高中数学4.2曲线的极坐标方程4.2.2常用曲线的极坐标方程同步测控苏教版选修4_4

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高中数学4.2曲线的极坐标方程2曲线的极坐标方程的意义2圆锥曲线的极坐标方程及应用课件苏教版选修4-4

阶
阶
段
段
一
三
第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用
学
阶段二
业分层测
评
1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程． 3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．
圆锥曲线的统一极坐标方程
[基础·初探]
ρ＝1－eecpos θ，(***)
其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距．
双曲线极坐标方程的应用
过双曲线
x2 4
－
y2 5
＝1的右焦点，引倾斜角为
π 3
的直线，交双曲线于A、
B两点，求AB.
【思路探究】求出双曲线极坐标方程，得出A、B两点极坐标，进而求AB.
应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.
当0＜e＜1时，方程ρ＝1－eecpos
表示椭圆； θ当e＝1时，方(***)为ρ＝1－cpos θ，表示抛物线；
当e＞1时，方程ρ＝1－eecpos θ表示双曲线，其中ρ∈R.
椭圆极坐标方程的应用已知A、B为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上两点，OA⊥OB(O为原点)．
求证：O1A2＋O1B2为定值．
抛物线极坐标的应用
已知抛物线y2＝4x的焦点为F. (1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若AB＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜角．
1．抛物线ρ＝1－c4os θ(ρ＞0)的准线方程为______．【答案】 ρcos θ＝－4

