用高中数学知识解读S型种群增长曲线
生物s型曲线
生物s型曲线
S型曲线（S-Curve）是生物学和生态学中常见的一种增长曲线，通常用于描述种
群数量随时间的变化。
在自然界中，由于资源、空间和其他因素的限制，种群不可能
按照“J”型曲线无限增长。
当种群在一个有限的环境中增长时，随着种群密度的上升，个体间由于有限的空间、食物和其他生活条件而引起的种内斗争必将加剧，以该种群
生物为食的捕食者的数量也会增加，这就会使这个种群的出生率降低，死亡率增高，
从而使种群数量的增长率下降。
当种群数量达到环境条件所允许的最大值时，种群数
量将停止增长，有时会在K值保持相对稳定。
在生物学和生态学研究中，S型曲线被广泛应用于描述种群数量的变化规律。
例如，在疾病传播模型中，S型曲线可以用来描述疾病的传播过程，随着时间的推移，
感染者的数量会逐渐增加，但当感染者数量达到一定水平后，由于免疫力的增强和防
控措施的实施，感染者的数量会逐渐减少。
此外，S型曲线还可以用于描述其他生物学现象，如种群竞争、资源利用等。
在
生态学中，S型曲线可以帮助我们了解物种的生存能力和适应性，以及物种之间的相
互作用和生态平衡。
S型曲线是一种重要的生物学和生态学模型，可以帮助我们更好地理解和描述生
物种群的变化规律。
高中生物种群的增长曲线与K值应用
高中生物种群的增长曲线与K值应用常卿在高中生物教材中，种群增长曲线是一个重要的知识点，并在近年的生物高考试卷中都有所体现。
但笔者在教学中发现，由于受到教材篇幅的限制，这一知识内容一上来起点就很高，学生一下子很难理解。
本文从理解的角度出发，对种群增长曲线进行释疑，同时释义其具体应用。
一、种群增长的S型曲线虽然物种具有巨大的增长潜力，但在自然界中，种群却不能无限制地增长。
因为随着种群数量的增长，环境的制约因素的作用也在增大，环境中制约种群增长的因素称为环境阻力。
它包括同种个体之间对食物和空间的竞争加剧、疾病蔓延、捕食者因捕食对象的增多而增多等，从而导致残废率增长、出生率降低，最终趋向平衡。
因此，在自然环境中，种群的增长曲线是一个“S”型曲线（也称为逻辑斯蒂曲线）。
种群达到环境所能负担的最大值，称为环境的满载量或负载能力，用“K”表示（如图1）。
那么，种群为什么不能无限增长而保持在相对稳定的水平？根据对很多生物种群在有限食物和有限空间条件下数量动态的研究，种群在开始时增长比较缓慢，以后逐渐加快，当种群数量达到环境所允许的最大数量的一半时，增长速度最快，但是种群所需要的资源（食物、空间等）是有限的，随着资源的枯竭，环境阻力将随着种群的增长而成正比例增加，种群增长速度逐渐缓慢下来，直到停止增长，此外，种群内部的相互关系和其他一些环境因素，如气候、食物、空间、营巢地、天敌、疾病、种间竞争等环境阻力都会抑制种群数量无限增长。
当种群增加到“K”值，会因为食物不足、空间有限、天敌增加等因素而使种群数量逐渐降低，降到基准线以下，又会因空间、食物的充裕而数量上升，所以，种群的数量会在一定范围内（基准线上下）波动，保持在一个相对恒定的水平上（如图2）。
二、K值的应用种数数量在达到K/2时（如图3中的A点），种群数量几乎呈直线上升，这一时期称指数生长期，A点是影响种群数量的关键点。
该值可直接用于解释文中有关“种群数量变化的意义”中的几个实例问题。
(完整版)J型增长曲线和S型增长曲线
种群数量增长的两种曲线模型总结——J型增长曲线模型和S型增长曲线模型1．两种曲线模型比较两种增长曲线的差异主要是因环境阻力大小不同，对种群增长的影响不同2.K值与K2在实践中的应用例1：右图中种群在理想环境中呈“J”型曲线增长(如图中甲)；在有环境阻力的条件下呈“S”型曲线增长(如图中乙)。
下列有关种群增长曲线的叙述，正确的是()A、环境阻力对种群增长的影响出现在d点之后B、若此图表示蝗虫种群增长曲线，防治害虫应从c点开始C、一个物种引入新的地区后，开始一定呈“J”型增长D、若此图表示草履虫增长曲线，当种群数量达到e点后，增长率为0解析：环境阻力出现在“J”型曲线与“S”型曲线的分叉点（c点）。
c点种群的增长速度最快，所以不能在该点对害虫进行防治；b点蝗虫的数量开始增加，但增长速率还很低，应该从该点开始对害虫进行防治。
一个物种引入新的地区后，有可能不适应当地的环境，所以不一定呈“J”型增长。
【答案】D例2：某研究所调查发现：某种鱼迁入一生态系统后，其种群数量增长率随时间变化的曲线如图所示，请分析回答：t o t1t2 时间（1）在t0-t2时间内，种群数量增长曲线呈；若在t 2时种群的数量为N，则t1在时种群的数量为，t1时该种群年龄组成可能是。
（2）捕获该鱼的最佳时期为时，原因是。
（3）该鱼在t2时期后，种群数量，主要原因是答案（1）S型曲线N／2 增长型（2）T1 在T1时种群增长率最大，捕获该鱼获得的量最大且不影响该鱼类资源的再生（3）不增加种内斗争加剧捕食者数量增加解析:分析图中曲线可知：T0～T2时间内种群数量增长率由小变大，达到最大值后又逐渐变小，因而该种群数量增长呈S型曲线。
在T2时种群数量增长率为0，此时，种群的数量为N，即为最大值，而在T1.时种群数量增长率最大，则这时种群的数量为N／2，种群年龄组成为增长型。
当种群数量增长率最大时捕获该鱼获得的量最大且不影响该鱼类资源的再生，因而此时（T1）为捕获的最佳时期。
高中生物S型曲线和J型曲线详细比较
J 型曲线和S 型曲线特点比较1 。
