线段NM'上时，线段AB长是圆N与圆M'上两个动点之间的距离最小值，此时|AC|+|BC|的最小值为AB，N（3，8），圆的半径R＝2，∵|NM'|＝＝10，可得|AB|＝|NM'|﹣R﹣r＝10﹣2﹣1＝7因此|AC|+|BC|的最小值为7，故答案为7．14．【解答】解：对于①，函数f（2x）的定义域为[1，2]，则x∈[1，2]时，2≤2x≤4，∴f（x）的定义域为[2，4]；令2≤≤4，解得4≤x≤8，∴函数f（）的定义域是[4，8]，①正确；对于②，令2x﹣1＝1，得x＝1，∴f（1）＝log a1﹣1＝﹣1，∴函数f（x）的图象过定点（1，﹣1），②错误；对于③，当α＝0时，函数y＝xα＝1（x≠0），其图象是一条直线，去掉（0，0）点，③错误；对于④，log a＞1＝log a a，若a＞1，则＞a，不满足题意；若0＜a＜1，则＜a，应满足＜a＜1，∴a的取值范围是（，1），④正确；对于⑤，函数f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a2）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则，解得a≥1，∴a的取值范围是[1，+∞），⑤正确．综上，其中正确结论的序号是①④⑤．故答案为：①④⑤．15．【解答】解：令x＝y＝0得f（0）＝2f（0），所以f（0）＝0，所以①恒成立；令x＝2，y＝1得f（3）＝f（2）+f（1）＝f（1）+f（1）+f（1）＝3f（1），所以②恒成立；令x＝y＝得f（1）＝2f（），所以f（）＝f（1），所以③恒成立；令y＝﹣x得f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（﹣x）f（x）＝﹣[f （x）]2≤0，所以④不恒成立．故答案为：①②③16．【解答】解：根据题意，令f（x）＝m2x2﹣2mx﹣+1﹣m，有f（0）＝1﹣m，f（1）＝m2﹣3m，若方程（mx﹣1）2﹣m＝在x∈[0，1]上有且只有一个实根，即函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，有f（0）f（1）＝（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，又由m为正实数，则（1﹣m）（m2﹣3m）≤0⇒（1﹣m）（m﹣3）≤0，解可得0＜m≤1或m≥3，当0＜m≤1时，由f（0）≥0，f（1）＜0，f（x）在（0，1）递减，符合题意；当m≥3，f（0）＜0，f（1）≥0，f（x）的极小值小于0，符合题意．即m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞），故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．三、解答题17．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+＝．∵x∈[0，]，∴2x+[]，则sin（2x+）∈[]，∴∈[]，即函数的值域为[]；（2）∵x∈[m，]，∴2x+∈[2m+，]，当x＝时，，可得，∴，故m的最小值为﹣；（3）由f（）＝＝2，得，k∈Z，又A是△ABC的内角，∴A＝，sin B＝sin（）＝，化简整理得，则tan C＝＞0，∴sin C＝．18．【解答】解：（Ⅰ）函数，x∈（﹣∞，+∞）函数为奇函数，函数单调递增为（﹣∞，+∞）．（Ⅱ）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）max＝f（x1），g（x）max＝g（x2）∵f（x）＝e x在区间[1，2]上单调递增，∴，又∵g（x）＝﹣x2+2x+b＝﹣（x﹣1）2+b+1∴函数y＝g（x）的对称轴为x＝1∴函数y＝g（x）在区间[1，2]上单调递减∴g（x）max＝g（1）＝1+b，即g（x2）＝1+b由f（x1）＝g（x2），得1+b＝e2，∴b＝e2﹣1．19．【解答】（本小题满分12分）解：（1）EH＝，FH＝，EF＝＝（0＜θ＜）．…（3分）由于BE＝10tanθ≤10，AF＝≤10，所以≤tanθ≤，所以θ∈[，]．所以L＝++，θ∈[，]．…（6分）（2）L＝．…（8分）设sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝，∵θ∈[，]，∴sinθ+cosθ＝t＝∈[，]．…（10分）所以L＝．由于L＝在[，]上单调递减，所以当t＝即θ＝或θ＝时，L取得最大值20（+1）米．答：当θ＝或θ＝时，污水净化效果最好，此时管道的长度为20（+1）米…（12分）。
河北省定州中学2018届高中毕业班上学期期末考试数学试题+Word版含答案
河北定州中学2017-2018学年第一学期高四数学期末考试试题一、单选题1．F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为A.B. C. D. 2．(导学号：05856255)如图，△AOB 为等腰直角三角形，OA ＝1，OC 为斜边AB 上的高，点P 在射线OC 上，则AP ·OP的最小值为( )A.16 B. －16 C. 18 D. －183．设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知函数()ln sin f x x a x =-在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围为( )A. ⎛-∞ ⎝⎦ B. ⎛-∞ ⎝⎦ C. ⎣⎦ D. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭5．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝()[)[)2log 1,0,3{252,3,x x x x +∈--∈+∞,则关于x 的函数g(x)＝f(x)＋a(0<a<2)的所有零点之和为( ) A. 10 B. 1－2aC. 0D. 21－2a6．如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是( )A.B.C. D.47．已知函数()3292930f x x x x =-+-，实数,m n 满足()12f m =-， ()18f n =，则m n +=（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()(](]22log 1,1,00{ 173,,122x x f x f x f x x x x --∈--+==---∈-∞-，且，若关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345x x x x x ++++的取值范围是A. ()2,1--B. ()1,1-C. (1，2)D. (2，3) 9．已知函数()212,1{2,1x x f x x x x -≤=->若函数g(x)＝b －f (1－x)有3个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A. (－1,1)B. (－1,2)C. (11) D. (22)10．已知函数f (x )＝e xsin x (0≤x ≤π)，若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 340π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.341π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [0,1)D. [1，e) 11．(2017·郑州市第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( ) A.π27 B. 8π27 C. π3 D. 2π912．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数11y x =+与函数f (x )的图象关于原点对称，则()11f x x =-，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题13．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅的取值范围是__________．14．已知实数a b 、满足12a -≤≤，且2021b a ≤-≤，则221643833a b ab a b ++-+的取值范围是__________．15．(2017·湖南省湘中名校高三联考)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)>f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为________．16．若对于任意的正实数,x y 都有2?ln y y xx e x me⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 21,1e ⎛⎤⎥⎝⎦C. 21,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ D. 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题17．设()()1xf x e a x =-+．（l ）若a ＞0，f （x ）≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值；（2）是否存在正整数a ，使得1n +3n +…+（2n ﹣1）n <an ）n 对一切正整数n 都成立？若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．18．设直线l 的方程为()25x m y =++，该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点.（1）若点()5,2A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程； （2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点()1,2B . 19．已知函数()()21xf x x e =-.（1）若函数()f x 在区间(),a +∞上单调递增，求()f a 的取值范围；（2）设函数()xg x e x p =-+，若存在[]01,x e ∈，使不等式()()000g x f x x ≥-成立，求p 的取值范围.20．已知()()xf x e ax a R =-∈（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证： 122ln x x a +<．参考答案DDDBB BABDA 11．B 12．C 13．[1,9] 14．1,57412⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．()(),24,-∞-⋃+∞ 16．D17．（1）1；（2）见解析.（1）∵()()1x f x e a x =-+，∴()'x f x e a =-，∵0a >， ()'0xf x e a =-=的解为x lna =，∴()()()min ln ln 1ln f x f a a a a a a ==-+=-，∵()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，∴ln 0a a -≥，∴ln 0a a ≤，∴1max a =．（2）设()1x t x e x =--，则()'1xt x e =-，令()'0t x =得： 0x =，在0x <时()'0t x <， ()f x 递减；在0x >时()'0t x >， ()f x 递增，∴()t x 最小值为()00t =，故1x e x ≥+，取2i x n =-， 1321i n =⋯-，，，， 得122i i e n n -≤-，即222nin i e n --⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，累加得1322nnn n ⎛⎫⎛⎫++⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212212nn n en ---⎛⎫+< ⎪⎝⎭()1223122111nn ee e ee -------++⋯+=-<∴()13212nn n nn n ++⋯+-<），故存在正整数2a =，使得()132nn n nn a n ++⋯+<⋅） 18．（1）30x y +-=（2）见解析（1）联立方程组()225{4x my m y x=++=，消去x 得()244250y my m --+= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则12124,820y y m y y m +==-- 因为A 为线段PQ 的中点，所以12222y y m +==-，解得1m =-， 所以直线l 的方程为30x y +-=.（2）证明：因为()()212122254410x x m y y m m m +=+++=++，()()2222121212254416y y y y x x m =⋅==+所以()()()()12121122BP BQ x x y y ⋅=--+--，即()][()12121212124BP BQ x x x x y y y y ⎡⎤⋅=-+++-++⎣⎦所以()()][()2225441018202440BP BQ m m m m m ⎡⎤⋅=+-++++---+=⎣⎦，因此BP BQ ⊥，即以线段PQ 为直径的圆横过点()1,2B . 19．（1）[)2,-+∞；（2）[),e -+∞. （1）由()20xf x xe '=>，得0x >，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0a ≥，所以()()02f a f ≥=-， 所以()f a 的取值范围是[)2,-+∞.（2）因为存在[]01,x e ∈，使不等式()()000021xg x x e x ≥--成立，所以存在[]01,x e ∈，使()0023xp x e ≥-成立，令()()2xh x x e e =-，从而()min p h x ≥， ()()21xh x x e -'=，因为1x ≥，所以211x -≥， 0xe >，所以()0h x '>，所以()()2xh x x e e =-在[]1,e 上单调递增，所以()()min 1h x h e ==-，所以p e ≥-， 实数p 的取值范围是[),e -+∞.20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）（1）a e >；（2） 见解析.（Ⅰ） ()f x 的定义域为R ， ()xf x e a '=-，（1）当0a ≤时， ()0f x '>在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数； （2）当0a >时，令()0f x '>得ln x a >，令()0f x '<得ln x a <，∴()f x 的递增区间为()ln ,a +∞，递减区间为(),ln a -∞；（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当0a ≤时， ()f x 在R 上为增函数， ()f x 不合题意； 当0a >时， ()f x 的递增区间为()ln ,a +∞，递减区间为(),ln a -∞，又()00f e =>，当x →+∞时， ()f x →+∞，∴()f x 有两个零点12,x x ，则()()()m i n l n l n 1l n 0f x f a a a a a a ==-=-<，解得a e >； （2）由（Ⅱ）（1），当a e >时， ()f x 有两个零点12,x x ，且()f x 在()ln ,a +∞上递增， 在(),ln a -∞上递减，依题意， ()()120f x f x ==，不妨设12ln x a x <<． 要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-， 又12ln x a x <<，所以122ln ln x a x a <-<，而()f x 在(),ln a -∞上递减，即证()()122ln f x f a x >-，又()()120f x f x ==，即证()()222ln f x f a x >-，（ 2ln x a >）．构造函数()()()22ln 22ln (ln )xx a g x f x f a x e ax a a x a e=--=--+>，()2220xx a g x e a a e=+->='，∴()g x 在()ln ,a +∞单调递增，∴()()ln 0g x g a >=，从而()()2ln f x f a x >-， ∴()()222ln f x f a x >-，（ 2ln x a >），命题成立．。
河北省定州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
定州市2017～2018学年度第一学期期末教学质量监测高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B. C. D.【答案】D【解析】故选2. ( )D.【答案】C【解析】角的终边上有一点3. ( )A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】AAC中点与BD中点相同,即四边形形,选A4. 下面四个不等式中不正确的是( )【答案】B【解析】所以B错,选B.5. 2倍，纵坐标保持不变，再将所得( )【答案】D【解析】2倍，再向左平移选D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.. 函数是奇函数是偶函数6. ( )C.【答案】C【解析】当综上的取值范围是7.【答案】A，选A8. 如图，中，，若在边上存在点，使B. 12 D. 8【答案】D【解析】,选D9. 图1是淘宝网某商户出售某种产品的数量与收支差额销售额－投入的费用)的图象，销售初期商户为亏损状态，为了实现扭亏为赢，实行了某种措施，图2为实行措施后的图象，则关于两个图象的说法正确的是( )A. 实行的措施可能是减少广告费用B. 实行的措施可能是提高商品售价C.【答案】B【解析】起点不变，所以投入的费用不变，扭亏为盈变快了，所以可能是提高商品售价，选B.点睛：有关函数图象识别问题，由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．( )B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，当故选11. 设函数( )B. C.【答案】B【解析】画出函数时由图象可知符合题意，故12.( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为定义在上的偶函数，所以又在时为增函数，则点睛：本题考查了函数的奇偶性，单调性和运用，考查对数不等式的解法及运算能力，所求不等式中将不等式化简，借助函数在对称性可得到自变量取值范围。