苏教版高二数学选修4-4 4.2 曲线的极坐标方程学案

4．1．曲线的极坐标方程一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ，θ)＝0；并且极坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么这个方程称为曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线．2．求曲线的极坐标方程的基本步骤 (1)建系：建立适当的极坐标系； (2)设点：在曲线上任取一点P (ρ，θ)；(3)列式：根据曲线上点所满足的条件写出等式；(4)化简：用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程； (5)证明：证明所得的方程是曲线的极坐标方程． 3．直线的极坐标方程(1)若直线l 经过点M (ρ0，θ0)，且直线l 的倾斜角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)几种常见直线的极坐标方程：4．圆的极坐标方程(1)若圆心的坐标为M (ρ0，θ0)，圆的半径为r ，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.(2)几种常见圆的极坐标方程：[对应学生用书P12][例1] 设P ⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 经过P 点且与极轴所成的角为3π4，求直线l 的极坐标方程． [思路点拨] 取直线上任意点M (ρ，θ)，构造三角形求OM .[精解详析] 如图，设M (ρ，θ)为直线l 上除P 点外的任意一点，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有OM ＝ρ，OP ＝2，∠xAM ＝3π4，∠OPM ＝π2，∠MOP ＝θ－π4，所以有OM cos ∠MOP ＝OP ，即ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，显然P 点也在这条直线上．所以直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. 求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理及直角三角形的边角关系)的知识来建立ρ、θ之间的关系．1．已知动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为e ，求点M 的极坐标方程．解：过点F 作直线l 的垂线，垂足为，以点F 为极点，F 的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系(如图)．设M (ρ，θ)是曲线上任意一点，连接MF ，作MA ⊥l ，MB ⊥Fx ，垂足分别为A ，B ，那么MFMA＝e .设点F 到直线l 的距离为F ＝p . 由MF ＝ρ，MA ＝B ＝p ＋ρcos θ，[对应学生用书P12]得ρp ＋ρcos θ＝e ，即ρ＝ep1－e cos θ.2．从极点O 作圆ρ＝2a cos θ的弦OM ，求各弦的中点P 的轨迹方程．解：设P 点的极坐标是(ρ，θ)，M 的极坐标是(ρ1，θ1)． ∵点M 在圆ρ＝2a cos θ上， ∴ρ1＝2a cos θ1. ∵P 是OM 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ. 将它代入ρ1＝2a cos θ1得2ρ＝2a cos θ，故P 的轨迹方程是ρ＝a cos θ.[例2] 求过点A (1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．[思路点拨] 法一：按照求极坐标方程的步骤建系、设点、坐标化可求．法二：先求直角方程，再将互化公式代入可得.[精解详析] 法一：如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4，∠OMA ＝π4－θ，在△OAM 中，由正弦定理得OM sin ∠OAM ＝OA sin ∠OMA ，即ρsin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ，所以ρsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝22，即ρ⎝⎛⎭⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22，化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.法二：以极点O 为直角坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，直线的斜率＝tan π4＝1，直线方程为y ＝x －1，将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ(ρ≥0)代入上式，得 ρsin θ＝ρcos θ－1，所以ρ(cos θ－sin θ)＝1.求直线的极坐标方程的一般方法为：在直线上设M (ρ，θ)为任意一点，连接OM ，构造出含有OM 的三角形，再利用三角形知识求OM ，即把OM 用θ表示，这就是我们所需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程，也可先求出直角坐标方程，再变换为极坐标方程．3．求满足下列条件的直线的极坐标方程： (1)过点⎝⎛⎭⎫－2，π3且与极轴平行； (2)过点⎝⎛⎭⎫－2，－π3且与极轴垂直； (3)过极点且与极轴成π3角．解：(1)点⎝⎛⎭⎫－2，π3与点⎝⎛⎭⎫2，4π3相同，所以过点⎝⎛⎭⎫2，4π3且与极轴平行的直线极坐标方程为ρsin θ＝－ 3. (2)点⎝⎛⎭⎫－2，－π3与点⎝⎛⎭⎫2，2π3相同，所以过点⎝⎛⎭⎫2，2π3且与极轴垂直的直线极坐标方程为ρcos θ＝－1. (3)过极点且与极轴成π3的角的直线方程为θ＝π3.4．求过点(－2,3)，且斜率为2的直线的极坐标方程．解：由题意可知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)，即2x －y ＋7＝0.设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入2x －y ＋7＝0得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0.故所求的极坐标方程为2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0.[例3] 求圆心在A ⎝⎭⎫2，3π2，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程． [思路点拨] 设P (ρ，θ)是圆上任意一点，结合图形，构造三角形后可求解．