1 “J ”型曲线的特点“J ”型曲线( 如图1 ) 是指在食物( 养料) 和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等理想条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的入倍。
它反映了种群增长的潜力。
1 。
2 “S ”型曲线的特点“s ”型曲线( 如图2 ) 是指种群在一个有限的环境中增长，由于资源和空间等的限制，当种群密度增大时，种内斗争加剧，以该种群为食的动物的数量也会增加，这就会使种群的出生率降低，死亡率增高。
当死亡率增加到与出生率相等时，种群的增长就会停止，种群数量达到环境条件所允许的最大值( K值) ，有时会在最大容纳量上下保持相对稳定。
2 “J ”型曲线和“S ”型曲线疑析2 ．1、增长率与增长速率=现有个体数／原有个体数。
增长率是指单位时间种群增长数量，增长率= 出生率一死亡率=( 出生数一死亡数)／( 单位时间x 单位数量) 。
因此，不能将入等同于增长率。
增长速率则是指单位时间内种群数量变化率。
增长速率=( 出生数一死亡数) ／单位时间。
种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J ”型曲线还是“S ”型曲线上的斜率总是变化着的。
在“J ”型曲线增长的种群( 如图3中的a 种群) 中，增长率等于(入一1 ) ，不变，增长率(入一1 ) 也就不变( 如图4 ) 。
再看增长速率，由于一段时间内种群内个体基数不断增大，故这段时间内净增加的个体数不断增多，除以时间以后即为增长速率，可以看出增长速率是不断增大的( 如图 5 ) 。
在“S ”型曲线增长的种群( 如图3中的b种群)中，在环境阻力( 空间压力、食物不足等) 的作用下，导致出生率下降、死亡率上升，两者之间的差值不断减小,即增长率也是不断减小；当种群的出生率和死亡率相等时，增长率为零( 如图 6 ) ，此时种群数量到达K值。
而增长速率会有先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线( 如图7 )。
种群增长的S型曲线
预测和控制种群数量
准确预测种群数量变化，并采取有效措施控制种群数量， 以防止种群过度增长或濒危灭绝，是保护生物多样性的关 键挑战。
未来发展
1 2 3
深入研究种群增长机制
环境资源
环境资源是种群增长的限制因素之一，资源的可用性和可获得性 影响种群的生长和存活率。
空间限制
空间限制也是影响种群增长的重要因素，种群数量受到栖息地大小 和可用空间的影响。
竞争与捕食
种内竞争和捕食是影响种群增长的另一个因素，它们可以降低出生 率和存活率，从而影响种群增长。
02
种群增长的s型曲线模型
04
种群增长s型曲线的挑战 与未来发展
挑战
环境容量限制
种群增长在达到环境容量上限后，增长速度会逐渐减缓， 最终趋于稳定。理解并预测种群增长的上限是保护生态平 衡的重要挑战。
环境变化适应性
气候变化、环境污染等因素可能导致种群生存环境的改变 ，如何提高种群的适应性和生存能力是当前面临的重要挑 战。
资源竞争
实例二：某水域的鱼类种群增长
总结词
鱼类种群增长呈现s型曲线，受到食物、 空间和繁殖能力的限制。
VS
详细描述
在某水域的鱼类种群增长过程中，随着时 间的推移，鱼类数量也呈现出s型曲线的 增长趋势。起初，由于食物充足和空间广 阔，鱼类种群数量迅速增长。然而，当鱼 类数量接近环境承载力时，食物和空间的 限制开始发挥作用，繁殖能力也受到限制 ，导致种群增长速度减缓，最终趋于稳定 。
种群增长的s型曲线
目 录
• 种群增长的基础知识 • 种群增长的s型曲线模型 • 种群增长s型曲线的应用 • 种群增长s型曲线的挑战与未来发展 • 实例分析
第1章 第2节 种群数量的变化 讲义【新教材】人教版高中生物选择性必修二
第2节种群数量的变化课标内容要求核心素养对接尝试建立数学模型解释种群的数量变动。
科学思维—通过尝试建立数学模型表征种群数量变化的规律。
一、建构种群增长模型的方法1．数学模型：用来描述一个系统或它的性质的数学形式。
2．研究方法及实例二、种群的“J”形增长1．含义理想条件下种群增长的形式，以时间为横坐标，种群数量为纵坐标画出曲线来表示，曲线则大致呈“J”形。
这种类型的种群增长称为“J”形增长。
2．数学模型(1)模型假设①条件：食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等。
②数量变化：种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍。
(2)建立模型：t年后种群数量为N t＝N0λt。
(3)模型中各参数的意义：N0为该种群的起始数量，t为时间，N t表示t年后该种群的数量，λ表示该种群数量是前一年种群数量的倍数。
三、种群的“S”形增长1．条件：自然界中的资源和空间总是有限的。
2．原因：随种群数量的增多，生物对食物和空间的竞争趋于激烈，导致出生率降低，死亡率升高。
当出生率等于死亡率时，种群的增长会停止，有时会稳定在一定的水平。
3．环境容纳量：又称K值，指一定的环境条件所能维持的种群最大数量。
4．应用(以大熊猫为例)(1)大熊猫锐减的重要原因大熊猫栖息地遭到破坏后，由于食物的减少和活动范围的缩小，其K值会变小。
(2)保护措施建立自然保护区，改善它们的栖息环境，从而提高环境容纳量，是保护大熊猫的根本措施。
四、种群数量的波动1．在自然界，有的种群能够在一段时期内维持数量的相对稳定。