2017-2018学年河北省保定市定州中学毕业班高三(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年河北省保定市定州中学毕业班高三（上）期末数学试卷一、单选题1．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC 上，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣3．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）4．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣2a sin x在区间上是单调递增函数，则a的取值范围为（）A．B．C．D．5．（5分）定义在R上奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝，则关于x的函数g（x）＝f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为（）A．10B．1﹣2a C．0D．21﹣2a6．（5分）如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是（）A．B．8C．D．47．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣9x2+29x﹣30，实数m，n满足f（m）＝﹣12，f（n）＝18，则m+n＝（）A．6B．8C．10D．128．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝t（t∈R）恰有5个不同的实数根x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（1，2）D．（2，3）9．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝b﹣f（1﹣x）有3个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1﹣，1）D．（2﹣，2）10．（5分）已知函数f（x）＝e x sin x（0≤x≤π），若函数y＝f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．[0，1）D．[1，e）11．（5分）将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．12．（5分）关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3+x），则f（x）的一个周期为T＝2；②若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3﹣x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f（x+1）与函数y＝f（3﹣x）的图象关于直线x＝2对称；④若函数y＝与函数f（x）的图象关于原点对称，则f（x）＝，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，若M，N分别在边BC，CD上运动（包括端点，且满足＝，则的取值范围是．14．（5分）已知实数a、b满足﹣1≤a≤2，且0≤b﹣2a2≤1，则的取值范围是．15．（5分）（2017•湖南省湘中名校高三联考）定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，且f（x﹣2）是偶函数，若对一切实数x，不等式f（2sin x﹣2）＞f（sin x﹣1﹣m）恒成立，则实数m的取值范围为．16．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．三、解答题17．设f（x）＝e x﹣a（x+1）．（l）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）是否存在正整数a，使得1n+3n+…+（2n﹣1）n（an）n对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．18．设直线l的方程为x＝m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y2＝4x于P，Q两个不同的点．（1）若点A（5，﹣2）为线段PQ的中点，求直线l的方程；（2）证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B（1，2）．19．已知函数f（x）＝2（x﹣1）e x．（1）若函数f（x）在区间（a，+∞）上单调递增，求f（a）的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x﹣x+p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥f（x0）﹣x0成立，求p的取值范围．20．已知f（x）＝e x﹣ax（a∈R）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2，（1）求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：x1+x2＜2lna．2017-2018学年河北省保定市定州中学毕业班高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．2．【解答】解：由＝﹣，设||＝t，t≥0，则•＝﹣•＝t2﹣1×t×cos＝t2﹣t＝﹣；所以，当t＝时，•取得最小值为﹣．故选：B．3．【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．4．【解答】解：由题意得，，，即2a在[]上恒成立，设，则，再令p（x）＝﹣cos x+x sin x，则p′（x）＝2sin x+x cos x，∵p′（x）＞0在[]上恒成立，∴上为增函数，∴＝，∴h′（x）＜0在[]上恒成立，∴上为减函数，∴2，即实数a的取值范围为，故选：A．5．【解答】解：由题意，函数g（x）共有5个零点x1＜x2＜x3＜x4＜x5，x1+x2＝﹣10，x4+x5＝10，x∈[﹣3，0）时，f（x）＝﹣log2（1﹣x），令﹣log2（1﹣x）+a＝0，则x3＝1﹣2a，∴关于x的函数g（x）＝f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为1﹣2a，故选：B．6．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱，底面是平行四边形（两相邻边分别为2，4），侧棱垂直于底面，且侧棱柱等于4，由俯视图易知，底面平行四边形边2上的高为，故该几何体的体积是V＝2××4＝8，故选：B．7．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣9x2+29x﹣30，∴f（x）＝（x﹣3）3+2（x﹣3）+3，∴函数f（x）关于（3，3）对称∵实数m，n满足f（m）＝﹣12，f（n）＝18，∴[f（n）+f（m）]＝3，根据对称性，得（m+n）＝3，解得m+n＝6．故选：A．8．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）是奇函数，f（x）的函数图象关于原点对称．作出函数f（x）的图象如图所示：由图象可知t∈（﹣1，1），设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，根据二次函数的对称性可知：x1+x2＝﹣6，﹣1＜x3＜1，x4+x5＝6，∴x1+x2+x3+x4+x5＝x3∈（﹣1，1）．故选：B．9．【解答】解：函数f（x）＝，当1﹣x≤1，即x≥0时，f（1﹣x）＝1﹣2|x﹣1|，当1﹣x＞1，即x＜0时，f（1﹣x）＝（1﹣x）2﹣2（1﹣x）＝x2﹣1；∴f（1﹣x）＝；令g（x）＝0，得f（1﹣x）＝b，函数g（x）的零点就是函数y＝f（1﹣x）与y＝b的图象的交点横坐标；作出函数y＝f（1﹣x）与y＝b的图象，如图所示；不妨设x1＜x2＜x3，令x2﹣1＝1，解得x＝﹣或x＝（不合题意，舍去）；由图可知，﹣＜x1＜0，且x2+x3＝2，∵x1+x2+x3＝2+x1，﹣＜x1＜0，∴2﹣＜x1+x2+x3＜2，∴x1+x2+x3的取值范围是（2﹣，2）．故选：D．10．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点等价于y＝f（x）的图象与y＝m的图象有两个交点，∵函数f（x）＝e x sin x（0≤x≤π），∴可得时，f′（x）≥0，x时，f′（x）≤0，∴f（x）在[，π）递减，在（0，]递增．故函数f（x）图象如下：由图象可知：0≤m．故选：A．11．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x＝2﹣2r，∴圆柱的体积为V（r）＝πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），则V（r）≤π＝∴圆柱的最大体积为，此时r＝，故选：B．12．【解答】解：对于①，若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3+x），则f（x）＝f（x+2），∴f（x）的一个周期为T＝2，①正确；对于②，若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3﹣x），则f（x）＝f（4﹣x），即f（2+x）＝f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，②正确；对于③，函数y＝f（a+x）与函数y＝f（b﹣x）的图象关于直线x＝对称，∴函数y＝f（x+2）的图象与函数y＝f（3﹣x）的图象关于直线x＝＝1对称，∴③错误；对于④，设点P（x，y）是函数y＝f（x）的图象，与P关于原点对应的点为（﹣x，﹣y），且在函数y＝的图象上，∴﹣y＝，得y＝，即f（x）＝，④正确；综上，正确命题的序号是①②④，是3个．故选：C．二、填空题13．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB＝3，AD＝1，所以A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1）；设M（3，b），N（x，1），（0≤x≤3），根据题意得，b＝，所以＝（x，1），＝（3，b），所以•＝3x+＝1+x（0≤x≤3），所以1≤1+x≤9，即的取值范围是[1，9]．故答案为：[1，9]．14．【解答】解：由﹣1≤a≤2，且0≤b﹣2a2≤1作出可行域如图，令t＝a+，联立，解得，联立，得8a2+3a﹣3t＝0，由△＝9+96t＝0，解得t＝．由图可知，当直线t＝a+过点（2，9）时，t有最大值为14．∴t的取值范围为[，14]．∵＝，且t＝a+，∴＝3t2﹣|t|＝．当0≤t≤14时，3t2﹣t∈[]；当时，3t2+t∈[，0]．取并集得：的取值范围为：．故答案为：．15．【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，且f （x﹣2）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称．则函数f（x）在（﹣2，+∞）上单调递减，若对一切实数x，不等式f（2sin x﹣2）＞f（sin x﹣1﹣m）恒成立，则|2sin x﹣2﹣（﹣2）|＜|sin x﹣1﹣m﹣（﹣2）|恒成立，即|2sin x|＜|sin x+1﹣m|恒成立．令t＝sin x∈[﹣1，1]，可得2|t|＜|t+1﹣m|，平方可得3t2+（2m﹣2）t﹣1﹣m2+2m＜0，即f（t）＝3t2+（2m﹣2）t﹣1﹣m2+2m＜0在区间[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得m＜﹣2，或m＞4，即m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．16．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t＝，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）＝（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）＝﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）＝﹣lne+﹣1＝0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）＝e，若f（t）＝（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．三、解答题17．【解答】解：（1）∵f（x）＝e x﹣a（x+1），∴f′（x）＝e x﹣a，∵a＞0，f′（x）＝e x﹣a＝0的解为x＝lna．∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣a（lna+1）＝﹣alna，∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，∴﹣alna≥0，∴alna≤0，∴a max＝1．（2）设t（x）＝e x﹣x﹣1，则t′（x）＝e x﹣1，令t′（x）＝0得：x＝0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为t（0）＝0，故e x≥x+1，取x＝﹣，i＝1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤e﹣，即（）n≤，累加得（）n+（）n+…+（）n＜++…+＝＜．∴1n+3n+…+（2n﹣1）n＜•（2n）n，故存在正整数a＝2．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n＜•（an）n．18．【解答】解：（1）联立方程组，消去x得y2﹣4my﹣4（2m+5）＝0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8m﹣20因为A为线段PQ的中点，所以，解得m＝﹣1，所以直线l的方程为x+y﹣3＝0．（2）证明：因为，，所以，即所以，因此BP⊥BQ，即以线段PQ为直径的圆恒过点B（1，2）．19．【解答】解：（1）由f'（x）＝2xe x＞0，得x＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以a≥0，所以f（a）≥f（0）＝﹣2，所以f（a）的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）因为存在x0∈[1，e]，使不等式成立，所以存在x0∈[1，e]，使成立，令h（x）＝（2x﹣e）e x，从而p≥h（x）min，h'（x）＝（2x﹣1）e x，因为x≥1，所以2x﹣1≥1，e x＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＝（2x﹣e）e x在[1，e]上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，所以p≥﹣e，实数p的取值范围是[﹣e，+∞）．20．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f'（x）＝e x﹣a，…（1分）（1）当a≤0时，f'（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上为增函数；…（2分）（2）当a＞0时，令f'（x）＞0得x＞lna，令f'（x）＜0得x＜lna，∴f（x）的递增区间为（lna，+∞），递减区间为（﹣∞，lna）；…（4分）（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在R上为增函数，f（x）不合题意；当a＞0时，f（x）的递增区间为（lna，+∞），递减区间为（﹣∞，lna），又f（0）＝e＞0，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴f（x）有两个零点x1，x2，则f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna＝a（1﹣lna）＜0，解得a＞e；…（7分）（2）由（Ⅱ）（1），当a＞e时，f（x）有两个零点x1，x2，且f（x）在（lna，+∞）上递增，在（﹣∞，lna）上递减，依题意，f（x1）＝f（x2）＝0，不妨设x1＜lna＜x2．要证x1+x2＜2lna，即证x1＜2lna﹣x2，又x1＜lna＜x2，所以x1＜2lna﹣x2＜lna，而f（x）在（﹣∞，lna）上递减，即证f（x1）＞f（2lna﹣x2），…（9分）又f（x1）＝f（x2）＝0，即证f（x2）＞f（2lna﹣x2），（x2＞lna）．构造函数，…（10分），∴g（x）在（lna，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（lna）＝0，从而f（x）＞f（2lna﹣x），∴f（x2）＞f（2lna﹣x2），（x2＞lna），命题成立．…（12分）。
2017-2018学年河北省保定市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年河北省保定市高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 设集合A ={x ∈Nx ≤2}，B ={2，6}，则A ∪B =（ ）A. {2}B. {2,6}C. {1,2，6}D. {0,1，2，6}2. 若f (x )= 2,x <0x +2,x≥0，则f [f （-3） =（ ）A. −1B. 0C. 1D. 4 3. sin600°+tan240°的值是（ ）A. − 32B. 32C. −12+ 3D. 12+ 34. 在△ABC 中，已知D 为AB 上一点，若AD =2DB ，则CD =（ ）A. 23CA +13CB B. 13CA +23CB C. 2CA −CB D. CA −2CB5. 下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A. y =cos(2x +π2) B. y =sin(2x +π2) C. y =sin2x +cos2xD. y =sin x +cos x6. 设a =log 0.50.8，b =log 0.60.8，c =1.10.8，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. a <c <b7. 将函数f (x )=2sin (2x +π3)的图象向左平移π2个单位长度，所得图象对应的函数为g（x ），则g （x ）满足（ ）A. 在区间[−π6,π3上单调递减 B. 在区间[−π6,π3上单调递增 C. 在区间[π12,7π12上单调递减D. 在区间[π12,7π12上单调递增8. 某工厂2017年投入的 研资金为120万元，在此基础上，每年投入的 研资金比上年增长12 ，则该厂投入的 研资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12=0.05，lg3=0.48，lg2=0.30）（ ） A. 2020年 B. 2021年 C. 2022年 D. 2023年 9. 给出下列结论：① (−2)44=±2；②已知扇形的面积是2cm 2，半径是1cm ，则扇形的圆心角是2； ③若f (x )= x 2−4，g (x )= x +2 x −2，则f （x ）与g （x ）表示同一函数；④若sin (π3+α)=13，则cos (π3−2α)=−79； ⑤函数f (x )=x 12−4lgx 有零点， 其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于任意给定的两个非负数a，b且a＞b，不等式af（a）＜bf（b）恒成立，则不等式（ln x）f（ln x）＞f（1）的解集为（）A. (1e ,1) B. (1e,e) C. (0,e) D. (e,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.sin15°sin45°+cos15°cos45°的值是______12.函数f（x）=a x+1-2（a＞0，a≠1）的图象过定点______13.已知向量a，b满足（a+2b）•（a-b）=-6且a=1，b=2，则a与b的夹角为______．14.下列说法：①终边在y轴上的角的集合是{αα=kπ2，k∈Z}；②函数y=x(x−1)+x的定义域为{≥1}；③函数y=lg（-x2+2x）的单调递增区间是（0，1 ；④函数y=sinx−cos2x−1sinx+2+1是奇函数其中正确的序号是______（填上所有正确命题的序号）15.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，CD=1，点P是腰DC上的动点，则PA−3PB的最小值为______三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）16.已知sinα=55，cosβ=−35，其中α、β都是钝角．求：（1）cosα的值；（2）tan（α-β）的值17.已知a=(x，1)，b=(4，−2)．（1）若a∥b，求x的值；（2）当a⊥b时，求 2a−b；（3）若a与b所成的角为钝角，求x的范围18.已知函数f(x)=2sinxcosx+23cos2x．（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）求函数f（x）在区间(−π2，0)上的值域19.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（m/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（m）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 m，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．20.已知函数f(x)=3x+1．3x（1）判断f（x）的奇偶性，说明理由；（2）当x＞0时，判断f（x）的单调性并加以证明；（3）若f（2t）-mf（t）＞0对于t∈（0，+∞）恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x∈N x≤2}={1，2}，B={2，6}，∴A∪B={1，2，6}．故选：C．求出集合A={x∈N x≤2}={1，2}，B={2，6}，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵，∴f（-3）=2，f[f（-3）=f（2）=2+2=4．故选：D．推导出f（-3）=2，从而f[f（-3）=f（2），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：sin600°+tan240°=sin（720°-120°）+tan（180°+60°）=-sin120°+tan60°=-+=．故选：B．原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：因为，则====；故选：B．利用平面向量的三角形法则，将用表示即可．本题考查了平面向量的三角形法则，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：y=cos（2x+）=-sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6.【答案】A【解析】解：∵a=log0.50.8＜log0.50.5=1，b=log0.60.8＜log0.60.6=1，且＜，而c=1.10.8＞1.10=1，∴a＜b＜c．故选：A．直接利用对数的运算性质进行大小比较．本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．7.