[精解详析] 如图，设P (ρ，θ)为圆上除O 、B 外的任意一点，连接OP ，PB ，则有OB＝4，OP ＝ρ，∠POB ＝⎪⎪⎪⎪θ－3π2，∠BPO ＝π2，从而△BOP 为直角三角形，所以有OP ＝OB cos ∠POB ，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－3π2＝－4sin θ.点O (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫4，3π2也适合此方程．故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.求与圆有关的极坐标方程时，关键是找出曲线上点满足的几何条件，转化为解三角形问题，从而建立ρ、θ满足的关系式即方程，也可先求直角坐标方程，再化为极坐标方程．5．求满足下列条件的圆的极坐标方程： (1)半径为4，在极坐标系中圆心坐标为(4，π)； (2)在直角坐标系中，圆心为(－1,1)，且过原点．解：(1)因为ρ2＝4sin(θ－90°)＝－4cos θ，所以圆的极坐标方程为ρ＝－8cos θ.(2)因为圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝－2(x －y )．由坐标变换公式，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，所以圆的极坐标方程为ρ＝2(sin θ－cos θ)．6．求以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的极坐标方程．解：如图所示，设圆心为C (1,1)，P (ρ，θ)为圆上任意一点，过C 作CD ⊥OP 于点D ，∵CO ＝CP ，∴OP ＝2DO . 在Rt △CDO 中，∠DOC ＝θ－1， ∴DO ＝cos(θ－1)．∴OP ＝2cos(θ－1)，因此圆的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．1．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．[对应学生用书P14](1)y 2＋x 2－2x －1＝0；(2)ρ＝12－cos θ.解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入原方程，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(2)由ρ＝12－cos θ得2ρ－ρcos θ＝1，所以2ρ＝ρcos θ＋1，令x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，得2x 2＋y 2＝x ＋1，两边平方整理得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2．(北京高考改编)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．解：极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，所以距离为1.3．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.4．极坐标方程(ρ－2)⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？解：由(ρ－2)⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0(ρ≥0)，得ρ＝2或者θ＝π3(ρ≥0)，其中前者表示的图形是圆，后者表示的图形是一条射线．5．(安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线的方程．解：由ρ＝2cos θ可得x 2＋y 2＝2x ⇒(x －1)2＋y 2＝1，所以圆的圆心为(1,0)，半径为1，与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x ＝0，x ＝2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.6．(天津高考改编)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求CP 的长．解：如图，由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ知OC ＝2，又因为点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，P 的直角坐标为(2,23)，所以OP ＝4，∠POC ＝π3，在△POC 中，由余弦定理得CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos π3＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以CP ＝2 3.7．在极坐标系中，O 为极点，求过圆C ：ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3的圆心C 且与直线OC 垂直的直线l 的极坐标方程．解：圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，π3，设直线l 上任意一点P (ρ，θ)，则有ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3. 故直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3. 8．在极坐标系中，点O (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求以OB 为直径的圆C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为ρcos A ＋ρsin A ＝4，判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)设P (ρ，θ)是所求圆C 上任意一点，因为OB 为直径，所以∠OPB ＝π2，所以OP＝OB cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，即ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，化为直角坐标方程，得x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)圆C 的圆心为C (1,1)，半径r ＝2，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，所以圆心到直线l 距离d ＝|1＋1－4|12＋12＝2＝r .故直线与圆C 相切．。