2．对于大多数生物的种群来说，种群数量总是在波动中。
3．某些特定条件下可能出现种群爆发。
4．当种群长久处于不利条件下，种群数量会出现持续性的或急剧的下降。
五、探究培养液中酵母菌种群数量的变化1．计数方法：抽样检测法。
2．具体计数过程：先将盖玻片放在血细胞计数板的计数室上，用吸管吸取培养液，滴于盖玻片边缘，让培养液自行渗入。
根据种群增长的S型曲线PPT课件
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下图表示接种到一定容积培养液中的酵母菌生 长曲线图，曲线中哪段表示由于有限空间资源的限
制使种内斗争增加（ D）
A．CD段（增长速度慢） B．DE段（速度加快） C．EF段（变化速率加快） D．FG段（速度逐渐变慢）
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下列对阴影部分的解释正
确的是（ C ）
①环境中影响种群增长的阻力 ②环境中允许种群增长的最大值 ③其数量表示种群内迁出的个体数 ④其数量表示通过生存斗争被淘汰的个体数
对于压在小方格界线上的酵母菌应取相邻 两边及顶角计数。
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练习 B
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建构种群增长数学模型的方法包括以下步骤：
1.提出合理的假设
C
2.对模型进行检验或修正
3.用适当的数学形式对事物的性质进行表达
4.观察研究对象，提出问题
A.1234 B.2314
C.4132 D.4123
种群经过一定时间的增长后， 数量趋于稳定的增长曲线，称为 “S”型曲线．
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种群数量达到K值时， 种群— 增长停止
种群数量在 K/2值时， 种群— 增长最快
种群数量小于K/2值时 种群— 增长逐渐加快
种群数量大于K/2值时 种群— 增长逐渐减慢
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A
K/2
S型曲线 增长率曲线
重要因素：人类的活动
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探究
培养液中酵母菌种群数量的变化
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❖ 单细胞真核生物 ❖ 属于兼性厌氧型微生物，有氧时产生二氧化碳和水；
无氧时产生二氧化碳和酒精。 ❖ 用液体培养基培养酵母菌，种群的增长受培养基的
根据种群增长的S型曲线课件
曲线的斜率
表示种群增长速度的变化 ，斜率越大表示增长速度 越快。
03
种群增长的s型曲线模型
种群数量与时间的关系
初始阶段
种群数量增长缓慢，随着时间的推移 ，种群数量开始加速增长。
对数增长阶段
平台阶段
种群数量达到环境容纳量（K值）后 ，增长速度逐渐减缓，最终趋于稳定 。
种群数量以对数方式增长，增长速度 不断加快。
综合应用和实践
将研究成果应用于实践，需要综合考虑多种因素，如经济、社会、环境等，以便制定综合 性的应用方案和实践计划。
THANKS
感谢观看
林业规划
在林业生产中，S型曲线模型有助于我们制 定合理的造林计划和采伐策略。通过预测树 木种群的增长趋势，我们可以确定最佳的种 植密度和采伐周期，从而实现森林资源的可 持续利用和生态平衡。同时，S型曲线模型 还可以帮助我们评估不同林业经营措施对种 群动态的影响，为林业可持续发展提供科学
依据。
05
S型曲线模型的未来研究方向
。
疾病和寄生
疾病和寄生生物是种群增长的另 一个重要影响因素。它们可能导 致种群数量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ减少，尤其是在种
群密度较高时。
种群增长的数学模型
指数增长模型
指数增长模型是一种理想化的模型，假设种群在没有环境 限制的情况下呈几何级数增长。该模型通常适用于种群的 初始增长阶段。
Malthus模型
Malthus模型是描述种群增长的简单数学模型，它基于指 数增长假设，但忽略了资源限制和竞争的影响。
3
生态恢复和保护
为了保护种群和生态系统，需要进一步研究种群 动态与环境变化的相互作用，以便制定有效的生 态恢复和保护措施。
种群动态的人工调控和优化管理
种群数量变化：增长率与增长速度的辨析
对种群增长率与增长量、增长速度的辨析1 问题的提出普通高考试卷中时常出现考察种群数量变化的试题，教辅资料都对种群的数量变化规律进行解读、对相关高考试题进行解析，但不少资料的解读或解析存在偏差。
1．1 某些资料对种群数量变化的解读摘要1．1．1 种群数量按J型曲线增长，种群的增长率是不变的，可用图—1甲直线表示。
1．1．2 种群J型增长公式N t＝N0 ·λt中，λ与增长率的关系：λ＝1＋增长率＝1＋（出生率－死亡率）λ＜1时，种群为衰退型；λ＝1时，种群为稳定型；λ＞1时，种群为增长型。
1．1．3 种群数量按S型曲线增长，种群的增长率是时刻发生变化的，可用图—1乙直线表示。
1．1．4 J型曲线的种群增长率保持稳定；S型曲线的种群增长率随种群密度的上升而下降。