【答案】D【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为g（x）=2sin（2x+π+）=-2sin（2x+）的图象，在区间上，2x+∈[0，π ，y=2sin（2x+）没有单调性，故g（x）=-2sin （2x+）没有单调性，故A、B不对．在区间上，2x+∈[，，y=2sin（2x+）单调递减，故g（x）=-2sin（2x+）单调性递增，故C不对，D对，故选：D．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，该工厂投入的研资金为首项为120，公比为1.12的等比数列，则其通项为a n=a1×（1.12）n-1=120×（1.12）n-1，设n年后该厂投入的研资金开始超过200万元，则有120×（1.12）n-1＞200；则有（1.12）n-1＞，变形可得：（n-1）lg1.12＞lg4-lg3，解可得：n＞3.4，即4年后，即2021年该厂投入的研资金开始超过200万元；故选：B．根据题意，分析可得该工厂投入的研资金为首项为120，公比为1.12的等比数列，进而可得该等比数列的通项，设n年后该厂投入的研资金开始超过200万元，则有120×（1.12）n-1＞200；解可得n的取值范围，分析可得答案．本题考查等比数列的通项公式，涉及对数的运算，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：，故①错误；扇形的面积是2cm2，半径是1cm，设扇形的圆心角是θ，则，即θ=4，故②错误；由x2-4≥0，得x≤-2或x≥2，的定义域为（-∞，-2 ∪[2，+∞），由，得x≥2，的定义域为[2，+∞），则f（x）与g （x）不是同一函数，故③错误；由，可得cos（）=，则cos（）=cos2（）==，故④正确；由=0，得，画出函数y=与y=4lgx的图象如图：∵＜4，∴函数有零点，故⑤正确．∴正确的个数为2．故选：B．由根式的运算性质判断①；利用扇形面积公式判断②；分别求出两函数的定义域判定③；由已知三角函数值求解判断④；画图判断⑤．本题考查命题的真假判断与应用，考查函数零点的判定，考查三角函数的化简求值，是中档题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，设g（x）=xf（x），又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，即f（-x）=-f（x），则g（-x）=（-x）f（-x）=xf（x）=g（x），则g（x）为奇函数，又由对于任意给定的两个非负数a，b且a＞b，不等式af（a）＜bf（b）即g（a）＜g（b）恒成立，则函数g（x）在R上为减函数，则（lnx）f（lnx）＞f（1）⇒（lnx）f（lnx）＞1×f（1）⇒g（lnx）＞g（1）⇒lnx＜1，解可得：0＜x＜e，即x的取值范围为（0，e）；故选：C．根据题意，设g（x）=xf（x），分析可得g（-x）=（-x）f（-x）=xf（x）=g（x），可得g（x）为奇函数，结合题意可得g（x）在R上为减函数，进而分析可得（lnx）f（lnx）＞f （1）⇒（lnx）f（lnx）＞1×f（1）⇒g（lnx）＞g（1）⇒lnx＜1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意构造新函数g（x）=xf（x），属于基础题．11.【答案】32【解析】解：由sin15°sin45°+cos15°cos45°=cos（15°-45°）=cos（-30°）=cos30°=，故答案为：．直接根据余弦的和与差公式求解即可；本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，难度不大，属于基础题．12.【答案】（-1，-1）【解析】解：令，x+1=0，解得x=-1，∴f（-1）=a0-2=1-2=-1，∴函数f（x）的图象过定点（-1，-1）．故答案为：（-1，-1）．根据指数函数图象恒过定点（0，1），求出函数f（x）图象所过的定点坐标．本题考查了指数函数图象恒过定点的应用问题，是基础题．13.【答案】π3【解析】解：由已知向量，满足（+2）•（-）=-6且=1，=2，∵，整理原式得=-6，解得：=，所以，向量与的夹角为，故答案为：．利用向量乘法展开（+2）•（-）=-6，整理原式得=-6．本题主要考查了向量的数量积与夹角公式，属基础题．14.【答案】③④【解析】解：对于①，终边在y轴上的角的集合是{α α= π+，∈ }，故①错；对于②，由x（x-1）≥0，且x≥0，可得x≥1或x=0，函数的定义域为{ ≥1或x=0}，故②错；对于③，由t=2x-x2（0＜x＜2），y=lgt在（0，+∞）递增，可得t在（0，1 递增，可得函数y=lg（-x2+2x）的单调递增区间是（0，1 ，故③对；对于④，函数=+1=sinx-1+1=sinx，定义域为R，则y=sinx为奇函数，故④对．故答案为：③④．由终边在y轴上的角的集合形式，可判断①；由x（x-1）≥0，且x≥0，解不等式可判断②；由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可判断③；化简函数y可得y=sinx，由定义域R，可判断④．本题考查函数的定义域和单调区间、奇偶性的判断，考查化简整理的运算能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：如图，分别以边DA，DC所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：A（2，0），B（1，1）；设P（0，y），0≤y≤1，则：；∴；∴；∵0≤y≤1；∴y=1时，（2y-3）2+1取最小值2；∴的最小值为．故答案为：．根据条件，可分别以边DA，DC所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，从而得出A（2，0），B（1，1），并设P（0，y），其中0≤y≤1，这样即可求出，进而得出，这样根据二次函数的图象即可求出最小值．考查通过建立坐标系解决向量问题的方法，能求点的坐标，向量坐标的数乘运算，二次函数的最值．16.【答案】解：（1）∵已知sinα=55，cosβ=−35，其中α、β都是钝角，∴cosα=-1−sin2α=-255．（2）由（1）可得tanα=sinαcosα=-12，sinβ=1−cos2β=45，tanβ=sinβcosβ=-43，∴tan（α-β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ=1 2．【解析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．（2）先求得tanα和tanβ的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α-β）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式的应用，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵已知a=(x，1)，b=(4，−2)，若a∥b，则x4=1−2，求得x=-2．（2）当a⊥b时，a•b=4x-2=0，x=12，2a−b=(2a−b)2=4a2−4a⋅b+b2=4(14+1)−0+(16+4)=5．（3）若a与b所成的角为钝角，则a⋅b＜0且a，b不共线，∴4x-2＜0，x4≠1−2，求得x＜12，且x≠-2，故x的范围为{＜12，且x≠-2 }．【解析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，求得x的值．（2）当时，利用两个向量垂直的性质，以及求向量的模的方法，求出的值．（3）若与所成的角为钝角，则＜0且，不共线，由此求得x的范围．本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，求向量的模，两个向量的夹角，属于中档题．18.【答案】解：（1）f(x)=2sinxcosx+23cos2x=sin2x+3(1+cos2x)=sin2x+3cos2x+3=2sin（2x+π3）+3．∵f（x）的最小正周期T=2π2=π，由2x+π3=π2=kπ，可得x=π12+kπ2，∈．∴f（x）的对称轴为x=π12+kπ2，∈；（2）由x∈(−π2，0)，得2x+π3∈（-2π3，π3）．∴2sin（2x+π3）∈[-2，3），则f（x）∈[-2+3，23）．【解析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，则周期可求，再由求对称轴方程；（2）直接由x的范围求得相位的范围，则函数值域可求．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．19.【答案】解：设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=12×4×12=24（m）；（2分）（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）∴S=12•t•3t=3t22（4分）当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t-10，TD=30（如图2）∴S=S△AOE+S矩形ADTE=12×10×30+30（t-10）=30t-150（5分）当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）∴直线BC的解析式为v=-2t+70∴D点坐标为（t，-2t+70）∴TC=35-t，TD=-2t+70（如图3）∴S=S梯形OABC-S△DCT=12（10+35）×30-12（35-t）（-2t+70）=-（35-t）2+675；（7分）（3）∵当t=20时，S=30×20-150=450（m），当t=35时，S=-（35-35）2+675=675（m），而450＜650＜675，∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，（8分）由-（35-t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．∴在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．【解析】（1）设直线l交v与t的函数图象于D点．由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（m）；（2）分类讨论：当0≤t≤10时；当10＜t≤20时；当20＜t≤35时；（3）根据t的值对应求S，然后解答．本题考查的是一次函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算，难度适中．20.【答案】解：（1）∵函数f（x）=3x+13，定义域R，关于原点对称，且对一切x∈R，都有f（-x）=3-x+13=13+3x=f（x）成立，∴f（x）是偶函数．综上所述：f（x）是偶函数．（2）函数f（x）=3x+13x在（0，+∞）上是增函数，令3x=t，当x＞0时，t＞30=1，则y=t+1t，y′=1-1t2＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，∴函数y=t+1t在t∈（1，+∞）上是增函数，∴由复合函数的单调性可知：函数f（x）=3x+13在（0，+∞）上是增函数，综上所述：函数f（x）=3x+13x在（0，+∞）上是增函数．（3）∵函数f（x）=3x+13x，∴f（2t）-mf（t）＞0对于t∈（0，+∞）恒成立，等价于：m（3t+13t ）＜32t+132t对于t∈（0，+∞）恒成立，即m（3t+13t ）＜（3t+13t）2-2对于t∈（0，+∞）恒成立，∵3t+13t ＞0，∴m＜3t+13t-23t+13t对于t∈（0，+∞）恒成立，令3t+13=s，∵t∈（0，+∞），∴由（2）知：s＞2，则m＜s-2s对于s∈（2，+∞）恒成立，记y=s-2s，在s∈（2，+∞）上是增函数，∴y＞2-22=1，∴m≤1即m的取值范围为（-∞，1 ，综上所述：m的取值范围是（-∞，1 ．【解析】（1）使用偶函数定义证明；（2）利用复合函数的单调性证明；（3）整体换元：将3t+换元成s，再将恒成立转化为最值．本题考查了函数的奇偶性、单调性、换元法、不等式恒成立问题．属难题．。
2017-2018学年河北省保定市高一上学期期末考试数学试题 扫描版
高一数学参考答案一、选择题CDABA ADCBC二、填空题11. 12.(-1，-1) 13. 60º14. ③④15.三、解答题16.解：(1) ，-----------------------3分（2）由(1)知-----------------------4分-----------------------5分-----------------------6分. -----------------------8分17.解: (1) ∵∥∴-2x=4 ∴x=-2 -----------------------3分(2) ∵∴4x-2=0 ∴x= -----------------------5分---------------------7分(3)由题意：不反向，所以有x< 且x≠-2 -----------------10分18.解：（1）--------------------2分由∴函数的最小正周期是，对称轴为直线：-----------5分（2）因为，所以．所以．-----------------------8分故的值域为-----------------------10分19. 解：(1)由图像可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，∴S＝12×4×12＝24. ------3分(2)当0≤t≤10时，S＝12•t•3t＝32t2；当10<t≤20时，S＝12×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20<t≤35时，S＝12×10×30＋10×30＋(t－20)×30－12×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上可知，------8分(3)∵t∈(0,10]时，Smax＝32×102＝150<650，t∈(10,20]时，Smax＝30×20－150＝450<650，∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40.∵20<t≤35，∴t＝30，即热带风暴发生30h后将到达到三沙市．-------------------------12分20,.解：（1）∵又因为定义域为R，∴为偶函数------------------------------------------3分（2）当x>0时，为增函数。
2016-2017学年河北省定州市高一上学期期末考试数学试题(解析版)8
高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．已知集合{}{}{|33},2,0,1,1,0,1,2I x Z x A B =∈-<<=-=-，则()I CA B ⋂等于（ ）A. {}1B. {}2C. {}1,2-D. {}1,0,1,2- 【答案】C【解析】{}2,1,0,1,2I =--,{}1,2I C A =-,(){}1,2I C A B ⋂=-.点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2．计算sin tan 63ππ+的值为（ ）A.B. C. 12 D. 12+【答案】D【解析】根据特殊角的三角函数值可知，原式12=+ 3．{|02}A x x =≤≤，下列图象中能表示定义域和值域都是A 的函数的是（ ）A. B. C.D.【答案】A【解析】四个选项定义域都为[]0,2， B 选项值域为[]1,2，不符合题意， ,C D 选项值域为{}1,2，不符合题意，故选A .4．= （ ）A. 2lg5B. 0C. 1-D. 2lg5- 【答案】B 【解析】由于lg 5010->-<，所以原式()lg5011lg2lg2502220=---=⨯-=-=.5．已知函数()2(24,x b f x x b -=≤≤为常数）的图象经过点()3,1，则()f x 的值域为 （ ）A. []4,16B. []2,10C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】将()3,1代入函数，得321,30,3b b b -=-==，所以()32x f x -=，在区间[]2,4上为增函数，故值域为()()][12,4,22f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.6．已知向量()()()1,0,0,1,,a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 （ ）A. 1k =-且c 与d 反向B. 1k =-且c与d 同向 C. 1k =且c 与d 反向 D. 1k =且c与d 同向【答案】A【解析】()(),1,1,1c k d ==-，由于//c b ，所以()110,1k k ⋅--==-，此时()()1,1,1,1,c d c d =-=-=- ，所以,c d 反向，故选A .7．函数sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过平移后所得图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，这个平移变换可以是（ ）A. 向左平移8π个单位B. 向左平移4π个单位C. 向右平移8π个单位D. 向右平移4π个单位【答案】C 【解析】令ππ20,1224x x +==-，为原函数零点的横坐标， πππ12248⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故只需向右平移π8个单位. 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ） A. ()()()123f f f -<< B. ()()()234f f f <<-C. ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D. ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .9．已知5sin ,sin ,cos ,cos ,366313a x x b x x a b ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，且,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则sin2x 的值为（ ）A.B.C.D. 【答案】B 【解析】πππππ5s in c363a b x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以π12cos 2613x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππππs i 66x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 10．函数()()sin (0,0,)2f x A wx A w πϕϕ=+>><的部分图象如图所示，若将()f x 图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A. sin 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图像得1A =，311ππ3π,π,241264T T ω=-===，所以()()s i n 2fx x ϕ=+，横坐标缩短为原来一半，得到πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.11．在ABC ∆中，若对任意t R ∈都有2BA tBC BA BC -≥-，则ABC ∆的形状是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不确定 【答案】A【解析】原不等式两边平方并化简得2222cos 4cos 40a t ac B t ac B a -⋅+-≥恒成立，故其判别式为非正数，即()222224cos 44cos 40a c B a ac B a ∆=--≤，化简得()2cos 20c B a -≤，即c o s 2c B a -=，由正弦定理得()s i nc o s 2s i n 2s i n 2s i n c o s 2c oC B AB C B CB C ==+=+，即2s iBC B C =-，由于sin 0,sin 0BC >>，所以cos ,cos C B 必有一个是负数，故三角形为钝角三角形.点睛：本题主要考查向量运算——平方、数量积等，考查一元二次不等式恒成立问题的求解方法，考查正弦定理和三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式.由于题目涉及到向量的模的不等式，故考虑两边平方进行化简，化简后根据一元二次不等式恒大于零，得到判别式小于或等于零，由此求得边角关系，并用正弦定理和三角形内角和定理进行化简，并判断出三角形的形状.12．