苏教版数学高二数学苏教版选修4-4学案4.2曲线的极坐标方程

4.2 曲线的极坐标方程1．极坐标方程与曲线在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程φ(ρ，θ)＝0来表示．如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．直线的极坐标方程直线l 经过极点，倾斜角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )． 3．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是ρ＝r ；(2)圆心在(a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程是ρ＝2a cos θ. 预习交流1．求曲线的极坐标方程的步骤是什么？提示：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上的任意一点；(2)由曲线上的点所满足的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f (ρ，θ)＝0；(3)将列出的关系式f (ρ，θ)＝0进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程；(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．2．直角坐标与极坐标互化时的注意事项有哪些？提示：(1)两组公式是在三个条件规定下得到的；(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但一般约定只在规定范围内求值； (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．一、极坐标方程和直角坐标方程的互化将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化． (1)x 2＋y 2＝4；(2)(x －1)2＋(y ＋2)2＝4；(3)ρ＝3cos θ；(4)ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝4得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4，即ρ2＝4.(2)将(x －1)2＋(y ＋2)2＝4展开得x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1，得(ρcos θ)2－2ρcos θ＋(ρsin θ)2＋4ρsin θ＝－1，化简，得ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋1＝0.(3)因为ρ＝3cos θ，所以ρ2＝3ρcos θ，即x 2＋y 2＝3x .(4)由ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4＝22cos θ＋22sin θ. 整理，得ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2＝22x ＋22y ，即x 2－22x ＋y 2－22y ＝0.化圆的直角坐标方程x 2＋y 2－2ax ＝0(a ≠0)为极坐标方程．解：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－2ax ＝0得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2aρcos θ＝0，即ρ＝2a cos θ(a ≠0)．所以所求极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)．极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法，都是研究平面图形的重要工具．在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，除了正确使用互化公式外，还要注意变形的等价性．二、求直线的极坐标方程设P ⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程．思路分析：设M (ρ，θ)(ρ≥0)是直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，构造三角形求OM .解：如图所示，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有|OM |＝ρ，|OP |＝2，π4MOP θ∠=-，π2OPM ∠=，所以|OM |cos ∠MOP ＝|OP |，即πcos 24ρθ-=，即πcos 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，显然点P 也在这条直线上．故所求直线的极坐标方程为πcos 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.求过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的方程．解：如图，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，∴|OM|cos θ＝|OA|，即ρcos θ＝2.显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，∴所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M(ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O，连接OM，构造出含有OM的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．三、求圆的极坐标方程求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连接OP，PA，在Rt△OPA中，|OA|＝8，|OP|＝ρ，∠AOP＝θ，∴|OA|·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C的极坐标方程．从极点O作圆C：ρ＝8cos θ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程并把它化为直角坐标方程．解：方法一：如图，圆C的圆心C(4,0)，半径r＝|OC|＝4，连接CM.∵M为弦ON的中点，∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．∴动点M的轨迹方程是ρ＝4cos θ.∵ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x，故(x－2)2＋y2＝4为所求的直角坐标方程．方法二：设M点的坐标是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．N点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1(*)．∵M是ON的中点，∴112,,ρρθθ=⎧⎨=⎩将它代入(*)式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. ∵ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，故(x －2)2＋y 2＝4为所求的直角坐标方程．在极坐标系中，求圆的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的关系，将它用坐标表示并化简，得到ρ和θ的关系，即为所求极坐标方程．1．在极坐标系中，过点M ⎝⎛⎭⎫2，π2，且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________．答案：ρsin θ＝2(ρ≥0)解析：如图，设P (ρ，θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点，在Rt △OMP 中，()πcos 202ρθρ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，即ρsin θ＝2(ρ≥0)．2．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是__________．答案：两条射线y ＝±x (x ≥0)解析：∵cos θ＝22，∴ρcos θ＝22ρ.两边平方，得x 2＝12(x 2＋y 2)，即y ＝±x .又∵ρ≥0，∴ρcos θ＝x ≥0. ∴y ＝±x (x ≥0)表示两条射线．3．在极坐标系中，圆心在点⎝⎛⎭⎫a ，π2(a ＞0)处，且过极点的圆的极坐标方程是__________．答案：ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π) 解析：如图所示，圆与射线OP 的交点为π2,2P a ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆上任取一点M (ρ，θ)，连接OM 和MP ，则有OM ⊥MP ，在Rt △MOP 中，由Rt △MOP 的边角关系可得π2cos 2sin 2a a ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(0≤θ≤π)．4．直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为__________．答案：ρ＝4sin θ 解析：x 2＋(y －2)2＝4可化为x 2＋y 2＝4y ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4ρsin θ，化简得ρ＝4sin θ.5．从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为射线OM 上一点，已知|OP |·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．解：以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsin θ－1＝0，设M (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ.代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0，得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0，整理，得ρ＝2cos θ＋4sin θ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.2.2 常见曲线的极坐标方程》

§常见曲线的极坐标方程江苏省苏州实验中学朱仁林苏教版教科书〔选修4-4〕数学第二章第二节教材分析选修4-4专题是解析几何初步、平面向量与三角函数等内容的综合应用和进一步深化，掌握常见曲线的极坐标方程，了解曲线的多种表现形式，对于数形结合会有更深的体会。

学生可以体会从实际问题中抽象出数学的过程，培养数学问题的兴趣和能力。

教学目标一、知识目标理解并掌握常见曲线〔直线与圆〕的极坐标方程。

掌握特殊位置的直线与圆的极坐标方程。

二、能力目标利用数形结合思想，研究曲线的极坐标方程三、情感目标类比平面直角坐标系的曲线方程的构建，熟练运用数形结合思想，培养学生结合旧知探究新知的能力。

学生感悟学科内知识的联系，体会世界是辩证联系的。

教学重点掌握直线与圆的极坐标方程，并能根据条件求出直线与圆的极坐标方程。

教学难点掌握直线与圆的极坐标方程的推导过程教学方法与教学手段一、教学方法类比平面直角坐标系的建系并求曲线方程的方法，让学生能够自我发现，如何建立极坐标系求曲线的极坐标方程。

二、教学手段多媒体辅助教学教学过程一、复习引入：在之前的学习过程中，我们学习了曲线的极坐标方程的意义，那么极坐标方程的意义是什么呢？求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么？极坐标方程的意义：一条曲线上，任意一点都有一个极坐标适合方程，并且，极坐标适合方程的点都在曲线上，那么，这个方程称为曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