1．2 存在的问题既然“S型曲线的种群增长率随种群密度的上升而下降”，那么，其增长率曲线就该是近似图—1丙所示的逐渐下降的曲线，而非图—1乙所示“低→高→低”的峰样曲线。
对种群增长率的解读的偏差，不仅存在于多种教辅资料，在相关的不同的高考试题之间也存在对种群增长率解读的矛盾。
例如：例1．（2005年全国Ⅰ）为了保护鱼类资源不受破坏，并能连续地获得最大捕鱼量，根据种群增长的S型曲线，应使被捕鱼群的种群数量保持在K/2水平。
这是因为在这个水平上（ B ）A．种群数量相对稳定 B．种群增长量最大C．种群数量最大 D．环境条件所允许的种群数量最大例2．（2007年全国Ⅰ）下列有关种群增长的S型曲线的叙述，错误的是（ D ）A．通常自然界中的种群增长曲线最终呈S型 B．达到K值时种群增长率为零C．种群增长受自身密度的影响 D．种群的增长速度逐步下降例3．（2002年广东）在一个玻璃容器内，装入一定量的符合小球藻生活的营养液。
接种少量的小球藻，每隔一段时间测定小球藻的个体数量，绘制成曲线，如图—2所示。
图—3中能正确表示小球藻种群数量增长率随时间变化趋势的曲线是（ D ）例1所含的结论是在时间长短相同的各个时段内，K/2所对应的时段种群增长量最大；例2所含的结论是在时间长短相同的各个时段内，K/2所对应的时段种群增长速度最大。
3.1.2种群的增长规律
——种群的增长规律
本节聚焦
1.种群增长的“J”型和“S”型曲线（B） 2.研究种群数量变动的意义（A）
湖南洞庭湖人鼠大战 灭鼠以吨计算
2007年07月10日10:18 三湘都市报 上万只老鼠在湖水中成群结队向岸上进发，这种我们看来只可 能在电影看到的场景，不久前却在我们的身边真实上演了。进入汛 期以来，一场10多年来最严重的鼠患灾害日前在洞庭湖打响。 益阳市大通湖区位于洞庭湖畔。当地群众沿大堤打老鼠，一棒 打去，能打死两三只；一铲子拍下来，能砸死七八只。还有人干脆 用平时捕鱼的网捉老鼠，一网能网住几公斤。大通湖区统计数据显 示，从6月21日开始，全区共捕杀90多吨老鼠，约225万只。
时间/min
一、数学模型
数学模型：
用来描述一个系统或它的性质的数 学形式。
设：某种群起始数量N0 ，每年以一定的 倍数增长(第二年是第一年的λ倍)。 那么一年后该种群的数量为？ N 1= N 0λ 种群 数量 t年后该种群的数量Nt是多少？
N t= N 0λ
t
如果用坐标来表示，横轴表示时间，纵 轴表示种群数量，种群的增长曲线有什么特 点？
食物不足 空间有限 种内斗争 天敌捕食 气候不适 寄生虫 传染病等
四、种群数量的波动
四、种群数量的波动
东亚飞蝗种群数量的波动
大多数种群的数量总是在波动之中的，在不利 条件之下，还会急剧下降，甚至灭亡。
思考
怎样做才是最有效的灭鼠措施？
同一种群的K值不是固定不变的，会受到环境的影响。
提示：从环境容纳量的角度思考，可以采取 措施降低有害动物种群的环境容纳量，如将食 物储藏在安全处，断绝或减少它们的食物来源； 室内采取硬化地面等措施，减少它们挖造巢穴 的场所；养殖或释放它们的天敌，等等。
种群数量增长的S型曲线中增长率和增长速率的区分
种群数量增长的S型曲线中增长率和增长速率的区分
在学习种群的数量增长曲线时，很多学生对增长率和增长速率不理解，而在习题中也往往将二者混为一谈，实际上二者是有区别的，现将二者区别总结如下。
1.增长率：增长率是指单位时间种群增长数量，[增长率＝出生率—死亡率＝出生数－死亡数）/（单位时间×单位数量）]。
在“J”型曲线增长的种群中，增长率保持不变；而在“S”型增长曲线中增长率越来越小。
2.增长速率：增长速率是指单位时间内种群数量变化率，[增长速率＝（出生数－死亡数）/单位时间]。
种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J”型曲线还是“S”型曲线上的斜率总是变化着的。
在“J”型曲线增长的种群中，增长速率是逐渐增大。
在“S”型曲线增长的种群中，“增长速率”是该曲线上“某点”的切线的斜率，斜率越大，增长速率就越大，且斜率最大时在“ 1/2K”。
之后增长变慢，增长速率是逐渐减小。
在“S”曲线到达K值时，增长速率就为0。
在“J”型增长曲线中，每年的增长率不变；由于“J”型增长曲线的斜率是在不断变化的，逐渐增大，直至无穷，所以其增长速率也就不断增大。
在“S”型增长曲线中，每年的增长率由最初的最大值，在环境阻力（空间压力、食物不足等）的作用下，导致出生率下降、死亡率上升，种群数量到达最大值（K值），其增长率不断下降至0，故在“K”时，其增长率为0；而增长速率会有先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线，即在“S”型曲线中，开始时斜率为0，斜率逐渐增大，增长速率也就越大，且斜率在1/2K时最大，即在“ 1/2K”时增长速率最大，过后，斜率下降，在K值时降至为0，故在“K”时，其增长速率为0。
种群数量增长的S型曲线中增长率和增长速率的区分
在“S”型增长曲线中，每年的增长率由最初的最大值，在环境阻力（空间压力、食物不足等）的作用下，导致出生率下降、死亡率上升，种群数量到达最大值（K值），其增长率不断下降至0，故在“K”时，其增长率为0；而增长速率会有先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线，即在“S”型曲线中，开始时斜率为0，斜率逐渐增大，增长速率也就越大，且斜率在 1/2K时最大，即在“ 1/2K”时增长速率最大，过后，斜率下降，在K值时降至为0，故在“K”时，其增长速率为0。