设函数()f x 在(),-∞+∞上有意义，对于给定的正数k ，定义函数()()()(),{,k f x f x kf x k f x k<=≥，取()3,2xk k f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()2k k f x =的零点有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 不确定，随k 的变化而变化【答案】C【解析】根据32l o g 333322x⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得333222log 3,log 3log 3x x <-<<，故()3322333223,log 3log 32{3,log 3,log 3xx f x x x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭=≤-≥，要使()332f x =，只能在3322log 3log 3x -<<段取得，即33,1,122xx x ⎛⎫===± ⎪⎝⎭，故零点有两个.点睛：本题主要考查新定义函数的理解，考查指数不等式的解法，考查函数方程与零点问题.首先处理新定义函数的定义域问题，也即是解()f x k <这个指数不等式，指数不等式或者对数不等式的解法常用的是化为同底的方法，结合函数的单调性即可求得x 的范围.确定有解的区间和函数表达式后，解方程可求得x 的值有两个，即有两个零点.二、填空题13．若幂函数()22133m m y m m x --=-+的图象不经过原点，则m 的值是__________． 【答案】1【解析】由于函数为幂函数，故2331m m -+=，解得1,2m m ==，当2m =时，y x =经过原点，故舍去，故1m =，此时1y x=，不经过原点，符合题意. 14．若函数()24x f x x =+-的零点()1,x a b ∈，且1,,b a a b N-=∈，则a b +=__________． 【答案】3【解析】()()110,220f f =-=，故零点在区间()1,2上，故1,2,a b a b ==+=. 15．已知,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()2220172222αβπα+=+-52πβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则αβ+= __________．【答案】512π【解析】cos 11cos 222αβ+-+=+cos 02αβ-=，αβ=①. ()5πsin 2017πsin 2ααββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即s i n 2s i n αβ②，①②两式平方相加得22213cos sin 2,cos ,cos 2αααα+===，由于两个角都为锐角，故ππ,cos 46αββ===，所以5π12αβ+=. 16．已知12,e e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=- ，若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅= ，则b =__________．【答案】2【解析】由于两个向量是单位向量，设12,e e所成的角为θ，则1212πcos ,23e e θθ⋅==-= .由于12b e b e ⋅=⋅ ，故b 在12,e e 的角平分线上，故b与它们夹角都为π3，所以1πcos 1,23b e b b ⋅=⋅== .点睛：本题主要考查单位向量的概念，考查两个向量数量积的运算，考查两个向量的夹角.首先根据1212e e ⋅=- ，利用数量积的运算，可求得这两个向量的夹角，根据1210b e b e ⋅=⋅=>可知b 在12,e e 的角平分线上，故b 与它们夹角都为π3，再根据向量的数量积运算，可求得b .三、解答题17．设函数()()ln 2f x x m =-的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B .（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若A B φ⋂=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(],2-∞（2）[)6,+∞【解析】试题分析： ()f x 的定义域为2m x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， ()g x 的定义域满足30{10x x -≥->，解得13x <≤.（1）由于B 是A 的子集，所以1,22mm ≤≤；（2）由于,A B 交集为空集，所以3,62mm ≥≥. 试题解析：可知集合2m A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{|13}B x x =<≤（1）若B A ⊆，则12m≤，即2m ≤； 故实数m 的取值范围是(],2-∞； （2）若A B φ⋂=，则32m≥，故实数m 的取值范围是[)6,+∞ 18．已知sin cos αα+=，且0απ<<. （1）求tan α的值；（2）求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值.【答案】（1）tan 3α=-（2）32-【解析】试题分析：（1）联立22{sin cos 1sin cos αααα+=+=，解出sin ,cos αα，进而求得tan α；（2）原式222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-，分子分母同时除以2cos α，转化为含tan α的式子，代入（1）的结论即可求得它的值. 试题解析：（1）由22{5sin cos 1sin cos αααα+=+=，因为0απ<<，解得sin αα==所以tan 3α=-；（2）22sin22tan 3sin sin cos cos21tan tan 22αααααααα==-+--+-.19．设函数()f x a b =⋅，其中向量()()2cos ,1,cos a x b x x == .（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）T π=，递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()max 36f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()min 14f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）利用向量数量积的坐标运算，和辅助角公式，化简()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由此求得最小正周期，将π26x +代入正弦函数的递增区间，解出x 的范围即是()f x 的单调递增区间；（2）由（1）知函数在给定区间上递增，故在端点取得最大值和最小值.试题解析：由题意得，得()f x a b =⋅ 2cos cos 2sin 216x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，（1）()f x 的最小正周期为T π=， 由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）求（1）可知，函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()m a x 36fx f π⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()min 14f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭20．在ABC ∆中， 3144AM AB AC =+.（1）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比；（2）若N 为AB 中点， AM 与CN交于点P ，且(),A P xA B yA C x y R =+∈ ，求x y +的值. 【答案】（1）14（2）47【解析】试题分析：（1）根据3144AM AB AC =+可得3BM MC = ，故M 是靠近B 的四等分点，所以面积比为1:4；（2）由于,AM AP共线，对比系数可知3x y =.利用,AB AC 表示出,CP NP，再根据这两个向量共线，可求得21x y +=，结合3x y =可求出,x y 的值，进而求得x y +的值.试题解析：（1）在ABC ∆中， 3144AM AB AC =+，可得3BM MC = ，即点M 在线段BC 靠近B 点的四等分点.故ABM ∆与ABC ∆的面积之比为14；（2）因为31,//44AM AB AC AM AP =+，(),AP xAB yAC x y R =+∈，所以3x y =， 因为N为AB 中点，所以1122NP AP AN xAB y AC AB x AB y AC ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭，()1CP AP AC xAB yAC AC xAB y AC =-=+-=+-因为//NP CP ，所以()112x y xy ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即21x y +=，又3x y =，所以31,77x y ==，所以47x y +=.21．某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量P （件）与单价x （元）之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元.（1）根据周销售量图写出P （件）与单价x （元）之间的函数关系式； （2）写出利润y （元）与单价x （元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润.【答案】（1）112,50k b =-=， 250,1220,{30,2028,x x P x x -+≤≤=-+<≤（2）当该商品的销售价格为17.5元时，周利润最大为87.5元.【解析】试题分析：（1）在][12,20,20,28⎡⎤⎣⎦这两个区间上，函数图像都是线段，故利用斜截式，列方程组，可求得其函数表达式；（2）利润是销售量乘以每件的利润，再减去固定成本25，结合（1）求得的表达式，可求得y 关于x 的关系式，并利用二次函数配方法可求得最大值. 试题解析：（1）①设当[]12,20x ∈时， 11P k x b =+，代入点()()12,26,20,10， 得112,50k b =-=，②设当(]20,28x ∈时， 22P k x b =+，代入点()()20,10,28,2， 得221,30k b =-=，故周销量P （件）与单价x （元）之间的函数关系式为250,1220,{30,2028,x x P x x -+≤≤=-+<≤（2）()()()()()2501025,1220,1025{301025,2028,x x x y P x x x x -+--≤≤=--=-+--<≤，①当[]12,20x ∈时， 235175222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以352x =时， max 1752y =；②当(]20,28x ∈时， ()22075y x =--+，可知()22075y x =--+在(]20,28x ∈单调递减，所以75y <，由①②可知，当352x =时， max 1752y =， 故当该商品的销售价格为17.5元时，周利润最大为87.5元.点睛：本题主要考查函数实际应用问题.本题分成两个步骤，第一个步骤是先根据题目所给函数的图像，求出销售量的表达式，这个过程中由于函数图像分成两个线段，故采用设出线段所在直线的斜截式方程，代入点的坐标即可求得函数的解析式.第二问要算利润，即是销售利润减去固定成本，写出利润表达式后利用配方法求最值.22．已知()()2log 2log 3(0m m f x x x m =+->，且1)m ≠ （1）当2m =时，解不等式()0f x <；（2）()0f x <在[]2,4恒成立，求实数m 的取值范围.第 11 页 共 11 页 【答案】（1）1{|2}8x x <<（2）()4,⎛⋃+∞ ⎝. 【解析】试题分析：（1）2m =时，原不等式变为()222log 2log 30x x +-<，解这个一元二次不等式可求得23log 1x -<<，进而求得解集为1{|2}8x x <<；（2）原不等式恒成立，等价于3log 1m x -<<在[]2,4上恒成立.对m 分成， 01,1m m <两类，利用单调性讨论得出m 的取值范围.试题解析：（1）当2m =时，解不等式()0f x <，得()2log 2log 30m m x x +-<， 即23log 1x -<<， 故不等式的解集为1{|2}8x x <<； （2）由()0f x <在[]2,4恒成立，得3log 1m x -<<在[]2,4恒成立，①当1m >时，有3log 2{log 21m m -<<，得4m >， ②当01m <<时，有3log 4{log 21m m -<<，得0m <<， 故实数m的取值范围()4,⎛⋃+∞ ⎝. 点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想方法.第一问由于m 是已知的，利用一元二次不等式的解法，求得23log 1x -<<，解这个对数不等式可求得不等式的解集.第二问同样利用一元二次不等式的解法，求得3log 1m x -<<，由于m 的范围不确定，故要对m 分成两类，结合单调性来讨论.。
定州中学高一数学上学期期末考试试题
河北定州中学2016—2017学年度第一学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题1．已知集合{}{}24|0log 1,|40A x x B x x =<<=-≤，则A B =（ ）A ．()0,1B ．(]0,2C ．()1,2D ．(]1,22．已知函数()22f x x x =-，()2g x ax =+（0a >），对任意的[]11,2x ∈-，存在[]01,2x ∈-，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)3,+∞D ．(]0,3 3．已知集合A={}21|<<-x x ，}02|{<≤-=x x B ，则B A ⋂=（ ）A ．}01|{<<-x xB ．{}22|<≤-x xC ．}22|{<<-x xD ．或,2|{-<x x 2≥x }4．下列运算中，正确的是（ ）A ．523x x x =⋅B ．32x x x =+C ．x x x =÷232D ．2)2(33x x = 5．已知函数2()x f x a -=（0a >且1a ≠），当2x >时，()1f x >，则()f x 在R 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．当2x >时是增函数，当2x <时是减函数D ．当2x >时是减函数，当2x <时是增函数6．下列命题中错误的个数为：（ ）①11221x y =+-的图象关于(0,0)对称； ②31y x x =++的图象关于(0,1)对称；③211y x =-的图象关 于直线0x =对称；④sin cos y x x =+的图象关于直线4x π=对称． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．计算：()=⨯--2332927（ ）A.3-B.31- C.3 D.31 8．若函数()21ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．[)1,2 D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．已知函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若((1))4f f a =，则实数a =（ ） A ．12 B ．43C ．2D ．4 10．用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程20x ax b ++=没有实根B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根11． 关于函数2||21()sin ()32x f x x =-+，看下面四个结论：①()f x 是奇函数；②当2007x >时，1()2f x >恒成立；③()f x 的最大值是32； ④()f x 的最小值是12-． 其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．函数()3sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 13．已知函数()1,1,21,1,1xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<⎪-⎩则()()2f f =______．14．欧巴老师布置给时镇同学这样一份数学作业：在同一个直角坐标系中画出四个对数函数的图象，使它们的底数分别为1013、和53.时镇同学为了和暮烟同学出去玩，问大英同学借了作业本很快就抄好了,详见如图.第二天，欧巴老师当堂质问时镇同学：“你画的四条曲线中，哪条是底数为e 的对数函数图象？” 时镇同学无言以对，憋得满脸通红，眼看时镇同学就要被欧巴老师训斥一番，聪明睿智的你能不能帮他一把，回答这个问题呢？曲线 才是底数为e 的对数函数的图象.15．y =___________．16．已知函数)(x f 是周期为2的奇函数，当01≤≤-x 时，x x x f +=2)(，则=)22017(f . 三、解答题 17．设集合{}{}22|320,|10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}2|20C x x mx =-+=，且,A B A A C C ⋃=⋂=，求实数,a m 的取值范围．18．已知函数()()log 1g )o (l 3a a f x x x ＝－＋＋（0a >，且1a ≠）． （1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）若函数()f x 有最小值为2-，求a 的值．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
2016-2017学年河北省保定市定州中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年河北省保定市定州中学高一（上）期末数学试卷一、选择题1．（3.00分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x2﹣4≤0}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]2．（3.00分）函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]3．（3.00分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|﹣2≤x＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|﹣2≤x＜2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|x＜﹣2，或x ≥2}4．（3.00分）下列运算中，正确的是（）A．x3•x2=x5B．x+x2=x3C．2x3÷x2=x D．（）3=5．（3.00分）已知函数f（x）=a2﹣x（a＞0且a≠1），当x＞2时，f（x）＞1，则f（x）在R上（）A．是增函数B．是减函数C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数D．当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数6．（3.00分）下列命题中错误的个数为：（）①y=的图象关于（0，0）对称；②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；③y=的图象关于直线x=0对称；④y=sinx+cosx的图象关于直线x=对称．A．0 B．1 C．2 D．37．（3.00分）计算：=（）A．﹣3 B．C．3 D．8．（3.00分）若函数f（x）=x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．9．（3.00分）已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．410．（3.00分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根11．（3.00分）关于函数，看下面四个结论（）①f（x）是奇函数；②当x＞2007时，恒成立；③f（x）的最大值是；④f（x）的最小值是．其中正确结论的个数为：A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（3.00分）函数f（x）=3sinx•ln（1+x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题13．（3.00分）已知函数则f（f（2））=．14．（3.00分）欧巴老师布置给时镇同学这样一份数学作业：在同一个直角坐标系中画出四个对数函数的图象，使它们的底数分别为和．时镇同学为了和暮烟同学出去玩，问大英同学借了作业本很快就抄好了，详见如图．第二天，欧巴老师当堂质问时镇同学：“你画的四条曲线中，哪条是底数为e的对数函数图象？”时镇同学无言以对，憋得满脸通红，眼看时镇同学就要被欧巴老师训斥一番，聪明睿智的你能不能帮他一把，回答这个问题呢？曲线才是底数为e的对数函数的图象．15．（3.00分）函数的定义域为．16．（3.00分）已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=x2+x，则=．