求曲线极坐标方程的步骤：建系，设点，列式，化简，证明。

一般最后一步证明可以不写在答案中。

情境问题：在平面直角坐标系中，你可以根据哪些条件求出直线与圆的方程？可能的答复：关于直线：学生甲：可以通过直线的两个点的坐标求。

学生乙：直线的斜率和截距，可以求直线方程学生丙：直线的斜率，和直线上的一个点的坐标，可以求直线方程。

关于圆：学生丁：圆的圆心坐标和半径，可以求圆的方程。

学生戊：圆上三点的坐标，可以求圆的方程。

请学生丁举例，曾经是如何根据这些条件推导出圆的方程的？〔提示，数形结合〕学生丁：画图〔建系〕，设点，列式〔根据点到圆心的距离等于半径〕，整理。

4.2.2常见曲线的极坐标方程2学案苏教版选修42

选修4－4坐标系与参数方程常见曲线的极坐标方程（2）学习目标明白得极坐标系中圆的方程。

学习进程：一、预习：一、圆的极坐标方程是：二、几种特殊位置下的圆的极坐标方程：练习：1．圆122=+y x 的极坐标方程是 .2．曲线θρcos =的直角坐标方程是 .二、课堂训练：例1．求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程.变式练习：一、求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程。

二、求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.例二、已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程.例3、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径.课堂练习一、在极坐标系中，求适合以下条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆；（2）圆心在)23,(πa ，半径为a 的圆.2(1)A(3,0)(2)B(8)2(3)O C(-4,0)(4))6ππ练习、按下列条件写出圆的极坐标方程：以为圆心，且过极点的圆；以，为圆心，且过极点的圆；以极点与点连接的线段为直径的圆；圆心在极轴上，且过极点与点，的圆。

3、把以下极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=ρ；（2）θρcos 5=.4、求以下圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=.5、求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径.三、课后巩固：一、设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π，那么那个圆的极坐标方程是 .二、两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 .3、在圆心的极坐标为)0)(0,(>a a ，半径为a 的圆中，求过极点的弦的中点的轨迹.4、极坐标方程cos()4πρθ=-所表示的曲线是 .五、极坐标方程别离是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是 .六、以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（） A.)4cos(2πθρ-= B.)4sin(2πθρ-=C .)1cos(2-=θρ D.)1sin(2-=θρ7、已知圆2=ρ，直线4cos =θρ，过极点作射线交圆于点A ，交直线于点B ，当射线以极点为中心转动时，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.2.2 常见曲线的极坐标方程》8

课题：曲线的极坐标方程（一）【教学目标】一、课标要求1 了解极坐标方程的意义；2 掌握直线和圆的极坐标方程；3 能够根据极坐标方程研究有关数学问题二、核心扫描1 求曲线的极坐标方程（重点）2 建立直线的极坐标方程，理解直线极坐标方程的不唯一性（难点）。

【教学模式】启发、诱导发现教学【教学教程】一、复习回顾1．极坐标是如何建立的？2．极坐标系内一点的极坐标是如何规定的？3．曲线与方程的关系（在直角坐标系中）二、新授（一）曲线的极坐标方程的定义思考：⑴如何求曲线的极坐标方程？⑵在直角坐标系中，求曲线方程的步骤有哪些？三、例题讲解题型一：特殊位置的直线的极坐标方程A a a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程例1 求过点(,0)(0)变式：求过点,(0)2B a a π⎛⎫> ⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线的极坐标方程练习：1 求过极点、倾角为4π的射线的极坐标方程2 求过极点、倾角为54π的射线的极坐标方程3 求过极点、倾角为4π的直线的极坐标方程题型二：一般直线的极坐标方程例题2 设点P 的坐标为00(,)ρθ，直线过点P 且与极轴所成的角为α，求直线的极坐标方程变式练习：设点A 的极坐标为(,0)A a ，直线过点A 且与极轴所成的角为α，求的极坐标方程【总结反思】求直线的极坐标方程的方法和步骤四、课堂检测按下列条件写出直线的极坐标方程 ⑴经过极点，且倾斜角为6π的直线； ⑵经过点2,4A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且垂直于极轴的直线； ⑶经过点3,3A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； ⑷经过点(4,0)C ，且倾角是34π的直线五、课堂小结本节课主要学习了以下内容：1 如何求直线的极坐标方程；2 极坐标系中的曲线与方程的关系和直线中曲线与方程的关系是一致的；3 掌握求直线方程的方法和步骤。