2.增长速率：增长速率是指单位时间内种群数量变化率，[增长速率＝（出生数－死亡数）/单位时间]。种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J”型曲线还是“S”型曲线上的斜率总是变化着的。在“J”型曲线增长的种群中，增长速率是逐渐增大。在“S”型曲线增长的种群中，“增长速率”是该曲线上“某点”的切线的斜率，斜率越大，增长速率就越大，且斜率最大时在“ 1/2K”。之后增长变慢，增长速率是逐渐减小。在“S”曲线到达K值时，增长速率就为0。
(此文发表在2008年08期生物学通报)
由题图可知，小球藻种群数量增长呈“S”型增长。该题所提供的答案为D，即种群数量增长率先上升后下降。该高考题所提供的这个答案与现行高中生物教材（必修第二册2004年9月第二版）中有关种群数量增长率的理解相悖。现行高中必修第二册教材P75写到：在食物、养料和空间充裕，气候适宜，没有敌害等理想条件下，种群的数量往往会出现“J”型增长，每年的增长率不变；而在自然界中，环境条件是有限的，个体间由于有限的空间、食物和其它生活条件而引起的种内斗争必将加剧，以该种群为食的捕食者的数量也会增加，这就会使这个种群的出生率降低，死亡率增高，从而使种群数量的增长率下降。当种群数量达到环境条件所允许的最大值（以K表示）时，种群数量将停止生长，有时在K值左右保持相对稳定。假定种群的增长率随着种群密度的增加而按一定比例下降，种群数量达到K值以后保持相对稳定，那么种群的这种增长方式用坐标图表示出来，就会呈“S”型曲线。
高中生物必修三第四章第二节—种群数量的变化(含答案解析)总结
第2节种群数量的变化知识点一构建种群增长模型的方法1.数学模型概念,数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式，是为了某种目的用字母、数字及其他数学符号建立起来的方程式以及图表、图像等数学表达式。
2.意义,数学模型是联系实际问题与数学规律的桥梁，具有解释、判断、预测等重要作用。
知识点二种群数量的增长,1.种群的“J”型增长(1)“J”型曲线：自然界确有类似细菌在理想条件下种群数量增长的形式，如果以时间为横坐标，种群数量为纵坐标画出曲线来表示，曲线则大致呈“J”型。
(2)“J”型增长的原因：食物充足、没有天敌、气候适宜等，这一理想条件只有在实验室或某物种最初进入一条件非常适宜的环境时才会出现。
(3)“J”型增长的数学模型,模型假设：在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量以一定的倍数增长，第二年是第一年的λ倍。
增长速率不随种群密度的变化而变化。
,建立模型：,一年后该种群的数量应为：N1＝N0λ,两年后该种群的数量应为：N2＝N1×λ＝N0λ2,t年后该种群的数量应为：N t＝N0λt,N0：该种群的起始数量；t：时间；N t：t年后种群数量；λ：增长的倍数。
注：当时，种群数量上升；当λ＝1时，种群数量不变；当时，种群数量下降。
2.种群增长的“S”型曲线,(1)“S”型曲线出现的原因,自然资源是有限的，当种群密度增大时，使生存斗争加剧，种群的增长速率下降。
(2)实例：高斯的实验。
(3)“S”型曲线：种群经过一定时间的增长后，数量趋于稳定的增长曲线，呈“S”型。
①K值：在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量称为环境容纳量。
a.不同物种在同一环境中K值不同。
b.当环境改变时生物的K值改变。
②K/2值：K值的一半，是种群数量增长最快点。
③增长速率：可以看出种群的增长速率在K/2时最大，K/2之前不断增加，在K/2之后逐渐减小，当达到K值时增长速率为0。
s型曲线的数学原理
s型曲线的数学原理
S型曲线是一个在数学和工程领域中常用的曲线。
根据具体应用领域的不同，S型曲线具有不同的形式和原理。
以下为您介绍其中两种情况：
1. 逻辑斯谛方程（Logistic Equation）：在生态学中，如果一个物种在非
理想环境中生存，如存在天敌、食物和空间资源不充足等，其种群增长可能会遵循逻辑斯谛方程。
这个方程描述的种群增长曲线呈S形，即开始时增长缓慢，中间阶段增长加速，最后阶段增长减缓。
2. S型速度曲线控制算法：在工业控制领域，S型曲线是一种常用的加减速控制策略。
这种曲线可以克服T型曲线加速度不连续的问题，实现加速度的连续变化。
具体来说，S型曲线的加速度变化过程包括增加、恒定和减小三个阶段，反映到速度变化上则是一条平滑的S型曲线。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学或工程学专业书籍。
作物生长s型曲线
作物生长的S型曲线是描述作物生长过程中数量随时间变化的一种常见数学模型。
它是由比利时数学家Verhulst在19世纪提出的理论，后来被广泛应用到生态学和农业领域中。
S型曲线的特点：
初期生长迅速：作物在开始生长时，由于营养和水分等资源充足，其生长速度相对较快。
后期生长缓慢：随着时间的推移，作物逐渐接近其生长极限，资源利用效率降低，生长速度逐渐减缓。
拐点出现：在生长过程中，会出现一个拐点，即生长速率由快变慢的转折点。
接近极限：在生长的后期，作物数量逐渐接近其最大值，生长速率趋近于零。
S型曲线的应用：
预测作物生长情况：通过观察和测量作物的生长数据，可以拟合S型曲线，从而预测作物的生长趋势和产量。