三、解答题17．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．18．已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（a＞0，且a≠1）（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）若函数f（x）有最小值为﹣2，求a的值．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20．已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）x m+1为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．2016-2017学年河北省保定市定州中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3.00分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x2﹣4≤0}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]【解答】解：由A中不等式变形得：log41=0＜log4x＜1=log44，即1＜x＜4，∴A=（1，4），由B中不等式变形得：（x+2）（x﹣2）≤0，解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则A∩B=（1，2]，故选：D．2．（3.00分）函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]【解答】解：设f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，由题意可知：A=[﹣1，3]，B=[﹣a+2，2a+2]∴∴a≤又∵a＞0，∴0＜a≤故选：A．3．（3.00分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|﹣2≤x＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|﹣2≤x＜2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|x＜﹣2，或x ≥2}【解答】解：因为集合集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|﹣2≤x＜0}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜0}，故选：A．4．（3.00分）下列运算中，正确的是（）A．x3•x2=x5B．x+x2=x3C．2x3÷x2=x D．（）3=【解答】解：对于A，根据同底数的运算法则可得，x3•x2=x5，故正确，对于B：不是同类项，不能合并，故错误，C：2x3÷x2=2x3﹣2=2x，故错误，D，（）3=，故错误，故选：A．5．（3.00分）已知函数f（x）=a2﹣x（a＞0且a≠1），当x＞2时，f（x）＞1，则f（x）在R上（）A．是增函数B．是减函数C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数D．当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数【解答】解：根据已知条件及指数函数的单调性可知，若当x＞2时，f（x）＞1，则0＜a＜1；∴x增加时，2﹣x减小，而a2﹣x增大；∴函数f（x）为增函数．故选：A．6．（3.00分）下列命题中错误的个数为：（）①y=的图象关于（0，0）对称；②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；③y=的图象关于直线x=0对称；④y=sinx+cosx的图象关于直线x=对称．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①y=，f（﹣x）=+=+=﹣=﹣﹣=﹣（+）=﹣f（x），∴函数为奇函数，则图象关于（0，0）对称，故正确②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a﹣x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3+3（a+x）+1+（a﹣x）3+3（a﹣x）+1对任意x均成立，∴a=0，b=1即对称中心（0，1），故正确③y=的图象关于直线x=0对称，因为函数为偶函数，故函数关于y轴（x=0）对称，故正确，④y=sinx+cosx=sin（x+）的图象关于直线x+=对称，即x=对称，故正确．故选：A．7．（3.00分）计算：=（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：=[（﹣3）3]×=（﹣3）2×3﹣3=9×=．故选：D．8．（3.00分）若函数f（x）=x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣=，f′（x）＞0得，x＞；f′（x）＜0得，0＜x＜；∵函数f（x）定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴0≤k﹣1＜＜k+1，∴1≤k＜．故选：B．9．（3.00分）已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．4【解答】解：由分段函数可知f（1）=1+1=2，∴f（f（1））=f（2）=4+2a，即4a=4+2a，∴2a=4，解得a=2．故选：C．10．（3.00分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．11．（3.00分）关于函数，看下面四个结论（）①f（x）是奇函数；②当x＞2007时，恒成立；③f（x）的最大值是；④f（x）的最小值是．其中正确结论的个数为：A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：y=f（x）的定义域为x∈R，且f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①错．对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2007，sin21000π=0，且（）1000π＞0∴f（1000π）=﹣（）1000π＜，因此结论②错．对于结论③，f（x）=﹣（）|x|+=1﹣cos2x﹣（）|x|，﹣1≤cos2x ≤1，∴﹣≤1﹣cos2x≤，（）|x|＞0故1﹣cos2x﹣（）|x|＜，即结论③错．对于结论④，cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，所以f（x）=1﹣cos2x﹣（）|x|在x=0时可取得最小值﹣，即结论④是正确的．故选：A．12．（3.00分）函数f（x）=3sinx•ln（1+x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）=3sinx•ln（x+1）知x＞﹣1，当x=时，f（）=3sin ln（+1）=3ln（+1）＜3lne=3，∵f′（x）=3cosxln（x+1）+3sinx•，令f′（x）=0，即3cosxln（x+1）+3sinx•=0，当0＜x＜π时，ln（x+1）＞0，sinx＞0，＞0，∴cosx＜0，∴＜x＜π，∴函数的极值点在（，π），故选：B．二、填空题13．（3.00分）已知函数则f（f（2））=．【解答】解：∵函数，∴f（2）==，∴f（f（2））=f（）==．故答案为：14．（3.00分）欧巴老师布置给时镇同学这样一份数学作业：在同一个直角坐标系中画出四个对数函数的图象，使它们的底数分别为和．时镇同学为了和暮烟同学出去玩，问大英同学借了作业本很快就抄好了，详见如图．第二天，欧巴老师当堂质问时镇同学：“你画的四条曲线中，哪条是底数为e的对数函数图象？”时镇同学无言以对，憋得满脸通红，眼看时镇同学就要被欧巴老师训斥一番，聪明睿智的你能不能帮他一把，回答这个问题呢？曲线C1才是底数为e的对数函数的图象．【解答】解：∵图中的C1，C2图象的底数大于1，∴f（x）=lnx，g（x）=的图象分别为图中的C 1，C2．故答案为：C1．15．（3.00分）函数的定义域为（，1] ．【解答】解：函数的定义域为，解得，故答案为：（，1]．16．（3.00分）已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=x2+x，则=．【解答】解：∵函数f（x）是周期为2的奇函数，∴=f（+504×2）=f（）=﹣f（﹣），又∵当﹣1≤x≤0时，f（x）=x2+x，∴f（﹣）=，∴=，故答案为：．三、解答题17．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．【解答】解：由已知得A={1，2}，B={x|（x﹣1）（x﹣a+1）=0}，由A∪B=A，知B⊆A由题意知B≠∅，当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意．当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意所以a=2或a=3，由A∩C=C得C⊆A当C是空集时，△=m2﹣8＜0即﹣2＜m＜2；当C为单元素集合时，△=0，求得m=±2，此时C={}或C={﹣}，此时不满足题意，舍去；当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3；综上m的取值集合为{m|m=3或﹣2＜m＜2}．18．已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（a＞0，且a≠1）（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）若函数f（x）有最小值为﹣2，求a的值．【解答】解：（1）由，得﹣3＜x＜1，∴函数的定义域{x|﹣3＜x＜1}，f（x）=log a（1﹣x）（x+3），设t=（1﹣x）（x+3）=4﹣（x+1）2，∴t≤4，又t＞0，则0＜t≤4．当a＞1时，y≤log a4，值域为{y|y≤log a4}．当0＜a＜1时，y≥log a4，值域为{y|y≥log a4}．（2）由题设及（1）知：当0＜a＜1时，函数有最小值，∴log a4=﹣2，解得．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．20．已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）x m+1为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知﹣2m2+m+2=1，即2m2﹣m﹣1=0，得m=1或m=﹣，当m=1时，f（x）=x2，符合题意；当m=﹣时，f（x）=，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．∴f（x）=x2．（2）由（1）得y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1=x2﹣2（a﹣1）x+1，即函数的对称轴为x=a﹣1，由题意知函数在（2，3）上为单调函数，∴对称轴a﹣1≤2或a﹣1≥3，即a≤3或a≥4．。
河北省保定市定州中学2018学年高一上学期期末数学试卷
2018-2018学年河北省保定市定州中学高一（上）期末数学试卷（承智班）一、选择题1．设集合，集合B={y|y=2x，x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，1]D．[﹣1，+∞）2．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．43．已知集合A={x|ln（x﹣1）≤0}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B等于（）A．[﹣1，3]B．[﹣1，2]C．（1，2]D．[1，2）4．已知函数f（x）=2ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，3）上是减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．5．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．6．下列命题中错误的个数为：（）①y=的图象关于（0，0）对称；②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；③y=的图象关于直线x=0对称；④y=sinx+cosx的图象关于直线x=对称．A．0 B．1 C．2 D．37．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f （x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，2）B．（，2）C．[，2）D．（，2]8．已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或39．已知a=40.3，b=8，c=30.75，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a10．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1} 11．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n的取值范围是（）A．[1，）B．[1，]C．[，2）D．[，2]12．若函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．1 B．C．D．5二、填空题13．设f （x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在[0，+∞）是增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＞0的解集为．14．f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2018x+log2018x，则函数f（x）的零点的个数是．15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是．16．定义：f1（x）=f（x），当n≥2且x∈N*时，f n（x）=f（f n（x）），对于函数﹣1f（x）定义域内的x0，若正在正整数n是使得f n（x0）=x0成立的最小正整数，则称n是点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n～周期点，已知定义在[0，1]上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是（写出所有正确命题的编号）①1是f（x）的一个3～周期点；②3是点的最小正周期；③对于任意正整数n，都有f n（）=；④若x0∈（，1]，则x0是f（x）的一个2～周期点．三、解答题17．已知全集U=R，A={x|≤2x≤8}，B={x|x＞0}，C={x|m＜x＜m+2}（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A∩C=∅，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（﹣+x）=f（﹣﹣x），令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）函数g（x）在区间（0，1）上有两个零点，求λ的取值范围．19．2018年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？20．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0；③f（3）=1，（1）求f（1），的值；（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4﹣x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k的取值范围．2018-2018学年河北省保定市定州中学高一（上）期末数学试卷（承智班）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合，集合B={y|y=2x，x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，1]D．[﹣1，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：，B={y|y=2x，x＜0}=（0，1），∴A∪B=（﹣1，1]．故选：A．2．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【考点】函数的图象与图象变化．【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（5﹣2x1）…系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x2﹣1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将5﹣2x1化为2（t﹣1）的形式，则2x1=7﹣2t，t=x2【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C3．已知集合A={x|ln（x﹣1）≤0}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B等于（）A．[﹣1，3]B．[﹣1，2]C．（1，2]D．[1，2）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|ln（x﹣1）≤0}={x|0＜x﹣1≤1}={x|1＜x≤2}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．4．已知函数f（x）=2ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，3）上是减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的性质．【分析】首先对a分类讨论，a=0与a≠0两种情况；当a≠0，需要结合一元二次函数开口与对称轴分析；【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣12x+5为一次函数，k＜0说明f（x）在（﹣∞，3）上是减函数，满足题意；当a＞0时，f（x）为一元二次函数，开口朝上，要使得f（x）在（﹣∞，3）上是减函数，需满足：⇒0＜a≤当a＜0时，f（x）为一元二次函数，开口朝下，要使得f（x）在（﹣∞，3）上是减函数是不可能存在的，故舍去．综上，a的取值范围为：[0，]故选：A5．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．6．下列命题中错误的个数为：（）①y=的图象关于（0，0）对称；②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；③y=的图象关于直线x=0对称；④y=sinx+cosx的图象关于直线x=对称．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性判断，①③，根据对称的定义判断②，根据三角函数的图象判断④【解答】解：①y=，f（﹣x）=+=+=﹣=﹣﹣=﹣（+）=﹣f（x），∴函数为奇函数，则图象关于（0，0）对称，故正确②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a﹣x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3+3（a+x）+1+（a﹣x）3+3（a﹣x）+1对任意x均成立，∴a=0，b=1即对称中心（0，1），故正确③y=的图象关于直线x=0对称，因为函数为偶函数，故函数关于y轴（x=0）对称，故正确，④y=sinx+cosx=sin（x+）的图象关于直线x+=对称，即x=对称，故正确．故选：A7．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f （x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，2）B．（，2）C．[，2）D．（，2]【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x ﹣2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2x﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），∴当x∈[2，4]时，（x﹣4）∈[﹣2，0]，∴f（x）=f（x﹣4）=x x﹣4﹣1；当x∈[4，6]时，（x﹣4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x﹣4）=2x﹣4﹣1．∵若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，∴函数y=f（x）与函数y=log a（x+2）在区间（﹣2，6]上恰有三个交点，通过画图可知：恰有三个交点的条件是，解得：＜a＜2，即＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（，2）．