六、布置作业作业纸1~5。

4.2.2常见曲线的极坐标方程3学案苏教版选修42

选修4－4坐标系与参数方程常见曲线的极坐标方程（3）学习目标了解极坐标系中圆锥曲线的方程。

学习进程：一、预习：问题：设定点F 到定直线l 的距离为p ，求到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹的极坐标方程.归纳：圆锥曲线的极坐标方程：练习：1．通过极点，且倾斜角是6的直线的极坐标方程是 . 2．以极点为圆心，5为半径的圆的极坐标方程是 . 3、核心到准线的距离是3，离心率为32的椭圆的极坐标方程是 . 4、核心到准线的距离是5，离心率为2的双曲线的极坐标方程是 .二、课堂训练：例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案平安、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个核心的椭圆，椭圆的近地址（离地面最近的点）和远地址（离地面最远的点）距离地面别离为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。

假设地球半径取6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。

例二、求证：过抛物线的核心的弦被核心分成的两部份的倒数和为常数。

课堂练习一、曲线θρcos 21-=的直角坐标方程是 . 二、曲线)(cos 213R ∈-=ρθρ的直角坐标方程是 .3、极坐标方程θρcos 24-=表示的曲线是 .4、极坐标方程θρcos 225-=表示的曲线是 .三、课后巩固：一、椭圆θρcos 3516-=的长轴长为 .二、抛物线θρcos 14-=的准线的极坐标方程为 .3、过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左核心F 作倾斜角为600的直线l 交椭圆于A 、B 两点，假设FB FA 2=，求椭圆的离心率.4、极坐标方程θρcos 234-=所表示的曲线是 . 五、极坐标方程52sin 42=θρ所表示的曲线是 .6、已知椭圆的极坐标方程是θρcos 235-=，那么它的短轴长是 .7、求以下两曲线的交点坐标。

苏教版数学高二- 选修4-4素材 4.2曲线的极坐标方程知识总结

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高中数学
曲线的极坐标方程知识总结
1．曲线与方程的关系
在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f(x ，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：
(1)曲线C 上点的坐标都是方程f(x ，y)＝0的解； (2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．
2．曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．
3．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆
ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆
ρ＝2rcos_θ
(－π2≤θ≤π2) 圆心为(r ，π
2)，半径为r 的圆
ρ＝2rsin_θ
(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α或θ＝α＋π
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos _θ＝a
(－π2<θ<π2) 过点(a ，π
2
)，与极轴平行的直线
ρsin _θ＝a (0<θ<π)。