优化资源分配：根据S型曲线，可以合理分配资源，如肥料、水分等，以提高作物的生长效率。
制定种植计划：通过S型曲线，可以确定最佳的种植时间和密度，以提高作物的产量和质量。
总之，作物生长的S型曲线是一种描述作物生长过程的数学模型，它可以用于预测、优化和制定种植计划等方面。
在实际应用中，需要根据具体情况进行适当调整和改进。
“J”型与“S”型曲线的数学推导及相关概念论证
: 型与 & 型曲线的数学推导及相关概念论证王玉龙!!广东实验中学!广州!#%$$##"摘!要!本文通过数学论证和生态学文献追溯#探讨了对,N-型与,>-型两种曲线中,增长率-,增长速率-等名词的理解#还原了其本身的生物和数学属性#使模糊概念清晰化$关键词!,N-型曲线!,>-型曲线!种群增长率!19G1$!增长速率!!种群的数量增长模型主要有,N-型和,>-型两种类型#这两种类型对应了不同的假设和条件#同时又有一定的相关性和联系#可将,>-曲线看作是对,N-型曲线的一种修正$!"连续型 : 型增长%:%! N 型增长曲线的数学推导过程!大多数种群的繁殖都要延续一段时间并且有世代重叠#在任何时候种群中都存在不同年龄的个体#种群中会有新个体的出生和死亡$在资源空间无限%无天敌和疾病等理想环境中#假定种群大小为9#在很短的时间1$内#种群的瞬时出生率为;#死亡率为)#则种群出生率和死亡率与种群密度无关#种群的增长率!%@;L)"表示该种群理想条件下潜在的最大增长能力#也与种群密度无关#是由种群自身的繁殖特性所决定的#又称之为,内禀增长率-$同时该增长率从数学的角度上分析#由于是很短时间内!1$"的变化#也称为种群的,瞬时增长率-$所以#种群数量的变化可用微分方程表示为)19G1$@!;L)"9#其中19G1$表示很短时间内种群数量的变化量#9为相应时刻的种群数量$对上式变形为)19G9@%+1$积分可得),39@%$M<!其中<为常数"#即9@+%$M<也可表述为9$@9$+%$#其中9$代表$时刻的种群数量#9$代表初始的种群数量$其曲线如图%所示)图%!种群数量增长的,N-型曲线%:'! N 型曲线中的增长率!,N-型增长中的增长率为%#即出生率与死亡率的差值$关于,出生率-和,死亡率-的定义最初来源于人口数量研究中#出生率是指每年每千人中出生的人数#死亡率是指每年每%$$$人口死亡的人数&%'#两者的差值即为自然增长率#所谓的,自然-是不包括因人口的迁出或迁入造成的减少或增加&%'#故在人口研究中通常以,u-来表示出生率%死亡率或自然增长率$在,N-型增长中的增长率即是人口学中的,自然增长率-在理想条件下的情景化表述#根据增长率的定义可将其表示为)%@1991$#将,每年-这个单位时间替换为很短时间,1$-#所以从数学的视角来看#,N-型曲线的增长率%又可称为瞬时增长率#是固定不变的#由于上式的分母中有种群数量,9-#有的教材中又称之为,每头增长率-!5<0\-.5+2.0.2</T5/5(,.2+/3A0/X2;"&''$ %:"! N 型曲线中的19G1$!19G1$表示极短时间内的种群变化量#从数学角度可表示为,+)08%$@0*08#即,N-型曲线在某点处的瞬时变化率#也是,N-型曲线的斜率&"'#其表达式为191$@%9$+%$#曲线图像如图'所示$导数可以描述任何事物的瞬时变化率#在不同的情境下#会将19G1$赋予不同的名词含义#如在位移时间图像!,$"中表示速度$在,N-型曲线中#该瞬时变化率即表示极短时间内的增长量#若认为,N-型曲线中种群数量在增长#便武断地将此变化率称为增长率是不妥的#因为增长率为出生率与死亡率的差值#是一个已有的术语名词#并不等同于19G1$#不能混用$这一点在各种版本的大学教材以及各种高中教参中也可以得到印证#均没有将19G1$称之为增长率$,应用生态学-中将19G1$称之为种群的增长速度&H'#其他教材如.基础生态学/.生态学原理/均没有对19G1$进行命名#有的以数学语言,瞬时增长量-来对19G1$进行命名&''#所以,增长速度-的说法仅是一家之言#不具有普遍性$图'!,N-型曲线中19G1$随时间变化曲线#" &型增长模型':%! > 型增长模型的由来!逻辑斯蒂增长的数学模型!,>-型增长模型"由比利时学者b <0;(042在%K"&年首次提出#后来因为C <.0,与O <<1在人口学上应用而得到普遍认同#也被称为逻辑斯蒂方程&H '$,>-型增长模型是建立在以下两个假设基础上的&#')!%"环境条件!如食物%空间和其他资源等"有限的情况下#一定区域内种群数量有一个环境条件允许的最大值#称为环境容纳量#用N 来表示$当种群数量达到N 时#种群将不再增长#即191$@$$!'"环境条件对种群的增长有阻滞作用#并随着种群密度的增加而按比例增加$例如种群中每增加一个个体就对种群的增长产生%N的抑制作用#换句话说#种群中每个个体利用了%N 的空间#若种群中有9个个体#就利用了9N的空间#而可供种群继续增长的空间为%L 9N ()$所以当种群数量为9时#其相对于理想条件下的内禀增长率%#其增长率变为了%!%L 9G N "$基于以上两点假设#有限环境下种群的增长可用微分方程表示为191$@%9%L 9N ()#其中9为在$时刻的种群数量#N 为环境容纳量#%为内禀增长率$':'! > 曲线的数学推导过程!