故选：B8．已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．【解答】解：∵B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={2，3}，集合A={1，a}，若A∩B≠∅，则a=2或a=3，故选：D．9．已知a=40.3，b=8，c=30.75，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据幂的运算法则与指数函数的图象与性质，对a、b、c的大小进行比较即可．【解答】解：a=40.3=20.6，b=8==20.75，且20.6＜20.75，∴a＜b；又c=30.75，且20.75＜30.75，∴b＜c；∴a、b、c的大小关系为：a＜b＜c．故选：C．10．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D11．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n的取值范围是（）A．[1，）B．[1，]C．[，2）D．[，2]【考点】数列的求和．【分析】通过函数f（x）满足f（x）=3f（x+2）可知函数向右平移2个单位时最大值变为原来的，进而可知数列{a n}是首项为1、公比为的等比数列，计算即得结论．【解答】解：：∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），∴f（x+2）=f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，又∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，∴a1=f（1）=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为的等比数列，∴S n=∈．故选：A．12．若函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．1 B．C．D．5【考点】分段函数的应用．【分析】直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（2））=f（22﹣3×2+1）=f（﹣1）==．故选：C．二、填空题13．设f （x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在[0，+∞）是增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由已知中函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合f（x）上在（0，+∞）为单调增函数，易判断f（x）在（﹣∞，0]上的单调性，根据单调性的定义即可求得．【解答】解：由题意，x+1＞2或x+1＜﹣2，解得x＞1或x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．14．f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2018x+log2018x，则函数f（x）的零点的个数是3．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可知f（0）=0；再由函数零点的判定定理可判断在（0，+∞）上有且只有一个零点，再结合奇偶性可判断f（x）在（﹣∞，0）上有且只有一个零点，从而解得．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；∵f（x）=2018x+log2018x在（0，+∞）上连续单调递增，且f（）＜0，f（1）=2018＞0；故f（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上有且只有一个零点，∴函数f（x）的零点的个数是3；故答案为：3．15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是（0，1）∪．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数是偶函数，把不等式转化成f（1）＜f（|lg|），就可以利用函数在区间[0，+∞）上单调递增转化成一般的不等式进行求解．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）＜f（lg）=f（|lg|）∵函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴|lg|＞1，即lg＞1或lg＜﹣1解得：x＞100或0＜x＜1所以满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是（0，1）∪．故答案为：（0，1）∪．16．定义：f1（x）=f（x），当n≥2且x∈N*时，f n（x）=f（f n（x）），对于函数﹣1f（x）定义域内的x0，若正在正整数n是使得f n（x0）=x0成立的最小正整数，则称n是点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n～周期点，已知定义在[0，1]上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是①②③（写出所有正确命题的编号）①1是f（x）的一个3～周期点；②3是点的最小正周期；③对于任意正整数n，都有f n（）=；④若x0∈（，1]，则x0是f（x）的一个2～周期点．【考点】命题的真假判断与应用；函数的图象．【分析】根据已知中点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n～周期点的定义，逐一分析四个结论的真假可得答案．【解答】解：f 1（1）=f （1）=0，f 2（1）=f （f 1（1））=f （0）=，f 3（1）=f （f 2（1））=f （）=1，故①1是f （x ）的一个3～周期点，正确；f 1（）=f （）=1，f 2（）=f （f 1（））=f （1）=0，f 3（）=f （f 2（））=f （0）=，故②3是点的最小正周期，正确；由已知中的图象可得：f （）=，故f 1（）=f （）=，f 2（）=f （f 1（））=f （）=，f 3（）=f （f 2（））=f （）=，…故③对于任意正整数n ，都有f n （）=，正确；④若x 0=1，则x 0∈（，1]，但x 0是f （x ）的一个3～周期点，故错误． 故答案为：①②③三、解答题17．已知全集U=R ，A={x |≤2x ≤8}，B={x |x ＞0}，C={x |m ＜x ＜m +2} （Ⅰ）求A ∩（∁U B ）；（Ⅱ）若A ∩C=∅，求实数m 的取值范围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）先求出集合A 和C U B ，由此能求出A ∩（∁U B ）．（Ⅱ）由A ∩C=∅，得m +2≤﹣1或m ≥3，由此能示出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵A={x |≤2x ≤8}={x |﹣1≤x ≤3}…， B={x |x ＞0}， ∴C U B={x |x ≤0}…A ∩（∁UB ）={x |﹣1≤x ≤0}．…（Ⅱ）∵A={x |﹣1≤x ≤3}，C={x |m ＜x ＜m +2}，A ∩C=∅，∴m+2≤﹣1或m≥3．∴m的取值范围为{m|m≤﹣3或m≥3}．…18．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（﹣+x）=f（﹣﹣x），令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）函数g（x）在区间（0，1）上有两个零点，求λ的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由f（0）=0可得c=0，由函数对于任意x∈R都有f（﹣+x）=f（﹣﹣x）可得函数f（x）的对称轴为x=﹣，从而可得a=b，由f（x）≥x，可得△=（b﹣1）2≤0，进而得到答案．（2）由（1）可得g（x）的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理进行判断函数g（x）的零点情况．【解答】（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．∵对于任意x∈R都有f（﹣+x）=f（﹣﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x=﹣，即﹣=﹣，得a=b．又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R都成立，∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b=1，a=1．∴f（x）=x2+x．（2）解：g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=①当x≥时，函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为x=，若≤，即0＜λ≤2，函数g（x）在（，+∞）上单调递增；则函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=2﹣|λ﹣1|＞0，故函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点．②若＞，即λ＞2，函数g（x）在（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减．此时＜＜1，而g（0）=﹣1＜0，g（）=+＞0，g（1）=2﹣|λ﹣1|，（ⅰ）若2＜λ≤3，由于＜≤1，且g（）=（）2+（1﹣λ）•+1=﹣+1≥0，此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；（ⅱ）若λ＞3，由于＞1且g（1）=2﹣|λ﹣1|＜0，此时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．综上所述，当λ＞3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．19．2018年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=+（0＜α＜），令u=，求出u取最小值时α的大小，可得结论．【解答】解：作BE⊥DC于E，在Rt△BEC中，BC=，CE=hcotα，又AB ﹣CD=2CE=2hcotα，AB +CD=，故CD=﹣hcotα． 设y=AD +DC +BC ，则y=﹣hcotα+=+（0＜α＜），由于S 与h 是常量，欲使y 最小，只需u=取最小值，u 可看作（0，2）与（﹣sinα，cosα）两点连线的斜率， 由于α∈（0，），点（﹣sinα，cosα）在曲线x 2+y 2=1 （﹣1＜x ＜0，0＜y ＜1）上运动，当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为（﹣，），则有sinα=，且cosα=，那么α=，故当α=时，水渠中水的流失量最小．20．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0；③f（3）=1，（1）求f（1），的值；（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4﹣x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）利用赋值法即可求f（1），的值；（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）令x=y=1，得f（1）=0，令x=3，，则，所以…（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，证明如下任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，又x＞1时，f（x）＞0，所以，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．…（3）f（9）=f（3）+f（3）=2，…由（2）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增不等式f（kx）+f（4﹣x）＜2可化为f（kx（4﹣x））＜f（9），因为k＞0不等式故可化为，由题可得，0＜x＜4时，kx（4﹣x）＜9恒成立，…即0＜x＜4时，恒成立，0＜x＜4，y=x（4﹣x）∈（0，4]，所以所以…2018年2月19日。
2017-2018年河北省保定市定州中学高一(上)期末数学试卷含参考答案
2017-2018学年河北省保定市定州中学高一（上）期末数学试卷一、单选题1．（3分）若m，n表示两条不同直线，α表示平面，则下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥n，n∥α，则m⊥α2．（3分）对于定义在R上的函数f（x），有关下列命题：①若f（x）满足f（2018）＞f（2017），则f（x）在R上不是减函数；②若f（x）满足f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数；③若f（x）满足在区间（﹣∞，0）上是减函数，在区间[0，+∞）也是减函数，则f（x）在R上也是减函数；④若f（x）满足f（﹣2018）≠f（2018），则函数f（x）不是偶函数．其中正确的命题序号是（）A．①②B．①④C．②③D．②④3．（3分）设P（x，y）是曲线C：x2+y2+4x+3=0上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）4．（3分）对于任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零，那么x的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C．（1，2）D．（3，+∞）5．（3分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．（3分）已知y=ax+1，在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．07．（3分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}8．（3分）函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2] 9．（3分）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限10．（3分）为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位11．（3分）点M（0，2）为圆C：（x﹣4）2+（y+1）2=25上一点，过M的圆的切线为l，且l与l′：4x﹣ay+2=0平行，则l与l′之间的距离是（）A．B．C．D．12．（3分）已知点P（x，y）是直线2x﹣y+4=0上一动点，直线PA，PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（）A．2B．C．2D．4二、填空题13．（3分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．14．（3分）点（1，2）和（﹣1，m）关于kx﹣y+3=0对称，则m+k=．15．（3分）已知三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2，点D是△ABC的重心，则以OD为体对角线的正方体体积为．16．（3分）对于函数f（x）=（a为常数），给出下列命题：①对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；②f（x）的图象关于点（1，a）对称；③当a＜﹣1时，f（x）无单调递增区间；④当a=2时，对于满足条件2＜x1＜x2的所有x1，x2总有f（x1）﹣f（x2＜（x2﹣x1）其中正确命题的序号为．三、解答题17．已知函数f（x）=2+，g（x）=2x．（1）设函数h（x）=g（x）﹣f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；（2）定义min（p，q）表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），①求函数H（x）的单调区间及最值；②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．18．函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，都有f（x+4）=f （x）成立，当x∈（0，2）时，f（x）=﹣x2+1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＞﹣1的解集．2017-2018学年河北省保定市定州中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）若m，n表示两条不同直线，α表示平面，则下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥n，n∥α，则m⊥α【解答】解：对于A，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，由线面垂直的性质可得A正确；对于B，若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故B错误；对于C，若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交或异面，故C错误；对于D，若m⊥n，n∥α，可得m∥α或m⊥α或m⊂α，故D错误．故选：A．2．（3分）对于定义在R上的函数f（x），有关下列命题：①若f（x）满足f（2018）＞f（2017），则f（x）在R上不是减函数；②若f（x）满足f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数；③若f（x）满足在区间（﹣∞，0）上是减函数，在区间[0，+∞）也是减函数，则f（x）在R上也是减函数；④若f（x）满足f（﹣2018）≠f（2018），则函数f（x）不是偶函数．其中正确的命题序号是（）A．①②B．①④C．②③D．②④【解答】解：对于①若f（x）满足f（2018）＞f（2017），则f（x）在R上不是减函数；正确；对于②，偶函数的定义可知，f（x）=f（﹣x）是对定义域内的任何一个x都成立，所以②错误．对于③设，满足在各自的定义区间上是减函数，但在R上不是减函数，所以③错误．对于④函数是偶函数，必须满足f（x）=f（﹣x）是对定义域内的任何一个x都成立，f（x）满足f（﹣2018）≠f（2018），则函数f（x）不是偶函数，所以④正确．故选：B．3．（3分）设P（x，y）是曲线C：x2+y2+4x+3=0上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：∵曲线C方程是x2+y2+4x+3=0，即（x+2）2+y2=1，故曲线C是一个圆，圆心坐标是（﹣2，0），半径是1，关于x轴上下对称，设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），直线OB与x轴的夹角为α，则=tanα=，∵AO=|﹣2|=2，AB=1，△AOB是直角三角形∴BO==，故=tanα===，∴α=，∵曲线C是一个圆，关于X轴对称，∴α=﹣时，直线与直线OB关于x轴对称，此时切点在第二象限，∴=tanα=tan（﹣）=﹣．故的取值范围是[﹣，]．故选：C．4．（3分）对于任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零，那么x的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C．（1，2）D．（3，+∞）【解答】解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需，∴，∴x＜1或x＞3．故选：B．5．（3分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①可能b∈α，命题错误②若α⊥β，只有a与α，β的交线垂直，才能够推出a⊥β，命题错误③a可能在平面α内，命题错误④命题正确．故选：B．6．（3分）已知y=ax+1，在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．0【解答】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2；③当a＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2．综上，得a=±2，故选：C．7．（3分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，∴f（﹣3）=﹣f（3）=0，解f（3）=0．∵函数在（0，+∞）内是增函数，∴当0＜x＜3时，f（x）＜0．当x＞3时，f（x）＞0，∵函数f（x）是奇函数，∴当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0．