高中数学4.2曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义知识导航学案苏教版选修4-4

4.2.1 曲线的极坐标方程的意义自主整理1.一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(ρ,θ)=0;反之，极坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的_____________，这条曲线称为这个极坐标方程的_____________.答案:极坐标方程曲线2.求曲线的极坐标方程的基本步骤：第一步：建立适当的极坐标系；第二步：在曲线上任取一点P （ρ,θ）；第三步：根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步：用极坐标ρ,θ表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步：证明所得的方程是曲线的极坐标方程.高手笔记1.在求曲线的极坐标方程时，就是求曲线上的任一点M （ρ,θ）的坐标符合已知条件的方程，在方法与步骤上和求直角坐标方程是类似的.2.由直角坐标方程化成极坐标方程，只要用x=ρcosθ,y=ρsinθ直接代入就可以了.由极坐标方程化为直角坐标方程，在可能时，最好把ρcosθ换成x,ρsinθ换成y,ρ2换成x 2+y 2,而不是直接把ρ和θ换成x 和y 的式子.3.找平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系式，常用解三角形（正弦定理，余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.4.当允许ρ<0时，这时规定它的对应点M 的位置在角θ终边的反向延长线上，且|OM|=|ρ|，这样ρ可取一切实数.名师解惑1.极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？剖析：根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作：将射线OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负”实质是管方向的.如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的. 一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.2.为何我们要注意不要把对直角坐标系内的点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？剖析：（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(2n+1)π+θ)（n 为整数）表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(ρ,θ)不是一一对应的.（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的.（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P 的一极坐标为(4π,4π)，那么点P 适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(4π,49π)就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可.讲练互动【例题1】设M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连结MA ，自M 作MP⊥MA 交OA 于P ，求P 点的轨迹方程.思路分析：求P 点的轨迹方程关键是解△APM，利用余弦定理，可以建立点P(ρ,θ)中ρ,θ之间的关系.解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如右图.设定圆O 的半径为r ，OM=a ，P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.∵MP⊥MA ，∴|MA|2+|MP|2=|PA|2.由余弦定理可知|MA|2=a 2+r 2-2arcosθ，|MP|2=a 2+ρ2-2aρcosθ.而|PA|=r-ρ，由此可得a 2+r 2-2arcosθ+a 2+ρ2-2aρcosθ=(r -ρ)2.整理化简，得ρ=ra r a a --θθcos )cos (. 绿色通道寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为关键三角形法.若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.变式训练1.判断点(21-,35π)是否在曲线ρ=cos 2θ上？思路分析：在极坐标系内判断点是否在直线上与在直角坐标系内判断是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程时，我们还要验证这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解：∵点(-21,35π)和点(21,32π)是同一点，而cos 213cos 232==ππ, ∴点(21,32π)在曲线ρ=cos 2θ上，即点(21-,35π)在曲线ρ=cos 2θ上. 【例题2】进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y 2=4x;(2)y 2+x 2-2x-1=0;(3)θ=3π; (4)ρcos 22θ=1;(5)ρ2cos2θ=4;(6)ρ=θcos 21-. 思路分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置方法，都是研究平面图形的重要工具.在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标系进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化.在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.解：(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y 2=4x ，得(ρsinθ)2=4ρcosθ，化简得ρs in 2θ=4cosθ.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y 2+x 2-2x-1=0,得(ρsinθ)2+(ρcosθ)2-2ρcosθ-1=0，化简得ρ2-2ρcosθ-1=0. (3)∵tanθ=2θ，∴tan 3π=xy =3，化简得y=3x(x≥0). (4)∵ρcos 22θ=1, ∴ρ2cos 1θ+=1,即ρ+ρcosθ=2. ∴22y x ++x=2.化简得y 2=-4(x-1). (5)∵ρ2cos2θ=4,∴ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即x 2-y 2=4. (6)∵ρ=θcos 21-, ∴2ρ-ρcosθ=1. ∴222y x +-x=1,化简得3x 2+4y 2-2x-1=0.绿色通道绿色通道在进行两种坐标方程间的互化时，我们要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合、两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在,是等价变形，否则，不是等价变形. 变式训练2.把下列极坐标方程化为直角坐标方程.(1)ρ2cos2θ=1;(2)ρ=tanθ·secθ;(3)ρ=2cos(θ-4π). 思路分析：本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，通常把方程先配凑，然后把ρcosθ换成x ，ρsinθ换成y ，ρ2换成x 2+y 2而得出.解：（1）因为ρ2cos2θ=1,所以ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=1.所以x 2-y 2=1.(2)因为ρ=θθcos sin ·θcos 1, 所以ρcos 2θ=sinθ,ρ2cos 2θ=ρsinθ.所以x 2=y.（3）因为ρ=2cosθcos4π+2sinθsin 4π =2cosθ+2sinθ, 所以ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ. 所以x 2+y 2-2x-2y=0.。