对微分方程191$@%9%L 9N ()进行数学计算#即可得出种群数量9随时间的变化关系式#过程如下)对方程两边乘以1$可得)19@%9%L 9N ()1$v 199%L9N()@%1$#即N 199!N L 9"@%1$v %9M %N L 9()19@%1$v :%9M %N L 9()19@:%1$v:%919L :%N L 91!N L 9"@:%1$v ,39L ,3!N L 9"@%$M <#其中<为常数v ,39N L 9@%$M <v9N L 9@+%$M <v 9@N%M +L %$L <由种群的初始值9$可计算出<@L ,3!N G 9$L %"#通常将上式表示为9@N%M +L %$#其中 @,3!N G 9$L %"#所对应的图像如图"所示$图"!种群增长的,>-型曲线':"! >型曲线中的增长率!按照,N-型曲线中增长率的定义#则,>-型曲线的增长率可表示为1991$#不再是%#而是其修正后的值#即%!%L 9G N "$所以#,>-型曲线的增长率是关于种群数量9的一次函数#随种群数量增大而逐渐减小的#所对应的图像如图H 所示$图H!,>-型中增长率随种群数量的变化曲线将9的表达式代入上式中后#可得增长率关于时间的表达式#即%%L %%M +L %$()#该值是随时间的延长而逐渐下降的#但并非一次函数或二次函数#所对应的图像如图#所示$图#!,>-型中增长率随时间的变化曲线':H! >型曲线中的19G 1$!,>-型曲线中19G 1$依然是曲线的斜率#从数学上看也是种群数量的瞬时增长量#但不能称作是,增长率-#称其为,增长速率-也不太恰当的#该表述只是出现在极个别教材中#高中课程标准中的,案例H 建立种群增长模型-有使用,增长速率-一词来表述#但该表述并不具有统一性和规范性$从曲线方程来看19G1$@%9!%L 9G N "@L %9'G N M %9#是关于9的二次函数#在9@N G '时最大#所对应的图像如图I 所示$图I!,>-型中19G 1$随种群数量的变化曲线将9的表达式代入上式中后#可得19G 1$关于时间的表达式L %N !%M+L %$"'M %N!%M +L %$"#所对应的图像如图M 所示#通过数学论证可知#该曲线关于$@ G %对称#并在该点取最大值#该点所对应的种群数量恰好是N G '$图M!,>-型中19G 1$随时间的变化曲线$"高考例题分析例%!'$%M 年全国P 卷第#题"!假设某草原上散养的某种家畜种群呈>型增长#该种群的增长率随种群数量的变化趋势如图所示$若要持续尽可能多地收获该种家禽#则应在种群数量合适时开始捕获#下列四个种群数量中合适的是!U"F :甲点对应的种群数量8:乙点对应的种群数量7:丙点对应的种群数量U :丁点对应的种群数量解析)本题争议较大#>型曲线的增长率应该随着种群数量的增加而线性递减#而非图中所示形状#将纵坐标看作是19G1$#才是图中曲线#方能消除争议$在应试情境下#该图纵坐标虽有争议#但题目的设置中甲%乙%丙均表现为种群还能继续增长#故不能在其对应数量下捕获#应选择四者中唯一不同的丁点对应的种群数量捕获$所以此题目虽有争议#但从答题上来说影响不大#依然能考查学生的能力素养$例'!'$$M 年全国,卷第"题"!下列有关种群增长的>型曲线的叙述#错误的是!U "F :通常自然界中的种群增长曲线最终呈>型8:达到N 值时种群增长率为零7:种群增长受自身密度的影响U :种群的增长速度逐步降低解析)此题目中F %7选项皆无争议#8选项中出现了增长率一词#通过上文分析可知#当种群数量达到N 值时#增长率为零$U 选项中出现了增长速度一词#该名词较为突兀#题目中没有对此名词作任何注解#若从对,速度-一词的认识迁移的话#此处的增长速度应理解为单位时间的增长量#即19G1$#应为先增加后减小#但能否进行这样的迁移和理解#并无统一性认识#存在一定的争议$例"!'$$#年全国,卷第#题"!为了保护鱼类资源不受破坏#并能持续地获得量大捕鱼量#根据种群增长的>型曲线#应使被捕鱼群的种群数量保持在N G'水平$这是因为在这个水平上!8"F :种群数量相对稳定8:种群增长量最大7:种群数量最大U :环境条件所允许的种群数量最大解析)本题考查>型曲线在N G'时斜率最大#即19G 1$最大#8选项中用种群增长量最大来对19G 1$进行等效替换#规避了增长率或增长速度所带来的争议#这种处理较为妥当$通过对两种曲线的分析可知#两曲线的增长率和斜率!19G1$"是不同的概念#不应混淆$种群的,增长速率-是不规范%非共性的名词#在命题过程中应尽量避免使用该名词#如要考查该特性#可以用单位时间的增长量来进行替代$基金项目 广东省教育学会课题 生物重要概念在高三复习中的精准教学研究 Q /:Z N >N Z >Y '$%K$$#葡萄糖分子跨膜运输三问刘!敏!宁!旭!!安徽省太和县第一中学!阜阳!'"II$$"摘!要!本文以葡萄糖分子跨膜运输为切入点#结合实例阐明葡萄糖分子跨膜运输的组织特异性#有利于加深师生对物质跨膜运输机制的理解$关键词!葡萄糖!转运蛋白!跨膜运输!!葡萄糖分子是细胞生命活动的,燃料-#但高度亲水的葡萄糖无法自由通过疏水的生物膜#其进出细胞需要依靠细胞膜上的葡萄糖转运蛋白$整个过程涉及两个家族的跨膜转运蛋白#即钠葡萄糖协同转运蛋白系统!>Z E94"和葡萄糖转运蛋白系统!Z E 694"$人类>Z E 94家族主要包括>Z E 9%*>Z E 9I#其中>Z E 9%%>Z E 9'占主导作用(Z E 694家族目前已发现%H 个成员#其中Z E69%%Z E 69'%Z E 69"和Z E 69H四种转运蛋白生理功能最重要#不同的葡萄糖转运蛋白分布在不同的器官上#负责向人体的不同组织细胞转运葡萄糖#表现出一定的组织特异性&%'$!"