当x＜﹣3时，f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解是0＜x＜3或x＜﹣3．故选：B．8．（3分）函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2]【解答】解：y=（），令t=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，则y=（）t，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t的减区间为[，+∞），故选：C．9．（3分）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限【解答】解：∵a＞1，∴y=a x的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），f（x）=a x+b 的图象可看成把y=a x的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，故函数f（x）=a x+b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，故选：B．10．（3分）为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：∵y=cos（x+）=cos（﹣x﹣）=sin[﹣（﹣x﹣）]=sin（x+），∴要得到y=sin（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位，故选：C．11．（3分）点M（0，2）为圆C：（x﹣4）2+（y+1）2=25上一点，过M的圆的切线为l，且l与l′：4x﹣ay+2=0平行，则l与l′之间的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，k CM==﹣，∴k l=，∴直线l的方程为4x﹣3y+6=0∵l与l′：4x﹣ay+2=0平行，∴a=3，∴l与l′之间的距离是=，故选：B．12．（3分）已知点P（x，y）是直线2x﹣y+4=0上一动点，直线PA，PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（）A．2B．C．2D．4【解答】解：由x2+y2+2y=0，得x2+（y+1）2=1，则圆C的半径为r=1，圆心为C（0，﹣1），∴PA=，又P在直线2x﹣y+4=0上，∴PC的最小值为C到直线2x﹣y+4=0的距离d=，∴PA的最小值为=2，∴四边形PACB的面积的最小值为2××1×2=2．故选：A．二、填空题13．（3分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．14．（3分）点（1，2）和（﹣1，m）关于kx﹣y+3=0对称，则m+k=5．【解答】解：由题意，点（1，2）和（﹣1，m）关于kx﹣y+3=0对称，则点（，）在直线kx﹣y+3=0上，可得：，解得m=4．那么：点（1，2）和（﹣1，4）确定的直线的斜率为﹣1与kx﹣y+3=0垂直，故得：k=1则m+k=4+1=5，故答案为：5．15．（3分）已知三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2，点D是△ABC的重心，则以OD为体对角线的正方体体积为．【解答】解：如图，将三棱锥O﹣ABC补形为正方体OM，过D分别作正方体前侧面、上底面、作侧面的平行面，交正方体可得以OD为对角线的正方体，设其棱长为a，则OD2=3a2，又由等体积法可得：×OD，则OD=，∴，a=．则以OD为体对角线的正方体体积为．故答案为：．16．（3分）对于函数f（x）=（a为常数），给出下列命题：①对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；②f（x）的图象关于点（1，a）对称；③当a＜﹣1时，f（x）无单调递增区间；④当a=2时，对于满足条件2＜x1＜x2的所有x1，x2总有f（x1）﹣f（x2＜（x2﹣x1）其中正确命题的序号为①②④．【解答】解：∵f（x）==a+，其图象关于（1，a）对称，对任意a∈R，f（x）都不是奇函数，故①②正确；当a＜﹣1时，1+a＜0，函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），（1，+∞），无减区间，故③错误；当a=2时，f（x）=，在（1，+∞）上是减函数，则在（2，+∞）上也是减函数，∴对于满足条件2＜x1＜x2的所有x1，x2总有f（x1）﹣f（x2）＜（x2﹣x1），故④正确．∴正确命题的序号为①②④．故答案为：①②④．三、解答题17．已知函数f（x）=2+，g（x）=2x．（1）设函数h（x）=g（x）﹣f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；（2）定义min（p，q）表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），①求函数H（x）的单调区间及最值；②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数h（x）在区间[2，4]上单调递增，故h（2）≤h（x）≤h（4），即0≤h（x）≤13，所以函数在区间[2，4]上的值域为[0，13]．…（4分）（2）①在同一坐标系中，作出f（x），g（x）的图象如图所示，根据题意得，H（x）=，由（1）知，y=2x在区间（0，2]上单调递增，在区间上单调递减，故H（x）max=H（2）=4．∴函数H（x）的单调递增区间为（0，2]，单调递减区间为（2，+∞），H（x）有最大值4，无最小值．…••（8分）②∵在[2，+∞）上单调递减，∴，又g（x）=2x在（0，2]上单调递增，∴1＜2x≤4，∴要使方程H（x）=k有两个不同的实根，则需满足2＜k＜4，即实数k的取值范围是（2，4）．…（12分）18．函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，都有f（x+4）=f （x）成立，当x∈（0，2）时，f（x）=﹣x2+1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＞﹣1的解集．【解答】解：（1）根据题意，函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，当x∈[﹣2，0）时，﹣x∈（0，2），f（x）=﹣f（﹣x）=x2﹣1；对于f（x+4）=f（x），当x=﹣2时，有f（2）=f（﹣2），又由函数为奇函数，则f（﹣2）=﹣f（2），则f（2）=f（﹣2）=0，又由f（x+4）=f（x），则函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，所以当x∈[4k﹣2，4k]时，x﹣4k∈[﹣2，0），f（x）=f（x﹣4k）=（x﹣4k）2﹣1，当x∈（4k，4k+2]时x﹣4k∈（0，2]，∴f（x）=f（x﹣4k）=﹣（x﹣4k）2+1，故f（x）=；（2）根据题意，当x∈[﹣2，2]时，若f（x）＞﹣1，则有或或x=0、±2，解可得：﹣2≤x＜，则不等式f（x）＞﹣1的解集为[4k﹣2，4k+）．。
2017-2018学年河北省保定市定州中学高一(上)开学数学试卷(解析版)
D．{3} ）
10． （3 分）已知集合 A＝{x|x ﹣3x+2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则（∁RA）∩B＝（ A ．∅ B．{1} C．{2} D．{1，2}
11． （3 分）已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N＝{1，3，6}，则集 合{2，7}等于（ A．M∩N C． （∁UM）∪（∁UN） ） B． （∁UM）∩（∁UN） D．M∪N ） D．{1}
x 2
＞0，
∴函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增，因此可得只有函数 f（x）＝2 符合，故 C 正确； 对于 A 为常函数，故错误；对于 B 为二次函数在（0，+∞）不是单调函数，故错误； 对于 D 为对数函数是（0，+∞）的递减函数，故错误． 故选：C． 5． 【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴M∩N＝{﹣1，0，1}， 故选：B． 6． 【解答】解：集合 M＝{x|﹣4＜x＜2}， ＝{x|x≥0}，
D．{﹣1，0，1，2} ） D．[0，2） ）
6． （3 分）设集合 M＝{x|﹣4＜x＜2}， A． （0，4） B．[0，4）
7． （3 分）设函数 f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x） ，则 f（x）是（ A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数 8． （3 分）函数 f（x）＝ x ﹣lnx 的单调递减区间为（ A． （﹣1，1） B． （﹣∞，1）
12． （3 分）设集合 A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈R|x＞0}，则 A∩B＝（ A．{﹣1，0} 二、填空题 B．{﹣1} C．{0，1}
河北省保定市定州市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
定州市2018- 2019学年第一学期期末考试高一数学试题一、单选题：本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数y =定义域是（ ）A. (1,2]B. (1,2)C. (2,)+∞D.(,2)-∞【答案】B 【解析】 要使log 1x y -=1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，即函数log 1x y -=的定义域是()1,2，故选B.2.已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |y ＝ln(x －2)}，则(C R B )∩A ＝( ) A. {x |－2≤x <1} B. {x |－2≤x ≤2} C. {x |1<x ≤2} D. {x |x <2}【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得集合A,再求函数定义域得集合B,最后根据集合补集以及交集定义求结果.【详解】集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |x >2}， 则(∁R B )∩A ＝{x |1<x ≤2}，选C. 【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．3.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=u u u rA 3144 AB AC-u u u r uu u rB.1344AB AC-u u u r u u u rC.3144AB AC+u u u r u u u rD.1344AB AC+u u u r u u u r【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC=+u u u v u u u v u u u v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC=+u u u v u u u v u u u v，之后将其合并，得到3144BE BA AC=+u u u v u u u v u u u v，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC=-u u u v u u u v u u u v，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1113124444BA BA AC BA ACu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v=++=+，所以3144EB AB AC=-u u u v u u u v u u u v，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4.设函数()2010x xf xx-⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x+<的x的取值范围是（）A. (]1-∞-，B. ()0+∞，C. ()10-，D.()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.5.要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（ ） A. 向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B. 向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2π个单位，再向下平移1个单位 D. 向右平移2π个单位，再向上平移1个单位 【答案】B 【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B. 6.设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则（ ） A. a +b ＞0，ab ＞0 B. a +b ＞0，ab ＜0C. a +b ＜0，ab ＞0D. a +b ＜0，ab ＜0 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数性质以及对数运算，判断出,a b ab +的符号.【详解】由于0.20.222log 0.3log 10,log 0.3log 10a b =>==<=，所以0ab <. 由于0.30.30.30.30.30.30.30.30.3log 2log 0.2log 0.411log 0.2log 2log 2log 0.2log 2log 0.2a b ++=+==⋅⋅，其中0.30.30.3log 20,log 0.20,log 0.40<>>，所以0a b +<.故选：D【点睛】本小题主要考查对数运算以及对数性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7.已知平面向量a r 与b r 的夹角为23π，若1)a =-r，2a b -=r r b r （ ）A. 3B. 4C.D. 2【答案】A 【解析】分析：根据题设条件2a b -=r rb r 的方程，即可求解结果.详解：由题意，1)a =-r且向量a r 与b r的夹角为23π，由2a b -=r r 222222444442cos 523a b a b a b b b π-=+-⋅=+-⨯=r v vv v r v v ， 整理得2120b b v v+-=，解得3b =r ，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8.已知sin 3cos 22cos sin αααα+=-，则2sin sin cos 1ααα++等于A.115 B.25C.85D.75【答案】D 【解析】 【分析】先由条件得到1tan 3α=，然后将2sin sin cos 1ααα++添加分母后化为用tan α表示的形式，代入后可得所求值．【详解】sin 3cos 22cos sin αααα+=-∵， 1tan 3α∴=，2222sin sin cos sin sin cos 11sin cos αααααααα+++=+=+∴22tan tan 71tan 15ααα++=+． 故选D ．【点睛】关于sin ,cos αα的齐次式在求值时，往往化为关于tan α的式子后再求值，解题时注意“1”的利用．9.已知函数()()213log 3f x x ax a =-+在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，2] B. [2，＋∞) C. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 1,22⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】D 【解析】令2()3t g x x ax a ==-+，易知13()log f t t =在其定义域上单调递减，要使()f x 在[1,)+∞上单调递减，则()t g x =在[1,)+∞单调递增，且()0t g x =>，即12130aa a -⎧-≤⎪⎨⎪-+>⎩，所以212a a ≤⎧⎪⎨>-⎪⎩，即122a -<≤；故选D.10.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A.15B.5C.5D. 1【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2cos23α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得215a =，从而得到a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-=，从而确定选项. 【详解】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=， 解得215a =，即a =，所以2a b a a -=-=B. 【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.11.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D.[1，+∞） 【答案】C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 12.设函数f （x ）12453kx sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中k 是正整数，若对任意实数a ，均有{f （x ）|a ≤x ≤a +1|＝{f （x ）|x ∈R }，则k 的最小值为（ ） A. 5 B. 6C. 15D. 16【答案】D 【解析】 【分析】根据(){}(){}|1|f x a x a f x x R ≤≤+=∈，判断出函数()f x 的最小正周期1T ≤，由此列不等式，求得k 的取值范围，进而求得正整数k 的最小值.【详解】由于(){}(){}|1|f x a x a f x x R ≤≤+=∈，所以函数()f x 的最小正周期1T ≤，所以2π5π125k k=≤，5πk ≥，由于k 是正整数，所以k 的最小值为16. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题：本大题4个小题，每题5分，共20分．13.函数f (x )＝(m 2－m －1)9541mm x --是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足1212()()f x f x x x -->0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断． 上述结论正确的是________(填序号)． 【答案】① 【解析】 【分析】首先利用幂函数的定义求出m ，之后结合题中所给的条件，判断出函数的单调性，从而得到相应的结果.【详解】依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015.∴函数f (x )＝x 2 015在R 上奇函数，且为增函数． 由a ＋b >0，得a >－b ， ∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.【点睛】该题考查的是有关幂函数的定义以及解析式的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有幂函数的定义，函数单调性的判断，利用条件，将问题转化，注意需要等价转化. 14.已知函数()()2ln 11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2- 【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()()()()()2222f x f x ln1x 1ln1x 1ln 122x x x x +-=+-+++++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题. 15.设点O 为的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且323OD DE +=u u u r u u u r，则23OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r．【答案】6 【解析】试题分析：∵点D E ，分别为边AC BC ，的中点，∴2OA OC OD u u u r u u u r u u u r +=，2AB DE =u u u r u u u r，∴33322OD OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，2DE AB OB OA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1332322OD DE OA OB OC u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r +=++=，∴236OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r．考点：向量的模．【思路点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义；首先，根据向量的加法法则（三角形法则），用OAOB OC u u u r u u u r u u u r ，，表示出OD DE u u u r u u u r ，，然后再，根据用OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，表示出OD DE u u u r u u u r ，取寻找23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r 与32OD DE +u u u r u u u r的关系，据此即可求出结果．16.已知1()2sin (,)64f x x x R πωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是___________． 【答案】12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先求()f x 的对称轴，再由相邻两对称轴一个在x π=左侧，一个在x 2π=右侧，联立求解即可.【详解】()12sin (,)64f x x x R πωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭的对称轴方程为,62x k k z ππωπ+=+∈, 即,3k x k z ππωω=+∈.()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(),2ππ,则122ππω⨯>, 1ω<,故114ω<< 又由()3123k k πππωωπππωω⎧+≤⎪⎪⎨+⎪+≥⎪⎩解得134k 36k ω++≤≤则1233ω<<. 【点睛】本题考查三角函数图像和性质的应用，将题设条件转化为相邻两对称轴与区间(),2ππ的关系是解题关键.属中档题.三、解答题，本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数y =的定义域为A ，函数y ＝log 2（x ﹣a +1）的定义域为B ， （1）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； （2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) a ＜﹣6 (2) a ≥4 【解析】【分析】利用偶次方根被开方数为非负数及解一元二次不等式求得集合A ，利用对数的真数大于零求得集合B .（1）根据A 是B 的子集列不等式，解不等式求得a 的取值范围.（2）根据A B =∅I 列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】由题意得：21﹣4x ﹣x 2≥0，解得：﹣7≤x ≤3，∴定义域A ＝{x |﹣7≤x ≤3}x ﹣a +1＞0，解得：x ＞a ﹣1，∴定义域B ＝{x |x ＞a ﹣1}（1）∵A ⊆B ，∴a ﹣1＜﹣7，∴a ＜﹣6∴a 的取值范围为a ＜﹣6（2）∵A ∩B ＝∅，∴a ﹣1≥3，∴a ≥4，∴a 的取值范围为a ≥4【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查一元一次、一元二次不等式的解法，考查根据集合包含关系、集合交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.18.函数()log (1)a f x x =-+(3)(01)a log x a +<<（1）求方程()0f x =的解；（2）若函数()f x 的最小值为1-，求a 的值.【答案】（1）1x =-±2）14a =【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义域确定x 的范围，再根据对数运算法则得2231x x --+=，解方程即可得到答案；（2）函数可转化为()()()log 13a f x x x =-+= ()223a log x x --+ ()214a log x ⎡⎤=-++⎣⎦，定义域为31x -<<；由底数 01a <<可知，当()214x -++取最大值时，函数()f x 取最小值，即41a log =-，解得a 的值.【详解】解：（1）要使函数有意义，则有1030x x ->⎧⎨+>⎩，解得：31x -<< 函数可化为()()()log 13a f x x x =-+ ()223a log x x =--+ 由()0f x =，得2231x x --+=即2220x x +-=，()13,1--Q()0f x ∴=的解为1x =-±（2）函数化为：()()()log 13a f x x x =-+= ()223a log x x --+ ()214a log x ⎡⎤=-++⎣⎦31x -<<Q ()20144x ∴<-++≤01a <<Q ()2144a a log x log ⎡⎤∴-++≥⎣⎦ 即()min log 4a f x =由log 41a =-，得14a -=，14a ∴=. 【点睛】本题考查对数的运算、对数函数和二次函数的图象与性质，求解与函数相关的问题时要注意定义域先行的原则，仔细审题注意从所求到已知之间的等价问题转化.【此处有视频，请去附件查看】19.已知向量211(1,2),(2,1),(1),a b x a t b y a b k t ==-=++=-+r r r u r r r r $，k ，t 为实数. （Ⅰ）当k =－2时，求使//x y r u r 成立的实数t 值；（Ⅱ）若x y ⊥r u r ，求k 的取值范围.【答案】（1）t=1（2）1122k -≤≤ 【解析】【分析】(1)根据向量平行坐标表示列方程解得结果（2）根据向量垂直列方程的函数解析式，再求函数值域的结果.【详解】解：()()(22221)(1,2)1(2,1)21,3x a t b t t t =++=++-=--+r r r 111221(,)y a b k t k t k t=-+=---+r r r （1）当//x y r r 时()()2221122130t t k t k t ⎛⎫⎛⎫---+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简，得320t t +-=．∴ t=1（2）若x y ⊥r r 则0x y ⋅=r r ，即()()2212212130t t k t k t ⎛⎫⎛⎫----+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理，得21t k t =+1122k ∴-≤≤． 【点睛】本题考查向量平行于垂直关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 20.已知函数f （x ）21x a x bx +=++是奇函数，x ∈（﹣1，1）． （1）求实数a 和b 的值；（2）求证：函数f （x ）在（﹣1，1）上是增函数；（3）若对于任意的t ∈（0，1），不等式f （t 2﹣2t ）+f （﹣k ）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1) a ＝b ＝0 (2)证明见解析 (3) [0，+∞）．【解析】【分析】（1）利用()00f =求得a ，利用()()f x f x -=-求得b .（2）任取1211x x -<<<，计算()()120f x f x -<，由此证得()f x 在()1,1-上递增. （3）利用()f x 的单调性和奇偶性化简()()220f t t f k -+-<，结合二次函数的性质求得k 的取值范围.【详解】(1)∵f （x ）21x a x bx +=++是奇函数，x ∈（﹣1，1）， ∴f （0）＝a ＝0，f （x ）21x x bx =++， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）对任意的x ∈（﹣1，1）都成立，∴2211x x x bx x bx -=--+++， ∴﹣bx ＝bx 即b ＝0，故a ＝b ＝0，(2)由(1)f （x ）21x x =+， 设﹣1＜x 1＜x 2＜1， 则f （x 1）﹣f （x 2）12221211x x x x =-++()()22112221221211x x x x x x x x +--=++，()()()()12122212111x x x x x x --=++，∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴()()()()12122212111x x x x x x --++＜0，即f （x 1）＜f （x 2），函数在（﹣1，1）上单调递增，(3)∵t ∈（0，1），f （t 2﹣2t ）+f （﹣k ）＜0恒成立，∴f （t 2﹣2t ）＜﹣f （﹣k ）＝f （k ），∴t 2﹣2t ＜k ，∵t ∈（0，1），而y ＝t 2﹣2t 在（0，1）单调递减，∴﹣1＜t 2﹣2t ＜0，∴k ≥0，故k 的范围为[0，+∞）．【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.21.将函数f （x ）＝sin x cos （x 3π+）的图象向右平移3π个单位，得到函数g （x ）的图象， （1）求g （x ）的最小正周期及单调递减区间．（2）求x ∈[6π，2π]时函数g （x ）的最大值和最小值． 【答案】(1) 最小正周期为π；单调递减区间为[k π512π+，k π+1112π]，k ∈Z ．(2) 最大值为12．最小值为 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简()f x 解析式，然后求得图像向右平移3π个单位后函数()g x 的解析式.根据()g x 的解析式求得()g x 的最小正周期和单调递减区间.（2）利用三角函数最值的求法，求得()g x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【详解】（1）将函数f （x ）＝sin x cos （x 3π+）＝sin x （12cos x sin x ）14=sin2x cos2x 12=sin （2x 3π+）3π个单位，得到函数g （x ）12=sin （2x 3π-）-的图象， 故g （x ）的最小正周期为22π=π； 令2k π2π+≤2x 3π-≤2k π32π+，求得 k π512π+≤x ≤k π+1112π， 可得函数g （x ）的单调递减区间为[k π512π+，k π+1112π]，k ∈Z ．（2）x ∈[6π，2π]时，2x 3π-∈[0，23π]，故当2x 3π-=0时，函数g （x ）取得最小值为当2x 32ππ-=时，函数g （x ）取得最大值为12-． 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数图像变换，考查三角函数最小正周期、单调递减区间、在闭区间上的最大值和最小值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知a =r （2cos x ，1），b =r sin x +cos x ，﹣1），函数f （x ）a =r •b r． （1）若f （x 0）65=，x 0∈[4π，2π]，求cos2x 0的值； （2）若函数y ＝f （wx ）在（3π，23π）是单调递增函数，求正数w 的取值范围； （3）f （x ）43=在[0，3π]上有两个不等实根x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）的值．【答案】(1) (2) （0，14]；(3)2 3． 【解析】【分析】 利用向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换的指数，求得()f x 的表达式.（1）由()065f x =，求得026sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而求得026cos x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用002266cos x cos x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合两角差的余弦公式，求得02cos x 的值. （2）求得()y f x w =的表达式，利用233x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求得24263636w w wx πππππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，，这个区间是区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得正数w 的取值范围.（3）由03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求得12162sin x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，.根据12,x x 的对称性，求得12,x x 的关系式，由此化简()12cos x x -，求得()12cos x x -的值.【详解】()22122226f x a b cos x x cos x sin x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭r r . （1）()0062265f x sin x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴03265sin x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵042x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴0272636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， ∴04265cos x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴002266cos x cos x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 00226666cos x cos sin x sin ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-+⨯=（2）()226y f wx sin wx π⎛⎫==+⎪⎝⎭， ∵y ＝f （wx ）在（3π，23π）是单调递增函数，且w ＞0， ∴由233x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得，24263636w w wx πππππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，， ∴2236242362w k w k ππππππππ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，k ∈Z ， ∴313124w k k w ≥-⎧⎪⎨≤+⎪⎩，k ∈Z ， ∵w ＞0，∴w 的取值范围为（0，14]； （3）03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，52666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， ∴12162sin x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，∴f （x ）∈[1，2]， 又f （x ）43=在[0，3π]上有两个不等实根x 1，x 2， ∴12222662x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴123x x π=-，∴()12223cos x x cos x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 2223sin x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭226sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22f x =23=． 【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查三角函数单调区间、三角函数方程的根等问题的求解，考查向量数量积的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。
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河北定州中学2017—2018学年度高一上学期数学期末考试试题
一、单选题
1．若,m n 表示两条不同直线， α表示平面，则下列命题中真命题是
A. 若m α⊥， n α⊥，则//m n
B. 若//m n ， //n α，则//m α
C. 若//m α， //n α，则//m n
D. 若m n ⊥， //n α，则m α⊥
2．对于定义在R 上的函数()f x ，有关下列命题：①若()f x 满足()()20182017f f >，则()f x 在R 上不是减函数；②若()f x 满足()()22f f -=，则函数()f x 不是奇函数；③若()f x 满足在区间(),0-∞上是减函数，在区间[)0.+∞也是减函数，则()f x 在R 上也是减函数；④若()f x 满足()()20182018f f -≠，则函数()f x 不是偶函数．其中正确的命题序号是（ ）
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ②④
3．实数,x y 满足22430x y x +++=，则
y x 的取值范围是 （ ）
A. ⎡⎣
B. (),-∞⋃+∞
C. 33⎡-⎢⎣⎦
D.
,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
4．若对于任意a ∈ [－1,1], 函数()()2
442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是( )
A. (-∞‚1)∪(3,+∞)
B. ](?1∞-
C. (3 ,)∞+
D. ]()
‚1[3 ,∞∞-⋃+
5．设a 、b 是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若,a b a α⊥⊥则//b α； ②若//,,a ααβ⊥则a β⊥；
③若,,a αββ⊥⊥则//a α ④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥
其中正确命题的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6．若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值之差为2，则实数a =（ ）．
A. 2
B. 2-
C. 2或2-
D. 0 7．设()f x 是R 上的奇函数，且在()0,+∞内是增函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）．
A. {|30 x x -<<或}3x >
B. {| 3 x x <-或}03x <<
C. {| 3 x x <-或}3x >
D. {|30 x x -<<或}03x <<
8．函数2212x x y -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）． A. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ C. 1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦ D. 1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 9．如果1a >， 1b =-，那么函数()x f x a b =+的图像经过（ ）． A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限
C. 第二、三、四象限
D. 第一、二、四象限
10．为得到函数y cos 3x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的图象，只需将函数y sin x =的图象 （ ） A. 向左平移6π个长度单位 B. 向右平移6
π个长度单位 C. 向左平移56π个长度单位 D. 向右平移56
π个长度单位 11．点()0,2M 为圆()()22:4125C x y -++=上一点，过M 作圆的切线l ，且直线l 与直线':420l x ay -+=平行，则l 与'l 之间的距离是（ ）
A. 2
B. 45
C. 85
D. 125
12．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20
C x y y ++=的两条切线， ,A B 为切点， C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）
A. 2
B.
C. D. 4。