葡萄糖分子进入同一个细胞的方式是唯一的吗小肠是人体吸收葡萄糖等营养物质的重要部位#主要涉及小肠绒毛上皮细胞膜的钠葡萄糖协同转运蛋白%!>Z E9%"和葡萄糖转运蛋白'!Z E 69'"$其中>Z E 9%与Q .h%葡萄糖耦联#形成Q .h载体葡萄糖复合物#>Z E9%顺浓度梯度将Q .h转入细胞的同时#将葡萄糖逆浓度梯度协同转运至上皮细胞内#物质跨膜运输所需要的直接动力来自膜两侧离子电化学梯度#这个过程不消耗F 9C #但维持这种离子电化学梯度则是通过Q .hY h泵消耗F 9C 实现的$这种间接消耗F 9C 的运输方式称为协同运输#又称继发性主动转运&''$人体饥饿状态下#肠腔内的葡萄糖浓度很低#葡萄糖转运蛋白'!Z E69'"的活性也很低$此时主要由钠葡萄糖协同转运蛋白%!>Z E9%"以'k %的比率协同转运钠离子和葡萄糖分子$**********************主要参考文献&%'Z B 9P >F #Z B 9P >N #^B E E @F Q Q N :P 320/1(-2+/32/Z </A 0.5;?&@':北京)世界图书出版公司#'$%")'%&'"':&''尚玉昌:普通生态学!第"版"&@':北京)北京大学出版社#'$%I )%HK:&"'人民教育出版社课程教材研究所:数学选修''!第'版"&@':北京)人民教育出版社#'$%&)#M:&H '宗!浩:应用生态学!第%版"&@':北京)科学出版社#'$%%)H&HK:&#'牛翠娟#娄安如#孙儒泳#等:基础生态学!第"版"&@':北京)高等教育出版社#'$%#)MK &%:"!!人体进食后#小肠绒毛局部葡萄糖的浓度由于二糖水解而升高#如麦芽糖在酶!P@"的作用下分解成葡萄糖$通过钠葡萄糖协同转运蛋白%!>Z E9%"主动运输的葡萄糖会激活蛋白激酶(1以及,增多-细胞膜上葡萄糖转运蛋白!Z E69'"数量#细胞通过Z E 69'协助扩散的方式转运葡萄糖的速率比通过>Z E9%主动运输的速率高$因此#葡萄糖分子进入同一个细胞既有主动运输也有协助扩散#如图%$图%!小肠绒毛上皮细胞转运葡萄糖示意图例%)小肠绒毛上皮细胞膜上存在着两种运输葡萄糖的载体#即>Z E9%!主动运输的载体"和Z E 69'!协助扩散的载体"$研究人员根据不同葡萄糖浓度下的运输速率绘制如图所示曲线#下列说法中不正确的是!!!"F :葡萄糖浓度极低时只通过主动运输吸收8:该实验可以探究不同浓度葡萄糖条件下的主+K M +生物学教学'$'%年!第HI 卷"第I 期。
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高中数学知识解读论文：用高中数学知识解读“S”型种群
增长曲线
在生态学上，“s”型曲线是指在非理想条件下，种群世代重叠，经过一定时间的连续增长后，数量趋于稳定的增长曲线，其中一定空间能维持种群的最大数量称为环境容纳量，又称k值。
如图1。
1935年格雷厄姆提出用s型曲线描述种群增长变化情况。
高中生物教材（人教版）中仅展现了定义与k值两个知识点，而近几年由这两个知识点衍生出的考查建构数学模型的高考题层出不穷，问题既不超纲又显得很新颖，如05年全国卷，“为了保护鱼类资源不受破坏，并能持续地获得最大捕鱼量，根据种群增长的s型曲线，应使被捕鱼群的种群数量保持在k/2水平，这是因为在这个水平上……”等题目，都完全符合三维教学目标中用数学模型解释种群数量变化
的要求，解决上述问题的关键在于对s型曲线的充分理解。
在生物第一轮总复习中，我主要把握两点做重点讲述。
一、“s”型曲线上点的切线斜率分析
如图2所示，过a点作切线ab，向x轴作垂线ac；由b 点向ac作垂线，则直线ab的斜率为ac/bc。
ac代表种群的增长数量，bc代表单位时间，因此直线ab的斜率应该代表种群在此时间段内的增长速率（增长速率是指单位时间增长
率的变化，增长率指单位时间种群增长数量）。
直线的斜率越大，增长速率越大，且切线斜率最大的点在“k/2”时，种群的增长速率达到最大，之后种群的增长速率逐渐变慢，当“s”曲线到达k值时，增长速率为0。
我们通过研究曲线的起点、拐点、止点的斜率，就可以发现“s”型曲线表示的种群增长速率是一个先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线。
二、种群增长速率曲线呈钟罩形
“s”型种群增长曲线通称逻辑斯蒂（logistic）曲线，其数学模型是：■=rn（1-■）=rn-■，dn/dt表示种群增长速率，r表示种群的增长率,n表示种群数量。
要向高中学生讲清微积分方程，不但老师讲解是问题，学生听懂也是问题。
我转化思维角度，将dn/dt换原为y，n换原为x，则逻辑斯蒂方程变为高中学生特熟悉二次函数方程y=-x+rx，其图象见图，为部分开口朝下的抛物线，呈钟罩形。
曲线表明，n ＜k/2时，种群的增长速率逐渐增大；当等于k/2时取最大值；k＞n＞k/2，种群增长速率逐渐减小，直至k时增长速率为0。
因此，“s”型种群增长曲线成为指导生物资源的保护理论，既能保持种群最大产量，又不损害持久利用。
例如，在渔业生产中，应以鱼类种群数量的k/2为标志，此时捕捞，既使捕获量达到最大，获得最大效益，又能保证鱼类资源利
用的持续性。
这样，我们就将问题转换角度，化繁为简，达到浅显易懂的目的，较好地提高了学生分析图形的能力、信息处理能力和知识迁移能力，解决“s”曲线问题就会得心应手。
你不妨做几个类似的高考题体会一下。